Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Gerade und eine Ebene im Raum können auf drei Arten zueinander liegen. Die Gerade schneidet die Ebene in genau einem Punkt, dem Schnittpunkt; in Sachaufgaben heißt er oft Durchstoßpunkt. Oder sie ist parallel zur Ebene und hat keinen Punkt mit ihr gemeinsam. Oder sie liegt in der Ebene, dann gehört jeder ihrer Punkte zur Ebene. Mit diesen drei Fällen beantwortest du Fragen wie: Wo erreicht eine Bohrung eine Gesteinsschicht? Trifft ein Flug einen Hang? Wo liegt der Schatten einer Mastspitze?
✎ Mini-Aufgabe: Kann eine Gerade mit einer Ebene genau zwei gemeinsame Punkte haben? Probiere es mit einem Stift und einem Blatt Papier aus.
Lösung zeigen
Nein. Liegen zwei Punkte der Geraden in der Ebene, dann liegt die ganze Gerade in der Ebene, weil die Ebene flach und unbegrenzt ist. Möglich sind also kein, genau ein oder unendlich viele gemeinsame Punkte.
2. Gerade und Ebene: einsetzen
Die Ebene ist in Koordinatenform gegeben, die Gerade in Parameterform. Schreib die Koordinaten eines beliebigen Geradenpunkts mit dem Parameter r auf und setze sie in die Koordinatenform ein. Es bleibt eine Gleichung mit der einen Unbekannten r.
genau eine Lösung r: Die Gerade schneidet die Ebene. r in die Geradengleichung einsetzen liefert den Schnittpunkt.
eine falsche Aussage wie 12 = 8: Kein Punkt der Geraden liegt in der Ebene, die Gerade ist parallel zur Ebene.
eine wahre Aussage wie 8 = 8: Jeder Punkt der Geraden liegt in der Ebene.
Beispiel: E: 2x + y + 2z = 8 und g: x = 344 + r · −1−1−1
r = 2 in g einsetzen: Schnittpunkt S(1 | 2 | 2). Probe: 2 · 1 + 2 + 2 · 2 = 8, stimmt.
Beispiel: zwei Geraden ohne Schnittpunkt mit derselben Ebene E
h: x = 006 + r · 10−1: 2r + 0 + 2 · (6 − r) = 8 ⇔ 12 = 8, falsch. h ist parallel zu E.
k: x = 400 + r · −101: 2 · (4 − r) + 0 + 2r = 8 ⇔ 8 = 8, wahr. k liegt in E.
Schnelltest mit dem Normalenvektor n: Ist n · u = 0 für den Richtungsvektor u der Geraden, dann ist die Gerade parallel zur Ebene oder liegt in ihr. Welcher der beiden Fälle vorliegt, entscheidet die Punktprobe mit dem Stützpunkt. Ist n · u ≠ 0, gibt es genau einen Schnittpunkt.
✎ Mini-Aufgabe: E: x − y + 3z = 5. Welche der Richtungen 110, 30−1 und 121 gehören zu Geraden, die E in genau einem Punkt schneiden?
Nur eine Gerade mit der Richtung 121 schneidet E in genau einem Punkt. Die beiden anderen Richtungen gehören zu Geraden, die parallel zu E sind oder in E liegen.
3. Zwei Ebenen
Zwei Ebenen in Koordinatenform vergleichst du über ihre Normalenvektoren. Sind sie Vielfache voneinander, sind die Ebenen gleich geneigt: Sie sind parallel (kein gemeinsamer Punkt) oder identisch (dieselbe Ebene). Sonst schneiden sie sich in einer Geraden. Deren Gleichung wird im Grundkurs nicht verlangt; wichtig ist, ob zwei ebene Flächen parallel sind oder dieselbe Ebene bilden.
Normalenvektoren Vielfache und die ganze Gleichung ein Vielfaches der anderen: identisch, z. B. x + y − 2z = 4 und 3x + 3y − 6z = 12.
Normalenvektoren Vielfache, die rechte Seite passt nicht dazu: parallel, z. B. x + y − 2z = 4 und −x − y + 2z = 1.
Normalenvektoren keine Vielfachen: Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden.
✎ Mini-Aufgabe: E: x − 2y + z = 3 und F: −2x + 4y − 2z = 6. Wie liegen die beiden Ebenen zueinander?
Lösung zeigen
Der Normalenvektor von F ist das (−2)-Fache des Normalenvektors von E. Die Gleichung von E mal (−2) ergibt −2x + 4y − 2z = −6, nicht 6. Die Ebenen sind parallel.
4. Schatten und Projektion
Sonnenlicht fällt in parallelen Strahlen ein, alle in Richtung desselben Vektors v. Der Lichtstrahl durch einen Punkt P ist die Gerade x = OP + r · v mit r ≥ 0. Der Schattenpunkt von P ist die Stelle, an der dieser Strahl zuerst auf eine Fläche trifft: den Boden (meist die x-y-Ebene, z = 0), eine Wand oder ein Dach. Gerechnet wird wie beim Schnittpunkt.
Beispiel: Spitze M(2 | 1 | 4), Licht in Richtung v = 12−2, eine 3 hohe Wand in der Ebene y = 4
Strahl durch M: (2 + r | 1 + 2r | 4 − 2r)
Boden: 4 − 2r = 0 ⇔ r = 2, Punkt (4 | 5 | 0)
Wand: 1 + 2r = 4 ⇔ r = 1,5, Punkt (3,5 | 4 | 1); die Höhe 1 liegt unter der Wandhöhe 3.
Der Strahl erreicht die Wand bei kleinerem r, also früher. Der Schatten von M liegt an der Wand: M′(3,5 | 4 | 1).
Eine senkrechte Projektion auf die x-y-Ebene ist der Schatten bei Licht genau von oben, also in Richtung 00−1: Du setzt z = 0. Aus P(2 | 1 | 4) wird P′(2 | 1 | 0). Bei einer Parallelprojektion in eine schräge Richtung v rechnest du wie beim Schatten.
✎ Mini-Aufgabe: Wo liegt der Schatten des Fußpunkts F(2 | 1 | 0) eines Mastes, der auf dem Boden steht?
Lösung zeigen
F liegt schon in der Ebene z = 0, also r = 0: Der Schatten von F ist F selbst. Deshalb beginnt der Schatten eines Mastes immer an seinem Fußpunkt.
5. Im Bild
Das Dreieck ist das Stück der Ebene E: 2x + y + 2z = 8 zwischen den Achsen. Die Gerade g kommt von A(3 | 4 | 4) und durchstößt E im Punkt S(1 | 2 | 2); unterhalb von E ist sie gestrichelt.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
durchstößt, trifft auf, tritt ein in
Schnittpunkt von Gerade und Ebene
Bei einer Bewegung zählt nur r ≥ 0.
verläuft parallel zu (Hang, Dach, Decke), berührt nie
n · u = 0 und Stützpunkt nicht in der Ebene
Liegt der Stützpunkt in der Ebene, liegt die ganze Gerade darin.
liegt auf, liegt ganz auf (Leiste, Weg)
Gerade liegt in der Ebene
Bei Strecken auch die Ränder der Fläche prüfen.
Schatten von P
Schnittpunkt des Lichtstrahls durch P mit Boden, Wand oder Dach
Es zählt die Fläche, die der Strahl zuerst trifft.
Boden, Erdoberfläche, Talboden
meist die x-y-Ebene, z = 0
Unter der Erde ist z negativ.
auf dem Weg von A nach B
Gerade durch A und B mit 0 ≤ r ≤ 1
Ein Schnittpunkt mit r < 0 oder r > 1 liegt nicht auf dem Weg.
Dachfläche, Wand, Platte
begrenztes Stück einer Ebene
Liegt der Schnittpunkt mit der Ebene im Stück?
in gleicher Höhe, waagerecht
Richtungsvektor mit z-Koordinate 0
Die Höhe selbst steckt im Stützpunkt.
7. Was nirgends steht
Eine Ebene ist unbegrenzt, eine Dachfläche oder Wand nicht. Liegt der Schnittpunkt außerhalb des Stücks, trifft die Gerade die Fläche nicht.
Ein Flug, eine Bohrung, ein Lichtstrahl hat eine Richtung: Es zählt nur r ≥ 0, bei einer Strecke von A nach B nur 0 ≤ r ≤ 1.
Trifft ein Strahl zwei Flächen, entscheidet das kleinere r ≥ 0: Diese Fläche liegt im Weg.
Sonnenlicht ist parallel: Alle Lichtstrahlen haben denselben Richtungsvektor.
Seiten einer Ebene ax + by + cz = d: Für Punkte auf der einen Seite ist ax + by + cz kleiner als d, auf der anderen größer. Liegen beide Enden einer Strecke auf derselben Seite, trifft die Strecke die Ebene nicht.
8. Ein Sachbeispiel
Für eine Erdwärmesonde wird vom Punkt B(0 | 0 | 0) an der Erdoberfläche geradlinig in Richtung u = 2−1−10 gebohrt (1 LE = 1 m, die z-Achse zeigt nach oben). Die Oberseite einer wasserführenden Schicht liegt in der Ebene G: x + 2y + 10z = −250. Wie lang ist die Bohrung, wenn sie die Schicht erreicht?
Was ist gefragt? Die Länge der Strecke vom Startpunkt B bis zum Durchstoßpunkt mit G, nicht die Tiefe.
Was steht nicht da? Gebohrt wird nur nach unten, also r ≥ 0. Die Länge ist der Betrag des Verbindungsvektors, nicht der Wert von r.
Antwortsatz Die Bohrung erreicht die Schicht nach rund 25,6 m, in 25 m Tiefe.
Prüfen Die Bohrung verläuft fast senkrecht. Ihre Länge muss also etwas größer sein als die Tiefe von 25 m. Das passt.
9. Typische Fehler
Aus 12 = 8 wird ein Rechenfehler geschlossen. Eine falsche Aussage ist ein Ergebnis: Die Gerade ist parallel.
r ausgerechnet und als Antwort stehen gelassen. Gefragt ist meist der Punkt: r in die Geradengleichung einsetzen.
Aus n · u = 0 sofort „parallel“ geschlossen. Ohne Punktprobe kann die Gerade auch in der Ebene liegen.
Normalenvektor und Richtungsvektor verwechselt: Eine Gerade parallel zur Ebene hat einen Richtungsvektor senkrecht zu n.
Den Schatten nur auf dem Boden gesucht, obwohl eine Wand im Weg steht.
Rechnen
2.1Schnittpunkt
Gegeben sind die Ebene E: 3x + y + 2z = 17 und die Gerade g: x = 2−13 + r · 12−1. Bestimme die Koordinaten des Punktes, in dem g die Ebene E schneidet.
Hilfe 1
Wie sehen die Koordinaten eines beliebigen Punktes von g aus?
Hilfe 2
Setze diese Koordinaten in die Gleichung von E ein; es bleibt eine Gleichung für r.
Hilfe 3
Der Wert von r allein ist noch nicht der gesuchte Punkt.
Lösung zeigen
Ebene in Koordinatenform, Gerade in Parameterform, ein gemeinsamer Punkt gesucht: Geradenpunkt in die Ebenengleichung einsetzen.
AB = −440 und AC = −408 sind keine Vielfachen, A, B und C liegen also nicht auf einer Geraden und legen genau eine Ebene fest. Damit ist 2x + 2y + z = 8 eine Gleichung von E.
b) Durchstoßpunkt einer Strecke: Gerade durch P und Q, einsetzen, dann 0 ≤ r ≤ 1 prüfen.
Gerade durch P und Q: x = 116 + r · 2−1−6, Punkt (1 + 2r | 1 − r | 6 − 6r)
D(2 | 0,5 | 3). Wegen 0 ≤ 0,5 ≤ 1 liegt D auf der Strecke PQ, genau in ihrer Mitte.
2.4Projektion auf den Boden
Das Dreieck mit den Ecken A(2 | 1 | 3), B(4 | 3 | 1) und C(1 | 4 | 2) wird in Richtung v = 1−1−1 auf die x-y-Ebene projiziert: Jeder Punkt wandert entlang einer Geraden mit diesem Richtungsvektor, bis er die x-y-Ebene erreicht.
a) Bestimme die Bildpunkte A′, B′ und C′.
Hilfe 1
Stelle für jeden Eckpunkt die Gerade mit dem Richtungsvektor v auf.
Hilfe 2
Welche Koordinate ist in der x-y-Ebene null?
b) Gib die Bildpunkte bei senkrechter Projektion auf die x-y-Ebene an.
Hilfe 1
In welche Richtung wird bei senkrechter Projektion auf die x-y-Ebene projiziert?
Lösung zeigen
a) Projektion in Richtung v: je Punkt eine Gerade, Schnitt mit z = 0.
Gerade durch A: (2 + r | 1 − r | 3 − r); z = 0 bei r = 3: A′(5 | −2 | 0)
Gerade durch B: (4 + r | 3 − r | 1 − r); z = 0 bei r = 1: B′(5 | 2 | 0)
Gerade durch C: (1 + r | 4 − r | 2 − r); z = 0 bei r = 2: C′(3 | 2 | 0)
b) Senkrechte Projektion auf die x-y-Ebene: z-Koordinate null setzen.
A″(2 | 1 | 0), B″(4 | 3 | 0), C″(1 | 4 | 0)
Ohne Taschenrechner
2.5Rückwärts
Gegeben ist die Ebene E: x + y + z = 3.
a) Gib eine Gleichung einer Geraden an, die E im Punkt S(1 | 1 | 1) schneidet.
Hilfe 1
Welcher Punkt eignet sich als Stützpunkt?
Hilfe 2
Welche Richtungen scheiden aus, weil die Gerade dann parallel zu E wäre oder in E läge?
b) Gib eine Gleichung einer Geraden an, die parallel zu E ist und keinen Punkt mit E gemeinsam hat.
Hilfe 1
Welche Bedingung muss der Richtungsvektor zusammen mit dem Normalenvektor erfüllen?
Hilfe 2
Und der Stützpunkt: in E oder nicht?
c) Gib eine Gleichung einer Geraden an, die in E liegt.
Hilfe 1
Eine Gerade, die zwei Punkte mit E gemeinsam hat, liegt ganz in E.
Hilfe 2
Suche zwei Punkte, deren Koordinaten zusammen 3 ergeben.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Der Fall ist vorgegeben, gesucht ist eine passende Gerade. Richtung über n · u, Stützpunkt über die Punktprobe.
Stützpunkt S, Richtung mit n · u ≠ 0, etwa der Normalenvektor: g: x = 111 + r · 111.
Jede Richtung mit n · u ≠ 0 ist ebenso richtig, z. B. 100.
b) Parallel ohne gemeinsamen Punkt: n · u = 0 und Stützpunkt außerhalb von E.
Richtung mit n · u = 0, etwa 1−10; Stützpunkt nicht in E, etwa O(0 | 0 | 0), denn 0 ≠ 3.
h: x = 000 + r · 1−10. Jede Gerade mit beiden Eigenschaften ist richtig.
c) Gerade in E: durch zwei Punkte von E.
Zwei Punkte von E, etwa (3 | 0 | 0) und (0 | 3 | 0): k: x = 300 + r · −330.
Probe: (3 − 3r) + 3r + 0 = 3 für jedes r. Jede Gerade durch zwei Punkte von E ist richtig.
2.6Mit Parameter
Gegeben sind die Ebene E: 2x − y + 4z = 10 und für jede reelle Zahl a die Gerade gₐ: x = 102 + r · a2−1.
a) Untersuche die Lage von gₐ zu E in Abhängigkeit von a.
Hilfe 1
Setze einen beliebigen Punkt von gₐ ein und ordne nach r.
Hilfe 2
Wann hat eine Gleichung der Form (Zahl) · r = 0 genau eine Lösung, wann unendlich viele?
b) Begründe, dass es keinen Wert von a gibt, für den gₐ parallel zu E ist und keinen Punkt mit E gemeinsam hat.
Hilfe 1
Welcher Punkt gehört zu jeder Geraden gₐ, egal wie a gewählt wird?
Hilfe 2
Liegt dieser Punkt in E?
Lösung zeigen
a) Lage mit Parameter: einsetzen, nach r ordnen, Fallunterscheidung nach a.
Für a ≠ 3 ist r = 0 die einzige Lösung: gₐ schneidet E im Punkt (1 | 0 | 2).
Für a = 3 gilt 0 = 0 für jedes r: g3 liegt in E.
b) Alle Geraden gₐ haben denselben Stützpunkt; liegt er in E, gibt es immer einen gemeinsamen Punkt.
Der Stützpunkt (1 | 0 | 2) gehört zu jeder Geraden gₐ und liegt in E, denn 2 − 0 + 8 = 10.
Jede Gerade gₐ hat also mindestens diesen Punkt mit E gemeinsam; ohne gemeinsamen Punkt kann keine sein.
2.7Würfel
Das Raumbild zeigt einen Würfel mit den Ecken A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), C(4 | 4 | 0), D(0 | 4 | 0), E(0 | 0 | 4), F(4 | 0 | 4), G(4 | 4 | 4) und H(0 | 4 | 4). Die Ebene T geht durch B, D und E und hat die Gleichung x + y + z = 4; das getönte Dreieck BDE liegt in T.
Material
a) Begründe mithilfe des Raumbilds, dass die Gerade durch F und H parallel zu T verläuft oder in T liegt. Entscheide durch eine Rechnung, welcher der beiden Fälle vorliegt.
Hilfe 1
Suche im Dreieck BDE eine Kante, die in dieselbe Richtung zeigt wie FH.
Hilfe 2
Für die Rechnung: Normalenvektor und Richtungsvektor, dann eine Punktprobe.
b) Die Raumdiagonale von A nach G schneidet T. Bestimme den Schnittpunkt und gib an, welchen Bruchteil der Raumdiagonale man von A aus bis zum Schnittpunkt zurücklegt.
Hilfe 1
Stelle die Gerade durch A und G mit A als Stützpunkt auf.
Hilfe 2
Was sagt der Wert von r über die Lage zwischen A und G?
Lösung zeigen
a) Am Bild eine parallele Kante in T finden, dann mit n · u und Punktprobe rechnen.
Im Würfel ist FH parallel zu BD: Beide sind Diagonalen gegenüberliegender Quadrate und haben die Richtung −440. BD liegt in T, also ist FH parallel zu T oder liegt in T.
Rechnung: 111 · −440 = −4 + 4 + 0 = 0, und für F gilt 4 + 0 + 4 = 8 ≠ 4. F liegt nicht in T, also ist die Gerade durch F und H parallel zu T.
b) Schnittpunkt wie gewohnt; der Wert von r mit AG als Richtung ist der Bruchteil.
Von A aus liegt der Schnittpunkt nach einem Drittel der Raumdiagonale.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Eine Überwachungskamera hängt im Punkt K und ist in Richtung v ausgerichtet. Die Hauswand gegenüber liegt in der Ebene W. Welche Stelle der Wand zeigt die Bildmitte? (2) An einer schrägen Wand in der Ebene S soll eine Stange vom Punkt P aus in Richtung u befestigt werden. Sie soll die Wand nirgends berühren, auch wenn man sie verlängert. Ist die Richtung geeignet? (3) Zwei Dachflächen eines Hauses liegen in den Ebenen D und F, beide in Koordinatenform gegeben. Bilden sie zusammen eine durchgehend ebene Fläche?
Hilfe 1
Frage bei jeder Frage: Wie viele gemeinsame Punkte sind gewünscht, einer, keiner oder alle?
Hilfe 2
Bei (3) geht es um zwei Ebenen, nicht um eine Gerade.
b) Ein Kabel wird vom Punkt K(4 | 3 | 1) im Inneren eines Anbaus geradlinig in Richtung u = 122 nach draußen geführt (1 LE = 1 m). Die Dachfläche ist das Rechteck mit 0 ≤ x ≤ 6 und 0 ≤ y ≤ 10 in der Ebene D: x + 2z = 14. Wo tritt das Kabel durch das Dach? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: Die Dachfläche ist … Der Punkt muss also … 3. Rechnen: Punkt des Kabels (…); einsetzen: … ⇔ r = …; Punkt … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche zwei Objekte treffen sich, wenn das Kabel durch das Dach tritt?
Hilfe 2
Ist jeder Punkt der Ebene D auch ein Punkt des Dachs?
Hilfe 3
Prüfe am Ende, ob die Koordinaten zum Rechteck passen.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Fälle: ein Schnittpunkt, kein gemeinsamer Punkt, dieselbe Ebene.
(1) Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden x = OK + r · v mit W. Ansatz: Geradenpunkt in W einsetzen; nur r ≥ 0 zählt, die Kamera schaut nach vorn.
(2) Gesucht ist, ob die Gerade durch P mit Richtung u parallel zu S ist, ohne in S zu liegen. Ansatz: n · u = 0 prüfen und Punktprobe mit P.
(3) Gesucht ist, ob D und F identisch sind. Ansatz: Normalenvektoren vergleichen und prüfen, ob eine Gleichung ein Vielfaches der anderen ist.
b) „Wo tritt … durch“: Durchstoßpunkt. Nicht da steht, dass er im Rechteck liegen muss.
1. Gefragt ist der Durchstoßpunkt der Kabelgeraden mit der Dachebene D.
2. Die Dachfläche ist begrenzt. Der Punkt muss also 0 ≤ x ≤ 6 und 0 ≤ y ≤ 10 erfüllen; außerdem zählt nur r ≥ 0.
3. Punkt des Kabels (4 + r | 3 + 2r | 1 + 2r); einsetzen: 4 + r + 2 · (1 + 2r) = 14 ⇔ 6 + 5r = 14 ⇔ r = 1,6; Punkt (5,6 | 6,2 | 4,2)
4. Das Kabel tritt im Punkt (5,6 | 6,2 | 4,2) durch das Dach, 4,2 m über dem Boden.
5. r = 1,6 ≥ 0, und x = 5,6 und y = 6,2 liegen in den Grenzen der Dachfläche. Probe: 5,6 + 2 · 4,2 = 14. Das passt.
3.2Fahnenmast
Auf einem Hof steht ein 6 m hoher Fahnenmast vom Fußpunkt F(2 | 2 | 0) bis zur Spitze M(2 | 2 | 6). Der Hof liegt in der x-y-Ebene, 1 LE entspricht 1 m. Die Vorderwand einer Garage ist das Rechteck in der Ebene y = 8 mit 0 ≤ x ≤ 6 und 0 ≤ z ≤ 3. Am Vormittag fällt das Sonnenlicht in Richtung v = 13−2. Das Material zeigt Mast und Wand.
Material
a) Bestimme, wo der Schatten der Mastspitze liegt.
Hilfe 1
Welche Gerade beschreibt den Lichtstrahl, der die Spitze streift?
Hilfe 2
Steht zwischen der Spitze und dem Boden etwas im Weg?
Hilfe 3
Vergleiche, welche Fläche der Strahl zuerst erreicht.
b) Beschreibe, wie der Schatten des ganzen Mastes verläuft, und berechne seine Gesamtlänge.
Hilfe 1
Wo beginnt der Schatten eines Mastes, der auf dem Boden steht?
Hilfe 2
Wohin würde der Schatten auf dem Boden ohne die Wand laufen?
Hilfe 3
Der Schatten besteht aus zwei geraden Stücken.
c) Später steht die Sonne höher. Das Licht fällt dann in Richtung 13−k mit k > 2. Bestimme, für welche Werte von k der Schatten der Mastspitze auf dem Hof vor der Wand liegt, und erläutere, was ein größeres k für den Sonnenstand bedeutet.
Hilfe 1
Wo trifft der Strahl durch M den Boden, abhängig von k?
Hilfe 2
Welche Koordinate entscheidet, ob ein Punkt vor der Wand liegt?
Lösung zeigen
a) Schatten eines Punktes: Schnitt des Lichtstrahls mit der Fläche, die er zuerst trifft. Nicht da steht, dass die Wand im Weg sein kann.
Lichtstrahl durch M: (2 + r | 2 + 3r | 6 − 2r) mit r ≥ 0
Boden: 6 − 2r = 0 ⇔ r = 3, Punkt (5 | 11 | 0). Wandebene: 2 + 3r = 8 ⇔ r = 2, Punkt (4 | 8 | 2)
Der Strahl erreicht die Wandebene früher (r = 2 < 3), und der Punkt (4 | 8 | 2) liegt auf der Wand, denn 0 ≤ 4 ≤ 6 und 0 ≤ 2 ≤ 3.
Der Schatten der Spitze liegt an der Garagenwand, 2 m über dem Boden, im Punkt M′(4 | 8 | 2).
b) Geknickter Schatten: Stück auf dem Boden bis zur Wand, Stück an der Wand. Zwei Längen addieren.
Der Schatten beginnt am Fußpunkt F. Auf dem Boden läuft er in Richtung des Bodenpunkts (5 | 11 | 0) aus a), also in Richtung 130, bis zur Wand: 2 + 3t = 8 ⇔ t = 2, Knickpunkt K(4 | 8 | 0).
Dort knickt er ab und läuft an der Wand senkrecht nach oben bis M′(4 | 8 | 2).
Länge: |FK| = |260| = √40 ≈ 6,32 m, an der Wand 2 m, zusammen rund 8,32 m.
c) Parameter in der Lichtrichtung: Bodenpunkt in Abhängigkeit von k, dann eine Ungleichung für y.
Strahl durch M: (2 + r | 2 + 3r | 6 − kr); Boden: 6 − kr = 0 ⇔ r = 6k, Punkt (2 + 6k | 2 + 18k | 0)
Vor der Wand heißt y ≤ 8: 2 + 18k ≤ 8 ⇔ 18k ≤ 6 ⇔ k ≥ 3.
Für k ≥ 3 liegt der Schatten der Spitze auf dem Hof, für k = 3 genau am Fuß der Wand.
Ein größeres k bedeutet einen steiler nach unten gerichteten Lichtstrahl: Die Sonne steht höher, die Schatten werden kürzer.
3.3Seilkamera
In einem Stadion fährt eine Kamera an Seilen geradlinig über dem Spielfeld. Das Spielfeld liegt in der x-y-Ebene, 1 LE entspricht 1 m. Das Dach über einer Tribüne ist eine ebene Fläche in der Ebene D: −y + 4z = 60; es reicht von y = 40 bis y = 60, jeweils für 0 ≤ x ≤ 100. Die Kamera soll vom Punkt A(30 | 20 | 15) zum Punkt B(40 | 55 | 32) fahren.
a) Untersuche, ob die Kamera auf dieser Fahrt das Dach berührt.
Hilfe 1
Welche Punkte der Geraden durch A und B gehören zur Fahrt?
Hilfe 2
Nicht jeder Punkt der Ebene D gehört zum Dach.
Hilfe 3
Prüfe am Ende r und die Lage des Punktes.
b) Der Endpunkt soll auf B*(40 | 55 | h) abgesenkt werden. Ermittle, für welche Höhen h die Kamera auf der ganzen Fahrt unter dem Dach bleibt, und begründe dein Vorgehen.
Hilfe 1
Was gilt für den Ausdruck −y + 4z bei Punkten unter dem Dach?
Hilfe 2
Wo muss der Endpunkt liegen, damit die Fahrt die Dachebene nicht kreuzt?
Lösung zeigen
a) Strecke gegen begrenzte Fläche: Schnitt mit der Ebene, dann 0 ≤ r ≤ 1 und die Dachgrenzen prüfen.
Fahrt: x = 302015 + r · 103517 mit 0 ≤ r ≤ 1, Punkt (30 + 10r | 20 + 35r | 15 + 17r)
Punkt ≈ (36,06 | 41,21 | 25,30). Es gilt 0 ≤ r ≤ 1, y ≈ 41,21 liegt zwischen 40 und 60 und x ≈ 36,06 zwischen 0 und 100.
Die Kamera stößt nach rund 61 % der Fahrt an das Dach, kurz hinter seiner Vorderkante.
b) „Unter dem Dach bleiben“: beide Enden auf derselben Seite der Ebene, also eine Ungleichung für B*.
Unter dem Dach heißt −y + 4z < 60. A erfüllt das: −20 + 60 = 40 < 60.
B* muss ebenfalls darunter liegen: −55 + 4h < 60 ⇔ h < 28,75.
Liegen beide Enden auf derselben Seite der Ebene, trifft die Fahrt die Ebene nicht. Für 0 < h < 28,75 bleibt die Kamera auf der ganzen Fahrt unter dem Dach; liegt B* höher, ist der Endpunkt selbst schon auf oder über dem Dach.
3.4Handlauf
Eine gerade Treppe steigt in y-Richtung an; ihre Stufenkanten liegen in der Ebene T: 3y − 4z = 0 (1 LE = 1 m). Die Treppe ist 1,2 m breit (0 ≤ x ≤ 1,2) und reicht von y = 0 bis y = 6. An der linken Seite ist ein Handlauf entlang der Geraden h: x = 000,9 + r · 043 montiert.
a) Ein Handwerker setzt h in die Gleichung von T ein und erhält −3,6 = 0. Er sagt: „Da habe ich mich verrechnet.“ Beurteile seine Aussage und deute das Ergebnis für den Handlauf.
Hilfe 1
Was bedeutet es, wenn beim Einsetzen eine falsche Aussage ohne r entsteht?
Hilfe 2
Vergleiche die Höhe von Handlauf und Treppe an derselben Stelle y.
b) An der rechten Seite wurde ein Handlauf entlang der Geraden k: x = 1,200,9 + s · 054 montiert. Untersuche die Lage von k zu T und beurteile, ob k als Handlauf für diese Treppe geeignet ist.
Hilfe 1
Ist k parallel zu T? Wenn nicht, wo liegt der Schnittpunkt im Vergleich zur Treppe?
Hilfe 2
Wie hoch liegt k über den Stufenkanten am Anfang und am Ende der Treppe?
Lösung zeigen
a) Eine fertige Rechnung beurteilen: Die falsche Aussage ist kein Fehler, sondern der Fall „parallel“.
Das ist kein Rechenfehler, sondern das Ergebnis: h hat keinen Punkt mit T gemeinsam, der Handlauf ist parallel zur Treppenebene.
Für den Handlauf heißt das: Er liegt überall 0,9 m senkrecht über den Stufenkanten. An der Stelle y = 4r liegt die Treppe bei z = 0,75 · 4r = 3r, der Handlauf bei 0,9 + 3r.
b) Lage untersuchen und den Schnittpunkt mit dem Treppenbereich vergleichen; für die Eignung die Höhe über den Stufen an beiden Enden.
03−4 · 054 = 15 − 16 = −1 ≠ 0: k ist nicht parallel zu T.
Einsetzen: 3 · 5s − 4 · (0,9 + 4s) = 0 ⇔ −s − 3,6 = 0 ⇔ s = −3,6. Der Schnittpunkt (1,2 | −18 | −13,5) liegt weit vor dem Treppenanfang; an der Treppe selbst trifft k die Stufen nicht.
Höhe über den Stufenkanten: Die Treppe liegt bei z = 0,75y. Am Anfang (y = 0, s = 0) liegt k 0,9 m darüber. Am oberen Ende (y = 6, s = 1,2) liegt k bei z = 0,9 + 4 · 1,2 = 5,7, die Treppe bei 4,5: 1,2 m darüber.
k steigt steiler als die Treppe, seine Höhe über den Stufen wächst von 0,9 m auf 1,2 m. Als Handlauf ist k nicht geeignet; er sollte überall gleich hoch über den Stufen verlaufen.
Klausuraufgabe
4.1Gleitschirm
Ein Gleitschirmflieger fliegt in einem Tal auf einen Hang zu. Im Koordinatensystem beschreibt die x-y-Ebene den Talboden, 1 LE entspricht 100 m. Der Hang liegt in der Ebene E: 2x + y − 2z = 10. Bei der ersten Messung ist der Flieger im Punkt P(0 | 0 | 6), genau eine Minute später im Punkt Q(3 | 4 | 5,5). Er fliegt geradlinig mit gleichbleibender Geschwindigkeit.
a) Bestimme eine Gleichung der Geraden g, auf der der Flieger fliegt. [Zur Kontrolle: g: x = 006 + r · 68−1 ist eine mögliche Gleichung.]2 BE
Hilfe 1
Zwei Punkte der Flugbahn sind bekannt.
Hilfe 2
Ein Vielfaches eines Richtungsvektors ist wieder ein Richtungsvektor.
b) Berechne die Geschwindigkeit des Fliegers in km/h.2 BE
Hilfe 1
Welche Strecke legt der Flieger in einer Minute zurück?
Hilfe 2
Denke an die Längeneinheit.
c) Der Flieger behält seine Flugrichtung bei. Berechne den Punkt S, in dem er den Hang erreichen würde, und gib an, wie lange er dafür ab Q brauchen würde. [Zur Kontrolle: S(6 | 8 | 5)]3 BE
Hilfe 1
Welche Objekte treffen sich, wenn der Flieger den Hang erreicht?
Hilfe 2
Welche Werte von r gehören zu P und zu Q?
d) Bei Q ändert der Flieger seine Richtung und fliegt in gleicher Höhe parallel zum Hang weiter. Erläutere, warum w = 1−20 ein möglicher Richtungsvektor der neuen Flugbahn ist, und begründe, dass der Flieger auf dieser Bahn den Hang nicht erreicht.4 BE
Hilfe 1
Was bedeutet „in gleicher Höhe“ für den Richtungsvektor?
Hilfe 2
Was bedeutet „parallel zum Hang“ für den Richtungsvektor und den Normalenvektor?
Hilfe 3
Reicht die Richtung allein, um zu zeigen, dass die Bahn den Hang nicht erreicht?
e) In einem Flugbericht steht ohne Erklärung: (I) 6 − r = 0 ⇔ r = 6 (II) T(36 | 48 | 0) (III) 1 < 6 Erläutere die Zeilen (I) bis (III) im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Welche Koordinate von g wird in (I) null gesetzt?
Hilfe 2
Woher stammt die Zahl 1 in (III)?
Lösung zeigen
a) Gerade durch zwei Punkte; die Kontrolle zeigt einen vervielfachten Richtungsvektor.
PQ = 34−0,5 = 0,5 · 68−1, also ist 68−1 ein Richtungsvektor.
g: x = 006 + r · 68−1
b) Weg in einer Minute ist die Länge von PQ; 1 LE sind 100 m.
|PQ| = √(9 + 16 + 0,25) = √25,25 ≈ 5,025 LE, also rund 502,5 m in einer Minute.
502,5 m · 60 = 30 150 m pro Stunde: Der Flieger ist rund 30,1 km/h schnell.
c) Durchstoßpunkt von g mit E; die Zeit folgt aus den Werten von r.
Zu P gehört r = 0, zu Q r = 0,5, zu S r = 1. Eine Minute entspricht 0,5 in r: Der Flieger erreicht den Hang eine Minute nach Q, 500 m über dem Talboden.
d) Zwei Bedingungen an w übersetzen; dann Punktprobe mit Q, damit die Bahn nicht im Hang liegt.
Gleiche Höhe: Die z-Koordinate von w ist 0. Parallel zum Hang: 21−2 · 1−20 = 2 − 2 + 0 = 0.
Neue Bahn: x = 345,5 + s · 1−20. Q liegt nicht in E: 2 · 3 + 4 − 2 · 5,5 = −1 ≠ 10.
Die Bahn ist parallel zu E und hat keinen Punkt mit E gemeinsam: Der Flieger erreicht den Hang auf dieser Bahn nicht.
e) Eine fertige Rechnung deuten: jeden Schritt in der Sache erklären, den Vergleich der beiden Werte von r als Reihenfolge lesen.
(I) Die z-Koordinate von g wird null gesetzt: Gesucht ist, wann der Flieger auf seiner alten Bahn den Talboden erreichen würde; das wäre bei r = 6.
(II) T ist dieser Punkt auf dem Talboden.
(III) Den Hang erreicht er schon bei r = 1, den Talboden erst bei r = 6. Er träfe also zuerst auf den Hang und käme nie bis T.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Wie Geraden und Ebenen zueinander liegen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.