Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Ein Zufallsversuch ist ein Vorgang, der nach festen Regeln abläuft, dessen Ausgang du aber nicht vorhersagen kannst: ein Glücksrad drehen, einen Freiwurf werfen, eine Person zufällig aus einer Liste auswählen. Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge Ω (griechisch Omega). Du schreibst sie in Mengenklammern, jedes Ergebnis genau einmal, getrennt durch Semikolon.
Beispiel: Eine Person wird zufällig gefragt, in welchem Monat sie Geburtstag hat (1 = Januar, …, 12 = Dezember).
Ω = {1; 2; 3; …; 12}
Welche Ergebnismenge passt, hängt davon ab, was du notierst. Interessiert nur die Jahreszeit, ist Ω = {Frühling; Sommer; Herbst; Winter} genauso richtig. Die einzige Bedingung: Jeder mögliche Ausgang gehört zu genau einem Ergebnis. Keiner fehlt, keiner passt zu zwei Ergebnissen.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Glücksrad hat drei gleich große Sektoren: zwei rote und einen blauen. Gib eine Ergebnismenge an. Ist auch eine zweite Ergebnismenge möglich?
Lösung zeigen
Ω = {rot; blau} genügt, wenn nur die Farbe notiert wird. Nummerierst du die Sektoren, geht auch Ω = {rot 1; rot 2; blau}. Beide Mengen erfassen jeden Ausgang genau einmal.
2. Mehrstufige Versuche: der Baum zum Aufzählen
Besteht ein Versuch aus mehreren Schritten, heißt er mehrstufig. Ein Ergebnis ist dann eine Folge von Teilergebnissen in der Reihenfolge, in der sie entstehen. Damit du keines vergisst, zeichnest du ein Baumdiagramm: Jede Stufe ist ein Schritt, an jedem Knoten gehen so viele Äste ab, wie der Schritt Ausgänge hat. Jeder Weg vom Start bis zum Ende ist ein Ergebnis.
Beispiel: Eine Basketballspielerin wirft zwei Freiwürfe. Jeder Wurf ist ein Treffer (T) oder kein Treffer (K). TK heißt: erster Wurf Treffer, zweiter nicht.
Baumdiagramm für zwei Freiwürfe. Jeder Weg vom Start bis zum Ende ist ein Ergebnis; rechts steht es als Folge.
Ω = {TT; TK; KT; KK}
TK und KT sind zwei verschiedene Ergebnisse: Es kommt darauf an, welcher Wurf getroffen hat. Wer nur „ein Treffer“ notiert, hat eine andere Ergebnismenge gewählt und muss das dazuschreiben.
✎ Mini-Aufgabe: Die Spielerin wirft drei Freiwürfe. Wie viele Ergebnisse hat Ω? Denk dir den Baum eine Stufe weiter.
Lösung zeigen
An jedes der vier Enden kommen zwei neue Äste: 4 · 2 = 8 Ergebnisse, nämlich TTT, TTK, TKT, TKK, KTT, KTK, KKT, KKK.
3. Ereignisse sind Teilmengen von Ω
Ein Ereignis fasst die Ergebnisse zusammen, für die du dich interessierst. Es ist eine Teilmenge von Ω, kurz E ⊆ Ω: Jedes Ergebnis von E liegt auch in Ω. Ereignisse bekommen große Buchstaben. Ein Ereignis tritt ein, wenn der Versuch eines seiner Ergebnisse liefert.
Bei den zwei Freiwürfen ist M: „mindestens ein Treffer“ das Ereignis M = {TT; TK; KT}. Fällt KT, tritt M ein; fällt KK, tritt M nicht ein. Drei Arten von Ereignissen haben eigene Namen:
Ereignis in Worten
als Menge
Name
Beide Würfe treffen.
{TT}
Elementarereignis (genau ein Ergebnis)
Es gibt drei Treffer.
∅
unmögliches Ereignis (kein Ergebnis)
Es gibt höchstens zwei Treffer.
{TT; TK; KT; KK} = Ω
sicheres Ereignis (alle Ergebnisse)
✎ Mini-Aufgabe: Notiere bei zwei Freiwürfen das Ereignis Z: „Der zweite Wurf ist ein Treffer“. Ist Z ein Elementarereignis?
Lösung zeigen
Z = {TT; KT}. Der erste Wurf ist beliebig, deshalb gehören zwei Ergebnisse dazu. Z ist kein Elementarereignis.
4. Ereignisse verknüpfen
Aus zwei Ereignissen A und B desselben Versuchs entstehen neue Ereignisse:
Gegenereignis Ā („nicht A“, gelesen „A quer“): alle Ergebnisse von Ω, die nicht in A liegen.
Und-Ereignis A ∩ B („A und B“, Schnittmenge): die Ergebnisse, die in A und zugleich in B liegen.
Oder-Ereignis A ∪ B („A oder B“, Vereinigungsmenge): die Ergebnisse, die in A oder in B oder in beiden liegen.
A und B heißen unvereinbar, wenn sie kein Ergebnis gemeinsam haben: A ∩ B = ∅.
Beispiel: Geburtsmonat, Ω = {1; 2; …; 12}
A: „Der Monat hat 31 Tage“, A = {1; 3; 5; 7; 8; 10; 12}. W: „Der Monat liegt im Winter“, W = {1; 2; 12}
Ā = {2; 4; 6; 9; 11}
A ∩ W = {1; 12} A ∪ W = {1; 2; 3; 5; 7; 8; 10; 12}
entweder A oder W: (A ∩ W̄) ∪ (Ā ∩ W) = {2; 3; 5; 7; 8; 10}
weder A noch W: Ā ∩ W̄ = {4; 6; 9; 11}
Das mathematische „oder“ schließt „beides“ ein: 1 und 12 gehören zu A ∪ W und stehen dort trotzdem nur einmal. Das umgangssprachliche „entweder … oder“ meint dagegen genau eines von beiden; dafür nimmst du die Ergebnisse, die in A, aber nicht in W liegen, und die, die in W, aber nicht in A liegen. „Weder … noch“ ist das Gegenereignis von A ∪ W, also Ā ∩ W̄.
Bei zwei Ereignissen A und B liegt jedes Ergebnis in genau einem von vier Feldern. „Nur A“ ist ein Feld, „genau eines“ sind zwei Felder, A ∪ B sind drei Felder, „keines“ ist das Feld unten rechts.
B
B̄
A
A ∩ B: beide
A ∩ B̄: nur A
Ā
Ā ∩ B: nur B
Ā ∩ B̄: keines
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme im Monatsbeispiel das Gegenereignis von A ∩ W, also alle Monate, die nicht in A ∩ W liegen. Bestimme danach Ā ∪ W̄. Was fällt dir auf?
Beide Mengen sind gleich: „nicht beide“ ist dasselbe wie „nicht A oder nicht W“. Ebenso ist „weder A noch W“ dasselbe wie „nicht A und nicht W“. Beim Verneinen kippt ∩ zu ∪ und umgekehrt (Regeln von De Morgan).
Im Abitur steht ein Ereignis meist in einer Wahrscheinlichkeit, zum Beispiel P(T ∩ M̄) = 0,05. Was P bedeutet, kommt im nächsten Thema. Welches Ereignis in der Klammer steht und wie man es in Worten sagt, lernst du hier.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
„A und B“, „sowohl … als auch“
A ∩ B
Die Menge wird kleiner als A und als B.
„A oder B“, „mindestens eines von beiden“
A ∪ B
Beides ist mitgemeint; gemeinsame Ergebnisse nur einmal schreiben.
„nicht A“, „A tritt nicht ein“
Ā
Hängt an Ω: erst Ω festlegen.
„entweder A oder B“, „genau eines von beiden“
(A ∩ B̄) ∪ (Ā ∩ B)
Beides zugleich ist ausgeschlossen.
„weder A noch B“, „keines von beiden“
Ā ∩ B̄
nicht Ā ∪ B̄
„nicht beide“, „höchstens eines“
Ā ∪ B̄
Gegenereignis von A ∩ B
„A, aber nicht B“, „nur A“
A ∩ B̄
„aber“ ist ein Und.
„mindestens zwei“, „größer als 7“, „höchstens 3“
Grenze genau lesen
„mindestens“ und „höchstens“ schließen die Grenze ein, „größer als“ nicht.
6. Was nirgends steht
Die Ergebnismenge legst du selbst fest, bevor du Ereignisse notierst. Ohne Ω ist kein Gegenereignis bestimmt.
Wird die Reihenfolge notiert, sind TK und KT verschiedene Ergebnisse.
Endet ein Versuch vorzeitig, etwa weil ein Spiel entschieden ist, werden die übrigen Schritte nicht ausgeführt. Die Ergebnisse sind dann unterschiedlich lang.
„Durch 4 und durch 5 teilbar“ heißt durch 20 teilbar. Wie viele Vielfache einer Zahl es bis zu einer Grenze gibt, bestimmst du durch Teilen und Abrunden.
Ein großes Ereignis musst du nicht aufschreiben, um es zu zählen: Das Gegenereignis hat so viele Ergebnisse, wie Ω mehr hat als das Ereignis.
7. Sachbeispiel mit Denkweg
Die Trainerin sagt nach den zwei Freiwürfen: „Wer nicht beide trifft, läuft eine Extrarunde.“ Notiere das Ereignis E: „Die Spielerin läuft eine Extrarunde“ als Menge.
Was ist gefragt? Ein Ereignis als Teilmenge von Ω, also eine Liste von Ergebnissen.
Was steht nicht da? Ω muss ich selbst festlegen: Ω = {TT; TK; KT; KK}, mit Reihenfolge. „Nicht beide“ schließt auch „keinen“ ein.
Rechnen „Beide treffen“ ist {TT}. E ist das Gegenereignis davon: E = {TK; KT; KK}.
Antwortsatz Die Spielerin läuft eine Extrarunde, wenn eines der Ergebnisse TK, KT oder KK eintritt, also E = {TK; KT; KK}.
Prüfen E und {TT} haben kein Ergebnis gemeinsam und ergeben zusammen Ω. Kein Ergebnis fehlt, keines steht doppelt. Das passt.
8. Typische Fehler
Ergebnis und Ereignis verwechselt: TT ist ein Ergebnis, {TT} das zugehörige Elementarereignis.
∩ und ∪ vertauscht. Prüfe: Nach ∩ hast du höchstens so viele Ergebnisse wie im kleineren Ereignis, nach ∪ mindestens so viele wie im größeren.
Beim Oder-Ereignis ein Ergebnis doppelt geschrieben oder beim Zählen doppelt gezählt.
„weder … noch“ als Ā ∪ B̄ notiert. Richtig ist Ā ∩ B̄.
Beim mehrstufigen Versuch Ergebnisse vergessen, weil ohne Baum aufgezählt wurde, oder Schritte angehängt, die gar nicht mehr stattfinden.
Mengenklammern weggelassen. Die Schreibweise wird im Abitur mitbewertet.
Rechnen
2.1Ergebnismengen
Gib zu jedem Zufallsversuch eine passende Ergebnismenge Ω an.
a) Ein Würfel wird einmal geworfen; notiert wird die Augenzahl.
Hilfe 1
Welche Ausgänge kann der Wurf haben?
Hilfe 2
Schreibe jeden Ausgang genau einmal in Mengenklammern, getrennt durch Semikolon.
b) Ein Glücksrad mit einem roten, einem gelben und einem grünen Sektor wird einmal gedreht; notiert wird die Farbe, auf der der Zeiger stehen bleibt.
Hilfe 1
Notiert wird eine Farbe, keine Zahl.
Hilfe 2
Welche Farben können vorkommen?
c) Ana und Ben spielen ein Tischtennisspiel gegeneinander; notiert wird, wer das Spiel gewinnt. Ein Unentschieden ist im Tischtennis nicht möglich.
Hilfe 1
Was kann nach dem Spiel auf dem Zettel stehen?
Hilfe 2
Der Hinweis zum Unentschieden schließt einen Ausgang aus.
d) Aus allen Familien einer Stadt mit genau zwei Kindern wird eine Familie zufällig ausgewählt; notiert wird die Anzahl der Mädchen in dieser Familie.
Hilfe 1
Notiert wird eine Anzahl, nicht die Kinder einzeln.
Hilfe 2
Welche Anzahlen sind bei zwei Kindern möglich? Denke auch an den kleinsten Fall.
Lösung zeigen
a) „Ergebnismenge angeben“: alle möglichen Ausgänge in Mengenklammern.
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
b) Ergebnisse müssen keine Zahlen sein; hier sind es Farben.
Ω = {rot; gelb; grün}
c) Notiert wird eine Person; die Aufgabe sagt, welcher Ausgang wegfällt.
Ω = {Ana; Ben}
d) Was notiert wird, bestimmt Ω: Hier sind die Ergebnisse Anzahlen.
Ω = {0; 1; 2}
2.2Drei Bauteile
Bei der Qualitätskontrolle werden drei Bauteile nacheinander geprüft. Jedes Bauteil ist in Ordnung (i) oder defekt (d). Notiert wird das Prüfergebnis in der Reihenfolge der Prüfung, zum Beispiel idi für: erstes in Ordnung, zweites defekt, drittes in Ordnung.
a) Gib die Ergebnismenge Ω dieses Zufallsversuchs an.
Hilfe 1
Zeichne für jede Prüfung eine Stufe; von jedem Knoten gehen die Äste i und d ab.
Hilfe 2
Jeder Weg vom Start bis zum Ende ergibt ein Ergebnis aus drei Buchstaben.
b) Notiere die Ereignisse E1: „Genau ein Bauteil ist defekt“, E2: „Das erste Bauteil ist defekt“ und E3: „Mindestens zwei Bauteile sind defekt“ in aufzählender Schreibweise.
Hilfe 1
Geh die Ergebnisse aus a) einzeln durch und prüfe für jedes, ob es passt.
Hilfe 2
„Mindestens zwei“: Welche Anzahlen defekter Teile sind damit gemeint?
Hilfe 3
Bei E2 ist nur über das erste Teil etwas gesagt.
Lösung zeigen
a) Mehrstufiger Versuch: Ein Baum sorgt dafür, dass kein Ergebnis fehlt.
Baumdiagramm mit drei Stufen, an jedem Knoten die Äste i und d.
Ω = {iii; iid; idi; idd; dii; did; ddi; ddd}
Bei drei Bauteilen hat Ω 8 Ergebnisse.
b) Drei Ereignisse aus derselben Ergebnismenge; die Wörter „genau“ und „mindestens“ entscheiden.
E1 = {iid; idi; dii}
E2 = {dii; did; ddi; ddd}
E3 = {idd; did; ddi; ddd}
2.3Ereignisse einordnen
Bei einem Zufallsversuch ist Ω = {1; 2; 3; …; 15}. Notiere jedes Ereignis in aufzählender Schreibweise und gib an, ob es ein Elementarereignis, das unmögliche Ereignis, das sichere Ereignis oder keines davon ist.
a) A: „Die Zahl ist durch 7 teilbar.“
Hilfe 1
Welche Vielfachen von 7 liegen in Ω?
Hilfe 2
Wie viele Ergebnisse hat ein Elementarereignis?
b) B: „Die Zahl ist größer als 14.“
Hilfe 1
Gehört die 14 selbst dazu?
Hilfe 2
Welche Zahlen von Ω bleiben übrig?
c) C: „Die Zahl ist kleiner als 16.“
Hilfe 1
Gibt es eine Zahl in Ω, die nicht kleiner als 16 ist?
Hilfe 2
Vergleiche C mit Ω.
d) D: „Die Zahl ist durch 4 und durch 5 teilbar.“
Hilfe 1
„und“: Eine Zahl muss beide Bedingungen zugleich erfüllen.
Hilfe 2
Welche ist die kleinste Zahl, die durch 4 und durch 5 teilbar ist?
Lösung zeigen
a) Erst die Menge aufschreiben, dann an der Anzahl ihrer Ergebnisse die Art ablesen.
A = {7; 14}; zwei Ergebnisse, also keines der drei.
b) „größer als“ schließt die Grenze aus.
B = {15}; Elementarereignis.
c) Erst die Menge aufschreiben, dann mit Ω vergleichen.
C = {1; 2; 3; …; 15} = Ω; sicheres Ereignis.
d) „und“ verlangt beide Bedingungen zugleich; dann prüfen, ob eine Zahl in Ω das schafft.
Durch 4 und durch 5 teilbar heißt durch 20 teilbar. Keine Zahl von 1 bis 15 erfüllt das.
D = ∅; unmögliches Ereignis.
2.4Verknüpfen
Gegeben sind die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; …; 12} sowie die Ereignisse A: „Die Zahl ist eine Primzahl“ und B: „Die Zahl ist durch 3 teilbar“.
a) Notiere A und B in aufzählender Schreibweise.
Hilfe 1
Was ist eine Primzahl genau? Prüfe besonders die 1 und die 2.
Hilfe 2
Gehe die Zahlen von 1 bis 12 der Reihe nach durch.
b) Bestimme Ā, A ∩ B und A ∪ B.
Hilfe 1
Ā: Welche Zahlen von Ω liegen nicht in A?
Hilfe 2
Bei ∩ müssen beide Bedingungen zutreffen, bei ∪ mindestens eine.
Hilfe 3
Jede Zahl steht in einer Menge nur einmal.
c) Bestimme das Ereignis A ∩ B̄ und beschreibe es in Worten, ohne Mengenzeichen zu benutzen.
Hilfe 1
Bilde zuerst B̄.
Hilfe 2
Welche Zahlen liegen in A und zugleich in B̄?
Lösung zeigen
a) Zwei Ereignisse aus Bedingungen an die Zahl; die Primzahl-Definition steht nicht da.
A = {2; 3; 5; 7; 11}; B = {3; 6; 9; 12}
b) Drei Grundverknüpfungen: Gegenereignis, Und, Oder.
Ā = {1; 4; 6; 8; 9; 10; 12}
A ∩ B = {3}
A ∪ B = {2; 3; 5; 6; 7; 9; 11; 12}
c) Und-Ereignis mit einem Gegenereignis; danach zurück in die Sprache.
B̄ = {1; 2; 4; 5; 7; 8; 10; 11}
A ∩ B̄ = {2; 5; 7; 11}; A ∩ B̄ hat 4 Ergebnisse.
In Worten: Die Zahl ist eine Primzahl, aber nicht durch 3 teilbar.
2.5Mit der Vereinigung weiter
Gegeben sind Ω = {1; 2; 3; …; 20} sowie A: „Die Zahl ist durch 4 teilbar“ und B: „Die Zahl ist größer als 13“. Es gilt A ∪ B = {4; 8; 12; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20}.
a) Bestimme mithilfe der angegebenen Menge das Ereignis „Die Zahl ist weder durch 4 teilbar noch größer als 13“.
Hilfe 1
Wann tritt „weder A noch B“ ein, wenn du an A ∪ B denkst?
Hilfe 2
Welche Zahlen von Ω fehlen in der angegebenen Menge?
b) Bestimme, wie viele Ergebnisse zum Ereignis Ā ∪ B̄ gehören.
Hilfe 1
Beschreibe Ā ∪ B̄ zuerst in Worten.
Hilfe 2
Welches Ereignis ist das Gegenteil davon, und wie viele Ergebnisse hat es?
Lösung zeigen
a) „weder … noch“ hängt mit dem Oder-Ereignis zusammen, das schon dasteht.
„weder A noch B“ ist das Gegenereignis von A ∪ B, also Ā ∩ B̄.
Ā ∩ B̄ = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13}
b) Gefragt ist eine Anzahl; aufschreiben ist erlaubt, über das Gegenereignis geht es kürzer.
Ā ∪ B̄ tritt ein, wenn nicht beide Ereignisse eintreten; es ist das Gegenereignis von A ∩ B.
A ∩ B = {16; 20}, also hat Ā ∪ B̄ 20 − 2 = 18 Ergebnisse.
Ebenso richtig: Ā ∪ B̄ aufzählen (alle Zahlen außer 16 und 20) und zählen.
Ohne Taschenrechner
2.6Aufteilen
Gegeben sind Ω = {1; 2; 3; …; 10}, A = {1; 2; 3; 4; 5; 6} und B = {2; 4; 6; 8; 10}.
Zeige, dass die Ereignisse A ∩ B und A ∩ B̄ zusammen genau das Ereignis A ergeben und kein Ergebnis gemeinsam haben.
Hilfe 1
Bestimme zuerst B̄, dann die beiden Und-Ereignisse.
Hilfe 2
„zusammen“ und „gemeinsam“: Welche Verknüpfung gehört zu welchem Wort?
Lösung zeigen
„zusammen ergeben“ ist eine Aussage über ∪, „kein Ergebnis gemeinsam“ eine über ∩.
B̄ = {1; 3; 5; 7; 9}
A ∩ B = {2; 4; 6}; A ∩ B̄ = {1; 3; 5}
(A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄) = {1; 2; 3; 4; 5; 6} = A und (A ∩ B) ∩ (A ∩ B̄) = ∅
Jedes Ergebnis von A liegt entweder in B oder nicht in B. Deshalb zerfällt A ohne Rest und ohne Überschneidung in diese beiden Teile.
2.7Ereignis rückwärts
Zu Ω = {1; 2; 3; …; 8} gehören zwei Ereignisse A und B mit A = {1; 2; 3; 4}, A ∩ B = {3; 4} und A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Bestimme B und begründe, dass es nur eine Möglichkeit für B gibt.
Hilfe 1
Geh die Zahlen 1 bis 8 einzeln durch.
Hilfe 2
Für jede Zahl: Was verraten A ∩ B und A ∪ B darüber, ob sie in B liegt?
Lösung zeigen
Rückwärts: Für jedes Ergebnis von Ω entscheiden, ob es in B liegen muss oder nicht darf.
3 und 4 liegen in A ∩ B, also in B.
5 und 6 liegen in A ∪ B, aber nicht in A, also in B.
1 und 2 liegen in A, aber nicht in A ∩ B, also nicht in B. 7 und 8 liegen nicht in A ∪ B, also auch nicht in B.
Damit ist jedes Ergebnis festgelegt: B = {3; 4; 5; 6}, und es gibt keine andere Möglichkeit.
2.8Zwei Ergebnismengen
Ein Glücksrad mit einem roten und einem blauen Sektor wird zweimal gedreht. Lina notiert die Ergebnismenge Ω1 = {rr; rb; br; bb}; dabei bedeutet rb „erst Rot, dann Blau“. Tom notiert Ω2 = {zweimal Rot; Rot und Blau; zweimal Blau}.
a) Entscheide, ob beide Angaben als Ergebnismenge zulässig sind, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Was muss für jeden möglichen Ablauf der beiden Drehungen gelten?
Hilfe 2
Ordne jeden Ablauf einem Ergebnis von Ω2 zu.
b) Untersuche, mit welcher der beiden Ergebnismengen sich das Ereignis „Der erste Dreh zeigt Rot“ notieren lässt, und gib es dort an.
Hilfe 1
Ein Ereignis ist eine Teilmenge der gewählten Ergebnismenge.
Hilfe 2
Lässt sich am Ergebnis „Rot und Blau“ ablesen, was zuerst kam?
Lösung zeigen
a) Kriterium aus der Erklärung: jeder mögliche Ausgang gehört zu genau einem Ergebnis.
Beide sind zulässig: Jeder mögliche Ablauf gehört in Ω1 und in Ω2 zu genau einem Ergebnis.
Lina notiert die Reihenfolge, Tom nur die Farben ohne Reihenfolge.
b) Ein Ereignis kann nur aus vorhandenen Ergebnissen bestehen; die Wahl von Ω entscheidet, was sich ausdrücken lässt.
In Ω1: {rr; rb}.
In Ω2 geht es nicht: Das Ergebnis „Rot und Blau“ umfasst beide Reihenfolgen. Ob der erste Dreh Rot zeigte, lässt sich daran nicht ablesen.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Ein Mitglied eines Sportvereins wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden F: „Das Mitglied spielt Fußball“ und H: „Das Mitglied spielt Handball“. Manche Mitglieder spielen beides. Notiere zu jedem Satz nur einen Ausdruck mit F, H, ∩, ∪ und Querstrich. Zähle nichts auf. (1) Das Mitglied spielt beide Sportarten. (2) Das Mitglied spielt höchstens eine der beiden Sportarten. (3) Das Mitglied spielt Handball, aber nicht Fußball.
Hilfe 1
Bei jedem Satz: Steckt darin ein „und“, ein „oder“ oder ein „nicht“?
Hilfe 2
„höchstens eine“: Welche Fälle sind erlaubt, welcher nicht?
Hilfe 3
„aber“ verbindet zwei Bedingungen, die beide gelten.
b) Beim Schulfest steht ein Glücksrad mit zehn gleich großen Sektoren, die von 1 bis 10 nummeriert sind. Einen Preis gibt es, wenn die Zahl gerade ist oder größer als 7. Bei wie vielen der zehn Zahlen gibt es einen Preis? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Anzahl der Ergebnisse von … 2. Was nicht dasteht: „oder“ schließt … ein. Zahlen, die beides erfüllen, … 3. Rechnen: G = …; S = …; G ∪ S = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Gib den beiden Bedingungen Namen und notiere sie als Mengen.
Hilfe 2
Welche Verknüpfung gehört zu „oder“?
Hilfe 3
Kommt eine Zahl in beiden Mengen vor? Wie oft darf sie gezählt werden?
Lösung zeigen
a) Nur übersetzen, nicht rechnen: jedes Signalwort in ein Zeichen.
(1) F ∩ H
(2) „höchstens eine“ heißt „nicht beide“: F̄ ∪ H̄ (gleichwertig: das Gegenereignis von F ∩ H)
(3) F̄ ∩ H
b) „Preis, wenn … oder …“: Oder-Ereignis; gezählt wird jede Zahl einmal.
1. Gefragt ist die Anzahl der Ergebnisse von G ∪ S mit G: „gerade“ und S: „größer als 7“.
2. „oder“ schließt den Fall ein, dass beides zutrifft. Zahlen, die beides erfüllen, zählen nur einmal.
3. G = {2; 4; 6; 8; 10}; S = {8; 9; 10}; G ∪ S = {2; 4; 6; 8; 9; 10}
4. Bei 6 der 10 Zahlen gibt es einen Preis.
5. 5 + 3 = 8 wäre zu viel: 8 und 10 liegen in G und in S und wären doppelt gezählt. 8 − 2 = 6 passt.
3.2Glücksrad beim Schulfest
Beim Schulfest der Q-Phase steht ein Glücksrad mit roten (R), gelben (G) und blauen (B) Sektoren. Jeder Gast dreht zweimal; notiert werden die beiden Farben in der Reihenfolge der Drehungen, etwa RB für „erst Rot, dann Blau“. Das Material zeigt die möglichen Abläufe.
Zeigen beide Drehungen dieselbe Farbe, gibt es einen Hauptpreis (Ereignis H). Zeigt mindestens eine Drehung Blau, gibt es einen Trostpreis (Ereignis T). Wer den Hauptpreis bekommt, erhält keinen Trostpreis zusätzlich.
Material
a) Gib die Ergebnismenge Ω an und notiere die Ereignisse H und T in aufzählender Schreibweise.
Hilfe 1
Lies im Material jeden Weg vom Start bis zum Ende als Ergebnis aus zwei Buchstaben.
Hilfe 2
„Mindestens eine Drehung Blau“: Welche Fälle zählen alle dazu?
b) Gib an, bei welchen Ergebnissen ein Gast tatsächlich einen Trostpreis erhält, und drücke dieses Ereignis mit H und T aus.
Hilfe 1
Gibt es ein Ergebnis, das in H und in T liegt?
Hilfe 2
Was bekommt ein Gast mit diesem Ergebnis nach den Regeln?
Hilfe 3
„Trostpreis, aber kein Hauptpreis“: Welche Verknüpfung passt?
c) Bestimme, bei welchen Ergebnissen ein Gast leer ausgeht.
Hilfe 1
Leer ausgehen heißt: weder das eine noch das andere.
Hilfe 2
Welche Ergebnisse von Ω bleiben übrig, wenn du H und T streichst?
d) Die Klasse überlegt, die gelben Sektoren blau zu färben, sodass es nur noch rote und blaue Sektoren gibt. Untersuche, ob dann noch ein Gast leer ausgehen kann.
Hilfe 1
Wie sieht die Ergebnismenge mit nur zwei Farben aus?
Hilfe 2
Prüfe jedes Ergebnis einzeln auf Hauptpreis und Trostpreis.
Lösung zeigen
a) Ω aus dem Baum ablesen, dann zwei Ereignisse aus Sachbedingungen.
Ω = {RR; RG; RB; GR; GG; GB; BR; BG; BB}
H = {RR; GG; BB}
T = {RB; GB; BR; BG; BB}; „mindestens einmal Blau“ schließt BB ein.
b) Die letzte Regel in der Einleitung verändert das Ereignis T.
BB liegt in H und in T; dieser Gast bekommt nur den Hauptpreis.
Tatsächlich einen Trostpreis gibt es bei T ∩ H̄ = {RB; GB; BR; BG}.
c) Leer ausgehen: kein Preis, also außerhalb von H und T.
Leer geht aus, wer weder in H noch in T liegt: H̄ ∩ T̄ = {RG; GR}.
Das sind die Abläufe mit Rot und Gelb.
d) Neue Ergebnismenge, dieselben Regeln; dann Ergebnis für Ergebnis prüfen.
Mit nur Rot und Blau ist Ω = {RR; RB; BR; BB}.
RR und BB bringen den Hauptpreis, RB und BR enthalten Blau und bringen den Trostpreis.
Kein Ergebnis bleibt übrig: Niemand geht mehr leer aus. „Leer ausgehen“ ist dann das unmögliche Ereignis.
3.3Ticketverlosung
Ein Musikfestival hat 2500 Tickets mit den Nummern 1 bis 2500 verkauft; die Tickets mit den Nummern 1 bis 300 gingen im Vorverkauf weg. Am Abend wird ein Ticket zufällig gezogen und seine Nummer notiert. Betrachtet werden F: „Die Nummer ist durch 7 teilbar“ (dann gibt es ein Freigetränk) und V: „Das Ticket stammt aus dem Vorverkauf“.
a) Gib die Ergebnismenge Ω an und bestimme, wie viele Ergebnisse zum Ereignis F gehören.
Hilfe 1
F aufzuschreiben ist zu lang. Welche Rechnung zählt die Vielfachen von 7?
Hilfe 2
Das Ergebnis der Division ist keine ganze Zahl. Was bedeutet der Rest?
b) Bestimme, wie viele Ergebnisse zum Gegenereignis F̄ gehören.
Hilfe 1
F und F̄ teilen Ω ohne Überschneidung auf.
c) Beschreibe das Ereignis F ∩ V in Worten und bestimme, wie viele Ergebnisse zu ihm gehören.
Hilfe 1
„∩“ heißt: beide Bedingungen zugleich.
Hilfe 2
Welche Nummern kommen für V überhaupt infrage, und wie viele Vielfache von 7 liegen darunter?
d) Die Veranstalterin zieht die Anzahl aus c) von 300 ab. Gib an, welches Ereignis sie damit zählt, in Worten und mit F und V.
Hilfe 1
Wofür steht die Zahl 300?
Hilfe 2
Was bleibt von den Vorverkaufstickets übrig, wenn man die Tickets aus c) abzieht?
Lösung zeigen
a) Große Ergebnismenge: zählen statt aufschreiben; die Rundung steht nicht da.
Ω = {1; 2; 3; …; 2500}
2500 : 7 ≈ 357,1. Die Vielfachen von 7 sind 7, 14, …, 7 · 357 = 2499; 7 · 358 = 2506 liegt schon über 2500.
F hat 357 Ergebnisse.
b) Gegenereignis: der Rest von Ω.
F̄ hat 2500 − 357 = 2143 Ergebnisse.
c) Und-Ereignis deuten, dann wie in a) zählen, nur mit kleinerer Grenze.
F ∩ V: Das gezogene Ticket stammt aus dem Vorverkauf, und seine Nummer ist durch 7 teilbar.
300 : 7 ≈ 42,9; 7 · 42 = 294 ≤ 300, also gehören 42 Ergebnisse zu F ∩ V.
d) Eine Rechnung deuten: jede Zahl einem Ereignis zuordnen.
300 ist die Anzahl der Vorverkaufstickets, 42 die Anzahl der Vorverkaufstickets mit Freigetränk.
Gezählt werden die Vorverkaufstickets, deren Nummer nicht durch 7 teilbar ist: V ∩ F̄ mit 258 Ergebnissen.
3.4AG-Umfrage
Für die Schülerzeitung wird aus einer Jahrgangsstufe eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden T: „Die Person ist in der Theater-AG“ und B: „Die Person spielt in der Bigband“. In diesem Schuljahr kann eine Person in beiden AGs sein.
a) Beschreibe die folgenden Ereignisse in Worten, ohne Mengenzeichen zu benutzen. (1) T ∪ B (2) T ∩ B̄ (3) T̄ ∪ B̄
Hilfe 1
Lies jedes Zeichen vor: ∪ als „oder“, ∩ als „und“, den Querstrich als „nicht“.
Hilfe 2
Formuliere dann einen Satz, den jemand ohne Mengenlehre versteht.
b) Die Schülerzeitung fragt nach den Personen, die in genau einer der beiden AGs sind. Gib dieses Ereignis mit T und B an und begründe, warum T ∪ B dafür nicht passt.
Hilfe 1
„genau eine“: Welche zwei Fälle gibt es?
Hilfe 2
Schreibe jeden Fall als Und-Ereignis und verbinde die beiden.
Hilfe 3
Wer gehört zu T ∪ B, aber nicht zu „genau einer AG“?
c) Im nächsten Schuljahr proben Theater-AG und Bigband zur selben Zeit, sodass niemand mehr in beiden sein kann. Erläutere, was das für das Ereignis T ∩ B bedeutet, und begründe, dass T ∪ B dann genau die Personen enthält, die in genau einer AG sind.
Hilfe 1
Welche Personen gehören zu T ∩ B, wenn niemand in beiden sein kann?
Hilfe 2
Teile T ∪ B in drei Gruppen auf: nur T, nur B, beide.
Lösung zeigen
a) Richtung Zeichen → Sprache, wie im Abitur bei P(…).
(1) Die Person ist in der Theater-AG oder in der Bigband, auch in beiden.
(2) Die Person ist in der Theater-AG, aber nicht in der Bigband.
(3) Die Person ist in höchstens einer der beiden AGs, also nicht in beiden.
b) „genau eine“ ist das ausschließende Oder; das Zeichen ∪ allein schließt „beide“ ein.
Genau eine AG: (T ∩ B̄) ∪ (T̄ ∩ B).
T ∪ B enthält auch die Personen, die in beiden AGs sind. „Genau eine“ schließt diese aus.
c) Neue Sachbedingung: Aus „beides möglich“ wird „beides unmöglich“.
T ∩ B ist dann das unmögliche Ereignis, T ∩ B = ∅: T und B sind unvereinbar.
T ∪ B besteht aus den Personen nur in T, nur in B und in beiden. Die dritte Gruppe ist leer, also bleiben genau die Personen, die in genau einer AG sind.
3.5Tennisfinale
Im Finale der Schulmeisterschaft spielen Anna und Bea Tennis gegeneinander. Gespielt wird, bis eine von beiden zwei Sätze gewonnen hat; dann ist das Finale beendet. Notiert wird nacheinander, wer jeden Satz gewonnen hat, zum Beispiel ABA für: Anna gewinnt den ersten Satz, Bea den zweiten, Anna den dritten.
a) Gib die Ergebnismenge Ω dieses Zufallsversuchs an.
Hilfe 1
Zeichne einen Baum: Jede Stufe ist ein Satz.
Hilfe 2
Prüfe an jedem Knoten: Ist das Finale hier schon entschieden?
b) Notiere die Ereignisse D: „Anna gewinnt das Finale“ und E: „Es wird ein dritter Satz gespielt“ in aufzählender Schreibweise.
Hilfe 1
Anna gewinnt das Finale, wenn sie zwei Sätze gewonnen hat.
Hilfe 2
Ein dritter Satz: Woran erkennst du das am notierten Ergebnis?
c) Bestimme das Ereignis D ∩ Ē und beschreibe es im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Bilde zuerst Ē.
Hilfe 2
Welche Ergebnisse liegen in D und in Ē? Was ist dann im Finale passiert?
d) Ein Zuschauer sagt: „Es gibt acht mögliche Verläufe, denn jeder der drei Sätze hat zwei mögliche Sieger.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Werden immer drei Sätze gespielt?
Hilfe 2
Welche der acht Folgen aus drei Buchstaben können gar nicht vorkommen?
Lösung zeigen
a) Mehrstufiger Versuch, der vorzeitig enden kann; die Abbruchregel steht im Text.
Baum mit höchstens drei Stufen; nach AA und nach BB endet das Finale.
Ω = {AA; ABA; ABB; BAA; BAB; BB}
b) Zwei Ereignisse aus der Ergebnismenge aus a).
D = {AA; ABA; BAA}
E = {ABA; ABB; BAA; BAB}
c) Und-Ereignis bilden und als Spielverlauf deuten.
Ē = {AA; BB}; D ∩ Ē = {AA}
Anna gewinnt das Finale glatt in zwei Sätzen.
d) Eine Rechnung, die die Abbruchregel übersieht, beurteilen.
Die Aussage ist falsch. Nach AA oder BB ist das Finale entschieden, ein dritter Satz wird nicht gespielt.
Die Folgen AAA, AAB, BBA und BBB kommen deshalb nicht vor; an ihrer Stelle stehen AA und BB. Es gibt 6 Verläufe.
Acht Verläufe gäbe es nur, wenn immer alle drei Sätze gespielt würden.
Klausuraufgabe
4.1Spieleabend
Beim Spieleabend im Jugendzentrum wird „Plus oder Minus“ gespielt. Zuerst wird eine Drehscheibe mit den beiden gleich großen Feldern „+“ und „−“ einmal gedreht. Danach zieht man aus einem roten und aus einem blauen Kartenstapel je eine Karte; jeder Stapel besteht aus den Karten 1, 2 und 3.
Zeigt die Scheibe „+“, werden die beiden Kartenzahlen addiert. Zeigt sie „−“, wird die blaue Zahl von der roten abgezogen. Das Ergebnis ist der Spielwert. Notiert wird ein Ergebnis als (Feld; rote Zahl; blaue Zahl); zum Beispiel liefert (−; 1; 3) den Spielwert −2.
a) Bestimme, wie viele Ergebnisse das Spiel hat, und begründe deine Angabe.2 BE
Hilfe 1
Das Spiel besteht aus drei Schritten. Wie viele Ausgänge hat jeder?
Hilfe 2
Denke an einen Baum: Wie viele Enden hat er?
b) Gib alle Ergebnisse an, die den Spielwert 4 liefern.2 BE
Hilfe 1
Kann bei „−“ überhaupt 4 herauskommen?
Hilfe 2
Welche zwei Kartenzahlen ergeben zusammen 4?
c) Betrachtet werden die Ereignisse M: „Die Scheibe zeigt −“ und N: „Der Spielwert ist negativ“. Begründe, dass N eine Teilmenge von M ist, und gib N in aufzählender Schreibweise an.3 BE
Hilfe 1
Was ist der kleinste Spielwert bei „+“?
Hilfe 2
Bei „−“: Wann ist rot minus blau kleiner als null?
d) Beschreibe das Ereignis M ∩ N̄ im Sachzusammenhang und bestimme, wie viele Ergebnisse zu ihm gehören.3 BE
Hilfe 1
Lies N̄ zuerst in Worten: Was heißt „nicht negativ“?
Hilfe 2
Wie viele Ergebnisse hat M, und wie viele davon liegen in N?
e) Einen Preis gewinnt, wer den Spielwert 0 oder einen Spielwert größer als 4 erzielt. Ein Mitspieler sagt: „Wer einen Preis gewinnt, hat entweder ‚+‘ gedreht oder zwei gleiche Zahlen gezogen.“ Beurteile diese Aussage.4 BE
Hilfe 1
Notiere zuerst alle Ergebnisse, die einen Preis bringen.
Hilfe 2
Was verlangt „entweder … oder“ von jedem dieser Ergebnisse?
Hilfe 3
Prüfe jedes Gewinnergebnis einzeln.
Lösung zeigen
a) Dreistufiger Versuch: Anzahl über einen Baum oder über die Äste je Stufe.
Die Scheibe hat 2 Ausgänge, jeder Stapel 3. Im Baum gehen von jedem der 2 Knoten der ersten Stufe 3 Äste ab, von jedem der 6 Knoten der zweiten Stufe wieder 3.
Das Spiel hat 2 · 3 · 3 = 18 Ergebnisse.
b) Ergebnisse zu einer Bedingung suchen; ob beide Felder der Scheibe infrage kommen, steht nicht da.
Bei „−“ ist der Spielwert höchstens 3 − 1 = 2; der Spielwert 4 entsteht nur bei „+“.
(+; 1; 3), (+; 2; 2), (+; 3; 1)
c) „Teilmenge“: Jedes Ergebnis von N muss in M liegen.
Bei „+“ ist der Spielwert mindestens 1 + 1 = 2, also nie negativ. Jedes Ergebnis mit negativem Spielwert hat deshalb „−“: N ⊆ M.
Negativ wird der Wert, wenn die rote Zahl kleiner ist als die blaue:
N = {(−; 1; 2); (−; 1; 3); (−; 2; 3)}
d) Einen Ereignisterm mit Querstrich in Sprache übersetzen, dann zählen.
M ∩ N̄: Die Scheibe zeigt „−“, und der Spielwert ist nicht negativ, also 0 oder größer. Die rote Zahl ist mindestens so groß wie die blaue.
M hat 3 · 3 = 9 Ergebnisse, davon liegen 3 in N. M ∩ N̄ hat 9 − 3 = 6 Ergebnisse.
e) Erst das Gewinnereignis aufstellen, dann die Behauptung Ergebnis für Ergebnis prüfen; „entweder … oder“ schließt beides aus.
Spielwert 0 gibt es nur bei „−“ mit gleichen Zahlen: (−; 1; 1), (−; 2; 2), (−; 3; 3). Größer als 4 nur bei „+“: (+; 2; 3), (+; 3; 2), (+; 3; 3).
„entweder … oder“ heißt: genau eine der beiden Bedingungen trifft zu.
Bei (−; k; k) sind die Zahlen gleich, aber nicht „+“: passt. Bei (+; 2; 3) und (+; 3; 2) ist „+“ gedreht, die Zahlen sind verschieden: passt.
Bei (+; 3; 3) treffen beide Bedingungen zu. Die Aussage ist deshalb falsch; richtig wäre sie mit einem einschließenden „oder“.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Was du aus der Mittelstufe kennst“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.