Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
In diesem Thema kommt kein neues Verfahren dazu. Neu ist, dass dir niemand sagt, welches du brauchst. Eine Geometrie-Aufgabe im Abitur erzählt von einem Körper oder einer Bewegung und stellt fünf bis acht Fragen dazu. Zu jeder Frage suchst du zuerst das passende Verfahren, dann rechnest du.
Körper: Haus, Dach, Pyramide, Hochbeet. Gefragt sind Ebenen, Neigungen, Flächen, Volumen, Schatten und Abstände.
Bewegung: Flugbahn, Tauchbahn, Lichtstrahl. Gefragt sind Treffpunkte, Zeitpunkte, Geschwindigkeiten, Winkel und Abstände zu einer Ebene.
✎ Mini-Aufgabe: Gegeben sind ein Punkt P und eine Ebene E. Welche drei Fragen kannst du mit ein und derselben Lotgeraden beantworten?
Lösung zeigen
Den Lotfußpunkt F (Schnitt der Lotgeraden mit E), den Abstand von P zu E (Länge |PF|) und den Spiegelpunkt P′ (doppelter Parameter).
2. Welche Frage, welches Verfahren
Liegt ein Punkt in einer Ebene oder auf einer Geraden? Punktprobe.
Ebene durch drei Punkte: zwei Richtungsvektoren, Normalenvektor über zwei Skalarprodukte, dann Koordinatenform.
Wo trifft eine Gerade (Strahl, Bahn, Seil) eine Ebene? Geradenpunkt in die Koordinatenform einsetzen, Parameter bestimmen.
Wo kreuzen sich zwei Bahnen? Gleichsetzen mit zwei verschiedenen Parametern, das LGS lösen.
Die Pyramide aus dem Beispiel. Getönt ist die Seitenfläche ABS, die Strecke MF ist das Lot von M auf diese Fläche.
F liegt auf der getönten Dreiecksfläche, nicht nur in ihrer Ebene. Nur deshalb ist 2,4 auch der Abstand zur Seitenfläche selbst.
3. Ketten, die immer wieder vorkommen
Körper: Koordinaten ablesen, Ebene einer Fläche aufstellen, Neigung gegen den Boden, Flächeninhalt oder Volumen, dann Abstand oder Schatten.
Schatten: Lichtgerade durch den Punkt mit der Lichtrichtung, Schnitt mit Boden oder Wand, dann prüfen, ob der Schattenpunkt auf der Fläche liegt.
Bewegung: Bahn aus zwei Ortungen (Stützvektor: Ort zur Zeit 0, Richtungsvektor: Weg pro Zeiteinheit), Geschwindigkeit als Länge des Richtungsvektors, Kreuzungspunkt, Zeitvergleich, Steigwinkel, Abstand zu einer Ebene.
Spiegeln: Lotgerade, Lotfußpunkt, Spiegelpunkt. Ein zurückgeworfener Strahl verläuft so, als käme er vom Spiegelpunkt.
Nutze Ergebnisse früherer Teile weiter, auch die Kontrollergebnisse in eckigen Klammern.
✎ Mini-Aufgabe: Zwei Bahnen kreuzen sich im Punkt T. Objekt 1 ist nach 3 Minuten in T, Objekt 2 nach 5 Minuten. Stoßen sie zusammen? Was müsstest du rechnen, wenn du nur die beiden Bahngleichungen hättest?
Lösung zeigen
Nein, Objekt 2 kommt zwei Minuten später in T an. Mit Bahngleichungen: erst mit zwei verschiedenen Parametern gleichsetzen (Kreuzungspunkt), dann die beiden Parameterwerte als Zeiten vergleichen. Ein Zusammenstoß verlangt denselben Ort zur selben Zeit.
4. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Neigung einer Fläche (Dach, Wand, Hang) gegen den Boden
Winkel zwischen der Ebene und der x-y-Ebene, n mit 001
Kosinus, nicht die Formel für Gerade und Ebene
Steigwinkel einer Bahn, Neigung einer Kante
Winkel zwischen Gerade und x-y-Ebene
Sinus mit 001
Sonnenstrahl, Lichtstrahl, Schatten
Gerade mit der Lichtrichtung als Richtungsvektor, Schnitt mit Boden oder Wand
Der Schattenpunkt muss auf der Fläche liegen.
kürzester Abstand, möglichst kurz, wie nah
Abstand Punkt–Ebene über die Lotgerade
nicht die Entfernung zu irgendeinem Eckpunkt
Spiegelbild, zurückgeworfen
Spiegelpunkt über die Lotgerade
doppelter Parameter, nicht der Lotfußpunkt
senkrecht über, senkrecht darunter, aufrecht stehen
gleiche x- und y-Koordinate, nur z ändert sich
nicht senkrecht zur schrägen Fläche
Kreuzen sich die Bahnen?
gemeinsamer Punkt, zwei verschiedene Parameter
Das ist noch kein Zusammenstoß.
Stoßen sie zusammen? Treffen sie sich?
gleicher Ort zur gleichen Zeit, ein gemeinsamer Zeitparameter
Zeitpunkte vergleichen
Geschwindigkeit
Länge des Richtungsvektors pro Zeiteinheit
LE und Zeiteinheit umrechnen
5. Was nirgends steht
Strecke oder Gerade? Ein Seil, ein Balken, ein Flug von P nach Q ist eine Strecke: nur 0 ≤ r ≤ 1, wenn r = 0 bei P und r = 1 bei Q liegt. Ein Schnittpunkt außerhalb gehört nicht dazu.
Fläche oder Ebene? Dach, Wand und Segel sind begrenzt. Ein Schnittpunkt mit der Ebene zählt erst, wenn er auch auf der Fläche liegt.
Richtung des Lichts: Der Lichtstrahl beginnt am Punkt und läuft in Richtung v, also r ≥ 0.
Waagerecht und senkrecht: Ein Baum, ein Mast, ein hängendes Seil verlaufen senkrecht nach oben, nicht senkrecht zum Hang.
Schnittwinkel liegen zwischen 0° und 90°. Deshalb steht in den Formeln für zwei Geraden, Gerade–Ebene und Ebene–Ebene ein Betrag.
Einheiten: 1 LE kann 1 m, 1 dm oder 100 m sein. Die Antwort steht in der Einheit der Sache.
Dreiecksfläche:12 · Grundseite · Höhe braucht eine Höhe, die senkrecht auf der Grundseite steht. Prüfe das mit dem Skalarprodukt.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Gerade beschreibt einen Lichtstrahl, der bei r = 0 an einer Lampe beginnt. Die Rechnung ergibt den Schnitt mit einer Wand bei r = −2. Was bedeutet das?
Lösung zeigen
Der Schnittpunkt liegt hinter der Lampe, entgegen der Lichtrichtung. Der Lichtstrahl trifft die Wand nicht.
✎ Mini-Aufgabe: Jemand berechnet den Schnittwinkel zweier Ebenen ohne Betrag und erhält 120°. Welcher Schnittwinkel ist gemeint?
Lösung zeigen
60°. Ohne Betrag kann das Skalarprodukt negativ werden; dann erhält man den stumpfen Winkel zwischen den Normalenvektoren. Der Schnittwinkel ist 180° − 120° = 60°.
6. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
In einem Gewächshaus liegt das Pultdach in der Ebene E: x + 3z = 15 (1 LE = 1 m, Boden in der x-y-Ebene). Das Dach reicht von x = 0 bis x = 4,5 und von y = 0 bis y = 6. Eine Lampe hängt im Punkt L(3 | 3 | 2). Wie weit ist sie vom Dach entfernt?
Was ist gefragt? Der kürzeste Abstand der Lampe zur Dachfläche.
Was steht nicht da? Kürzester Abstand heißt senkrecht zum Dach, nicht senkrecht nach oben. Und der Lotfußpunkt muss auf dem Dach liegen, nicht nur in der Ebene.
Rechnen Lotgerade x = 332 + r · 103; 3 + r + 3(2 + 3r) = 15 ⇔ 9 + 10r = 15 ⇔ r = 0,6. Lotfußpunkt F(3,6 | 3 | 3,8); d = 0,6 · √10 ≈ 1,90
Antwortsatz Die Lampe ist etwa 1,90 m vom Dach entfernt.
Prüfen F liegt mit x = 3,6 und y = 3 auf dem Dach. Senkrecht über der Lampe liegt das Dach bei z = 4, also 2 m über ihr. Der kürzeste Abstand muss kleiner sein: 1,90 < 2. Das passt.
7. Kontrollen, die wenig kosten
Normalenvektor mit beiden Richtungsvektoren multiplizieren: zweimal 0?
Alle gegebenen Punkte in die Koordinatenform einsetzen, auch den, den du nicht benutzt hast.
Ein Abstand ist nie größer als die Entfernung zu irgendeinem Punkt der Ebene, etwa senkrecht darüber.
Zahlen in der Sache prüfen: Ein Hubschrauber mit 3000 km/h oder ein Schatten von 2 km Länge verrät einen Rechenfehler.
8. Typische Fehler
Sinus und Kosinus vertauscht: Gerade–Ebene braucht den Sinus, Ebene–Ebene den Kosinus.
Kreuzung mit Zusammenstoß verwechselt, oder mit demselben Parameter gleichgesetzt und daraus „kreuzen sich nicht“ geschlossen.
Den Parameter r für den Abstand gehalten. Der Abstand ist |r| · |n|.
Die Höhe eines Dachdreiecks mit der Höhe des Dachs verwechselt.
Rechnen
2.1Ebene und Ursprung
Die Punkte A(4 | 0 | 0), B(0 | 2 | 0) und C(0 | 0 | 4) legen die Ebene E fest. O ist der Ursprung.
a) Bestimme eine Gleichung von E in Koordinatenform.
Hilfe 1
Ein Normalenvektor steht senkrecht auf zwei Richtungsvektoren der Ebene.
Hilfe 2
Setze beide Skalarprodukte gleich null und wähle eine Koordinate frei.
Hilfe 3
Die rechte Seite der Gleichung liefert ein Punkt der Ebene.
b) Bestimme den Punkt F von E, der dem Ursprung am nächsten liegt, und den Abstand des Ursprungs von E.
Hilfe 1
Der kürzeste Weg von O zu E steht senkrecht auf E.
Hilfe 2
Welche Richtung hat eine Gerade, die senkrecht auf E steht?
Hilfe 3
Schneide diese Gerade mit E.
c) Der Ursprung wird an E gespiegelt. Gib den Bildpunkt O′ an.
Hilfe 1
Wo liegt F im Vergleich zu O und seinem Bildpunkt?
Hilfe 2
Geh von O aus den Weg zu F zweimal.
Lösung zeigen
a) Drei Punkte, gesucht ist die Koordinatenform: zwei Richtungsvektoren, ein Normalenvektor über zwei Skalarprodukte, dann ein Punkt für die rechte Seite.
AB = −420, AC = −404
n = abc mit −4a + 2b = 0 und −4a + 4c = 0; mit a = 1: n = 121
Punktprobe mit A: 1 · 4 + 0 + 0 = 4, also E: x + 2y + z = 4
b) „am nächsten“ heißt: Lotfußpunkt. Der Abstand ist die Länge des Lots.
Lotgerade durch O: x = r · 121
Einsetzen in E: r + 4r + r = 4 ⇔ r = 23, also F(23 | 43 | 23)
d = |OF| = 23 · √6 ≈ 1,63
c) Spiegeln an einer Ebene: dieselbe Lotgerade wie beim Abstand, mit doppeltem Parameter.
F ist die Mitte zwischen O und O′, also r = 2 · 23 = 43 auf der Lotgeraden.
O′(43 | 83 | 43)
2.2Zwei Geraden, eine Ebene
Gegeben sind die Ebene E: 2x + y + 2z = 12 und die Geraden
g: x = 425 + r · 1−2−1 und h: x = 107 + s · 12−2.
a) Zeige, dass g die Ebene E schneidet. Berechne den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel von g und E.
Hilfe 1
Setze die Koordinaten eines allgemeinen Geradenpunkts in die Ebenengleichung ein.
Hilfe 2
Beim Winkel zwischen Gerade und Ebene kommt der Normalenvektor ins Spiel. Welche Winkelfunktion gehört dazu?
b) Untersuche die Lage von h zu E.
Hilfe 1
Was bedeutet es, wenn beim Einsetzen der Parameter wegfällt?
Hilfe 2
Prüfe zusätzlich, ob ein Punkt von h in E liegt.
Lösung zeigen
a) Schnittpunkt: allgemeinen Geradenpunkt einsetzen, r bestimmen. Winkel Gerade–Ebene: Richtungsvektor und Normalenvektor.
Einsetzen: 2(4 + r) + (2 − 2r) + 2(5 − r) = 12 ⇔ 20 − 2r = 12 ⇔ r = 4. Genau eine Lösung: g schneidet E.
S(8 | −6 | 1)
sin α = |1−2−1 · 212|√6 · 3 = 23√6 ≈ 0,272, also α ≈ 15,8°
b) „Lage“ hat drei mögliche Antworten: schneidet, echt parallel, liegt in E.
12−2 · 212 = 2 + 2 − 4 = 0: h ist parallel zu E oder liegt in E.
Punktprobe mit (1 | 0 | 7): 2 + 0 + 14 = 16 ≠ 12. h verläuft echt parallel zu E.
Ebenso richtig: Einsetzen ergibt 16 = 12 für jedes s, also hat h keinen Punkt mit E gemeinsam.
2.3Pyramide auf der Schrägfläche
Die Punkte A(6 | 0 | 0), B(0 | 12 | 0) und C(0 | 0 | 6) liegen in der Ebene E: 2x + y + 2z = 12. Zusammen mit dem Ursprung O bilden sie eine dreiseitige Pyramide.
a) Berechne den Winkel, den E mit der x-y-Ebene einschließt.
Hilfe 1
Der Winkel zwischen zwei Ebenen hängt nur von ihren Normalenvektoren ab.
Hilfe 2
Welchen Normalenvektor hat die x-y-Ebene?
b) Berechne den Abstand des Ursprungs von E.
Hilfe 1
Der kürzeste Weg von O zu E verläuft senkrecht zu E.
Hilfe 2
Stelle die Lotgerade auf und schneide sie mit E.
c) Berechne das Volumen der Pyramide OABC und den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Hilfe 1
Für das Volumen eignet sich das Dreieck OAB als Grundfläche, denn es liegt in der x-y-Ebene.
Hilfe 2
Dieselbe Pyramide kann auch auf dem Dreieck ABC stehen. Welche Höhe hat sie dann?
Lösung zeigen
a) Winkel zwischen zwei Ebenen: die beiden Normalenvektoren.
Die x-y-Ebene hat den Normalenvektor 001.
cos α = |212 · 001|3 · 1 = 23, also α ≈ 48,2°
b) Abstand Punkt–Ebene: Lotgerade, Lotfußpunkt, Länge.
Lotgerade x = r · 212; Einsetzen: 4r + r + 4r = 12 ⇔ r = 43
Lotfußpunkt F(83 | 43 | 83); |OF| = 43 · 3 = 4
Der Abstand von O zu E beträgt d = 4.
c) Das Volumen geht leicht über eine Grundfläche in der x-y-Ebene. Für die schräge Fläche ABC hilft dasselbe Volumen mit einer anderen Grundfläche.
Grundfläche OAB in der x-y-Ebene: 12 · 6 · 12 = 36, Höhe |OC| = 6: V = 13 · 36 · 6 = 72
Dieselbe Pyramide mit Grundfläche ABC hat die Höhe d = 4 aus b): 72 = 13 · AABC · 4 ⇔ AABC = 54
Das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 54 Flächeneinheiten. Jeder andere richtige Weg zählt ebenso.
2.4Spiegelpunkt nachweisen
Zeige, dass Q(−3 | −2 | −1) der Spiegelpunkt von P(1 | 2 | 3) an der Ebene E: x + y + z = 0 ist, und gib den Abstand von P zu E an.
Hilfe 1
Was muss für die Strecke zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt gelten?
Hilfe 2
Zwei Dinge prüfen: die Richtung von PQ und die Lage der Mitte.
Lösung zeigen
Zeigen: Die Verbindung PQ steht senkrecht auf E, und ihre Mitte liegt in E. P selbst zu spiegeln geht auch.
PQ = −4−4−4 = −4 · 111: Die Strecke PQ steht senkrecht auf E.
Mittelpunkt M(−1 | 0 | 1): −1 + 0 + 1 = 0, also liegt M in E. Damit ist Q der Spiegelpunkt von P an E.
Abstand: |PM| = |−2−2−2| = 2√3 ≈ 3,46
Ebenso richtig: P spiegeln (Lotgerade, r = −2, Lotfußpunkt M, Bildpunkt Q) und mit Q vergleichen.
Ohne Taschenrechner
2.5Parallel mit Parameter
Gegeben sind die Ebene E: 2x − y + 4z = 3 und für jede reelle Zahl a die Gerade g mit x = 110 + r · a21.
a) Bestimme a so, dass g parallel zu E verläuft, und prüfe, ob g dann in E liegt.
Hilfe 1
Wenn g parallel zu E ist, steht der Richtungsvektor von g senkrecht auf einem bestimmten Vektor der Ebene. Auf welchem?
Hilfe 2
Was musst du zusätzlich prüfen, um „liegt in E“ auszuschließen?
b) Begründe, dass es kein a gibt, für das g senkrecht auf E steht.
Hilfe 1
Wenn g senkrecht auf E steht, zeigt ihr Richtungsvektor in dieselbe Richtung wie welcher Vektor?
Hilfe 2
Vergleiche Koordinate für Koordinate. Welche Koordinaten hängen nicht von a ab?
Lösung zeigen
a) „parallel“: Richtungsvektor senkrecht zum Normalenvektor, also Skalarprodukt null. Parallel schließt „liegt in E“ nicht aus.
a21 · 2−14 = 2a − 2 + 4 = 0 ⇔ a = −1
Punktprobe mit (1 | 1 | 0): 2 − 1 + 0 = 1 ≠ 3. Für a = −1 verläuft g echt parallel zu E und liegt nicht in E.
b) „senkrecht auf E“: Der Richtungsvektor ist ein Vielfaches des Normalenvektors. Der Parameter a steht nur in der ersten Koordinate.
Senkrecht hieße: a21 = k · 2−14 für eine Zahl k.
Aus der zweiten Koordinate folgt k = −2, aus der dritten k = 14. Das widerspricht sich, unabhängig von a.
2.6Punkte mit Abstand 6
Gegeben sind die Ebene E: 2x + y + 2z = 6 und der Punkt A(1 | 2 | 1) in E.
a) Bestimme alle Punkte, die auf der Senkrechten zu E durch A liegen und von E den Abstand 6 haben.
Hilfe 1
Welche Richtung hat die Senkrechte zu E?
Hilfe 2
Wie lang ist der Normalenvektor? Wie oft passt er in die Strecke 6?
Hilfe 3
In welche Richtungen kann man von A aus senkrecht zu E gehen?
b) Entscheide, welcher dieser Punkte auf derselben Seite von E liegt wie der Ursprung.
Hilfe 1
Setze die Punkte in die linke Seite der Ebenengleichung ein.
Hilfe 2
Was bedeutet ein Wert größer oder kleiner als 6?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Der Abstand ist gegeben, gesucht sind Punkte auf einer Lotgeraden.
Senkrechte durch A: x = 121 + r · 212, und |212| = 3.
Abstand 6 bedeutet |r| · 3 = 6, also r = 2 oder r = −2.
P(5 | 4 | 5) und Q(−3 | 0 | −3)
b) Seite einer Ebene: Werte der linken Seite der Gleichung mit der rechten Seite vergleichen.
Einsetzen in 2x + y + 2z: O ergibt 0, P ergibt 24, Q ergibt −12.
0 und −12 sind kleiner als 6, 24 ist größer. Q liegt auf derselben Seite von E wie der Ursprung.
2.7Würfel mit Schnittebene
Die Abbildung zeigt einen Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 4; die Ecke D liegt im Ursprung. Die Punkte A, C und H legen die Ebene E fest (getönt).
Abbildung
a) Gib die Koordinaten von A, C, H und F an und zeige, dass E die Gleichung x + y + z = 4 hat.
Hilfe 1
Jede Koordinate einer Ecke ist 0 oder 4. Die x-Achse zeigt im Bild schräg nach vorn.
Hilfe 2
Eine gegebene Ebenengleichung prüft man mit Punkten.
b) Zeige, dass die Raumdiagonale DF senkrecht auf E steht, und bestimme den Punkt, in dem sie E durchstößt.
Hilfe 1
Senkrecht auf E heißt: parallel zu welchem Vektor?
Hilfe 2
Stelle die Gerade durch D und F auf und setze sie in E ein.
c) Die Ebene E schneidet vom Würfel die Pyramide ACDH ab. Gib an, welchen Anteil am Würfelvolumen diese Pyramide hat.
Hilfe 1
Welche Fläche der Pyramide liegt in der x-y-Ebene, und wie hoch ist die Pyramide über ihr?
Lösung zeigen
a) Am Bild ablesen, dann die gegebene Gleichung mit drei Punkten bestätigen.
Anteil: (323) : 64 = 16. Die Pyramide ist ein Sechstel des Würfels.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Ball fliegt geradlinig von P nach Q und trifft auf einen ebenen Hang H. Unter welchem Winkel trifft er auf? (2) Wie weit ist eine Lampe L von der schrägen Glasfläche eines Wintergartens entfernt? (3) An welcher Stelle scheint das Spiegelbild einer Kerze K zu stehen, die vor einer ebenen Glasscheibe brennt?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Welche zwei Objekte treffen sich, Punkt, Gerade oder Ebene?
Hilfe 2
Winkel, Abstand oder Bildpunkt: Jede Größe hat ihr eigenes Verfahren.
Hilfe 3
Bei (1): Welcher Vektor beschreibt die Flugrichtung, welcher die Stellung des Hangs?
b) In einem Dachzimmer liegt der Boden in der x-y-Ebene, die Dachschräge in der Ebene E: 3x + 4z = 24 (1 LE = 1 m). In der Schräge sitzt ein Fenster, eine seiner Ecken ist W(4 | 3 | 3). Sonnenlicht fällt in Richtung v = 21−2 ins Zimmer. Der Lichtstrahl durch W trifft den Boden im Punkt B. Kann sich eine 1,80 m große Person in B aufrecht hinstellen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist zuerst …, dann … 2. Was nicht dasteht: Der Boden ist die Ebene … . „Aufrecht stehen in B“ heißt: … 3. Rechnen: Lichtstrahl x = … ; z = 0 ⇔ r = … ; B(…) ; Schräge senkrecht über B: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Der Lichtstrahl ist eine Gerade: Stützpunkt W, Richtung v.
Hilfe 2
Wo trifft eine Gerade den Boden? Welche Koordinate ist dort null?
Hilfe 3
Für die Höhe über B bleiben x und y gleich, nur z ist gesucht.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Verfahren. Zuerst klären: Welche Objekte treffen sich, und ist ein Winkel, ein Abstand oder ein Punkt gesucht?
(1) Gesucht ist der Winkel zwischen der Geraden PQ und der Ebene H. Ansatz: sin α = |PQ · n||PQ| · |n| mit dem Normalenvektor von H; vorher prüfen, ob der Ball H zwischen P und Q überhaupt trifft.
(2) Gesucht ist der Abstand Punkt–Ebene. Ansatz: Lotgerade durch L mit dem Normalenvektor der Glasfläche, Lotfußpunkt F, Abstand |LF|; prüfen, ob F auf der Glasfläche liegt.
(3) Gesucht ist der Spiegelpunkt K′ von K an der Ebene der Scheibe. Ansatz: Lotgerade durch K, Parameter des Lotfußpunkts bestimmen, mit dem doppelten Parameter K′ berechnen.
b) Eine Kette aus zwei Schnitten: Lichtgerade mit dem Boden, dann die Senkrechte über B mit der Dachschräge. „aufrecht stehen“ wird zu einer Höhe senkrecht über dem Punkt.
1. Gefragt ist zuerst der Punkt B, in dem der Lichtstrahl den Boden trifft, dann die Höhe der Dachschräge senkrecht über B.
2. Der Boden ist die Ebene z = 0. „Aufrecht stehen in B“ heißt: Die Schräge muss senkrecht über B mindestens 1,80 m hoch sein.
3. Lichtstrahl x = 433 + r · 21−2; z = 0 ⇔ 3 − 2r = 0 ⇔ r = 1,5; B(7 | 4,5 | 0). Senkrecht über B: x = 7 in E einsetzen, 21 + 4z = 24 ⇔ z = 0,75.
4. Über B ist die Dachschräge nur 0,75 m hoch. Eine 1,80 m große Person kann dort nicht aufrecht stehen.
5. Die Schräge trifft den Boden bei x = 8. B liegt mit x = 7 knapp davor, also im Zimmer und nahe der niedrigsten Stelle. Eine kleine Höhe passt dazu.
3.2Spielturm
Ein Spielturm besteht aus einem Holzkasten mit quadratischer Grundfläche und einem Pyramidendach. Im Modell (1 LE = 1 m, Boden in der x-y-Ebene) hat der Kasten die Ecken A(2 | 0 | 0), B(2 | 2 | 0), C(0 | 2 | 0), D(0 | 0 | 0) und E(2 | 0 | 3), F(2 | 2 | 3), G(0 | 2 | 3), H(0 | 0 | 3); die Dachspitze ist S(1 | 1 | 4,5).
An der Seite ABFE ist eine Rutsche angebaut. Ihre ebene, rechteckige Rutschfläche hat die Ecken K(2 | 0,5 | 1,5), L(2 | 1,5 | 1,5), M(4,5 | 1,5 | 0) und N(4,5 | 0,5 | 0). Das Material zeigt den Spielturm.
Material
a) Im Prospekt steht: „Die Dachflächen sind um mehr als 55° gegen die Waagerechte geneigt, die Grate, also die Dachkanten zur Spitze, um weniger als 50°.“ Prüfe beide Angaben.
Hilfe 1
Für die Dachfläche brauchst du einen Normalenvektor, für den Grat einen Richtungsvektor.
Hilfe 2
Neigung gegen die Waagerechte heißt Vergleich mit der x-y-Ebene. Welche Formel gehört zu zwei Ebenen, welche zu Gerade und Ebene?
b) Die vier Dachflächen werden mit Dachpappe belegt. Berechne, wie viel Quadratmeter Dachpappe ohne Verschnitt nötig sind.
Hilfe 1
Die Höhe einer Dachfläche ist nicht die Höhe des Dachs.
Hilfe 2
Wo trifft die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks auf die Grundseite?
c) Von der Spitze S wird ein Seil straff zu einem Pflock im Punkt P(6 | 1 | 0) am Boden gespannt. Untersuche, ob das Seil die Rutschfläche berührt.
Hilfe 1
Welche Parameterwerte gehören zu Punkten des Seils?
Hilfe 2
Stelle eine Gleichung der Ebene auf, in der die Rutschfläche liegt.
Hilfe 3
Ein Schnittpunkt mit der Ebene allein reicht nicht für eine Berührung.
Lösung zeigen
a) Zwei Neigungen, zwei verschiedene Objekte: eine Fläche gegen den Boden und eine Kante gegen den Boden.
Dachfläche EFS: EF = 020, ES = −111,5; n = 302 steht auf beiden senkrecht. Ebene: 3x + 2z = 12
Neigung der Dachfläche: cos α = |302 · 001|√13 = 2√13, also α ≈ 56,3° > 55°
Grat FS: FS = −1−11,5; sin β = 1,5√4,25 ≈ 0,728, also β ≈ 46,7° < 50°
Beide Angaben stimmen; wegen der Symmetrie gilt das für alle vier Flächen und Grate. Ebenso richtig über Steigungsdreiecke: tan α = 1,51 und tan β = 1,5√2.
b) Flächeninhalt eines Dreiecks im Raum: Die Höhe des Dreiecks ist eine eigene Strecke im Raum.
Jede Dachfläche ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Grundseite 2 m. Ihre Höhe reicht von der Kantenmitte (2 | 1 | 3) bis S: |−101,5| = √3,25 ≈ 1,80 m
Eine Dachfläche: 12 · 2 · √3,25 ≈ 1,80 m²; vier Flächen: 4 · √3,25 = 2√13 ≈ 7,21 m²
Es sind etwa 7,21 m² Dachpappe nötig.
c) „berührt“ heißt: Seil und Rutschfläche haben einen gemeinsamen Punkt. Das Seil ist eine Strecke, die Rutschfläche ein Rechteck.
Rutschfläche: KL = 010, KM = 2,51−1,5; n = 305. Ebene: 3x + 5z = 13,5
Seil: x = 114,5 + r · 50−4,5 mit 0 ≤ r ≤ 1 (r = 0 bei S, r = 1 bei P)
r = 1,6 liegt nicht im Bereich 0 ≤ r ≤ 1: Erst die Verlängerung hinter dem Pflock träfe die Ebene, im Punkt (9 | 1 | −2,7) unter dem Boden. Das Seil berührt die Rutschfläche nicht, es verläuft über ihr.
Ebenso richtig: S und P in 3x + 5z einsetzen; 25,5 und 18 sind beide größer als 13,5, also liegt das ganze Seil auf derselben Seite der Ebene.
3.3Brieftauben
Zwei Brieftauben werden über einem Feld beobachtet. Im Modell (1 LE = 1 m, Boden in der x-y-Ebene, t in Sekunden ab Beobachtungsbeginn) fliegen beide geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit; die Tauben werden als Punkte betrachtet. Ihre Positionen zur Zeit t sind
Taube A: x = −401020 + t · 1052 Taube B: x = 36−836 + t · −412−1
a) Zeige, dass sich die Flugbahnen kreuzen, und bestimme den Kreuzungspunkt T.
Hilfe 1
Eine Kreuzung braucht nur einen gemeinsamen Ort.
Hilfe 2
Nimm für die zweite Bahn einen anderen Parameter als für die erste.
Hilfe 3
Löse mit zwei Gleichungen und prüfe mit der dritten.
b) Entscheide, ob die Tauben zusammenstoßen.
Hilfe 1
Wann ist jede der beiden Tauben in T?
c) Jonas hat so gerechnet: „Ich setze beide Gleichungen mit demselben t gleich. Aus der x-Koordinate folgt t = 387, aus der y-Koordinate t = 187. Das ist ein Widerspruch, also kreuzen sich die Flugbahnen nicht.“ Beurteile seine Rechnung und seine Folgerung.
Hilfe 1
Was bedeutet es, wenn in beiden Gleichungen derselbe Parameter t steht?
Hilfe 2
Welche Frage beantwortet Jonas' Rechnung, und welche wollte er beantworten?
d) Berechne, wie weit Taube A von T entfernt ist, wenn Taube B den Punkt T erreicht.
Hilfe 1
Wo ist Taube A zu dem Zeitpunkt, an dem B in T ankommt?
Hilfe 2
Entfernung zweier Punkte: Länge des Verbindungsvektors.
Lösung zeigen
a) „Die Bahnen kreuzen sich“ fragt nach einem gemeinsamen Ort, nicht nach derselben Zeit.
Gleichsetzen mit verschiedenen Parametern: −401020 + r · 1052 = 36−836 + s · −412−1
Aus III: s = 16 − 2r; in I: 10r + 64 − 8r = 76 ⇔ r = 6, s = 4. Probe in II: 30 − 48 = −18, stimmt.
Die Bahnen kreuzen sich in T(20 | 40 | 32).
b) „zusammenstoßen“: gleicher Ort zur gleichen Zeit.
Taube A ist nach r = 6 Sekunden in T, Taube B nach s = 4 Sekunden.
Taube B passiert T zwei Sekunden vor Taube A. Die Tauben stoßen nicht zusammen.
c) Eine fertige Rechnung beurteilen: Welche Frage beantwortet sie wirklich?
Die Rechnung stimmt: Mit demselben t hat das Gleichungssystem keine Lösung.
Die Folgerung ist falsch. Derselbe Parameter fragt, ob beide Tauben zur selben Zeit am selben Ort sind. Der Widerspruch zeigt nur, dass sie nicht zusammenstoßen.
Ob sich die Bahnen kreuzen, prüft man mit zwei verschiedenen Parametern; so ergibt sich T aus a).
d) Den Zeitpunkt der einen Taube in die Bahn der anderen einsetzen, dann die Entfernung zweier Punkte.
Taube B ist bei t = 4 in T. Taube A ist dann in −401020 + 4 · 1052 = 03028.
Entfernung: |20104| = √516 ≈ 22,7
Taube A ist dann noch etwa 22,7 m von T entfernt.
3.4Schallsegel
In einem Konzertsaal hängt ein ebenes, rechteckiges Schallsegel, das den Schall der Bühne in den Saal lenkt. Im Modell (1 LE = 1 m, Saalboden in der x-y-Ebene) liegt das Segel in der Ebene E: x + 3z = 30; seine Ecken sind (15 | 2 | 5), (15 | 8 | 5), (21 | 8 | 3) und (21 | 2 | 3).
Eine Sängerin singt im Punkt Q(2 | 4 | 1,5), ein Zuhörer hat seine Ohren im Punkt Z(20 | 6 | 1,2). Der Schall wird am Segel wie Licht an einem Spiegel zurückgeworfen: Der zurückgeworfene Schall verläuft so, als käme er vom Spiegelpunkt Q′ von Q an E. Schall legt 343 m pro Sekunde zurück.
a) Bestimme die Koordinaten von Q′.
Hilfe 1
Spiegeln an einer Ebene geht über die Lotgerade.
Hilfe 2
Der Lotfußpunkt ist die Mitte zwischen Q und Q′.
b) Ermittle den Punkt R, in dem der Schall auf dem Weg zum Zuhörer am Segel zurückgeworfen wird, und prüfe, ob der Zuhörer diesen Schall tatsächlich erhält.
Hilfe 1
Der zurückgeworfene Schall kommt scheinbar aus Q′ und läuft geradlinig zu Z.
Hilfe 2
Wo schneidet diese Gerade die Ebene des Segels?
Hilfe 3
Das Segel ist ein Rechteck, nicht die ganze Ebene.
c) Ein Echo hört man erst, wenn der zurückgeworfene Schall mindestens 50 Millisekunden nach dem direkten Schall ankommt. Untersuche, ob der Zuhörer ein Echo hört.
Hilfe 1
Warum ist der Weg von Q über R nach Z genauso lang wie der Weg von Q′ nach Z?
Hilfe 2
Zeit = Weg : Geschwindigkeit. Achte auf Sekunden und Millisekunden.
Lösung zeigen
a) Spiegelpunkt an einer Ebene: Lotgerade, Parameter des Lotfußpunkts verdoppeln.
Lotgerade durch Q: x = 241,5 + r · 103
Einsetzen: 2 + r + 3(1,5 + 3r) = 30 ⇔ 6,5 + 10r = 30 ⇔ r = 2,35
Q′ = Q + 4,7 · 103, also Q′(6,7 | 4 | 15,6)
b) Zurückwerfen über den Spiegelpunkt: Die Gerade von Q′ nach Z schneidet E. Dann prüfen, ob der Schnittpunkt auf dem Segel liegt.
Gerade von Q′ nach Z: x = 6,7415,6 + s · 13,32−14,4
Das Segel reicht von x = 15 bis x = 21 und von y = 2 bis y = 8. R liegt mit x ≈ 17,15 und y ≈ 5,57 auf dem Segel. Der Zuhörer erhält den zurückgeworfenen Schall.
c) Zwei Wege vergleichen und den Unterschied in eine Zeit umrechnen.
Weg über das Segel: |QR| + |RZ| = |Q′Z| = |13,32−14,4| = √388,25 ≈ 19,70 m
Direkter Weg: |QZ| = |182−0,3| ≈ 18,11 m; Umweg ≈ 1,59 m
Zeitunterschied: 1,59 m : 343 m/s ≈ 0,0046 s = 4,6 ms < 50 ms. Der Zuhörer hört kein Echo; der zurückgeworfene Schall verstärkt den direkten.
3.5Baumhaus am Hang
An einem ebenen Hang steht ein Baum mit geradem Stamm, der senkrecht nach oben gewachsen ist. Im Modell (1 LE = 1 m, die x-y-Ebene ist waagerecht) liegt der Hang in der Ebene H: x + 4y + 8z = 40. Der Stamm steht im Punkt P(4 | 5 | 2) auf dem Hang. 6 m senkrecht über P liegt die Mitte L des Bodens eines Baumhauses.
a) Berechne den Winkel zwischen dem Stamm und dem Hang.
Hilfe 1
In welche Richtung wächst ein Baum?
Hilfe 2
Winkel zwischen Gerade und Ebene: Welche Winkelfunktion, welche Vektoren?
b) Vom Baumhaus soll ein möglichst kurzes Seil von L straff zum Hang führen. Bestimme den Befestigungspunkt am Hang und die Länge des Seils.
Hilfe 1
Welche Verbindung von einem Punkt zu einer Ebene ist die kürzeste?
Hilfe 2
Stelle die Lotgerade durch L auf und schneide sie mit H.
c) Begründe ohne Rechnung, dass das Seil aus b) kürzer als 6 m ist.
Hilfe 1
Welche andere Verbindung von L zum Hang kennst du schon, und wie lang ist sie?
Hilfe 2
Wann wäre diese Verbindung selbst die kürzeste?
Lösung zeigen
a) Der Stamm wächst senkrecht nach oben, nicht senkrecht zum Hang. Dann: Winkel zwischen Gerade und Ebene.
Der Stamm hat die Richtung 001; der Hang hat n = 148 mit |n| = 9.
sin α = |001 · 148|1 · 9 = 89, also α ≈ 62,7°
b) „möglichst kurz“ zu einer Ebene: Lotfußpunkt und Abstand.
L(4 | 5 | 8). Das kürzeste Seil verläuft senkrecht zum Hang: x = 458 + r · 148
c) Zwei Verbindungen von L zum Hang vergleichen, ohne Zahlen.
Die Strecke von L senkrecht nach unten bis P ist 6 m lang und endet auch auf dem Hang.
Die kürzeste Verbindung zum Hang ist das Lot. Weil der Stamm nicht senkrecht auf dem Hang steht (α ≠ 90°), ist LP nicht das Lot, und das Lot ist echt kürzer als 6 m.
Klausuraufgabe
4.1Hochbeet
In einem Garten steht ein Hochbeet aus Holz. Es hat die Form eines Pyramidenstumpfs, der nach oben breiter wird. Im Modell (1 LE = 1 dm, Gartenboden in der x-y-Ebene) sind A(8 | 0 | 0), B(8 | 6 | 0), C(0 | 6 | 0) und D(0 | 0 | 0) die Ecken der rechteckigen Bodenfläche und E(10 | 0 | 8), F(10 | 7,5 | 8), G(0 | 7,5 | 8) und H(0 | 0 | 8) die Ecken der oberen Öffnung. Die Abbildung zeigt das Hochbeet.
Abbildung
a) Die Seitenwand ABFE liegt in der Ebene W. Bestimme eine Gleichung von W in Parameterform und eine in Koordinatenform. [zur Kontrolle: W: 4x − z = 32]3 BE
Hilfe 1
Nimm A als Stützpunkt und zwei Kanten der Wand als Richtungen.
Hilfe 2
Der Normalenvektor steht auf beiden Richtungsvektoren senkrecht.
b) Berechne den Winkel, unter dem die Wand ABFE gegen den Gartenboden geneigt ist.2 BE
Hilfe 1
Welche zwei Normalenvektoren brauchst du?
Hilfe 2
Welche Formel gehört zu zwei Ebenen?
c) Zeige, dass die Wand ABFE ein Trapez mit einem rechten Winkel bei A ist, und berechne ihren Flächeninhalt in m².3 BE
Hilfe 1
Welche Seiten des Vierecks könnten parallel sein?
Hilfe 2
Wenn bei A ein rechter Winkel ist: Welche Strecke ist dann die Höhe des Trapezes?
d) Sonnenlicht fällt in Richtung v = 21−4 auf das Hochbeet. Bestimme die Schattenpunkte E′ und F′ von E und F auf dem Gartenboden und gib an, wie weit der Schatten der Kante EF von der Kante AB entfernt ist.3 BE
Hilfe 1
Der Lichtstrahl ist eine Gerade durch E mit der Richtung v.
Hilfe 2
Welche Gleichung hat der Gartenboden?
e) Die verlängerten Seitenkanten AE, BF, CG und DH schneiden sich im Punkt S(0 | 0 | −32). Das Volumen des Hochbeets lässt sich so berechnen: V = 13 · 10 · 7,5 · 40 − 13 · 8 · 6 · 32 Erläutere diesen Ansatz und gib an, wie viel Liter Erde das bis zum Rand gefüllte Hochbeet fasst.3 BE
Hilfe 1
Welche zwei Körper haben die Spitze S?
Hilfe 2
Woher kommen die Zahlen 40 und 32? Miss von S aus.
Hilfe 3
1 dm³ = 1 Liter.
Lösung zeigen
a) Ebene aus Punkten in beiden Formen; das Kontrollergebnis zeigt, ob der Normalenvektor stimmt.
W: x = 800 + r · 060 + s · 208
n = abc mit 6b = 0 und 2a + 8c = 0; mit c = −1: n = 40−1
Punktprobe mit A: 4 · 8 − 0 = 32, also W: 4x − z = 32
b) Neigung einer Fläche gegen den Boden: Winkel zwischen W und der x-y-Ebene.
cos α = |40−1 · 001|√17 · 1 = 1√17, also α ≈ 76,0°
Die Wand ist um etwa 76° gegen den Boden geneigt. Ebenso richtig: tan α = 82 = 4 aus dem Steigungsdreieck der Kante AE.
c) Trapez: ein Paar paralleler Seiten. Rechter Winkel: Skalarprodukt null. Die Höhe des Trapezes ist dann eine Kante.
AB = 060 und EF = 07,50 sind parallel, AE und BF nicht: ABFE ist ein Trapez.
AB · AE = 060 · 208 = 0: rechter Winkel bei A. Damit ist |AE| = √68 ≈ 8,25 dm die Höhe des Trapezes.
Flächeninhalt: 6 + 7,52 · √68 ≈ 55,66 dm², also rund 0,56 m².
d) Schatten: Lichtgerade durch den Punkt, Schnitt mit dem Boden z = 0.
Lichtstrahl durch E: x = 1008 + r · 21−4; Boden: 8 − 4r = 0 ⇔ r = 2, also E′(14 | 2 | 0)
Ebenso mit F: r = 2, F′(14 | 9,5 | 0)
Der Schatten E′F′ liegt am Boden auf der Linie x = 14, die Kante AB auf x = 8; beide verlaufen in y-Richtung. Der Schatten der Kante EF liegt 6 dm, also 60 cm, vor der Kante AB.
e) Einen gegebenen Term erläutern: Woher kommt jede Zahl? Dann ausrechnen und in Liter deuten.
Das Hochbeet ist der Rest einer großen Pyramide mit Spitze S, von der eine kleine Pyramide mit derselben Spitze abgeschnitten ist.
Große Pyramide: Grundfläche EFGH mit 10 · 7,5 dm², Höhe von S bis z = 8, also 40 dm. Kleine Pyramide: Grundfläche ABCD mit 8 · 6 dm², Höhe von S bis z = 0, also 32 dm.
V = 1000 − 512 = 488 dm³. Das Hochbeet fasst 488 Liter Erde.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Wie Geraden und Ebenen zueinander liegen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.