Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene E ist die Länge der kürzesten Verbindung von P zu einem Punkt der Ebene. Diese kürzeste Verbindung steht senkrecht auf E. Die Gerade durch P, die senkrecht auf E steht, heißt Lotgerade. Ihr Schnittpunkt F mit E heißt Lotfußpunkt. Der Abstand ist die Länge der Strecke PF, kurz d(P, E) = |PF|.
✎ Mini-Aufgabe: Nimm irgendeinen anderen Punkt Q der Ebene. Warum ist die Strecke PQ länger als PF? Denk an das Dreieck PFQ.
Lösung zeigen
Das Dreieck PFQ hat bei F einen rechten Winkel, weil PF senkrecht auf der Ebene steht und FQ in der Ebene liegt. PQ ist die Hypotenuse, PF eine Kathete. Nach dem Satz des Pythagoras ist PQ² = PF² + FQ², also PQ > PF.
2. Das Lotfußpunktverfahren
Senkrecht auf E steht der Normalenvektor n der Koordinatenform. Er ist deshalb der Richtungsvektor der Lotgeraden. Das Verfahren hat drei Schritte:
Lotgerade aufstellen: l: x = OP + s · n.
Lotfußpunkt: l in die Koordinatenform von E einsetzen, s ausrechnen, s in l einsetzen.
Der letzte Schritt geht auch kürzer: PF = s · n, also d = |s| · |n| = 1 · 3 = 3. Das hilft vor allem, wenn eine unbekannte Zahl im Punkt steht. Ist E in Parameterform gegeben, stellst du zuerst die Koordinatenform auf.
Getönt ist das Stück der Ebene E: 2x + 2y + z = 8 zwischen ihren Schnittpunkten mit den drei Achsen. Die Lotstrecke führt von P(3 | 3 | 5) senkrecht auf E zum Lotfußpunkt F(1 | 1 | 4).
3. Parallele Gerade, parallele Ebene
Ist eine Gerade g parallel zu E, haben alle ihre Punkte denselben Abstand von E. Der Abstand von g zu E ist dann der Abstand irgendeines Punktes von g, am einfachsten des Stützpunkts. Für zwei parallele Ebenen gilt dasselbe. Parallel heißt: Der Richtungsvektor von g steht senkrecht auf n (Skalarprodukt 0); bei zwei Ebenen sind die Normalenvektoren Vielfache voneinander. Liegt der Stützpunkt in E, ist der Abstand 0.
Beispiel: g: x = 548 + r · 1−10 und E: 2x + 2y + z = 8
221 · 1−10 = 2 − 2 + 0 = 0: g ist parallel zu E oder liegt in E.
Stützpunkt A(5 | 4 | 8): 2 · 5 + 2 · 4 + 8 = 26 ≠ 8, also liegt g nicht in E.
Lot durch A: 2 · (5 + 2s) + 2 · (4 + 2s) + (8 + s) = 8 ⇔ 26 + 9s = 8 ⇔ s = −2
F(1 | 0 | 6); d(g, E) = |s| · |n| = 2 · 3 = 6
✎ Mini-Aufgabe: Die Ebene E2: 4x + 4y + 2z = 34 ist parallel zu E: 2x + 2y + z = 8. Wie groß ist ihr Abstand von E? Schau dir dazu den Punkt P aus dem ersten Beispiel an.
Lösung zeigen
442 = 2 · 221: Die Ebenen sind parallel. Gleich sind sie nicht, denn E2 lässt sich als 2x + 2y + z = 17 schreiben.
P(3 | 3 | 5) liegt in E2: 12 + 12 + 10 = 34. Also ist der Abstand von E2 zu E gleich d(P, E) = 3.
Ist g nicht parallel zu E, schneidet g die Ebene, und die Punkte von g haben verschiedene Abstände. Deshalb kommt der Nachweis der Parallelität immer zuerst.
4. Spiegeln an einer Ebene
Der Spiegelpunkt P′ von P an E liegt auf der Lotgeraden, auf der anderen Seite von E und genauso weit von E entfernt wie P. Der Lotfußpunkt F ist also die Mitte der Strecke PP′. Von P nach F kommst du mit s · n, von P nach P′ mit dem doppelten Schritt:
OP′→ = OP + 2s · n
Beispiel: P(3 | 3 | 5) an E: 2x + 2y + z = 8 spiegeln
Probe: Die Mitte von P und P′ ist (1 | 1 | 4), das ist F.
✎ Mini-Aufgabe: Was ergibt das Verfahren, wenn P schon in E liegt? Was ist dann der Spiegelpunkt?
Lösung zeigen
Beim Einsetzen kommt s = 0 heraus. Dann ist F = P, der Abstand ist 0, und P ist sein eigener Spiegelpunkt.
5. Punkte mit vorgegebenem Abstand
Manchmal sind Punkte gesucht, die einen vorgegebenen Abstand von E haben, etwa Punkte mit einer unbekannten Koordinate a. Dann rechnest du das Verfahren mit a durch und setzt d = |s| · |n| gleich dem vorgegebenen Wert. Wegen des Betrags gibt es meist zwei Lösungen: je eine auf jeder Seite von E.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die beiden Punkte auf der Lotgeraden l aus dem ersten Beispiel, die von E den Abstand 6 haben.
Lösung zeigen
Von F aus geht man in Richtung n um 6 weiter. Wegen |n| = 3 ist das zweimal n, in jede Richtung einmal.
114 + 2 · 221 = 556 und 114 − 2 · 221 = −3−32: die Punkte Q1(5 | 5 | 6) und Q2(−3 | −3 | 2).
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Abstand, wie weit entfernt, kürzeste Entfernung
Abstand Punkt–Ebene über den Lotfußpunkt
nicht senkrecht nach unten messen, wenn die Fläche schräg ist
Höhe einer Pyramide oder eines Körpers
Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche
Nur bei waagerechter Grundfläche ist das die Differenz der z-Werte.
senkrecht zur Fläche (Bohrung, Kabel, Stütze)
Lotgerade mit dem Normalenvektor als Richtung
Der Endpunkt auf der Fläche ist der Lotfußpunkt.
spiegelbildlich, symmetrisch zur Ebene
Spiegelpunkt mit OP + 2s · n
2s, nicht s
eine Kugel berührt eine Fläche
Abstand des Mittelpunkts gleich dem Radius
Der Berührpunkt ist der Lotfußpunkt.
überall gleich weit entfernt, verläuft im Abstand …
parallel, dann Abstand eines Punktes
zuerst die Parallelität nachweisen
Mindestabstand, Sicherheitsabstand
Abstand berechnen und mit der Vorgabe vergleichen
Bei einer Kugel zählt der Abstand der Oberfläche: Abstand des Mittelpunkts minus Radius.
Punkte, die den Abstand d haben
|s| · |n| = d
meist zwei Lösungen, eine auf jeder Seite
7. Was nirgends steht
Abstand heißt immer kürzeste Entfernung, also senkrecht zur Ebene. Senkrecht nach oben oder unten ist das nur bei einer waagerechten Ebene.
Eine Ebene ist unbegrenzt, eine Wand, ein Dach oder eine Platte nicht. Bei Sachaufgaben prüfst du, ob der Lotfußpunkt auf dem echten Flächenstück liegt.
Eine Kugel mit Radius r berührt eine Ebene, wenn der Mittelpunkt den Abstand r hat. Ist der Abstand kleiner, schneidet sie die Ebene; ist er größer, bleibt eine Lücke von Abstand minus r.
Der Abstand einer Geraden oder Ebene zu E ist nur sinnvoll, wenn beide parallel sind.
Die Einheit steht oft nur einmal im Text, etwa „Angaben in m“ oder „in 10 m“. Sie gehört in den Antwortsatz.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Kugel mit dem Mittelpunkt P(3 | 3 | 5) aus dem ersten Beispiel soll die Ebene E: 2x + 2y + z = 8 berühren. Welchen Radius braucht sie, und in welchem Punkt berührt sie E?
Lösung zeigen
Berühren heißt: Der Abstand des Mittelpunkts von E ist gleich dem Radius. Also r = d(P, E) = 3.
Der Berührpunkt ist der Punkt von E, der P am nächsten liegt, also der Lotfußpunkt F(1 | 1 | 4).
8. Sachbeispiel: Hängeleuchte im Dachzimmer
In einem Dachzimmer liegt die Dachschräge in der Ebene D: 3x + 4z = 24 (Angaben in m, der Boden liegt in der x-y-Ebene). Die waagerechte Decke liegt 3 m hoch und trifft bei x = 4 auf die Schräge, die von dort bis zum Boden reicht. Eine Hängeleuchte wird so aufgehängt, dass ihr Lampenschirm im Punkt L(4 | 2 | 2,4) sitzt. Wegen der Wärme muss der Schirm mindestens 0,5 m von der Dachschräge entfernt sein. Darf die Leuchte dort hängen?
Was ist gefragt? Ob der Abstand von L zur Ebene D mindestens 0,5 m beträgt.
Was steht nicht da? Entfernung heißt kürzeste Entfernung, also senkrecht zur Dachschräge, nicht senkrecht nach oben. Und der Lotfußpunkt muss auf der echten Dachfläche liegen.
Antwortsatz Der Lampenschirm wäre nur 0,48 m von der Dachschräge entfernt. Dort darf die Leuchte nicht hängen; sie muss weiter von der Schräge weg.
Prüfen F liegt in D: 3 · 4,288 + 4 · 2,784 = 24. Mit x = 4,288 > 4 und z = 2,784 < 3 liegt F zwischen Decke und Boden, also auf der echten Dachfläche. Senkrecht nach oben wären es bis zur Schräge 3 m − 2,4 m = 0,6 m. Der echte Abstand ist kleiner, wie es sein muss: Die Lotstrecke ist die kürzeste Verbindung.
9. Typische Fehler
Als Richtungsvektor der Lotgeraden wird der Ortsvektor von P oder ein Richtungsvektor der Ebene genommen statt n.
s wird als Abstand angegeben. Der Abstand ist |s| · |n|; nur wenn |n| = 1 ist, stimmt beides überein.
Beim Spiegeln wird mit s statt mit 2s gerechnet; dann kommt F heraus, nicht P′.
Der Abstand einer Geraden wird über den Stützpunkt berechnet, ohne die Parallelität zu prüfen.
Die Höhe über einem schrägen Dach oder Hang wird senkrecht nach unten gemessen statt senkrecht zur Fläche.
Rechnen
2.1Abstand Punkt–Ebene
a) Berechne den Abstand des Punktes P(4 | −1 | 6) von der Ebene E: x − 2y + 2z = 9.
Hilfe 1
Welche Richtung hat die kürzeste Verbindung von P zur Ebene?
Hilfe 2
Stelle die Gerade durch P mit dem Normalenvektor von E als Richtungsvektor auf und setze sie in die Ebenengleichung ein.
Hilfe 3
Mit dem Parameter erhältst du den Lotfußpunkt; der Abstand ist die Länge des Vektors von P zu diesem Punkt.
b) Berechne den Abstand des Punktes Q(8 | 3 | 4) von der Ebene H: 6x + 2y − 3z = −7.
Hilfe 1
Gehe vor wie in a).
Hilfe 2
Achte beim Einsetzen auf das Minuszeichen vor 3z und auf die negative rechte Seite.
Lösung zeigen
a) „Abstand von einer Ebene“: Lotgerade mit dem Normalenvektor, Lotfußpunkt, Länge der Lotstrecke.
Die Punkte A(2 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und C(0 | 0 | 4) bilden die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der Spitze S(3 | 4 | 6). Die Ebene durch A, B und C hat die Gleichung 2x + y + z = 4; das Dreieck ABC hat den Flächeninhalt 4√6.
a) Berechne die Höhe der Pyramide.
Hilfe 1
Die Höhe steht senkrecht auf der Grundfläche. Von welchem Punkt zu welcher Ebene wird sie gemessen?
Hilfe 2
Bestimme den Abstand von S zur Ebene durch A, B und C.
b) Berechne das Volumen der Pyramide.
Hilfe 1
Volumen einer Pyramide: ein Drittel von Grundfläche mal Höhe.
Lösung zeigen
a) Höhe einer Pyramide = Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche; die Ebenengleichung ist schon gegeben.
|5 − 2a| = 9 ⇔ 5 − 2a = 9 oder 5 − 2a = −9 ⇔ a = −2 oder a = 7
b) Die Punkte Q bilden eine Gerade, die E schneidet; Deutung der zwei Lösungen.
Die Punkte Q liegen auf einer Geraden parallel zur x-Achse. Sie ist nicht parallel zu E, weil 21−2 · 100 = 2 ≠ 0, schneidet E also. Auf jeder Seite von E hat genau ein Punkt dieser Geraden den Abstand 3.
Q liegt in E für s = 0, also 5 − 2a = 0, a = 2,5.
2.8Ebene im Würfel
Das Raumbild zeigt den Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 3. Die Ebene K geht durch die Ecken B, D und E.
Material
a) Gib die Koordinaten von B, D, E und G an und zeige, dass K die Gleichung x + y + z = 3 hat.
Hilfe 1
A liegt im Ursprung, die Kanten liegen auf den Achsen.
Hilfe 2
Setze die drei Punkte in die Gleichung ein.
b) Bestimme den Abstand der Ecke G von K.
Hilfe 1
Normalenvektor aus der Gleichung ablesen, Lotgerade durch G aufstellen.
c) Begründe, dass der Lotfußpunkt aus b) auf der Raumdiagonalen AG liegt, und gib den Abstand von A zu K an.
Hilfe 1
Vergleiche die Richtung von AG mit dem Normalenvektor von K.
Hilfe 2
Wie lang ist die Raumdiagonale insgesamt?
Lösung zeigen
a) Koordinaten aus dem Raumbild, dann Punktprobe für drei Punkte.
c) Die Raumdiagonale hat die Richtung des Normalenvektors; dann ist sie die Lotgerade durch G.
AG = 333 = 3 · 111 ist ein Vielfaches des Normalenvektors. Die Gerade AG geht durch G und steht senkrecht auf K; sie ist also die Lotgerade aus b), und der Lotfußpunkt liegt auf ihr.
|AG| = 3√3, also d(A, K) = 3√3 − 2√3 = √3. Ebenso richtig: Lot durch A mit s = 1, d = √3.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Kabel verläuft geradlinig vor einer schrägen Glasfassade, deren Ebene F bekannt ist. Wie weit ist das Kabel von der Fassade entfernt? (2) Von einem Punkt P an der Decke einer Halle fällt ein Tropfen senkrecht nach unten auf eine schräge Rampe in der Ebene R. Wo trifft er auf? (3) Eine Leuchte hängt im Punkt L. Eine zweite Leuchte soll symmetrisch zur Mittelebene S eines Raumes hängen. Wo hängt sie?
Hilfe 1
Fragt jede Frage nach einem Abstand, einem Punkt oder einer Lage?
Hilfe 2
„senkrecht nach unten“ und „senkrecht zur Fläche“ sind verschiedene Richtungen.
Hilfe 3
Bei Frage (1): Was muss für das Kabel gelten, damit es einen einzigen Abstand gibt?
b) In einem Tonstudio hängt eine schräge Akustikplatte in der Ebene A: x + 2y + 2z = 14 (Angaben in m). Ein Lautsprecher steht im Punkt L(1 | 1 | 1). Er soll mindestens 2,5 m von der Platte entfernt sein. Nimm an, dass die Platte groß genug ist. Ist die Vorgabe erfüllt? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob … 2. Was nicht dasteht: Gemeint ist die … Entfernung, also … 3. Rechnen: l: x = …; Einsetzen: … ⇔ s = …; F(…); d = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„entfernt“: Welche Entfernung ist gemeint, wenn nichts weiter dasteht?
Hilfe 2
Welcher Vektor zeigt senkrecht von der Platte weg?
Hilfe 3
Prüfen kannst du, indem du F in die Ebenengleichung einsetzt.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Abstand einer parallelen Geraden, Schnitt einer senkrechten Geraden mit einer Ebene, Spiegelpunkt.
(1) Gesucht ist der Abstand des Kabels von F. Ansatz: zuerst prüfen, ob das Kabel parallel zu F ist (Richtungsvektor · Normalenvektor = 0); dann Lotfußpunktverfahren für einen Punkt des Kabels.
(2) Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden durch P mit dem Richtungsvektor 00−1 mit R. Das ist kein Lot, denn R ist schräg.
(3) Gesucht ist der Spiegelpunkt von L an S. Ansatz: Lotgerade durch L, Parameter s des Lotfußpunkts, dann OL + 2s · n.
b) „mindestens 2,5 m entfernt“: Abstand Punkt–Ebene mit dem Lotfußpunktverfahren, dann mit 2,5 vergleichen.
1. Gefragt ist, ob der Abstand von L zur Ebene A mindestens 2,5 m beträgt.
2. Gemeint ist die kürzeste Entfernung, also die Länge der Lotstrecke senkrecht zur Platte.
4. Der Lautsprecher ist 3 m von der Platte entfernt. Die Vorgabe ist erfüllt.
5. F liegt in A: 2 + 6 + 6 = 14, und LF = 122 hat die Länge 3.
3.2Lawinenbrecher
An einem Hang stehen Lawinenbrecher aus Beton. Einer davon hat die Form einer dreiseitigen Pyramide. Seine Grundfläche hat die Ecken A(0 | 0 | 0), B(3 | 0 | 1) und C(0 | 3 | 0) und liegt flach auf dem Hang auf, die Spitze ist S(1 | 1 | 2,5) (Angaben in m). Die x-y-Ebene ist waagerecht, die z-Achse zeigt senkrecht nach oben. Das Material zeigt den Block auf dem Hang.
Material
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene H, in der die Grundfläche des Blocks liegt.
Hilfe 1
Bilde zwei Vektoren in der Grundfläche.
Hilfe 2
Der Normalenvektor steht auf beiden senkrecht.
b) Berechne die Höhe des Blocks.
Hilfe 1
Wie wird die Höhe einer Pyramide gemessen, wenn die Grundfläche schräg liegt?
Hilfe 2
Bestimme den Abstand von S zu H.
c) Beton hat eine Dichte von 2,4 t pro m³. Berechne die Masse des Blocks.
Hilfe 1
Masse = Dichte · Volumen.
Hilfe 2
Für die Grundfläche: Welchen Winkel schließen AB und AC ein?
d) Ein Arbeiter sagt: „Die Spitze liegt 2,5 m höher als die Ecke A, also ist der Block 2,5 m hoch.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Von welcher Fläche aus misst der Arbeiter, von welcher die Höhe des Blocks?
Lösung zeigen
a) Ebene durch drei Punkte in Koordinatenform.
AB = 301, AC = 030. n = abc mit 3a + c = 0 und 3b = 0, zum Beispiel n = 10−3.
A einsetzen: H: x − 3z = 0
b) Höhe = Abstand der Spitze von der schrägen Grundflächenebene, nicht die z-Koordinate.
h = 0,65 · √10 ≈ 2,06. Der Block ist etwa 2,06 m hoch.
c) Volumen mit Grundfläche und Höhe aus b), dann Masse.
AB · AC = 0: Das Dreieck ABC ist bei A rechtwinklig. G = 12 · √10 · 3 ≈ 4,74 (m²)
V = 13 · G · h = 13 · 1,5√10 · 0,65√10 = 3,25 (m³)
Masse: 3,25 · 2,4 = 7,8. Der Block wiegt 7,8 t.
d) Höhenunterschied senkrecht nach oben gegen Höhe senkrecht zur schrägen Grundfläche.
Die Aussage ist falsch. 2,5 m ist der Höhenunterschied zur waagerechten Ebene durch A. Die Höhe des Blocks wird senkrecht zu seiner Grundfläche gemessen, und die liegt schräg im Hang.
Diese Höhe ist mit etwa 2,06 m kleiner als 2,5 m.
3.3Bahndamm
Ein Bahndamm hat eine ebene Böschung, deren Oberfläche in der Ebene B: 3y + 4z = 24 liegt (Angaben in m, die x-y-Ebene ist waagerecht, die z-Achse zeigt nach oben). Im Damm ist ein Kabel verlegt. Im betrachteten Abschnitt verläuft es geradlinig entlang k: x = 041,5 + r · 4−43 mit 0 ≤ r ≤ 1.
a) Zeige, dass das Kabel im betrachteten Abschnitt überall gleich weit von der Böschungsoberfläche entfernt ist.
Hilfe 1
Welche Lage muss eine Gerade zu einer Ebene haben, damit alle ihre Punkte gleich weit weg sind?
Hilfe 2
Prüfe diese Lage mit dem Skalarprodukt.
b) Vorgeschrieben ist, dass das Kabel mindestens 0,8 m unter der Böschungsoberfläche liegt. Prüfe, ob die Vorschrift eingehalten ist.
Hilfe 1
Welche Entfernung ist mit „unter der Oberfläche“ gemeint, wenn die Oberfläche schräg ist?
Hilfe 2
Nach a) genügt ein Punkt des Kabels.
c) Die Böschung wird mit einer gleichmäßig 0,5 m dicken Schicht Erde aufgeschüttet. Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene, in der die neue Oberfläche liegt.
Hilfe 1
Wie liegt die neue Oberfläche zur alten?
Hilfe 2
Gehe von einem Punkt der alten Oberfläche 0,5 m senkrecht zur Böschung nach außen.
Hilfe 3
Auf welcher Seite von B liegt das Kabel, auf welcher die neue Erde?
Lösung zeigen
a) „überall gleich weit entfernt“ heißt parallel.
034 · 4−43 = 0 − 12 + 12 = 0: Das Kabel verläuft parallel zur Böschung.
3 · 4 + 4 · 1,5 = 18 ≠ 24: Es liegt nicht in der Oberfläche. Also haben alle Punkte des Kabels denselben Abstand von B.
b) Abstand der parallelen Geraden über einen Punkt, dann mit 0,8 m vergleichen.
d = 0,24 · 5 = 1,2. Das Kabel liegt 1,2 m unter der Oberfläche; die Vorschrift ist eingehalten.
c) „gleichmäßig dick“ heißt: parallel zur alten Oberfläche, im Abstand 0,5 m senkrecht zur Böschung.
Die neue Oberfläche ist parallel zu B, ihre Gleichung hat die Form 3y + 4z = c.
Außen ist die Seite ohne Kabel: Für den Kabelpunkt ist 3 · 4 + 4 · 1,5 = 18 < 24, außen ist 3y + 4z also größer als 24.
Punkt (0 | 8 | 0) der alten Oberfläche, 0,5 m nach außen: 0,55 · 034 = 00,30,4, also (0 | 8,3 | 0,4).
3 · 8,3 + 4 · 0,4 = 26,5, also 3y + 4z = 26,5.
Probe: Das Kabel hat davon den Abstand 1,2 + 0,5 = 1,7 m (Lot durch (0 | 4 | 1,5): 18 + 25s = 26,5, s = 0,34, 0,34 · 5 = 1,7). Ebenso richtig ist der Ansatz über diesen Abstand.
3.4Messestand
Ein Messestand ist symmetrisch zur senkrechten Ebene S: 3x + 4y = 24 gebaut (Angaben in m, die x-y-Ebene ist der Hallenboden). Die erste Deckenleuchte hängt im Punkt L(1 | 2 | 3). Eine zweite Leuchte soll spiegelbildlich zu ihr bezüglich S hängen.
a) Bestimme die Position der zweiten Leuchte.
Hilfe 1
„spiegelbildlich bezüglich S“: Welcher Punkt ist gesucht?
Hilfe 2
Bestimme den Parameter des Lotfußpunkts und geh den doppelten Schritt.
b) Begründe ohne Rechnung, dass beide Leuchten gleich hoch hängen.
Hilfe 1
Schau dir die dritte Koordinate des Normalenvektors an.
c) Der Monteur hat die zweite Leuchte versehentlich im Punkt Q(5 | 5 | 3) aufgehängt. Er sagt: „Q ist doch ungefähr so weit von S entfernt wie L, also passt das.“ Untersuche, ob L und Q spiegelbildlich bezüglich S liegen, und beurteile seine Begründung.
Hilfe 1
Was muss für die Mitte zweier spiegelbildlicher Punkte gelten?
Hilfe 2
Reicht ein gleicher Abstand von S für Spiegelbildlichkeit?
Die zweite Leuchte hängt im Punkt L′(4,12 | 6,16 | 3).
b) Der Normalenvektor einer senkrechten Ebene hat die z-Koordinate 0.
Der Normalenvektor 340 hat die z-Koordinate 0. Die Lotgerade verläuft deshalb waagerecht, und beim Spiegeln ändert sich die z-Koordinate nicht.
c) Spiegelbildlich heißt: Mitte liegt in S und die Verbindung steht senkrecht auf S. Gleicher Abstand allein reicht nicht.
Die Mitte von L und Q ist (3 | 3,5 | 3): 3 · 3 + 4 · 3,5 = 23 ≠ 24. Sie liegt nicht in S, also liegen L und Q nicht spiegelbildlich. Ebenso: LQ = 430 ist kein Vielfaches von 340.
Die Begründung trägt nicht: Gleich weit von S sind alle Punkte einer zu S parallelen Ebene, gespiegelt ist aber nur einer davon, der auf der Lotgeraden durch L. Hier stimmen nicht einmal die Abstände: d(L, S) = 2,6 m, d(Q, S) = 2,2 m.
3.5Heißluftballon
Ein Heißluftballon steigt über einem Hang senkrecht auf. Der Hang liegt in der Ebene H: 2x + 3y − 6z = 0 (Angaben in m, die z-Achse zeigt senkrecht nach oben). Die Ballonhülle wird als Kugel mit dem Radius 9 m modelliert. Ihr Mittelpunkt liegt im Punkt M(60 | 40 | t) mit t > 40. Für Fahrten über Hängen gilt: Die Hülle muss mindestens 20 m vom Hang entfernt sein.
a) Berechne für t = 80, wie weit die Ballonhülle vom Hang entfernt ist.
Hilfe 1
Welcher Punkt der Hülle ist dem Hang am nächsten, und wie weit ist er vom Mittelpunkt weg?
Hilfe 2
Bestimme zuerst den Abstand des Mittelpunkts vom Hang.
b) Ermittle, ab welcher Höhe des Mittelpunkts die Vorgabe erfüllt ist.
Hilfe 1
Rechne wie in a), aber mit t statt 80.
Hilfe 2
Stelle eine Ungleichung für den Abstand der Hülle auf.
Hilfe 3
Für t > 40 liegt M oberhalb des Hangs; was bedeutet das für das Vorzeichen im Betrag?
c) Bestimme für t = 80 den Punkt des Hangs, der der Ballonhülle am nächsten liegt, und begründe deine Wahl.
Hilfe 1
Welcher Punkt der Hülle ist dem Hang am nächsten, und auf welcher Linie durch M liegt er?
Hilfe 2
Nutze den Parameter aus a).
Lösung zeigen
a) Abstand der Hülle = Abstand des Mittelpunkts minus Radius.
Der Mittelpunkt muss mindestens etwa 73,8 m hoch liegen.
c) Der nächste Punkt liegt auf der Lotgeraden durch M: Er ist der Lotfußpunkt.
Der Punkt der Hülle, der dem Hang am nächsten liegt, liegt auf der Lotstrecke von M zum Hang. Der gesuchte Punkt des Hangs ist deshalb der Lotfußpunkt von M.
Mit s = 24049 aus a): F(60 + 48049 | 40 + 72049 | 80 − 144049), also F(69,80 | 54,69 | 50,61) gerundet.
Probe: 2 · 69,80 + 3 · 54,69 − 6 · 50,61 ≈ 0
Klausuraufgabe
4.1Museumspyramide
Vor einem Museum steht eine Glaspyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD. Das Material zeigt sie in einem Koordinatensystem: A liegt im Ursprung, die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene, und die Spitze S liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M der Grundfläche (Angaben in m).
Material
a) Gib die Koordinaten der Punkte C, M und S an.2 BE
Hilfe 1
Lies die Kantenlänge an den Achsen ab.
Hilfe 2
S liegt senkrecht über M.
b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche BCS liegt. [zur Kontrolle: E: 4x + 3z = 48]4 BE
Hilfe 1
Zwei Vektoren in der Seitenfläche, dann ein Normalenvektor.
Hilfe 2
Die rechte Seite liefert einer der drei Punkte.
c) Für die Beleuchtung wird vom Punkt M aus ein straff gespanntes Kabel senkrecht zur Seitenfläche BCS bis zu dieser Fläche geführt. Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem das Kabel auf die Seitenfläche trifft, und die Länge des Kabels.5 BE
Hilfe 1
„senkrecht zur Seitenfläche“: Welcher Vektor gibt die Richtung des Kabels an?
Hilfe 2
Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt dieser Geraden mit E.
d) Ein Besucher meint, ein waagerecht gespanntes Kabel von M zur Seitenfläche BCS wäre kürzer, weil es nicht ansteigt. Beurteile diese Aussage.3 BE
Hilfe 1
Welche Verbindung eines Punktes zu einer Ebene ist die kürzeste?
Hilfe 2
Denke an ein rechtwinkliges Dreieck mit dem Kabel aus c) als einer Seite.
Lösung zeigen
a) Koordinaten aus dem Raumbild ablesen.
C(12 | 12 | 0), M(6 | 6 | 0), S(6 | 6 | 8)
b) Ebene durch drei Punkte in Koordinatenform; die Kontrollangabe sichert den weiteren Weg.
BC = 0120, BS = −668
n = abc mit 12b = 0 und −6a + 6b + 8c = 0, zum Beispiel n = 403
B einsetzen: 4 · 12 + 3 · 0 = 48, also E: 4x + 3z = 48. Probe mit S: 24 + 24 = 48
c) Senkrecht zur Fläche: Lotgerade durch M; Auftreffpunkt = Lotfußpunkt; Länge = Abstand.
Das Kabel trifft die Seitenfläche im Punkt P(9,84 | 6 | 2,88).
|MP| = 0,96 · |n| = 0,96 · 5 = 4,8. Das Kabel ist 4,8 m lang.
d) Die Lotstrecke ist die kürzeste Verbindung; jede andere ist Hypotenuse.
Die Aussage ist falsch. Das Kabel aus c) steht senkrecht auf der Seitenfläche; diese Lotstrecke ist die kürzeste Verbindung von M zur Ebene E. Jede andere Verbindung, auch eine waagerechte, ist Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, in dem die Lotstrecke eine Kathete ist, und damit länger.
Zum Beispiel trifft ein waagerechtes Kabel in Richtung der x-Achse die Fläche im Punkt (12 | 6 | 0) und ist 6 m lang, also länger als 4,8 m.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Wie Geraden und Ebenen zueinander liegen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.