Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bevor du mit Wahrscheinlichkeiten rechnest, brauchst du Werkzeuge für echte Daten: Umfragen, Messreihen, Zählungen. Du fasst eine Datenmenge in einer Tabelle oder einem Diagramm zusammen und beschreibst sie mit zwei Zahlen: dem arithmetischen Mittel x̄ (wo liegen die Werte?) und der Standardabweichung s (wie weit streuen sie?).
Zuerst klärst du, was für ein Merkmal du vor dir hast. Die Merkmalsträger sind die untersuchten Personen oder Dinge, das Merkmal ist das, was an ihnen erhoben wird, eine Ausprägung ist ein einzelner Wert.
Merkmalsart
Ausprägungen
Beispiele
quantitativ, diskret
einzelne, abzählbare Zahlen
Anzahl der Geschwister, Tore pro Spiel
quantitativ, stetig
jede Zahl in einem Bereich
Körpergröße, Gewicht, Zeit
qualitativ, ordinal
Eigenschaften mit Rangfolge
Platzierung, Zufriedenheit von „sehr“ bis „gar nicht“
qualitativ, nominal
Eigenschaften ohne Rangfolge
Lieblingsfach, Wohnort, Telefonnummer
Einen Mittelwert bildest du nur bei quantitativen Merkmalen. Eine Telefonnummer ist zwar eine Zahl, aber nur ein Name: Der Mittelwert von Telefonnummern sagt nichts.
✎ Mini-Aufgabe: Ordne zu: (1) Anzahl der Haustiere, (2) Augenfarbe, (3) Zeit für 100 m, (4) Platz bei einem Wettkampf.
Niemand hat 1,45 Geschwister. Ein Mittelwert ist eine Rechengröße und muss kein beobachteter Wert sein.
Kennst du Mittelwert und Anzahl, kennst du auch die Summe aller Werte: Summe = n · x̄. Damit rechnest du Gruppen zusammen oder einen fehlenden Wert zurück.
✎ Mini-Aufgabe: Bei einem Test gab es 0 bis 5 Punkte, erreicht von 2, 3, 6, 8, 4 und 2 Schülern. Berechne x̄. Was kommt bei (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 6 heraus, und warum ist das falsch?
(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 6 = 2,5 mittelt die möglichen Punktzahlen, nicht die Ergebnisse der 25 Schüler. Die Häufigkeiten fehlen.
4. Klassieren und Säulendiagramm
Bei einem stetigen Merkmal oder bei sehr vielen verschiedenen Werten fasst du benachbarte Werte zu Klassen zusammen, meist 5 bis 15 gleich breite. Eine Klasse „von 10 bis unter 20“ enthält 10, aber nicht 20. So fällt jeder Wert in genau eine Klasse. Die Klassenmitte ist der Mittelwert der beiden Grenzen.
Klassenmitte m = (untere Grenze + obere Grenze) : 2
Sind nur noch die Klassen bekannt, tust du so, als lägen alle Werte einer Klasse auf ihrer Mitte. Das Ergebnis ist ein Näherungswert. Jeder Wert liegt höchstens eine halbe Klassenbreite von seiner Klassenmitte entfernt, also weicht auch der Näherungswert höchstens um eine halbe Klassenbreite ab.
x̄ ≈ (a1 · m1 + … + aₖ · mₖ) : n
Oben die Geschwisterzahlen als Säulendiagramm der relativen Häufigkeiten: Die Säulen stehen getrennt, weil es nur ganze Werte gibt. Unten die klassierten Anfahrtswege aus dem Sachbeispiel: Jede Säule deckt eine ganze Klasse ab, deshalb stoßen die Säulen aneinander.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Messreihe liegt zwischen 112 und 187. Du beginnst bei 110 mit der Klassenbreite 10. Wie viele Klassen entstehen, und wo liegt die Mitte der ersten Klasse?
Lösung zeigen
Die Klassen reichen von „110 bis unter 120“ bis „180 bis unter 190“: 8 Klassen. Die erste Klasse hat die Mitte 115.
5. Streuung: die Standardabweichung
Zwei Datenreihen können denselben Mittelwert haben und trotzdem ganz verschieden aussehen. Die empirische Varianz s² ist der Mittelwert der quadrierten Abstände zum Mittelwert, die empirische Standardabweichung s ist ihre Wurzel. Quadriert wird, weil sich die Abstände nach oben und nach unten sonst genau aufheben.
s² = (a1 · (x1 − x̄)² + … + aₖ · (xₖ − x̄)²) : n s = √(s²)
Die Ergebnisse in Kurs B streuen weiter um den Mittelwert, Kurs A ist einheitlicher.
s hat dieselbe Einheit wie die Daten. Gedeutet wird s hier nur im Vergleich: Ein kleineres s heißt, die Werte liegen dichter am Mittelwert.
✎ Mini-Aufgabe: Die Werte 20, 20, 20, 20 und die Werte 10, 20, 20, 30 haben denselben Mittelwert. Welche Reihe hat die größere Standardabweichung? Entscheide ohne Rechnung.
Lösung zeigen
Die erste Reihe hat s = 0, weil kein Wert vom Mittelwert 20 abweicht. Die zweite hat zwei Werte im Abstand 10, also die größere Standardabweichung.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
im Durchschnitt, im Mittel, durchschnittlich
arithmetisches Mittel x̄
bei einer Tabelle mit den Häufigkeiten gewichten
Anteil, wie viel Prozent
relative Häufigkeit r = a : n
n ist die Zahl aller Werte, nicht die Zahl der Spalten
einheitlicher, gleichmäßiger, schwankt stärker
Vergleich der Standardabweichungen
gleicher Mittelwert heißt nicht gleiche Verteilung
von 4 bis unter 6
Klasse, die 4 enthält, 6 aber nicht
ein Wert auf der Grenze gehört zur oberen Klasse
5 oder mehr, über 60
offene Klasse
keine Klassenmitte; eine Annahme treffen und nennen
insgesamt, Gesamt…
Summe = n · x̄
Mittelwerte verschieden großer Gruppen nicht einfach mitteln
7. Was nirgends steht
Ein Mittelwert aus klassierten Daten ist nur eine Näherung; der Fehler ist höchstens eine halbe Klassenbreite.
Ein einzelner sehr großer oder sehr kleiner Wert (Ausreißer) zieht den Mittelwert mit und macht s groß. Der Mittelwert beschreibt dann keinen typischen Wert.
Zwei Gruppen verschiedener Größe haben zusammen nicht den Mittelwert ihrer beiden Mittelwerte; die größere Gruppe zählt mehr.
Platzierungen und Nummern sehen aus wie Zahlen. Ob man mit ihnen rechnen darf, hängt von der Merkmalsart ab.
8. Sachbeispiel: Anfahrt zur Tanzschule
Eine Tanzschule fragt ihre 25 Schüler, wie lang ihre Anfahrt ist. Ergebnis: 0 bis unter 10 km: 6 Schüler; 10 bis unter 20 km: 9; 20 bis unter 30 km: 7; 30 bis unter 40 km: 3. Wie lang ist die Anfahrt im Durchschnitt?
Was ist gefragt? Das arithmetische Mittel der Anfahrtswege aller 25 Schüler.
Was steht nicht da? Die einzelnen Werte fehlen. Ich nehme für jede Klasse ihre Mitte: 5, 15, 25 und 35 km. Das Ergebnis ist deshalb nur ein Näherungswert.
Antwortsatz Die Anfahrt zur Tanzschule ist im Durchschnitt etwa 18 km lang.
Prüfen 17,8 km liegt in der Klasse mit den meisten Schülern. Die Näherung weicht höchstens um 5 km ab, eine halbe Klassenbreite. Das passt.
9. Typische Fehler
Die Ausprägungen ohne ihre Häufigkeiten mitteln: (0 + 1 + 2 + 3 + 4) : 5 statt gewichtet.
Durch die Zahl der Spalten teilen statt durch die Zahl aller Werte n.
Als Klassenmitte die untere Klassengrenze nehmen.
Bei s das Quadrieren oder die Wurzel vergessen.
Aus gleichem Mittelwert auf gleiche Verteilung schließen.
Rechnen
2.1Merkmalsarten
Gib für jedes Merkmal an, ob es quantitativ (diskret oder stetig) oder qualitativ (nominal oder ordinal) ist. (1) Anzahl der Bücher in einem Regal (2) Wassertemperatur in °C (3) Postleitzahl des Wohnorts (4) Zufriedenheit von „sehr zufrieden“ bis „unzufrieden“
Hilfe 1
Frage zuerst: Ist die Ausprägung eine Zahl, mit der man sinnvoll rechnen kann?
Hilfe 2
Bei Eigenschaften: Gibt es eine natürliche Reihenfolge?
Hilfe 3
Bei Zahlen: Gibt es nur einzelne Werte oder auch jeden Wert dazwischen?
Lösung zeigen
„Merkmalsart“: erst quantitativ oder qualitativ, dann die Unterart.
Ein Ei der Stichprobe wiegt im Durchschnitt etwa 60,32 g.
b) Fehler der Klassenmitten-Näherung: Er hängt nur von der Klassenbreite ab.
Höchstens 2 g. Jedes Ei liegt weniger als eine halbe Klassenbreite, also weniger als 2 g, von seiner Klassenmitte entfernt.
Selbst wenn alle Eier in dieselbe Richtung abweichen, verschiebt sich der Mittelwert deshalb um weniger als 2 g.
2.4Zwei Kurse
Zwei Grundkurse mit je 20 Schülern schreiben dieselbe Klausur. Beide Kurse erreichen im Durchschnitt 6 Punkte. Die Tabelle zeigt, wie viele Schüler welche Punktzahl erreicht haben.
Punktzahl
2
4
5
6
7
8
10
Kurs A
0
2
4
8
4
2
0
Kurs B
3
4
0
6
0
4
3
Material
a) Berechne für beide Kurse die empirische Standardabweichung der Punktzahlen.
Hilfe 1
Der Mittelwert ist schon gegeben. Bestimme für jede Punktzahl den Abstand zu 6.
Hilfe 2
Quadriere die Abstände und gewichte mit der Zahl der Schüler.
Hilfe 3
Am Ende durch 20 teilen und die Wurzel ziehen.
b) Vergleiche die beiden Punkteverteilungen.
Hilfe 1
Was ist gleich, was ist verschieden?
Hilfe 2
Was sagt ein größeres s über die einzelnen Ergebnisse?
Lösung zeigen
a) Mittelwert gegeben, Streuung gefragt: Abstände quadrieren, gewichten, mitteln, Wurzel.
b) Vergleich bei gleichem Mittelwert: Er läuft über die Streuung.
Beide Kurse liegen im Mittel bei 6 Punkten. In Kurs A liegen die Ergebnisse dicht um 6, in Kurs B streuen sie weit: Dort gibt es mehr sehr gute und mehr sehr schwache Arbeiten.
2.5Abweichungen vom Mittelwert
Gegeben sind die Werte 2, 5, 6, 7 und 10.
a) Zeige, dass die Summe der Abweichungen aller Werte vom Mittelwert null ist.
Hilfe 1
Berechne zuerst den Mittelwert.
Hilfe 2
Bilde für jeden Wert die Differenz Wert minus Mittelwert und addiere.
b) Erläutere, warum man für ein Streuungsmaß die Abweichungen quadriert, und berechne die empirische Varianz der Werte.
Hilfe 1
Was würde passieren, wenn man die Abweichungen aus a) einfach mittelt?
Hilfe 2
Welches Vorzeichen hat ein Quadrat?
Lösung zeigen
a) „Zeigen Sie“: jede Differenz hinschreiben, auch wenn das Ergebnis schon dasteht.
b) Ergebnis aus a) nutzen: Es erklärt, warum quadriert wird.
Ohne Quadrat heben sich die Abweichungen nach oben und nach unten auf; ihre Summe ist bei jeder Datenreihe null. Quadrate sind nie negativ und heben sich nicht auf.
s² = (16 + 1 + 0 + 1 + 16) : 5 = 34 : 5 = 6,8
Ohne Taschenrechner
2.6Nachschreibklausur
In einem Kurs schreiben zunächst 19 Schüler eine Klausur, der Durchschnitt liegt bei 8,0 Punkten. Mit der Arbeit eines Nachschreibers liegt der Durchschnitt aller 20 Arbeiten bei 8,2 Punkten.
a) Bestimme die Punktzahl des Nachschreibers.
Hilfe 1
Aus Mittelwert und Anzahl erhältst du die Summe aller Punkte.
Hilfe 2
Vergleiche die Summen vor und nach der Nachschreibklausur.
b) Der Parallelkurs mit 30 Schülern hat in derselben Klausur den Durchschnitt 7,0 Punkte. Berechne den Durchschnitt aller 50 Arbeiten.
Hilfe 1
Die beiden Kurse sind verschieden groß.
Hilfe 2
Arbeite wieder mit den Summen.
Lösung zeigen
a) Mittelwert rückwärts: Summe = n · x̄, dann die Differenz.
Die Werte 3, 5 und 7 haben den Mittelwert 5 und die empirische Standardabweichung s ≈ 1,63.
a) Jeder Wert wird um c erhöht (c > 0). Gib Mittelwert und Standardabweichung der neuen Werte an und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
Schreibe die neuen Werte mit c auf.
Hilfe 2
Wie groß sind die Abstände der neuen Werte zum neuen Mittelwert?
b) Stattdessen wird jeder der ursprünglichen Werte verdoppelt. Entscheide, wie sich Mittelwert und Standardabweichung ändern.
Hilfe 1
Schreibe die neuen Werte auf.
Hilfe 2
Vergleiche die neuen Abstände zum Mittelwert mit den alten.
Lösung zeigen
a) Parameter statt Zahl: Was verschiebt sich, was bleibt?
Die neuen Werte 3 + c, 5 + c, 7 + c haben den Mittelwert 5 + c.
Die Abstände zum Mittelwert bleiben −2, 0 und 2, also bleibt die Standardabweichung s ≈ 1,63.
b) Wie in a): Abstände zum Mittelwert vergleichen statt neu zu rechnen.
Die Werte 6, 10 und 14 haben den Mittelwert 10, das Doppelte.
Ihre Abstände zum Mittelwert sind −4, 0 und 4, doppelt so groß wie vorher. Die Standardabweichung verdoppelt sich auf etwa 3,27.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Eine Umfrage erhebt die Lieblingssportart von 300 Jugendlichen. Was ist die durchschnittliche Lieblingssportart? (2) Eine Brezelbude auf dem Weihnachtsmarkt verkauft an 25 Tagen im Durchschnitt 140 Brezeln pro Tag. Wie viele Brezeln hat sie insgesamt verkauft? (3) Zwei Maschinen füllen Mehltüten mit im Mittel 1 000 g. Welche Maschine füllt gleichmäßiger?
Hilfe 1
Bei jeder Frage zuerst: Welche Art von Merkmal wird erhoben?
Hilfe 2
Ist ein Mittelwert gesucht, oder ist er gegeben und etwas anderes gesucht?
Hilfe 3
Bei Frage (3): Hilft der Mittelwert hier noch?
b) Ein Escape-Room notiert für 40 Gruppen, wie viele Hinweise sie gebraucht haben: 0 Hinweise: 6 Gruppen; 1 Hinweis: 10 Gruppen; 2 Hinweise: 14 Gruppen; 3 Hinweise: 8 Gruppen; 4 Hinweise: 2 Gruppen. Wie viele Hinweise braucht eine Gruppe im Durchschnitt? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: Jede Hinweiszahl zählt so oft, wie …; geteilt wird durch … 3. Rechnen: x̄ = (0 · … + 1 · … + …) : … = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Um welche Kennzahl geht es bei „im Durchschnitt“?
Hilfe 2
Wie viele Werte stecken in den Angaben, 5 oder 40?
Hilfe 3
Ein Durchschnitt liegt zwischen dem kleinsten und dem größten Wert. Wo genau ungefähr?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Antworten: kein Mittelwert möglich, Summe aus dem Mittelwert, Vergleich der Streuung.
(1) Die Lieblingssportart ist qualitativ, nominal. Ein Mittelwert ist nicht möglich; angeben kann man die häufigste Sportart oder die Anteile.
(2) Gesucht ist die Summe aller Werte, der Mittelwert ist gegeben. Ansatz: Summe = n · x̄, also Zahl der Tage mal Durchschnitt pro Tag.
(3) Gesucht ist ein Vergleich der Streuung. Ansatz: die Standardabweichungen der Füllmengen beider Maschinen vergleichen; der gleiche Mittelwert entscheidet nichts.
b) „im Durchschnitt“ aus einer Häufigkeitsangabe: gewichten und durch die Zahl der Gruppen teilen.
1. Gefragt ist das arithmetische Mittel der Hinweiszahlen aller 40 Gruppen.
2. Jede Hinweiszahl zählt so oft, wie Gruppen sie gebraucht haben; geteilt wird durch 40, nicht durch 5.
4. Eine Gruppe braucht im Durchschnitt 1,75 Hinweise.
5. Die meisten Gruppen brauchen 1 oder 2 Hinweise; 1,75 liegt dazwischen. Das passt.
3.2Ferienwohnungen
Auf einer kleinen Insel werden acht Ferienwohnungen vermietet. Die Preise pro Nacht in Euro sind 70, 75, 80, 80, 85, 90, 95 und 425. Die teuerste Unterkunft ist eine Villa mit Pool.
a) Ein Reiseportal schreibt: „Auf der Insel zahlen Sie im Schnitt 125 € pro Nacht. Wer höchstens 100 € ausgeben will, sollte woanders suchen.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Prüfe zuerst die Zahl 125 €.
Hilfe 2
Wie viele Wohnungen kosten tatsächlich mehr als 100 €?
Hilfe 3
Welcher Wert ist für den hohen Durchschnitt verantwortlich?
b) Die empirische Standardabweichung der acht Preise beträgt etwa 113,63 €, die der sieben Preise ohne die Villa etwa 7,95 €. Erläutere diesen Unterschied im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Wie weit liegt die Villa vom Mittelwert entfernt, wie weit die anderen Wohnungen?
Hilfe 2
Was passiert mit einem großen Abstand, wenn er quadriert wird?
Lösung zeigen
a) Ein Mittelwert soll eine Folgerung tragen. Zu prüfen ist, ob er einen typischen Preis beschreibt.
Die Folgerung ist falsch. Sieben der acht Wohnungen kosten höchstens 95 €. Allein die Villa hebt den Durchschnitt über 100 €; ohne sie liegt er bei 575 : 7 ≈ 82,14 €.
Der Mittelwert beschreibt hier keine typische Wohnung, weil ein einzelner Ausreißer ihn stark nach oben zieht.
b) Zwei Standardabweichungen deuten: Woher kommt die große Streuung?
Ohne die Villa liegen alle Preise zwischen 70 € und 95 €, dicht um ihren Mittelwert; s ist klein.
Die Villa liegt sehr weit über dem Mittelwert. Ihr Abstand geht quadriert in s ein und macht die Standardabweichung aller acht Preise sehr groß. Die große Streuung stammt also fast nur von einem einzigen Wert.
3.3Weitsprung
Beim Sportfest springen 20 Schüler der Q1 weit. Die Weiten in Metern in der Reihenfolge der Sprünge:
a) Fasse die Weiten in Klassen der Breite 0,5 m zusammen, beginnend mit der Klasse von 3,0 m bis unter 3,5 m, und stelle die klassierten Daten in einem Säulendiagramm dar.
Hilfe 1
Schreibe die fünf Klassen untereinander und mache für jeden Sprung einen Strich.
Hilfe 2
Achte auf Weiten, die genau auf einer Klassengrenze liegen.
Hilfe 3
Im Säulendiagramm deckt jede Säule eine ganze Klasse ab.
b) Berechne mithilfe der Klassen näherungsweise die durchschnittliche Weite.
Hilfe 1
Welcher Wert vertritt eine Klasse?
Hilfe 2
Gewichte mit der Anzahl der Sprünge in jeder Klasse.
c) Die Summe der 20 Einzelweiten beträgt 87,01 m. Vergleiche den genauen Mittelwert mit deinem Näherungswert und erläutere, warum die Abweichung hier so klein ist.
Hilfe 1
Wie groß könnte die Abweichung höchstens sein?
Hilfe 2
Liegen die Weiten einer Klasse alle auf derselben Seite der Klassenmitte?
Lösung zeigen
a) Urliste klassieren: Grenzen „bis unter“ beachten, dann Säulen ohne Lücke.
Klassen von 3,0 bis unter 3,5 m, 3,5 bis unter 4,0 m, 4,0 bis unter 4,5 m, 4,5 bis unter 5,0 m und 5,0 bis unter 5,5 m: 2, 3, 7, 5 und 3 Sprünge (Summe 20).
Der Sprung mit 4,50 m gehört in die Klasse von 4,5 bis unter 5,0 m.
Im Säulendiagramm steht über jeder Klasse eine Säule der Breite 0,5 m; die Säulen stoßen aneinander.
b) Mittelwert aus den eigenen Klassen: über die Klassenmitten.
Die durchschnittliche Weite liegt bei etwa 4,35 m.
c) Näherung und genauer Wert: Größe der Abweichung mit der Lage der Werte in den Klassen erklären.
Genau: x̄ = 87,01 : 20 = 4,3505 ≈ 4,35 m. Der Näherungswert weicht nur um 0,0005 m ab.
Möglich wäre eine Abweichung bis zu 0,25 m, einer halben Klassenbreite. In jeder Klasse liegen hier aber Weiten unter und über der Klassenmitte; ihre Abweichungen gleichen sich fast vollständig aus.
3.4Zwei Urlaubsorte
Eine Familie sucht einen Urlaubsort, an den sie zu jeder Jahreszeit fahren kann. Das Material zeigt für jeden Monat die mittlere Tagestemperatur in °C an einem Ort an der Atlantikküste (Ort A) und an einem Ort im Landesinneren (Ort B).
Material: Ort AMaterial: Ort B
a) Zeige, dass die zwölf Monatswerte an beiden Orten denselben Mittelwert haben.
Hilfe 1
Lies die zwölf Säulenhöhen für jeden Ort ab.
Hilfe 2
Jeder Monat zählt einmal.
b) Berechne für beide Orte die empirische Standardabweichung der Monatswerte.
Hilfe 1
Der Mittelwert ist aus a) bekannt.
Hilfe 2
Nutze die Listen- oder Statistikfunktion des Taschenrechners oder rechne die Abweichungsquadrate einzeln.
c) Ein Reiseportal schreibt: „Beide Orte sind gleich warm.“ Beurteile diese Aussage im Hinblick auf die Pläne der Familie.
Hilfe 1
In welchem Sinn stimmt die Aussage?
Hilfe 2
Was will die Familie wissen: das Mittel über das Jahr oder die Temperatur in dem Monat, in dem sie fährt?
Lösung zeigen
a) Werte aus dem Diagramm ablesen, dann Mittelwert aus der Urliste.
Ort A: s² = ((15 − 18,5)² + (15 − 18,5)² + … + (16 − 18,5)²) : 12 = 89 : 12 ≈ 7,42; s ≈ 2,72 °C
Ort B: s² = ((5 − 18,5)² + (7 − 18,5)² + … + (12 − 18,5)²) : 12 = 839 : 12 ≈ 69,92; s ≈ 8,36 °C
c) Gleicher Mittelwert, verschiedene Streuung: Für die Frage der Familie zählt die Streuung.
Im Jahresmittel stimmt die Aussage: Beide Orte liegen bei 18,5 °C.
Für die Familie ist sie irreführend. In Ort B schwanken die Monatswerte stark, von 5 °C im Januar bis 31 °C im Juli (s ≈ 8,36 °C). In Ort A liegen sie nur zwischen 15 °C und 23 °C (s ≈ 2,72 °C).
Wer zu jeder Jahreszeit fahren will, findet in Ort A verlässlicher ähnliche Temperaturen.
Klausuraufgabe
4.1Reservierungen im Restaurant
Ein Restaurant wertet alle 400 Tischreservierungen des Monats Mai aus. Erfasst ist, für wie viele Personen jeweils reserviert wurde.
Personen je Reservierung
1
2
3
4
5 oder mehr
relative Häufigkeit
0,05
0,45
0,15
0,25
0,10
Material
a) Stelle die Verteilung in einem Säulendiagramm dar.2 BE
Hilfe 1
Waagerecht stehen die Personenzahlen, senkrecht die relativen Häufigkeiten.
Hilfe 2
Für „5 oder mehr“ genügt eine Säule mit passender Beschriftung.
b) Berechne die durchschnittliche Personenzahl je Reservierung unter der Annahme, dass bei „5 oder mehr“ immer genau 5 Personen reserviert haben. Begründe, warum der tatsächliche Durchschnitt mit der Tabelle allein nicht genau bestimmt werden kann, und entscheide, ob er kleiner als dein Ergebnis sein kann.4 BE
Hilfe 1
Bei relativen Häufigkeiten wird jede Personenzahl mit ihrem Anteil multipliziert.
Hilfe 2
Was genau weiß man über die Reservierungen der letzten Spalte?
Hilfe 3
Kann eine dieser Reservierungen weniger als 5 Personen umfassen?
c) Über alle Reservierungen kamen im Mai 1 200 Gäste. Der Wirt notiert: 1 200 − 400 · 2,4 = 240; 240 : 40 = 6 Erläutere diese Rechnung im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Woher kommt die Zahl 2,4? Vergleiche mit deiner Rechnung aus b).
Hilfe 2
Welche Reservierungen bleiben übrig, wenn man die für 1 bis 4 Personen abzieht?
Hilfe 3
Wie viele Reservierungen sind 10 % von 400?
d) Bestimme die tatsächliche durchschnittliche Personenzahl je Reservierung im Mai.2 BE
Hilfe 1
Du kennst jetzt die Zahl aller Gäste und die Zahl aller Reservierungen.
Hilfe 2
Vergleiche mit b).
e) Der Wirt schlägt vor, vor jedem Abend nur Tische für so viele Personen einzudecken, wie im Mai im Durchschnitt je Reservierung kamen. Beurteile diesen Vorschlag.3 BE
Hilfe 1
Wie viel Prozent der Reservierungen sind tatsächlich für genau diese Personenzahl?
Hilfe 2
Was passiert an einem solchen Tisch mit einer Reservierung für 2 und mit einer für 4 Personen?
Lösung zeigen
a) Darstellungswechsel Tabelle zu Diagramm: Achsen beschriften, Säulenhöhen übertragen.
Säulen über 1, 2, 3, 4 und „5 oder mehr“ mit den Höhen 0,05; 0,45; 0,15; 0,25 und 0,10. Die Säule bei 2 ist die höchste.
b) Mittelwert mit offener Klasse: Annahme einsetzen, dann sagen, in welche Richtung sie den Wert verfälscht.
Die Tabelle sagt nicht, wie viele Personen in der letzten Spalte genau kamen; es können 5, 6 oder mehr sein.
Dort sind es mindestens 5 Personen. Der tatsächliche Durchschnitt kann deshalb nicht kleiner als 2,9 sein; er ist größer, sobald eine dieser Reservierungen mehr als 5 Personen umfasst.
c) Eine fertige Rechnung deuten: Jede Zahl bekommt eine Bedeutung im Restaurant.
2,4 = 1 · 0,05 + 2 · 0,45 + 3 · 0,15 + 4 · 0,25 sind die Gäste aus Reservierungen für 1 bis 4 Personen, gerechnet je Reservierung aller 400. Also kamen 400 · 2,4 = 960 Gäste über diese Reservierungen.
1 200 − 960 = 240 Gäste kamen über die Reservierungen „5 oder mehr“. Das sind 0,10 · 400 = 40 Reservierungen.
240 : 40 = 6: Eine Reservierung der letzten Spalte umfasste im Durchschnitt 6 Personen.
d) Durchschnitt = Gesamtzahl : Anzahl, jetzt ohne Annahme.
x̄ = 1 200 : 400 = 3 (ebenso 2,4 + 0,10 · 6 = 3).
Das passt zu b): 3 ist größer als 2,9.
e) Ein Mittelwert soll eine Planung tragen: Prüfen, ob er einen typischen Fall beschreibt.
Der Vorschlag hieße: nur Dreiertische. Er passt nicht zu den Daten. Nur 15 % der Reservierungen sind für 3 Personen, 45 % für 2 Personen; an ihren Tischen bliebe ein Platz leer.
Ein Viertel der Reservierungen ist für 4 Personen, 10 % sogar für 5 oder mehr; für sie reicht ein Dreiertisch nicht.
Der Mittelwert 3 beschreibt hier keine typische Reservierung. Sinnvoller plant der Wirt nach der Verteilung, vor allem mit Zweier- und Vierertischen.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q3-Kurs, in den Abschnitt „Was du aus der Mittelstufe kennst“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.