Der Normalenvektor und die Koordinatenform der Ebene
Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Ebene kennst du in Parameterform: ein Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren. Jetzt kommt eine zweite Beschreibung dazu, die ohne Parameter auskommt. Ihr Schlüssel ist ein einziger Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Ein Normalenvektorn einer Ebene E ist ein Vektor, der nicht der Nullvektor ist und senkrecht auf jedem Vektor steht, der in E liegt. Dafür reicht es, wenn er senkrecht auf beiden Richtungsvektoren steht.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Tischplatte liegt waagerecht. Gib einen Normalenvektor der Ebene an, in der sie liegt. Gibt es nur einen?
Lösung zeigen
Zum Beispiel 001. Jedes Vielfache außer dem Nullvektor ist ebenso ein Normalenvektor, etwa 005 oder 00−1.
2. Den Normalenvektor bestimmen
Senkrecht heißt: Skalarprodukt null. Für die Richtungsvektoren u und v entsteht ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten.
n · u = 0 und n · v = 0
Beispiel: E: x = 112 + r · 12−1 + s · 201
Ansatz n = n1n2n3: n1 + 2n2 − n3 = 0 und 2n1 + n3 = 0
Eine Koordinate frei wählen, hier n1 = 2: dann n3 = −4 und 2 + 2n2 + 4 = 0, also n2 = −3
n = 2−3−4. Probe: 2 − 6 + 4 = 0 und 4 + 0 − 4 = 0
Folgt aus den Gleichungen, dass eine Koordinate null sein muss, darfst du gerade diese nicht frei wählen. Wähle dann eine andere.
✎ Mini-Aufgabe: Was ändert sich, wenn du im Beispiel n1 = 4 statt n1 = 2 wählst?
Lösung zeigen
Du erhältst 4−6−8 = 2 · 2−3−4. Das ist dieselbe Richtung, nur doppelt so lang. Das Gleichungssystem legt nur die Richtung fest, deshalb darfst du eine Koordinate frei wählen.
3. Normalenform und Koordinatenform
Ein Punkt X liegt genau dann in E, wenn der Vektor vom Stützpunkt A nach X senkrecht auf n steht. Als Gleichung ist das die Normalenform. Rechnest du das Skalarprodukt aus, entsteht die Koordinatenform (Koordinatengleichung) ax + by + cz = d.
Kurzweg: Die Koeffizienten sind n; d erhältst du, indem du A in 2x − 3y − 4z einsetzt.
Die Punktprobe ist jetzt reines Einsetzen. P(3 | 1 | 2): 6 − 3 − 8 = −5 ≠ −9, P liegt nicht in E. Q(−1 | 1 | 1): −2 − 3 − 4 = −9, Q liegt in E.
✎ Mini-Aufgabe: Lies aus der Gleichung 3x − z = 5 einen Normalenvektor ab.
Lösung zeigen
30−1. Weil y nicht vorkommt, ist die zweite Koordinate null.
4. Zurück zur Parameterform
Aus einer Koordinatengleichung suchst du drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen. Am bequemsten sind oft die Spurpunkte (Abschnitt 5). Einer wird Stützpunkt, die Verbindungsvektoren werden Richtungsvektoren.
Beispiel: E: 2x + 3y + 6z = 12
Punkte: A(6 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0), C(0 | 0 | 2)
E: x = 600 + r · −640 + s · −602
Probe: 236 · −640 = 0 und 236 · −602 = 0
5. Spurpunkte und besondere Lagen
Ein Spurpunkt ist ein Schnittpunkt der Ebene mit einer Koordinatenachse. Auf der x-Achse sind y und z null, also bleibt ax = d. Die drei Spurpunkte bilden das Spurdreieck: das Stück der Ebene, das die Koordinatenebenen herausschneiden. Eine Spurgerade ist die Schnittgerade mit einer Koordinatenebene; in der xy-Ebene setzt du z = 0 und erhältst ax + by = d.
Sind alle drei Spurpunkte (A | 0 | 0), (0 | B | 0), (0 | 0 | C) bekannt, gilt xA + yB + zC = 1. Mit dem Hauptnenner malgenommen ist das wieder eine Koordinatengleichung.
Eine Variable fehlt, etwa 2x + 3y = 6: E ist parallel zu dieser Achse, hier zur z-Achse. Es gibt nur zwei Spurpunkte.
Zwei Variablen fehlen, etwa z = 4: E ist parallel zu einer Koordinatenebene, hier zur xy-Ebene.
d = 0, etwa x − 2y + z = 0: Der Ursprung liegt in E.
Links das Spurdreieck von 2x + 3y + 6z = 12. Rechts ein Stück der Ebene x + y = 4; sie ist parallel zur z-Achse und hat keinen Spurpunkt auf der z-Achse.
✎ Mini-Aufgabe: Beschreibe die Lage der Ebene x + y = 4 ohne Bild und gib ihre Spurpunkte an.
Lösung zeigen
z fehlt, also ist die Ebene parallel zur z-Achse: Sie steht senkrecht auf der xy-Ebene. Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 4 | 0); die z-Achse trifft sie nicht, denn x = y = 0 ergibt 0 = 4.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
steht senkrecht auf der Fläche, Lot, Blickrichtung senkrecht zur Fläche
Richtung eines Normalenvektors
Vorzeichen: nach außen oder nach innen?
liegt auf der Fläche, gehört zur Dachfläche
Punktprobe in der Koordinatengleichung
Die Fläche ist begrenzt, die Ebene nicht.
liegt über oder unter der Fläche
z von P mit der Höhe der Ebene an derselben Stelle (x | y) vergleichen
nur sinnvoll, wenn z die Höhe ist
Schnittpunkte mit den Achsen, Achsenabschnitte
Spurpunkte: zwei Koordinaten null
Fehlt eine Variable, fehlt ein Spurpunkt.
wo die verlängerte Fläche den Boden trifft
Spurgerade: z = 0 setzen
Der Boden muss die xy-Ebene sein.
steht senkrecht auf dem Boden, lotrecht
z fehlt in der Gleichung
parallel zur z-Achse
waagerecht
Gleichung der Form z = c
Normalenvektor 001
beschreiben dieselbe Ebene
Normalenvektoren sind Vielfache, und ein Punkt liegt in beiden
Gleiche Normalenvektoren allein reichen nicht.
7. Was nirgends steht
Eine Ebene ist unbegrenzt, eine Dachfläche oder Böschung nicht. Erfüllt ein Punkt die Gleichung, musst du noch prüfen, ob er innerhalb der Fläche liegt.
Ein Normalenvektor ist nicht eindeutig: Jedes Vielfache außer dem Nullvektor geht. Im Sachzusammenhang zählt oft trotzdem das Vorzeichen (nach außen, nach oben, zur Leinwand hin).
Auch die Koordinatengleichung ist nicht eindeutig: 2x + y = 4 und 4x + 2y = 8 beschreiben dieselbe Ebene.
Fehlt eine Variable, ist ihr Koeffizient null. Im Raum ist 2x + 3y = 6 eine Ebene, keine Gerade.
Ist z die Höhe, liegt der Boden in der xy-Ebene, und „oben“ heißt größeres z.
8. Ein Beispiel aus der Sache
Ein Kiosk hat ein rechteckiges Pultdach mit den Ecken P1(0 | 0 | 3), P2(0 | 5 | 3), P3(4 | 5 | 2) und P4(4 | 0 | 2) (in m, z ist die Höhe). Ein Schild soll im Punkt Q(2 | 6 | 2,5) am Dach befestigt werden. Liegt Q auf dem Dach?
Was ist gefragt? Ob Q in der Ebene des Daches liegt und ob Q innerhalb des Rechtecks P1P2P3P4 liegt.
Was steht nicht da? Das Dach ist nur das Stück der Ebene mit 0 ≤ x ≤ 4 und 0 ≤ y ≤ 5.
RechnenP1P2 = 050, P1P4 = 40−1. Aus 5n2 = 0 und 4n1 − n3 = 0 folgt n = 104. P1 einsetzen: 0 + 12 = 12, also E: x + 4z = 12. Q: 2 + 10 = 12, Q liegt in E. Aber y = 6 > 5.
Antwortsatz Q liegt in der Ebene des Daches, aber 1 m neben dem Dach. Dort kann das Schild nicht am Dach befestigt werden.
Prüfen P3 erfüllt die Gleichung: 4 + 8 = 12. Und n · P1P4 = 4 − 4 = 0. Das passt.
9. Typische Fehler
Alle Koordinaten von n null gesetzt: Der Nullvektor ist kein Normalenvektor.
Eine Koordinate frei gewählt, die null sein muss: Das LGS gerät in einen Widerspruch. Dann eine andere wählen.
d vergessen oder mit einem Punkt bestimmt, der nicht in E liegt.
Spurpunkt verwechselt: Der Spurpunkt auf der x-Achse von 3x + 4y + 6z = 12 ist (4 | 0 | 0), nicht (0 | 0 | 4).
Rechnen
2.1Normalenvektor
Eine Ebene E wird von den Richtungsvektoren u und v aufgespannt.
a) Bestimme einen Normalenvektor von E für u = 210 und v = 103.
Hilfe 1
Welche Bedingung muss n gegenüber u und v erfüllen?
Hilfe 2
Zwei Skalarprodukte gleich null ergeben zwei Gleichungen mit drei Unbekannten.
Hilfe 3
Wähle eine Koordinate frei und berechne die anderen.
b) Bestimme einen Normalenvektor von E für u = 1−12 und v = 31−2.
Hilfe 1
Stelle die beiden Gleichungen auf und addiere sie.
Hilfe 2
Was folgt dann für n1? Welche Koordinate darfst du danach frei wählen?
Lösung zeigen
a) „Normalenvektor“: senkrecht auf beiden Richtungsvektoren, also zwei Skalarprodukte gleich null.
Ansatz n = n1n2n3: 2n1 + n2 = 0 und n1 + 3n3 = 0
Wähle n1 = 3: n2 = −6 und n3 = −1, also 3−6−1 oder ein Vielfaches
b) Wie in a); das LGS zwingt hier eine Koordinate auf null.
n1 − n2 + 2n3 = 0 und 3n1 + n2 − 2n3 = 0
Addition: 4n1 = 0, also n1 = 0 und dann n2 = 2n3.
Wähle n3 = 1: 021 oder ein Vielfaches
Probe: 0 − 2 + 2 = 0 und 0 + 2 − 2 = 0
2.2Von der Parameterform zur Koordinatenform
Gegeben ist die Ebene E: x = 3−12 + r · 2−13 + s · 14−2.
a) Bestimme eine Koordinatengleichung von E.
Hilfe 1
Was brauchst du für eine Koordinatengleichung außer einem Punkt?
Hilfe 2
Löse die erste Gleichung des LGS nach n2 auf und setze in die zweite ein.
Hilfe 3
Für d setzt du den Stützpunkt ein.
b) Prüfe, ob die Punkte P(6 | 2 | 3) und Q(1 | −3 | 3) in E liegen.
Hilfe 1
Mit der Koordinatengleichung reicht Einsetzen.
Lösung zeigen
a) Koordinatenform gesucht: erst Normalenvektor über das LGS, dann Stützpunkt einsetzen.
2n1 − n2 + 3n3 = 0 und n1 + 4n2 − 2n3 = 0
Aus der ersten Gleichung n2 = 2n1 + 3n3, eingesetzt: 9n1 + 10n3 = 0. Wähle n1 = 10: n3 = −9 und n2 = −7.
b) Spurdreieck: die drei Spurpunkte eintragen und verbinden.
S1, S2 und S3 eintragen und verbinden.
c) Schnitt mit der xy-Ebene: Spurgerade, z = 0.
In der xy-Ebene ist z = 0: 3x + 4y = 12 (mit z = 0).
Als Parameterform durch S1 und S2: x = 400 + t · −430. Beide Schreibweisen sind richtig.
2.5Von der Koordinatenform zur Parameterform
a) Bestimme eine Parameterform der Ebene E: 2x − y + 4z = 8.
Hilfe 1
Für eine Parameterform brauchst du drei Punkte der Ebene, die nicht auf einer Geraden liegen.
Hilfe 2
Welche Punkte von E finde am schnellsten?
b) Bestimme eine Parameterform der Ebene F: x + 2y = 6.
Hilfe 1
Wie viele Spurpunkte hat F?
Hilfe 2
Welche Werte darf z annehmen, wenn x + 2y = 6 erfüllt ist?
Lösung zeigen
a) Umkehrung: drei Punkte der Ebene suchen, dann Stützpunkt und zwei Richtungsvektoren.
Drei Punkte von E, zum Beispiel die Spurpunkte A(4 | 0 | 0), B(0 | −8 | 0), C(0 | 0 | 2)
E: x = 400 + r · −4−80 + s · −402
Probe: 2−14 · −4−80 = 0 und 2−14 · −402 = 0. Jede andere Wahl dreier Punkte von E, die nicht auf einer Geraden liegen, ist ebenso richtig.
b) z fehlt: Nur zwei Spurpunkte, der dritte Punkt entsteht durch ein beliebiges z.
F hat nur zwei Spurpunkte: A(6 | 0 | 0), B(0 | 3 | 0). Weil z fehlt, liegt mit A auch C(6 | 0 | 1) in F.
F: x = 600 + r · −630 + s · 001
Ohne Taschenrechner
2.6Zwei Gleichungen, eine Ebene
Zeige, dass E1: x = 111 + r · 10−1 + s · 02−1 und E2: 2x + y + 2z = 5 dieselbe Ebene beschreiben.
Hilfe 1
Was muss für die Richtungsvektoren von E1 und den Normalenvektor von E2 gelten?
Hilfe 2
Reicht das schon? Denke an zwei parallele Ebenen.
Lösung zeigen
Zwei Bedingungen: gleiche Stellung (Richtungsvektoren senkrecht zu n) und ein gemeinsamer Punkt.
212 · 10−1 = 2 − 2 = 0 und 212 · 02−1 = 2 − 2 = 0: Beide Richtungsvektoren von E1 stehen senkrecht auf dem Normalenvektor von E2.
Stützpunkt von E1 in E2: 2 + 1 + 2 = 5.
E1 und E2 haben dieselbe Stellung und einen gemeinsamen Punkt, also sind sie gleich. Ebenso richtig: aus E1 eine Koordinatengleichung bestimmen und mit E2 vergleichen.
2.7Gleichung aus dem Bild
Das Material zeigt das Spurdreieck einer Ebene E.
Material
a) Bestimme eine Koordinatengleichung von E.
Hilfe 1
Lies die Koordinaten der drei Spurpunkte ab.
Hilfe 2
Setze jeden Spurpunkt in ax + by + cz = d ein; d darfst du geschickt wählen.
b) Die Ebene F schneidet die x-Achse und die y-Achse in denselben Punkten wie E und ist parallel zur z-Achse. Gib eine Koordinatengleichung von F an.
Hilfe 1
Was bedeutet „parallel zur z-Achse“ für die Gleichung?
Lösung zeigen
a) Spurpunkte ablesen, dann rückwärts zur Gleichung.
Ansatz ax + by + cz = 12: 2a = 12, 4b = 12, 3c = 12, also a = 6, b = 3, c = 4
E: 6x + 3y + 4z = 12. Ebenso richtig: x2 + y4 + z3 = 1 oder der Weg über eine Parameterform.
b) Parallel zur z-Achse: z fehlt in der Gleichung.
z fehlt: Ansatz ax + by = d. Mit S1 und S2: F: 2x + y = 4 (Probe: 4 = 4 und 4 = 4).
2.8Besondere Lagen und ein Parameter
a) Beschreibe die besondere Lage der Ebenen E1: z = 2, E2: y − 2z = 4 und E3: x − 2y + z = 0 im Koordinatensystem.
Hilfe 1
Welche Variablen fehlen in der Gleichung?
Hilfe 2
Was bedeutet d = 0?
b) Gegeben ist E: 3x − y + 2z = 5. Bestimme a so, dass der Vektor a−24 ein Normalenvektor von E ist.
Hilfe 1
Welche Normalenvektoren hat E außer dem, den man abliest?
c) Bestimme k so, dass der Punkt P(1 | k | 2) in E liegt.
Hilfe 1
Setze P in die Gleichung ein; k bleibt als Unbekannte stehen.
Lösung zeigen
a) Besondere Lage: fehlende Variablen und d = 0 lesen.
E1: x und y fehlen, also parallel zur xy-Ebene, 2 Einheiten darüber; sie schneidet nur die z-Achse, in (0 | 0 | 2).
E2: x fehlt, also parallel zur x-Achse; Spurpunkte (0 | 4 | 0) und (0 | 0 | −2).
E3: d = 0, der Ursprung liegt in E3; alle drei Achsen schneidet sie im Ursprung.
b) Normalenvektoren von E sind die Vielfachen von 3−12.
a−24 muss ein Vielfaches von 3−12 sein. Aus −2 = 2 · (−1) und 4 = 2 · 2 folgt der Faktor 2, also a = 6.
c) Punktprobe mit Unbekannter: einsetzen und nach k auflösen.
3 − k + 4 = 5 ⇔ k = 2
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Dach hat die Eckpunkte A, B, C und D. Ein Handwerker will wissen, ob ein Punkt K auf dieser Dachfläche liegt. (2) Ein Hang wird durch eine Koordinatengleichung beschrieben; z ist die Höhe. Gefragt ist, entlang welcher Linie die Hangebene den flachen Talboden in der Höhe 0 trifft. (3) Eine Leuchte soll senkrecht auf eine schräge Tafel scheinen. Gefragt ist die Richtung, in die sie zeigen muss.
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Punkt, eine Linie oder eine Richtung?
Hilfe 2
„auf dieser Dachfläche“: Ist das Dach so groß wie die Ebene?
Hilfe 3
„senkrecht auf eine Fläche“: Welcher Vektor steht senkrecht auf einer Ebene?
b) Ein Deich wird im Koordinatensystem beschrieben (Einheiten in m, z ist die Höhe). Seine Böschung ist ein Rechteck mit den Ecken A(0 | 0 | 0), B(0 | 50 | 0), C(6 | 50 | 3) und D(6 | 0 | 3). Ein Vermesser markiert den Punkt P(8 | 10 | 4). Liegt P auf der Böschung? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob P … und ob … 2. Was nicht dasteht: Die Ebene ist unbegrenzt, die Böschung … 3. Rechnen: Normalenvektor n = …; Koordinatengleichung …; P einsetzen: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„auf der Böschung“: Welche zwei Bedingungen muss P erfüllen?
Hilfe 2
Für die Ebene brauchst du zwei Kantenvektoren und einen Normalenvektor.
Hilfe 3
Für welche x-Werte gibt es die Böschung?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: Punktprobe mit Begrenzung, Spurgerade, Normalenvektor mit Vorzeichen.
(1) Gesucht: ob K in der Dachebene und im Viereck ABCD liegt. Ansatz: Normalenvektor und Koordinatengleichung aus drei Ecken, K einsetzen, dann prüfen, ob K innerhalb der Fläche liegt.
(2) Gesucht ist die Spurgerade in der xy-Ebene. Ansatz: z = 0 in die Koordinatengleichung einsetzen; übrig bleibt eine Gleichung in x und y.
(3) Gesucht ist ein Normalenvektor der Tafelebene, mit dem Vorzeichen, das zur Tafel hin zeigt.
b) Punktprobe und Begrenzung: P kann in der Ebene liegen und trotzdem neben der Böschung.
1. Gefragt ist, ob P die Koordinatengleichung der Böschungsebene erfüllt und ob P innerhalb des Rechtecks ABCD liegt.
2. Die Böschung ist nur das Stück der Ebene mit 0 ≤ x ≤ 6 und 0 ≤ y ≤ 50.
3. AB = 0500, AD = 603; n = 10−2; E: x − 2z = 0; P: 8 − 8 = 0, P liegt in E.
4. P liegt in der Ebene der Böschung, aber nicht auf der Böschung: Mit x = 8 liegt P jenseits der oberen Kante CD, in 4 m Höhe und damit höher als die Deichkrone (3 m).
5. Die Böschung endet in 3 m Höhe; ein Punkt in 4 m Höhe kann nicht auf ihr liegen. Das passt.
3.2Scheune mit Walmdach
Eine Scheune hat ein Walmdach (Einheiten in m, z ist die Höhe, der Boden liegt in der xy-Ebene). Die Traufe, die untere Dachkante, liegt in 4 m Höhe und hat die Ecken A(8 | 0 | 4), B(8 | 12 | 4), C(0 | 12 | 4) und D(0 | 0 | 4). Der First, die obere Dachkante, reicht von F1(4 | 3 | 8) bis F2(4 | 9 | 8). Das Material zeigt die Scheune; die Dachfläche ABF2F1 ist getönt.
Material
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Dachfläche ABF2F1 liegt.
Hilfe 1
Wähle zwei Kanten der Dachfläche als Richtungsvektoren.
Hilfe 2
Eine Kante verläuft in y-Richtung. Was folgt daraus für n2?
b) Begründe mithilfe der Gleichung und am Bauwerk, dass E parallel zur y-Achse verläuft.
Hilfe 1
Welche Variable fehlt in deiner Gleichung?
Hilfe 2
Welche Kanten der Dachfläche verlaufen in y-Richtung?
c) Ein Dachdecker sagt: „Die dreieckige Dachfläche BCF2 liegt ebenfalls in E, denn B und F2 erfüllen die Gleichung von E.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Stimmt die Begründung? Setze B und F2 in die Gleichung von E ein.
Hilfe 2
Wie viele Punkte braucht man, um eine Ebene festzulegen? Welcher Eckpunkt von BCF2 ist noch nicht geprüft?
Lösung zeigen
a) Ebene durch Punkte einer Fläche: zwei Kantenvektoren, Normalenvektor, Punkt einsetzen.
AB = 0120, AF1 = −434
12n2 = 0, also n2 = 0; −4n1 + 3n2 + 4n3 = 0, also n1 = n3. n = 101
A einsetzen: 8 + 4 = 12, also E: x + z = 12
Probe mit F2: 4 + 8 = 12
b) Besondere Lage an der Gleichung und am Bild begründen.
In x + z = 12 kommt y nicht vor: Liegt ein Punkt in E, dann auch jeder Punkt mit denselben x- und z-Werten und beliebigem y. E ist parallel zur y-Achse.
Am Bauwerk: Die Traufkante AB und der First F1F2 verlaufen beide in y-Richtung.
c) Die Aussage schließt von zwei Punkten auf eine ganze Fläche; entscheidend ist der dritte Eckpunkt.
B: 8 + 4 = 12 und F2: 4 + 8 = 12. Beide Punkte liegen in E, die Begründung stimmt so weit.
Zwei Punkte legen aber keine Ebene fest: B und F2 liegen auf der Kante BF2, und durch diese Kante gehen viele Ebenen. Entscheidend ist der dritte Eckpunkt C: 0 + 4 = 4 ≠ 12, C liegt nicht in E.
Die Aussage ist falsch: Die Dachfläche BCF2 liegt nicht in E. Im Bild stoßen die beiden Dachflächen an der Kante BF2 mit einem Knick zusammen. (BCF2 liegt in der Ebene 4y + 3z = 60.)
3.3Lesepult
Die Schreibfläche eines Lesepults ist ein Rechteck mit den Ecken A(0 | 0 | 10), B(6 | 0 | 10), C(6 | 4 | 13) und D(0 | 4 | 13) (Einheiten in dm, z ist die Höhe über dem Boden).
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Schreibfläche liegt.
Hilfe 1
Nimm zwei Kanten, die von A ausgehen.
Hilfe 2
Eine Kante verläuft in x-Richtung. Was folgt für n1?
b) Ein Strahler über dem Pult leuchtet in Richtung v = 01,5−2. Entscheide, ob das Licht senkrecht von oben auf die Schreibfläche fällt.
Hilfe 1
Welcher Vektor steht senkrecht auf der Schreibfläche?
Hilfe 2
Ist v ein Vielfaches davon?
Hilfe 3
Woran siehst du, ob das Licht nach unten geht?
c) Jemand behauptet: „001 ist ein Normalenvektor der Schreibfläche, weil sie nach oben zeigt.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Steht 001 senkrecht auf beiden Kanten?
Lösung zeigen
a) Ebene aus Eckpunkten: Kantenvektoren, Normalenvektor, Punkt einsetzen.
AB = 600, AD = 043
6n1 = 0 und 4n2 + 3n3 = 0; wähle n3 = 4: n = 0−34
A einsetzen: 0 + 0 + 40 = 40, also E: −3y + 4z = 40
Probe mit C: −12 + 52 = 40
b) Senkrecht zur Fläche heißt: Vielfaches des Normalenvektors. „von oben“ steckt im Vorzeichen.
v = −0,5 · 0−34: v ist ein Vielfaches des Normalenvektors, das Licht fällt senkrecht auf die Ebene.
Die z-Koordinate von v ist negativ: Das Licht geht nach unten, kommt also von oben auf die Schreibfläche.
Das Licht fällt senkrecht von oben auf die Schreibfläche.
c) Eine Behauptung über einen Normalenvektor prüft man mit den Skalarprodukten.
001 · AD = 3 ≠ 0: Der Vektor steht nicht senkrecht auf der Kante AD, er ist kein Normalenvektor.
001 ist nur bei einer waagerechten Fläche ein Normalenvektor. Die Schreibfläche ist geneigt: z steigt von 10 auf 13.
3.4Weinberg
Ein Weinberg ist annähernd eben. Im Koordinatensystem zeigt x nach Osten, y nach Norden, und z ist die Höhe über dem Meeresspiegel, alles in m. Vermessen wurden die Punkte A(0 | 0 | 112,4), B(50 | 0 | 117,3) und C(0 | 40 | 113,8) des Bodens. Der Weinberg reicht von x = 0 bis x = 50 und von y = 0 bis y = 40.
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E durch A, B und C und löse sie nach z auf.
Hilfe 1
Bilde AB und AC.
Hilfe 2
Wähle n3 = −1; dann bleiben zwei kurze Gleichungen.
b) Erläutere, was die Zahlen 0,098 und 0,035 in deiner Gleichung über den Weinberg aussagen.
Hilfe 1
Wie ändert sich z, wenn x um 1 größer wird und y gleich bleibt?
Hilfe 2
Wie gibt man eine Steigung in Prozent an?
c) Ein Messgerät hängt an einem Pfahl im Punkt P(20 | 30 | 115,9). Bestimme, wie hoch es über dem Boden hängt.
Hilfe 1
Wie hoch liegt der Boden genau unter P?
d) Ein Weg soll im Weinberg überall in 115 m Höhe verlaufen. Bestimme, wo er den Südrand (y = 0) und den Nordrand (y = 40) des Weinbergs erreicht.
Hilfe 1
Welche Bedingung erfüllen alle Punkte des Weges?
Hilfe 2
Setze diese Bedingung in die Gleichung ein; es bleibt eine Gleichung in x und y.
Hilfe 3
Liegen deine Punkte im Weinberg?
Lösung zeigen
a) Ebene durch drei Punkte, diesmal mit Dezimalzahlen.
A einsetzen: E: 0,098x + 0,035y − z = −112,4, umgeformt z = 112,4 + 0,098x + 0,035y
b) Koeffizienten in der nach z aufgelösten Gleichung deuten: Anstieg je Meter in eine Richtung.
Geht man 1 m nach Osten, steigt der Boden um 0,098 m, also mit 9,8 %. Geht man 1 m nach Norden, steigt er um 0,035 m, also mit 3,5 %.
Der Weinberg ist nach Osten steiler als nach Norden.
c) Höhe über dem Boden: z von P minus Bodenhöhe an derselben Stelle.
Bodenhöhe bei x = 20, y = 30: z = 112,4 + 1,96 + 1,05 = 115,41
Das Messgerät hängt 115,9 − 115,41 = 0,49 m, also rund 49 cm über dem Boden.
d) „überall in 115 m Höhe“: z = 115 einsetzen, dann die Ränder einsetzen und den Bereich prüfen.
z = 115: 0,098x + 0,035y = 2,6
y = 0: x = 2,6 : 0,098 ≈ 26,5; y = 40: 0,098x = 1,2, also x ≈ 12,2
Der Weg erreicht den Südrand bei (26,5 | 0 | 115) und den Nordrand bei (12,2 | 40 | 115). Beide x-Werte liegen zwischen 0 und 50, also im Weinberg.
3.5Freiluftkino
Für ein Freiluftkino steht eine rechteckige Leinwand auf ebenem Boden (Einheiten in m, z ist die Höhe, der Boden liegt in der xy-Ebene). Ihre Ecken sind A(6 | 0 | 0), B(0 | 8 | 0), C(0 | 8 | 5) und D(6 | 0 | 5). Die Zuschauer sitzen auf der Seite der Leinwand, auf der der Ursprung liegt.
a) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Leinwand liegt.
Hilfe 1
Nimm die Kanten AB und AD.
Hilfe 2
Was folgt aus der Kante AD für n3?
b) Erläutere, woran man an der Gleichung erkennt, dass die Leinwand senkrecht auf dem Boden steht.
Hilfe 1
Welche Variable fehlt?
Hilfe 2
Zu welcher Achse ist E dann parallel, und wie steht diese Achse zum Boden?
c) Ein Projektor soll das Bild von der Zuschauerseite aus senkrecht auf die Leinwand werfen. Gib einen Vektor für die Richtung des Lichts an und begründe deine Wahl.
Hilfe 1
„senkrecht auf die Leinwand“: Welcher Vektor?
Hilfe 2
Der Vektor und sein Gegenvektor kommen in Frage. Welcher zeigt von den Zuschauern zur Leinwand?
Hilfe 3
Setze den Ursprung in 4x + 3y ein und vergleiche mit 24.
Lösung zeigen
a) Ebene aus Eckpunkten wie in 3.3 a.
AB = −680, AD = 005
5n3 = 0, also n3 = 0; −6n1 + 8n2 = 0; wähle n1 = 4: n = 430
A einsetzen: 24, also E: 4x + 3y = 24
b) Fehlende Variable deuten: parallel zur z-Achse.
In 4x + 3y = 24 fehlt z. Mit jedem Punkt von E liegt auch jeder Punkt senkrecht darüber in E: E ist parallel zur z-Achse.
Die z-Achse steht senkrecht auf dem Boden, also auch die Leinwand.
c) Normalenvektor mit Vorzeichen: Das Licht muss von der Zuschauerseite zur Leinwand laufen.
Senkrecht auf die Leinwand heißt: Richtung eines Normalenvektors, also ein Vielfaches von 430.
Der Ursprung liefert 4 · 0 + 3 · 0 = 0 < 24. Geht man in Richtung 430, wird 4x + 3y größer; dieser Vektor zeigt also von den Zuschauern zur Leinwand.
Das Licht läuft in Richtung 430 oder eines positiven Vielfachen, nicht in Richtung −4−30.
Klausuraufgabe
4.1Glockenturm
Ein Glockenturm hat eine quadratische Grundfläche und ein Pyramidendach. Im Koordinatensystem (Einheiten in m, z ist die Höhe, der Boden liegt in der xy-Ebene) hat die Dachunterkante die Ecken A(4 | 0 | 12), B(4 | 4 | 12), C(0 | 4 | 12) und D(0 | 0 | 12); die Dachspitze ist S(2 | 2 | 15). Die Abbildung zeigt den Turm.
Abbildung
a) Gib eine Parameterform der Ebene E an, in der die Dachfläche ABS liegt, und bestimme eine Koordinatengleichung von E. (zur Kontrolle: E: 3x + 2z = 36)5 BE
Hilfe 1
Stützpunkt A, Richtungsvektoren entlang zweier Kanten der Dachfläche.
Hilfe 2
Der Normalenvektor steht senkrecht auf beiden Richtungsvektoren.
b) Im Punkt H(3 | 2,5 | 13,5) soll ein Haken für Wartungsarbeiten befestigt werden. Weise nach, dass H auf der Dachfläche ABS liegt.3 BE
Hilfe 1
„auf der Dachfläche“: Was muss außer der Gleichung noch stimmen?
Hilfe 2
In welcher Höhe liegt H, und wie breit ist das Dreieck ABS in dieser Höhe?
c) Bestimme die Schnittpunkte von E mit den Koordinatenachsen, beschreibe die besondere Lage von E und erläutere, wo die verlängerte Dachfläche den Boden träfe.4 BE
Hilfe 1
Auf einer Achse sind zwei Koordinaten null.
Hilfe 2
Welche Variable fehlt in 3x + 2z = 36?
Hilfe 3
Der Boden ist die Ebene z = 0.
d) Eine Kamera an der Dachfläche ABS soll senkrecht zur Dachfläche nach außen zeigen. Gib einen Vektor für die Blickrichtung an und begründe das Vorzeichen.2 BE
Hilfe 1
Senkrecht zur Fläche: Welcher Vektor?
Hilfe 2
Auf welcher Seite der Ebene liegt der Turm?
Lösung zeigen
a) Dachfläche als Ebene: Parameterform aus drei Ecken, dann Normalenvektor und Koordinatengleichung.
n = 302; A einsetzen: 12 + 24 = 36, also E: 3x + 2z = 36
b) Nachweis in zwei Teilen: H liegt in E, und H liegt innerhalb des Dreiecks.
H einsetzen: 9 + 27 = 36, H liegt in E.
In 13,5 m Höhe, der halben Dachhöhe, reicht das Dreieck von der Mitte der Kante AS (3 | 1 | 13,5) bis zur Mitte der Kante BS (3 | 3 | 13,5). Mit y = 2,5 liegt H dazwischen, also auf der Dachfläche.
Ebenso richtig: −12,51,5 = r · 040 + s · −223 ergibt s = 0,5 und r = 0,375. Wegen r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1 liegt H im Dreieck ABS.
c) Spurpunkte, fehlende Variable und Spurgerade im Boden, im Sachzusammenhang gedeutet.
x-Achse: 3x = 36, Schnittpunkt (12 | 0 | 0); z-Achse: 2z = 36, Schnittpunkt (0 | 0 | 18); mit der y-Achse gibt es keinen Schnittpunkt, denn 0 = 36 ist falsch.
In 3x + 2z = 36 fehlt y: E ist parallel zur y-Achse.
Mit z = 0 folgt x = 12: Die verlängerte Dachfläche träfe den Boden entlang der Geraden mit x = 12 und z = 0, parallel zur y-Achse, 8 m vor der Turmwand bei x = 4.
d) Normalenvektor mit Vorzeichen: nach außen heißt vom Turm weg.
302 oder ein positives Vielfaches.
Die Turmmitte M(2 | 2 | 12) liefert 6 + 24 = 30 < 36. In Richtung 302 wird 3x + 2z größer, der Vektor zeigt also vom Turm weg nach außen und nach oben. −30−2 zeigte in den Turm hinein.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Geraden und Ebenen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.