Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Viele Zufallsversuche interessieren nur unter einer Frage: Tritt es ein oder nicht? Der Pfeil trifft oder nicht, die Tulpe blüht oder nicht, der Fahrgast hat einen Fahrschein oder nicht. So ein Versuch heißt Bernoulli-Experiment. Er hat genau zwei Ausgänge, Treffer und Niete. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer heißt p, die für eine Niete ist 1 − p.
Treffer heißt nicht „etwas Gutes“. Treffer ist das, was gezählt wird. Bei einer Kontrolle ist der Treffer meist der Fehler, denn nach ihm wird gefragt.
Auch ein Versuch mit vielen Ausgängen wird so zum Bernoulli-Experiment: Beim Würfeln mit der Frage „Sechs oder nicht?“ ist p = 16 und 1 − p = 56.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Glücksrad hat acht gleich große Sektoren, drei davon sind rot. Es wird einmal gedreht, Treffer ist Rot. Gib p und 1 − p an.
Lösung zeigen
p = 38 und 1 − p = 58.
2. Die Bernoulli-Kette
Wird ein Bernoulli-Experiment n-mal unter gleichen Bedingungen wiederholt, entsteht eine Bernoulli-Kette der Länge n. Die Zufallsgröße X zählt die Treffer; sie kann die Werte 0, 1, …, n annehmen.
n = Länge der Kette p = Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch
Die einzelnen Versuche beeinflussen sich nicht gegenseitig.
p ist bei jedem Versuch gleich.
Die Länge n steht vorher fest.
Nur wenn das alles gilt, darfst du mit der Formel aus dem nächsten Abschnitt rechnen.
✎ Mini-Aufgabe: Das Glücksrad von oben wird 12-mal gedreht, X zählt die roten Felder. Gib n und p an und nenne die möglichen Werte von X.
Lösung zeigen
n = 12, p = 38. X kann die Werte 0, 1, 2, …, 12 annehmen.
3. Woher die Formel kommt
Beispiel: n = 3, p = 0,3. Gesucht ist P(X = 2). Das Baumdiagramm zeigt alle acht Pfade, rechts jeweils die Pfadwahrscheinlichkeit.
Bernoulli-Kette der Länge 3 mit p = 0,3 (T: Treffer, N: Niete). Drei Pfade haben genau zwei Treffer: TTN, TNT, NTT.
Beispiel: n = 3, p = 0,3, gesucht P(X = 2)
1. Ein Pfad mit zwei Treffern, etwa TTN: 0,3 · 0,3 · 0,7 = 0,3² · 0,7 = 0,063 (Pfadregel)
2. Solche Pfade gibt es drei: TTN, TNT, NTT. Jeder hat die Wahrscheinlichkeit 0,063, nur die Reihenfolge der Faktoren ist anders.
3. Summenregel: P(X = 2) = 3 · 0,063 = 0,189
Genau so entsteht die Formel von Bernoulli: Der erste Faktor zählt die Pfade, die beiden Potenzen sind die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.
P(X = k) = nk · pk · (1 − p)n − k
nk ist die Anzahl der Möglichkeiten, k Treffer auf n Plätze zu verteilen; auf dem Taschenrechner heißt die Taste meist nCr. Probe: Die beiden Exponenten ergeben zusammen n.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne für n = 4 und p = 0,5 die Wahrscheinlichkeit P(X = 2): erst die Wahrscheinlichkeit eines Pfades, dann die Anzahl der Pfade.
Lösung zeigen
Ein Pfad: 0,5² · 0,5² = 0,0625. Anzahl der Pfade: 42 = 6.
P(X = 2) = 6 · 0,0625 = 0,375
4. Rechnen mit der Formel
Schreib zuerst n, p und k aus dem Text heraus, dann setz ein. Wer gleich in den Taschenrechner tippt, vertauscht leicht die Exponenten.
Bei „mindestens ein Treffer“ ist das Gegenereignis „kein Treffer“ der kürzeste Weg: eine Wahrscheinlichkeit statt acht. Im Säulendiagramm ist jede Wahrscheinlichkeit eine Säulenhöhe; eine Summe wie P(X ≤ 1) sind mehrere Säulen zusammen.
Verteilung von X für n = 8 und p = 0,25. Markiert: die Säulen zu P(X ≤ 1).
✎ Mini-Aufgabe: Eine Bernoulli-Kette hat n = 6 und p = 0,1. Berechne P(X = 0) und P(X ≥ 1).
Lösung zeigen
P(X = 0) = 0,96 ≈ 0,5314
P(X ≥ 1) = 1 − 0,5314 ≈ 0,4686
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
genau k
P(X = k)
eine einzige Formel
höchstens k
P(X = 0) + … + P(X = k)
0 gehört dazu
mindestens k
P(X = k) + … + P(X = n)
bei kleinem k kürzer: 1 − P(X ≤ k − 1)
mehr als k, weniger als k
mindestens k + 1, höchstens k − 1
k selbst gehört nicht dazu
mindestens ein …
1 − P(X = 0)
nicht alle Einzelwerte addieren
keiner, alle
P(X = 0) = (1 − p)n, P(X = n) = pn
der Binomialkoeffizient ist hier 1
… gehen daneben, … sind nicht …
die Nieten: n − X
Treffer neu festlegen oder umrechnen
12 % der …
p = 0,12
der Anteil ist p, nicht die Anzahl
6. Was nirgends steht
Die Formel gilt nur, wenn die Versuche sich nicht beeinflussen und p gleich bleibt. Das steht selten in der Aufgabe; oft steht nur „zufällig ausgewählt“.
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge: p ändert sich nach jedem Zug. Das ist keine Bernoulli-Kette; rechne mit Pfaden und den echten Anteilen.
Ziehen ohne Zurücklegen aus einer großen Menge (Tagesproduktion, Bevölkerung): p ändert sich kaum. Man rechnet mit der Formel und sagt dazu, dass es eine Näherung ist.
Versuche, die zusammenhängen (dieselbe Wetterlage, eine Gruppe, die gemeinsam handelt), verletzen die Unabhängigkeit. Dann ist das Modell nur grob.
„So lange, bis …“ ist keine Bernoulli-Kette: Die Länge n steht nicht vorher fest.
✎ Mini-Aufgabe: In einer Schachtel liegen 10 Lose, 3 davon sind Gewinne. Es werden nacheinander Lose ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Gewinnwahrscheinlichkeit beim ersten Zug und beim zweiten Zug, wenn der erste Zug ein Gewinn war.
Lösung zeigen
erster Zug: 310 = 0,3; zweiter Zug: 29 ≈ 0,222
p ändert sich, also liegt keine Bernoulli-Kette vor.
7. Ein Sachbeispiel
Auf einer Straßenbahnlinie fahren erfahrungsgemäß 4 % der Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein. Eine Kontrolleurin prüft 25 zufällig ausgewählte Fahrgäste. Wie wahrscheinlich erwischt sie mindestens zwei Personen ohne Fahrschein?
Was ist gefragt? X = Anzahl der Fahrgäste ohne Fahrschein unter den 25, n = 25, p = 0,04. Gesucht ist P(X ≥ 2).
Was steht nicht da? Die Fahrgäste müssen unabhängig voneinander sein. Eine Gruppe, die gemeinsam ohne Fahrschein fährt, stört das; ich nehme an, dass die 25 einzeln ausgewählt werden. Außerdem ist „mindestens zwei“ das Gegenereignis von „höchstens einer“.
Entscheide jeweils, ob X durch eine Bernoulli-Kette beschrieben wird. Gib dann n und p an, sonst einen Grund.
a) Ein Glücksrad mit acht gleich großen Sektoren, davon drei blau, wird fünfmal gedreht. X: Anzahl der Drehungen mit Blau.
Hilfe 1
Wie viele Ausgänge interessieren bei einer Drehung?
Hilfe 2
Ändert sich die Wahrscheinlichkeit für Blau von Drehung zu Drehung?
b) Aus einem Stapel von sechs Karten, darunter zwei Asse, werden drei Karten ohne Zurücklegen gezogen. X: Anzahl der Asse.
Hilfe 1
Was passiert mit dem Stapel nach dem ersten Zug?
Hilfe 2
Vergleiche die Wahrscheinlichkeit für ein Ass beim ersten und beim zweiten Zug.
c) Bei einem Test mit zehn Fragen gibt es je vier Antworten, genau eine ist richtig. Jemand rät bei jeder Frage. X: Anzahl der richtigen Antworten.
Hilfe 1
Wie wahrscheinlich ist bei einer Frage die richtige Antwort?
Hilfe 2
Hängt das Raten bei einer Frage vom Raten bei einer anderen ab?
d) Jemand ruft bei einem Radiogewinnspiel so lange an, bis er durchkommt; bei jedem Anruf gelingt das mit der Wahrscheinlichkeit 0,02. X: Anzahl der Anrufe.
Hilfe 1
Wie oft wird angerufen? Steht das vorher fest?
Hilfe 2
Was zählt X hier: Treffer oder Versuche?
Lösung zeigen
a) Zwei Ausgänge, gleiche Bedingungen bei jeder Drehung.
Bernoulli-Kette mit n = 5 und p = 38: Jede Drehung hat zwei Ausgänge (blau oder nicht), die Drehungen beeinflussen sich nicht.
b) „ohne Zurücklegen“ aus wenigen Karten: Prüfen, ob p gleich bleibt.
Keine Bernoulli-Kette: Beim ersten Zug ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ass 26, nach einem gezogenen Ass nur noch 15. p bleibt nicht gleich.
c) Raten bei jeder Frage: gleiche Trefferwahrscheinlichkeit, unabhängig.
Bernoulli-Kette mit n = 10 und p = 14 = 0,25.
d) „so lange, bis“: Steht die Länge der Kette vorher fest?
Keine Bernoulli-Kette mit fester Länge: Die Zahl der Versuche steht vorher nicht fest, und X zählt die Anrufe, nicht die Treffer.
2.3Drei Pfade
Eine Bernoulli-Kette hat die Länge 3 und die Trefferwahrscheinlichkeit 0,6. Das Material zeigt das Baumdiagramm (T: Treffer, N: Niete).
Material
a) Zeige mithilfe des Baumdiagramms, dass P(X = 2) = 0,432 gilt.
Hilfe 1
Welche Pfade enden mit genau zwei Treffern?
Hilfe 2
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit eines Pfades, und wie die mehrerer Pfade zusammen?
b) Erläutere, welcher Teil der Formel von Bernoulli der Anzahl der Pfade aus a) entspricht und welcher der Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfades.
Hilfe 1
Schreibe die Formel für n = 3, k = 2 und p = 0,6 auf.
Hilfe 2
Welche Zahl aus a) findest du in welchem Faktor wieder?
Lösung zeigen
a) „Zeigen“ mit Baumdiagramm: Pfade aufschreiben, Pfadregel, Summenregel; das Ergebnis steht schon da.
Pfade mit genau zwei Treffern: TTN, TNT, NTT.
Jeder dieser Pfade hat nach der Pfadregel die Wahrscheinlichkeit 0,6 · 0,6 · 0,4 = 0,144, nur die Reihenfolge der Faktoren ist anders.
Summenregel: P(X = 2) = 3 · 0,144 = 0,432
b) Formel und Baum nebeneinanderlegen.
32 = 3 ist die Anzahl der Pfade mit zwei Treffern.
0,6² · 0,4¹ = 0,144 ist die Wahrscheinlichkeit eines solchen Pfades: zweimal Treffer, einmal Niete.
2.4Mit gegebenen Werten weiter
Für eine Bernoulli-Kette mit n = 15 und p = 0,18 gilt P(X = 0) ≈ 0,0510 und P(X = 2) ≈ 0,2578.
a) Berechne P(X ≤ 2).
Hilfe 1
Welche Werte von X gehören zu X ≤ 2?
Hilfe 2
Welche dieser Wahrscheinlichkeiten ist noch nicht gegeben?
b) Berechne P(X ≥ 3).
Hilfe 1
Welche Werte von X fehlen in a)?
Hilfe 2
Was ergeben alle Wahrscheinlichkeiten zusammen?
Lösung zeigen
a) „≤ 2“ heißt 0, 1 oder 2 Treffer; ein Wert fehlt noch.
Gegeben ist eine Bernoulli-Kette mit n = 6 und p = 0,5.
a) Begründe ohne Rechnung, dass P(X = 2) = P(X = 4) gilt.
Hilfe 1
Was ändert sich an einem Pfad, wenn man alle T und N vertauscht?
Hilfe 2
Vergleiche die drei Faktoren der Formel für k = 2 und k = 4.
b) Berechne P(X = 3) als Bruch.
Hilfe 1
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades bei p = 0,5 und n = 6?
Hilfe 2
Wie viele Pfade haben genau drei Treffer?
c) Entscheide, ob P(X = 2) = P(X = 4) auch für n = 6 und p = 0,3 gilt, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Welcher Faktor der Formel ist für k = 2 und k = 4 gleich?
Hilfe 2
Vergleiche die Pfadwahrscheinlichkeiten, ohne sie auszurechnen.
Lösung zeigen
a) „ohne Rechnung“: über die Bauteile der Formel argumentieren.
Zwei Treffer bedeuten vier Nieten, vier Treffer bedeuten zwei Nieten. Bei p = 0,5 sind Treffer und Niete gleich wahrscheinlich, jeder Pfad hat die Wahrscheinlichkeit 0,56.
Die Anzahl der Pfade ist gleich: 62 = 64, denn zwei Plätze für Treffer auszuwählen ist dasselbe wie zwei Plätze für Nieten.
b) Ohne Taschenrechner: 0,56 als Bruch schreiben.
P(X = 3) = 63 · 0,56 = 20 · 164 = 516
c) Die Anzahl der Pfade bleibt gleich; zu vergleichen ist die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
Nein. Die Anzahl der Pfade ist weiterhin gleich, aber ein Pfad mit zwei Treffern hat die Wahrscheinlichkeit 0,3² · 0,74, einer mit vier Treffern 0,34 · 0,7².
Kürzt man 0,3² · 0,7², bleibt 0,7² gegen 0,3². Also ist P(X = 2) größer als P(X = 4).
2.8Am Säulendiagramm
Das Material zeigt die Verteilung einer Bernoulli-Kette der Länge 4. Die Trefferwahrscheinlichkeit ist einer der Werte 0,25, 0,5 oder 0,75.
Material
a) Entscheide, welcher Wert vorliegt, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Welche Säule wäre bei p = 0,5 die höchste, und wie sähe das Diagramm aus?
Hilfe 2
Lies die Säule bei k = 0 ab und vergleiche mit (1 − p)4.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit für mindestens drei Treffer als Bruch.
Hilfe 1
Welche Werte von X gehören zu „mindestens drei“?
Hilfe 2
Rechne mit Brüchen: 0,25 = 14.
c) Skizziere das Säulendiagramm für p = 0,75 und begründe deine Skizze.
Hilfe 1
Wie wahrscheinlich ist bei p = 0,75 eine Niete?
Hilfe 2
Welche Säule des Materials gehört zu welcher Säule der Skizze?
Lösung zeigen
a) Wo liegen die hohen Säulen: bei wenigen oder bei vielen Treffern?
p = 0,25. Die Säulen bei 0 und 1 Treffern sind am höchsten, Treffer sind also selten. Bei p = 0,5 wäre das Diagramm symmetrisch zu k = 2, bei p = 0,75 wären die Säulen bei 3 und 4 am höchsten.
Probe: P(X = 0) = 0,754 = 81256 ≈ 0,32 passt zur Säule bei 0.
b) „mindestens drei“ bei n = 4: genau drei oder genau vier.
c) p = 0,75 heißt: die Rollen von Treffer und Niete sind gegenüber dem Material vertauscht.
Bei p = 0,75 sind die Nieten so wahrscheinlich wie im Material die Treffer. Das Diagramm ist das Spiegelbild des Materials an k = 2.
Säulenhöhen für k = 0 bis 4: etwa 0,004; 0,047; 0,211; 0,422; 0,316.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage, ob eine Bernoulli-Kette vorliegt, und gegebenenfalls n, p, was als Treffer zählt und welche Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Rechne nicht. (1) Ein Gartencenter verkauft Netze mit 12 Tulpenzwiebeln. Aus 90 % der Zwiebeln wächst eine blühende Tulpe. Wie wahrscheinlich blühen aus einem Netz mindestens 11 Tulpen? (2) Ein Hobbyspieler trifft beim Darts das Bullseye mit der Wahrscheinlichkeit 0,15. Er wirft 10 Pfeile. Wie wahrscheinlich gehen mehr als acht Pfeile am Bullseye vorbei? (3) Ein Kanuverein hat 9 Mitglieder, 4 davon sind Anfänger. Für ein Foto werden 3 Mitglieder ausgelost. Wie wahrscheinlich sind genau 2 Anfänger dabei?
Hilfe 1
Was wird in jeder Frage gezählt, und wie viele Versuche gibt es?
Hilfe 2
In (2): Was zählt die Frage, Treffer oder Fehlwürfe?
Hilfe 3
In (3): Bleibt die Wahrscheinlichkeit für einen Anfänger bei jedem Los gleich?
b) Eine Mitarbeiterin im Retourenlager eines Modeversands weiß: 35 % der Bestellungen werden zurückgeschickt. Sie greift sechs zufällig ausgewählte Bestellungen eines Tages heraus. Wie wahrscheinlich wird höchstens eine davon zurückgeschickt? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist P(…) mit n = … und p = … 2. Was nicht dasteht: „höchstens eine“ heißt … Die sechs Bestellungen müssen … 3. Rechnen: P(X = 0) = …; P(X = 1) = …; zusammen … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Was zählt X, und wie groß sind n und p?
Hilfe 2
Welche Werte von X gehören zu „höchstens eine“?
Hilfe 3
Was muss für die sechs Bestellungen gelten, damit die Formel passt?
Lösung zeigen
a) Drei Situationen, drei Fallen: „mindestens 11“, gezählte Nieten, Auslosen ohne Zurücklegen.
(2) Bernoulli-Kette: n = 10, p = 0,15, Treffer: Bullseye. „Mehr als acht vorbei“ heißt höchstens ein Treffer: P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1). Ebenso richtig: Y = Anzahl der Fehlwürfe mit p = 0,85, gesucht P(Y ≥ 9).
(3) Keine Bernoulli-Kette: Aus 9 Personen wird ohne Zurücklegen gelost, die Wahrscheinlichkeit für einen Anfänger ändert sich nach jedem Los. Ansatz über Pfade mit den echten Anteilen oder über Abzählen.
b) „höchstens eine“: keine oder eine. Die Unabhängigkeit steht nicht da.
1. Gefragt ist P(X ≤ 1) mit n = 6 und p = 0,35; X zählt die zurückgeschickten Bestellungen.
2. „höchstens eine“ heißt keine oder eine: P(X = 0) + P(X = 1). Die sechs Bestellungen müssen unabhängig voneinander sein; bei vielen Bestellungen an einem Tag ist das vertretbar.
4. Mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 32 % wird höchstens eine der sechs Bestellungen zurückgeschickt.
5. Bei 35 % Rücksendungen sind zwei Rücksendungen unter sechs am wahrscheinlichsten. Höchstens eine ist deshalb weniger wahrscheinlich als die Hälfte. Das passt.
3.2Fotofalle
Eine Försterin stellt an einem Wildwechsel eine Fotofalle auf. Erfahrungsgemäß nimmt die Kamera in einer Nacht mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 mindestens einen Fuchs auf. Sie wertet die Bilder von acht Nächten aus (X: Anzahl der Nächte mit Fuchs). Das Material zeigt die Verteilung von X im Modell einer Bernoulli-Kette.
Material
a) Gib anhand des Materials an, welche Anzahl von Nächten mit Fuchs am wahrscheinlichsten ist, und berechne die zugehörige Wahrscheinlichkeit.
Hilfe 1
Welche Säule ist die höchste?
Hilfe 2
Setze n, p und das abgelesene k in die Formel ein.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Kamera in höchstens zwei der acht Nächte einen Fuchs aufnimmt, und gib an, welche Säulen im Material dazu gehören.
Hilfe 1
Welche Werte von X gehören dazu?
Hilfe 2
Ein Wert ist aus a) schon bekannt.
c) Die Försterin zählt stattdessen die Nächte ohne Fuchs (Y). Beschreibe, wie das Säulendiagramm von Y aus dem Material hervorgeht, und gib P(Y = 6) ohne neue Rechnung an.
Hilfe 1
Wie hängen die Zahl der Nächte mit Fuchs und die Zahl der Nächte ohne Fuchs zusammen?
Hilfe 2
Zu welchem Wert von X gehört Y = 6?
d) Beurteile, ob die Annahmen des Modells für die Fotofalle plausibel sind.
Hilfe 1
Welche zwei Bedingungen braucht eine Bernoulli-Kette?
Hilfe 2
Denke an das Verhalten eines Fuchses und an das Wetter.
Lösung zeigen
a) „anhand des Materials“: höchste Säule suchen, dann ihren Wert mit der Formel berechnen.
Die höchste Säule steht bei k = 2: Am wahrscheinlichsten sind zwei Nächte mit Fuchs.
Y = 8 − X: Die Säule von X bei k gehört zu Y bei 8 − k. Das Diagramm von Y ist das Spiegelbild des Materials an k = 4.
P(Y = 6) = P(X = 2) ≈ 0,2965
d) Die Bedingungen des Modells stehen nicht da: gleiches p in jeder Nacht, Nächte unabhängig.
Das Modell verlangt, dass in jeder Nacht dieselbe Wahrscheinlichkeit 0,3 gilt und die Nächte sich nicht beeinflussen.
Beides ist fraglich: Ein Fuchs, der den Wildwechsel nutzt, kommt oft mehrere Nächte hintereinander; bei Regen oder Kälte sind weniger Tiere unterwegs. Über acht Nächte ist das Modell deshalb nur eine grobe Näherung. Andere begründete Einwände zählen ebenso.
3.3Weihnachtsbäume
Ein Großhändler verkauft vor Weihnachten 2000 Nordmanntannen; 400 davon haben eine schiefe Spitze. Für ein Hotel werden vier Bäume zufällig ausgewählt und ohne Zurücklegen auf den Lieferwagen geladen.
a) Berechne näherungsweise die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keiner der vier Bäume eine schiefe Spitze hat.
Hilfe 1
Wie groß ist der Anteil der Bäume mit schiefer Spitze?
Hilfe 2
Wie wahrscheinlich ist ein gerader Baum, und das viermal?
b) Berechne diese Wahrscheinlichkeit exakt und vergleiche mit a).
Hilfe 1
Wie viele gerade Bäume sind nach dem ersten geladenen geraden Baum noch übrig, und wie viele Bäume insgesamt?
Hilfe 2
Multipliziere die vier Anteile entlang des Pfades.
c) Ein Hofladen hat nur noch 10 Tannen, 2 davon mit schiefer Spitze. Ein Kindergarten kauft vier zufällig ausgewählte. Beurteile, ob die Rechnung aus a) hier taugt, und stütze dein Urteil auf eine Rechnung.
Hilfe 1
Wie ändert sich der Anteil schiefer Bäume, wenn ein gerader Baum weggenommen wurde?
Hilfe 2
Rechne wie in b) mit den Zahlen des Hofladens und vergleiche.
Lösung zeigen
a) „näherungsweise“: bei 2000 Bäumen mit festem Anteil rechnen.
Anteil der schiefen Bäume: p = 4002000 = 0,2.
Näherung mit der Bernoulli-Kette: P(X = 0) = 0,84 = 0,4096
b) „exakt“: Nach jedem geladenen Baum ändert sich der Bestand.
Exakt mit Pfadregel ohne Zurücklegen: 16002000 · 15991999 · 15981998 · 15971997 ≈ 0,4093
Der Unterschied zu 0,4096 ist kleiner als 0,001. Bei 2000 Bäumen ist die Näherung sehr gut.
c) Kleine Menge, ohne Zurücklegen: Ändert sich p merklich?
Exakt: 810 · 79 · 68 · 57 = 13 ≈ 0,3333
Die Bernoulli-Kette liefert wieder 0,84 = 0,4096, also deutlich zu viel.
Grund: Nach einem geraden Baum ist der Anteil schiefer Bäume schon 29 ≈ 0,22 statt 0,2, und er ändert sich mit jedem Baum weiter. Bei 10 Bäumen taugt die Bernoulli-Kette nicht.
3.4Sicherheitskontrolle
An einer Sicherheitskontrolle am Flughafen wählt ein Zufallsgenerator jeden Fluggast mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 für eine zusätzliche Sprengstoffprobe aus. Betrachtet werden zwölf Fluggäste, die nacheinander die Kontrolle passieren (X: Anzahl der ausgewählten Fluggäste).
a) Beschreibe im Sachzusammenhang ein Ereignis E mit P(E) = 0,812 + 12 · 0,2 · 0,811 + 122 · 0,2² · 0,810 und gib P(E) an.
Hilfe 1
Welcher Wert von k steckt in jedem Summanden?
Hilfe 2
Wie fasst man „keiner, einer oder zwei“ in einem Wort zusammen?
b) Ein Mitarbeiter will die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass genau drei der zwölf Fluggäste ausgewählt werden, und notiert 123 · 0,8³ · 0,29. Erläutere den Fehler, gib an, welche Wahrscheinlichkeit der Term tatsächlich beschreibt, und berechne den richtigen Wert.
Hilfe 1
Was bedeutet 0,8 im Sachzusammenhang?
Hilfe 2
Wie viele Fluggäste werden ausgewählt, wenn 0,2 den Exponenten 9 hat?
c) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als zwei der zwölf Fluggäste ausgewählt werden.
Hilfe 1
Gehört „genau zwei“ zu „mehr als zwei“?
Hilfe 2
Welches Ereignis aus dieser Aufgabe ist das Gegenteil?
Lösung zeigen
a) Jeden Summanden als P(X = k) lesen: Welche k kommen vor?
Die drei Summanden sind P(X = 0), P(X = 1) und P(X = 2).
E: Höchstens zwei der zwölf Fluggäste werden für die Sprengstoffprobe ausgewählt.
P(E) ≈ 0,5583
b) Prüfen, welche Zahl im Exponenten zu welcher Wahrscheinlichkeit gehört.
p und 1 − p sind vertauscht: 0,2 gehört zu den ausgewählten Fluggästen und muss den Exponenten 3 bekommen.
Der Term beschreibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau drei Fluggäste nicht ausgewählt werden, also genau neun ausgewählt werden.
Richtig: P(X = 3) = 123 · 0,2³ · 0,89 ≈ 0,2362
c) „mehr als zwei“ ist das Gegenteil eines Ereignisses aus dieser Aufgabe.
„mehr als zwei“ ist das Gegenereignis von E aus a).
P(X ≥ 3) = 1 − P(E) ≈ 1 − 0,5583 = 0,4417
3.5Belohnungskisten
In einem Handyspiel öffnet man Belohnungskisten. Jede Kiste enthält unabhängig von den anderen mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 einen seltenen Gegenstand.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spieler in zehn Kisten mindestens einen seltenen Gegenstand findet.
Hilfe 1
Was ist das Gegenteil von „mindestens einen“?
Hilfe 2
Wie wahrscheinlich ist es, in zehn Kisten keinen zu finden?
b) Ein Spieler meint: „Bei 5 % pro Kiste habe ich nach 20 Kisten sicher einen seltenen Gegenstand, denn 20 · 5 % = 100 %.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Berechne die Wahrscheinlichkeit wie in a), jetzt für 20 Kisten.
Hilfe 2
Was müsste gelten, damit ein Fund sicher ist?
c) Die Entwickler wollen die Wahrscheinlichkeit pro Kiste so festlegen, dass man in zehn Kisten mit der Wahrscheinlichkeit 0,5 mindestens einen seltenen Gegenstand findet. Bestimme diese Wahrscheinlichkeit.
Hilfe 1
Stelle den Term aus a) mit p statt 0,05 auf.
Hilfe 2
Setze ihn gleich 0,5 und löse nach 1 − p auf.
Lösung zeigen
a) „mindestens einen“: über das Gegenereignis.
P(X ≥ 1) = 1 − 0,9510 ≈ 0,4013
b) Eine Behauptung prüfen: richtige Wahrscheinlichkeit berechnen und den Denkfehler benennen.
Die Aussage ist falsch: P(X ≥ 1) = 1 − 0,9520 ≈ 0,6415. In etwa 36 % der Fälle findet er in 20 Kisten keinen seltenen Gegenstand.
Der Fehler: Er addiert die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kisten. Sicher ist ein Fund nie, denn 0,9520 ist größer als 0.
c) Rückwärts: Die Wahrscheinlichkeit ist gegeben, p ist gesucht.
p ≈ 0,0670: Jede Kiste müsste mit rund 6,7 % einen seltenen Gegenstand enthalten.
Klausuraufgabe
4.1Macarons
Eine Konditorei backt täglich rund 2000 Macarons. Erfahrungsgemäß sind 15 % davon beim Backen eingerissen; sie werden als Bruchware günstiger verkauft. Für eine Schachtel werden 12 Macarons zufällig aus der Tagesproduktion genommen (X: Anzahl der eingerissenen Macarons in der Schachtel).
a) Begründe, dass sich X näherungsweise durch eine Bernoulli-Kette beschreiben lässt, und erläutere, welche Rolle die Größe der Tagesproduktion dabei spielt.2 BE
Hilfe 1
Welche zwei Ausgänge hat jede Entnahme?
Hilfe 2
Ändert sich der Anteil eingerissener Macarons, wenn eines entnommen wird? Wie stark?
b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass keines und dass genau zwei der 12 Macarons eingerissen sind.3 BE
Hilfe 1
Wie sieht ein Pfad ohne eingerissenes Macaron aus?
Hilfe 2
Für genau zwei: Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.
c) Eine Schachtel wird nur dann als Geschenkschachtel verkauft, wenn höchstens eines der 12 Macarons eingerissen ist. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig gefüllte Schachtel als Geschenkschachtel verkauft werden kann, und deute das Ergebnis.3 BE
Hilfe 1
Welche Werte von X gehören zu „höchstens eines“?
Hilfe 2
Was bedeutet ein Wert unter 0,5 für die Konditorei?
d) Im Bericht der Konditorei steht ohne Erklärung: 1 − 0,8512 − 12 · 0,15 · 0,8511 Beschreibe ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit so berechnet wurde, und erläutere die Rechnung.3 BE
Hilfe 1
Welche Einzelwahrscheinlichkeiten stehen hinter den beiden abgezogenen Termen?
Hilfe 2
Was bleibt übrig, wenn man von allem diese beiden Fälle abzieht?
e) Für eine Hochzeit backt die Konditorei eine Sondersorte, davon nur 20 Stück; 3 sind eingerissen. Der Konditor füllt eine Schachtel mit 12 zufällig ausgewählten Stücken dieser Sorte. Beurteile, ob das Modell aus a) hier taugt. Berechne dazu die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zwölfte Stück eingerissen ist, wenn die ersten elf alle unversehrt waren.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Stücke liegen noch da, wenn elf entnommen wurden?
Hilfe 2
Wie viele eingerissene sind darunter, wenn die elf unversehrt waren?
Lösung zeigen
a) Zwei Ausgänge benennen, n und p angeben, und das stille Problem „ohne Zurücklegen“ ansprechen.
Jedes Macaron ist eingerissen oder nicht: zwei Ausgänge, Treffer: eingerissen, p = 0,15, n = 12.
Genau genommen wird ohne Zurücklegen entnommen, p ändert sich also nach jeder Entnahme. Bei rund 2000 Macarons ist diese Änderung durch 12 Entnahmen verschwindend klein; p bleibt näherungsweise 0,15. Deshalb ist die Bernoulli-Kette eine gute Näherung.
b) Zwei Einzelwahrscheinlichkeiten mit der Formel.
Nicht einmal die Hälfte der zufällig gefüllten Schachteln erfüllt die Bedingung. Wer Geschenkschachteln verkaufen will, muss die Macarons aussortieren statt zufällig zu füllen.
d) Die Teile des Terms als Einzelwahrscheinlichkeiten erkennen und das Gegenereignis benennen.
0,8512 ist P(X = 0), 12 · 0,15 · 0,8511 ist P(X = 1). Beide werden von 1 abgezogen.
Es bleibt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei der 12 Macarons eingerissen sind, die Schachtel also nicht als Geschenkschachtel verkauft wird.
e) Kleine Menge, ohne Zurücklegen: den Anteil am Anfang und am Ende vergleichen.
Beim ersten Stück: 320 = 0,15.
Nach elf unversehrten Stücken liegen noch 9 Stücke da, davon 3 eingerissen: 39 ≈ 0,333.
Die Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich stark. Bei 20 Stücken taugt die Bernoulli-Kette nicht.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Die Binomialverteilung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.