Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Oft werden an denselben Personen oder Dingen zwei Merkmale erhoben, und jedes hat nur zwei Ausprägungen: ja oder nein. Beispiel: In einer Jahrgangsstufe mit 200 Schülerinnen und Schülern wird gefragt, wer einen Führerschein hat (F) und wer einen Nebenjob hat (J). Das Gegenteil schreibst du mit Querstrich: F̄ heißt „kein Führerschein“, J̄ heißt „kein Nebenjob“.
Die Vierfeldertafel ordnet alle 200 in vier Felder ein. Die Zeilen gehören zu F und F̄, die Spalten zu J und J̄. Jedes innere Feld ist ein Und-Ereignis: Links oben stehen die, auf die F und J zutreffen, also F ∩ J. Rechts und unten stehen die Summen.
J (Nebenjob)
J̄ (kein Nebenjob)
Summe
F (Führerschein)
24
56
80
F̄ (kein Führerschein)
66
54
120
Summe
90
110
200
Die vier inneren Felder heißen Kernfelder. Jede Person gehört zu genau einem davon.
Rechts stehen die Zeilensummen: 80 haben einen Führerschein, egal ob mit oder ohne Nebenjob.
Unten stehen die Spaltensummen: 90 haben einen Nebenjob.
Rechts unten steht die Gesamtzahl. Zeilensummen und Spaltensummen müssen beide sie ergeben: 80 + 120 = 200 und 90 + 110 = 200.
✎ Mini-Aufgabe: Wie viele der 200 gehören zum Feld F̄ ∩ J̄? Beschreibe in einem Satz, wer das ist.
Lösung zeigen
54. Das sind die, die weder einen Führerschein noch einen Nebenjob haben.
2. Eine Tafel ergänzen
In Aufgaben stehen selten alle neun Zahlen. Meist reichen drei Angaben, darunter die Gesamtzahl. Die Regel: Kennst du in einer Zeile oder Spalte zwei von drei Zahlen, ist die dritte eine Subtraktion. Gerechnet wird immer innerhalb einer Zeile oder Spalte, nie quer.
Beispiel: 500 Befragte, 180 gehören zu A, 260 zu B, 95 zu beiden
Rand: Ā = 500 − 180 = 320; B̄ = 500 − 260 = 240
Zeile A: A ∩ B̄ = 180 − 95 = 85
Spalte B: Ā ∩ B = 260 − 95 = 165
Zeile Ā: Ā ∩ B̄ = 320 − 165 = 155
Probe in Spalte B̄: 85 + 155 = 240. Die Tafel geht auf.
B
B̄
Summe
A
95
85
180
Ā
165
155
320
Summe
260
240
500
✎ Mini-Aufgabe: Von 400 Befragten gehören 150 zu A, 240 zu B und 100 zu A ∩ B. Ergänze die ganze Tafel.
Teilst du jede Zahl der Tafel durch die Gesamtzahl, erhältst du die Tafel der relativen Häufigkeiten. Wird eine Person zufällig ausgewählt, sind das die Wahrscheinlichkeiten. Rechts unten steht dann 1. Der Rückweg: Anteil mal Gesamtzahl gibt wieder die Anzahl.
relative Häufigkeit = Anzahl : Gesamtzahl
J
J̄
Summe
F
0,12
0,28
0,4
F̄
0,33
0,27
0,6
Summe
0,45
0,55
1
In einer Tafel stehen entweder überall Anzahlen oder überall Anteile. Eine Tafel mit 24 neben 0,28 ist falsch.
✎ Mini-Aufgabe: Zu 600 Befragten gehören P(A) = 0,4, P(B) = 0,3 und P(A ∩ B) = 0,1. Wie viele Befragte gehören zu Ā ∩ B̄?
Lösung zeigen
P(Ā) = 0,6 und P(Ā ∩ B) = 0,3 − 0,1 = 0,2, also P(Ā ∩ B̄) = 0,6 − 0,2 = 0,4. Das sind 0,4 · 600 = 240 Befragte.
4. Wahrscheinlichkeiten ablesen
P(F) = 0,4 steht am Rand, P(F ∩ J) = 0,12 im Kernfeld. Für „F oder J“ (auch beides) kennst du den Additionssatz: Die 0,12 steckt in P(F) und in P(J), sie wird sonst doppelt gezählt. Die Gegenprobe läuft über das einzige Feld, das nicht dazugehört.
„Genau eines von beiden“ sind die zwei Kernfelder, in denen nur ein Merkmal zutrifft: P(F ∩ J̄) + P(F̄ ∩ J) = 0,28 + 0,33 = 0,61.
5. Tafel und Baumdiagramm
Derselbe Sachverhalt lässt sich als zweistufiger Baum zeichnen. Die Pfadwahrscheinlichkeiten am Ende sind genau die vier Kernfelder. Vom Baum zur Tafel rechnest du mit der Pfadregel; die Tafel braucht nur, dass es zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen gibt.
Die Jahrgangsstufe als Baum: erst Führerschein ja oder nein, dann Nebenjob. Rechts stehen die Kernfelder der Tafel. Die 0,3 am Ast ist der Anteil der Nebenjobber unter denen mit Führerschein (24 von 80), nicht unter allen 200.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Glücksrad mit den Feldern 1, 2 und 3 wird zweimal gedreht. Passt dazu eine Vierfeldertafel?
Lösung zeigen
Nein. Jede Drehung hat drei Ausgänge, die Tafel braucht zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen. Ein Baum mit drei Ästen je Stufe passt. Fragt man nur „1 oder nicht 1“ je Drehung, ginge die Tafel wieder.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
beide, sowohl … als auch, A und B
Kernfeld A ∩ B
nicht die Randsumme
„… haben A“, ohne das zweite Merkmal
Randsumme von A
steht rechts, nicht im Kernfeld
nur A, A aber nicht B
Kernfeld A ∩ B̄
„nur“ schließt B aus
weder … noch
Kernfeld Ā ∩ B̄
ein einziges Feld
A oder B, mindestens eins
A ∪ B: drei Kernfelder
nicht P(A) + P(B)
entweder … oder, genau eins
A ∩ B̄ und Ā ∩ B
das Feld A ∩ B zählt nicht
x % aller Befragten
Anteil an der Gesamtzahl
mal Gesamtzahl
x % der Frauen, von den Kunden mit …
Anteil innerhalb einer Zeile oder Spalte
mal die Summe dieser Zeile oder Spalte
7. Was nirgends steht
Worauf sich die Prozente beziehen. „30 % der Frauen“ ist ein Anteil der Frauen, nicht aller Befragten. Lies jede Prozentangabe zweimal: Prozent von wem?
Das Gegenteil kommt im Text nicht vor. Der Text nennt die Raucher; die Nichtraucher sind der Rest bis zur Summe.
Jede Person steht in genau einem Kernfeld. Deshalb ergeben die vier Kernfelder zusammen die Gesamtzahl bzw. 1.
Keine negative Zahl. Kommt beim Ergänzen etwas unter 0 heraus, sind Angaben oder Rechnung falsch.
Die Probe. Zeilensummen und Spaltensummen ergeben dieselbe Gesamtzahl.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Firma hat 250 Beschäftigte, 40 % arbeiten in Teilzeit. 70 % der Teilzeitkräfte sind Frauen. Wie viele Beschäftigte sind Frauen in Teilzeit?
Lösung zeigen
Teilzeit: 0,4 · 250 = 100. Davon Frauen: 0,7 · 100 = 70. Wer 0,7 · 250 rechnet, nimmt die falsche Bezugsgröße.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Eine Stadtbücherei hat 400 Leserausweise, 180 davon gehören Jugendlichen. 150 Ausweise wurden im letzten Monat für E-Books genutzt, 40 davon von Erwachsenen. Wie wahrscheinlich gehört ein zufällig gezogener Ausweis einer jugendlichen Person oder wurde für E-Books genutzt?
Was ist gefragt? P(J ∪ E) mit J: „jugendlich“ und E: „für E-Books genutzt“.
Was steht nicht da? „oder“ schließt beides ein. Die Zahl der Jugendlichen mit E-Books fehlt; ohne sie zähle ich doppelt. Sie folgt aus Spalte E.
Antwortsatz Mit 55 % Wahrscheinlichkeit gehört der Ausweis einer jugendlichen Person oder wurde für E-Books genutzt.
Prüfen 0,55 ist größer als P(J) = 0,45 und P(E) = 0,375, aber kleiner als ihre Summe 0,825. Das passt.
9. Typische Fehler
Randsumme als Kernfeld gelesen: 80 haben einen Führerschein, nicht 80 haben Führerschein und Nebenjob.
Quer subtrahiert: Zeilensumme minus Spaltensumme ergibt kein Feld.
„oder“ als P(A) + P(B): Das Feld A ∩ B ist doppelt gezählt, Werte über 1 sind möglich.
Prozent von der falschen Gruppe genommen: „70 % der Teilzeitkräfte“ mal alle Beschäftigten.
Anzahlen und Anteile in einer Tafel gemischt.
Probe weggelassen: Ein Übertragungsfehler bleibt unentdeckt.
Rechnen
2.1Rand und Anteile
Von einer Vierfeldertafel zu den Ereignissen A und B sind die vier Kernfelder bekannt (Anzahlen, Material).
B
B̄
Summe
A
34
51
Ā
46
69
Summe
Material
a) Vervollständige die Tafel mit allen Randsummen und der Gesamtzahl.
Hilfe 1
Zu jeder Randsumme gehören genau zwei Kernfelder. Welche sind es für die Zeile A?
Hilfe 2
Jede Randsumme ist die Summe der zwei Kernfelder ihrer Zeile oder Spalte.
b) Gib die Tafel mit relativen Häufigkeiten an.
Hilfe 1
Durch welche Zahl teilst du jedes Feld?
Hilfe 2
Prüfe am Ende: Was muss rechts unten stehen?
Lösung zeigen
a) Alle vier Kernfelder sind da: Es fehlen nur Summen.
Probe: 85 + 115 = 200 und 80 + 120 = 200.
B
B̄
Summe
A
34
51
85
Ā
46
69
115
Summe
80
120
200
Vierfeldertafel
b) Relative Häufigkeit: jede Zahl durch die Gesamtzahl.
Jeder Wert durch die Gesamtzahl 200, zum Beispiel 34 : 200 = 0,17.
B
B̄
Summe
A
0,17
0,255
0,425
Ā
0,23
0,345
0,575
Summe
0,4
0,6
1
Vierfeldertafel
2.2Tafel ergänzen
Bei einer Befragung von 800 Personen gehören 320 zum Ereignis A und 500 zum Ereignis B. 140 Personen gehören zu beiden. Vervollständige die Vierfeldertafel mit Anzahlen.
Hilfe 1
Trage zuerst nur ein, was dasteht. Wohin gehören 320, 500 und 140?
Hilfe 2
Suche eine Zeile oder Spalte, in der zwei von drei Zahlen bekannt sind.
Hilfe 3
Am Ende: Zeilensummen und Spaltensummen müssen dieselbe Gesamtzahl ergeben.
Lösung zeigen
Gesamtzahl, zwei Randsummen und ein Kernfeld: Der Rest folgt Lücke für Lücke durch Subtraktion.
a) In einem Werk mit 400 Beschäftigten betrachtet man N: „nutzt für den Arbeitsweg Bus und Bahn“ und W: „wohnt mehr als 20 km vom Werk entfernt“. Notiere zu jeder Angabe oder Frage nur, welches Feld der Vierfeldertafel gemeint ist und wie du es bestimmst. Rechne nicht. (1) Wie viele Beschäftigte wohnen höchstens 20 km entfernt und nutzen nicht Bus und Bahn? (2) „25 % der Beschäftigten, die mehr als 20 km entfernt wohnen, nutzen Bus und Bahn.“ (3) Wie wahrscheinlich nutzt ein zufällig ausgewählter Beschäftigter Bus und Bahn oder wohnt mehr als 20 km entfernt?
Hilfe 1
Übersetze jede Formulierung in ein Ereignis mit N, W und Querstrich.
Hilfe 2
Bei (2): Prozent von wem?
Hilfe 3
Bei (3): Zählt jemand, auf den beides zutrifft?
b) Zum Konzert der Schulband kommen 250 Gäste. 40 % der Gäste gehen auf die Schule. Von ihnen haben 70 % ihre Karte im Vorverkauf gekauft. Insgesamt wurden 130 Karten im Vorverkauf gekauft, die übrigen an der Abendkasse. Wie viele Gäste, die nicht auf die Schule gehen, haben an der Abendkasse gekauft? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist das Kernfeld … 2. Was nicht dasteht: Die 70 % beziehen sich auf … Jeder Gast gehört zu … 3. Rechnen: Gäste von der Schule: … ; davon im Vorverkauf: … ; Vorverkauf ohne die Schule: … ; Gäste nicht von der Schule: … ; gesuchtes Feld: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Lege zwei Merkmale fest: Schule ja oder nein, Vorverkauf ja oder nein.
Hilfe 2
Die 70 % sind ein Anteil einer Gruppe. Welcher?
Hilfe 3
Arbeite dich über Zeilen und Spalten zum gesuchten Feld vor.
Lösung zeigen
a) Drei Formulierungen, drei Arten von Feldern: ein Kernfeld, ein Anteil innerhalb einer Spalte, ein Oder-Ereignis.
(1) Kernfeld N̄ ∩ W̄; über die Zeile N̄ oder die Spalte W̄ durch Subtraktion.
(2) Kernfeld N ∩ W. Die 25 % beziehen sich auf die Spalte W: Anzahl in N ∩ W = 0,25 · Anzahl in W, nicht 0,25 · 400.
(3) P(N ∪ W): drei Kernfelder addieren, oder P(N) + P(W) − P(N ∩ W), oder 1 − P(N̄ ∩ W̄).
b) Zwei Merkmale mit je zwei Ausprägungen: Vierfeldertafel. Die 70 % beziehen sich auf eine Zeile, nicht auf alle.
1. Gefragt ist das Kernfeld S̄ ∩ V̄: nicht von der Schule und Karte an der Abendkasse.
2. Die 70 % beziehen sich auf die Gäste von der Schule, nicht auf alle 250. Jeder Gast gehört zu genau einem Kernfeld.
3. Gäste von der Schule: 0,4 · 250 = 100; davon im Vorverkauf: 0,7 · 100 = 70; Vorverkauf ohne die Schule: 130 − 70 = 60; Gäste nicht von der Schule: 150; gesuchtes Feld: 150 − 60 = 90
4. 90 Gäste, die nicht auf die Schule gehen, haben an der Abendkasse gekauft.
5. Spalte Abendkasse: 100 − 70 = 30 von der Schule, dazu 90, zusammen 120 = 250 − 130. Die Tafel geht auf.
3.2Blutspende
Bei einem Blutspendetermin spenden 330 Personen Blut, 80 von ihnen zum ersten Mal. Von den Erstspendern haben 45 % die Blutgruppe 0, von den übrigen Spendern 44 %. Betrachtet werden die Ereignisse E: „Die Person spendet zum ersten Mal“ und N: „Die Person hat Blutgruppe 0“.
a) Stelle die Vierfeldertafel mit Anzahlen auf und bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte spendende Person Blutgruppe 0 hat.
Hilfe 1
Beide Prozentangaben gehören zu einer Gruppe. Zu welcher jeweils?
Hilfe 2
Wie viele Personen sind keine Erstspender?
Hilfe 3
Blutgruppe 0 haben Personen aus beiden Gruppen.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte spendende Person zum ersten Mal spendet oder Blutgruppe 0 hat.
Hilfe 1
Welches Feld gehört nicht dazu?
c) In der Lokalzeitung steht: „Von den Erstspendern hatten nur rund 11 % die Blutgruppe 0.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Woher könnten die 11 % kommen? Suche in deiner Tafel.
Hilfe 2
Prozent von wem: von allen Spendern oder von den Erstspendern?
Lösung zeigen
a) Zwei Prozentangaben, jede für eine andere Zeile: jeweils mit der Zeilensumme multiplizieren.
E ∩ N = 0,45 · 80 = 36; Ē = 330 − 80 = 250; Ē ∩ N = 0,44 · 250 = 110
P(N) = 146 : 330, also P(N) ≈ 0,442. Rund 44,2 % der Spender haben Blutgruppe 0.
N
N̄
Summe
E
36
44
80
Ē
110
140
250
Summe
146
184
330
Vierfeldertafel
b) Oder-Ereignis E ∪ N: Additionssatz oder Gegenereignis Ē ∩ N̄.
Gegenprobe: 1 − 140 : 330 ≈ 0,576. Mit rund 57,6 % spendet die Person zum ersten Mal oder hat Blutgruppe 0.
c) Zwei Anteile mit verschiedener Bezugsgröße: an allen Spendern oder an den Erstspendern.
Die Aussage ist falsch. 36 : 330 ≈ 0,11: Rund 11 % aller Spender sind Erstspender mit Blutgruppe 0.
Unter den Erstspendern sind es 36 von 80, also 45 %, wie im Text angegeben. Die Zeitung hat durch alle 330 Spender geteilt statt durch die 80 Erstspender.
3.3Audioguide
Ein Museum verkauft Eintrittskarten online und an der Kasse. 70 % der Besucher kaufen online. Von den Online-Käufern leihen 40 % einen Audioguide, von den Käufern an der Kasse 60 %. Das Material zeigt das als Baumdiagramm mit O: „Karte online gekauft“ und G: „leiht einen Audioguide“.
Material
a) Stelle die Vierfeldertafel mit Wahrscheinlichkeiten auf.
Hilfe 1
Jeder Pfad im Baum gehört zu einem Kernfeld.
Hilfe 2
Randsummen: Zeilen und Spalten addieren.
b) An einem Sonntag kommen 650 Besucher. Ermittle, wie viele Audioguides das Museum an diesem Tag voraussichtlich verleiht.
Hilfe 1
Welche Besucher leihen einen Audioguide? Denke an beide Kartenarten.
Hilfe 2
Wo in der Tafel steht der Anteil aller Leiher?
c) Das Museum möchte erreichen, dass mehr als die Hälfte aller Besucher einen Audioguide leiht. An der Kasse soll sich nichts ändern. Bestimme, wie groß dafür der Anteil der Audioguide-Leiher unter den Online-Käufern sein muss, und deute das Ergebnis.
Hilfe 1
Ersetze im Baum die 0,4 durch eine Unbekannte q.
Hilfe 2
Stelle P(G) mit q auf und fordere „mehr als die Hälfte“.
Lösung zeigen
a) Vom Baum zur Tafel: Pfadregel für die Kernfelder, dann die Summen.
b) Audioguides leihen Online- und Kassenkäufer: Randsumme P(G) mal Besucherzahl.
P(G) = 0,28 + 0,18 = 0,46; 0,46 · 650 = 299
An diesem Sonntag werden voraussichtlich 299, also rund 300 Audioguides verliehen.
c) Ein Astwert ist gesucht: P(G) mit Unbekannter aufstellen, Bedingung als Ungleichung.
P(G) = 0,7 · q + 0,3 · 0,6 = 0,7q + 0,18
0,7q + 0,18 > 0,5 ⇔ q > 0,32 : 0,7 ≈ 0,457
Statt 40 % müssten mehr als rund 45,7 % der Online-Käufer einen Audioguide leihen, also gut sechs Prozentpunkte mehr als bisher.
3.4Abschlussfahrt
In der Q4 eines Gymnasiums sind 150 Schülerinnen und Schüler, 90 von ihnen sind volljährig. An der Abschlussfahrt nehmen 126 teil. V: „volljährig“, F: „fährt mit“.
a) Begründe, dass die Vierfeldertafel durch diese Angaben noch nicht festgelegt ist, und bestimme, wie viele Volljährige mindestens mitfahren.
Hilfe 1
Welche Felder sind bekannt, welche nicht?
Hilfe 2
Nenne die Anzahl der volljährigen Mitfahrer x und drücke die anderen Kernfelder mit x aus.
Hilfe 3
Welches Feld darf nicht negativ werden?
b) Von den Minderjährigen fahren alle bis auf 6 mit. Für jede minderjährige Person, die mitfährt, braucht die Schule eine Einverständniserklärung der Eltern. Bestimme die Anzahl dieser Erklärungen und die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person der Q4 volljährig ist oder nicht mitfährt.
Hilfe 1
Welches Kernfeld legt „alle bis auf 6“ fest?
Hilfe 2
Welches Kernfeld gehört nicht zu „volljährig oder fährt nicht mit“?
Lösung zeigen
a) Nur Rand und Gesamtzahl, kein Kernfeld: ein Feld frei wählen, die Grenzen kommen aus „keine negative Anzahl“.
Bekannt sind nur die Gesamtzahl und zwei Randsummen, kein Kernfeld.
Mit x = Anzahl in V ∩ F: V ∩ F̄ = 90 − x; V̄ ∩ F = 126 − x; V̄ ∩ F̄ = 60 − (126 − x) = x − 66
Jedes x mit 66 ≤ x ≤ 90 ergibt eine Tafel ohne negative Anzahl, die Tafel liegt also nicht fest.
Wegen x − 66 ≥ 0 fahren mindestens 66 Volljährige mit.
b) Die neue Angabe ist ein Kernfeld; danach ist die Tafel fest.
Minderjährige: 60, also V̄ ∩ F̄ = 6 und V̄ ∩ F = 54. Die Schule braucht 54 Erklärungen.
Ein Fitnessstudio hat 1600 Mitglieder. Ein Mitglied wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die Ereignisse K: „Das Mitglied hat einen Vertrag mit Kursteilnahme“ und A: „Das Mitglied trainiert überwiegend abends“. 35 % aller Mitglieder haben einen Kursvertrag, 60 % aller Mitglieder trainieren überwiegend abends.
a) Es gilt P(K̄ ∩ A) = 0,4. Interpretiere diese Gleichung im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Übersetze K̄ und A einzeln in Worte.
Hilfe 2
Welches Wort verbindet die beiden bei ∩?
b) Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.3 BE
Hilfe 1
Trage 0,35, 0,6 und 0,4 an der richtigen Stelle ein.
Hilfe 2
Mit P(K̄) ist eine Zeile fast vollständig.
c) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Mitglied entweder einen Kursvertrag hat oder überwiegend abends trainiert.2 BE
Hilfe 1
„entweder … oder“: Darf beides zutreffen?
Hilfe 2
Welche zwei Kernfelder sind das?
d) Das Studio lädt alle Mitglieder, die weder einen Kursvertrag haben noch überwiegend abends trainieren, per E-Mail zu einem Morgenkurs ein. Berechne, wie viele E-Mails verschickt werden.2 BE
Hilfe 1
Welches Kernfeld ist „weder … noch“?
Hilfe 2
Vom Anteil zur Anzahl.
e) Im Folgejahr hat das Studio 1800 Mitglieder. 40 % von ihnen haben einen Kursvertrag. Von den Mitgliedern mit Kursvertrag trainieren 50 % überwiegend abends, von den übrigen Mitgliedern 65 %. Die Studioleitung sagt: „Abends wird es voller: Es trainieren jetzt mehr Mitglieder überwiegend abends als im Vorjahr, und auch ihr Anteil an allen Mitgliedern ist gestiegen.“ Beurteile diese Aussage.5 BE
Hilfe 1
Die Aussage hat zwei Teile: eine Anzahl und einen Anteil. Prüfe beide.
Hilfe 2
Die 50 % und die 65 % beziehen sich jeweils auf eine Gruppe. Wie groß ist sie?
Hilfe 3
Wie viele Mitglieder trainierten im Vorjahr überwiegend abends?
Lösung zeigen
a) Ein Kernfeld in Worte fassen: beide Bedingungen mit „und“, dazu der Wert.
Mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 hat ein zufällig ausgewähltes Mitglied keinen Kursvertrag und trainiert überwiegend abends. 40 % aller Mitglieder sind so.
b) Zwei Randwerte und ein Kernfeld: Ergänzen über Zeilen und Spalten.
Abends trainieren jetzt 360 + 702 = 1062 Mitglieder, im Vorjahr 0,6 · 1600 = 960. Der erste Teil stimmt.
Anteil jetzt: 1062 : 1800 = 0,59, im Vorjahr 0,6. Der Anteil ist leicht gesunken, der zweite Teil stimmt nicht.
Es trainieren mehr Mitglieder abends, weil das Studio insgesamt gewachsen ist; ihr Anteil ist aber nicht gestiegen. Die Aussage ist deshalb nur zur Hälfte richtig.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.