Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bei vielen Zufallsversuchen willst du zuerst wissen, wie viele Ergebnisse überhaupt möglich sind. Bei wenigen hilft ein Baumdiagramm. Eine vierstellige PIN hätte aber schon 10 000 Pfade. Dann zählst du, ohne aufzuschreiben. Dafür gibt es eine Regel, drei Formeln und vor jeder Rechnung zwei Fragen: Zählt die Reihenfolge? Darf sich etwas wiederholen?
✎ Mini-Aufgabe: Aus den Ziffern 1, 2 und 3 sollen zweistellige Zahlen gebildet werden, keine Ziffer doppelt. Schreib alle auf. Wie viele sind es? Wie viele bleiben, wenn 12 und 21 als dasselbe gelten?
Lösung zeigen
12, 13, 21, 23, 31, 32: sechs Zahlen, also 3 · 2.
Gelten 12 und 21 als dasselbe, bleiben {1; 2}, {1; 3} und {2; 3}: drei Auswahlen, also 6 : 2.
2. Die Produktregel
Läuft eine Auswahl in mehreren Schritten ab und hat jeder Schritt eine feste Anzahl von Möglichkeiten, dann ist die Gesamtzahl das Produkt dieser Anzahlen. Im Baumdiagramm verzweigt sich jeder Pfad wieder gleich oft, jeder Schritt vervielfacht also die Zahl der Pfade.
Anzahl = n1 · n2 · … · nₖ
Beispiel: Food-Truck
Ein Wrap besteht aus einem Fladen (3 Sorten), einer Füllung (4 Sorten) und einer Soße (2 Sorten).
3 · 4 · 2 = 24 verschiedene Wraps
✎ Mini-Aufgabe: Ein Sneaker-Konfigurator bietet 5 Farben für die Sohle, 6 für das Obermaterial und 3 für die Schnürsenkel. Wie viele verschiedene Sneaker sind möglich?
Lösung zeigen
5 · 6 · 3 = 90 Sneaker.
3. Geordnet, mit Zurücklegen
Aus n Dingen wird k-mal hintereinander gewählt, und jedes darf wieder vorkommen. Dann stehen in jedem Schritt alle n zur Verfügung. Die Reihenfolge zählt: 1-2-3-4 ist eine andere PIN als 4-3-2-1.
Anzahl = nk (n: Vorrat, k: Anzahl der Züge)
Beispiel: PIN
Eine PIN hat vier Stellen, jede mit einer der Ziffern 0 bis 9.
104 = 10 000 PINs
n ist der Vorrat, k die Anzahl der Züge. Wer beides vertauscht, rechnet 410 = 1 048 576 statt 10 000.
4. Geordnet, ohne Zurücklegen, und die Fakultät
Jetzt bleibt das Gewählte draußen. Der Vorrat schrumpft mit jedem Zug um eins: n, dann n − 1, dann n − 2. Nach k Zügen ist der letzte Faktor n − k + 1.
Anzahl = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) (k Faktoren)
Beispiel: Siegerehrung
Bei einem Lauf mit 8 Teilnehmenden werden Gold, Silber und Bronze vergeben.
8 · 7 · 6 = 336 mögliche Siegerehrungen
Werden alle n Dinge angeordnet (k = n), entsteht das Produkt aller Zahlen von 1 bis n. Dafür gibt es ein eigenes Zeichen, die Fakultät. Auf dem Taschenrechner heißt die Taste x!.
n! = 1 · 2 · 3 · … · n 0! = 1
n
0
1
2
3
4
5
6
7
n!
1
1
2
6
24
120
720
5040
✎ Mini-Aufgabe: Eine Playlist enthält 6 Songs. Auf wie viele Arten kann man alle 6 nacheinander abspielen?
Lösung zeigen
6! = 720 Reihenfolgen.
5. Ungeordnet, ohne Zurücklegen: der Binomialkoeffizient
Oft ist die Reihenfolge egal. Wählst du aus 5 Personen 2 für ein Doppel, ist Ana mit Ben dasselbe Doppel wie Ben mit Ana. Du zählst trotzdem erst geordnet: 5 · 4 = 20. Jedes Doppel kommt darin 2! = 2-mal vor. Also gibt es 20 : 2 = 10 Doppel. Allgemein kommt jede Auswahl von k Dingen in der geordneten Zählung k!-mal vor.
nk = n · (n − 1) · … · (n − k + 1) : k! = n! : (k! · (n − k)!)
Gesprochen wird das „n über k“, auf dem Taschenrechner heißt es nCr.
Links werden aus den Ziffern 1, 2, 3 zwei ohne Zurücklegen gewählt: 3 · 2 = 6 Pfade. Die Pfade 12 und 21 gehören zur selben Auswahl {1; 2}, also bleiben 6 : 2! = 3 Auswahlen. Rechts mit Zurücklegen: 3² = 9 Pfade.
6. Welches Modell liegt vor?
Zwei Fragen, bevor du rechnest. Erstens: Zählt die Reihenfolge? Vertausch in Gedanken zwei gewählte Dinge. Entsteht etwas anderes (Plätze, Ämter, Stellen eines Codes), ist die Auswahl geordnet. Zweitens: Darf dasselbe mehrfach vorkommen?
geordnet (Reihenfolge zählt)
ungeordnet (Reihenfolge egal)
mit Zurücklegen
nk
kommt im Grundkurs nicht vor
ohne Zurücklegen
n · (n − 1) · … · (n − k + 1)
nk
✎ Mini-Aufgabe: Aus 30 Kursmitgliedern werden zwei für die Schülervertretung gewählt; die beiden Ämter sind gleich. Welches Modell liegt vor, und wie viele Möglichkeiten gibt es?
Besteht eine Aufgabe aus zwei Auswahlen, die beide getroffen werden („und“), bestimmst du jede Anzahl für sich und multiplizierst. Steht „oder“ zwischen zwei Fällen, die sich ausschließen, addierst du.
Beispiel: Ausschuss
2 von 7 Schülern und 2 von 5 Eltern, jeweils gleichberechtigt:
72 · 52 = 21 · 10 = 210 Ausschüsse
Ist „mindestens eine Wiederholung“ gefragt, zählst du das Gegenteil und ziehst es von allen ab.
Beispiel: PIN mit doppelter Ziffer
alle PINs: 104 = 10 000; ohne doppelte Ziffer: 10 · 9 · 8 · 7 = 5040
mit mindestens einer doppelten Ziffer: 10 000 − 5040 = 4960
Niemand bekommt zwei Ämter, auch wenn es nicht dasteht.
nebeneinander, in einer Reihe, alle anordnen
n!
nur, wenn wirklich alle angeordnet werden
Gruppe, Team, Ausschuss, Tipp, auf einen Griff, gleichberechtigt
nk
durch k! teilen nicht vergessen
jeder gegen jeden, jeder mit jedem
Paare ohne Reihenfolge: n2
Hat jeder Partner eine eigene Rolle, zählen beide Reihenfolgen.
… und …
Anzahlen multiplizieren
„oder“ bei Fällen, die sich ausschließen: addieren
mindestens eine, nicht alle verschieden
Gegenteil zählen und abziehen
alle minus die ohne Wiederholung
9. Was nirgends steht
Eine Person übernimmt nicht zwei Ämter und spielt nicht gegen sich selbst: ohne Zurücklegen, auch wenn das Wort fehlt.
Bei Codes, Passwörtern und Kennzeichen dürfen sich Zeichen wiederholen, solange nichts anderes dasteht.
Eine zweistellige oder dreistellige Zahl beginnt nicht mit 0.
Steht eine Person schon fest, wird nur noch aus den übrigen gewählt, und es ist ein Platz weniger frei.
„Ohne Extra“ kann selbst eine der Möglichkeiten sein.
Das Ergebnis ist eine Anzahl, keine Wahrscheinlichkeit.
10. Ein Sachbeispiel
Eine Theater-AG hat 14 Mitglieder. Für ein Stück werden die drei Rollen Hexe, Ritter und Erzählerin besetzt. Aus den übrigen Mitgliedern werden außerdem 4 für den Chor ausgewählt. Wie viele Besetzungen gibt es?
Was ist gefragt? Die Anzahl der Möglichkeiten, drei verschiedene Rollen und einen Chor aus 4 Personen zu besetzen.
Was steht nicht da? Niemand spielt zwei Rollen, und die Rollen sind verschieden: geordnet, ohne Zurücklegen. Der Chor ist eine Gruppe ohne Reihenfolge und wird nur aus den 11 übrigen gebildet.
b) „keine Ziffer doppelt“: Der Vorrat schrumpft von Ring zu Ring.
10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30 240 Einstellungen
c) „mindestens eine mehrfach“ ist das Gegenteil von „alle verschieden“.
Jede Einstellung hat entweder keine doppelte Ziffer oder mindestens eine. Also alle minus die ohne doppelte Ziffer:
100 000 − 30 240 = 69 760 Einstellungen
2.3Vorlesewettbewerb
Beim Vorlesewettbewerb einer Schule lesen 11 Schülerinnen und Schüler vor. Die Jury vergibt einen ersten, einen zweiten und einen dritten Platz.
a) Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, die drei Plätze zu besetzen.
Hilfe 1
Wie viele kommen für Platz 1 in Frage, wie viele danach für Platz 2?
Hilfe 2
Kann jemand zwei Plätze bekommen?
b) Vor dem Wettbewerb wird ausgelost, in welcher Reihenfolge alle 11 vorlesen. Bestimme die Anzahl der möglichen Reihenfolgen.
Hilfe 1
Jetzt werden alle angeordnet. Wie viele Faktoren brauchst du?
Hilfe 2
Für dieses Produkt gibt es ein eigenes Zeichen.
Lösung zeigen
a) Plätze sind verschieden, niemand bekommt zwei.
Für Platz 1 kommen 11 in Frage, für Platz 2 noch 10, für Platz 3 noch 9.
11 · 10 · 9 = 990 Möglichkeiten
b) Alle 11 werden angeordnet: k = n.
11! = 39 916 800 Reihenfolgen
2.4Stipendien
Eine Stiftung vergibt an 4 von 18 Bewerberinnen und Bewerbern je ein Stipendium. Sind alle vier Stipendien gleich, gibt es 184 = 3060 Möglichkeiten, die vier Personen auszuwählen.
a) Im nächsten Jahr sind die vier Stipendien verschieden hoch: 1000 €, 500 €, 300 € und 200 €. Ermittle mithilfe des Werts 3060 die Anzahl der Möglichkeiten, die vier Stipendien zu vergeben.
Hilfe 1
Nimm eine feste Auswahl von vier Personen. Auf wie viele Arten lassen sich die vier Beträge auf sie verteilen?
Hilfe 2
Das gilt für jede der 3060 Auswahlen.
b) Bestätige dein Ergebnis mit einer Rechnung, die den Wert 3060 nicht benutzt.
Hilfe 1
Vergib die Beträge nacheinander, zuerst die 1000 €.
Hilfe 2
Kann jemand zwei Stipendien bekommen?
Lösung zeigen
a) Erst auswählen, dann die vier verschiedenen Beträge verteilen.
Jede Auswahl von vier Personen lässt sich auf 4! = 24 Arten auf die vier Beträge verteilen.
3060 · 24 = 73 440 Möglichkeiten
b) Verschiedene Beträge sind wie Plätze: geordnet, ohne Zurücklegen.
Eine Familie nimmt 3 ihrer 12 Brettspiele mit in den Urlaub.
a) Zeige, dass es 220 Möglichkeiten gibt, die 3 Spiele auszuwählen, indem du zuerst mit Reihenfolge zählen.
Hilfe 1
Wie viele Möglichkeiten gibt es, wenn die Spiele nacheinander eingepackt werden und die Reihenfolge zählt?
Hilfe 2
Wie oft kommt dieselbe Auswahl von drei Spielen in dieser Zählung vor?
b) Begründe ohne Rechnung, dass es ebenso viele Möglichkeiten gibt, 9 der 12 Spiele auszuwählen.
Hilfe 1
Was ist mit den Spielen, die nicht ausgewählt werden?
Hilfe 2
Wenn 9 Spiele mitkommen, wie viele bleiben dann zu Hause?
Lösung zeigen
a) „Zeigen“: Jeder Schritt muss begründet dastehen, das Ergebnis allein reicht nicht.
Mit Reihenfolge: 12 · 11 · 10 = 1320.
Jede Auswahl von 3 Spielen kommt darin 3! = 6-mal vor, einmal je Reihenfolge.
1320 : 6 = 220. Es gibt also 220 Auswahlen.
b) Ohne Rechnung: Gesucht ist eine Zuordnung zwischen den beiden Arten auszuwählen.
Wer 9 Spiele einpackt, legt damit zugleich die 3 fest, die zu Hause bleiben, und umgekehrt. Jede Auswahl von 9 gehört zu genau einer Auswahl von 3.
Deshalb gilt 129 = 123 = 220.
Ohne Taschenrechner
2.6Postkarte mit Fotos
Für eine Postkarte werden drei von vier Fotos A, B, C und D nebeneinander gesetzt (links, Mitte, rechts). Das Material zeigt den Anfang eines Baumdiagramms; ausgeführt ist nur der Ast mit Foto A links.
Material
a) Bestimme die Anzahl aller möglichen Postkarten, ohne den Baum fertig zu zeichnen.
Hilfe 1
Wie viele Pfade hat der ausgeführte Ast?
Hilfe 2
Wie sehen die Äste für B, C und D links aus?
b) Gib an, auf wie vielen der Postkarten genau die Fotos A, B und C zu sehen sind. Bestimme damit die Anzahl der verschiedenen Auswahlen von drei Fotos.
Hilfe 1
Suche im ausgeführten Ast die Pfade mit A, B und C. In welchen anderen Ästen gibt es solche Pfade noch?
Hilfe 2
Gilt dieselbe Anzahl für jede Auswahl von drei Fotos?
Lösung zeigen
a) Der Baum zeigt die Struktur: Jede Stufe hat ein Foto weniger zur Wahl.
Der Ast mit A links hat 3 · 2 = 6 Pfade. Die Äste für B, C und D links sind genauso gebaut.
4 · 3 · 2 = 24 Postkarten
b) Dieselbe Auswahl erscheint im Baum mehrfach, einmal je Reihenfolge.
A, B und C lassen sich auf 3! = 6 Arten anordnen: ABC und ACB im ausgeführten Ast, je zwei weitere in den Ästen B und C.
Jede Auswahl von drei Fotos steht so auf 6 Postkarten: 24 : 6 = 4 Auswahlen. Das passt, denn jede Auswahl lässt genau eines der vier Fotos weg.
2.7Schachturnier
Bei einem Schachturnier spielt jeder Teilnehmer gegen jeden anderen genau eine Partie. Insgesamt werden 28 Partien gespielt.
a) Ermittle die Anzahl der Teilnehmer.
Hilfe 1
Wie viele Partien gäbe es bei n Teilnehmern? Stelle einen Term auf.
Hilfe 2
Setze den Term gleich 28 und löse nach n auf.
b) Bei einem zweiten Turnier mit denselben Teilnehmern spielt jeder gegen jeden zweimal, einmal mit Weiß und einmal mit Schwarz. Bestimme die Anzahl der Partien.
Hilfe 1
Ist „A hat Weiß gegen B“ dieselbe Partie wie „B hat Weiß gegen A“?
Hilfe 2
Zählt jetzt die Reihenfolge im Paar?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Die Anzahl ist gegeben, gesucht ist der Vorrat n.
Jede Partie ist ein Paar von Teilnehmern ohne Reihenfolge. Bei n Teilnehmern gibt es n2 = n · (n − 1) : 2 Partien.
n · (n − 1) : 2 = 28 ⇔ n · (n − 1) = 56 ⇔ n = 8, denn 8 · 7 = 56 (die Lösung n = −7 entfällt).
Am Turnier nehmen 8 Personen teil.
b) Wer Weiß hat, ist eine Rolle: Jetzt zählt die Reihenfolge im Paar.
Jetzt zählt, wer Weiß hat: geordnete Paare, 8 · 7 = 56 Partien, doppelt so viele wie vorher.
2.8Schloss mit n Symbolen
Ein Hersteller plant ein Schloss mit drei Ringen. Jeder Ring trägt dieselben n Symbole. Es sollen mindestens 500 verschiedene Einstellungen möglich sein.
a) Bestimme das kleinste n.
Hilfe 1
Stelle einen Term für die Anzahl der Einstellungen mit n auf.
Hilfe 2
Probiere einige Werte für n aus.
b) Eine zweite Ausführung lässt nur Einstellungen zu, in denen kein Symbol doppelt vorkommt. Bestimme auch hierfür das kleinste n.
Hilfe 1
Wie lautet der Term für die Anzahl jetzt?
Hilfe 2
Beginne mit dem Wert aus a) und prüfe, ob er noch reicht.
Lösung zeigen
a) Parameter gesucht: Anzahl als Term in n, dann die Bedingung „mindestens 500“.
b) Ohne Wiederholung wird die Anzahl kleiner; n muss vielleicht größer werden.
Anzahl: n · (n − 1) · (n − 2). Für n = 8: 8 · 7 · 6 = 336 < 500. Für n = 9: 9 · 8 · 7 = 504 ≥ 500.
Das kleinste n ist 9.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gezählt wird und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Kurs hat 24 Mitglieder. Drei von ihnen sollen gemeinsam ein Referat halten. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (2) Beim Kopfrechen-Wettbewerb desselben Kurses werden ein erster, ein zweiter und ein dritter Platz vergeben. Wie viele Möglichkeiten gibt es? (3) Ein Würfel wird viermal geworfen, die Augenzahlen werden der Reihe nach notiert. Wie viele Folgen gibt es?
Hilfe 1
Vertausche bei jeder Frage in Gedanken zwei der Gewählten. Entsteht etwas anderes?
Hilfe 2
Kann dieselbe Person oder dieselbe Augenzahl zweimal vorkommen?
b) Ein Kennzeichen soll nach dem Ortskürzel zwei Buchstaben und danach eine zweistellige Zahl tragen. Alle 26 Buchstaben sind erlaubt. Wie viele Kennzeichen sind so möglich? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Anzahl … 2. Was nicht dasteht: über die Buchstaben …; über die zweistellige Zahl … 3. Rechnen: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Wie viele Möglichkeiten gibt es für den ersten Buchstaben, wie viele für den zweiten?
Hilfe 2
Schreibe die kleinste und die größte zweistellige Zahl auf.
Hilfe 3
Buchstaben und Zahl werden beide gewählt: Was machst du mit den Anzahlen?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Modelle: Gruppe, Plätze, Folge mit Wiederholung.
(1) Gezählt werden Dreiergruppen ohne Reihenfolge, niemand doppelt: 243.
(2) Drei verschiedene Plätze, niemand doppelt: geordnet, ohne Zurücklegen, 24 · 23 · 22.
(3) Vier Würfe, jede Augenzahl kann wiederkommen, die Reihenfolge wird notiert: 64.
b) Zwei Teile, die beide gewählt werden; bei der Zahl steckt eine Bedingung im Wort „zweistellig“.
1. Gefragt ist die Anzahl der Kennzeichen aus zwei Buchstaben und einer zweistelligen Zahl.
2. Die Buchstaben dürfen sich wiederholen, die Reihenfolge zählt (AB ist nicht BA). Eine zweistellige Zahl beginnt nicht mit 0; möglich sind die 90 Zahlen von 10 bis 99.
3. 26² · 90 = 676 · 90 = 60 840
4. Es sind 60 840 Kennzeichen möglich.
5. Mit 100 statt 90 wären auch 00 bis 09 dabei, das sind keine zweistelligen Zahlen. Das Ergebnis liegt knapp unter 26² · 100 = 67 600, das passt.
3.2Schülervertretung
Für die Schülervertretung kandidieren 12 Schülerinnen und Schüler. Gewählt werden die Schulsprecherin oder der Schulsprecher, die Stellvertretung und die Kassenführung.
a) Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, die drei Ämter zu besetzen.
Hilfe 1
Sind die drei Ämter gleich?
Hilfe 2
Kann eine Person zwei Ämter haben?
b) Aus den übrigen Kandidierenden wird zusätzlich ein Festausschuss aus vier gleichberechtigten Mitgliedern gebildet. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, die Ämter und den Festausschuss zusammen zu besetzen.
Hilfe 1
Aus wie vielen Personen wird der Ausschuss gebildet?
Hilfe 2
Spielt im Ausschuss die Reihenfolge eine Rolle?
Hilfe 3
Ämter und Ausschuss werden beide besetzt.
c) Ein Schüler meint: „Für den Festausschuss gibt es 124 = 20 736 Möglichkeiten, denn jeder der vier Plätze kann mit einem der 12 besetzt werden.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welche Annahmen stecken in 124 über Wiederholung und Reihenfolge?
Hilfe 2
Wer steht für den Ausschuss überhaupt noch zur Wahl?
Lösung zeigen
a) Verschiedene Ämter, und dass niemand zwei übernimmt, steht nicht da.
Die Ämter sind verschieden, und niemand übernimmt zwei: geordnet, ohne Zurücklegen.
12 · 11 · 10 = 1320 Möglichkeiten
b) Zwei Auswahlen nacheinander; der Vorrat für die zweite ist kleiner.
Für den Ausschuss bleiben 9 Personen; die Reihenfolge zählt nicht: 94 = 126.
Ämter und Ausschuss werden beide besetzt: 1320 · 126 = 166 320 Möglichkeiten.
c) Eine fremde Rechnung beurteilen: jede Annahme darin mit der Situation vergleichen.
Die Aussage ist falsch. 124 lässt zu, dass dieselbe Person mehrere Plätze im Ausschuss hat; dort sitzt aber jede Person höchstens einmal.
124 zählt außerdem die Reihenfolgen derselben vier Personen einzeln, obwohl die Mitglieder gleichberechtigt sind.
Und wer schon ein Amt hat, steht nicht mehr zur Wahl. Richtig ist 94 = 126.
3.3Smoothie-Stand
Ein Smoothie-Stand auf dem Stadtfest mixt jeden Smoothie nach der Karte im Material. Die Früchte kommen zusammen in den Mixer.
Schritt
Auswahl
Basis
eine aus: Apfelsaft, Hafermilch, Joghurt
Früchte
zwei verschiedene aus: Banane, Erdbeere, Mango, Ananas, Kiwi, Heidelbeere, Himbeere, Pfirsich
Topping
Chiasamen, Kokosraspel, Haferflocken, Kakaonibs oder kein Topping
Material: Karte
a) Bestimme, wie viele verschiedene Smoothies der Stand anbieten kann.
Hilfe 1
Zähle jede Zeile der Karte für sich.
Hilfe 2
Spielt bei den Früchten die Reihenfolge eine Rolle?
Hilfe 3
Lies die Zeile „Topping“ bis zum Ende.
b) Am Nachmittag darf man statt zwei auch drei verschiedene Früchte wählen. Auf dem Schild steht nun: „Über 1000 Smoothies!“ Prüfe diese Angabe.
Hilfe 1
Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt nur für die Früchte?
Hilfe 2
Zwei Früchte oder drei Früchte: Können beide Fälle zugleich eintreten?
c) Eine Mitarbeiterin hat für die Früchte in a) mit 8 · 7 = 56 gerechnet. Erläutere, was sie damit gezählt hat.
Hilfe 1
Was bedeutet der erste Faktor, was der zweite?
Hilfe 2
Ist Banane und dann Mango ein anderer Smoothie als Mango und dann Banane?
Lösung zeigen
a) Drei Schritte, die alle gewählt werden; in jeder Zeile der Karte steckt eine eigene Frage.
Basis: 3 Möglichkeiten. Früchte: zwei verschiedene aus 8, die Reihenfolge im Mixer spielt keine Rolle: 82 = 28. Topping: 4 Sorten oder keins, also 5 Möglichkeiten.
3 · 28 · 5 = 420 Smoothies
b) Bei den Früchten gibt es nun zwei Fälle, die sich ausschließen.
Früchte: zwei oder drei, die Fälle schließen sich aus: 82 + 83 = 28 + 56 = 84.
3 · 84 · 5 = 1260 Smoothies. Die Angabe stimmt.
c) Eine Rechnung deuten: Welches Modell steckt in 8 · 7?
8 · 7 zählt die Früchte mit Reihenfolge: erst Banane, dann Mango wäre etwas anderes als erst Mango, dann Banane.
Im Mixer entsteht aber derselbe Smoothie. Jedes Paar ist doppelt gezählt; ihr Ergebnis wäre doppelt so groß wie richtig.
3.4Schul-WLAN
Für das Schul-WLAN gilt: Ein Passwort besteht aus genau 8 Zeichen. Erlaubt sind die 26 Großbuchstaben, die 26 Kleinbuchstaben und die Ziffern 0 bis 9; Umlaute und Sonderzeichen sind nicht erlaubt.
a) Berechne die Anzahl der möglichen Passwörter.
Hilfe 1
Wie viele Zeichen stehen für eine einzelne Stelle zur Verfügung?
Hilfe 2
Darf ein Zeichen mehrfach vorkommen?
b) Ein Rechner probiert 10 Milliarden Passwörter pro Sekunde. Ermittle, wie lange er höchstens braucht, um alle Passwörter durchzuprobieren, und beurteile, ob 8 Zeichen damit ausreichen.
Hilfe 1
Teile die Anzahl der Passwörter durch die Zahl der Versuche pro Sekunde.
Hilfe 2
Rechne die Sekunden in eine Einheit um, die man sich vorstellen kann.
c) Die Schule führt die Regel ein, dass jedes Passwort mindestens eine Ziffer enthalten muss. Untersuche, wie sich die Anzahl der möglichen Passwörter dadurch ändert, und deute das Ergebnis.
Hilfe 1
Zähle zuerst die Passwörter, welche die Regel nicht erfüllen.
Hilfe 2
Wie viele Zeichen stehen zur Verfügung, wenn keine Ziffer vorkommt?
Hilfe 3
Vergleiche das Ergebnis mit a): Was bedeutet das für jemanden, der alle Passwörter durchprobiert?
Lösung zeigen
a) Acht Stellen, jede aus demselben Vorrat; Groß- und Kleinbuchstaben sind verschiedene Zeichen.
Jede der 8 Stellen kann mit einem von 26 + 26 + 10 = 62 Zeichen besetzt werden, Zeichen dürfen sich wiederholen.
Nach höchstens gut 6 Stunden ist jedes Passwort gefunden. Gegen einen solchen Rechner reichen 8 Zeichen nicht.
c) „mindestens eine“: das Gegenteil zählen. Die Deutung braucht einen Vergleich mit a).
Gegenteil: Passwörter ganz ohne Ziffer, also nur aus 52 Buchstaben: 528 = 53 459 728 531 456.
Mit mindestens einer Ziffer: 628 − 528 = 164 880 377 053 440 ≈ 1,65 · 1014.
Die Anzahl sinkt um etwa ein Viertel, auf rund 75,5 % des Werts aus a). Für einen Rechner, der alle Passwörter durchprobiert, wird es dadurch etwas leichter, nicht schwerer.
Die Regel hilft nur gegen Passwörter aus einem Wort, die ein Angreifer zuerst probiert.
3.5Schwimmstaffel
Für die Schulstaffel beim Schwimmfest stehen 6 Schwimmerinnen bereit. Vier von ihnen schwimmen nacheinander die Abschnitte 1 bis 4.
a) Bestimme die Anzahl der möglichen Aufstellungen.
Hilfe 1
Sind die vier Abschnitte gleich?
Hilfe 2
Kann eine Schwimmerin zwei Abschnitte schwimmen?
b) Die Trainerin legt fest, dass Emma den letzten Abschnitt schwimmt. Bestimme die Anzahl der Aufstellungen unter dieser Bedingung.
Hilfe 1
Welche Abschnitte sind noch frei?
Hilfe 2
Aus wie vielen Schwimmerinnen werden sie besetzt?
c) Ein Vater rechnet für a) so: „Erst werden 4 der 6 ausgewählt, das sind 64 = 15 Möglichkeiten. Dann gibt es 4! = 24 Reihenfolgen. Also 15 + 24 = 39.“ Beurteile seine Rechnung.
Hilfe 1
Ist die Idee „erst auswählen, dann anordnen“ brauchbar?
Hilfe 2
Wie viele Reihenfolgen gehören zu einer einzigen Auswahl?
Lösung zeigen
a) Abschnitte sind Plätze; niemand schwimmt zweimal.
Die Abschnitte sind verschieden, niemand schwimmt zweimal: 6 · 5 · 4 · 3 = 360 Aufstellungen.
b) Eine Person steht fest: weniger Plätze, kleinerer Vorrat.
Abschnitt 4 ist besetzt. Für die Abschnitte 1 bis 3 bleiben 5 Schwimmerinnen: 5 · 4 · 3 = 60 Aufstellungen.
Kontrolle: Jede der 6 Schwimmerinnen ist in gleich vielen Aufstellungen Schlussschwimmerin, 360 : 6 = 60.
c) Eine fremde Rechnung: den richtigen Teil anerkennen, den Fehler benennen, das Ergebnis richtigstellen.
Die Idee ist richtig: erst auswählen, dann anordnen. Zu jeder der 15 Auswahlen gehören aber alle 24 Reihenfolgen; Auswahl und Reihenfolge werden beide festgelegt.
Also muss multipliziert werden: 15 · 24 = 360. Das stimmt mit a) überein.
Klausuraufgabe
4.1Debattierclub
Im Debattierclub einer Schule sind 9 Schülerinnen und 6 Schüler. Zu einem Wettbewerb schickt der Club ein Team aus vier Personen.
a) Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, das Team zusammenzustellen.2 BE
Hilfe 1
Haben die Teammitglieder verschiedene Rollen?
Hilfe 2
Kann jemand zweimal im Team sein?
b) In jeder Debatte sprechen die vier Teammitglieder in fester Folge: Eröffnung, Ergänzung, Erwiderung, Schlussrede. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten, aus dem Club vier Personen auszuwählen und ihnen die vier Reden zuzuteilen.2 BE
Hilfe 1
Die vier Reden sind verschieden. Was heißt das für die Reihenfolge?
Hilfe 2
Vergebe die Reden nacheinander, zuerst die Eröffnung.
c) Das Team soll aus zwei Schülerinnen und zwei Schülern bestehen. Bestimme die Anzahl der möglichen Teams.3 BE
Hilfe 1
Wähle die Schülerinnen und die Schüler getrennt aus.
Hilfe 2
Beide Auswahlen werden getroffen.
d) Lea, eine der Schülerinnen, leitet den Club und fährt auf jeden Fall mit. Bestimme die Anzahl der Teams aus zwei Schülerinnen und zwei Schülern, zu denen Lea gehört.2 BE
Hilfe 1
Wie viele Schülerinnen müssen neben Lea noch gewählt werden, und aus wie vielen?
Hilfe 2
An der Auswahl der Schüler ändert sich nichts.
e) In einem Protokoll steht ohne Erklärung: 94 + 64 = 126 + 15 = 141 Formuliere eine Frage zum Team, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und erläutere die Rechnung. Bestimme damit die Anzahl der Teams, zu denen mindestens eine Schülerin und mindestens ein Schüler gehören.3 BE
Hilfe 1
Was zählt 94 in diesem Club, was 64? Warum wird addiert?
Hilfe 2
Welche Teams bleiben übrig, wenn man diese Teams von allen Teams aus a) abzieht?
f) Ein Clubmitglied rechnet für c) mit 9 · 8 · 6 · 5 = 2160. Erläutere, was diese Rechnung zählt und wie man daraus das Ergebnis von c) erhält.2 BE
Hilfe 1
Was zählt 9 · 8, wenn Ana und Bea gewählt werden?
Hilfe 2
Wie oft kommt dasselbe Team in 2160 vor?
Lösung zeigen
a) Ein Team ohne Rollen: ungeordnet, ohne Zurücklegen.
Im Team sind alle gleichberechtigt, niemand ist doppelt: 154 = 1365 Teams.
b) Jetzt haben die vier Personen Rollen: geordnet.
Die Reden sind verschieden, niemand hält zwei: 15 · 14 · 13 · 12 = 32 760 Möglichkeiten.
Ebenso richtig: 1365 · 4! = 1365 · 24 = 32 760.
c) Zwei getrennte Auswahlen aus zwei Gruppen, die beide getroffen werden.
Schülerinnen: 92 = 36. Schüler: 62 = 15.
Beide Auswahlen werden getroffen: 36 · 15 = 540 Teams.
d) Eine Person steht fest: Bei den Schülerinnen ist nur noch ein Platz frei.
Lea steht fest. Aus den übrigen 8 Schülerinnen wird eine gewählt, aus den 6 Schülern zwei: 8 · 62 = 8 · 15 = 120 Teams.
e) Eine fertige Rechnung deuten: Frage finden, jeden Term in der Sache erklären; danach „mindestens eine … und mindestens ein …“ über das Gegenteil.
Frage: Wie viele Teams bestehen nur aus Schülerinnen oder nur aus Schülern?
94 = 126 zählt die Teams nur aus Schülerinnen, 64 = 15 die Teams nur aus Schülern. Kein Team ist beides, deshalb wird addiert: 141.
Alle übrigen Teams enthalten mindestens eine Schülerin und mindestens einen Schüler: 1365 − 141 = 1224 Teams.
f) Eine fremde Rechnung: Welches Modell steckt darin, und wie oft ist jedes Team gezählt?
9 · 8 zählt die beiden Schülerinnen mit Reihenfolge, also jedes Paar zweimal; ebenso 6 · 5 bei den Schülern. Jedes Team ist damit 2 · 2 = 4-mal gezählt.
2160 : 4 = 540, das ist das Ergebnis von c).
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Zählen statt zeichnen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.