Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Wie wahrscheinlich landet eine Reißzwecke mit der Spitze nach oben? Abzählen hilft nicht: Die beiden Lagen sind nicht gleichwertig. Also wirfst du sie oft und zählst. Aus den beobachteten Anteilen wird ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. In diesem Thema geht es um diesen Weg von den Daten zur Wahrscheinlichkeit und um die Regeln, mit denen du Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen berechnest.
2. Absolute und relative Häufigkeit
Ein Zufallsversuch wird n-mal durchgeführt. Die absolute Häufigkeit eines Ereignisses A ist die Anzahl der Versuche, bei denen A eingetreten ist. Die relative Häufigkeit h(A) ist der Anteil dieser Versuche an allen n Versuchen:
h(A) = Anzahl der Versuche mit An
Beispiel: 50 Würfe mit einer Reißzwecke
23-mal liegt die Spitze oben: absolute Häufigkeit 23
h(Spitze oben) = 2350 = 0,46
h(Spitze unten) = 2750 = 0,54 = 1 − 0,46
Eine relative Häufigkeit liegt immer zwischen 0 und 1. Die relativen Häufigkeiten aller Ergebnisse ergeben zusammen 1. Gruppen verschiedener Größe vergleichst du nur über relative Häufigkeiten, nie über Anzahlen.
✎ Mini-Aufgabe: Von 80 befragten Personen fahren 28 täglich mit dem Fahrrad. Berechne die relative Häufigkeit dafür und die relative Häufigkeit der übrigen Befragten.
Lösung zeigen
h(Rad) = 2880 = 0,35. Die übrigen: 5280 = 0,65, ebenso 1 − 0,35 = 0,65.
3. Das empirische Gesetz der großen Zahlen
Eine Klasse hat eine Reißzwecke 500-mal geworfen und nach einigen Würfen jeweils die relative Häufigkeit von „Spitze oben“ notiert. Bei wenigen Würfen springen die Werte stark: 0,6 nach 10 Würfen, 0,32 nach 25. Mit wachsender Zahl der Würfe schwanken sie immer weniger und bleiben nahe bei 0,4.
Das ist das empirische Gesetz der großen Zahlen: Wird ein Zufallsversuch sehr oft unter gleichen Bedingungen wiederholt, stabilisiert sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses. Den Wert, um den sie sich stabilisiert, nennt man die Wahrscheinlichkeit P(A). Eine relative Häufigkeit aus vielen Versuchen ist deshalb ein Schätzwert für P(A): P(Spitze oben) ≈ 0,4.
Reißzwecke, Spitze oben. Oben die relative Häufigkeit nach n Würfen, unten die absolute Häufigkeit. Gestrichelt: der Schätzwert 0,4 und die Anzahl 0,4 · n.
Stabil wird der Anteil, nicht die Anzahl. Der Abstand der Anzahl zu 0,4 · n wird nicht kleiner, er wächst eher. Und die Wahrscheinlichkeit ist kein Wert, den die relative Häufigkeit sicher erreicht: Auch nach 10 000 Würfen ist sie nur ein Schätzwert.
✎ Mini-Aufgabe: Nach 500 Würfen war h(Spitze oben) = 0,392. Wie oft lag die Spitze oben? Vergleiche den Abstand dieser Anzahl zu 0,4 · 500 mit dem Abstand nach 50 Würfen (23-mal oben) zu 0,4 · 50.
Lösung zeigen
0,392 · 500 = 196-mal. Abstand zu 200: 4. Nach 50 Würfen: 23 gegenüber 20, Abstand 3.
Die Anzahl entfernt sich also nicht weniger. Der Anteil schon: 4500 = 0,008 gegenüber 350 = 0,06.
4. Die Laplace-Annahme
Manchmal brauchst du keine Versuchsreihe. Sind alle Ergebnisse eines Versuchs gleich wahrscheinlich, etwa wegen Symmetrie (gleichmäßiger Spielwürfel) oder weil zufällig gelost wird (jedes Los, jede Person gleich wahrscheinlich), heißt der Versuch Laplace-Experiment. Dann gilt:
P(A) = Anzahl der Ergebnisse in AAnzahl aller Ergebnisse
Beispiel: gewöhnlicher Spielwürfel
Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, alle sechs Ergebnisse gleich wahrscheinlich
A: „Augenzahl größer als 4“ = {5; 6}
P(A) = 26 = 13
Zwei mögliche Ausgänge heißt nicht P = 12. Die Reißzwecke hat zwei Lagen, die Daten zeigen aber P(Spitze oben) ≈ 0,4. Bevor du abzählst, fragst du deshalb immer: Warum sollten alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein?
✎ Mini-Aufgabe: Eine Klasse hat 25 Schülerinnen und Schüler, 15 davon haben Geschwister. Für ein Interview wird eine Person ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat sie Geschwister? Warum darfst du hier abzählen?
Lösung zeigen
P(Geschwister) = 1525 = 0,6. Beim Losen hat jede der 25 Personen dieselbe Wahrscheinlichkeit, also liegt ein Laplace-Experiment vor.
5. Wahrscheinlichkeitsverteilung und Rechenregeln
Ordnest du jedem Ergebnis aus Ω eine Wahrscheinlichkeit zu, erhältst du eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1, und alle zusammen ergeben 1. Daraus folgen die Regeln:
Summenregel: P(A) ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, die zu A gehören.
Gegenereignis: P(Ā) = 1 − P(A). Das lohnt sich, wenn Ā weniger Ergebnisse hat als A.
Additionssatz: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Die Ergebnisse, die zu A und zu B gehören, würden sonst doppelt gezählt.
Können A und B nicht zusammen eintreten (A ∩ B = ∅), heißen sie unvereinbar. Dann ist P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
A tritt ein, B aber nicht: P(A ∩ B̄) = P(A) − P(A ∩ B).
✎ Mini-Aufgabe: Jemand gibt für Ω = {1; 2; 3} an: P(1) = 0,3, P(2) = 0,5, P(3) = 0,3. Kann das eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sein?
Lösung zeigen
Nein. 0,3 + 0,5 + 0,3 = 1,1. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse müssen zusammen genau 1 ergeben.
✎ Mini-Aufgabe: Für zwei Ereignisse gilt P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 und P(A ∪ B) = 0,7. Berechne P(A ∩ B). Sind A und B unvereinbar?
Lösung zeigen
0,7 = 0,5 + 0,4 − P(A ∩ B), also P(A ∩ B) = 0,2. Weil P(A ∩ B) nicht 0 ist, sind A und B nicht unvereinbar.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wie oft, Anzahl
absolute Häufigkeit
keine Wahrscheinlichkeit
Anteil, Quote, Rate (aus Daten)
relative Häufigkeit: Anzahl / n
n ist die Zahl aller Versuche der Gruppe
Wie wahrscheinlich …? (mit beobachteten Daten)
relative Häufigkeit als Schätzwert für P
gilt nur bei gleichen Bedingungen
ausgelost, zufällig gezogen, gleich große Felder
Laplace: günstige durch mögliche Ergebnisse
nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen
nicht, kein, mindestens ein
Gegenereignis, 1 − P
Gegenteil von „mindestens ein“ ist „kein“
A oder B, mindestens eines von beiden
A ∪ B, Additionssatz
„beides“ gehört dazu, nur einmal zählen
A und B, beides
A ∩ B
höchstens 2, mehr als 2, mindestens 2
Summenregel über die passenden Ergebnisse
Grenze prüfen: „mehr als 2“ ohne die 2
Mit wie vielen … ist bei n Versuchen zu rechnen?
n · P
nur ungefähr, die Anzahl schwankt
12 %
0,12
Prozent nur im Antwortsatz
7. Was nirgends steht
Ein Schätzwert aus Daten gilt nur, wenn die Bedingungen gleich bleiben und die beobachteten Fälle zur Frage passen.
Wie verlässlich ein Schätzwert ist, hängt von n ab. Aus 10 Versuchen lässt sich wenig schließen.
Laplace braucht einen Grund: Symmetrie oder Losen. Zwei Ausgänge heißt nicht 12.
Bei „oder“ ist „beides“ eingeschlossen. Wer die Anzahlen zweier Merkmale addiert, zählt die Überschneidung doppelt.
Fehlt in einer Verteilung ein Wert, ist er der Rest bis 1.
Eine Abweichung zwischen h(A) und P(A) ist bei kleinem n normal. Gegen das Modell spricht sie erst, wenn sie auch bei sehr vielen Versuchen bleibt.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Ein Verkehrsbetrieb hat an 250 Werktagen die Ankunft einer Buslinie an der Schule notiert: an 140 Tagen pünktlich, an 85 Tagen 1 bis 5 Minuten zu spät, an 25 Tagen mehr als 5 Minuten zu spät. Wie wahrscheinlich kommt der Bus an einem Werktag höchstens 5 Minuten zu spät?
Was ist gefragt? Eine Wahrscheinlichkeit, aber kein Laplace-Experiment. Ich nehme die relative Häufigkeit als Schätzwert.
Was steht nicht da? „Höchstens 5 Minuten zu spät“ schließt „pünktlich“ ein. Und der Schätzwert gilt nur, wenn die Bedingungen ähnlich bleiben, etwa keine Baustelle auf der Strecke.
Rechnen Gegenereignis: mehr als 5 Minuten zu spät, h = 25250 = 0,1. Also P(höchstens 5 Minuten zu spät) ≈ 1 − 0,1 = 0,9. Ebenso 140 + 85250 = 0,9.
Antwortsatz Der Bus kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,9 höchstens 5 Minuten zu spät, also an rund 90 % der Werktage.
Prüfen 225 von 250 Tagen, der Wert liegt zwischen 0 und 1, und beide Wege geben dasselbe. Das passt.
9. Typische Fehler
Anzahlen statt Anteile vergleichen, obwohl die Gruppen verschieden groß sind.
Durch die falsche Zahl teilen: n ist die Zahl aller Versuche, nicht die der Treffer.
Laplace ohne Grund: Ergebnisse als gleich wahrscheinlich behandeln, die es nicht sind.
Beim „oder“ die Überschneidung doppelt zählen.
Das Gegenereignis falsch bilden: Zu „mindestens ein“ gehört „kein“.
Eine relative Häufigkeit aus wenigen Versuchen für die Wahrscheinlichkeit halten.
Zwei Versuchsreihen verschiedener Länge zusammenfassen, indem man ihre relativen Häufigkeiten mittelt, statt die Anzahlen zu addieren.
Rechnen
2.1Verkehrszählung
An einer Ausfallstraße werden an einem Werktag von 7 bis 8 Uhr alle Fahrzeuge in Richtung Stadt gezählt: 102 Pkw, 27 Lieferwagen, 12 Lkw und 9 Busse. Andere Fahrzeuge fuhren in dieser Stunde nicht vorbei.
a) Berechne die relative Häufigkeit jeder Fahrzeugart.
Hilfe 1
Wie viele Fahrzeuge wurden insgesamt gezählt?
Hilfe 2
Teile jede Anzahl durch die Gesamtzahl.
Hilfe 3
Was muss herauskommen, wenn du alle Anteile addierst?
b) Gib die relative Häufigkeit der Fahrzeuge an, die keine Pkw sind.
Hilfe 1
Welche Fahrzeuge gehören zu „kein Pkw“?
Hilfe 2
Es gibt einen Weg mit einer einzigen Subtraktion.
Lösung zeigen
a) Anteile aus Anzahlen: Die Gesamtzahl steht nicht da, sie entsteht aus den Einzelzahlen.
Eine Hausarztpraxis vergibt jeden Vormittag gleich viele Termine. An 200 Vormittagen wurde notiert, wie viele angemeldete Patienten nicht erschienen sind: an 46 Vormittagen niemand, an 78 Vormittagen einer, an 50 Vormittagen zwei und an 26 Vormittagen drei. Mehr als drei fehlten nie.
a) Gib mithilfe der Daten Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Patienten an, die an einem Vormittag nicht erscheinen.
Hilfe 1
Welche Ergebnisse sind möglich?
Hilfe 2
Welche beobachtete Größe schätzt eine Wahrscheinlichkeit?
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Vormittag mindestens zwei Patienten nicht erscheinen, und die Wahrscheinlichkeit, dass überhaupt jemand nicht erscheint.
Hilfe 1
Schreibe zu jedem Ereignis die Ergebnisse auf, die dazugehören.
Hilfe 2
„überhaupt jemand“: Welches Ergebnis gehört nicht dazu?
Lösung zeigen
a) Aus beobachteten Daten werden Schätzwerte: je Ergebnis die relative Häufigkeit.
Bei der Tombola des Feuerwehrfests liegen 400 Lose in einer Trommel: 12 Hauptgewinne, 60 Kleingewinne, alle übrigen Lose sind Nieten. Jemand zieht ein Los, ohne hinzusehen.
a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit, mit diesem Los etwas zu gewinnen, 0,18 beträgt.
Hilfe 1
Warum darf man hier abzählen?
Hilfe 2
Welche Lose sind für „etwas gewinnen“ günstig?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, keinen Hauptgewinn zu ziehen.
Hilfe 1
Welches Ereignis ist das Gegenteil von „kein Hauptgewinn“?
Lösung zeigen
a) „Zeige“: Der Wert steht da, verlangt ist der vollständige Weg mit Begründung, warum Abzählen erlaubt ist.
Jedes der 400 Lose wird mit derselben Wahrscheinlichkeit gezogen (Laplace-Experiment).
Nach einer Umfrage gilt für einen zufällig ausgewählten Haushalt einer Stadt: Das Ereignis H „Im Haushalt lebt ein Hund“ hat die Wahrscheinlichkeit 0,2, das Ereignis K „Im Haushalt lebt eine Katze“ die Wahrscheinlichkeit 0,25. Mit der Wahrscheinlichkeit 0,38 lebt im Haushalt ein Hund oder eine Katze.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass in dem Haushalt ein Hund und eine Katze leben.
Hilfe 1
Welche Regel verbindet „oder“, die einzelnen Ereignisse und „und“?
Hilfe 2
Setze die bekannten Werte ein und löse nach dem Unbekannten auf.
b) Rechne mit P(H ∩ K) = 0,07 weiter. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass im Haushalt ein Hund, aber keine Katze lebt, und die Wahrscheinlichkeit, dass dort weder Hund noch Katze leben.
Hilfe 1
Die Haushalte mit Hund teilen sich auf: mit Katze und ohne Katze.
Hilfe 2
„weder … noch“ ist das Gegenteil von welchem Ereignis?
Lösung zeigen
a) „und“ ist gesucht, „oder“ ist gegeben: eine Regel rückwärts nutzen.
P(H ∪ K) = P(H) + P(K) − P(H ∩ K)
0,38 = 0,2 + 0,25 − P(H ∩ K) ⇔ P(H ∩ K) = 0,07
b) Zwei neue Ereignisse aus denselben Bausteinen: „nur Hund“ und „keins von beiden“.
Ein Zufallsversuch wird 60-mal durchgeführt. Das Ereignis A hat danach die relative Häufigkeit h(A) = 0,35.
a) Berechne, wie oft A eingetreten ist.
Hilfe 1
Wie hängen Anzahl, n und relative Häufigkeit zusammen?
b) Der Versuch wird noch 40-mal durchgeführt; dabei tritt A 19-mal ein. Berechne die relative Häufigkeit von A nach allen 100 Versuchen.
Hilfe 1
Wie oft trat A in allen Versuchen zusammen ein?
c) Bestimme, wie oft A in den 40 weiteren Versuchen hätte eintreten müssen, damit die relative Häufigkeit nach 100 Versuchen 0,5 beträgt.
Hilfe 1
Wie oft muss A nach 100 Versuchen insgesamt eingetreten sein?
Hilfe 2
Wie viele davon gab es schon?
Lösung zeigen
a) Relative Häufigkeit und n sind gegeben, gesucht ist die Anzahl.
0,35 · 60 = 21. A ist 21-mal eingetreten.
b) Neue relative Häufigkeit: alle Treffer durch alle Versuche.
21 + 19100 = 40100 = 0,4
c) Rückwärts: Aus der Ziel-Häufigkeit wird eine Ziel-Anzahl.
0,5 · 100 = 50 Versuche mit A insgesamt.
In den weiteren 40 Versuchen: 50 − 21 = 29-mal.
2.6Verteilung mit Parameter
Ein Zufallsversuch hat die Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4}. Es gilt P(1) = 0,1, P(2) = 2p, P(3) = 3p und P(4) = 0,3 mit einer Zahl p.
a) Bestimme p und gib P(2) und P(3) an.
Hilfe 1
Welche Eigenschaft hat jede Wahrscheinlichkeitsverteilung?
Hilfe 2
Stelle damit eine Gleichung für p auf.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis ungerade ist.
Hilfe 1
Welche Ergebnisse sind ungerade?
c) Nun ist P(4) unbekannt; P(1) = 0,1, P(2) = 2p und P(3) = 3p bleiben. Bestimme, welche Werte p annehmen kann.
Hilfe 1
Welche Werte darf eine Wahrscheinlichkeit annehmen?
Hilfe 2
Drücke P(4) durch p aus.
Hilfe 3
Welche Bedingung wird zuerst verletzt, wenn p wächst?
Lösung zeigen
a) Eine Unbekannte in einer Verteilung: Was gilt für alle Wahrscheinlichkeiten zusammen?
0,1 + 2p + 3p + 0,3 = 1 ⇔ 5p = 0,6 ⇔ p = 0,12
P(2) = 0,24; P(3) = 0,36
b) Ereignis in Worten: erst die Ergebnismenge, dann die Summenregel.
P({1; 3}) = 0,1 + 0,36 = 0,46
c) Keine Gleichung mehr, sondern Bedingungen an eine Verteilung.
Alle vier Wahrscheinlichkeiten ergeben 1: P(4) = 0,9 − 5p.
P(4) ≥ 0 ⇔ p ≤ 0,18; P(2) ≥ 0 und P(3) ≥ 0 ⇔ p ≥ 0
Also 0 ≤ p ≤ 0,18.
2.7Anzahlen am Graphen
Ein Zufallsversuch wird 400-mal durchgeführt. Die Abbildung zeigt nach jeweils 50 Versuchen, wie oft das Ereignis A bis dahin insgesamt eingetreten ist.
Abbildung
a) Bestimme die relative Häufigkeit von A nach 100 und nach 400 Versuchen.
Hilfe 1
Was ist auf der senkrechten Achse aufgetragen?
Hilfe 2
Teile die abgelesene Anzahl durch die Zahl der Versuche.
b) Bestimme die relative Häufigkeit von A in den Versuchen 201 bis 400.
Hilfe 1
Wie oft trat A bis Versuch 200 ein, wie oft bis Versuch 400?
Hilfe 2
Wie viele Versuche umfasst der Abschnitt?
c) Gib einen Schätzwert für P(A) an und begründe deine Wahl.
Hilfe 1
Welcher deiner Werte beruht auf den meisten Versuchen?
Lösung zeigen
a) Der Graph zeigt Anzahlen, gefragt sind Anteile.
Nach 100 Versuchen: 35-mal A, h(A) = 35100 = 0,35
Nach 400 Versuchen: 120-mal A, h(A) = 120400 = 0,3
b) Ein Abschnitt der Versuchsreihe: Anzahl und n gehören beide zu diesem Abschnitt.
In den Versuchen 201 bis 400 trat A 120 − 60 = 60-mal ein.
h(A) = 60200 = 0,3
c) Schätzwert: Welche Zahl beruht auf den meisten Versuchen?
P(A) ≈ 0,3. Diese relative Häufigkeit beruht auf allen 400 Versuchen, und auch die zweite Hälfte liefert 0,3.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Kronkorken wird auf den Tisch geworfen. Wie wahrscheinlich landet er mit der Öffnung nach oben? (2) In einem Flur stehen 30 Spinde, 6 davon haben ein defektes Schloss. Ein neuer Schüler bekommt einen der Spinde zugelost. Wie wahrscheinlich hat sein Spind ein defektes Schloss? (3) In einem Kino kaufen 40 % der Besucher Popcorn, 30 % Nachos und 10 % beides. Wie wahrscheinlich kauft ein zufällig ausgewählter Besucher mindestens eines davon?
Hilfe 1
Gibt es einen Grund, warum alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sein sollten?
Hilfe 2
Wenn nicht: Woher bekommt man trotzdem einen Wert?
Hilfe 3
Bei (3): Wer gehört zu beiden Gruppen?
b) Ein Fahrradverleih hat drei Lastenräder. An 120 Tagen wurde notiert, wie viele davon verliehen waren: an 18 Tagen keins, an 30 Tagen eins, an 42 Tagen zwei und an 30 Tagen alle drei. Wie wahrscheinlich steht an einem Tag der nächsten Saison mindestens ein Lastenrad ungenutzt im Hof? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist P(…). „Mindestens ein Rad steht im Hof“ heißt: … 2. Was nicht dasteht: Die relativen Häufigkeiten sind nur Schätzwerte; sie passen, wenn … 3. Rechnen: Gegenereignis: … ; P(…) ≈ 1 − … = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Wann steht kein Rad im Hof?
Hilfe 2
Woher kommt hier überhaupt eine Wahrscheinlichkeit?
Hilfe 3
Welches Ereignis hat weniger Ergebnisse: das gefragte oder sein Gegenteil?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen nach einer Wahrscheinlichkeit; die Frage ist jedes Mal, woher der Wert kommen kann.
(1) Gesucht ist P(Öffnung oben). Der Kronkorken ist nicht symmetrisch, die Laplace-Annahme passt nicht. Ansatz: oft werfen und die relative Häufigkeit als Schätzwert nehmen.
(2) Gesucht ist P(defektes Schloss). Beim Losen ist jeder Spind gleich wahrscheinlich. Ansatz: Laplace, günstige durch mögliche Ergebnisse.
(3) Gesucht ist P(Popcorn ∪ Nachos). Ansatz: Additionssatz, „beides“ einmal abziehen.
b) „mindestens ein Rad im Hof“ ist eine Aussage über die verliehenen Räder; die Daten liefern nur Schätzwerte.
1. Gefragt ist P(höchstens zwei Räder verliehen). „Mindestens ein Rad steht im Hof“ heißt: null, ein oder zwei Räder sind verliehen.
2. Die relativen Häufigkeiten passen, wenn die nächste Saison ähnlich verläuft wie die 120 beobachteten Tage (ähnliches Wetter, ähnlich viele Kunden).
3. Gegenereignis: alle drei Räder verliehen, h = 30120 = 0,25; P(mindestens ein Rad im Hof) ≈ 1 − 0,25 = 0,75. Ebenso 18 + 30 + 42120 = 90120 = 0,75.
4. An einem Tag der nächsten Saison steht mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 0,75 mindestens ein Lastenrad im Hof, also an rund drei von vier Tagen.
5. An 90 der 120 Tage war das so, und beide Wege geben denselben Wert. Das passt.
3.2Saftabfüllung
Eine Mosterei prüft an einem Tag 1600 abgefüllte Flaschen Apfelsaft. 56 Flaschen sind zu wenig gefüllt, 40 Flaschen haben ein schief aufgeklebtes Etikett, 12 Flaschen haben beide Mängel. Andere Mängel werden bei dieser Prüfung nicht erfasst.
a) Bestimme den Anteil der geprüften Flaschen mit mindestens einem Mangel.
Hilfe 1
Welche Flaschen werden doppelt gezählt, wenn du 56 und 40 addierst?
Hilfe 2
Zähle jede mangelhafte Flasche genau einmal.
b) Bestimme den Anteil der geprüften Flaschen, die richtig gefüllt sind, aber ein schiefes Etikett haben.
Hilfe 1
Die 40 Flaschen mit schiefem Etikett teilen sich in zwei Gruppen. Welche?
c) Der Betriebsleiter schreibt in seinen Bericht: „56 + 40 = 96 von 1600 Flaschen hatten einen Mangel, also sind 94 % unserer Flaschen einwandfrei.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Stimmt die Zahl 96?
Hilfe 2
Für welche Flaschen gilt der berechnete Anteil eigentlich?
Lösung zeigen
a) „mindestens ein Mangel“ heißt: der eine oder der andere oder beide. Die Überschneidung steht in der Einleitung.
Die 12 Flaschen mit beiden Mängeln stecken in beiden Anzahlen. Mit mindestens einem Mangel: 56 + 40 − 12 = 84 Flaschen.
h(mindestens ein Mangel) = 841600 = 0,0525
Ebenso mit dem Additionssatz: 0,035 + 0,025 − 0,0075 = 0,0525
b) Nur ein Mangel, der andere nicht: von einer Gruppe die Überschneidung abziehen.
40 − 12 = 28 Flaschen; 281600 = 0,0175
c) Eine Rechnung und eine Verallgemeinerung beurteilen: beide Schritte prüfen.
Die Rechnung zählt die 12 Flaschen mit beiden Mängeln doppelt. Richtig sind 84 Flaschen mit Mangel, also 1 − 0,0525 = 0,9475: Rund 94,75 % der geprüften Flaschen sind in Bezug auf die beiden geprüften Mängel einwandfrei.
„unserer Flaschen“ überträgt den Anteil auf die gesamte Abfüllung. Das ist als Schätzwert vertretbar, wenn der Prüftag ein gewöhnlicher Abfülltag war. Über andere Mängel sagt die Prüfung nichts.
3.3Kronkorken
In einem Physikkurs wirft Gruppe 1 einen Kronkorken 200-mal und notiert jedes Mal, ob er mit der Öffnung nach oben landet. Die Abbildung zeigt die relative Häufigkeit dieses Ergebnisses nach jeweils 20 Würfen.
Abbildung
a) Gib an, wie oft der Kronkorken bei den ersten 20 Würfen und bei allen 200 Würfen mit der Öffnung nach oben gelandet ist.
Hilfe 1
Was ist auf der senkrechten Achse aufgetragen?
Hilfe 2
Wie kommt man von einem Anteil zu einer Anzahl?
b) Beschreibe, wie sich die relative Häufigkeit mit wachsender Zahl der Würfe entwickelt.
Hilfe 1
Vergleiche die Punkte links mit den Punkten rechts.
Hilfe 2
Welche Erfahrung mit vielen Versuchen passt dazu?
c) Gruppe 2 hat denselben Kronkorken 380-mal geworfen; er landete 209-mal mit der Öffnung nach oben. Bestimme aus beiden Versuchsreihen zusammen einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass der Kronkorken mit der Öffnung nach oben landet.
Hilfe 1
Welche Reihe sollte stärker zählen?
Hilfe 2
Fasse beide Reihen zu einer einzigen Versuchsreihe zusammen.
d) Ein Schüler aus Gruppe 1 sagt: „Nach 200 Würfen kennen wir die Wahrscheinlichkeit genau: Sie ist 0,56.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Würde eine neue Reihe von 200 Würfen wieder genau 0,56 liefern?
Hilfe 2
Was sagt das empirische Gesetz der großen Zahlen, und was sagt es nicht?
Lösung zeigen
a) Der Graph zeigt Anteile, gefragt sind Anzahlen.
Nach 20 Würfen: h = 0,65, also 0,65 · 20 = 13-mal.
Nach 200 Würfen: h = 0,56, also 0,56 · 200 = 112-mal.
b) Beschreiben am Graphen: Wie stark schwanken die Werte am Anfang, wie stark am Ende?
Am Anfang schwankt die relative Häufigkeit stark, zwischen 0,5 und 0,65. Ab etwa 80 Würfen bleibt sie zwischen 0,55 und 0,58; die Schwankungen werden kleiner.
Die relative Häufigkeit stabilisiert sich, wie es das empirische Gesetz der großen Zahlen beschreibt.
c) Zwei Versuchsreihen verschiedener Länge zu einer zusammenfassen.
d) Was ist eine relative Häufigkeit, was eine Wahrscheinlichkeit? Die Daten der Gruppe 2 helfen.
Die Aussage ist falsch. 0,56 ist die relative Häufigkeit einer Versuchsreihe und damit ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit. Gruppe 2 kam mit demselben Kronkorken auf 209380 = 0,55.
Auch nach vielen Würfen schwankt die relative Häufigkeit noch etwas. Mit mehr Würfen wird der Schätzwert verlässlicher, genau wird er nie.
3.4Elfmeter
Eine Sportredaktion hat alle 200 Elfmeter einer Fußball-Saison ausgewertet. Aus Sicht des Schützen gingen 84 Schüsse in die linke Ecke, 30 in die Mitte und 86 in die rechte Ecke.
a) Gib Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten an, mit denen ein Elfmeter in dieser Saison nach links, in die Mitte und nach rechts geschossen wird.
Hilfe 1
Welche Größe aus den Daten schätzt eine Wahrscheinlichkeit?
b) Ein Kommentator sagt: „Der Schütze hat drei Möglichkeiten. Also geht ein Elfmeter mit der Wahrscheinlichkeit 13 in die Mitte.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wann darf man „günstige durch mögliche“ rechnen?
Hilfe 2
Wie viele Schüsse in die Mitte wären bei 13 zu erwarten gewesen?
c) Ein Spieler hat in dieser Saison 4 Elfmeter geschossen, 2 davon in die Mitte. Ein Reporter folgert: „Er schießt mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 in die Mitte.“ Beurteile diese Folgerung.
Hilfe 1
Was ändert sich an 0,5, wenn nur ein Schuss anders ausgegangen wäre?
Hilfe 2
Wovon hängt ab, wie verlässlich ein Schätzwert ist?
Lösung zeigen
a) Daten zu einer Saison: relative Häufigkeiten als Schätzwerte.
b) Hinter „drei Möglichkeiten, also 13“ steckt eine Annahme. Prüfe sie mit den Daten.
Die Aussage ist falsch. Sie setzt voraus, dass alle drei Richtungen gleich wahrscheinlich sind (Laplace-Annahme). Dafür gibt es keinen Grund: Schützen wählen ihre Richtung bewusst.
Die Daten widersprechen der Annahme: Nur 30 von 200 Elfmetern gingen in die Mitte, bei 13 wären etwa 67 zu erwarten. Der Schätzwert ist 0,15.
c) Wie viele Versuche stecken hinter der Zahl 0,5?
0,5 ist die relative Häufigkeit aus nur 4 Schüssen. Bei so wenigen Versuchen schwankt sie stark; ein Schuss mehr oder weniger in die Mitte ändert sie um 0,25.
Als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit taugt sie kaum. Die Folgerung ist nicht haltbar; man bräuchte deutlich mehr Elfmeter dieses Spielers.
3.5Rabatt-App
Ein Supermarkt bietet in seiner App ein Gewinnspiel an: Bei jeder Teilnahme erhält man mit der Wahrscheinlichkeit 112 einen Gutschein über 10 €, mit der Wahrscheinlichkeit 14 einen Gutschein über 2 € und sonst keinen Gutschein. So ist die App laut Hersteller programmiert.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, bei einer Teilnahme keinen Gutschein zu erhalten, und gib an, wie oft jedes der drei Ergebnisse bei 240 Teilnahmen ungefähr zu erwarten ist.
Hilfe 1
Was ergeben die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse zusammen?
Hilfe 2
Wie kommt man von einer Wahrscheinlichkeit zu einer ungefähren Anzahl?
b) Eine Filiale hat 240 Teilnahmen ausgewertet: 26-mal ein Gutschein über 10 €, 55-mal einer über 2 €, 159-mal kein Gutschein. Der Filialleiter meint: „Der 10-€-Gutschein kam viel zu oft. Die App ist falsch programmiert.“ Der Hersteller hat die App, so programmiert wie angegeben, am Computer 1000-mal je 240 Teilnahmen lang simuliert. In 102 der 1000 Durchgänge kam der 10-€-Gutschein 26-mal oder öfter. Beurteile die Aussage des Filialleiters.
Hilfe 1
Vergleiche die beobachteten Anzahlen mit denen aus a).
Hilfe 2
Was sagt die Simulation darüber, wie oft so viele 10-€-Gutscheine bei richtiger App vorkommen?
Hilfe 3
Was müsste man tun, um den Verdacht zu prüfen?
Lösung zeigen
a) Zwei Wahrscheinlichkeiten sind gegeben, die dritte ist der Rest; aus Wahrscheinlichkeiten werden ungefähre Anzahlen.
b) Beobachtung und Modell vergleichen: Wie groß ist die Abweichung, und wie oft kommt sie bei richtiger App vor? Das zeigt die Simulation.
h(10 €) = 26240 ≈ 0,108 gegenüber P(10 €) = 112 ≈ 0,083; das sind 6 Gutscheine mehr als die erwarteten 20.
Die Simulation zeigt: Auch bei richtig programmierter App kommt der 10-€-Gutschein in 102 von 1000 Durchgängen 26-mal oder öfter, also in etwa jedem zehnten. Eine solche Abweichung ist bei 240 Teilnahmen nicht ungewöhnlich. Bei 2 € (55 statt 60) und ohne Gutschein (159 statt 160) liegen die Anzahlen ebenfalls nahe an den erwarteten.
Die Daten belegen keine falsche Programmierung; die Aussage ist nicht haltbar. Ein sichereres Urteil erlauben erst deutlich mehr Teilnahmen.
Klausuraufgabe
4.1Fahrradkontrolle
Bei einer Verkehrssicherheitsaktion prüft die Polizei an einem Tag alle 240 Fahrräder, die an einer Schule abgestellt sind. Geprüft werden nur Beleuchtung und Bremsen; ein Fahrrad gilt als mängelbehaftet, wenn die Beleuchtung oder die Bremsen nicht in Ordnung sind. Im Kurzbericht steht: „Jedes fünfte Fahrrad hatte Mängel. Bei 30 Fahrrädern funktionierte die Beleuchtung nicht.“
a) Gib an, wie viele Fahrräder Mängel hatten, und berechne die relative Häufigkeit der Fahrräder mit defekter Beleuchtung.2 BE
Hilfe 1
Was heißt „jedes fünfte“ als Anteil?
Hilfe 2
Relative Häufigkeit: Bezug sind alle geprüften Fahrräder.
b) Im Kurzbericht fehlt, bei wie vielen Fahrrädern die Bremsen mangelhaft waren. Entscheide, ob diese Anzahl 12, 40 oder 50 sein kann.4 BE
Hilfe 1
Wie viele Fahrräder mit Mängeln haben eine funktionierende Beleuchtung?
Hilfe 2
Was passiert mit der Gesamtzahl, wenn Fahrräder mit defekter Beleuchtung auch schlechte Bremsen haben?
Hilfe 3
Prüfe jede der drei Zahlen einzeln.
c) Im ausführlichen Bericht steht, dass bei 25 Fahrrädern die Bremsen mangelhaft waren. Berechne den Anteil der geprüften Fahrräder, bei denen beide Mängel auftraten.2 BE
Hilfe 1
Um wie viel ist 30 + 25 größer als die Zahl der Fahrräder mit Mängeln, und warum?
d) Die Polizei hat die Ergebnisse nach Jahrgängen getrennt: Jahrgang 5 bis 7: 96 Fahrräder, davon 15 mit Mängeln; Jahrgang 8 bis 10: 84 Fahrräder, davon 21 mit Mängeln; Oberstufe: 60 Fahrräder, davon 12 mit Mängeln. Ein Elternvertreter sagt: „In den Jahrgängen 5 bis 7 sind die Fahrräder in schlechterem Zustand als in der Oberstufe, denn dort hatten mehr Fahrräder Mängel.“ Beurteile diese Aussage.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Fahrräder wurden in beiden Gruppen geprüft?
Hilfe 2
Womit vergleicht man Gruppen verschiedener Größe?
e) An einer anderen Schule sollen bei der nächsten Aktion 300 Fahrräder geprüft werden. Schätze, mit wie vielen mängelbehafteten Fahrrädern die Polizei rechnen kann, und erläutere, warum die tatsächliche Anzahl davon abweichen kann.3 BE
Hilfe 1
Welcher Anteil aus dieser Schule ist ein Schätzwert?
Hilfe 2
Was müsste an der anderen Schule ähnlich sein?
Lösung zeigen
a) Aus der Zeitungssprache „jedes fünfte“ eine Anzahl machen.
Jedes fünfte von 240 Fahrrädern: 2405 = 48 Fahrräder mit Mängeln.
h(Beleuchtung defekt) = 30240 = 0,125
b) Zwei Mängel, eine Gesamtzahl: Manche Fahrräder können beide Mängel haben.
Jedes Fahrrad mit Mängeln hat defekte Beleuchtung oder mangelhafte Bremsen oder beides. Für die Anzahl b der Fahrräder mit mangelhaften Bremsen und die Anzahl d der Fahrräder mit beiden Mängeln gilt 48 = 30 + b − d, also b = 18 + d.
Dabei ist 0 ≤ d ≤ 30. Also liegt b zwischen 18 und 48.
12: nicht möglich, dann hätten höchstens 30 + 12 = 42 Fahrräder Mängel.
40: möglich, wenn 22 Fahrräder beide Mängel haben.
50: nicht möglich, dann hätten mehr als 48 Fahrräder Mängel.
c) Gesamtzahl und beide Einzelzahlen sind bekannt; gesucht ist die Überschneidung.
Beide Mängel: 30 + 25 − 48 = 7 Fahrräder.
Anteil: 7240 ≈ 0,029
d) Zwei Gruppen verschiedener Größe werden über Anzahlen verglichen.
Der Vergleich der Anzahlen trägt nicht, weil in den Jahrgängen 5 bis 7 mehr Fahrräder geprüft wurden. Zu vergleichen sind die relativen Häufigkeiten.
In der Oberstufe hatte ein größerer Anteil der Fahrräder Mängel. Die Aussage ist falsch.
e) Von einer Schule auf eine andere schließen: Schätzwert, Anzahl und die Grenzen des Schlusses.
Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Fahrrad Mängel hat: 48240 = 0,2.
0,2 · 300 = 60: Die Polizei kann mit etwa 60 mängelbehafteten Fahrrädern rechnen.
Die tatsächliche Anzahl schwankt zufällig um diesen Wert. Außerdem gilt der Schätzwert nur, wenn die Fahrräder an der anderen Schule ähnlich gepflegt sind; dass sich die Anteile schon zwischen den Jahrgängen unterscheiden, zeigt, wie stark sie von der Gruppe abhängen.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Was du aus der Mittelstufe kennst“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.