Bedingte Wahrscheinlichkeit und stochastische Unabhängigkeit
Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Wahrscheinlichkeit hängt davon ab, was du schon weißt. Kommt eine Information dazu, rechnest du nur noch in der Gruppe, auf die sie zutrifft. Das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Das Beispiel für dieses Blatt: 400 Jugendliche wurden befragt. H heißt „nutzt das Handy nach 23 Uhr“, M heißt „ist in der ersten Stunde müde“.
M
M̄
Summe
H
120
30
150
H̄
80
170
250
Summe
200
200
400
Ohne Zusatzwissen ist jede zweite befragte Person morgens müde. Weißt du, dass jemand nach 23 Uhr am Handy war, zählen nur noch die 150 Personen der Zeile H, und von ihnen sind 120 müde.
P(M) = 200400 = 0,5 PH(M) = 120150 = 0,8
PH(M) liest du „Wahrscheinlichkeit von M unter der Bedingung H“. Die Bedingung steht unten, das gefragte Ereignis in der Klammer. Davon zu unterscheiden ist die Wahrscheinlichkeit, dass beides zutrifft. Sie bezieht sich weiter auf alle 400:
P(H ∩ M) = 120400 = 0,3
Dieselben 120 Personen, zwei Bezugsmengen: alle 400 beim Schnitt, die 150 aus H bei der Bedingung. Hat ein Merkmal mehr als zwei Ausprägungen, wird aus der Vierfeldertafel eine Mehrfeldertafel; gerechnet wird genauso.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme PH̄(M) aus der Tafel und sag in einem Satz, was die Zahl bedeutet.
Lösung zeigen
PH̄(M) = 80250 = 0,32. Von den Jugendlichen, die nach 23 Uhr nicht am Handy sind, ist knapp ein Drittel in der ersten Stunde müde.
2. Die Formel und der Multiplikationssatz
Statt Anzahlen kannst du auch Wahrscheinlichkeiten teilen. Oben steht der Schnitt, unten die Bedingung:
PB(A) = P(A ∩ B)P(B)
Beispiel: Handy und Müdigkeit
P(H) = 150400 = 0,375 P(H ∩ M) = 0,3
PH(M) = 0,30,375 = 0,8
Nach dem Schnitt aufgelöst heißt die Formel Multiplikationssatz. Du brauchst ihn, wenn der Schnitt gesucht ist:
P(A ∩ B) = P(B) · PB(A)
Im Baumdiagramm stehen die bedingten Wahrscheinlichkeiten an der zweiten Stufe. Die erste Pfadregel ist genau der Multiplikationssatz.
✎ Mini-Aufgabe: In einem Kino sind 30 % der Besucher Studierende. Von ihnen kaufen 40 % Popcorn. Wie wahrscheinlich studiert ein zufällig ausgewählter Besucher und kauft Popcorn?
Lösung zeigen
P(S ∩ K) = P(S) · PS(K) = 0,3 · 0,4 = 0,12
3. Insgesamt und umgekehrt
Oft kennst du nur den Baum: P(H) = 0,375, PH(M) = 0,8 und PH̄(M) = 0,32. Zu M führen zwei Pfade, denn eine müde Person war nach 23 Uhr am Handy oder nicht. Beide Pfade addierst du (totale Wahrscheinlichkeit):
Jetzt die umgekehrte Frage: Eine Person ist müde. Wie wahrscheinlich war sie nach 23 Uhr am Handy? Gesucht ist PM(H), bekannt war PH(M). Die beiden sind nicht gleich. Du teilst den Schnitt durch die neue Bedingung:
PM(H) = P(H ∩ M)P(M) = 0,30,5 = 0,6
Links der Baum nach dem Handy, rechts der umgekehrte Baum nach der Müdigkeit. Am Ende der Pfade stehen dieselben vier Zahlen, nur anders sortiert.
✎ Mini-Aufgabe: Im Kino aus Abschnitt 2 kaufen von den übrigen Besuchern 60 % Popcorn. Berechne P(K). Wie wahrscheinlich studiert jemand, der Popcorn kauft?
Lösung zeigen
P(K) = 0,3 · 0,4 + 0,7 · 0,6 = 0,12 + 0,42 = 0,54
PK(S) = 0,120,54 = 29 ≈ 0,22
4. Stochastisch unabhängig
Manchmal ändert die Zusatzinformation nichts. Dann heißen A und B stochastisch unabhängig:
PB(A) = P(A) ⇔ P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Die rechte Form prüfst du in der Klausur, sie kommt ohne Teilen aus.
Beispiel: Handy und Müdigkeit
P(H ∩ M) = 0,3 P(H) · P(M) = 0,375 · 0,5 = 0,1875
0,3 ≠ 0,1875, also sind H und M abhängig: Wer spät am Handy ist, ist häufiger müde (80 % statt 50 %).
P(A) · P(B) = 12 · 13 = 16 = P(A ∩ B), denn nur die 6 gehört zu beiden. A und B sind unabhängig.
Unvereinbar heißt: A und B treten nie zusammen auf, P(A ∩ B) = 0. Das ist nicht dasselbe wie unabhängig. Haben beide eine Wahrscheinlichkeit größer als 0, sind unvereinbare Ereignisse sogar immer abhängig: Tritt A ein, ist B ausgeschlossen.
✎ Mini-Aufgabe: Prüfe, ob A und B unabhängig sind: P(A) = 0,4, P(B) = 0,25 und P(A ∩ B) = 0,1.
Lösung zeigen
P(A) · P(B) = 0,4 · 0,25 = 0,1 = P(A ∩ B). A und B sind unabhängig.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
„von den …“, „unter den …“, „bei den …“
bedingte Wahrscheinlichkeit, Bedingung ist die genannte Gruppe
Die Gruppe kommt nach unten, ihre Größe in den Nenner.
„… und …“, „sowohl … als auch …“
Schnitt P(A ∩ B)
Bezugsmenge sind alle.
„Eine Person mit … wird ausgewählt. Wie wahrscheinlich …?“
bedingte Wahrscheinlichkeit, Bedingung ist das, was man schon weiß
nicht das, was im Text zuerst steht
„Anteil der Raucher an den Männern“
PM(R)
„an den …“ ist die Bedingung.
„insgesamt“, „aller“, „überhaupt“
totale Wahrscheinlichkeit
alle Pfade zu dem Ereignis addieren
„hängt nicht ab von“, „in beiden Gruppen gleich häufig“
Unabhängigkeit
P(A ∩ B) = P(A) · P(B) prüfen
„schließen sich aus“, „nie gleichzeitig“
unvereinbar, P(A ∩ B) = 0
nicht dasselbe wie unabhängig
6. Was nirgends steht
Die Bedingung ist das, was man schon weiß. Die Reihenfolge im Text sagt darüber nichts.
Wer eine Bedingung umdreht, braucht fast immer zuerst die totale Wahrscheinlichkeit für den Nenner.
Gruppen verschiedener Größe vergleichst du über Anteile, nicht über Anzahlen.
Abhängig heißt nicht „verursacht“. Oft steckt eine gemeinsame Ursache dahinter.
„Unabhängig“ ist in vielen Aufgaben eine Annahme des Modells. Ob sie stimmt, prüfen Daten.
7. Ein Sachbeispiel
Ein Mailprogramm sortiert Spam aus. 20 % aller eingehenden Mails sind Spam. Der Filter schiebt 95 % der Spam-Mails in den Spam-Ordner, aber auch 5 % der normalen Mails. Wie wahrscheinlich ist eine Mail im Spam-Ordner wirklich Spam?
Was ist gefragt? S heißt „ist Spam“, O heißt „landet im Spam-Ordner“. Ich weiß, dass die Mail im Ordner liegt. Gesucht ist PO(S).
Was steht nicht da? Der Text nennt PS(O) = 0,95, also die umgekehrte Richtung. Für PO(S) brauche ich zuerst P(O), und dazu gehören zwei Pfade: Spam und normale Mails.
b) Eine Bedingung, die die Wahrscheinlichkeit verschiebt, reicht als Begründung.
PB(A) = 0,5 ≠ 0,44 = P(A). A und B sind nicht stochastisch unabhängig.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) In einer Kletterhalle betrachtet man für einen zufällig ausgewählten Besucher die Ereignisse E: „ist zum ersten Mal da“ und L: „leiht Kletterschuhe“. Notiere zu jeder Zeile, welche Wahrscheinlichkeit gemeint ist, und bei der Frage den Ansatz. Rechne nicht. (1) Von den Erstbesuchern leihen 90 % Kletterschuhe. (2) 18 % aller Besucher sind Erstbesucher, die Kletterschuhe leihen. (3) Ein Besucher hat Kletterschuhe geliehen. Wie wahrscheinlich ist er zum ersten Mal da?
Hilfe 1
Frage bei jeder Zeile: Auf welche Gruppe bezieht sich die Prozentangabe?
Hilfe 2
„von den …“ nennt eine Bedingung, „aller“ meint alle Besucher.
Hilfe 3
Bei (3): Was weiß man über den Besucher schon?
b) In der Kletterhalle sind 20 % der Besucher zum ersten Mal da. Von ihnen leihen 90 % Kletterschuhe, von den übrigen Besuchern 25 %. Die Halle hat 120 Paar Leihschuhe. Beim Kletterfestival bleiben alle 400 angemeldeten Besucher von 10 bis 16 Uhr in der Halle. Reichen die Leihschuhe? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob … 2. Was nicht dasteht: Leihschuhe brauchen … Ich nehme an, dass die Anteile … 3. Rechnen: P(L) = …; erwartete Anzahl: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Wer leiht überhaupt Schuhe? Denke an beide Gruppen.
Hilfe 2
Skizziere einen Baum mit E und Ē auf der ersten Stufe.
Hilfe 3
Aus der Wahrscheinlichkeit wird mit der Besucherzahl eine erwartete Anzahl.
Lösung zeigen
a) Drei Formulierungen, drei Objekte: Bedingung, Schnitt und eine umgekehrte Bedingung.
(1) PE(L) = 0,9: Die Bedingung ist „Erstbesucher“.
(2) P(E ∩ L) = 0,18: Bezugsmenge sind alle Besucher, beides trifft zu.
(3) Gesucht ist PL(E), denn bekannt ist, dass er Schuhe geliehen hat. Ansatz: PL(E) = P(E ∩ L)P(L); P(L) braucht beide Pfade, Erstbesucher und andere Besucher.
b) „Reichen die Schuhe?“ fragt nach allen Leihenden: totale Wahrscheinlichkeit, dann mal 400.
1. Gefragt ist, ob die erwartete Zahl der Besucher, die Schuhe leihen, höchstens 120 ist.
2. Leihschuhe brauchen Erstbesucher und andere Besucher, also gehören zu L zwei Pfade. Ich nehme an, dass die Anteile beim Festival dieselben sind wie sonst.
4. Erwartet werden etwa 152 Besucher mit Leihschuhen. Die 120 Paar reichen voraussichtlich nicht, es fehlen rund 32 Paar.
5. 152 liegt zwischen 0,25 · 400 = 100 und 0,9 · 400 = 360, wie es bei einer Mischung beider Gruppen sein muss. Das passt.
3.2Tempo 30
Eine Stadt befragt 800 Bürgerinnen und Bürger, ob in der Innenstadt Tempo 30 gelten soll. 480 der Befragten besitzen ein Auto. Von den Autobesitzern stimmen 35 % zu. Insgesamt stimmen 380 Befragte zu. Betrachtet werden für eine zufällig ausgewählte befragte Person die Ereignisse A: „besitzt ein Auto“ und Z: „stimmt Tempo 30 zu“.
a) Stelle die Ergebnisse in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel mit Anzahlen dar.
Hilfe 1
Ordne jede Zahl im Text einem Feld zu: Randfeld oder Innenfeld?
Hilfe 2
Die 35 % beziehen sich auf eine Gruppe. Auf welche?
Hilfe 3
Den Rest liefern Zeilen- und Spaltensummen.
b) In der Lokalzeitung steht: „Wer kein Auto hat, ist fast immer für Tempo 30.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welche Gruppe ist mit „wer kein Auto hat“ gemeint?
Hilfe 2
Welcher Anteil wäre „fast immer“?
c) Ein Stadtrat sagt: „Die meisten Befürworter haben gar kein Auto.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Jetzt ist eine andere Gruppe gemeint. Welche?
Hilfe 2
Vergleiche mit der Bedingung aus b).
d) Untersuche, ob A und Z stochastisch unabhängig sind, und deute dein Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche drei Wahrscheinlichkeiten liefert die Tafel?
Hilfe 2
Vergleiche auch den Anteil der Zustimmenden unter den Autobesitzern mit dem Anteil insgesamt.
Lösung zeigen
a) Prozent „von den Autobesitzern“ ist eine Bedingung; erst daraus wird ein Innenfeld.
A und Z sind abhängig. Autobesitzer stimmen seltener zu: 35 % gegenüber 47,5 % unter allen Befragten.
3.3Leergutautomat
Ein Leergutautomat im Supermarkt prüft jede eingelegte Flasche und lehnt Flaschen ohne Pfand ab. Er irrt sich manchmal. Das Baumdiagramm im Material beschreibt die eingelegten Flaschen. Dabei bedeutet F: „die Flasche hat kein Pfand“ und R: „der Automat lehnt die Flasche ab“.
Material
a) Bestimme den Anteil der eingelegten Flaschen, die der Automat ablehnt.
Hilfe 1
Welche Flaschen kann der Automat ablehnen?
Hilfe 2
Lies im Baum alle Pfade ab, die bei R enden.
b) Eine Kundin ärgert sich: „Der Automat hat meine Flasche abgelehnt, dabei hat sie Pfand.“ Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine abgelehnte Flasche Pfand hat, und beurteile damit, ob solche Fälle selten sind.
Hilfe 1
Was weiß man über die Flasche schon, und was ist gefragt?
Hilfe 2
Gesucht ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit, deren Richtung nicht im Baum steht.
Hilfe 3
Teile den passenden Pfad durch das Ergebnis aus a).
c) Der Hersteller will erreichen, dass mindestens 90 % der abgelehnten Flaschen wirklich kein Pfand haben. Der Wert 0,95 im Baum bleibt gleich. Ermittle, wie groß der Anteil der Pfandflaschen, die der Automat ablehnt, dafür höchstens sein darf.
Hilfe 1
Ersetze im Baum den Wert 0,02 durch eine Unbekannte q.
Hilfe 2
Stelle PR(F) mit q auf und fordere mindestens 0,9.
Hilfe 3
Multipliziere mit dem Nenner und löse nach q auf.
Lösung zeigen
a) Alle abgelehnten Flaschen: Pfade zu R im Baum sammeln.
b) „eine abgelehnte Flasche hat Pfand“: Bedingung R, gefragt F̄. Der Baum hat die umgekehrte Richtung.
PR(F̄) = P(F̄ ∩ R)P(R) = 0,01920,0572 ≈ 0,336
Rund ein Drittel der abgelehnten Flaschen hat Pfand. Solche Fälle sind also nicht selten, obwohl der Automat nur 2 % der Pfandflaschen ablehnt. Der Grund: Pfandflaschen sind 24-mal so häufig wie Flaschen ohne Pfand. Bezogen auf alle eingelegten Flaschen ist der Fall dagegen selten: P(F̄ ∩ R) = 0,0192. Gewertet wird jede Beurteilung, die die Bezugsgruppe nennt.
c) Ein Zweig wird zur Unbekannten; die Zielbedingung ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Mit q als Anteil der Pfandflaschen, die der Automat ablehnt: PR(F) = 0,0380,038 + 0,96 · q
Der Automat darf höchstens etwa 0,44 % der Pfandflaschen ablehnen statt bisher 2 %.
3.4Zwei Wecker
Jonas stellt an jedem Schulmorgen zwei Wecker: den Wecker seines Handys und einen Radiowecker am Stromnetz. Er verschläft nur, wenn beide nicht klingeln. An 400 Schulmorgen hat er notiert: Der Handywecker klingelte an 10 Morgen nicht, der Radiowecker an 20 Morgen nicht, und an 6 Morgen klingelten beide nicht. Betrachtet werden für einen zufällig ausgewählten Morgen H: „der Handywecker klingelt nicht“ und R: „der Radiowecker klingelt nicht“.
a) Jonas rechnet: „Die Wecker fallen unabhängig voneinander aus. Also verschlafe ich nur an einem von 800 Morgen.“ Beurteile seine Überlegung anhand seiner Aufzeichnungen.
Hilfe 1
Woher kommt die Zahl 800? Rechne Jonas nach.
Hilfe 2
Prüfe mit den Daten, ob seine Annahme stimmt.
b) Berechne PR(H) und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
An wie vielen Morgen hat der Radiowecker nicht geklingelt?
Hilfe 2
Vergleiche mit P(H).
c) Nenne eine mögliche Ursache dafür, dass die Ausfälle zusammenhängen, und erläutere, wie Jonas den Zusammenhang verringern könnte.
Hilfe 1
Was könnte beide Wecker in derselben Nacht treffen?
Hilfe 2
Was haben Handy und Radiowecker gemeinsam?
Lösung zeigen
a) Jonas’ Rechnung setzt Unabhängigkeit voraus. Die Daten prüfen genau diese Annahme.
P(H) = 10400 = 0,025; P(R) = 20400 = 0,05; P(H) · P(R) = 0,00125 = 1800. So kommt Jonas auf seine Zahl.
Aus den Daten: P(H ∩ R) = 6400 = 0,015 ≠ 0,00125. H und R sind nicht unabhängig.
Tatsächlich hat er an etwa einem von 67 Morgen verschlafen, zwölfmal so oft wie gedacht. Seine Überlegung ist falsch.
b) Bedingte Wahrscheinlichkeit aus Anzahlen, dann Vergleich mit dem Wert ohne Bedingung.
PR(H) = 620 = 0,3
An Morgen, an denen der Radiowecker ausfällt, fällt in 30 % der Fälle auch der Handywecker aus. Sonst passiert das nur an 2,5 % aller Morgen.
c) Abhängigkeit deuten: eine gemeinsame Ursache suchen.
Mögliche Ursache: ein Stromausfall in der Nacht. Der Radiowecker geht aus, und das Handy hängt am Ladekabel, lädt nicht und ist morgens leer. Ebenso möglich: Jonas vergisst abends, beide Wecker zu stellen.
Abhilfe: einen Wecker nehmen, der nicht vom Stromnetz abhängt (Batterie), oder das Handy schon abends voll laden. Dann fallen die Wecker eher unabhängig voneinander aus.
3.5Musikschule
Eine Musikschule hat 240 Schülerinnen und Schüler. Jede Person lernt genau ein Instrument. Die Mehrfeldertafel im Material zeigt die Verteilung nach Alter und Instrument. Eine Person wird zufällig ausgewählt.
Klavier
Gitarre
Schlagzeug
Summe
unter 12 Jahre
36
44
16
96
ab 12 Jahre
54
56
34
144
Summe
90
100
50
240
Material
a) Ein Lehrer sagt: „Gitarre ist bei den Älteren beliebter als bei den Jüngeren, denn 56 Ältere spielen Gitarre, aber nur 44 Jüngere.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Sind beide Altersgruppen gleich groß?
Hilfe 2
„beliebter bei“ meint einen Anteil in der jeweiligen Gruppe.
b) Untersuche, ob die Ereignisse K: „spielt Klavier“ und U: „ist unter 12 Jahre“ stochastisch unabhängig sind, und deute dein Ergebnis.
Hilfe 1
Lies P(K), P(U) und P(K ∩ U) aus der Tafel ab.
Hilfe 2
Was bedeutet das Ergebnis für den Anteil der Klavierschüler in beiden Altersgruppen?
c) Eine zufällig ausgewählte Person lernt nicht Klavier. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie unter 12 Jahre ist, und vergleiche mit P(U).
Hilfe 1
Wie viele Personen lernen nicht Klavier, und wie viele davon sind unter 12?
Lösung zeigen
a) Zwei verschieden große Gruppen: Anteile in jeder Gruppe vergleichen, nicht Anzahlen.
Unter 12 Jahre: 4496 ≈ 0,458 spielen Gitarre. Ab 12 Jahre: 56144 ≈ 0,389.
Die Aussage ist falsch. Anteilig ist Gitarre bei den Jüngeren beliebter. Es gibt nur mehr Ältere, deshalb ist ihre Anzahl größer.
b) Kriterium an einer Mehrfeldertafel: eine Spalte gegen eine Zeile.
P(K) · P(U) = 0,375 · 0,4 = 0,15 = P(K ∩ U). K und U sind stochastisch unabhängig.
In beiden Altersgruppen lernen gleich viele Prozent Klavier: 3696 = 54144 = 37,5 %.
c) Bedingung „nicht Klavier“: zwei Spalten zusammenfassen.
PK̄(U) = 44 + 16100 + 50 = 60150 = 0,4 = P(U)
Auch ohne Klavier ist der Anteil der Jüngeren derselbe wie insgesamt. Das passt zu b): Sind K und U unabhängig, gilt das auch für K̄ und U.
Klausuraufgabe
4.1Stadtlauf
Bei einem Stadtlauf starten 1200 Personen auf der 5-km-Strecke und 800 Personen auf der 10-km-Strecke. Von den Startenden über 5 km sind 15 % Mitglied in einem Laufverein, von denen über 10 km 40 %. Unter allen Startenden wird eine Person zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die Ereignisse Z: „Die Person läuft 10 km.“ V: „Die Person ist Mitglied in einem Laufverein.“
a) Stelle den Sachzusammenhang in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel mit Anzahlen dar.4 BE
Hilfe 1
Die Prozentangaben beziehen sich auf je eine Strecke.
Hilfe 2
Rechne für jede Strecke die Vereinsmitglieder aus, dann die Summen.
b) Beschreibe die Bedeutung von PZ(V) und P(Z ∩ V) im Sachzusammenhang und gib beide Werte an.2 BE
Hilfe 1
Welche Gruppe ist bei PZ(V) die Bezugsmenge?
Hilfe 2
Bei P(Z ∩ V) sind es alle Startenden.
c) Unter den Vereinsmitgliedern wird eine Person zufällig ausgewählt. Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sie 10 km läuft.2 BE
Hilfe 1
Welche Gruppe ist jetzt die Bezugsmenge?
d) Prüfe Z und V auf stochastische Unabhängigkeit und deute dein Ergebnis im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Vergleiche P(Z ∩ V) mit dem Produkt der Randwahrscheinlichkeiten.
Hilfe 2
Was sagt das Ergebnis über Vereinsmitglieder und die Streckenwahl?
e) Im nächsten Jahr starten wieder 1200 Personen über 5 km, davon 180 Vereinsmitglieder, und 800 Personen über 10 km. Ermittle, wie viele Vereinsmitglieder dann über 10 km starten müssten, damit Z und V stochastisch unabhängig wären.3 BE
Hilfe 1
Bezeichne die gesuchte Anzahl mit x.
Hilfe 2
Unabhängig heißt: Der Anteil der Vereinsmitglieder ist auf der 10-km-Strecke so groß wie unter allen Startenden.
Lösung zeigen
a) Zwei Gruppen mit je einem Anteil: Innenfelder über die Gruppengröße, dann Ränder.
Ebenso richtig: Unabhängig heißt, der Anteil ist auf beiden Strecken gleich, also x800 = 1801200 = 0,15 und x = 120.
Es müssten 120 Vereinsmitglieder über 10 km starten.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.