Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Viele Zufallsversuche laufen in Stufen ab: zwei Kugeln nacheinander ziehen, drei Tage auf das Wetter warten, drei Samen in ein Loch legen. Jede Stufe ist ein Teilversuch. Das Baumdiagramm ordnet alle Ausgänge: Jede Stufe ist eine Verzweigung, an jedem Zweig steht seine Wahrscheinlichkeit. Ein Pfad führt vom Anfang bis ganz nach rechts und gehört zu genau einem Ergebnis, zum Beispiel rb für „erst rot, dann blau“.
Zwei Regeln reichen für das ganze Thema: Längs eines Pfades wird multipliziert, verschiedene Pfade werden addiert.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Versuch hat drei Stufen mit je zwei Ausgängen. Wie viele Pfade hat der vollständige Baum? Wie viele wären es bei vier Stufen?
Lösung zeigen
Jede Stufe verdoppelt die Zahl der Pfade: 2 · 2 · 2 = 8 Pfade bei drei Stufen, 16 bei vier Stufen.
2. Baumdiagramm und 1. Pfadregel
In einer Urne liegen 5 Kugeln, 3 rote (r) und 2 blaue (b). Es wird zweimal gezogen, die erste Kugel wird vor dem zweiten Zug zurückgelegt. Bei jedem Zug ist P(r) = 35 = 0,6 und P(b) = 25 = 0,4.
P(Ergebnis) = Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten längs des Pfades (1. Pfadregel)
Beispiel: zweimal ziehen mit Zurücklegen
P(rr) = 0,6 · 0,6 = 0,36 P(rb) = 0,6 · 0,4 = 0,24
P(br) = 0,4 · 0,6 = 0,24 P(bb) = 0,4 · 0,4 = 0,16
Probe: 0,36 + 0,24 + 0,24 + 0,16 = 1
Warum multiplizieren? Von 100 Versuchen enden etwa 60 nach dem ersten Zug bei rot. Von diesen 60 gehen etwa 40 % zu blau weiter, das sind 24 von 100, also 0,24.
An jeder Verzweigung ergeben die Zweige zusammen 1, und alle Pfade des ganzen Baumes ergeben zusammen 1. Diese Probe findet die meisten Fehler beim Beschriften.
3. Mit und ohne Zurücklegen
Ohne Zurücklegen fehlt beim zweiten Zug eine Kugel. Der Nenner sinkt um 1, der Zähler nur bei der Farbe, die gezogen wurde. War die erste Kugel rot, liegen noch 2 rote und 2 blaue in der Urne; war sie blau, noch 3 rote und 1 blaue.
Oben mit Zurücklegen, unten ohne Zurücklegen. Die erste Stufe ist gleich, nur die zweite ändert sich. Rechts neben jedem Pfad steht seine Wahrscheinlichkeit.
Beispiel: zweimal ziehen ohne Zurücklegen
P(rr) = 35 · 24 = 0,3 P(rb) = 35 · 24 = 0,3
P(br) = 25 · 34 = 0,3 P(bb) = 25 · 14 = 0,1
Zweimal blau ist ohne Zurücklegen seltener (0,1 statt 0,16), weil eine blaue Kugel schon fehlt.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme für das Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln blau ist.
Lösung zeigen
Dazu gehören zwei Pfade, rb und br: P = 0,3 + 0,3 = 0,6.
4. Die 2. Pfadregel
P(Ereignis) = Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Pfade (2. Pfadregel)
Ein Ereignis gehört meist zu mehreren Pfaden. Die Wörter „genau“, „mindestens“ und „höchstens“ sagen dir, welche Pfade du einsammelst. Für das Ziehen mit Zurücklegen:
genau einmal rot: rb und br, also 0,24 + 0,24 = 0,48
mindestens einmal rot: rr, rb und br, also 0,36 + 0,24 + 0,24 = 0,84
höchstens einmal rot: rb, br und bb, also 0,24 + 0,24 + 0,16 = 0,64
Bei „mindestens einmal“ ist das Gegenereignis fast immer kürzer: Nur der Pfad bb enthält kein Rot.
Bei vielen Stufen zeichnest du nicht alles. Zwei Dinge sparen Arbeit: Ausgänge, die für die Frage dasselbe bedeuten, fasst du zu einem Zweig zusammen. Und du zeichnest nur die Pfade, die du brauchst.
Beispiel: dreimal ziehen mit Zurücklegen, mindestens einmal blau
Kein Blau gibt es nur auf dem Pfad rrr: P(rrr) = 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216
P(mindestens einmal blau) = 1 − 0,216 = 0,784
✎ Mini-Aufgabe: Es wird wieder dreimal mit Zurücklegen gezogen. Welche Pfade gehören zu „genau einmal blau“, und wie wahrscheinlich ist das?
Lösung zeigen
Drei Pfade: brr, rbr und rrb. Jeder hat 0,4 · 0,6 · 0,6 = 0,144.
P(genau einmal blau) = 3 · 0,144 = 0,432
6. Lohnt sich ein Spiel auf lange Sicht?
Ob sich ein Spiel lohnt, entscheidet sich nicht im einzelnen Spiel, sondern bei sehr vielen. Dort liegt der Anteil der Gewinne nahe an der Wahrscheinlichkeit (empirisches Gesetz der großen Zahlen).
Beispiel: ein Spiel mit der Urne
Einsatz 1 €. Zwei Kugeln ohne Zurücklegen; zwei blaue bringen 8 € Auszahlung.
P(bb) = 25 · 14 = 0,1
Bei 100 Spielen: 100 € Einsatz, etwa 10 Gewinne mit zusammen 80 € Auszahlung.
Auf lange Sicht verliert der Spieler etwa 20 Cent je Spiel.
✎ Mini-Aufgabe: Bei welcher Auszahlung kämen Einsätze und Auszahlungen auf lange Sicht etwa gleich heraus?
Lösung zeigen
Bei 100 Spielen gibt es etwa 10 Gewinne. Zusammen sollen sie 100 € bringen, also 10 € Auszahlung je Gewinn.
Die Aussage gilt für sehr viele Spiele. Ein einzelnes Spiel oder zehn Spiele können ganz anders ausgehen.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
nacheinander ausgelost, beiseitegelegt, gegessen, ohne Zurücklegen
zweite Stufe aus einer kleineren Menge
Nenner sinkt, Zähler nur bei der gezogenen Sorte
wird zurückgelegt, unabhängig voneinander, jedes Mal gleich
jede Stufe trägt dieselben Zweige
Unabhängigkeit ist eine Annahme über die Sache
genau einer, genau eine
mehrere Pfade
rb und br sind zwei verschiedene Pfade
mindestens einer, wenigstens einer
alle Pfade außer dem ohne Treffer
Gegenereignis: 1 − P(kein Treffer)
höchstens zwei (bei drei Stufen)
alle Pfade außer dem mit drei Treffern
Gegenereignis: 1 − P(drei Treffer)
beide gleich, dieselbe Farbe
Summe der Pfade mit gleichen Ausgängen
jede Farbe einzeln einsammeln
am dritten Tag, beim letzten Zug
alle Pfade, die dort so enden
was vorher passiert, ist offen
lohnt sich auf lange Sicht
Einsätze und Auszahlungen bei vielen Spielen vergleichen
keine Aussage über ein einzelnes Spiel
8. Was nirgends steht
Ob zurückgelegt wird, steht oft nur in der Sache: Wer eine Person auslost, lost sie nicht zweimal aus.
„Genau einer“ hat bei zwei Stufen zwei Pfade, bei drei Stufen drei. Nach der Reihenfolge fragt niemand, im Baum gibt es sie trotzdem.
Hängt die zweite Stufe vom Ausgang der ersten ab, stehen an den Zweigen der zweiten Stufe verschiedene Zahlen.
Ein Ereignis am Ende (am dritten Tag, beim letzten Zug) sammelt Pfade mit jedem möglichen Anfang ein.
Gleiche Zweige in jeder Stufe setzen voraus, dass sich die Stufen nicht beeinflussen. Das ist eine Annahme über die Sache.
9. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Bei der theoretischen Führerscheinprüfung bestehen 70 % im ersten Versuch. Wer durchfällt, macht einen zweiten Versuch und besteht ihn mit 80 %. Wie wahrscheinlich besteht jemand in höchstens zwei Versuchen?
Was ist gefragt? Die Wahrscheinlichkeit, im ersten oder im zweiten Versuch zu bestehen.
Was steht nicht da? Wer im ersten Versuch besteht, macht keinen zweiten. Der Baum hat deshalb nur nach „durchgefallen“ eine zweite Stufe. Zum Ereignis gehören zwei Pfade: „bestanden“ und „durchgefallen, dann bestanden“.
Rechnen P = 0,7 + 0,3 · 0,8 = 0,7 + 0,24 = 0,94
Antwortsatz 94 % bestehen die theoretische Prüfung in höchstens zwei Versuchen.
Prüfen Über das Gegenereignis: Zweimal durchfallen hat 0,3 · 0,2 = 0,06, und 1 − 0,06 = 0,94. Das passt.
10. Typische Fehler
Längs eines Pfades addiert statt multipliziert. Bei zwei Stufen kommt dann oft mehr als 1 heraus.
Ohne Zurücklegen die zweite Stufe wie die erste beschriftet.
Bei „genau einmal“ nur einen Pfad genommen: rb ohne br.
Bei „mindestens einmal“ den Pfad mit zwei Treffern vergessen. Sicherer ist das Gegenereignis.
Die Probe ausgelassen: Alle Pfade zusammen müssen 1 ergeben.
Die Zahl ohne Satz stehen lassen. In Sachaufgaben gehört zum Wert, was er bedeutet.
Rechnen
2.1Baum ergänzen
Ein zweistufiger Zufallsversuch hat in jeder Stufe die Ausgänge G und N. Das Material zeigt das Baumdiagramm; drei Zweigwahrscheinlichkeiten fehlen.
Material
a) Gib die fehlenden Wahrscheinlichkeiten an.
Hilfe 1
Was gilt für alle Zweige, die von derselben Verzweigung ausgehen?
Hilfe 2
Ergänze jede Verzweigung zu 1.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der vier Ergebnisse GG, GN, NG und NN.
Hilfe 1
Ein Ergebnis ist ein Pfad. Was machst du mit den Zahlen längs des Pfades?
Hilfe 2
Zur Kontrolle: Wie groß muss die Summe der vier Werte sein?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse „genau einmal G“ und „mindestens einmal G“.
Hilfe 1
Schreibe zu jedem Ereignis die Ergebnisse auf, die dazugehören.
Hilfe 2
Bei „mindestens einmal“: Welches Ergebnis gehört nicht dazu?
Lösung zeigen
a) Fehlende Zweige: An jeder Verzweigung ergeben die Zweige zusammen 1.
Erste Stufe: P(N) = 1 − 0,3 = 0,7.
Nach G: N mit 1 − 0,6 = 0,4. Nach N: N mit 1 − 0,2 = 0,8.
b) Ein Ergebnis ist genau ein Pfad: Zweige längs des Pfades multiplizieren.
Ein Basketballspieler wirft drei Freiwürfe. Seine Trefferquote ist bei jedem Wurf gleich, die Würfe beeinflussen sich nicht. Die Wahrscheinlichkeit, dass er alle drei Würfe verfehlt, beträgt 0,027.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens einmal trifft.
Hilfe 1
Was ist das Gegenereignis von „mindestens einmal treffen“?
b) Bestimme seine Trefferquote.
Hilfe 1
Der Pfad „dreimal verfehlt“ besteht aus drei gleichen Zweigen.
Hilfe 2
Welche Zahl ergibt mit sich selbst dreimal multipliziert 0,027?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zweimal trifft.
Hilfe 1
Schreibe alle Ergebnisse mit genau zwei Treffern als Buchstabenfolgen auf.
Hilfe 2
Haben diese Pfade dieselbe Wahrscheinlichkeit?
Lösung zeigen
a) „mindestens einmal“ ist das Gegenereignis des gegebenen Wertes.
P(mindestens ein Treffer) = 1 − 0,027 = 0,973
b) Rückwärts: Aus der Pfadwahrscheinlichkeit auf den Zweig schließen.
Für die Wahrscheinlichkeit q eines Fehlwurfs gilt q³ = 0,027, also q = 0,3.
Die Trefferquote beträgt 1 − 0,3 = 0,7, also 70 %.
c) „genau zweimal“ bei drei Stufen: mehrere Pfade, je ein Fehlwurf an anderer Stelle.
Zu genau zwei Treffern gehören drei Pfade: TTF, TFT und FTT (T: Treffer, F: Fehlwurf).
Jeder hat die Wahrscheinlichkeit 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,147.
P(genau zwei Treffer) = 3 · 0,147 = 0,441
2.4Gleiche Farben
Ein Glücksrad hat drei Sektoren: Rot erscheint mit der Wahrscheinlichkeit 12, Gelb mit 13 und Blau mit 16. Es wird zweimal gedreht. Zeige, dass beide Drehungen mit der Wahrscheinlichkeit 718 dieselbe Farbe ergeben.
Hilfe 1
Jede Stufe hat drei Zweige. Welche Pfade gehören zu „dieselbe Farbe“?
Hilfe 2
Bringe die Brüche auf den Nenner 36.
Lösung zeigen
„Zeigen“: alle Pfade des Ereignisses aufschreiben und die Rechnung vollständig bis 718 führen.
Zu „dieselbe Farbe“ gehören drei Pfade: RR, GG und BB (R: Rot, G: Gelb, B: Blau).
Ein Glücksrad zeigt bei jeder Drehung mit der Wahrscheinlichkeit p „Gewinn“. Es wird zweimal gedreht. Die Wahrscheinlichkeit, dass keine der beiden Drehungen „Gewinn“ zeigt, beträgt 0,64.
a) Bestimme p.
Hilfe 1
Welche Wahrscheinlichkeit steht an den Zweigen „kein Gewinn“?
Hilfe 2
Stelle für den Pfad „zweimal kein Gewinn“ eine Gleichung in p auf.
b) Gib einen Term in p für die Wahrscheinlichkeit an, dass genau eine Drehung „Gewinn“ zeigt, und berechne seinen Wert.
Hilfe 1
Wie viele Pfade gehören zu „genau einmal Gewinn“?
Hilfe 2
Schreibe jeden Pfad als Produkt mit p und 1 − p.
Lösung zeigen
a) Mit Parameter: Pfadregel als Gleichung aufstellen und nach p lösen.
(1 − p) · (1 − p) = 0,64 ⇔ 1 − p = 0,8 (1 − p ist nicht negativ) ⇔ p = 0,2
b) Term mit Parameter: Pfade wie gewohnt, nur mit p statt einer Zahl.
P(genau einmal Gewinn) = p · (1 − p) + (1 − p) · p = 2 · p · (1 − p) = 2 · 0,2 · 0,8 = 0,32
Probe: 0,04 + 0,32 + 0,64 = 1
2.6Teebeutel
In einer Dose liegen 6 Teebeutel: 4 Pfefferminz (P) und 2 Kamille (K). Zwei Beutel werden nacheinander zufällig herausgenommen. Das Material zeigt das Baumdiagramm.
Material
a) Begründe anhand des Baumdiagramms, dass der erste Beutel nicht zurückgelegt wird.
Hilfe 1
Vergleiche die Nenner der ersten und der zweiten Stufe.
b) Beschreibe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term 46 · 25 + 26 · 45 berechnet wird, und berechne den Wert.
Hilfe 1
Zu welchen Pfaden gehören die beiden Produkte?
Hilfe 2
Was haben die beiden Pfade gemeinsam? Beschreibe das in Worten über die Teebeutel.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Kamillenbeutel herausgenommen wird.
Hilfe 1
Welcher Pfad enthält keinen Kamillenbeutel?
Lösung zeigen
a) Am Baum ablesen: Nenner und Zweige der zweiten Stufe verraten die Ziehungsart.
In der zweiten Stufe stehen Fünftel statt Sechstel: Es liegen nur noch 5 Beutel in der Dose. Außerdem hängen die Zweige vom ersten Griff ab (P mit 35 nach P, mit 45 nach K).
b) Term in Worte übersetzen: Jedes Produkt ist ein Pfad, die Summe ist das Ereignis.
Der Term addiert die Pfade PK und KP. Ereignis: Die beiden Beutel haben verschiedene Sorten, also genau ein Beutel ist Kamille.
46 · 25 + 26 · 45 = 830 + 830 = 1630 = 815
c) „mindestens ein“: Gegenereignis ist der Pfad PP.
Gegenereignis: P(PP) = 46 · 35 = 1230 = 25.
P(mindestens ein Kamillenbeutel) = 1 − 25 = 35
2.7Drei Stufen
Ein Zufallsversuch besteht aus drei Stufen. In jeder Stufe tritt T mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 ein, sonst N. Die Stufen beeinflussen sich nicht.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zweimal T eintritt.
Hilfe 1
Wie viele der acht Ergebnisse gehören nicht zu „höchstens zweimal T“?
b) Gib alle Ergebnisse an, bei denen genau einmal T eintritt, und berechne die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses.
Hilfe 1
An welcher Stelle kann das eine T stehen?
Hilfe 2
Ein reduzierter Baum mit nur diesen Pfaden genügt.
Lösung zeigen
a) „höchstens zweimal“ von drei: Nur ein Ergebnis fehlt, also über das Gegenereignis.
Nur TTT gehört nicht dazu: P(TTT) = 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,001.
P(höchstens zweimal T) = 1 − 0,001 = 0,999
b) „genau einmal“ bei drei Stufen: drei Pfade mit gleicher Wahrscheinlichkeit.
TNN, NTN und NNT, jedes mit 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081.
P(genau einmal T) = 3 · 0,081 = 0,243
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, welche Pfade gesucht sind und wie du rechnen würdest. Rechne nicht. (1) Die beiden Notausgänge einer Sporthalle klemmen unabhängig voneinander, Tür 1 mit der Wahrscheinlichkeit 0,1, Tür 2 mit 0,05. Wie wahrscheinlich klemmt mindestens eine Tür? (2) Zwei Freundinnen kaufen je ein Rubbellos; jedes gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,2. Wie wahrscheinlich gewinnt genau eine von beiden? (3) Aus einem Kurs mit 12 Schülerinnen und 10 Schülern werden zwei Personen für den Tafeldienst ausgelost. Wie wahrscheinlich sind es zwei Schülerinnen?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ein Pfad oder mehrere? Und ändert sich die zweite Stufe?
Hilfe 2
„mindestens“: Welcher Pfad gehört nicht dazu?
Hilfe 3
Kann dieselbe Person zweimal für den Tafeldienst gezogen werden?
b) Jonas zieht morgens im Dunkeln zwei einzelne Socken aus seiner Schublade. Darin liegen 8 einzelne Socken, 5 schwarze und 3 graue. Wie wahrscheinlich hat er zwei Socken derselben Farbe? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit der Pfade … 2. Was nicht dasteht: Die erste Socke …, deshalb … 3. Rechnen: P = … · … + … · … = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„dieselbe Farbe“: Wie viele Farben gibt es, und wie viele Pfade gehören deshalb dazu?
Hilfe 2
Liegt die erste Socke beim zweiten Griff noch in der Schublade?
Hilfe 3
Zur Probe: Welches Ereignis bleibt übrig?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Gegenereignis, zwei Pfade addieren, ein Pfad ohne Zurücklegen.
(1) Alle Pfade außer „beide Türen gehen auf“. Über das Gegenereignis: 1 − 0,9 · 0,95.
(2) Zwei Pfade, die eine gewinnt und die andere nicht oder umgekehrt: 0,2 · 0,8 + 0,8 · 0,2.
(3) Ein Pfad, aber ohne Zurücklegen, denn niemand wird zweimal ausgelost: 1222 · 1121.
b) „dieselbe Farbe“ sind zwei Pfade; dass ohne Zurücklegen gezogen wird, steht nur in der Sache.
1. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit der Pfade ss (zweimal schwarz) und gg (zweimal grau).
2. Die erste Socke liegt nicht mehr in der Schublade, deshalb kommt die zweite aus 7 Socken, und ihre Zweige hängen von der ersten Farbe ab.
4. Mit etwa 46 % zieht Jonas zwei Socken derselben Farbe.
5. Verschiedene Farben: 58 · 37 + 38 · 57 = 3056, und 2656 + 3056 = 1. Das passt.
3.2Kursfahrt an die Nordsee
Ein Kurs fährt drei Tage an die Nordsee. Für das Wetter nutzt die Kursleitung ein einfaches Modell: Auf einen sonnigen Tag (S) folgt mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 wieder ein sonniger Tag, auf einen Regentag (R) folgt mit der Wahrscheinlichkeit 0,6 wieder ein Regentag. Der Anreisetag (Tag 1) ist sonnig. Das Material zeigt das Baumdiagramm für Tag 2 und Tag 3; an drei Zweigen fehlt die Wahrscheinlichkeit.
Material: Tag 2 und Tag 3
a) Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten und berechne die Wahrscheinlichkeiten der vier Pfade.
Hilfe 1
Von welchem Wetter geht der Zweig aus, und was sagt das Modell für den nächsten Tag?
Hilfe 2
An jeder Verzweigung ergeben die Zweige 1.
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es am Abreisetag (Tag 3) regnet.
Hilfe 1
Welche Pfade enden mit R?
Hilfe 2
Das Wetter an Tag 2 ist offen.
c) An Tag 2 oder Tag 3 soll eine Wattwanderung stattfinden. Sie fällt aus, wenn es an beiden Tagen regnet. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass die Wattwanderung stattfinden kann.
Hilfe 1
Auf welchem Pfad fällt die Wanderung aus?
d) Ein Schüler meint: „Tag 1 ist sonnig, und auf Sonne folgt Regen mit 0,3. Also regnet es an Tag 3 mit der Wahrscheinlichkeit 0,3.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Für welchen Tag gilt der Wert 0,3 aus dem Modell?
Hilfe 2
Was ändert sich, wenn Tag 2 verregnet ist?
Lösung zeigen
a) Zweige aus dem Text in den Baum übersetzen: Die zweite Stufe hängt vom Wetter an Tag 2 ab.
Tag 2: P(R) = 0,3. Nach S folgt S mit 0,7, nach R folgt S mit 1 − 0,6 = 0,4.
b) Ein Ereignis am letzten Tag: alle Pfade, die mit R enden, egal wie Tag 2 war.
Regen an Tag 3 gehört zu den Pfaden SR und RR: 0,21 + 0,18 = 0,39.
Mit 39 % regnet es am Abreisetag.
c) Sie findet statt, wenn mindestens ein Tag sonnig ist: Gegenereignis RR.
Die Wanderung fällt nur auf dem Pfad RR aus: 1 − 0,18 = 0,82.
Mit 82 % kann die Wattwanderung stattfinden.
d) Eine Aussage über Tag 3 prüfen: Der Übergang 0,3 gilt nur für den Tag direkt nach einem sonnigen Tag.
Die Aussage ist falsch. Der Wert 0,3 gilt nur für den Tag direkt nach einem sonnigen Tag, also für Tag 2.
Tag 2 kann schon verregnet sein, und nach einem Regentag regnet es mit 0,6. Der Pfad RR erhöht die Wahrscheinlichkeit: Regen an Tag 3 hat 0,39, nicht 0,3.
3.3Entenangeln
An einer Kirmesbude schwimmen 20 Plastikenten, 5 davon haben unten einen Stern. Bei einem Spiel angelt man nacheinander zwei Enten; die erste bleibt bis zum Spielende draußen. Zwei Sterne bringen einen großen Preis, genau ein Stern einen kleinen Preis. Ein Spiel kostet 2 €. Der Betreiber kauft einen großen Preis für 6 € und einen kleinen für 1 € ein. Nach jedem Spiel kommen beide Enten zurück ins Becken.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeiten, mit denen ein Spiel einen großen und einen kleinen Preis bringt.
Hilfe 1
Wie viele Enten und wie viele Sterne sind beim zweiten Angeln noch im Becken?
Hilfe 2
Zu welchen Pfaden gehört der kleine Preis?
b) Ermittle, mit welchem Gewinn der Betreiber bei 1000 Spielen ungefähr rechnen kann.
Hilfe 1
Wie viele große und wie viele kleine Preise sind bei 1000 Spielen zu erwarten?
Hilfe 2
Was nimmt der Betreiber ein, und was kosten ihn die Preise?
c) Der Betreiber überlegt, die erste Ente sofort zurückzusetzen, bevor die zweite geangelt wird. Untersuche, ob er dann auf lange Sicht mehr oder weniger für Preise ausgibt.
Hilfe 1
Wie lauten die Zweige der zweiten Stufe, wenn die erste Ente zurückkommt?
Hilfe 2
Vergleiche die Kosten für Preise je Spiel.
Lösung zeigen
a) Zwei Stufen ohne Zurücklegen; der kleine Preis hat zwei Pfade.
Kosten je Spiel: 0,0625 · 6 € + 0,375 · 1 € = 0,75 €. Bisher: 710,5 € für 1000 Spiele, also rund 0,71 € je Spiel.
Mit Zurücksetzen gibt er auf lange Sicht etwa 4 Cent je Spiel mehr aus, weil zwei Sterne häufiger werden.
3.4Bohnen säen
Ein Kleingärtner legt Bohnensamen in Pflanzlöcher. Laut Packung keimt ein Samen mit der Wahrscheinlichkeit 0,8. Er legt drei Samen in jedes Loch und rechnet damit, dass die Samen unabhängig voneinander keimen. Ein Loch bleibt leer, wenn keiner der Samen keimt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Loch nicht leer bleibt.
Hilfe 1
Auf welchem Pfad bleibt das Loch leer?
b) Seine Nachbarin sagt: „Mit drei Samen ist die Chance auf eine Pflanze dreimal so groß wie mit einem.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was käme heraus, wenn man 0,8 verdreifacht?
Hilfe 2
Wann hilft der zweite Samen überhaupt?
c) Bestimme, wie viele Samen er mindestens in jedes Loch legen muss, damit ein Loch mit mindestens 99,9 % Wahrscheinlichkeit nicht leer bleibt.
Hilfe 1
Schreibe die Wahrscheinlichkeit für „nicht leer“ bei n Samen als Term.
Hilfe 2
Probiere n = 4, 5, … aus.
d) Erläutere, warum die Annahme der Unabhängigkeit im Garten nicht erfüllt sein könnte, und was das für die Zahl der leeren Löcher bedeutet.
Hilfe 1
Was haben die drei Samen im selben Loch gemeinsam?
Lösung zeigen
a) „nicht leer“ heißt mindestens ein Samen keimt: Gegenereignis ist ein einziger Pfad.
Leer bleibt das Loch nur, wenn kein Samen keimt: 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008.
P(nicht leer) = 1 − 0,008 = 0,992
b) Eine Behauptung über Wahrscheinlichkeiten prüfen: Werte über 1 sind unmöglich.
Die Aussage ist falsch. Dreimal 0,8 wäre 2,4, eine Wahrscheinlichkeit ist aber höchstens 1.
Die Chance steigt von 0,8 auf 0,992. Die weiteren Samen helfen nur, wenn die anderen nicht keimen.
c) Rückwärts: die kleinste Anzahl Stufen, bei der das Gegenereignis klein genug wird.
Gesucht ist die kleinste Anzahl n mit 1 − 0,2n ≥ 0,999, also 0,2n ≤ 0,001.
n = 4: 0,24 = 0,0016 > 0,001. n = 5: 0,25 = 0,00032 ≤ 0,001.
Er muss mindestens 5 Samen in jedes Loch legen.
d) Eine Annahme an der Sache messen: Samen im selben Loch teilen Boden und Wasser.
Die Samen eines Lochs liegen im selben Boden und bekommen dasselbe Wasser. Ist ein Loch zu trocken oder zu nass, keimen oft alle nicht.
Dann bleiben mehr Löcher leer, als die Rechnung mit 0,008 angibt.
Klausuraufgabe
4.1Eisdiele
Eine Eisdiele verkauft Eis im Becher oder in der Waffel. 70 % der Kunden nehmen einen Becher. Von den Becherkunden bestellen 40 % Sahne dazu, von den Waffelkunden 10 %. Betrachtet werden die Ereignisse
B: Der Kunde nimmt einen Becher.
S: Der Kunde bestellt Sahne.
a) Stelle den Sachzusammenhang in einem Baumdiagramm dar.3 BE
Hilfe 1
Was wird zuerst entschieden, was danach?
Hilfe 2
Die 40 % und die 10 % gehören an verschiedene Zweige der zweiten Stufe.
b) Beschreibe die Bedeutung von P(B ∩ S̄) im Sachzusammenhang und berechne diesen Wert.3 BE
Hilfe 1
Was bedeuten ∩ und der Querstrich über S in Worten?
Hilfe 2
Welcher Pfad gehört dazu?
c) Zeige, dass insgesamt 31 % der Kunden Sahne bestellen.2 BE
Hilfe 1
Auf welchen Pfaden wird Sahne bestellt?
d) Zwei Kunden bestellen nacheinander, unabhängig voneinander. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer der beiden Sahne bestellt.3 BE
Hilfe 1
Welche Wahrscheinlichkeit für Sahne hat ein Kunde, wenn man nicht weiß, wie er sein Eis nimmt?
Hilfe 2
Zeichne einen neuen Baum mit zwei Stufen: erster Kunde, zweiter Kunde.
e) An einem Aktionstag haben die Kunden die Wahl. Variante 1: Sie zahlen 8 % weniger. Variante 2: Sie drehen zweimal ein Glücksrad, dessen Sektor „gratis“ ein Viertel des Rades einnimmt. Zeigt es beide Male „gratis“, ist das Eis kostenlos, sonst zahlen sie den vollen Preis. Untersuche, welche Variante für die Kunden auf lange Sicht günstiger ist.3 BE
Hilfe 1
Wie wahrscheinlich ist bei Variante 2 ein kostenloses Eis?
Hilfe 2
Wie viel Prozent des Preises spart ein Kunde bei vielen Eisen mit Variante 2?
Lösung zeigen
a) Anteile in einen Baum übersetzen: erste Stufe B oder B̄, zweite Stufe S oder S̄, mit verschiedenen Zahlen je nach erster Stufe.
Erste Stufe: B mit 0,7, B̄ mit 0,3. Nach B: S mit 0,4, S̄ mit 0,6. Nach B̄: S mit 0,1, S̄ mit 0,9.
e) Langfristig vergleichen: Die Gratis-Wahrscheinlichkeit ist der Anteil, der bei vielen Käufen gespart wird.
Variante 2: Das Eis ist nur auf dem Pfad „gratis, gratis“ kostenlos, P = 14 · 14 = 116 = 0,0625.
Bei vielen Eisen spart ein Kunde mit Variante 2 also etwa 6,25 % des Preises, mit Variante 1 jedes Mal 8 %.
Auf lange Sicht ist Variante 1 für die Kunden günstiger.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Was du aus der Mittelstufe kennst“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.