Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Manche Wahrscheinlichkeiten kannst du ausrechnen: Laplace-Regel, Pfadregeln am Baumdiagramm. Bei anderen Fragen kommst du so nicht weiter. Ein Bäcker legt jeder Brötchentüte einen von vier Kühlschrankmagneten bei, alle vier gleich häufig. Wie wahrscheinlich ist es, dass du nach sechs Tüten alle vier Magnete hast? Der Baum dazu hätte 4096 Pfade.
Dann spielst du den Vorgang nach, nicht in echt, sondern mit einem Zufallsgerät, das dieselben Wahrscheinlichkeiten hat: Würfel, Münze, Urne, Zufallsziffern oder die Zufallsfunktion eines Rechners. Das heißt Simulation. Du führst sie oft durch und zählst, in wie vielen Durchgängen das Ereignis eingetreten ist.
h(E) = k : n ≈ P(E) k: Durchgänge mit E, n: alle Durchgänge
Die relative Häufigkeit ist ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, nicht die Wahrscheinlichkeit selbst. Dass der Schätzwert mit wachsendem n besser wird, sagt das empirische Gesetz der großen Zahlen. Eine zweite Simulation liefert einen anderen Wert.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Vorgang wurde 250-mal simuliert; in 96 Durchgängen trat E ein. Berechne die relative Häufigkeit. Wofür ist sie ein Schätzwert?
Lösung zeigen
h(E) = 96 : 250 = 0,384. Das ist ein Schätzwert für P(E), die Wahrscheinlichkeit, dass E bei einem einzelnen echten Vorgang eintritt.
2. Zufallsgerät und Zuordnungsregel
Das Gerät muss die Wahrscheinlichkeit der Wirklichkeit genau treffen. Eine Münze liefert 12, ein Würfel Vielfache von 16, eine einzelne Zufallsziffer Zehntel (jede der Ziffern 0 bis 9 hat die Wahrscheinlichkeit 0,1), ein Block aus zwei Ziffern Hundertstel (00 bis 99). Die Zuordnungsregel legt fest, welches Ergebnis des Geräts für welches Ereignis steht. Jedes Ergebnis gehört zu genau einem Ereignis oder wird ausdrücklich verworfen.
Wahrscheinlichkeit
Gerät
Zuordnung für einen Treffer
0,5
Münze oder Ziffer
Kopf; oder gerade Ziffer
16
Würfel
Augenzahl 6
0,3
Zufallsziffer
Ziffern 0, 1, 2
0,35
zwei Ziffern als Block
Blöcke 00 bis 34
13
Zufallsziffer mit Verwerfen
1, 2, 3 Treffer; 4 bis 9 Niete; 0 verworfen
Drei von zehn Ziffern sind 0,3, nicht 0,25. Für 0,25 brauchst du Blöcke (00 bis 24) oder eine Regel mit Verwerfen (zwei von acht gültigen Ziffern).
✎ Mini-Aufgabe: Ein Spiel gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit 13. Gib zwei verschiedene Geräte mit Zuordnungsregel an.
Lösung zeigen
Würfel: Augenzahl 1 oder 2 ist Gewinn (2 von 6).
Zufallsziffern: 1, 2, 3 Gewinn, 4 bis 9 kein Gewinn, 0 wird verworfen (3 von 9 gültigen Ziffern).
3. Zufallsziffern: verwerfen und Blöcke bilden
Eine Tabelle von Zufallsziffern druckt die Ziffern in Fünfergruppen. Du legst vorher fest, wo du anfängst, und liest dann fortlaufend weiter. Passt die Zahl der Ausgänge nicht zu zehn Ziffern, werden die übrigen Ziffern verworfen: Sie zählen nicht als Versuch.
Beispiel: Würfelwürfe, Ziffern 1 bis 6 gelten
Ziffern: 0 3 1 8 6 2 6 5 9 6 9 3
Wurf: – 3 1 – 6 2 6 5 – 6 – 3
Zwölf Ziffern ergeben acht Würfe. Im Nenner steht später 8, nicht 12.
Beispiel: Treffer mit p = 0,35, Blöcke aus zwei Ziffern
Blöcke: 65 46 29 31 95
Treffer: nein nein ja ja nein
Statt einer Tabelle kannst du die Zufallsfunktion eines Taschenrechners oder einer Tabellenkalkulation nehmen, die ganze Zahlen in einem Bereich liefert, etwa von 1 bis 6. Zuordnen, Verwerfen und Auswerten funktionieren genauso; der Rechner nimmt dir nur die vielen Durchgänge ab.
✎ Mini-Aufgabe: Lies 4 0 7 9 3 1 6 2 8 5 als Würfelwürfe (1 bis 6 gelten). Welche Würfe ergeben sich?
Lösung zeigen
4, 3, 1, 6, 2, 5. Die Ziffern 0, 7, 9 und 8 werden verworfen; aus zehn Ziffern werden sechs Würfe.
4. Mit und ohne Zurücklegen
Beim Würfeln, beim Münzwurf oder bei Stichproben aus einer sehr großen Menge ändert sich von Versuch zu Versuch nichts: mit Zurücklegen, jede gültige Ziffer zählt, auch wenn sie sich wiederholt. Beim Losen, Verteilen oder Ziehen von Karten kann dieselbe Nummer in einem Durchgang nur einmal vorkommen: ohne Zurücklegen. Dann gilt eine zweite Regel: Eine Nummer, die im laufenden Durchgang schon gezogen wurde, wird übersprungen.
Beispiel: drei von acht Karten ohne Zurücklegen, Ziffern 1 bis 8
Ziffern: 0 8 2 8 5
Karte: verworfen 8 2 übersprungen 5
Gezogen: Karten 8, 2 und 5. Mit Zurücklegen hätten dieselben Ziffern 8, 2, 8 ergeben.
✎ Mini-Aufgabe: Aus einer Urne mit sechs nummerierten Kugeln werden zwei ohne Zurücklegen gezogen. Lies 7 3 0 3 5.
Lösung zeigen
7 und 0 sind keine Kugelnummern, die zweite 3 wird übersprungen. Gezogen werden die Kugeln 3 und 5.
5. Simulationen am Diagramm auswerten
Oben: 1000 simulierte Durchgänge zum Magnet-Beispiel, wie viele Tüten man braucht, bis alle vier Magnete da sind (13 Durchgänge mit mehr als 20 Tüten fehlen im Bild). Markiert sind höchstens sechs Tüten. Unten: die relative Häufigkeit für „höchstens sechs Tüten“ nach jeweils n Durchgängen derselben Simulation; gestrichelt der genaue Wert 0,381.
Im oberen Bild gehört zu jeder Säule die relative Häufigkeit einer Anzahl. Wahrscheinlichkeiten für „höchstens“ oder „mindestens“ schätzt du, indem du Säulen addierst. Im unteren Bild siehst du das Gesetz der großen Zahlen: Die Werte schwanken anfangs stark, später weniger, aber sie treffen 0,381 nie genau, und auch nach 900 Durchgängen kann der Wert noch einmal wegspringen.
✎ Mini-Aufgabe: Schätze mit dem oberen Bild die Wahrscheinlichkeit, dass sechs Tüten für alle vier Magnete reichen.
Lösung zeigen
Säulen 4, 5 und 6 addieren: 0,116 + 0,132 + 0,147 = 0,395. Schätzwert also etwa 0,4; der genaue Wert ist 0,381.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
„simuliere mit Zufallsziffern“, „Beschreibe eine Simulation“
Zuordnungsregel und Ende eines Durchgangs festlegen
Verworfene Ziffern ausdrücklich nennen
„jede zehnte“, „15 %“, „mit der Wahrscheinlichkeit 0,35“
„aus der laufenden Produktion“, „unabhängig voneinander“
mit Zurücklegen
Wiederholungen zählen mit
„so lange, bis …“, „höchstens sechsmal“
Durchgang endet beim Ereignis oder an der Grenze
Durchgänge sind verschieden lang
„schätzen Sie“, „näherungsweise“
relative Häufigkeit aus der Simulation
Nenner: Durchgänge, nicht Ziffern
„vergleichen Sie mit dem berechneten Wert“
Rechnung mit Pfadregeln, dann Abstand
Abweichung ist normal; ihre Größe hängt von n ab
7. Was nirgends steht
Was ein Durchgang ist, musst du oft selbst festlegen: eine Ziffer, ein Block, drei Ziffern für drei Ampeln, alle Ziffern bis zum ersten Treffer.
Verworfene Ziffern sind kein Versuch. Sie fehlen im Zähler und im Nenner.
Bei „ohne Zurücklegen“ ist die letzte Nummer oft schon festgelegt: Sind von fünf Losen vier gezogen, bleibt für die fünfte Person nur das übrige.
Die Simulation setzt voraus, dass die Versuche unabhängig sind und p gleich bleibt. Ob das in der Sache stimmt, ist eine eigene Frage.
Die Startstelle wird vorher festgelegt. Wer so lange neu anfängt, bis das Ergebnis passt, hat nichts simuliert.
8. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Magnete in der Brötchentüte: Jede Tüte enthält einen von vier Magneten A, B, C, D, alle gleich wahrscheinlich. Wie wahrscheinlich reichen sechs Tüten für alle vier? Simuliert wird mit diesen Ziffern: 06573 13085 60738 88067 73625 44214 57787 81944.
Was ist gefragt? Die Wahrscheinlichkeit, dass unter sechs Tüten alle vier Magnete vorkommen.
Was steht nicht da? Vier gleich wahrscheinliche Magnete brauchen eine Regel mit gleich vielen Ziffern je Magnet: 1, 2 für A; 3, 4 für B; 5, 6 für C; 7, 8 für D; 0 und 9 werden verworfen. Ein Durchgang sind sechs gültige Ziffern.
Rechnen Durchgang 1: C C D B A B, vollständig. Durchgang 2: D C C D B D, A fehlt. Durchgang 3: D D C D D B, A fehlt. Durchgang 4: C A C B B A, D fehlt. Durchgang 5: A B C D D D, vollständig. Also h = 2 : 5 = 0,4.
Antwortsatz Nach dieser kleinen Simulation reichen sechs Tüten in etwa 40 % der Fälle für alle vier Magnete.
Prüfen Fünf Durchgänge sind viel zu wenige; der Wert ist nur ein grober Anhalt. Die große Simulation im Diagramm oben liefert 0,395, der genaue Wert ist 0,381. Die Größenordnung passt.
9. Typische Fehler
Die Zuordnung passt nicht zur Wahrscheinlichkeit: drei Ziffern für 0,25, eine Ziffer für 0,15.
Verworfene Ziffern werden im Nenner mitgezählt.
Bei „ohne Zurücklegen“ bleiben Wiederholungen stehen; dann zieht dieselbe Person zweimal.
Das Ende eines Durchgangs ist unklar, und die Ziffern rutschen in den nächsten Durchgang.
Das Ergebnis einer kleinen Simulation wird für die Wahrscheinlichkeit gehalten.
Rechnen
2.1Schätzwert
Ein Zufallsversuch wurde 400-mal simuliert. In 138 Durchgängen trat das Ereignis E ein.
a) Bestimme einen Schätzwert für P(E).
Hilfe 1
Welche Größe aus einer Simulation schätzt eine Wahrscheinlichkeit?
Hilfe 2
Durchgänge mit E durch alle Durchgänge.
b) Der berechnete Wert ist P(E) = 0,36. Gib die Abweichung an und beurteile, ob die Simulation damit fehlerhaft ist.
Hilfe 1
Bilde den Abstand der beiden Werte.
Hilfe 2
Liefert eine korrekte Simulation immer genau die Wahrscheinlichkeit?
Lösung zeigen
a) „Schätzwert für P(E)“ aus einer Simulation: die relative Häufigkeit.
h(E) = 138 : 400 = 0,345, also P(E) ≈ 0,345.
b) Abweichung angeben und einordnen: Simulationen streuen.
Abweichung: 0,36 − 0,345 = 0,015.
Die Simulation ist deshalb nicht fehlerhaft. Eine relative Häufigkeit schwankt um die Wahrscheinlichkeit; bei 400 Durchgängen ist eine Abweichung in der zweiten Nachkommastelle normal.
2.2Zuordnungsregeln
Simuliert wird mit Zufallsziffern. Gib jeweils eine Zuordnungsregel an und nenne die Ziffern oder Blöcke, die verworfen werden.
a) Treffer mit der Wahrscheinlichkeit 0,7
Hilfe 1
Wie viele der zehn Ziffern braucht ein Anteil von sieben Zehnteln?
b) Treffer mit der Wahrscheinlichkeit 13
Hilfe 1
13 ist kein Vielfaches von 0,1. Wie viele Ziffern müssten gültig sein, damit ein Drittel davon Treffer sind?
c) Treffer mit der Wahrscheinlichkeit 0,08
Hilfe 1
Wie viele Nachkommastellen hat 0,08?
Hilfe 2
Wie viele gleich wahrscheinliche Blöcke gibt es bei zwei Ziffern?
d) Ziehen einer von zwölf gleich wahrscheinlichen Karten
Hilfe 1
Zwölf Ausgänge: Reicht eine Ziffer?
Hilfe 2
Welche Blöcke lassen sich den Kartennummern direkt zuordnen?
Lösung zeigen
a) Eine Nachkommastelle: eine Ziffer reicht.
Ziffern 0 bis 6 Treffer, 7 bis 9 Niete; nichts wird verworfen.
b) Drittel passen nicht zu zehn Ziffern: verwerfen.
Ziffern 1, 2, 3 Treffer, 4 bis 9 Niete, 0 wird verworfen (3 von 9 gültigen Ziffern).
Ebenso richtig: 1, 2 Treffer, 3 bis 6 Niete, 0, 7, 8, 9 verworfen.
c) Zwei Nachkommastellen: Blöcke aus zwei Ziffern.
Blöcke 00 bis 07 Treffer, 08 bis 99 Niete; nichts wird verworfen.
d) Mehr als zehn Ausgänge: Blöcke, und die übrigen verwerfen.
Blöcke 01 bis 12 sind die Kartennummern; 00 und 13 bis 99 werden verworfen.
2.3Würfelwürfe aus Ziffern
Für die Simulation von Würfelwürfen gelten die Ziffern 1 bis 6 als Augenzahl. Das Material enthält einen Ausschnitt aus einer Tabelle von Zufallsziffern.
1
2
3
4
Ziffern
94580
73021
57368
19303
Material
a) Bestimme die ersten acht simulierten Augenzahlen und gib an, wie viele Ziffern du dafür lesen musstest.
Hilfe 1
Was geschieht mit Ziffern, die keine Augenzahl sein können?
Hilfe 2
Gehe Ziffer für Ziffer vor und schreibe unter jede Ziffer den Wurf oder einen Strich.
b) Berechne den Anteil gerader Augenzahlen unter diesen acht Würfen und vergleiche ihn mit der Wahrscheinlichkeit für eine gerade Augenzahl.
Hilfe 1
Welche Würfe zählen im Nenner?
Hilfe 2
Wie wahrscheinlich ist eine gerade Augenzahl bei einem echten Würfel?
Lösung zeigen
a) Nur 1 bis 6 sind Würfe; 0, 7, 8, 9 werden übersprungen.
Augenzahlen: 4, 5, 3, 2, 1, 5, 3, 6. Dafür waren 14 Ziffern nötig.
b) Nenner sind die Würfe, nicht die gelesenen Ziffern.
Gerade sind 4, 2 und 6: h = 3 : 8 = 0,375.
Die Wahrscheinlichkeit ist 3 : 6 = 0,5. Bei nur acht Würfen ist diese Abweichung nicht auffällig.
2.4Blöcke aus zwei Ziffern
Mit Zufallsziffern wird ein Treffer mit der Wahrscheinlichkeit 0,35 simuliert. Jeder Durchgang ist ein Block aus zwei Ziffern.
1
2
3
4
Ziffern
89632
24729
91680
33060
Material
a) Gib an, welche Blöcke für einen Treffer stehen, und bestimme die Anzahl der Treffer unter den zehn Blöcken im Material.
Hilfe 1
Wie viele der hundert Blöcke 00 bis 99 brauchst du für 0,35?
Hilfe 2
Teile die 20 Ziffern ohne Rücksicht auf die Fünfergruppen in Paare.
b) Die Simulation wurde fortgesetzt. Nach 200 Blöcken waren es insgesamt 64 Treffer. Bestimme damit einen Schätzwert für die Trefferwahrscheinlichkeit und vergleiche ihn mit 0,35.
Hilfe 1
Rechne mit den angegebenen Zahlen weiter, nicht mit deinem Ergebnis aus a).
Hilfe 2
Wie groß ist der Abstand zu 0,35?
Lösung zeigen
a) 0,35 hat zwei Nachkommastellen: 35 der 100 Blöcke.
Treffer: Blöcke 00 bis 34.
Blöcke: 89, 63, 22, 47, 29, 91, 68, 03, 30, 60. Treffer sind 22, 29, 03 und 30, also 4 Treffer.
b) Mit dem gegebenen Zwischenstand weiterrechnen: neue relative Häufigkeit, dann Vergleich.
h = 64 : 200 = 0,32.
Der Schätzwert liegt 0,03 unter 0,35. Nach 200 Durchgängen ist das eine übliche Schwankung.
2.5Drei Gewinnlose
Aus neun Losen mit den Nummern 1 bis 9 werden nacheinander drei verschiedene Gewinnlose gezogen. Die Ziffern 1 bis 9 stehen für die Losnummern.
1
2
Zeile 1
70173
76137
Zeile 2
03887
53015
Material
a) Ermittle mit Zeile 1 die drei Gewinnlose der ersten Ziehung und mit Zeile 2 die der zweiten Ziehung. Notiere zu jeder übersprungenen Ziffer den Grund.
Hilfe 1
„drei verschiedene“: Was gilt für ein Los, das schon gezogen wurde?
Hilfe 2
Es gibt zwei Gründe, eine Ziffer zu überspringen.
b) Gib an, welche drei Nummern Zeile 1 ergäbe, wenn mit Zurücklegen gezogen würde.
Hilfe 1
Welche der beiden Regeln zum Überspringen fällt mit Zurücklegen weg?
Lösung zeigen
a) Ohne Zurücklegen: 0 ist kein Los, und eine schon gezogene Nummer wird übersprungen.
b) Wahrscheinlichkeit der Regel, nicht Anteil in diesen elf Ziffern.
3 von 8 gültigen Ziffern: p = 3 : 8 = 0,375.
2.8Wie viele Trefferziffern?
Bei einer Simulation stehen k der zehn Ziffern für einen Treffer, die übrigen für eine Niete. In 500 Durchgängen gab es 148 Treffer.
a) Bestimme den Wert von k, der zu diesem Ergebnis am besten passt.
Hilfe 1
Welche Wahrscheinlichkeit simuliert eine Regel mit k Trefferziffern?
Hilfe 2
Vergleiche diese Wahrscheinlichkeit mit der relativen Häufigkeit.
b) Begründe, warum k damit nicht sicher feststeht.
Hilfe 1
Könnte eine Regel mit k = 2 oder k = 4 dasselbe Ergebnis liefern?
Lösung zeigen
a) Rückwärts von der relativen Häufigkeit zur Regel: p = k : 10.
h = 148 : 500 = 0,296. Eine Regel mit k Trefferziffern simuliert p = k : 10.
Am nächsten liegt 0,3, also k = 3.
b) Ein Simulationsergebnis ist zufällig.
148 Treffer sind auch mit einer anderen Regel möglich, nur sehr viel unwahrscheinlicher. Die Simulation liefert einen Schätzwert, keinen Beweis.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
1
2
3
4
5
6
Ziffern
83521
90625
77996
89949
12361
94200
Material zu b)
a) Notiere zu jeder Situation nur, was ein Durchgang ist und wie du Zufallsziffern zuordnest. Simuliere nicht. (1) Bei einem Gewinnspiel einer Zeitschrift gewinnt jede zwanzigste Einsendung. Simuliert werden soll, ob eine Einsendung gewinnt. (2) Ein Kind würfelt bei einem Spiel so lange, bis eine Sechs fällt. Simuliert werden soll, wie viele Würfe es braucht. (3) Aus den 25 Mitgliedern eines Kurses werden zwei verschiedene Personen für die Wahlaufsicht ausgelost. Simuliert werden soll, wer ausgelost wird.
Hilfe 1
Bei jeder Situation: Welche Wahrscheinlichkeit oder wie viele Ausgänge? Reicht eine Ziffer?
Hilfe 2
Wann ist ein Durchgang zu Ende?
Hilfe 3
In (3): Darf dieselbe Person zweimal ausgelost werden?
b) Auf Jonas Schulweg liegen drei Ampeln. Jede zeigt bei seiner Ankunft mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 Rot, unabhängig von den anderen. Wie wahrscheinlich kommt er an allen drei Ampeln ohne Halt durch? Simuliere zehn Schulwege mit den Ziffern im Material und fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: Ein Durchgang besteht aus … Ziffern. Für Rot stehen die Ziffern … 3. Rechnen: Durchgänge ohne Rot: … von 10, also h = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: Mit der Pfadregel ergibt sich …
Hilfe 1
Ein Schulweg hat drei Ampeln. Wie viele Ziffern braucht dann ein Durchgang?
Hilfe 2
Wie viele der zehn Ziffern stehen für 0,4?
Hilfe 3
Für den Vergleich: Wie wahrscheinlich ist eine Ampel nicht rot, und wie verknüpft man drei Stufen?
Lösung zeigen
a) Drei Situationen, drei Fragen: Blöcke für 0,05, Verwerfen und offenes Ende beim Würfeln, ohne Zurücklegen beim Auslosen.
(1) p = 0,05: Blöcke 00 bis 04 Gewinn, 05 bis 99 kein Gewinn. Ein Durchgang ist ein Block.
(2) Ziffern 1 bis 6 sind Augenzahlen, 0, 7, 8, 9 werden verworfen. Ein Durchgang endet mit der ersten 6; gezählt werden die gültigen Ziffern.
(3) Blöcke 01 bis 25 sind die Personen, 00 und 26 bis 99 werden verworfen, ebenso eine schon gezogene Nummer. Ein Durchgang endet nach zwei verschiedenen Nummern.
b) Ein Durchgang ist ein ganzer Schulweg, also drei Ziffern; die Fünfergruppen spielen keine Rolle.
1. Gefragt ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Ampeln nicht rot zeigen.
2. Ein Durchgang besteht aus 3 Ziffern. Für Rot stehen die Ziffern 0, 1, 2, 3.
3. Durchgänge: 835, 219, 062, 577, 996, 899, 491, 236, 194, 200. Ohne Rot (nur Ziffern 4 bis 9): 577, 996, 899, also 3 von 10, h = 0,3.
4. In dieser Simulation kam Jona auf 3 von 10 Wegen ohne Halt durch; geschätzt ist die Wahrscheinlichkeit etwa 0,3.
5. Pfadregel: 0,6 · 0,6 · 0,6 = 0,216. Zehn Durchgänge sind zu wenige für eine genaue Schätzung; die Abweichung ist nicht auffällig.
3.2Wichteln
Fünf Freundinnen wichteln. Jede schreibt ihren Namen auf einen Zettel, die Zettel kommen in eine Mütze, und nacheinander zieht jede einen Zettel. Zieht eine von ihnen den eigenen Namen, wird neu gezogen. Die Freundinnen und ihre Zettel sind von 1 bis 5 nummeriert; Freundin 1 zieht zuerst, Freundin 5 zuletzt.
1
2
3
4
5
6
7
8
Zeile 1
94698
10293
86773
66068
89683
52680
56568
51482
Zeile 2
71939
51465
57202
54647
16582
69175
54745
37635
Material 1: Zufallsziffern
Freundinnen mit eigenem Zettel
0
1
2
3
4
5
Anzahl der Ziehungen
375
374
157
85
0
9
Material 2: 1000 simulierte Ziehungen
a) Beschreibe, wie man eine Ziehung mit Zufallsziffern simulieren kann.
Hilfe 1
Welche Ziffern stehen für Zettel, welche nicht?
Hilfe 2
Kann ein Zettel zweimal gezogen werden?
Hilfe 3
Wann ist eine Ziehung zu Ende?
b) Simuliere mit Material 1 vier Ziehungen; lies ab Zeile 1 fortlaufend. Gib jeweils an, wie viele Freundinnen ihren eigenen Zettel ziehen.
Hilfe 1
Schreibe für jede Ziehung die Zettel in der Reihenfolge der Freundinnen auf.
Hilfe 2
Eigener Zettel heißt: Nummer des Zettels und Nummer der Freundin stimmen überein.
c) Ermittle mit Material 2 einen Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, dass neu gezogen werden muss.
Hilfe 1
Wann muss neu gezogen werden: wenn genau eine den eigenen Zettel zieht, oder schon …?
Hilfe 2
Gegenereignis: Wann muss nicht neu gezogen werden?
d) In Material 2 kommt die Anzahl 4 nicht vor. Begründe, dass das kein Zufall ist.
Hilfe 1
Angenommen, vier Freundinnen haben ihren eigenen Zettel. Welcher Zettel bleibt für die fünfte?
Lösung zeigen
a) Zettel werden nicht zurückgelegt: Wiederholungen überspringen.
Die Ziffern 1 bis 5 stehen für die Zettel, 0 und 6 bis 9 werden verworfen. Eine Nummer, die in dieser Ziehung schon vorkam, wird übersprungen.
Die erste gültige Nummer erhält Freundin 1, die zweite Freundin 2 und so weiter. Nach vier verschiedenen Nummern bekommt Freundin 5 den übrigen Zettel; dann beginnt die nächste Ziehung mit der folgenden Ziffer.
b) Ohne Zurücklegen auswerten, dann Platz und Nummer vergleichen.
Ziehung 1: 4, 1, 2, 3, 5: Freundin 5 hat den eigenen Zettel, also 1.
Ziehung 2: 3, 5, 2, 1, 4: keine.
Ziehung 3: 4, 2, 1, 3, 5: Freundinnen 2 und 5, also 2.
Ziehung 4: 5, 1, 4, 2, 3: keine.
c) „neu ziehen“ heißt mindestens eine, nicht genau eine.
Neu gezogen wird, wenn mindestens eine Freundin ihren eigenen Zettel hat.
h = (1000 − 375) : 1000 = 0,625. Etwa 63 % der Ziehungen müssen wiederholt werden.
d) Eine Begründung aus der Sache, keine Rechnung.
Haben vier Freundinnen ihren eigenen Zettel, bleibt für die fünfte nur ihr eigener übrig. Dann sind es fünf. Genau vier ist deshalb unmöglich.
3.3Torwandschießen
Beim Torwandschießen auf einem Stadtteilfest trifft eine Spielerin bei jedem Schuss mit der Wahrscheinlichkeit 0,3; die Schüsse beeinflussen sich nicht. Sie schießt so lange, bis sie trifft, höchstens aber sechsmal. Das Material zeigt das Ergebnis einer Simulation mit 500 Durchgängen.
erster Treffer beim Schuss
1
2
3
4
5
6
kein Treffer
Anzahl der Durchgänge
140
95
82
56
44
21
62
Material: 500 simulierte Durchgänge
a) Beschreibe eine Simulation eines Durchgangs mit Zufallsziffern.
Hilfe 1
Welche Ziffern stehen für einen Treffer?
Hilfe 2
Wann hört ein Durchgang auf? Es gibt zwei Fälle.
b) Ermittle mit dem Material Schätzwerte für die Wahrscheinlichkeiten, dass die Spielerin (1) gar nicht trifft und (2) spätestens beim dritten Schuss trifft.
Hilfe 1
„spätestens beim dritten“: Welche Spalten gehören dazu?
c) Berechne beide Wahrscheinlichkeiten und vergleiche sie mit den Schätzwerten.
Hilfe 1
„gar nicht treffen“ heißt sechsmal hintereinander daneben.
Hilfe 2
Für (2) hilft das Gegenereignis.
d) Der Veranstalter rechnet mit 200 Teilnehmerinnen und Teilnehmern, die alle so treffen wie diese Spielerin. Ermittle mit dem Material, wie viele Schüsse insgesamt zu erwarten sind.
Hilfe 1
Bestimme zuerst die mittlere Zahl der Schüsse je Durchgang.
Hilfe 2
Wie viele Schüsse hatte ein Durchgang ohne Treffer?
Lösung zeigen
a) Das Ende des Durchgangs steht im Text versteckt: erster Treffer oder sechster Schuss.
Ziffern 0, 1, 2 Treffer, 3 bis 9 kein Treffer. Man liest Ziffern bis zum ersten Treffer, höchstens aber sechs; die Zahl der gelesenen Ziffern ist die Zahl der Schüsse.
b) „spätestens“ heißt Spalten 1 bis 3 zusammen.
(1) h = 62 : 500 = 0,124
(2) h = (140 + 95 + 82) : 500 = 317 : 500 = 0,634
c) Mehrstufiger Versuch: Pfadregel und Gegenereignis.
(1) P = 0,7⁶ ≈ 0,118
(2) Gegenereignis: die ersten drei Schüsse daneben. P = 1 − 0,7³ = 1 − 0,343 = 0,657
Die Schätzwerte 0,124 und 0,634 weichen um rund 0,006 und 0,023 ab. Bei 500 Durchgängen ist das eine normale Schwankung.
d) Mittelwert aus einer Häufigkeitstabelle; die Spalte „kein Treffer“ hat auch Schüsse.
200 · 3,036 ≈ 607. Zu erwarten sind rund 600 Schüsse.
3.4Saugroboter
Ein Saugroboter steht in einem Flur aus den Abschnitten 0 bis 4. In Abschnitt 0 steht seine Ladestation, Abschnitt 4 endet an der offenen Terrassentür. Mit gestörtem Sensor fährt er jede Minute einen Abschnitt nach links oder nach rechts, beides mit der Wahrscheinlichkeit 0,5. Er startet in Abschnitt 1. In Abschnitt 0 dockt er an, in Abschnitt 4 rollt er auf die Terrasse und bleibt stehen. In 758 von 1000 simulierten Fahrten erreichte er die Ladestation.
1
2
3
4
5
Ziffern
58208
72553
68697
82609
59667
Material 1: Zufallsziffern
Material 2: Dauer von 1000 simulierten Fahrten (fünf Fahrten über 13 Minuten fehlen im Bild)
a) Beschreibe, wie man eine Fahrt mit Zufallsziffern simulieren kann.
Hilfe 1
Zwei gleich wahrscheinliche Richtungen: Welche Einteilung der Ziffern passt?
Hilfe 2
Wann ist eine Fahrt zu Ende, und wo beginnt die nächste?
b) Simuliere mit Material 1 fünf Fahrten. Gib zu jeder Fahrt an, wo sie endet und wie lange sie dauert.
Hilfe 1
Notiere nach jeder Ziffer den Abschnitt, in dem der Roboter steht.
c) Begründe, warum in Material 2 nur ungerade Fahrtdauern vorkommen.
Hilfe 1
Der Roboter startet in einem Abschnitt mit ungerader Nummer. Was passiert mit der Nummer bei jedem Schritt?
Hilfe 2
In welchen Abschnitten endet eine Fahrt?
d) Der Hersteller schreibt: „Auch mit gestörtem Sensor erreicht der Roboter in drei von vier Fällen die Ladestation, und meistens ist eine solche Fahrt nach höchstens drei Minuten vorbei.“ Beurteile beide Teile der Aussage mithilfe der Simulation.
Hilfe 1
Erster Teil: Vergleiche mit der Angabe zur Ladestation.
Hilfe 2
Zweiter Teil: Welche Fahrten meint „eine solche Fahrt“, und welche zeigt Material 2?
Hilfe 3
Wo kann eine Fahrt enden, die nur eine Minute dauert?
Lösung zeigen
a) Zwei gleich wahrscheinliche Ausgänge je Minute; die Fahrt hat keine feste Länge.
Gerade Ziffer: ein Abschnitt nach links, ungerade Ziffer: ein Abschnitt nach rechts. Man beginnt in Abschnitt 1 und liest so lange Ziffern, bis Abschnitt 0 oder 4 erreicht ist. Die Zahl der gelesenen Ziffern ist die Dauer in Minuten; die nächste Fahrt beginnt wieder in Abschnitt 1.
b) Den Weg mitschreiben, nicht die Ziffern zählen.
Fahrt 1: 5, 8, 2 führt über 2 und 1 nach 0: Ladestation nach 3 Minuten.
Fahrt 2: 0: Ladestation nach 1 Minute. Fahrt 3: 8: Ladestation nach 1 Minute.
Fahrt 4: 7, 2, 5, 5, 3 führt über 2, 1, 2, 3 nach 4: Terrasse nach 5 Minuten.
Fahrt 5: 6: Ladestation nach 1 Minute.
c) Eine Beobachtung am Diagramm aus der Sache begründen.
Jede Minute ändert sich die Nummer des Abschnitts um 1, also wechselt sie zwischen ungerade und gerade. Der Roboter startet in Abschnitt 1 (ungerade) und hält nur in 0 oder 4 (gerade). Das ist nur nach einer ungeraden Zahl von Minuten möglich.
d) Zwei Aussagen, zwei Belege; „eine solche Fahrt“ meint nur Fahrten zur Ladestation, Material 2 zeigt aber alle Fahrten.
Erster Teil: h = 758 : 1000 = 0,758. Das passt gut zu drei von vier Fällen; dieser Teil stimmt.
Zweiter Teil: „eine solche Fahrt“ ist eine Fahrt zur Ladestation. Material 2 zeigt alle Fahrten, auch die zur Terrasse; die Säule zu 3 Minuten enthält beide Arten.
Eine Fahrt von einer Minute endet immer an der Ladestation, denn von Abschnitt 1 aus ist in einem Schritt nur Abschnitt 0 erreichbar. Die Säule bei 1 Minute zeigt etwa 0,5, also rund 500 Fahrten.
Damit dauern rund 500 der 758 Fahrten zur Ladestation nur eine Minute: 500 : 758 ≈ 0,66. Schon das ist mehr als die Hälfte; mit den Fahrten von drei Minuten zur Ladestation sind es noch mehr. Auch der zweite Teil stimmt.
Ebenso richtig: Nach höchstens drei Minuten enden etwa 0,5 + 0,25 = 0,75 aller Fahrten, also rund 750. Selbst wenn alle 242 Fahrten zur Terrasse darunter wären, blieben rund 508 von 758 Fahrten zur Ladestation, also etwa 0,67.
Klausuraufgabe
4.1Tischkicker
Im Jugendzentrum spielen zwei Teams regelmäßig Tischkicker gegeneinander. Team Blau gewinnt ein einzelnes Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 0,6; die Spiele beeinflussen sich nicht gegenseitig. Ein Match gewinnt, wer zuerst zwei Spiele gewonnen hat.
1
2
3
4
5
6
Ziffern
88019
47104
05895
64546
61156
82926
Material 1: Zufallsziffern
Match gewinnt, wer zuerst …
Matches
davon gewinnt Team Blau
zwei Spiele gewonnen hat
1000
635
drei Spiele gewonnen hat
1000
682
Material 2: je 1000 simulierte Matches
a) Beschreibe, wie sich ein einzelnes Spiel mit einer Zufallsziffer simulieren lässt, und gib an, wann ein Durchgang für ein Match endet.2 BE
Hilfe 1
Wie viele der zehn Ziffern gehören zu 0,6?
Hilfe 2
Wie viele Spiele kann ein Match dauern?
b) Simuliere mit Material 1 acht Matches und bestimme die relative Häufigkeit der Matches, die Team Blau gewinnt.3 BE
Hilfe 1
Lies fortlaufend und setze nach jedem entschiedenen Match einen Strich.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Team Blau ein Match gewinnt, und vergleiche sie mit dem Ergebnis aus b) und mit Material 2.4 BE
Hilfe 1
Zeichne ein Baumdiagramm, das endet, sobald das Match entschieden ist.
Hilfe 2
Welche Pfade führen zu einem Matchgewinn von Team Blau?
d) Das andere Team schlägt vor, künftig so lange zu spielen, bis ein Team drei Spiele gewonnen hat. Beurteile mithilfe von Material 2, ob dieser Vorschlag dem anderen Team nützt.3 BE
Hilfe 1
Lies für beide Formate ab, wie oft das andere Team gewinnt.
Hilfe 2
Ist der Unterschied groß genug, um ihn nicht für Zufall zu halten?
e) Erläutere eine Annahme der Simulation, die beim echten Tischkicker fraglich ist.2 BE
Hilfe 1
Was setzt die Zuordnung „0 bis 5 bei jedem Spiel“ voraus?
Lösung zeigen
a) Zuordnung plus offenes Ende: Ein Match dauert zwei oder drei Spiele.
Ziffern 0 bis 5: Team Blau gewinnt das Spiel, Ziffern 6 bis 9: das andere Team.
Ein Durchgang endet, sobald ein Team zwei Spiele gewonnen hat, also nach zwei oder drei Ziffern.
b) Durchgänge sind verschieden lang; die Fünfergruppen spielen keine Rolle.
Matches: 88 | 01 | 947 | 10 | 40 | 589 | 564 | 54
Team Blau gewinnt das 2., 4., 5., 7. und 8. Match.
h = 5 : 8 = 0,625
c) Baum mit verschieden langen Pfaden; nur die Pfade mit zwei Siegen von Blau zählen.
Pfade mit Sieg von Blau: BB, BGB, GBB (B: Blau gewinnt ein Spiel, G: das andere Team).
Der Wert aus b) (0,625) beruht auf nur acht Matches und weicht deshalb leicht ab. Material 2 liefert 0,635; mit 1000 Durchgängen liegt der Schätzwert näher an 0,648.
d) Urteil mit Zahlen aus dem Material, dazu ein Satz zur Verlässlichkeit.
Das andere Team gewinnt bei zwei nötigen Siegen in 365 von 1000 Matches (0,365), bei drei nötigen Siegen nur in 318 von 1000 (0,318).
Der Vorschlag schadet dem anderen Team: Je mehr Spiele ein Match hat, desto eher setzt sich das stärkere Team durch. Der Unterschied von fast fünf Prozentpunkten bei je 1000 Durchgängen ist groß genug, um ihn ernst zu nehmen.
e) Die stille Annahme: gleiches p in jedem Spiel, Spiele unabhängig.
Die Simulation setzt voraus, dass Team Blau jedes Spiel mit derselben Wahrscheinlichkeit 0,6 gewinnt, unabhängig vom Spielstand. Beim echten Kickern können Müdigkeit, Ärger nach einer Niederlage oder Ehrgeiz bei Rückstand die Wahrscheinlichkeit von Spiel zu Spiel ändern.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Was du aus der Mittelstufe kennst“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.