Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
In einer Bernoulli-Kette zählt X die Treffer. Mit der Formel von Bernoulli kannst du schon P(X = k) für eine einzelne Trefferzahl berechnen. In Aufgaben ist aber fast immer ein Bereich gefragt: höchstens 5 Ausfälle, mindestens 20 Zusagen, 130 bis 140 pünktliche Lieferungen. Die Einzelwahrscheinlichkeiten addiert der Taschenrechner für dich. Deine Arbeit ist das Übersetzen: Welcher Bereich ist gemeint, und wo genau liegt seine Grenze?
Zählt X die Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge n mit der Trefferwahrscheinlichkeit p, heißt X binomialverteilt mit den Parametern n und p, kurz: X ist B(n; p)-verteilt.
P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)
Diese Summe heißt kumulierte Wahrscheinlichkeit. Im Taschenrechner steht sie im Verteilungsmenü (oft „Binomial CD“ oder „binomcdf“), die Einzelwahrscheinlichkeit P(X = k) daneben („Binomial PD“). Manche Bücher schreiben F(n; p; k) für P(X ≤ k).
✎ Mini-Aufgabe: Der Taschenrechner liefert nur P(X = k) und P(X ≤ k). Wie bekommst du damit P(X ≥ 3), wenn n = 10 ist?
Lösung zeigen
P(X ≥ 3) ist die Gegenwahrscheinlichkeit von P(X ≤ 2): P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2). Die 3 gehört zu „mindestens 3“, deshalb ziehst du nur 0 bis 2 ab.
2. Bereiche übersetzen
höchstens k: P(X ≤ k)
weniger als k: P(X ≤ k − 1)
mindestens k: P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1)
mehr als k: P(X ≥ k + 1) = 1 − P(X ≤ k)
von a bis b, beide eingeschlossen: P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1)
Schreib immer zuerst den Ausdruck mit X hin, dann tippst du. Die häufigste Fehlerquelle ist die Grenze: Bei „mindestens 8“ ziehst du P(X ≤ 7) ab, nicht P(X ≤ 8).
✎ Mini-Aufgabe: Übersetze für X mit n = 10: weniger als 4 Treffer · mehr als 4 Treffer · mindestens 2 und höchstens 6 Treffer.
Lösung zeigen
weniger als 4: P(X ≤ 3)
mehr als 4: P(X ≥ 5) = 1 − P(X ≤ 4)
2 bis 6: P(2 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 1)
3. Erwartungswert und Standardabweichung
Den Erwartungswert musst du hier nicht über alle Werte von k summieren. Er hängt nur von n und p ab, ebenso die Standardabweichung:
μ = n · p σ = √(n · p · (1 − p))
Beispiel: n = 20, p = 0,3
μ = 20 · 0,3 = 6
σ = √(20 · 0,3 · 0,7) = √4,2 ≈ 2,05
Deutung: Im Mittel vieler Durchgänge gibt es 6 Treffer. Ein einzelner Durchgang weicht typischerweise um etwa 2 Treffer davon ab.
Oft gefragt: Wie wahrscheinlich weicht X höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert ab? Der Bereich ist μ − σ ≤ X ≤ μ + σ. Weil X nur ganze Zahlen annimmt, rundest du die Grenzen nach innen. Bei n = 20 und p = 0,5 ist μ = 10 und σ = √5 ≈ 2,24. Der Bereich reicht von 7,76 bis 12,24, also gehören die Trefferzahlen 8 bis 12 dazu.
P(8 ≤ X ≤ 12) = P(X ≤ 12) − P(X ≤ 7) ≈ 0,7368
Wie viel Wahrscheinlichkeit in einem solchen Bereich liegt, hängt von n und p ab. Du rechnest es deshalb jedes Mal mit dem Taschenrechner aus.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne μ und σ für n = 50 und p = 0,4.
Zeichnest du über jedes k eine Säule der Höhe P(X = k), entsteht das Histogramm. Die höchste Säule steht bei μ oder direkt daneben. Bei p = 0,5 ist das Histogramm symmetrisch zu μ. Bei p < 0,5 liegt der Gipfel links, und rechts läuft ein flacher Ausläufer aus; bei p > 0,5 ist es umgekehrt. Ein großes σ macht das Histogramm breit und flach. Eine Wahrscheinlichkeit wie P(X ≤ 5) ist die Summe der Säulenhöhen von 0 bis 5.
Oben X ist B(20; 0,3)-verteilt, markiert ist P(X ≤ 5). Unten X ist B(20; 0,5)-verteilt, markiert ist der Bereich μ ± σ, also 8 bis 12 Treffer.
✎ Mini-Aufgabe: Wie sieht das Histogramm für n = 20 und p = 0,7 aus, verglichen mit dem oberen? Wo steht die höchste Säule?
Lösung zeigen
Es ist das Spiegelbild des oberen an der Mitte k = 10: Gipfel bei 14 = 20 · 0,7, flacher Ausläufer nach links. Denn P(X = k) bei p = 0,7 ist gleich P(X = 20 − k) bei p = 0,3.
5. Rückwärts: kleinstes n oder k
Manchmal ist nicht die Wahrscheinlichkeit gesucht, sondern n oder k: Wie viele Plätze reichen mit 95 % Wahrscheinlichkeit? Wie oft muss man es mindestens versuchen? Dafür gibt es keine Formel. Du probierst systematisch mit der Tabellenfunktion des Taschenrechners und notierst den gefundenen Wert und seinen Nachbarn.
Beispiel: p = 0,1. Wie groß muss n mindestens sein, damit P(X ≥ 2) ≥ 0,9 gilt?
P(X ≥ 2) = 1 − P(X ≤ 1); in die Tabelle des Taschenrechners verschiedene n eintragen
n = 37: 1 − P(X ≤ 1) ≈ 0,8964 < 0,9
n = 38: 1 − P(X ≤ 1) ≈ 0,9047 ≥ 0,9
Es sind mindestens 38 Versuche nötig.
Der Nachbarwert ist der Beleg: Erst n = 37 zeigt, dass 38 das kleinste n ist. Achte auch auf die Richtung: Mit wachsendem n wird P(X ≥ 2) größer, mit wachsender Grenze k wird P(X ≤ k) größer, mit wachsendem n wird P(X ≤ k) kleiner.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
höchstens 5, nicht mehr als 5
P(X ≤ 5)
Die 5 gehört dazu.
weniger als 5, unter 5
P(X ≤ 4)
Die 5 gehört nicht dazu.
mindestens 5, 5 oder mehr
1 − P(X ≤ 4)
Abziehen bis 4, nicht bis 5.
mehr als 5, über 5
1 − P(X ≤ 5)
Hier bis 5 abziehen.
von 5 bis 9, 5 bis 9 einschließlich
P(X ≤ 9) − P(X ≤ 4)
Ohne „einschließlich“ genau lesen, ob die Ränder dazugehören.
im Mittel, auf lange Sicht, zu erwarten
μ = n · p
Darf eine Kommazahl sein.
am wahrscheinlichsten
größtes P(X = k), höchste Säule
Liegt bei μ oder daneben, hat aber oft unter 25 %.
weicht höchstens um eine Standardabweichung ab
P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ)
Grenzen nach innen runden.
Wie viele mindestens, damit … mit 95 % …?
kleinstes n mit P(…) ≥ 0,95
Wert und Nachbarwert angeben.
7. Was nirgends steht
Was ist ein Treffer? Oft ist es bequemer, das Gegenteil zu zählen. Zählt X die keimenden von 200 Samen, dann heißt „mindestens 15 keimen nicht“ X ≤ 185.
X nimmt nur die Werte 0, 1, …, n an. „Weniger als 5“ und „höchstens 4“ sind dasselbe.
Das Modell setzt voraus, dass die Versuche unabhängig sind und p bei jedem Versuch gleich bleibt. Ziehen ohne Zurücklegen aus einer sehr großen Menge zählt näherungsweise als Bernoulli-Kette.
Beim Probieren gehört der Nachbarwert in die Lösung.
Das Ergebnis steht im Antwortsatz in der Sprache der Aufgabe: nicht „P ≈ 0,91“, sondern „mit rund 91 % Wahrscheinlichkeit reichen die Plätze“.
8. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
In einem Regionalzug fahren an einem Samstagvormittag 150 Fahrgäste. Erfahrungsgemäß haben 8 % der Fahrgäste ein Fahrrad dabei. Der Zug hat 16 Fahrradstellplätze. Wie wahrscheinlich reichen die Stellplätze?
Was ist gefragt? Die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 16 der 150 Fahrgäste ein Fahrrad dabeihaben.
Was steht nicht da? X = Anzahl der Fahrgäste mit Fahrrad ist B(150; 0,08)-verteilt, wenn die Fahrgäste unabhängig voneinander ein Rad mitnehmen. „Reichen“ heißt X ≤ 16; die 16 gehört dazu, denn 16 Räder passen noch.
Rechnen P(X ≤ 16) ≈ 0,9078
Antwortsatz Mit rund 91 % Wahrscheinlichkeit reichen die 16 Stellplätze.
Prüfen μ = 150 · 0,08 = 12 und σ ≈ 3,32. Die 16 liegt gut eine Standardabweichung über μ, eine hohe Wahrscheinlichkeit passt. Aber: Radgruppen steigen gemeinsam ein. Dann sind die Fahrgäste nicht unabhängig, und die Plätze reichen seltener, als das Modell sagt.
9. Typische Fehler
„mindestens 8“ als 1 − P(X ≤ 8) gerechnet: Die 8 fehlt dann.
„weniger als 5“ als P(X ≤ 5) gerechnet: Die 5 ist zu viel.
Bei σ die Wurzel vergessen: n · p · (1 − p) ist die Varianz.
Grenzen von μ ± σ nach außen gerundet: Dann liegen Werte im Bereich, die mehr als σ von μ entfernt sind.
Beim Probieren nur den gefundenen Wert angegeben, ohne Nachbarwert.
„am wahrscheinlichsten“ mit „meistens“ verwechselt: Die höchste Säule hat oft nur 20 % Wahrscheinlichkeit.
Rechnen
2.1Bereiche berechnen
Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n = 25 und p = 0,4. Gib jeweils zuerst einen Ausdruck mit X an und berechne dann die Wahrscheinlichkeit.
a) höchstens 8 Treffer
Hilfe 1
Gehört die 8 zum Bereich?
Hilfe 2
Welche Funktion des Taschenrechners addiert von 0 bis zu einer Grenze?
b) mindestens 12 Treffer
Hilfe 1
Der Taschenrechner zählt immer von 0 an. Welcher Bereich ist das Gegenteil von „mindestens 12“?
Hilfe 2
Wo endet dieser Gegenbereich genau?
c) mehr als 7, aber weniger als 13 Treffer
Hilfe 1
Schreibe die kleinste und die größte Trefferzahl auf, die dazugehören.
Hilfe 2
Ein Bereich in der Mitte ist ein Bereich bis zur oberen Grenze ohne den Bereich unterhalb der unteren Grenze.
Lösung zeigen
a) „höchstens“ ist ein Bereich von 0 bis zur Grenze, die Grenze eingeschlossen.
P(X ≤ 8) ≈ 0,2735
b) „mindestens“ zählt nach oben; der Taschenrechner zählt von 0 an, also über die Gegenwahrscheinlichkeit.
P(X ≥ 12) = 1 − P(X ≤ 11) ≈ 0,2677
c) Bereich in der Mitte: zuerst die ganzzahligen Grenzen bestimmen, dann zwei kumulierte Werte subtrahieren.
Dazu gehören 8 bis 12 Treffer: P(8 ≤ X ≤ 12) = P(X ≤ 12) − P(X ≤ 7) ≈ 0,6927
2.2Erwartungswert und Streuung
a) X ist binomialverteilt mit n = 60 und p = 0,4. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von X.
Hilfe 1
Für binomialverteilte Zufallsgrößen gibt es für beide Kenngrößen eine Formel mit n und p.
Hilfe 2
Die Standardabweichung ist eine Wurzel.
b) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht.
Hilfe 1
Bestimme die Grenzen μ − σ und μ + σ.
Hilfe 2
X nimmt nur ganze Zahlen an. Welche ganzen Zahlen liegen wirklich im Bereich?
Hilfe 3
Ein Bereich in der Mitte: zwei kumulierte Werte subtrahieren.
c) Y ist binomialverteilt mit n = 200 und p = 0,15. Berechne den Erwartungswert und die Standardabweichung von Y und gib an, ob X oder Y stärker streut.
Hilfe 1
Gleiche Formeln wie in a).
Hilfe 2
Welche der beiden Kenngrößen misst die Streuung?
Lösung zeigen
a) Kenngrößen einer Binomialverteilung: direkt aus n und p, keine Summe nötig.
μ = 60 · 0,4 = 24
σ = √(60 · 0,4 · 0,6) = √14,4 ≈ 3,795
b) „weicht höchstens um σ ab“: Bereich μ − σ ≤ X ≤ μ + σ, Grenzen nach innen auf ganze Zahlen runden.
μ − σ ≈ 20,2 und μ + σ ≈ 27,8. X ist ganzzahlig, also gehören 21 bis 27 dazu.
P(21 ≤ X ≤ 27) = P(X ≤ 27) − P(X ≤ 20) ≈ 0,6436
c) Streuung vergleichen heißt: die Standardabweichungen vergleichen, nicht die Erwartungswerte.
c) „mehr als 12“ ist das Gegenereignis von „höchstens 12“.
P(X > 12) = 1 − P(X ≤ 12) ≈ 1 − 0,8209 = 0,1791
d) Eine fremde Rechnung prüfen: Welchen Bereich beschreibt der Term wirklich?
1 − P(X ≤ 9) ist P(X ≥ 10); die Trefferzahl 9 fehlt.
Für P(X ≥ 9) braucht man 1 − P(X ≤ 8); dieser Wert lässt sich aus den gegebenen Werten nicht bestimmen.
2.4Kleinste Grenze
X ist binomialverteilt mit n = 80 und p = 0,35. Bestimme die kleinste Zahl k, für die P(X ≤ k) ≥ 0,95 gilt.
Hilfe 1
Wird P(X ≤ k) größer oder kleiner, wenn k wächst?
Hilfe 2
Beginne bei einem k etwas oberhalb des Erwartungswerts und gehe in Einerschritten weiter.
Hilfe 3
Notiere auch den Wert direkt vor dem gefundenen k.
Lösung zeigen
Gesucht ist eine Grenze, keine Wahrscheinlichkeit: systematisch probieren, mit Nachbarwert belegen.
μ = 80 · 0,35 = 28; P(X ≤ k) wächst mit k.
P(X ≤ 34) ≈ 0,9346 < 0,95
P(X ≤ 35) ≈ 0,9589 ≥ 0,95
Die kleinste Zahl ist k = 35.
2.5Kleinste Anzahl von Versuchen
Bei einem Versuch beträgt die Trefferwahrscheinlichkeit 0,2. Bestimme, wie viele Versuche mindestens nötig sind, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens drei Treffer erzielt werden.
Hilfe 1
Lege eine Zufallsgröße fest. Welcher Parameter ist hier unbekannt?
Hilfe 2
Schreibe die Bedingung als Ungleichung mit einem Ausdruck, den der Taschenrechner berechnen kann.
Hilfe 3
Setze verschiedene n ein und notiere den gefundenen Wert und seinen Nachbarn.
Lösung zeigen
„wie viele Versuche mindestens, damit … mit mindestens 90 %“: n ist gesucht, die Bedingung ist eine Ungleichung, gelöst wird durch Probieren.
X: Anzahl der Treffer bei n Versuchen, B(n; 0,2)-verteilt. Gesucht ist das kleinste n mit P(X ≥ 3) = 1 − P(X ≤ 2) ≥ 0,9.
n = 24: 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,8855 < 0,9
n = 25: 1 − P(X ≤ 2) ≈ 0,9018 ≥ 0,9
Es sind mindestens n = 25 Versuche nötig.
Ohne Taschenrechner
2.6Von μ und σ zurück zu n und p
Eine binomialverteilte Zufallsgröße hat den Erwartungswert μ = 12 und die Standardabweichung σ = 3.
a) Bestimme n und p.
Hilfe 1
Schreibe beide Formeln mit den gegebenen Zahlen hin. Quadriere dazu σ.
Hilfe 2
Teile die zweite Gleichung durch die erste.
b) Bei gleichem p soll die Standardabweichung doppelt so groß sein. Bestimme, wie viele Versuche dafür nötig sind.
Hilfe 1
Was passiert mit σ², wenn σ doppelt so groß wird?
Hilfe 2
Bei festem p ist σ² proportional zu n.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: zwei Gleichungen n · p = μ und n · p · (1 − p) = σ² mit zwei Unbekannten.
n · p = 12 und n · p · (1 − p) = σ² = 9
Teilen: 1 − p = 9 : 12 = 0,75, also p = 0,25
n · 0,25 = 12, also n = 48
b) σ wächst mit der Wurzel aus n; doppelte Streuung verlangt nicht doppelt so viele Versuche.
Doppeltes σ heißt σ² = 36, das Vierfache von 9.
Bei festem p ist n · p · (1 − p) proportional zu n, also braucht man 4 · 48 = 192 Versuche.
2.7Histogramm lesen
Das Material zeigt das Histogramm einer binomialverteilten Zufallsgröße X mit n = 10. Einige Säulen sind markiert.
Material
a) Gib die Wahrscheinlichkeit, die die markierten Säulen zusammen darstellen, mit X an, und zwar als Differenz zweier Werte der Form P(X ≤ k).
Hilfe 1
Bei welchem k beginnt und bei welchem k endet die Markierung?
Hilfe 2
Vom Bereich bis zur oberen Grenze nimm alles weg, was unterhalb der unteren Grenze liegt.
b) Entscheide anhand des Histogramms, ob p = 0,3 oder p = 0,7 gilt, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Wo steht die höchste Säule?
Hilfe 2
Wo läge der Erwartungswert bei p = 0,3 und wo bei p = 0,7?
Lösung zeigen
a) Markierte Säulen sind ein Bereich von Trefferzahlen; daraus wird ein Ausdruck mit kumulierten Werten.
Markiert sind die Säulen von k = 2 bis k = 5: P(2 ≤ X ≤ 5) = P(X ≤ 5) − P(X ≤ 1)
b) Die Lage des Gipfels verrät den Erwartungswert und damit p.
Die höchste Säule steht bei k = 3, rechts läuft das Histogramm flach aus. Der Erwartungswert liegt also bei etwa 3 = 10 · 0,3.
Bei p = 0,7 läge der Gipfel bei 7, und der Ausläufer wäre links. Also gilt p = 0,3.
2.8Zeigen mit Parameter
X ist binomialverteilt mit n = 3 und der Trefferwahrscheinlichkeit p.
a) Zeige, dass P(X ≤ 1) = (1 − p)² · (1 + 2p) gilt.
Hilfe 1
Aus welchen Einzelwahrscheinlichkeiten besteht P(X ≤ 1)?
Hilfe 2
Schreibe beide mit der Formel von Bernoulli und klammere einen gemeinsamen Faktor aus.
b) Berechne P(X ≤ 1) für p = 0,5 und begründe ohne die Formel, warum dieser Wert zu erwarten war.
Hilfe 1
Wie sieht das Histogramm bei p = 0,5 aus?
Hilfe 2
Welches Ereignis ist das Gegenteil von X ≤ 1, und wie wahrscheinlich ist es im Vergleich?
Lösung zeigen
a) „Zeigen“: von der Definition ausgehen und umformen, bis die rechte Seite dasteht.
Bei p = 0,5 ist die Verteilung symmetrisch: P(X ≤ 1) = P(X ≥ 2). Die beiden Ereignisse sind Gegenereignisse, also hat jedes die Wahrscheinlichkeit 0,5.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage, welche Zufallsgröße du verwendest, mit n und p, und welchen Ausdruck oder Ansatz. Rechne nicht. (1) In einer Stadt sind 85 % der Hunde mit einem Chip gekennzeichnet. Eine Tierärztin untersucht im Monat 40 Hunde. Wie wahrscheinlich sind mindestens 30, aber weniger als 36 davon gechippt? (2) Ein Webshop für Fahrradzubehör verkauft erfahrungsgemäß bei 4 % der Besuche etwas. Wie viele Besuche braucht der Shop mindestens, damit mit mindestens 90 % Wahrscheinlichkeit wenigstens 10 Verkäufe zustande kommen? (3) Wie viele gechippte Hunde sind unter den 40 Hunden aus (1) im Mittel zu erwarten?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist eine Wahrscheinlichkeit gesucht, eine Anzahl von Versuchen oder ein Mittelwert?
Hilfe 2
Bei (1): Welche Trefferzahlen gehören dazu, und wo liegen die Grenzen genau?
Hilfe 3
Bei (2): Welcher Parameter der Verteilung ist unbekannt?
b) Auf einem Campingplatz vergeben erfahrungsgemäß 70 % der Gäste in ihrer Online-Bewertung fünf Sterne. Der Platz erhält in diesem Sommer 30 neue Bewertungen. Wie wahrscheinlich sind mindestens 20 davon Fünf-Sterne-Bewertungen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist P(…) mit X = …, verteilt nach B(…; …). 2. Was nicht dasteht: „mindestens 20“ heißt 1 − P(X ≤ …). Das Modell setzt voraus, dass … 3. Rechnen: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: μ = …; das Ergebnis ist plausibel, weil …
Hilfe 1
Was zählt X, und was ist hier ein Treffer?
Hilfe 2
Der Taschenrechner zählt von 0 an. Wo endet der Gegenbereich von „mindestens 20“?
Hilfe 3
Vergleiche die Grenze 20 mit dem Erwartungswert.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Typen: ein Bereich mit zwei Grenzen, eine Mindestanzahl n, ein Erwartungswert.
(2) Y: Anzahl der Besuche mit Kauf unter n Besuchen, B(n; 0,04). Gesucht ist das kleinste n mit P(Y ≥ 10) = 1 − P(Y ≤ 9) ≥ 0,9; durch Probieren, mit Nachbarwert.
(3) Gesucht ist der Erwartungswert μ = 40 · 0,85; keine Wahrscheinlichkeit.
b) „mindestens“ in einer Sachfrage: Zufallsgröße festlegen, Gegenbereich mit richtiger Grenze, Ergebnis an μ prüfen.
1. Gefragt ist P(X ≥ 20) mit X = Anzahl der Fünf-Sterne-Bewertungen unter den 30, verteilt nach B(30; 0,7).
2. „mindestens 20“ heißt 1 − P(X ≤ 19). Das Modell setzt voraus, dass die Gäste unabhängig voneinander bewerten.
4. Mit rund 73 % Wahrscheinlichkeit sind mindestens 20 der 30 Bewertungen Fünf-Sterne-Bewertungen.
5. μ = 30 · 0,7 = 21. Die Grenze 20 liegt knapp unter μ, deshalb ist eine Wahrscheinlichkeit über 50 % plausibel.
3.2Ausflugsschiff
Ein Ausflugsschiff auf dem Main hat 120 Sitzplätze. Tickets gibt es nur online. Erfahrungsgemäß erscheinen 92 % der Ticketinhaber zur Abfahrt; die übrigen kommen nicht und erhalten kein Geld zurück. Für eine Fahrt verkauft die Reederei 128 Tickets. Geh davon aus, dass die Ticketinhaber unabhängig voneinander erscheinen.
a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle erscheinenden Ticketinhaber einen Sitzplatz bekommen.
Hilfe 1
Was zählt deine Zufallsgröße, und was ist ein Treffer?
Hilfe 2
Wann bekommen alle einen Platz: bei wie vielen Erscheinenden höchstens?
b) Berechne den Erwartungswert der Anzahl der erscheinenden Ticketinhaber und deute ihn im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Der Erwartungswert ist ein Mittelwert. Über welche Fahrten wird gemittelt?
c) Die Reederei will möglichst viele Tickets verkaufen. Mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % sollen aber alle erscheinenden Ticketinhaber einen Sitzplatz bekommen. Ermittle, wie viele Tickets sie höchstens verkaufen darf.
Hilfe 1
Welcher Parameter der Verteilung verändert sich jetzt?
Hilfe 2
Wird P(X ≤ 120) größer oder kleiner, wenn mehr Tickets verkauft werden?
Hilfe 3
Probiere verschiedene Ticketzahlen und notiere den gefundenen Wert und seinen Nachbarn.
d) Beurteile die Annahme, dass die Ticketinhaber unabhängig voneinander erscheinen.
Hilfe 1
Wer kauft Tickets für eine Ausflugsfahrt?
Hilfe 2
Was hält mehrere Gäste gleichzeitig ab?
Lösung zeigen
a) „alle bekommen einen Platz“ heißt: Die Zahl der Erscheinenden überschreitet 120 nicht.
X: Anzahl der erscheinenden Ticketinhaber, B(128; 0,92).
Alle bekommen einen Platz, wenn höchstens 120 erscheinen: P(X ≤ 120) ≈ 0,8119.
Mit rund 81 % Wahrscheinlichkeit reichen die Sitzplätze.
b) Erwartungswert deuten: Mittel über viele gleiche Fahrten, keine Vorhersage für eine Fahrt.
μ = 128 · 0,92 = 117,76
Bei vielen Fahrten mit je 128 verkauften Tickets erscheinen im Mittel knapp 118 Gäste. Bei einer einzelnen Fahrt können es trotzdem mehr als 120 sein.
c) Die Ticketzahl ist n und gesucht; gesucht ist das größte n, nicht das kleinste.
Gesucht ist das größte n mit P(X ≤ 120) ≥ 0,95, wobei X nach B(n; 0,92) verteilt ist. Mit wachsendem n wird P(X ≤ 120) kleiner.
n = 125: P(X ≤ 120) ≈ 0,9752 ≥ 0,95
n = 126: P(X ≤ 120) ≈ 0,9433 < 0,95
Die Reederei darf höchstens 125 Tickets verkaufen.
d) Modellannahme am Sachverhalt prüfen: Gibt es Gründe, aus denen Gäste gemeinsam fehlen?
Die Annahme ist fraglich. Viele Tickets kaufen Familien oder Gruppen; fehlt eine Gruppe, fehlen mehrere Personen auf einmal. Auch Regen hält viele Gäste gleichzeitig ab.
Dann schwankt die Zahl der Erscheinenden stärker, als das Modell annimmt, und die berechneten Wahrscheinlichkeiten sind nur Richtwerte.
3.3Forellenteich
Ein Angelverein hat 20 % der Forellen in seinem großen Teich mit einer Marke versehen. Ein Mitglied angelt an einem Tag 20 Forellen; jede gefangene Forelle wird sofort wieder freigelassen. X ist die Anzahl der markierten Forellen unter den 20 gefangenen. Das Material zeigt das Histogramm von X; einige Säulen sind markiert.
Material
a) Beschreibe das Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit die markierten Säulen darstellen, im Sachzusammenhang und berechne diese Wahrscheinlichkeit.
Hilfe 1
Bei welchem k beginnt und endet die Markierung?
Hilfe 2
Formuliere mit „mindestens“ und „höchstens“.
b) Ein Mitglied sagt: „Weil 20 % markiert sind, fange ich unter 20 Forellen meistens genau 4 markierte.“ Beurteile diese Aussage mithilfe des Materials.
Hilfe 1
Welcher Teil der Aussage stimmt?
Hilfe 2
Was müsste für „meistens“ gelten?
c) Der Verein markiert so viele weitere Forellen, dass 50 % aller Forellen markiert sind. Beschreibe, wie sich das Histogramm von X verändert.
Hilfe 1
Wo liegt der neue Erwartungswert?
Hilfe 2
Wie ändert sich die Standardabweichung, und was heißt das für die Form?
Lösung zeigen
a) Vom Bild zum Ereignis in Worten und zum Ausdruck mit kumulierten Werten.
Markiert sind k = 2 bis k = 6: Unter den 20 gefangenen Forellen sind mindestens 2 und höchstens 6 markiert.
P(2 ≤ X ≤ 6) = P(X ≤ 6) − P(X ≤ 1) ≈ 0,8441
b) „am wahrscheinlichsten“ und „meistens“ sind verschiedene Aussagen.
Richtig ist: 4 ist die wahrscheinlichste Anzahl; die höchste Säule steht bei 4, und μ = 20 · 0,2 = 4.
Falsch ist „meistens“: P(X = 4) ≈ 0,2182. In fast 4 von 5 Fällen fängt man eine andere Anzahl; 3 und 5 markierte sind beinahe genauso wahrscheinlich (P(X = 3) ≈ 0,2054, P(X = 5) ≈ 0,1746).
c) Änderung von p: Lage, Symmetrie und Breite des Histogramms beschreiben.
Der Gipfel wandert zu k = 10 = 20 · 0,5, und das Histogramm wird symmetrisch zu 10.
Es wird breiter, weil σ von √3,2 ≈ 1,79 auf √5 ≈ 2,24 wächst; die Säulen werden dadurch niedriger.
3.4Garderobe in der Stadthalle
Zu einem Konzert in der Stadthalle kommen an einem Herbstabend 400 Gäste. Erfahrungsgemäß gibt jeder Gast mit einer Wahrscheinlichkeit von 35 % eine Jacke an der Garderobe ab, unabhängig von den anderen. X ist die Anzahl der abgegebenen Jacken.
a) Berechne Erwartungswert und Standardabweichung von X und deute beide Werte im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Beide Kenngrößen haben eine Formel mit n und p.
Hilfe 2
Was sagt die Standardabweichung über einen einzelnen Abend?
b) Die Garderobe hat 150 Haken. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Haken nicht ausreichen.
Hilfe 1
Bei wie vielen Jacken reichen 150 Haken nicht mehr?
Hilfe 2
Gehört die 150 zum gesuchten Bereich?
c) Ermittle, wie viele Haken die Garderobe mindestens haben muss, damit sie mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % ausreicht.
Hilfe 1
Welche Größe ist jetzt unbekannt: n, p oder die Grenze?
Hilfe 2
Schreibe die Bedingung als Ungleichung mit P(X ≤ …).
Hilfe 3
Beginne etwas oberhalb von μ + 2σ.
d) An einem verregneten Januarabend findet ein weiteres Konzert mit 400 Gästen statt. Erläutere, warum das Ergebnis aus c) dann nicht verlässlich ist.
Hilfe 1
Welcher Wert aus dem Modell hängt vom Wetter und der Jahreszeit ab?
Hilfe 2
In welche Richtung verschiebt sich die Verteilung?
Lösung zeigen
a) Kenngrößen berechnen und deuten: Mittel über viele Abende, typische Abweichung an einem Abend.
Über viele solche Abende werden im Mittel 140 Jacken abgegeben. An einem einzelnen Abend weicht die Zahl typischerweise um etwa 10 Jacken davon ab.
b) „reichen nicht“ heißt: mehr Jacken als Haken, also ab 151.
Die Haken reichen nicht, wenn mehr als 150 Jacken abgegeben werden: P(X ≥ 151) = 1 − P(X ≤ 150) ≈ 0,1357
An rund 14 % solcher Abende reichen 150 Haken nicht.
c) Die Hakenzahl ist die Grenze k; gesucht ist das kleinste k mit P(X ≤ k) ≥ 0,99.
Gesucht ist das kleinste k mit P(X ≤ k) ≥ 0,99.
P(X ≤ 161) ≈ 0,9873 < 0,99
P(X ≤ 162) ≈ 0,9903 ≥ 0,99
Die Garderobe braucht mindestens 162 Haken.
d) Die Modellannahme p = 0,35 gilt für einen Herbstabend; ändert sich p, ändert sich das Ergebnis.
An einem kalten, nassen Abend geben mehr Gäste eine Jacke ab; p ist größer als 0,35. Die Verteilung verschiebt sich nach rechts, und 162 Haken reichen dann mit deutlich kleinerer Wahrscheinlichkeit als 99 %.
3.5Minigolf
Mia schafft eine bestimmte Minigolfbahn mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % mit einem einzigen Schlag. Sie spielt die Bahn mehrmals hintereinander; die Versuche sind unabhängig voneinander. Ihr Bruder bietet zwei Wetten an. Wette A: Von 10 Versuchen gelingt mindestens die Hälfte mit einem Schlag. Wette B: Von 20 Versuchen gelingt mindestens die Hälfte mit einem Schlag.
a) Berechne für beide Wetten die Wahrscheinlichkeit, dass Mia gewinnt, und gib an, welche Wette sie wählen sollte.
Hilfe 1
Zwei Wetten, zwei Zufallsgrößen mit verschiedenem n.
Hilfe 2
„mindestens die Hälfte“: Wie viele Treffer sind das jeweils, und wo liegt der Gegenbereich?
b) Mia meint: „Bei mehr Versuchen gleicht sich Pech aus, also steigen meine Chancen.“ Beurteile diese Aussage mithilfe von Erwartungswert und Standardabweichung.
Hilfe 1
Liegt die Grenze „die Hälfte“ über oder unter dem Erwartungswert?
Hilfe 2
Vergleiche für beide Wetten den Abstand der Grenze zu μ mit σ.
Lösung zeigen
a) Zwei Verteilungen mit gleichem p, verschiedenem n; „die Hälfte“ zuerst in eine Trefferzahl übersetzen.
b) Mehr Versuche bringen den Anteil näher an p; liegt die Grenze über μ, wird sie dadurch schwerer erreichbar.
Die Aussage ist falsch. Die Grenze liegt über dem Erwartungswert: 5 gegenüber μ = 4 bei 10 Versuchen, 10 gegenüber μ = 8 bei 20 Versuchen.
Der Abstand zur Grenze verdoppelt sich (1 und 2), die Standardabweichung wächst aber nur von √2,4 ≈ 1,55 auf √4,8 ≈ 2,19. Gemessen in Standardabweichungen rückt die Grenze weiter weg.
Mit mehr Versuchen liegt der Anteil gelungener Schläge immer sicherer nahe bei 40 %, also unter der Hälfte. Bei 40 Versuchen wäre P(X ≥ 20) ≈ 0,1298.
Klausuraufgabe
4.1Pizza-Lieferdienst
Ein Pizza-Lieferdienst verspricht, jede Bestellung innerhalb von 30 Minuten zu liefern. Erfahrungsgemäß gelingt das bei 90 % der Bestellungen. An einem Freitagabend gehen 150 Bestellungen ein. Die Zufallsgröße X gibt an, wie viele davon innerhalb von 30 Minuten geliefert werden. Das Material zeigt einen Ausschnitt des Histogramms von X für die Werte 120 bis 150; einige Säulen sind dunkel markiert.
Material
a) Nenne zwei Annahmen, unter denen X als binomialverteilt angesehen werden kann, und beurteile eine davon im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Was muss für jede einzelne Bestellung gleich sein?
Hilfe 2
Können sich Lieferungen an einem vollen Abend gegenseitig beeinflussen?
b) Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse. A: „Genau 135 Bestellungen werden innerhalb von 30 Minuten geliefert.“ B: „Mindestens 140 Bestellungen werden innerhalb von 30 Minuten geliefert.“4 BE
Hilfe 1
Lege die Verteilung von X mit beiden Parametern fest.
Hilfe 2
Für B: Der Taschenrechner zählt von 0 an.
c) C: „Mehr als 20 Bestellungen werden nicht innerhalb von 30 Minuten geliefert.“ Entscheide, ob die markierte Fläche im Material die Wahrscheinlichkeit von C darstellt, und begründe deine Entscheidung.3 BE
Hilfe 1
X zählt die rechtzeitigen Lieferungen. Wie viele rechtzeitige gehören zu „mehr als 20 verspätet“?
Hilfe 2
Welchen Bereich von X zeigen die markierten Säulen?
d) Die Zufallsgröße Y gibt die Anzahl der Bestellungen an, die nicht innerhalb von 30 Minuten geliefert werden. Gib die Verteilung von Y an und einen Ausdruck mit Y, der dieselbe Wahrscheinlichkeit wie P(B) liefert.2 BE
Hilfe 1
Wie hängen X und Y zusammen?
Hilfe 2
Mindestens 140 rechtzeitige: wie viele verspätete höchstens?
e) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X um höchstens eine Standardabweichung von seinem Erwartungswert abweicht.3 BE
Hilfe 1
Berechne μ und σ.
Hilfe 2
Welche ganzen Zahlen liegen im Bereich von μ − σ bis μ + σ?
Lösung zeigen
a) Bernoulli-Kette: gleiche Trefferwahrscheinlichkeit, unabhängige Versuche; eine davon am Sachverhalt prüfen.
Jede Bestellung wird mit derselben Wahrscheinlichkeit 0,9 rechtzeitig geliefert, und die Lieferungen beeinflussen sich nicht gegenseitig.
Die Unabhängigkeit ist an einem Freitagabend fraglich: Kommen viele Bestellungen gleichzeitig, verspäten sich mehrere Lieferungen zusammen.
b) Einzelwahrscheinlichkeit und „mindestens“ unterscheiden; bei „mindestens“ die Gegenwahrscheinlichkeit mit richtiger Grenze.
X ist B(150; 0,9)-verteilt.
P(A) = P(X = 135) ≈ 0,1080
P(B) = P(X ≥ 140) = 1 − P(X ≤ 139) ≈ 0,1060
c) Das Ereignis spricht von den Verspätungen, X zählt die rechtzeitigen: zuerst umrechnen, dann mit der Markierung vergleichen.
Mehr als 20 verspätete heißt höchstens 129 rechtzeitige: C entspricht X ≤ 129.
Markiert sind die Säulen ab 130 bis zum rechten Rand (ab etwa 146 sind sie kaum noch zu sehen); sie stellen P(X ≥ 130) dar, also die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses von C.
Die markierte Fläche stellt P(C) also nicht dar.
d) Gegenzählung: dasselbe Ereignis, über die andere Zufallsgröße ausgedrückt.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Die Binomialverteilung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.