Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Laplace-Wahrscheinlichkeit ist der Anteil der günstigen an allen möglichen Ergebnissen, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind. Neu ist hier nicht die Formel, sondern der Weg zu den beiden Zahlen: Werden mehrere Dinge auf einmal gezogen, lassen sich günstige und mögliche Fälle nicht mehr abzählen. Du zählst sie mit dem Binomialkoeffizienten aus der Kombinatorik.
P(E) = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl der möglichen Ergebnisse
2. Ziehen ohne Zurücklegen: genau k Treffer
In einer Urne liegen 10 Kugeln, 4 rote und 6 blaue. Du greifst 3 Kugeln auf einmal. Jede Auswahl von 3 Kugeln ist gleich wahrscheinlich.
Beispiel: genau 2 rote unter 3 gezogenen
mögliche Griffe: 103 = 120
günstige Griffe: 2 der 4 roten und 1 der 6 blauen, also 42 · 61 = 6 · 6 = 36
P(genau 2 rote) = 36120 = 0,3
P(genau k Treffer) = Kk · N − Kn − k / Nn
N ist die Zahl aller Objekte, K die Zahl der Treffer darunter, n die Zahl der gezogenen und k die gewünschte Trefferzahl. So prüfst du jeden Bruch: Die oberen Zahlen im Zähler ergeben zusammen N, die unteren zusammen n.
✎ Mini-Aufgabe: In einer Dose liegen 12 gleich aussehende Teelichter, 5 davon mit Vanilleduft. Du nimmst ohne hinzusehen 3 auf einmal heraus. Wie wahrscheinlich sind genau 2 mit Vanilleduft dabei?
Lösung zeigen
52 · 71 / 123 = 10 · 7220 = 70220 = 722 ≈ 0,318
Ziehst du nacheinander und legst nicht zurück, ändert das nichts, solange nur gefragt ist, wie viele Treffer dabei sind. Die Reihenfolge spielt dann keine Rolle.
3. Lotto: dasselbe Schema mit großen Zahlen
Beim Lotto „6 aus 49“ kreuzt du 6 Zahlen an. Damit zerfallen die 49 Kugeln in zwei Sorten: 6 angekreuzte (Treffer) und 43 andere. Gezogen werden 6 Kugeln ohne Zurücklegen.
Beispiel: genau 4 Richtige
mögliche Ziehungen: 496 = 13 983 816
günstige: 64 · 432 = 15 · 903 = 13 545
P(4 Richtige) = 13 54513 983 816 ≈ 0,000969, also etwa ein Tipp von 1 000
✎ Mini-Aufgabe: Berechne mit demselben Schema die Wahrscheinlichkeit für genau 3 Richtige. Es ist 433 = 12 341.
Legst du jede Kugel vor dem nächsten Zug zurück, ist die Urne jedes Mal wieder voll. P(rot) = 0,4 bleibt bei jedem Zug gleich, und du rechnest mit den Pfadregeln aus dem Baumdiagramm.
Beispiel: dreimal mit Zurücklegen, genau 2 rote
ein Pfad mit 2 roten und 1 blauen, etwa rrb: 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,096
Solche Pfade gibt es 32 = 3: rrb, rbr, brr.
P(genau 2 rote) = 3 · 0,096 = 0,288
P = Anzahl der Pfade · Wahrscheinlichkeit eines Pfades
✎ Mini-Aufgabe: Du ziehst aus derselben Urne viermal mit Zurücklegen. Wie wahrscheinlich ist genau eine rote Kugel dabei?
Lösung zeigen
4 Pfade (die rote Kugel kommt beim 1., 2., 3. oder 4. Zug), jeder mit 0,4 · 0,6³ = 0,0864.
P = 4 · 0,0864 = 0,3456
5. Beide Modelle bei wachsender Urne
Dieselbe Frage, zwei Modelle: ohne Zurücklegen 0,3, mit Zurücklegen 0,288. Der Unterschied entsteht, weil die Urne ohne Zurücklegen nach jedem Zug kleiner wird: Nach einer roten Kugel sinkt der Rot-Anteil von 410 auf 39. Lässt du die Urne wachsen und den Rot-Anteil bei 40 %, rückt der Wert ohne Zurücklegen immer näher an 0,288. Bei 1 000 Kugeln fällt der Anteil nach einer roten nur noch von 4001000 auf 399999.
Wahrscheinlichkeit für genau 2 rote unter 3 gezogenen Kugeln ohne Zurücklegen, wenn die Urne N Kugeln enthält, davon 40 % rot. Die markierten Punkte gehören zu Urnen mit 20, 50, 100 und 200 Kugeln; die Linie verbindet sie. Gestrichelt der Wert mit Zurücklegen, 0,288.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
auf einmal gegriffen, entnommen, ausgelost
Ziehen ohne Zurücklegen
Binomialkoeffizienten in Zähler und Nenner
nacheinander gezogen, nicht zurückgelegt
auch ohne Zurücklegen
Für die Trefferzahl zählt die Reihenfolge nicht.
zurückgelegt, wieder hineingemischt, mehrmals gedreht
Ziehen mit Zurücklegen
Anzahl der Pfade mal Pfadwahrscheinlichkeit
aus einer sehr großen Menge ausgewählt (Stadt, Lager)
eigentlich ohne Zurücklegen, gerechnet wird mit Zurücklegen
nur, wenn die Stichprobe winzig gegen die Menge ist
genau k
k Treffer und n − k andere
die anderen im Zähler mitzählen
mindestens einer
Gegenereignis „keiner“
1 − P(keiner)
höchstens k, mindestens k
Summe mehrerer Fälle
die kürzere Seite oder das Gegenereignis rechnen
Hauptgewinn, 6 Richtige
eine einzige günstige Auswahl
Zähler 1
7. Was nirgends steht
Alle Auswahlen sind gleich wahrscheinlich. Das steckt in „zufällig“, „ohne hinzusehen“, „ausgelost“. Ohne diese Annahme gibt es keine Laplace-Wahrscheinlichkeit.
Wer ausgelost oder entnommen wird, kommt nicht zurück. Ohne Zurücklegen ist der Normalfall, auch wenn das Wort nicht fällt.
Zähler und Nenner zählen mit demselben Modell. Ein Binomialkoeffizient im Nenner verträgt kein Produkt aus Wahrscheinlichkeiten im Zähler.
Zwei getrennte Ziehungen, etwa aus zwei Trommeln, multiplizierst du.
✎ Mini-Aufgabe: Aus einer Klasse mit 25 Schülerinnen und Schülern werden 3 für den Ordnungsdienst ausgelost. Mit oder ohne Zurücklegen? Begründe in einem Satz.
Lösung zeigen
Ohne Zurücklegen: Wer schon ausgelost ist, kann nicht ein zweites Mal gezogen werden.
8. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
In einem Eierkarton liegen 10 Eier, 2 davon haben einen feinen Riss. Lea nimmt für einen Kuchen 3 Eier, ohne genau hinzusehen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens ein Ei mit Riss dabei?
Was ist gefragt? P(mindestens ein Ei mit Riss) bei 3 von 10 Eiern.
Was steht nicht da? Lea legt kein Ei zurück: ohne Zurücklegen. „Ohne hinzusehen“ heißt: Jede Auswahl von 3 Eiern ist gleich wahrscheinlich. „Mindestens eins“ rechne ich über das Gegenereignis „kein Ei mit Riss“.
Antwortsatz Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 53 % hat Lea mindestens ein Ei mit Riss erwischt.
Prüfen Direkt gezählt: genau eins 21 · 82 = 56, genau zwei 22 · 81 = 8, zusammen 64120 = 815. Das passt.
9. Typische Fehler
Nur die Treffer zählen: 42 / 103 vergisst, womit der Griff aufgefüllt wird. 61 gehört dazu.
Ohne Zurücklegen mit festen Wahrscheinlichkeiten rechnen: 0,4 · 0,4 · 0,6 tut so, als würde die Urne nicht kleiner.
Mit Zurücklegen die Anzahl der Pfade vergessen: 0,096 ist ein Pfad, die Antwort ist 3 · 0,096.
„Mindestens 2“ als „genau 2“ lesen.
Zu früh runden: Zwischenwerte als Bruch stehen lassen, erst am Ende runden.
Rechnen
2.1Skat
Ein Skatblatt hat 32 Karten, darunter 4 Buben. Nach dem Mischen und Geben liegen 2 Karten verdeckt als „Skat“ auf dem Tisch; welche das sind, ist zufällig.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Karten im Skat Buben sind.
Hilfe 1
Wie viele verschiedene Paare von 2 Karten kann der Skat bilden?
Hilfe 2
Wie viele dieser Paare bestehen nur aus Buben?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau ein Bube im Skat liegt.
Hilfe 1
Der Skat besteht dann aus einem Buben und einer weiteren Karte. Aus wie vielen Karten kommt die zweite?
Hilfe 2
Für jede Sorte steht ein Binomialkoeffizient im Zähler.
Lösung zeigen
a) Zwei Karten ohne Zurücklegen aus 32: Zähler und Nenner mit Binomialkoeffizienten.
mögliche Skats: 322 = 496; günstige: 42 = 6
P(zwei Buben) = 6496 = 3248 ≈ 0,0121
b) „genau ein“: ein Bube aus 4 und eine andere Karte aus 28.
günstige Skats: 41 · 281 = 4 · 28 = 112
P(genau ein Bube) = 112496 = 731 ≈ 0,2258
2.2Lotto 6 aus 49
Beim Lotto „6 aus 49“ werden aus 49 nummerierten Kugeln 6 ohne Zurücklegen gezogen. Ein Tipp besteht aus 6 angekreuzten Zahlen. Zusatz- und Superzahl bleiben unberücksichtigt.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für genau 5 Richtige.
Hilfe 1
In welche zwei Sorten zerfallen die 49 Zahlen durch deinen Tipp?
Hilfe 2
5 der gezogenen Zahlen sind angekreuzt. Woher kommt die sechste?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3 Richtige.
Hilfe 1
Welche Anzahlen von Richtigen gehören zu „mindestens 3“?
Hilfe 2
Ist es kürzer, diese Fälle direkt zu zählen oder über das Gegenereignis?
Lösung zeigen
a) Zwei Sorten: 6 angekreuzte und 43 andere Zahlen.
günstige Ziehungen: 65 · 431 = 6 · 43 = 258
P(5 Richtige) = 25813 983 816 ≈ 0,0000184
b) „mindestens 3“: 3, 4, 5 oder 6 Richtige; vier Fälle direkt sind kürzer als drei Fälle beim Gegenereignis mit großen Zahlen.
Mindestens 3 Richtige heißt 3, 4, 5 oder 6 Richtige.
In einer Kiste liegen 20 Äpfel, 5 davon haben eine Druckstelle. Für einen Obstsalat werden 4 Äpfel zufällig herausgenommen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner der 4 Äpfel eine Druckstelle hat, beträgt 13654845 ≈ 0,2817.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der 4 Äpfel eine Druckstelle hat.
Hilfe 1
Welches Ereignis ist das Gegenteil von „mindestens einer“?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der 4 Äpfel eine Druckstelle hat.
Hilfe 1
Der Nenner steckt schon in der Angabe oben.
Hilfe 2
Ein Apfel mit Druckstelle aus 5, die übrigen aus den einwandfreien.
c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der 4 Äpfel eine Druckstelle haben.
Hilfe 1
Welche Fälle bleiben übrig, wenn man „keiner“ und „genau einer“ ausschließt?
Hilfe 2
Die beiden Wahrscheinlichkeiten dafür kennst du schon.
Lösung zeigen
a) „mindestens einer“ ist das Gegenereignis zu „keiner“, und „keiner“ ist gegeben.
Beim Sportfest melden sich 9 Freiwillige als Streckenposten, 3 davon haben einen Erste-Hilfe-Kurs. 3 Posten werden unter den 9 ausgelost.
a) Zeige, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine ausgeloste Person einen Erste-Hilfe-Kurs hat, 1528 beträgt.
Hilfe 1
Wie viele verschiedene Gruppen von 3 Personen sind möglich?
Hilfe 2
Wie viele Gruppen enthalten genau eine Person mit Kurs und zwei ohne?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine der ausgelosten Personen einen Erste-Hilfe-Kurs hat.
Hilfe 1
Aus welcher Gruppe stammen dann alle drei?
Lösung zeigen
a) „Zeigen Sie“: Zähler und Nenner vollständig aufschreiben und auf 1528 kürzen.
mögliche Gruppen: 93 = 84
günstige: 31 · 62 = 3 · 15 = 45
P(genau eine mit Kurs) = 4584 = 1528
b) Alle drei kommen aus den 6 Personen ohne Kurs.
63 / 93 = 2084 = 521 ≈ 0,2381
2.5Laptopwagen
Im Laptopwagen einer Schule stehen 32 gleich aussehende Laptops, 4 davon mit klemmender Leertaste.
a) Ali nimmt sich an vier Schultagen morgens zufällig einen Laptop aus dem Wagen und stellt ihn nachmittags wieder hinein. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er an genau zwei der vier Tage einen Laptop mit klemmender Leertaste erwischt.
Hilfe 1
Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für einen Laptop mit klemmender Taste von Tag zu Tag?
Hilfe 2
Wie wahrscheinlich ist ein einzelner Pfad mit 2 klemmenden und 2 einwandfreien Laptops, und wie viele solche Pfade gibt es?
b) Für eine Gruppenarbeit nimmt die Lehrerin 4 Laptops zufällig heraus. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei davon eine klemmende Leertaste haben, und vergleiche das Ergebnis mit a).
Hilfe 1
Welches Modell liegt jetzt vor?
Hilfe 2
Was passiert mit dem Anteil der klemmenden Laptops im Wagen, nachdem die Lehrerin einen davon herausgenommen hat?
Lösung zeigen
a) Jeder Laptop steht am nächsten Morgen wieder im Wagen: mit Zurücklegen, Anzahl der Pfade mal Pfadwahrscheinlichkeit.
P(klemmende Taste) = 432 = 18 an jedem Tag
ein Pfad mit 2 klemmenden und 2 einwandfreien Laptops: (18)² · (78)² = 494096; Anzahl der Pfade: 42 = 6
Der Wert ist kleiner als in a): Nach einem herausgenommenen klemmenden Laptop sind weniger davon im Wagen, ein zweiter wird seltener erwischt.
Ohne Taschenrechner
2.6Term lesen
Zu einer Ziehung ohne Zurücklegen gehört der Term 62 · 42 / 104.
a) Gib an, wie viele Objekte insgesamt vorhanden sind, wie viele davon Treffer sind, wie viele gezogen werden und welches Ereignis der Term beschreibt.
Hilfe 1
Was zählt der Nenner?
Hilfe 2
Die unteren Zahlen im Zähler sagen, wie viele aus jeder Sorte gezogen werden.
b) Berechne den Wert des Terms.
Hilfe 1
104 rechne als Bruch aus vier Faktoren über 4!.
Lösung zeigen
a) Rückwärts lesen: Nenner liefert Vorrat und Stichprobe, jeder Faktor im Zähler eine Sorte.
10 Objekte, davon 6 Treffer und 4 andere; gezogen werden 4.
Ereignis: Unter den 4 gezogenen sind genau 2 Treffer und 2 andere. Ebenso richtig: 4 Treffer und 6 andere, genau 2 Treffer.
b) Kleine Binomialkoeffizienten von Hand, dann kürzen.
62 = 15, 42 = 6, 104 = 10 · 9 · 8 · 724 = 210
15 · 6210 = 90210 = 37
2.7Zwei Namen im Lostopf
Aus einer Gruppe von n Personen werden 2 Personen zufällig ausgelost. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau Mia und Tom ausgelost werden, beträgt 145.
a) Bestimme n.
Hilfe 1
Wie viele der möglichen Paare sind günstig?
Hilfe 2
Schreibe die Zahl aller Paare als Term in n.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Mia unter den beiden Ausgelosten ist.
Hilfe 1
Mit wem kann Mia zusammen ausgelost werden?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Nur ein Paar ist günstig; die Zahl aller Paare ist ein Term in n.
Nur eine Auswahl ist günstig: 1/n2 = 145, also n2 = n · n − 12 = 45.
n · (n − 1) = 90 = 10 · 9, also n = 10.
b) Mia ist gesetzt, die zweite Person kommt aus den übrigen.
günstig: Mia und eine der 9 anderen, 11 · 91 = 9
P(Mia dabei) = 945 = 15
2.8Filzstifte
In einem Becher stecken 6 gleich aussehende Filzstifte; einige davon sind ausgetrocknet. Jonas zieht ohne hinzusehen 2 Stifte. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide schreiben, beträgt 25.
a) Ermittle, wie viele der 6 Stifte ausgetrocknet sind.
Hilfe 1
Nenne die Zahl der schreibenden Stifte s und stelle den Bruch für „beide schreiben“ auf.
Hilfe 2
Welcher Binomialkoeffizient s2 hat den passenden Wert?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer der beiden gezogenen Stifte ausgetrocknet ist.
Hilfe 1
Verwende die Zusammensetzung aus a).
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Wahrscheinlichkeit gegeben, Zusammensetzung gesucht.
s Stifte schreiben: s2 / 62 = 25, also s2 = 25 · 15 = 6.
42 = 6, also s = 4. Es sind 2 Stifte ausgetrocknet.
b) Mit der Zusammensetzung aus a) ein gewöhnlicher Bruch.
41 · 21 / 62 = 815
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, welches Modell passt und wie der Ansatz aussieht. Rechne nicht. (1) Bei einer Verkostung stehen 12 Joghurtbecher, 4 davon laktosefrei. Ben nimmt nacheinander 3 Becher und isst sie. Wie wahrscheinlich sind genau 2 laktosefreie dabei? (2) Eine Vokabel-App zeigt aus 50 Karten zufällig eine an; danach kommt die Karte wieder in den Stapel. 10 der Karten sind neu. Wie wahrscheinlich ist unter den nächsten 3 angezeigten Karten genau eine neue? (3) Ein Chor mit 25 Mitgliedern verlost 3 Konzertkarten; jedes Mitglied kann höchstens eine gewinnen. Wie wahrscheinlich gewinnt mindestens eine der Schwestern Ada, Bea und Cleo?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist das Gezogene beim nächsten Zug wieder dabei?
Hilfe 2
„nacheinander“ allein entscheidet noch nichts.
Hilfe 3
Bei „mindestens eine“: Welches Gegenereignis ist leichter zu zählen?
b) Für die Auszählung einer Wahl werden aus 15 freiwilligen Helferinnen und Helfern 4 ausgelost; 6 der 15 sind Erstwähler. Wie wahrscheinlich sind mindestens 2 Erstwähler unter den Ausgelosten? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist P(…) bei 4 aus 15. 2. Was nicht dasteht: Ausgeloste kommen … Modell: … „Mindestens 2“ heißt …, kürzer über … 3. Rechnen: 154 = …; P(kein Erstwähler) = …; P(genau einer) = …; P(mindestens 2) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Kann eine ausgeloste Person ein zweites Mal gezogen werden?
Hilfe 2
Welche Anzahlen gehören zu „mindestens 2“, welche zum Gegenteil?
Hilfe 3
Für jede Anzahl Erstwähler ein Bruch mit zwei Binomialkoeffizienten im Zähler.
Lösung zeigen
a) Drei Situationen: ohne Zurücklegen trotz „nacheinander“, mit Zurücklegen, ohne Zurücklegen mit Gegenereignis.
(1) Ohne Zurücklegen; „nacheinander“ ändert nichts an der Trefferzahl. Ansatz: 42 · 81 / 123.
(2) Mit Zurücklegen, P(neu) = 1050 = 0,2 bei jeder Karte. Ansatz: 3 Pfade mal 0,2 · 0,8².
(3) Ohne Zurücklegen, „mindestens eine“ über das Gegenereignis „keine der drei“. Ansatz: 1 − 223 / 253.
b) Auslosen: ohne Zurücklegen. „Mindestens 2“ ist kürzer über „0 oder 1“.
1. Gefragt ist P(mindestens 2 Erstwähler) bei 4 aus 15 Ausgelosten.
2. Ausgeloste kommen nicht zurück: ohne Zurücklegen. „Mindestens 2“ heißt 2, 3 oder 4; kürzer über das Gegenereignis „0 oder 1“.
4. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 54 % sind mindestens 2 Erstwähler unter den 4 Ausgelosten.
5. Erstwähler sind 6 von 15, also 40 %; 40 % von 4 Personen sind 1,6. Dass mindestens 2 in etwas mehr als der Hälfte der Auslosungen vorkommen, ist plausibel.
3.2Balkonkraftwerke
Die Stadtwerke befragen in Wohnanlagen jeweils 4 zufällig ausgewählte Haushalte; kein Haushalt wird zweimal befragt. Angenommen wird, dass in jeder Wohnanlage genau jeder fünfte Haushalt ein Balkonkraftwerk betreibt. Gefragt ist jeweils, wie wahrscheinlich genau einer der 4 befragten Haushalte ein Balkonkraftwerk hat. Material 1 und Material 2 zeigen diese Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Zahl N der Haushalte einer Wohnanlage.
Haushalte N
20
50
100
200
davon mit Balkonkraftwerk
4
10
20
40
P(genau einer von 4)
0,4290
0,4191
0,4143
Material 1
Material 2
a) Berechne den fehlenden Wert in Material 1 für eine Wohnanlage mit 20 Haushalten.
Hilfe 1
Wird ein befragter Haushalt noch einmal ausgewählt?
Hilfe 2
Teile die 20 Haushalte in zwei Sorten.
b) Ein Mitarbeiter rechnet einfacher so, als würde jeder Haushalt nach der Befragung wieder in die Auswahl zurückgelegt. Berechne den Wert, den er erhält, und gib an, ob dieser Wert von N abhängt.
Hilfe 1
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein ausgewählter Haushalt ein Balkonkraftwerk, wenn zurückgelegt wird?
Hilfe 2
Wie viele Pfade mit genau einem Balkonkraftwerk gibt es?
c) Beschreibe anhand des Materials, wie sich die Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen mit wachsendem N verändert, und begründe die Veränderung im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Vergleiche die Werte mit dem Ergebnis aus b).
Hilfe 2
Wie ändert sich der Anteil der Haushalte mit Balkonkraftwerk unter den noch nicht befragten, wenn der erste befragte Haushalt keines hat? Vergleiche N = 20 und N = 200.
d) In einer Großstadt mit 400 000 Haushalten, von denen ebenfalls 20 % ein Balkonkraftwerk haben, werden 4 Haushalte befragt. Beurteile, ob die Stadtwerke dort mit dem Wert aus b) rechnen können.
Hilfe 1
Wie groß ist der Abstand zum Wert aus b) schon bei N = 200?
Lösung zeigen
a) Kein Haushalt zweimal: ohne Zurücklegen, 4 mit und 16 ohne Balkonkraftwerk.
Ohne Zurücklegen, 4 Haushalte mit und 16 ohne Balkonkraftwerk.
41 · 163 / 204 = 4 · 5604845 = 22404845 ≈ 0,4623
b) Mit Zurücklegen: Pfadanzahl mal Pfadwahrscheinlichkeit, nur der Anteil zählt.
P(Balkonkraftwerk) = 0,2 bei jeder Auswahl; 4 Pfade mit je 0,2 · 0,8³ = 0,1024
P = 4 · 0,1024 = 0,4096. Der Wert hängt nicht von N ab, nur vom Anteil 20 %.
c) Beschreiben und begründen: Verlauf ablesen, dann über den Anteil nach dem ersten Zug argumentieren.
Die Werte fallen mit wachsendem N und nähern sich immer langsamer dem Wert 0,4096 aus b).
Begründung: Ohne Zurücklegen ändert sich der Anteil nach jeder Befragung. Hat der erste befragte Haushalt kein Balkonkraftwerk, steigt der Anteil bei N = 20 von 420 = 20 % auf 419 ≈ 21 %, bei N = 200 nur von 40200 auf 40199 ≈ 20,1 %. In großen Anlagen bleibt der Anteil praktisch bei 20 %, wie beim Ziehen mit Zurücklegen.
d) Urteil mit Grund: Größe der Grundgesamtheit gegen die Stichprobe von 4.
Ja. Bei 400 000 Haushalten ändert die Befragung von 4 Haushalten den Anteil praktisch nicht.
Schon bei 200 Haushalten liegt der Wert nur noch etwa 0,005 über 0,4096; bei 400 000 ist der Abstand verschwindend klein.
3.3Praktikumsplätze
Ein Krankenhaus vergibt 6 Plätze für ein Schülerpraktikum per Los unter 30 Bewerbungen. 10 der Bewerbungen kommen von Schülerinnen und Schülern der Goethe-Schule. Jede Bewerbung hat dieselbe Chance, und niemand kann zwei Plätze bekommen.
a) Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 2 Plätze an die Goethe-Schule gehen.
Hilfe 1
Welche Anzahlen gehören zu „mindestens 2“, welche zum Gegenteil?
Hilfe 2
Für jede dieser Anzahlen ein Bruch mit Binomialkoeffizienten.
b) Die Goethe-Schule stellt ein Drittel der Bewerbungen. Ein Lehrer sagt: „Dann bekommen wir mit großer Wahrscheinlichkeit genau 2 der 6 Plätze, also ein Drittel.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welche Wahrscheinlichkeit musst du berechnen, um die Aussage zu prüfen?
Hilfe 2
Was hieße „mit großer Wahrscheinlichkeit“ als Zahl?
c) Bei der Auslosung geht kein Platz an die Goethe-Schule. Die Schulleiterin vermutet, dass nicht fair gelost wurde. Beurteile diese Vermutung.
Hilfe 1
Wie wahrscheinlich ist dieses Ergebnis bei einer fairen Auslosung?
Hilfe 2
Ist ein seltenes Ergebnis schon ein Beweis?
Lösung zeigen
a) „mindestens 2“ von 6: kürzer über „0 oder 1“.
Ohne Zurücklegen, 6 aus 30; mögliche Auslosungen: 306 = 593 775
Die Aussage stimmt nicht. Genau 2 Plätze gibt es nur mit etwa 37 %; in fast zwei Dritteln der Auslosungen sind es mehr oder weniger als 2.
c) Wert aus a) deuten: selten heißt nicht unmöglich.
P(keiner) = 38 760593 775 ≈ 0,065. Bei fairer Auslosung kommt so ein Ergebnis etwa in jeder 15. Auslosung vor.
Das ist selten, aber kein Beleg für eine unfaire Auslosung.
3.4Eurojackpot
Beim Eurojackpot werden aus einer Trommel 5 von 50 Zahlen gezogen und aus einer zweiten Trommel 2 von 12 Eurozahlen, beide ohne Zurücklegen. Auf dem Spielschein kreuzt man 5 der 50 Zahlen und 2 der 12 Eurozahlen an. Den Hauptgewinn gibt es für 5 richtige Zahlen und 2 richtige Eurozahlen.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit für den Hauptgewinn.
Hilfe 1
Zähle die Möglichkeiten für jede Trommel getrennt.
Hilfe 2
Wie viele Kombinationen ergeben sich aus beiden Trommeln zusammen?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Tipp genau 3 der 5 Zahlen aus 50 richtig hat; die Eurozahlen bleiben unberücksichtigt.
Hilfe 1
In welche zwei Sorten zerfallen die 50 Zahlen durch deinen Tipp?
c) In einer Werbung heißt es: „Beim Eurojackpot ist die Chance auf den Hauptgewinn zehnmal kleiner als beim Lotto 6 aus 49.“ Überprüfe diese Aussage.
Hilfe 1
Wie wahrscheinlich sind 6 Richtige beim Lotto 6 aus 49?
Hilfe 2
Vergleiche die beiden Anzahlen gleich wahrscheinlicher Ausgänge.
Lösung zeigen
a) Zwei getrennte Ziehungen: die Anzahlen multiplizieren.
5 aus 50: 505 = 2 118 760; 2 aus 12: 122 = 66
Jede Auswahl aus der ersten Trommel lässt sich mit jeder aus der zweiten kombinieren: 2 118 760 · 66 = 139 838 160 gleich wahrscheinliche Ausgänge.
P(Hauptgewinn) = 1139 838 160 ≈ 7,15 · 10−9
b) Lotto-Schema mit 5 angekreuzten und 45 anderen Zahlen.
c) Zwei Laplace-Wahrscheinlichkeiten mit Zähler 1 vergleichen: Verhältnis der Nenner.
Lotto 6 aus 49: P(6 Richtige) = 113 983 816.
139 838 16013 983 816 = 10. Die Aussage stimmt: Beim Eurojackpot gibt es genau zehnmal so viele gleich wahrscheinliche Ausgänge.
3.5Kochgruppe
Ein Kochkurs hat 16 Teilnehmende, 6 davon essen vegetarisch. Per Los werden 4 Personen für die erste Kochgruppe bestimmt. Tim rechnet die Wahrscheinlichkeit für genau 2 Vegetarier in der Gruppe so aus: 6 · (616)² · (1016)² ≈ 0,3296
a) Erläutere, welches Modell Tim verwendet hat, und begründe, warum es hier nicht passt.
Hilfe 1
Woher kommen die Faktoren 6 und 616?
Hilfe 2
Kann eine Person zweimal in die Kochgruppe gelost werden?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit mit dem passenden Modell und vergleiche sie mit Tims Wert.
Hilfe 1
Für jede Sorte ein Binomialkoeffizient im Zähler.
c) Beschreibe, wie sich der Kurs verändern müsste, damit Tims Rechnung eine brauchbare Näherung liefert.
Hilfe 1
Wann ändert das Auslosen von 4 Personen die Anteile kaum?
Lösung zeigen
a) Fremde Rechnung prüfen: Modell aus den Faktoren lesen, dann mit der Situation vergleichen.
Tim rechnet mit Zurücklegen: 6 Pfade, bei jedem Zug dieselbe Wahrscheinlichkeit 616 für einen Vegetarier.
Eine ausgeloste Person kann nicht ein zweites Mal gelost werden; nach jedem Zug ändern sich die Anteile. Es liegt Ziehen ohne Zurücklegen vor.
b) Ohne Zurücklegen: Vegetarier und Nicht-Vegetarier getrennt zählen.
62 · 102/164 = 15 · 451820 = 6751820 ≈ 0,3709
Tims Wert ist um etwa 0,04 zu klein.
c) Modellvergleich: Mit Zurücklegen ist eine Näherung, wenn die Gruppe groß gegen die Stichprobe ist.
Der Kurs müsste viel mehr Teilnehmende haben, bei gleichem Vegetarier-Anteil von 616 = 37,5 %. Dann ändern 4 Ziehungen den Anteil kaum, und Tims Wert liegt nahe am richtigen; bei 1 600 Teilnehmenden etwa 0,3299 statt 0,3296.
Klausuraufgabe
4.1Überraschungspakete
Eine Buchhandlung packt zum Welttag des Buches 60 gleich aussehende Überraschungspakete. In 6 davon liegt zusätzlich ein Gutschein über 50 Euro. Die Pakete werden zufällig verkauft.
a) Für das Schaufenster werden 4 von 9 Neuerscheinungen ausgewählt und nebeneinander aufgestellt. Bestimme die Anzahl der Möglichkeiten dafür.2 BE
Hilfe 1
Spielt die Reihenfolge im Schaufenster eine Rolle?
Hilfe 2
Wie viele Bücher stehen für den ersten Platz zur Wahl, wie viele für den zweiten?
b) Eine Lehrerin kauft 5 Pakete für ihre Klasse. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eines davon einen Gutschein enthält.3 BE
Hilfe 1
Welches Modell passt zum Kauf von 5 Paketen?
Hilfe 2
Zähle Pakete mit und ohne Gutschein getrennt.
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 5 Paketen der Lehrerin mindestens ein Gutschein ist.2 BE
Hilfe 1
Welches Gegenereignis ist leichter zu zählen?
d) Am Abend sind 55 der 60 Pakete verkauft. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 6 Gutscheine verkauft wurden, und erläutere, warum sich dabei ein Wert aus c) wiederfindet.4 BE
Hilfe 1
Welche Pakete müssen unter den 55 verkauften sein, und wie viele andere kommen dazu?
Hilfe 2
Betrachte auch die Pakete, die übrig bleiben.
e) Die Buchhandelskette verteilt bundesweit 6000 solche Pakete, davon 600 mit Gutschein. Für 5 gekaufte Pakete rechnet die Zentrale mit 5 · 0,1 · 0,9⁴ ≈ 0,328. Erläutere diese Rechnung und beurteile, ob sie für die Kette und für die Buchhandlung mit 60 Paketen geeignet ist.3 BE
Hilfe 1
Welches Modell steckt in der Rechnung, und welches Ereignis wird berechnet?
Hilfe 2
Wie stark ändert der Kauf von 5 Paketen den Gutscheinanteil bei 6000 Paketen, wie stark bei 60?
Lösung zeigen
a) „nebeneinander aufgestellt“: Reihenfolge zählt, kein Buch doppelt.
Reihenfolge zählt, kein Buch doppelt: 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 Möglichkeiten.
b) Gekaufte Pakete kommen nicht zurück: ohne Zurücklegen, 6 mit und 54 ohne Gutschein.
d) Die 55 verkauften Pakete sind eine Stichprobe ohne Zurücklegen; gleichwertig ist der Blick auf die 5 übrigen.
Alle 6 Gutscheine verkauft: Unter den 55 verkauften sind die 6 Gutscheinpakete und 49 der 54 anderen.
P = 66 · 5449/6055 = 3 162 5105 461 512 ≈ 0,579
Gleichwertig: Alle Gutscheine sind verkauft, wenn unter den 5 übrigen Paketen keiner liegt. Die 5 übrigen Pakete sind eine zufällige Auswahl wie die 5 Pakete der Lehrerin; deshalb ergibt sich derselbe Wert wie P(kein Gutschein) in c).
e) Fremde Rechnung deuten: Modell mit Zurücklegen, dann Größe der Grundgesamtheit beurteilen.
Die Zentrale berechnet P(genau ein Gutschein) mit Zurücklegen: Gutscheinanteil 6006000 = 0,1 bei jedem Paket, 5 Pfade mit genau einem Gutschein, jeder mit 0,1 · 0,9⁴.
Für die Kette passt das: Bei 6000 Paketen ändern 5 Käufe den Anteil kaum; ohne Zurücklegen ergäbe sich ≈ 0,3282.
Für die Buchhandlung mit 60 Paketen ist es nur eine grobe Näherung: Dort ist der Wert ≈ 0,347 aus b), fast 0,02 mehr, weil sich der Anteil nach jedem Kauf spürbar ändert.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Zählen statt zeichnen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.