Winkel zwischen Gerade und Ebene bzw. Ebene und Ebene
Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hast du Winkel zwischen zwei Vektoren und zwischen zwei Geraden berechnet. Jetzt kommen zwei neue Lagen dazu: eine Gerade, die eine Ebene durchstößt, und zwei Ebenen, die sich schneiden. Beide Winkel berechnest du mit dem Skalarprodukt, und in beiden spielt der Normalenvektorn die Hauptrolle: ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. In der Koordinatenform E: ax + by + cz = d liest du ihn direkt ab: n = abc.
Winkel zwischen Gerade und Ebene: Stell dir vor, Licht fällt senkrecht auf die Ebene. Der Schatten der Geraden auf der Ebene heißt ihre senkrechte Projektion. Der Schnittwinkel γ ist der Winkel zwischen der Geraden und ihrer Projektion. Winkel zwischen zwei Ebenen: Du schaust genau längs der Schnittgeraden; dann sieht jede Ebene wie eine Linie aus, und der kleinere der Winkel zwischen den beiden Linien ist der Schnittwinkel. Beide Schnittwinkel liegen zwischen 0° und 90°. Den Schnittwinkel einer Ebene mit dem waagerechten Boden nennt man ihren Neigungswinkel.
2. Der Weg über den Höhenfußpunkt
Den Winkel zwischen einer Kante und der Grundfläche eines Körpers kennst du schon: Du fällst das Lot vom oberen Punkt P auf die Grundfläche. Der Fußpunkt F des Lots heißt Höhenfußpunkt. Im rechtwinkligen Dreieck A F P liegt der gesuchte Winkel bei A, und es gilt sin γ = |FP||AP|, also Höhe durch Länge.
Links: Die Strecke AP und ihre Projektion AF auf die xy-Ebene schließen bei A den Winkel γ ein; F ist der Höhenfußpunkt von P. Rechts: Eine Rampe schneidet den Boden in der Kante durch U. Ihr Neigungswinkel liegt bei U im Dreieck U V W, das senkrecht zu dieser Kante steht.
✎ Mini-Aufgabe: Links in der Abbildung läuft eine Strecke von A(3 | 0 | 0) nach P(1 | 4 | 3); die Grundfläche ist die xy-Ebene. Berechne den Winkel zwischen AP und der xy-Ebene über das Dreieck A F P.
Lösung zeigen
F(1 | 4 | 0) liegt senkrecht unter P, die Höhe ist |FP| = 3.
AP = −243, |AP| = √29
sin γ = 3√29, also γ ≈ 33,9°
Die Formel im nächsten Abschnitt macht dasselbe ohne Höhenfußpunkt. Für die xy-Ebene ist n = 001, und |m · n| ist dann der Betrag der z-Koordinate von m: die Höhe, die die Gerade gewinnt. Bei einer schrägen Ebene ist der Höhenfußpunkt mühsam zu finden; die Formel braucht ihn nicht.
3. Winkel zwischen Gerade und Ebene
Die Gerade g hat den Richtungsvektor m, die Ebene E den Normalenvektor n. Der Winkel zwischen m und n ist nicht γ, sondern 90° − γ, denn n steht senkrecht auf der Ebene. Wegen cos(90° − γ) = sin γ steht in der Formel der Sinus:
sin γ = |m · n||m| · |n|
Beispiel: g: x = 113 + t · 2−21 und E: 2x + y + 2z = 6
m = 2−21, n = 212
m · n = 4 − 2 + 2 = 4; |m| = 3; |n| = 3
sin γ = 43 · 3 = 49, also γ ≈ 26,4°
✎ Mini-Aufgabe: Was bedeutet es, wenn m · n = 0 herauskommt? Und was, wenn m ein Vielfaches von n ist?
Lösung zeigen
m · n = 0: sin γ = 0, also γ = 0°. Die Gerade ist parallel zur Ebene oder liegt in ihr; das entscheidet eine Punktprobe mit dem Stützpunkt.
m ist ein Vielfaches von n: sin γ = 1, also γ = 90°. Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene.
4. Winkel zwischen zwei Ebenen
Schaust du längs der Schnittgeraden, siehst du beide Normalenvektoren in voller Länge, jeden senkrecht auf seiner Ebene. Dreht man die eine Ebene um γ gegen die andere, dreht sich ihr Normalenvektor um denselben Winkel mit. Deshalb steht hier der Kosinus, mit den beiden Normalenvektoren:
cos γ = |n1 · n2||n1| · |n2|
Beispiel: E1: 2x + y + 2z = 6 und E2: x − 2y − 2z = 1
n1 · n2 = 2 − 2 − 4 = −4; |n1| = 3; |n2| = 3
cos γ = |−4|9 = 49, also γ ≈ 63,6°
Ohne Betrag käme cos γ = −49 und γ ≈ 116,4° heraus: der stumpfe Nebenwinkel, denn 63,6° + 116,4° = 180°.
Der Neigungswinkel gegen den Boden ist ein Sonderfall: Der Boden ist meist die xy-Ebene mit n = 001. Die Rampe rechts in der Abbildung liegt in der Ebene 3y − 4z = 0, also n = 03−4 und cos γ = 45, γ ≈ 36,9°. Im Dreieck U V W stimmt das: tan γ = 34. Die Schnittgerade selbst brauchst du nie.
Ist eine Ebene in Parameterform gegeben, bestimmst du zuerst einen Normalenvektor n = abc: Sein Skalarprodukt mit beiden Richtungsvektoren ist 0. Das sind zwei Gleichungen; eine Koordinate wählst du frei.
✎ Mini-Aufgabe: Prüfe ohne Taschenrechner, welchen Winkel E1: x − 2y + 2z = 3 und E2: 2x + 2y + z = 5 einschließen.
Lösung zeigen
n1 · n2 = 2 − 4 + 2 = 0, also cos γ = 0 und γ = 90°. Die Ebenen stehen senkrecht aufeinander.
Vektor und Vektor: Kosinus ohne Betrag, Winkel von 0° bis 180°.
Gerade und Gerade: Kosinus mit den beiden Richtungsvektoren, mit Betrag.
Gerade und Ebene: Sinus mit Richtungsvektor und Normalenvektor, mit Betrag.
Ebene und Ebene: Kosinus mit den beiden Normalenvektoren, mit Betrag.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Neigung einer Fläche gegen den Boden, wie steil ist ein Dach, ein Hang
Winkel zwischen der Ebene und der xy-Ebene
n = 001 des Bodens steht nirgends.
unter welchem Winkel trifft ein Stab, ein Strahl, ein Pfeil auf eine Fläche
Winkel zwischen Gerade und Ebene, Sinusformel
Richtungsvektor nehmen, nicht den Stützvektor
wie steil steht ein Stab, eine Kante
Winkel zwischen Gerade und xy-Ebene
nicht mit dem Winkel zur z-Achse verwechseln
Winkel zwischen zwei Wänden, Dachflächen, Seitenflächen
Schnittwinkel zweier Ebenen, Kosinus mit n1 und n2
Ein Innenwinkel kann stumpf sein: 180° − γ.
steht senkrecht auf der Fläche
Gerade: m ist Vielfaches von n. Ebenen: n1 · n2 = 0
„lotrecht“ allein heißt: senkrecht zum Boden, Richtung 001
verläuft parallel zur Fläche
m · n = 0 und ein Punkt der Geraden liegt nicht in E
Liegt der Punkt in E, liegt die ganze Gerade in E.
6. Was nirgends steht
Ein Schnittwinkel liegt immer zwischen 0° und 90°. Dafür sorgt der Betrag im Zähler.
Manchmal ist ein Innenwinkel gefragt: der Winkel am First, der Öffnungswinkel einer Rinne, der Knick zwischen zwei Flächen. Der kann stumpf sein; dann ist er 180° − γ. Eine Skizze des Querschnitts entscheidet.
„Boden“, „waagerecht“, „Tisch“ ist im Modell meist die xy-Ebene mit n = 001. „Lotrecht“ heißt Richtung 001.
Fehlt in der Koordinatenform eine Variable, ist ihre Koordinate im Normalenvektor 0: 4y − z = 0 hat n = 04−1.
Für den Winkel brauchst du weder den Schnittpunkt noch die Schnittgerade.
Der Taschenrechner muss auf Grad (DEG) stehen.
7. Ein Beispiel aus der Sache
Eine Lärmschutzwand steht schräg. Im Modell liegt der Boden in der xy-Ebene, eine Einheit entspricht 1 m. Die Unterkante der Wand liegt auf der x-Achse, die Oberkante 4 m hoch und 1 m weiter in y-Richtung; die Wand liegt in der Ebene W: 4y − z = 0. Eine gerade Strebe stützt die Wand auf der Seite, zu der sie überhängt. Sie reicht vom Bodenpunkt Q(2 | 3 | 0) bis zum Punkt R(2 | 0,5 | 2) der Wand. Unter welchem Winkel trifft die Strebe auf die Wand?
Was ist gefragt? Der Winkel zwischen der Strebe, einer Geraden, und der Wand, einer Ebene.
Was steht nicht da? Die Strebe braucht einen Richtungsvektor: QR = 0−2,52, handlicher das Doppelte 0−54. Bei Gerade und Ebene steht der Sinus. Der Normalenvektor n = 04−1 kommt aus der Koordinatenform; die x-Koordinate ist 0.
Rechnenm · n = 0 − 20 − 4 = −24; |m| = √41; |n| = √17; sin γ = 24√697 ≈ 0,909, also γ ≈ 65,4°.
Antwortsatz Die Strebe trifft unter einem Winkel von etwa 65,4° auf die Wand.
Prüfen Strebe und Wandquerschnitt liegen in der Ebene x = 2. Die Wand ist gegen den Boden um etwa 76,0° geneigt (cos α = 1√17), die Strebe um etwa 38,7° (sin β = 4√41). Im Dreieck aus Boden, Wand und Strebe: 76,0° + 38,7° + 65,4° ≈ 180°. Das passt.
8. Typische Fehler
Kosinus statt Sinus bei Gerade und Ebene: Dann kommt 90° − γ heraus.
Stützvektor statt Richtungsvektor eingesetzt.
Betrag vergessen: Ein Winkel über 90° ist kein Schnittwinkel.
Normalenvektor falsch abgelesen: die rechte Seite d mitgenommen oder die 0 einer fehlenden Variablen vergessen.
Bei Ebenen in Parameterform die Richtungsvektoren statt eines Normalenvektors genommen.
Taschenrechner im Bogenmaß: γ ≈ 0,46 statt γ ≈ 26,4°.
Rechnen
2.1Gerade trifft Ebene
a) Berechne den Schnittwinkel der Geraden g: x = 201 + t · 122 mit der Ebene E: x + 4y + 8z = 9.
Hilfe 1
Welcher Vektor beschreibt die Richtung der Geraden, welcher die Stellung der Ebene?
Hilfe 2
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Welchen Winkel bildet er also mit der Geraden, wenn diese um γ gegen die Ebene geneigt ist?
Hilfe 3
Daraus folgt, ob Sinus oder Kosinus in die Formel gehört.
b) Berechne den Schnittwinkel der Geraden h: x = 03−1 + t · 30−4 mit der Ebene F: 2x − 2y + z = 5.
Hilfe 1
Gehe vor wie in a).
Hilfe 2
Achte auf die 0 im Richtungsvektor und auf die Vorzeichen.
Lösung zeigen
a) Gerade in Parameterform, Ebene in Koordinatenform: Richtungsvektor und Normalenvektor ablesen, dann die Winkelformel für Gerade und Ebene.
m = 122, n = 148; m · n = 1 + 8 + 16 = 25; |m| = 3, |n| = 9
sin γ = 2527, also γ ≈ 67,8°
b) Dieselbe Lage wie in a), mit Vorzeichen und einer 0.
m · n = 6 + 0 − 4 = 2; |m| = 5, |n| = 3
sin γ = 215, also γ ≈ 7,7°. Die Gerade verläuft sehr flach zur Ebene.
2.2Zwei Ebenen
a) Berechne den Schnittwinkel der Ebenen E1: 2x + y − 2z = 4 und E2: 4x − 4y + 7z = 9.
Hilfe 1
Welche Vektoren beschreiben die Stellung der beiden Ebenen?
Hilfe 2
Ein Schnittwinkel ist höchstens 90°. Was sorgt in der Formel dafür?
b) Bestimme den Neigungswinkel der Ebene E: 2x − 3y + 6z = 12 gegen die xy-Ebene.
Hilfe 1
Die xy-Ebene ist auch eine Ebene. Welcher Vektor steht auf ihr senkrecht?
Lösung zeigen
a) Zwei Ebenen in Koordinatenform: beide Normalenvektoren ablesen, Winkelformel für zwei Ebenen.
n1 · n2 = 8 − 4 − 14 = −10; |n1| = 3, |n2| = 9
cos γ = |−10|27 = 1027, also γ ≈ 68,3°
b) Neigungswinkel: Winkel zwischen zwei Ebenen, die zweite ist die xy-Ebene; ihr Normalenvektor steht nicht da.
Die xy-Ebene hat den Normalenvektor 001; n · 001 = 6; |n| = 7
cos γ = 67, also γ ≈ 31,0°
2.3Ebene in Parameterform
Gegeben sind die Ebene E: x = 100 + r · 110 + s · 012 und die Gerade g: x = 314 + t · 101. Bestimme den Schnittwinkel von g und E.
Hilfe 1
Für die Winkelformel fehlt dir ein Vektor. Welcher?
Hilfe 2
Er steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren der Ebene. Was gilt dann für die Skalarprodukte?
Hilfe 3
Wähle eine Koordinate dieses Vektors frei.
Lösung zeigen
Ebene in Parameterform: Der Normalenvektor steht nicht da, er wird zuerst bestimmt.
Normalenvektor n = abc: n · 110 = 0 und n · 012 = 0, also a + b = 0 und b + 2c = 0. Mit c = 1: b = −2, a = 2, also n = 2−21.
m · n = 2 + 0 + 1 = 3; |m| = √2, |n| = 3
sin γ = 33√2 = 1√2, also γ = 45°
2.4Ebene durch drei Achsenpunkte
Die Ebene E enthält die Punkte A(4 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und C(0 | 0 | 2). Eine Koordinatengleichung ist E: x + y + 2z = 4.
a) Bestimme den Neigungswinkel α von E gegen die xy-Ebene.
Hilfe 1
Welcher Vektor steht senkrecht auf der xy-Ebene?
b) Bestimme den Winkel β zwischen E und der z-Achse.
Hilfe 1
Die z-Achse ist eine Gerade. Welchen Richtungsvektor hat sie?
c) Begründe, dass sich der Neigungswinkel einer Ebene gegen die xy-Ebene und ihr Winkel mit der z-Achse für jede Ebene zu 90° ergänzen.
Hilfe 1
Vergleiche die Brüche, die du in a) und b) berechnet hast.
Hilfe 2
Was gilt für sin β, wenn sin β = cos α ist?
Lösung zeigen
a) Neigungswinkel: zwei Ebenen, die zweite ist die xy-Ebene.
n = 112, |n| = √6; cos α = 2√6, also α ≈ 35,3°
b) Die z-Achse ist eine Gerade; ihr Richtungsvektor steht nicht da.
Die z-Achse hat den Richtungsvektor 001; sin β = 2√6, also β ≈ 54,7°
c) Eine allgemeine Aussage: Ein einzelnes Zahlenbeispiel reicht nicht.
Mit n = abc steht in beiden Formeln derselbe Bruch |c||n|, einmal als cos α, einmal als sin β. Aus sin β = cos α = sin(90° − α) folgt β = 90° − α.
Anschaulich: Die z-Achse steht senkrecht auf der xy-Ebene. Ist E um α gegen die xy-Ebene geneigt, so ist sie um 90° − α gegen die z-Achse geneigt.
2.5Pyramide
Eine Pyramide hat die quadratische Grundfläche ABCD mit A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 6 | 0), D(0 | 6 | 0) und die Spitze S(3 | 3 | 4).
a) Bestimme den Winkel zwischen der Kante AS und der Grundfläche auf zwei Wegen: im rechtwinkligen Dreieck mit dem Höhenfußpunkt F der Spitze und mit einem Normalenvektor der Grundfläche.
Hilfe 1
Welcher Punkt der Grundfläche liegt genau unter S?
Hilfe 2
Im rechtwinkligen Dreieck: Welche Seite liegt dem Winkel bei A gegenüber, welche ist die Hypotenuse?
Hilfe 3
Für den zweiten Weg: Welcher Vektor steht senkrecht auf der xy-Ebene?
b) Die Seitenfläche ABS liegt in der Ebene E: 4y − 3z = 0. M ist der Mittelpunkt der Kante AB. Zeige, dass die Rechnung mit den Normalenvektoren und die Rechnung im Dreieck M F S denselben Neigungswinkel der Seitenfläche gegen die Grundfläche liefern.
Hilfe 1
Bestimme M und F und die Seitenlängen des Dreiecks M F S.
Hilfe 2
Welche Winkelfunktion verbindet die Seiten des Dreiecks mit dem Winkel bei M?
Hilfe 3
Warum misst gerade der Winkel bei M die Neigung der Fläche?
Lösung zeigen
a) Zwei Wege zum selben Winkel: das Dreieck aus der Körpergeometrie und die neue Formel.
Höhenfußpunkt F(3 | 3 | 0); Höhe |FS| = 4; |AS| = |334| = √34; sin γ = 4√34
Formel: n = 001; AS · n = 4; sin γ = 4√34 · 1 = 4√34
Beide Wege: γ ≈ 43,3°
b) „Zeige“: Beide Rechnungen vollständig hinschreiben und am Ende vergleichen.
Beide liefern cos α = 35, also denselben Winkel α ≈ 53,1°. Der Winkel bei M ist der Neigungswinkel, weil MF und MS beide senkrecht auf der Kante AB stehen.
Ohne Taschenrechner
2.6Ebene mit Parameter
Gegeben sind die Ebenen E1: 2x − y + 2z = 3 und E2: ax + 4y + z = 1 mit einer reellen Zahl a.
a) Bestimme a so, dass E1 und E2 senkrecht aufeinander stehen.
Hilfe 1
Welchen Wert hat cos 90°?
Hilfe 2
Was folgt daraus für die beiden Normalenvektoren?
b) Begründe, dass E1 und E2 für kein a parallel sind.
Hilfe 1
Was gilt für die Normalenvektoren paralleler Ebenen?
Hilfe 2
Welche Koordinaten enthalten kein a?
Lösung zeigen
a) Winkel gegeben, Parameter gesucht: die Bedingung für 90° aufstellen.
b) Eine Unmöglichkeit begründen: die Bedingung aufstellen und einen Widerspruch zeigen.
Parallel hieße: n2 = k · n1. Aus der y-Koordinate folgt 4 = −k, also k = −4. Dann müsste für die z-Koordinate 1 = −4 · 2 = −8 gelten. Widerspruch, also gibt es kein solches a.
2.7Würfel
Die Abbildung zeigt einen Würfel ABCDEFGH mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0) und E(0 | 0 | 4). Die getönte Fläche BCHE liegt in der Ebene K: x + z = 4.
Material
a) Gib den Neigungswinkel von K gegen die Grundfläche ABCD an.
Hilfe 1
Welche Kante haben K und die Grundfläche gemeinsam?
Hilfe 2
Schaue auf die Seitenfläche ABFE: Welche Strecke darin liegt in K?
b) Bestimme den Winkel zwischen K und der Geraden durch A und F.
Hilfe 1
Vergleiche den Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor von K.
c) Bestimme den Winkel zwischen K und der Kante AD und deute das Ergebnis am Würfel.
Hilfe 1
Was bedeutet ein Skalarprodukt 0 zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor?
Hilfe 2
Liegt die Kante in K oder nicht?
Lösung zeigen
a) Ohne Taschenrechner: Der Winkel lässt sich am Würfel ablesen oder mit einem bekannten Kosinuswert bestimmen.
cos γ = |101 · 001|√2 · 1 = 1√2, also γ = 45°.
Ebenso richtig: Die Diagonale BE des Quadrats ABFE liegt in K und steht senkrecht auf der Kante BC; sie halbiert den rechten Winkel bei B.
b) Richtungsvektor und Normalenvektor genau ansehen, bevor man rechnet.
AF = 404 ist ein Vielfaches von n = 101. Die Gerade steht senkrecht auf K; der Winkel beträgt 90°.
c) Ein besonderer Winkel verlangt eine Deutung: parallel oder „liegt in“?
AD = 040; AD · n = 0, also sin γ = 0 und γ = 0°.
A liegt nicht in K, denn 0 + 0 ≠ 4. Die Kante AD verläuft also parallel zu K, wie die gegenüberliegende Kante BC, die in K liegt.
2.8Richtung gesucht
Die Gerade g hat den Richtungsvektor m = 34a mit einer reellen Zahl a.
a) Bestimme alle Werte von a, für die g mit der xy-Ebene einen Winkel von 45° einschließt.
Hilfe 1
Stelle die Winkelformel mit dem Normalenvektor der xy-Ebene auf; a bleibt als Unbekannte stehen.
Hilfe 2
Welchen Wert hat sin 45°? Quadriere dann die Gleichung.
Hilfe 3
Wie viele Zahlen haben denselben Betrag?
b) Begründe, dass g für kein a senkrecht auf der xy-Ebene steht.
Hilfe 1
Wie müsste der Richtungsvektor einer Geraden aussehen, die senkrecht auf der xy-Ebene steht?
Lösung zeigen
a) Winkel gegeben, Vektor gesucht: die Formel rückwärts.
a = 5 oder a = −5. Die Gerade steigt oder fällt dann unter 45° gegen die xy-Ebene.
b) Eine Unmöglichkeit begründen: Was müsste gelten, und warum geht es nicht?
Senkrecht hieße: m ist ein Vielfaches von 001. Das geht nicht, weil die x-Koordinate 3 und die y-Koordinate 4 nie 0 werden. Rechnerisch: sin γ = |a|√(25 + a²) < 1 für jedes a.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, welcher Winkel gesucht ist und mit welchen Vektoren und welcher Formel du ihn bestimmst. Rechne nicht. (1) Ein Wanderstock steckt schräg im ebenen Waldboden. Wie steil steht der Stock? (2) Die beiden Dachflächen eines Satteldachs treffen sich am First. Welchen Winkel schließen sie unter dem First ein? (3) Zwei gerade Stahlträger einer Brücke kreuzen sich in einem Punkt. Unter welchem Winkel kreuzen sie sich?
Hilfe 1
Ist jedes Objekt eine Gerade oder eine Ebene?
Hilfe 2
Eine Gerade bringt einen Richtungsvektor mit, eine Ebene einen Normalenvektor.
Hilfe 3
Bei (2): Stelle dir den Dachboden von innen vor.
b) Ein Baum wächst an einem Hang lotrecht nach oben. Im Modell liegt der Hang in der Ebene H: 2x + y + 6z = 30; die xy-Ebene ist waagerecht, eine Einheit entspricht 1 m. Unter welchem Winkel ragt der Stamm aus dem Hang? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der Winkel zwischen … und … 2. Was nicht dasteht: „lotrecht“ heißt, der Stamm hat den Richtungsvektor … Der Hang hat den Normalenvektor … 3. Rechnen: sin γ = … ⇒ γ ≈ … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Was ist hier die Gerade, was die Ebene?
Hilfe 2
Welche Richtung hat etwas, das genau senkrecht nach oben wächst?
Hilfe 3
Zum Prüfen: Wie stark ist der Hang selbst geneigt?
Lösung zeigen
a) Zuerst entscheiden, welche Objekte beteiligt sind; daran hängen die Vektoren und die Formel.
(1) Winkel zwischen einer Geraden (Stock) und einer Ebene (Boden, meist die xy-Ebene): Sinusformel mit dem Richtungsvektor des Stocks und n = 001.
(2) Winkel zwischen zwei Ebenen: Kosinusformel mit den beiden Normalenvektoren. Unter dem First ist der Winkel meist stumpf; dann ist er 180° − γ.
(3) Winkel zwischen zwei Geraden: Kosinusformel mit den beiden Richtungsvektoren, mit Betrag.
b) Eine Gerade trifft eine Ebene; die Richtung der Geraden steckt im Wort „lotrecht“.
1. Gefragt ist der Winkel zwischen dem Stamm, einer Geraden, und dem Hang, einer Ebene.
2. Der Stamm hat den Richtungsvektor 001. Der Hang hat den Normalenvektor 216 mit dem Betrag √41.
3. sin γ = 6√41 ≈ 0,937 ⇒ γ ≈ 69,6°
4. Der Stamm ragt unter etwa 69,6° aus dem Hang.
5. Der Hang ist um α mit cos α = 6√41 geneigt, also α ≈ 20,4°. Ein lotrechter Stamm bildet mit dem Hang 90° − 20,4° = 69,6°. Das passt.
3.2Bogenschießen
Auf einem Bogenplatz steht eine Zielscheibe nach hinten geneigt. Im Modell liegt der Boden in der xy-Ebene, eine Einheit entspricht 10 cm. Die Scheibe ist das Rechteck mit den Ecken (8 | 0 | 5), (8 | 12 | 5), (4 | 12 | 15) und (4 | 0 | 15); sie liegt in der Ebene Z: 5x + 2z = 50. Ein Pfeil fliegt auf seinem letzten Stück näherungsweise geradlinig auf p: x = 186316 + t · −601−2 und trifft die Scheibe in ihrem Mittelpunkt M(6 | 6 | 10). Die Abbildung zeigt die Scheibe und das letzte Stück der Flugbahn.
Abbildung
a) Berechne den Winkel, unter dem der Pfeil auf die Scheibe trifft.
Hilfe 1
Was ist hier die Gerade, was die Ebene?
Hilfe 2
Welcher Vektor von p gehört in die Formel, welcher nicht?
b) Bestimme, um wie viel Grad die Scheibe gegen den Boden geneigt ist.
Hilfe 1
Welche Ebene ist der Boden, und welcher Vektor steht auf ihr senkrecht?
c) Ein Schütze meint: „Stellt man die Scheibe lotrecht auf, ohne sie zur Seite zu drehen, trifft der Pfeil genau senkrecht.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welchen Normalenvektor hat eine lotrechte Scheibe, die wie bisher zum Schützen zeigt?
Hilfe 2
Wann trifft eine Gerade genau senkrecht auf eine Ebene?
Lösung zeigen
a) „Unter welchem Winkel trifft … auf“: Winkel zwischen Gerade und Ebene.
m = −601−2, n = 502; m · n = −300 − 4 = −304
|m| = √3605 ≈ 60,04; |n| = √29 ≈ 5,39
sin γ = 304√3605 · √29 ≈ 0,940, also γ ≈ 70,1°. Der Pfeil trifft unter etwa 70,1° auf die Scheibe.
b) „geneigt gegen den Boden“: Winkel zwischen zwei Ebenen, eine davon die xy-Ebene.
cos α = |502 · 001|√29 = 2√29, also α ≈ 68,2°.
c) Eine Behauptung prüfen: Rechnung und Grund, nicht nur ein Urteil.
Eine lotrechte Scheibe, die nicht zur Seite gedreht ist, liegt in einer Ebene x = konstant mit n = 100.
sin γ = 60√3605 ≈ 0,9993, also γ ≈ 87,9°. Der Pfeil träfe fast, aber nicht genau senkrecht.
Grund: Der Pfeil fliegt nicht waagerecht. Er sinkt (z-Koordinate −2) und weicht zur Seite ab (y-Koordinate 1). Senkrecht träfe er nur, wenn sein Richtungsvektor ein Vielfaches von n wäre. Die Aussage ist falsch.
3.3Markise
Über einer Terrasse ist eine Markise an der Hauswand befestigt. Im Modell liegt die Hauswand in der yz-Ebene und der Terrassenboden in der xy-Ebene; eine Einheit entspricht 1 m. Das Tuch ist an der Wand entlang der Strecke von (0 | 0 | 3) bis (0 | 4 | 3) befestigt. Die vordere Stange verläuft von (2,5 | 0 | h) bis (2,5 | 4 | h); ihre Höhe h in m lässt sich verstellen. Das Tuch wird als ebenes Rechteck angenommen. Der Hersteller empfiehlt eine Neigung des Tuchs von mindestens 14° gegen die Waagerechte, damit Regen abläuft.
a) Entscheide, ob die Markise bei h = 2,4 die Empfehlung des Herstellers erfüllt.
Hilfe 1
Welche Ebene ist gemeint, und welche zwei Richtungen spannen sie auf?
Hilfe 2
Für den Winkel gegen die Waagerechte brauchst du einen Normalenvektor des Tuchs.
Hilfe 3
Runde erst am Ende und vergleiche dann mit 14°.
b) Bestimme die Höhe h, bei der das Tuch genau um 20° gegen die Waagerechte geneigt ist.
Hilfe 1
Stelle den Normalenvektor des Tuchs wie in a) auf, aber mit h.
Hilfe 2
Setze 20° in die Formel ein und löse nach h auf.
Hilfe 3
Passen alle Lösungen zur Markise?
c) Begründe ohne weitere Rechnung, welchen Winkel das Tuch bei der Höhe aus b) mit der Hauswand einschließt.
Hilfe 1
Welche der Flächen stehen senkrecht aufeinander?
Hilfe 2
Zeichne den Querschnitt in der xz-Ebene.
Lösung zeigen
a) Neigung gegen die Waagerechte: Ebene gegen die xy-Ebene. Das Tuch ist nur durch Punkte gegeben.
Richtungen im Tuch: 040 und 2,50−0,6. Ein Normalenvektor ist 0,602,5, handlicher n = 6025.
cos α = 25√(36 + 625) = 25√661 ≈ 0,972, also α ≈ 13,5°
Ebenso richtig: Im Querschnitt fällt das Tuch auf 2,5 m um 0,6 m, tan α = 0,62,5 = 0,24.
13,5° < 14°: Bei h = 2,4 erfüllt die Markise die Empfehlung nicht.
b) Winkel gegeben, Höhe gesucht: die Formel rückwärts, mit einer Prüfung an der Sache.
Für beliebiges h ist n = 3 − h02,5 ein Normalenvektor des Tuchs.
3 − h ≈ 0,91 oder 3 − h ≈ −0,91, also h ≈ 2,09 oder h ≈ 3,91.
Bei h ≈ 3,91 hinge die Stange höher als die Befestigung, und der Regen liefe zur Hauswand. Gesucht ist h ≈ 2,09 m.
c) „ohne weitere Rechnung“: aus der Lage der Flächen zueinander begründen.
Im Querschnitt bilden die Wand, das Tuch und die Waagerechte durch die Stange ein rechtwinkliges Dreieck, denn die Wand steht senkrecht auf der Waagerechten. Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu 90°: Das Tuch schließt mit der Wand 90° − 20° = 70° ein.
3.4Abflussrinne
In einem gepflasterten Hof leitet eine gerade Rinne Regenwasser ab. Im Modell entspricht eine Einheit 10 cm. Die Oberkanten der Rinne liegen auf den Geraden durch (0 | 0 | 1) und durch (5 | 0 | 1), ihre tiefste Linie auf der Geraden durch (2 | 0 | 0); alle drei verlaufen parallel zur y-Achse. Die beiden Seitenflächen liegen in den Ebenen S1: x + 2z = 2 und S2: x − 3z = 2.
a) Berechne den Schnittwinkel der Ebenen S1 und S2.
Hilfe 1
Welche Vektoren beschreiben die Stellung der beiden Seitenflächen?
b) Ermittle den Öffnungswinkel der Rinne, also den Winkel zwischen den beiden Seitenflächen, in dem das Wasser fließt.
Hilfe 1
Zeichne den Querschnitt der Rinne mit den drei gegebenen Punkten.
Hilfe 2
Ist der Winkel, in dem das Wasser fließt, spitz oder stumpf?
c) Lena rechnet ohne Betrag mit n1 = 102 und n2 = 10−3 und erhält 135°. Sie folgert: „Ohne Betrag erhält man immer gleich den Öffnungswinkel.“ Beurteile diese Folgerung.
Hilfe 1
Ist der Normalenvektor einer Ebene eindeutig?
Hilfe 2
Rechne Lenas Weg mit dem Gegenvektor von n2 nach.
Lösung zeigen
a) Zwei Ebenen in Koordinatenform: Schnittwinkel über die Normalenvektoren.
n1 · n2 = 1 + 0 − 6 = −5; |n1| = √5, |n2| = √10
cos γ = 5√50 = 1√2, also γ = 45°
b) Gefragt ist ein Innenwinkel, nicht der Schnittwinkel.
Im Querschnitt fällt S1 von (0 | 0 | 1) auf (2 | 0 | 0): tan α1 = 12, α1 ≈ 26,6°. S2 steigt von (2 | 0 | 0) auf (5 | 0 | 1): tan α2 = 13, α2 ≈ 18,4°.
Öffnungswinkel: 180° − 26,6° − 18,4° = 135°.
Ebenso richtig: Eine flache Rinne hat einen stumpfen Öffnungswinkel, also 180° − 45° = 135°.
c) Eine allgemeine Behauptung: Ein Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen.
Die Folgerung ist falsch. Mit −103 beschreibt man dieselbe Ebene S2 und erhält ohne Betrag cos γ = 5√50, also 45°.
Ob ohne Betrag der spitze oder der stumpfe Winkel herauskommt, hängt von der zufälligen Wahl der Vorzeichen ab. Welcher Winkel gefragt ist, entscheidet erst der Blick auf den Querschnitt.
Klausuraufgabe
4.1Felssicherung
An einer Bergstraße wird eine Felswand mit Stahlankern gesichert. Im Modell liegt die Straße in der xy-Ebene; eine Einheit entspricht 1 m. Die untere Felsfläche wird als ebenes Viereck mit den Ecken A(7 | 1 | 0), B(7 | 13 | 0), C(4 | 11 | 10) und D(4 | 3 | 10) angenommen. Oberhalb der Kante DC schließt eine flachere Felsfläche an, die in der Ebene F2: 2x + 3z = 38 liegt. Die Abbildung zeigt beide Flächen.
Abbildung
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene F1, in der die untere Felsfläche liegt. [Zur Kontrolle: F1: 10x + 3z = 70]4 BE
Hilfe 1
Zwei Kanten von A aus liefern zwei Richtungen in der Fläche.
Hilfe 2
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf beiden; das gibt zwei Gleichungen.
b) Berechne den Neigungswinkel der unteren Felsfläche gegen die Straße.2 BE
Hilfe 1
Welche Ebene beschreibt die Straße, und welcher Vektor steht auf ihr senkrecht?
c) Im Punkt P(5,5 | 7 | 5) der unteren Felsfläche wird ein Anker in Richtung des Vektors v = −41−1 in den Fels gebohrt. Die Bauvorschrift verlangt, dass ein Anker mit der Felsfläche einen Winkel von mindestens 75° einschließt. Entscheide, ob dieser Anker die Vorschrift erfüllt.3 BE
Hilfe 1
Ist der Anker eine Gerade oder eine Ebene?
Hilfe 2
Runde erst am Ende.
d) Berechne den Schnittwinkel der Ebenen F1 und F2.3 BE
Hilfe 1
Welche Vektoren bestimmen den Winkel zwischen zwei Ebenen?
e) Ein Geologe gibt an, dass die beiden Felsflächen an der Kante DC einen Winkel von etwa 140° einschließen, gemessen im Gestein. Erläutere, wie dieser Messwert mit deinem Ergebnis aus d) zusammenhängt.2 BE
Hilfe 1
Welche Winkel entstehen an einer Kante, an der zwei Flächen zusammenstoßen?
Hilfe 2
Skizziere den Querschnitt durch die Kante, etwa in der Ebene y = 7.
Lösung zeigen
a) Ebene aus Eckpunkten; das Kontrollergebnis erlaubt, auch nach einem Fehler weiterzurechnen.
AB = 0120, AD = −3210
n = abc: 12b = 0 ⇒ b = 0; −3a + 2b + 10c = 0 ⇒ mit a = 10: c = 3, also n = 1003.
Punktprobe mit A: 10 · 7 + 3 · 0 = 70, also F1: 10x + 3z = 70. Probe mit C: 40 + 30 = 70.
b) Neigung gegen die Straße: Winkel zwischen F1 und der xy-Ebene.
cos α = |1003 · 001|√109 · 1 = 3√109 ≈ 0,287, also α ≈ 73,3°.
c) Anker und Fläche: Winkel zwischen Gerade und Ebene, dann mit der Vorschrift vergleichen.
v · n = −40 + 0 − 3 = −43; |v| = √18, |n| = √109
sin γ = 43√18 · √109 ≈ 0,971, also γ ≈ 76,1°
76,1° ≥ 75°: Der Anker erfüllt die Vorschrift, wenn auch knapp.
d) Zwei Ebenen in Koordinatenform: Schnittwinkel über die Normalenvektoren.
e) Messwert und Schnittwinkel passen nicht sofort zusammen: Was misst der Schnittwinkel, was der Geologe?
Der Schnittwinkel liegt immer zwischen 0° und 90°. An der Kante bilden die Flächen außerdem den stumpfen Nebenwinkel 180° − 39,6° = 140,4°.
Die Wand knickt an der Kante nach hinten ab: Die untere Fläche ist um 73,3° geneigt, die obere nur um etwa 33,7°. Die Kante DC springt deshalb wie eine Schulter vor; im Gestein liegt der stumpfe Winkel, und der Messwert passt zu 140,4°. Auf der Luftseite wären es 360° − 140,4° = 219,6°.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Wie Geraden und Ebenen zueinander liegen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.