Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bei vielen Zufallsversuchen interessiert nicht das Ergebnis selbst, sondern eine Zahl, die daran hängt: nicht, welche Seiten drei Münzen zeigen, sondern wie viele Wappen fallen; nicht, welches Feld getroffen wird, sondern wie viel Euro man bekommt. Eine Zufallsgröße X ordnet jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine Zahl zu. Die Zahlen, die X annehmen kann, bilden die Wertemenge von X.
Beispiel: Eine Münze wird dreimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen (W). Die Wertemenge ist {0; 1; 2; 3}. Die Ergebnisse WWZ, WZW und ZWW sind verschieden, gehören aber alle zu X = 2. P(X = 2) ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau zwei Wappen fallen.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Münze wird zweimal geworfen, X ist die Anzahl der Wappen. Gib die Wertemenge von X an und bestimme P(X = 1).
Lösung zeigen
Wertemenge {0; 1; 2}. Zu X = 1 gehören WZ und ZW, also P(X = 1) = 24 = 12.
2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Schreibst du zu jedem Wert von X seine Wahrscheinlichkeit, hast du die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. Beim dreifachen Münzwurf gibt es acht gleich wahrscheinliche Pfade: einen mit null Wappen, drei mit einem, drei mit zwei und einen mit drei.
x
0
1
2
3
P(X = x)
18
38
38
18
P(X = x1) + P(X = x2) + … + P(X = xₙ) = 1
Diese Summenprobe findet die meisten Fehler sofort. Fehlt in einer Tabelle eine Wahrscheinlichkeit, bekommst du sie aus genau dieser Summe.
Zeichnest du über jedem Wert eine Säule, so hoch wie seine Wahrscheinlichkeit, entsteht ein Säulendiagramm (Histogramm) der Verteilung. Daran siehst du, wo die Verteilung ihren Schwerpunkt hat und wie breit sie ist.
✎ Mini-Aufgabe: Können 0,15; 0,25; 0,40 und 0,20 die Wahrscheinlichkeiten einer Verteilung mit vier Werten sein? Und 0,30; 0,40; 0,20 und 0,20?
Lösung zeigen
Erste Liste: Summe 1, alle Werte zwischen 0 und 1, also ja.
Zweite Liste: Summe 1,1, also nein.
3. Der Erwartungswert
Der Erwartungswert E(X) sagt, welchen Wert X auf lange Sicht im Durchschnitt annimmt. Du multiplizierst jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addierst.
Ohne Gewichtung käme (1 + 2 + 3) : 3 = 2 heraus. Das ist falsch, weil 3 häufiger vorkommt als 1.
E(X) muss selbst kein möglicher Wert sein. Er beschreibt den Durchschnitt über viele Durchführungen, nicht das Ergebnis einer einzelnen. Bei n Durchführungen erwartest du insgesamt etwa n · E(X).
✎ Mini-Aufgabe: Berechne E(X), wenn X die Werte 0, 1, 2 und 3 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,1; 0,3; 0,4 und 0,2 annimmt.
Zwei Verteilungen können denselben Erwartungswert haben und trotzdem verschieden aussehen. Die Varianz Var(X) misst, wie weit die Werte im Mittel von E(X) abweichen: Du quadrierst jede Abweichung, gewichtest sie mit ihrer Wahrscheinlichkeit und addierst. Die Standardabweichung σ(X) ist die Wurzel daraus. Sie hat dieselbe Einheit wie X und ist deshalb das anschauliche Maß für die Streuung.
Oben die Verteilung von X mit E(X) = 2 und σ(X) ≈ 0,63, unten die Verteilung von Y mit E(Y) = 2 und σ(Y) ≈ 1,41. Der Schwerpunkt ist derselbe, aber bei Y liegt viel Wahrscheinlichkeit weit außen.
✎ Mini-Aufgabe: X nimmt die Werte 0, 1 und 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 0,25; 0,5 und 0,25 an. Berechne Var(X) und σ(X).
Bei Spielen ist die wichtige Zufallsgröße meist der Gewinn G, also die Auszahlung minus den Einsatz. Wer nichts bekommt, hat den Gewinn −Einsatz. Ein Spiel heißt fair, wenn E(G) = 0 ist. Bei E(G) < 0 verliert der Spieler auf lange Sicht, bei E(G) > 0 der Veranstalter.
E(G) = E(Auszahlung) − Einsatz
Ein Einsatz macht ein Spiel genau dann fair, wenn er so groß ist wie der Erwartungswert der Auszahlung.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Spiel kostet 1 € Einsatz. Mit der Wahrscheinlichkeit 0,25 werden 3 € ausgezahlt, sonst nichts. Ist das Spiel fair? Welcher Einsatz wäre fair?
Lösung zeigen
E(G) = 2 · 0,25 + (−1) · 0,75 = −0,25. Das Spiel ist nicht fair, der Spieler verliert im Mittel 25 Cent je Spiel.
Die Auszahlung hat den Erwartungswert 3 · 0,25 = 0,75. Fair wäre ein Einsatz von 0,75 €.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
im Durchschnitt, auf lange Sicht, im Mittel, rechnet mit
Alle Wahrscheinlichkeiten zusammen ergeben 1. Damit bekommst du einen fehlenden Wert.
Der Wert 0 (keine Auszahlung, kein Treffer) gehört zur Verteilung, auch wenn er in E(X) nichts beiträgt.
Bei Spielen zählt der Einsatz immer mit: Auch eine Niete hat einen Gewinn, nämlich −Einsatz.
Wer nacheinander zieht, ohne zurückzulegen, hat auf der zweiten Stufe andere Wahrscheinlichkeiten.
E(X) und σ(X) beschreiben viele Durchführungen. Für eine einzelne Durchführung sagen sie nur, was typisch ist.
8. Ein Sachbeispiel
Ein Fotostand an einer Achterbahn verkauft Fotos von der Fahrt. Erfahrungsgemäß kaufen 60 % der Fahrgäste nichts, 30 % ein Einzelfoto für 8 € und 10 % ein Fotopaket für 15 €. Mit welchen Einnahmen kann der Stand an einem Tag mit 2000 Fahrgästen rechnen?
Was ist gefragt? Die Einnahmen an einem Tag mit 2000 Fahrgästen. Das ist ein Durchschnitt über viele Fahrgäste, also ein Erwartungswert.
Was steht nicht da? Die Zufallsgröße: X ist der Betrag in €, den ein Fahrgast ausgibt, mit den Werten 0, 8 und 15. Der Wert 0 gehört dazu. Summenprobe: 0,6 + 0,3 + 0,1 = 1.
Antwortsatz Der Stand kann an einem solchen Tag mit Einnahmen von etwa 7800 € rechnen.
Prüfen 3,90 € pro Fahrgast liegt zwischen 0 € und 15 € und näher bei 0 €, weil die meisten nichts kaufen. Das passt. An einem einzelnen Tag weichen die Einnahmen davon ab.
9. Typische Fehler
E(X) als gewöhnlichen Mittelwert der Werte rechnen, ohne die Wahrscheinlichkeiten.
Die Summenprobe vergessen. Dann bleibt ein falscher oder fehlender Wert unbemerkt.
Auszahlung und Gewinn verwechseln. Ob ein Spiel fair ist, entscheidet nur der Gewinn.
Bei der Varianz erst die Abweichungen addieren und am Ende quadrieren. Jede Abweichung wird einzeln quadriert.
Var(X) und σ(X) verwechseln. σ(X) hat die Einheit von X, Var(X) nicht.
E(X) für einen einzelnen Versuch deuten („Er gewinnt 1,30 €“). E(X) ist ein Durchschnitt über viele Versuche.
Rechnen
2.1Erwartungswert aus einer Tabelle
Die Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße X.
x
−2
0
3
5
P(X = x)
0,2
0,3
0,4
0,1
Verteilung von X
a) Berechne den Erwartungswert von X.
Hilfe 1
Jeder Wert zählt so stark, wie er wahrscheinlich ist.
Hilfe 2
Multipliziere jeden Wert mit seiner Wahrscheinlichkeit und addiere alle Produkte. Achte auf das Vorzeichen bei −2.
b) Gib P(X ≥ 3) an.
Hilfe 1
Welche Werte von X erfüllen die Bedingung X ≥ 3?
Lösung zeigen
a) Erwartungswert aus einer fertigen Tabelle: Wert mal Wahrscheinlichkeit, alles addieren.
Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. X ist die größere der beiden Augenzahlen; bei einem Pasch ist X die gemeinsame Augenzahl.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Hilfe 1
Wie viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse hat der Wurf mit zwei Würfeln?
Hilfe 2
Zähle für X = 3 alle Paare, bei denen die größere Zahl 3 ist. Denke an die Reihenfolge.
Hilfe 3
Erkenne ein Muster, mit dem du die übrigen Werte schneller zählst?
b) Zeichne ein Säulendiagramm der Verteilung von X.
Hilfe 1
Rechne die Brüche in Dezimalzahlen um.
Hilfe 2
Über jedem Wert steht eine Säule, so hoch wie seine Wahrscheinlichkeit.
c) Berechne den Erwartungswert von X.
Hilfe 1
Schreibe alle Produkte aus Wert und Wahrscheinlichkeit über den gemeinsamen Nenner 36.
Lösung zeigen
a) Verteilung über Abzählen: 36 gleich wahrscheinliche Paare, für jeden Wert von X die passenden Paare zählen.
Es gibt 36 gleich wahrscheinliche Paare. Zu X = k gehören das Paar (k; k) und je k − 1 Paare, bei denen k auf dem ersten oder auf dem zweiten Würfel liegt, also 2k − 1 Paare.
Beispiel X = 3: (3; 3), (1; 3), (2; 3), (3; 1), (3; 2), also 5 Paare.
Summenprobe: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 1136 = 3636 = 1
x
1
2
3
4
5
6
P(X = x)
136
336
536
736
936
1136
Verteilung von X
b) Säulendiagramm: Werte auf der waagerechten Achse, Wahrscheinlichkeiten als Säulenhöhen.
Säulen bei 1 bis 6 mit den Höhen 0,028; 0,083; 0,139; 0,194; 0,25 und 0,306. Die Säulen werden gleichmäßig höher.
c) Erwartungswert aus der eben bestimmten Verteilung.
Mit a = 0,5 − b: 1 + b = 1,3, also b = 0,3 und a = 0,2.
2.7Zwei Säulendiagramme
Die Abbildungen zeigen die Verteilungen zweier Zufallsgrößen X und Y.
Verteilung von XVerteilung von Y
a) Gib E(X) und E(Y) ohne Rechnung an und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
Wie liegen die Säulen links und rechts von der Mitte?
Hilfe 2
Der Erwartungswert ist der Schwerpunkt des Säulendiagramms.
b) Entscheide ohne Rechnung, welche der beiden Zufallsgrößen die größere Standardabweichung hat, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Was misst die Standardabweichung?
Hilfe 2
Wo liegt bei X und wo bei Y die meiste Wahrscheinlichkeit: nah am Erwartungswert oder weit weg?
Lösung zeigen
a) Symmetrisches Säulendiagramm: Der Erwartungswert liegt auf der Symmetrieachse.
E(X) = 2 und E(Y) = 2.
Beide Diagramme sind symmetrisch zu 2: Die Säulen bei 1 und 3 sowie bei 0 und 4 sind jeweils gleich hoch. Abweichungen nach unten und oben gleichen sich aus, der Schwerpunkt liegt bei 2.
b) Streuung am Bild: Wie viel Wahrscheinlichkeit liegt weit weg vom Erwartungswert?
Y hat die größere Standardabweichung.
Bei X liegt die größte Säule beim Erwartungswert 2, die äußeren Säulen sind klein. Bei Y liegen 60 % der Wahrscheinlichkeit bei 0 und 4, also weit vom Erwartungswert entfernt. Die Werte von Y weichen deshalb im Mittel stärker vom Erwartungswert ab.
2.8Ein Wert mit Parameter
Eine Zufallsgröße X nimmt die Werte 0, 1 und k (mit k > 1) an, und zwar mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = 0) = 0,5, P(X = 1) = 0,3 und P(X = k) = 0,2.
a) Gib E(X) in Abhängigkeit von k an.
Hilfe 1
Rechne wie immer; k bleibt als Buchstabe stehen.
b) Bestimme k so, dass E(X) = 1,5 gilt.
Hilfe 1
Setze deinen Term aus a) gleich 1,5.
c) Bestimme alle k, für die E(X) größer als 1 ist.
Hilfe 1
Aus der Gleichung wird eine Ungleichung.
Lösung zeigen
a) Erwartungswert mit einem Buchstaben als Wert.
E(X) = 0 · 0,5 + 1 · 0,3 + k · 0,2 = 0,3 + 0,2k
b) Rückwärts: Term gleich Zielwert setzen.
0,3 + 0,2k = 1,5 ⇔ 0,2k = 1,2 ⇔ k = 6
c) Ungleichung mit dem Term aus a).
0,3 + 0,2k > 1 ⇔ 0,2k > 0,7 ⇔ k > 3,5
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, welche Zufallsgröße und welche Kenngröße du brauchst. Rechne nicht. (1) X ist die Anzahl der Anrufe bei einer Hotline in einer Stunde; die Verteilung von X ist bekannt. Wie viele Anrufe kommen auf lange Sicht pro Stunde? (2) Bei einem Spiel auf einem Stadtteilfest zahlt man einen Einsatz und erhält je nach Ergebnis eine Auszahlung. Lohnt sich das Spiel auf Dauer für die Spieler? (3) Zwei Handwerksbetriebe brauchen für dieselbe Reparatur im Mittel gleich lange. Bei welchem Betrieb kann man die Dauer besser einplanen?
Hilfe 1
Fragt die Frage nach einem Durchschnitt, nach einem Vorteil oder nach einer Schwankung?
Hilfe 2
Bei Frage (2): Was bleibt dem Spieler am Ende tatsächlich?
Hilfe 3
Bei Frage (3): Die Mittelwerte sind gleich. Was unterscheidet die beiden Betriebe dann noch?
b) Ein Abschleppdienst hat nachts einen Wagen in Bereitschaft. X ist die Anzahl seiner Einsätze in einer Nacht. Aus den letzten Jahren kennt der Betrieb P(X = 0) = 0,35, P(X = 1) = 0,45 und P(X = 2) = 0,12; mehr als drei Einsätze in einer Nacht gab es nie. Mit wie vielen Einsätzen muss der Betrieb in einem Monat mit 30 Nächten insgesamt rechnen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: P(X = 3) = …, weil … 3. Rechnen: E(X) = …; 30 · … = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„insgesamt in 30 Nächten“: Was hat das mit dem Durchschnitt pro Nacht zu tun?
Hilfe 2
Eine Wahrscheinlichkeit fehlt. Woher bekommst du sie?
Hilfe 3
Erst E(X) für eine Nacht, dann hochrechnen.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Kenngrößen: Durchschnitt, Erwartungswert des Gewinns, Standardabweichung.
(1) Gesucht ist E(X), der Durchschnitt über viele Stunden.
(2) Zufallsgröße ist der Gewinn G = Auszahlung − Einsatz. Gesucht ist E(G): Das Spiel lohnt sich für die Spieler, wenn E(G) > 0 ist.
(3) Zufallsgröße ist die Dauer der Reparatur bei jedem Betrieb. Die Erwartungswerte sind gleich, also entscheidet die Standardabweichung: Die kleinere gehört zum besser planbaren Betrieb.
b) „muss rechnen mit“ heißt Erwartungswert. Was nicht dasteht: die Wahrscheinlichkeit für drei Einsätze.
1. Gefragt ist die erwartete Zahl der Einsätze in 30 Nächten, also 30 · E(X).
2. P(X = 3) = 1 − 0,35 − 0,45 − 0,12 = 0,08, weil alle Wahrscheinlichkeiten zusammen 1 ergeben.
4. In einem Monat mit 30 Nächten muss der Betrieb mit etwa 28 Einsätzen rechnen.
5. Knapp ein Einsatz pro Nacht passt dazu, dass in den meisten Nächten kein oder ein Einsatz anfällt.
3.2Lastenrad-Verleih
Ein Fahrradladen verleiht samstags seine vier Lastenräder für jeweils einen Tag. X ist die Anzahl der Lastenräder, die an einem Samstag ausgeliehen werden. Das Material zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X, ermittelt aus den Samstagen der letzten zwei Jahre.
Material
a) Bestimme anhand des Materials die Wahrscheinlichkeit, dass an einem Samstag mindestens drei Lastenräder ausgeliehen werden.
Hilfe 1
Welche Werte von X gehören zu „mindestens drei“?
Hilfe 2
Lies die Höhen der passenden Säulen am Gitter ab.
b) Berechne den Erwartungswert von X und deute ihn im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Lies alle fünf Wahrscheinlichkeiten ab und prüfe die Summe.
Hilfe 2
Bei der Deutung: Über welchen Zeitraum ist das ein Durchschnitt?
c) Der Inhaber überlegt, ein fünftes Lastenrad anzuschaffen. Sein Geschäftspartner meint: „Im Mittel werden nicht einmal drei Räder ausgeliehen. Ein fünftes Rad wird nie gebraucht.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was ist an einem Samstag passiert, an dem X = 4 ist?
Hilfe 2
Zählt X die Kunden, die ein Rad wollten, oder die Räder, die verliehen wurden?
Lösung zeigen
a) „mindestens drei“: Säulen bei 3 und 4 addieren.
Über viele Samstage gerechnet werden im Mittel 2,65 Lastenräder pro Samstag ausgeliehen. An einem einzelnen Samstag sind es 0 bis 4.
c) Der Durchschnitt sagt nichts über einzelne Samstage. Was nicht dasteht: X kann nie größer als 4 sein, auch wenn mehr Kunden kommen.
Die Aussage ist so nicht haltbar.
Der Erwartungswert 2,65 ist ein Durchschnitt. An 25 % der Samstage sind alle vier Räder verliehen. An diesen Tagen hätte ein fünftes Rad gebraucht werden können.
X zählt nur verliehene Räder und kann nicht größer als 4 werden. Wie viele Kunden an diesen Samstagen leer ausgingen, zeigen die Daten nicht. Ob sich ein fünftes Rad lohnt, muss der Laden deshalb erst herausfinden, zum Beispiel indem er Absagen notiert.
3.3Kirschsorten
Ein Obstbauer will eine Kirschplantage anlegen und vergleicht zwei Sorten. Der Ertrag eines Baumes hängt stark vom Wetter im Frühjahr ab. In seiner Region gibt es in 20 % der Jahre Spätfrost, in 50 % ein kühles und in 30 % ein warmes Frühjahr. Die Tabelle zeigt den Ertrag eines Baumes je nach Frühjahr.
Frühjahr
Spätfrost
kühl
warm
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,5
0,3
Sorte A
12 kg
25 kg
30 kg
Sorte B
20 kg
23 kg
28 kg
Ertrag pro Baum
a) Zeige, dass beide Sorten auf lange Sicht im Mittel denselben Ertrag pro Baum liefern.
Hilfe 1
Lege für jede Sorte eine Zufallsgröße fest: den Ertrag eines Baumes in einem Jahr.
Hilfe 2
Die Wahrscheinlichkeiten gelten für beide Sorten.
b) Berechne für beide Sorten die Standardabweichung des Ertrags pro Baum.
Hilfe 1
Die Erwartungswerte hast du schon.
Hilfe 2
Abweichung vom Erwartungswert, quadrieren, gewichten, addieren, Wurzel.
c) Der Obstbauer hat mit einer Großmarkthalle vereinbart, jedes Jahr mindestens 20 kg Kirschen pro Baum zu liefern. Entscheide begründet, welche Sorte er pflanzen sollte.
Hilfe 1
Der Durchschnitt ist bei beiden gleich. Worauf kommt es bei „jedes Jahr mindestens“ an?
Hilfe 2
Schaue auf das schlechteste Jahr jeder Sorte.
Lösung zeigen
a) „auf lange Sicht im Mittel“: Erwartungswert für jede Sorte.
A, B: Ertrag eines Baumes der Sorte A bzw. B in einem Jahr in kg.
c) „jedes Jahr mindestens“: Nicht der Durchschnitt zählt, sondern das schlechteste Jahr.
Er sollte Sorte B pflanzen.
Bei gleichem Erwartungswert streut Sorte B deutlich weniger (2,91 kg gegenüber 6,33 kg). Vor allem liefert B auch im Frostjahr 20 kg pro Baum und erfüllt die Vereinbarung in jedem Jahr.
Sorte A bringt im Frostjahr nur 12 kg pro Baum. Das passiert in etwa jedem fünften Jahr, dann könnte er nicht liefern.
3.4Handyversicherung
Ein Mobilfunkladen bietet zu einem neuen Smartphone eine Versicherung an, die 60 € pro Jahr kostet. Bei einem Displaybruch übernimmt sie die Reparatur für 180 €, bei einem Totalschaden den Ersatz des Geräts für 400 €. Bei jedem Schadenfall zahlt der Kunde 50 € selbst. Erfahrungsgemäß hat ein Smartphone in einem Jahr mit der Wahrscheinlichkeit 15 % einen Displaybruch und mit 4 % einen Totalschaden; mehr als ein Schaden pro Jahr wird nicht betrachtet. Y ist der Betrag in Euro, den die Versicherung für einen Kunden in einem Jahr bezahlt.
a) Stelle die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Y auf und berechne E(Y).
Hilfe 1
Welche Beträge kann die Versicherung in einem Jahr bezahlen? Denke an den Anteil des Kunden.
Hilfe 2
Auch ein Jahr ohne Schaden gehört zur Verteilung.
b) Beurteile, ob die Versicherung für die Kunden auf lange Sicht ein gutes Geschäft ist.
Hilfe 1
Was bleibt dem Kunden pro Jahr, wenn man Zahlung und Beitrag zusammennimmt?
c) Bestimme den Jahresbeitrag, bei dem Kunden und Versicherung auf lange Sicht gleich gut dastehen, und erläutere, warum eine Versicherung diesen Beitrag nicht verlangt.
Hilfe 1
„gleich gut dastehen“: Welchen Erwartungswert hat dann der Gewinn des Kunden?
d) Eine Schülerin schließt die Versicherung trotzdem ab. Erläutere, warum das für sie sinnvoll sein kann.
Hilfe 1
Für wie viele Jahre gilt der Erwartungswert, und wie viele Jahre betreffen die Schülerin?
Hilfe 2
Was kostet sie ein Totalschaden ohne Versicherung?
Lösung zeigen
a) Werte der Zufallsgröße erst aus dem Text bilden: Die Selbstbeteiligung mindert jede Zahlung, und das Jahr ohne Schaden fehlt im Text.
b) „gutes Geschäft für die Kunden“: Gewinn des Kunden = Zahlung der Versicherung minus Beitrag.
Gewinn eines Kunden pro Jahr: G = Y − 60, also E(G) = 33,50 − 60 = −26,50.
Auf lange Sicht zahlt ein Kunde im Mittel 26,50 € pro Jahr mehr ein, als er herausbekommt. Ein gutes Geschäft ist die Versicherung für die Kunden also nicht.
c) Fairer Beitrag = Erwartungswert der Zahlung.
E(G) = 33,50 − Beitrag = 0 bei einem Beitrag von 33,50 €.
Mit diesem Beitrag würde die Versicherung im Mittel genau das auszahlen, was sie einnimmt. Verwaltung, Personal und Gewinn wären nicht bezahlt.
d) Der Erwartungswert beschreibt viele Kunden oder viele Jahre; eine Einzelne trägt das ganze Risiko eines Jahres.
Der Erwartungswert gilt für viele Kunden oder viele Jahre. In ihrem einzelnen Jahr kann ein Totalschaden 400 € kosten, das kann sie vielleicht nicht bezahlen.
Mit Versicherung zahlt sie sicher 60 € und höchstens 50 € dazu. Sie tauscht einen kleinen sicheren Verlust gegen den Schutz vor einem großen.
3.5Chili-Muffins
Auf einer Geburtstagsfeier stehen 8 Muffins, die gleich aussehen. In 3 davon ist Chili eingebacken. Lea nimmt nacheinander zufällig zwei Muffins und isst sie. X ist die Anzahl der Chili-Muffins, die sie erwischt.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X.
Hilfe 1
Zeichne ein Baumdiagramm mit zwei Stufen.
Hilfe 2
Wie viele Muffins und wie viele Chili-Muffins stehen noch da, wenn Lea den zweiten nimmt?
Hilfe 3
Zu X = 1 gehören zwei Pfade.
b) Berechne E(X) und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Rechne mit dem gemeinsamen Nenner 56.
Hilfe 2
Die Deutung braucht viele Feiern, nicht eine.
c) Ein Gast meint: „Drei von acht Muffins sind scharf. Also erwischt Lea mit der Wahrscheinlichkeit 38 genau einen Chili-Muffin.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wofür steht 38 im Baumdiagramm?
Hilfe 2
Vergleiche mit deinem Ergebnis aus a).
Lösung zeigen
a) Zweistufig ohne Zurücklegen: Auf der zweiten Stufe ändern sich die Wahrscheinlichkeiten.
C: Chili-Muffin. P(X = 0) = 58 · 47 = 2056 = 514
P(X = 1) = 38 · 57 + 58 · 37 = 3056 = 1528
P(X = 2) = 38 · 27 = 656 = 328
Summenprobe: 2056 + 3056 + 656 = 1
Baumdiagramm
b) Erwartungswert aus der Verteilung von a), Deutung über viele Wiederholungen.
Würde Lea sehr oft zwei Muffins aus so einem Teller nehmen, erwischte sie im Mittel 0,75 Chili-Muffins pro Mal.
c) Eine Aussage an der eigenen Verteilung prüfen.
Die Aussage ist falsch. 38 ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Muffin scharf ist.
Genau ein Chili-Muffin bei zwei Muffins hat die Wahrscheinlichkeit 1528 ≈ 0,54, weil der scharfe Muffin der erste oder der zweite sein kann.
Klausuraufgabe
4.1Kaffeerösterei
Eine Kaffeerösterei füllt ganze Bohnen in Packungen mit dem Sollgewicht 500 g. Für das Füllgewicht Y (in g, auf ganze Gramm gerundet) der bisherigen Abfüllanlage gilt E(Y) = 500,5 und σ(Y) ≈ 1,1. Eine neue Anlage wurde einen Monat lang erprobt. Die Tabelle zeigt, welcher Anteil der Packungen dabei welches Füllgewicht hatte; ein Eintrag ist unleserlich.
Füllgewicht in g
498
499
500
501
502
Anteil der Packungen
5 %
15 %
20 %
5 %
Neue Anlage
a) Bestimme den fehlenden Anteil und begründe dein Vorgehen.2 BE
Hilfe 1
Welche Bedingung erfüllen die Anteile aller Füllgewichte zusammen?
b) Berechne für die neue Anlage den Erwartungswert und die Standardabweichung von Y.4 BE
Hilfe 1
Die Anteile sind die Wahrscheinlichkeiten. Rechne sie in Dezimalzahlen um.
Hilfe 2
Erst E(Y), dann die Varianz mit den Abweichungen von E(Y), dann die Wurzel.
c) Beurteile anhand dieser Ergebnisse, ob die neue Anlage das Sollgewicht besser einhält als die bisherige.3 BE
Hilfe 1
„das Sollgewicht einhalten“ hat zwei Seiten: Wo liegt der Durchschnitt, und wie stark schwanken die Gewichte?
Hilfe 2
Vergleiche beide Kenngrößen mit denen der bisherigen Anlage.
d) Packungen mit weniger als 499 g Inhalt werden aussortiert. Die neue Anlage füllt 3000 Packungen pro Tag ab. Ermittle, wie viele Packungen sie pro Tag voraussichtlich aussortieren muss.2 BE
Hilfe 1
Welche Füllgewichte aus der Tabelle sind „weniger als 499 g“?
Hilfe 2
„voraussichtlich“: Wie rechnest du von einem Anteil auf 3000 Packungen hoch?
e) Im Prüfbericht zur neuen Anlage steht ohne Erklärung: 3000 · (0,20 · 1 + 0,05 · 2) = 900 Formuliere eine Frage zur Abfüllung, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und erläutere die Schritte der Rechnung.3 BE
Hilfe 1
Was bedeuten die Faktoren 1 und 2 neben den Anteilen 0,20 und 0,05?
Hilfe 2
Welche Packungen kommen in der Klammer nicht vor?
Lösung zeigen
a) Lücke in einer Verteilung: Summenbedingung.
Jede Packung hat genau eines der fünf Füllgewichte, also ergeben alle Anteile zusammen 100 %.
Die neue Anlage füllt im Mittel 500,05 g ab, die Standardabweichung beträgt etwa 0,86 g.
c) Zwei Kriterien: Erwartungswert nah am Soll und kleine Standardabweichung.
Erwartungswert: Die neue Anlage liegt mit 500,05 g fast genau beim Sollgewicht, die bisherige füllt im Mittel 0,5 g zu viel ab.
Standardabweichung: 0,86 g gegenüber 1,1 g. Die Füllgewichte der neuen Anlage schwanken weniger um ihren Mittelwert.
Die neue Anlage hält das Sollgewicht in beiden Punkten besser ein.
d) „weniger als 499“: Die Grenze 499 gehört nicht dazu; dann Anteil mal Anzahl.
Weniger als 499 g hat nur das Füllgewicht 498 g, mit dem Anteil 0,05.
3000 · 0,05 = 150: Pro Tag werden voraussichtlich 150 Packungen aussortiert.
e) Fertige Rechnung deuten: Jeder Faktor bekommt seine Bedeutung in der Sache.
Frage: Wie viel Kaffee füllt die neue Anlage an einem Tag voraussichtlich über das Sollgewicht hinaus in die Packungen?
Packungen mit 501 g enthalten 1 g zu viel (Anteil 0,20), Packungen mit 502 g 2 g zu viel (Anteil 0,05). Die Klammer ergibt 0,3: im Mittel 0,3 g Übergewicht pro Packung. Packungen mit 500 g oder weniger enthalten nichts zu viel und fehlen deshalb.
Mal 3000 Packungen: Pro Tag gibt die Anlage voraussichtlich 900 g Kaffee zu viel ab, fast zwei volle Packungen.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Die Binomialverteilung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.