Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Gerade im Raum legst du mit einem Punkt und einer Richtung fest. Für eine Ebene brauchst du einen Punkt und zwei Richtungen. Von diesem Punkt aus erreichst du jeden anderen Punkt der Ebene, indem du ein Stück in die erste und ein Stück in die zweite Richtung gehst.
E: x = a + r · u + s · v (r, s ∈ ℝ)
a ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes der Ebene (des Stützpunkts).
u und v sind die Spannvektoren (Richtungsvektoren). Sie dürfen nicht kollinear sein: Keiner ist ein Vielfaches des anderen.
r und s sind die Parameter. Jedes Zahlenpaar für r und s liefert genau einen Punkt der Ebene.
Diese Gleichung heißt Parameterform der Ebene (auch Punktrichtungsgleichung). Eine Ebene hat viele Parametergleichungen: Jeder ihrer Punkte kann Stützpunkt sein, und statt eines Spannvektors darfst du auch ein Vielfaches davon nehmen.
✎ Mini-Aufgabe: Was beschreibt x = 123 + r · 102 + s · 204? Setze einige Zahlenpaare für r und s ein.
Lösung zeigen
204 = 2 · 102: Beide Richtungen sind gleich, du kommst nur auf einer Geraden voran. Die Gleichung beschreibt die Gerade durch (1 | 2 | 3) mit dem Richtungsvektor 102, keine Ebene.
2. Ebene durch drei Punkte
Drei Punkte A, B und C legen genau eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Man sagt dann auch: Sie spannen eine Ebene auf. Du nimmst A als Stützpunkt und die Verbindungsvektoren AB und AC als Spannvektoren. Das ist die Dreipunktegleichung.
Kollinear? Aus AB = k · AC folgt in der ersten Zeile k = −1, in der zweiten k = 1. Widerspruch: nicht kollinear.
E: x = 202 + r · 21−2 + s · −210
Liegen A, B und C auf einer Geraden, ist AC ein Vielfaches von AB. Dann gehen unendlich viele Ebenen durch die drei Punkte.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Ebene soll die Gerade g: x = 100 + t · 110 und den Punkt P(0 | 0 | 2) enthalten. Stelle eine Parametergleichung der Ebene auf.
Lösung zeigen
Der Stützpunkt (1 | 0 | 0) von g und P liegen in der Ebene, die Richtung von g auch. Spannvektoren: 110 und der Verbindungsvektor −102 vom Stützpunkt zu P; sie sind nicht kollinear.
E: x = 100 + r · 110 + s · −102. Eine Gerade und ein Punkt außerhalb legen also eine Ebene fest, wie drei Punkte.
3. Punktprobe
Ob ein Punkt P in der Ebene liegt, prüfst du mit der Punktprobe: Setze OP für x ein. Jede Koordinate gibt eine Gleichung, du hast also drei Gleichungen für die zwei Unbekannten r und s. Löse zwei davon und setze die Werte in die dritte ein. Stimmt sie, liegt P in der Ebene, sonst nicht.
Beispiel: E aus Abschnitt 2, P(4 | −1 | 2) und Q(3 | 2 | 0)
Aus III: r = 1. Aus II: s = 1. In I: 2 + 2 − 2 = 2 ≠ 3. Q liegt nicht in E.
✎ Mini-Aufgabe: Gib einen weiteren Punkt von E an, ohne eine Gleichung zu lösen.
Lösung zeigen
Zum Beispiel r = 1 und s = 1: 202 + 21−2 + −210 = 220, also der Punkt (2 | 2 | 0). Jedes Zahlenpaar für r und s liefert einen Punkt von E.
4. Achsenschnittpunkte und Spurdreieck
Auf der x-Achse sind y und z null. Für den Schnittpunkt mit der x-Achse setzt du also die y-Zeile und die z-Zeile gleich null, löst nach r und s auf und berechnest x. Für die anderen Achsen gehst du genauso vor. Die drei Achsenschnittpunkte bilden das Spurdreieck. Es zeigt im Schrägbild, wie die Ebene im Raum liegt.
Beispiel: E aus Abschnitt 2
x-Achse: r + s = 0 und 2 − 2r = 0 ergibt r = 1, s = −1; x = 2 + 2 + 2 = 6: X(6 | 0 | 0)
y-Achse: 2 + 2r − 2s = 0 und 2 − 2r = 0 ergibt r = 1, s = 2; y = 1 + 2 = 3: Y(0 | 3 | 0)
z-Achse: 2 + 2r − 2s = 0 und r + s = 0 ergibt r = −0,5, s = 0,5; z = 2 + 1 = 3: Z(0 | 0 | 3)
Ist die Ebene parallel zu einer Achse, hat das Gleichungssystem für diese Achse keine Lösung (oder unendlich viele, wenn die Achse in der Ebene liegt). Dann gibt es weniger als drei Achsenschnittpunkte.
Das Spurdreieck XYZ der Ebene E aus Abschnitt 2. Die Punkte A, B und C liegen auf seinen Seiten.
5. Dreiecke und Parallelogramme
Oft ist nicht die ganze Ebene gemeint, sondern ein begrenztes Stück: eine Platte, eine Wand, ein Fenster. Mit A als Stützpunkt gilt:
Parallelogramm ABCD mit den Spannvektoren AB und AD: 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1.
Dreieck ABC mit den Spannvektoren AB und AC: r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1.
Ein Punkt liegt auf dem Flächenstück, wenn die Punktprobe aufgeht und r und s in diesem Bereich liegen.
Beispiel: Liegt P(1,5 | 0,75 | 1,5) im Dreieck ABC aus Abschnitt 2?
III: 2 − 2r = 1,5 ergibt r = 0,25. II: 0,25 + s = 0,75 ergibt s = 0,5. I: 2 + 0,5 − 1 = 1,5 stimmt.
r = 0,25 ≥ 0, s = 0,5 ≥ 0, r + s = 0,75 ≤ 1: P liegt im Dreieck ABC.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne die Punkte von E für r = 1, s = 0, für r = 0, s = 1 und für r = s = 0,5. Was haben die drei Punkte gemeinsam, und was folgt daraus für die Bedingung r + s ≤ 1?
Lösung zeigen
Du erhältst B(4 | 1 | 0), C(0 | 1 | 2) und (2 | 1 | 1), den Mittelpunkt der Strecke BC.
Bei allen dreien ist r + s = 1: Diese Punkte liegen auf der Seite BC. Punkte mit r + s > 1 liegen jenseits von BC, also außerhalb des Dreiecks.
6. Gerade und Ebene
Für die Lage einer Geraden g: x = p + t · w zu einer Ebene E setzt du die beiden rechten Seiten gleich. Das gibt drei Gleichungen mit den drei Unbekannten r, s und t. Gib dem Parameter der Geraden einen anderen Buchstaben als denen der Ebene.
genau eine Lösung: g schneidet E. Setze t in g ein, dann hast du den Schnittpunkt.
keine Lösung (am Ende ein Widerspruch wie 0 = 3): g ist parallel zu E und liegt nicht in E.
unendlich viele Lösungen (am Ende eine wahre Aussage wie 0 = 0): g liegt in E.
Beispiel: E aus Abschnitt 2 und g: x = 11−1 + t · 111
I: 2 + 2r − 2s = 1 + t II: r + s = 1 + t III: 2 − 2r = −1 + t
Aus III: t = 3 − 2r. In II: 3r + s = 4. In I: 4r − 2s = 2, also 2r − s = 1.
Addieren: 5r = 5, also r = 1, s = 1 und t = 1.
t = 1 in g eingesetzt: Schnittpunkt S(2 | 2 | 0).
✎ Mini-Aufgabe: Untersuche die Lage der Geraden h: x = t · 2−10 zur Ebene E aus Abschnitt 2.
Lösung zeigen
I: 2 + 2r − 2s = 2t II: r + s = −t III: 2 − 2r = 0
Aus III: r = 1. Aus II: s = −1 − t. In I: 2 + 2 + 2 + 2t = 2t, also 6 = 0. Widerspruch: h ist parallel zu E und liegt nicht in E.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
spannen eine Ebene auf, legen eine Ebene fest
A, B und C liegen nicht auf einer Geraden
AB und AC auf Vielfache prüfen
liegt in der Ebene, gehört zur Ebene
Punktprobe: drei Gleichungen für r und s
alle drei Gleichungen müssen stimmen
liegt auf der Platte, der Wand, dem Dach
Punktprobe und Bereich von r und s
beim Dreieck zusätzlich r + s ≤ 1
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Spurdreieck
je zwei Koordinaten gleich null
x-Achse: y = 0 und z = 0
trifft, schneidet, durchstößt
Gleichungssystem aus Gerade und Ebene mit r, s und t
bei einer begrenzten Fläche den Bereich prüfen
verläuft parallel zur Ebene
Gleichungssystem ohne Lösung
unendlich viele Lösungen heißt: liegt in der Ebene
senkrecht, lotrecht
Richtungsvektor 001
wenn der Boden die x-y-Ebene ist
8. Was nirgends steht
Drei Punkte legen nur dann eine Ebene fest, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen. Das prüfst du, auch wenn niemand danach fragt.
Eine Platte, ein Dach oder ein Fenster ist begrenzt. Ob ein Punkt darauf liegt, entscheiden die Bereiche von r und s, nicht die Punktprobe allein.
„senkrecht“ heißt ohne weitere Angabe: parallel zur z-Achse, Richtungsvektor 001. Der Boden ist die x-y-Ebene.
Gerade und Ebene brauchen verschiedene Parameter. Wer beide r nennt, stellt ein falsches Gleichungssystem auf.
Ein Blick oder ein Lichtstrahl geht von einem Punkt aus nur in eine Richtung: Es zählen nur Werte t ≥ 0.
9. Ein Sachbeispiel
Eine Wiese an einem Hang ist ein Parallelogramm mit dem Stützpunkt (0 | 0 | 2) und den Spannvektoren 401 und 05−1 (Angaben in m, die x-y-Ebene ist waagerecht). Ein 6 m langer Fahnenmast soll senkrecht stehen, und zwar auf dem Punkt der Wiese, der genau über dem Punkt (2 | 2,5 | 0) liegt. In welcher Höhe über der x-y-Ebene ist die Spitze des Masts?
Was ist gefragt? Die z-Koordinate der Mastspitze. Dafür brauche ich zuerst den Fußpunkt des Masts auf der Wiese.
Was steht nicht da? „senkrecht“ heißt: Der Mast liegt auf der Geraden m: x = 22,50 + t · 001. Und der Fußpunkt muss auf der Wiese liegen, also 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1.
Rechnen Wiese: x = 002 + r · 401 + s · 05−1. Gleichsetzen mit m: 4r = 2, 5s = 2,5 und 2 + r − s = t. Also r = 0,5, s = 0,5 und t = 2. Fußpunkt F(2 | 2,5 | 2), die Spitze liegt 6 m darüber bei z = 8.
Antwortsatz Die Spitze des Fahnenmasts liegt 8 m über der x-y-Ebene.
Prüfen r = 0,5 und s = 0,5 liegen zwischen 0 und 1: Der Fußpunkt ist auf der Wiese, sogar in ihrer Mitte. Die Ecken der Wiese liegen zwischen 1 m und 3 m hoch, ein Fußpunkt in 2 m Höhe passt dazu.
10. Typische Fehler
Spannvektoren nicht auf Vielfache geprüft: Die „Ebene“ ist in Wahrheit eine Gerade.
Bei der Punktprobe nur zwei Gleichungen gelöst: Erst die dritte entscheidet.
Beim Dreieck nur 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1 geprüft: Das ist das Parallelogramm, r + s ≤ 1 fehlt.
Für einen Achsenschnittpunkt nur eine Koordinate null gesetzt: Das ist der Schnitt mit einer Koordinatenebene, kein Punkt.
0 = 0 und einen Widerspruch verwechselt: 0 = 0 heißt „liegt in E“, ein Widerspruch heißt „parallel“.
Den Parameterwert t als Ergebnis angegeben statt des Schnittpunkts.
Rechnen
2.1Ebene durch drei Punkte
Gegeben sind die Punkte A(1 | 2 | 0), B(3 | 1 | 2) und C(0 | 4 | 1).
a) Zeige, dass die Punkte A, B und C eine Ebene festlegen.
Hilfe 1
Wann legen drei Punkte keine Ebene fest?
Hilfe 2
Prüfe, ob einer der Verbindungsvektoren AB und AC ein Vielfaches des anderen ist.
b) Stelle eine Parametergleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C auf.
Hilfe 1
Welcher Punkt kann Stützpunkt sein?
Hilfe 2
Als Spannvektoren eignen sich zwei Verbindungsvektoren, die von diesem Punkt ausgehen.
c) Die Ebene aus b) hat die Gleichung E: x = 120 + r · 2−12 + s · −121. Untersuche, ob die Punkte P(1 | 5 | 4) und Q(4 | 3 | 5) in E liegen.
Hilfe 1
Setze den Ortsvektor des Punktes für x ein. Wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte hast du?
Hilfe 2
Löse zwei Gleichungen nach r und s auf und prüfe die dritte.
Lösung zeigen
a) „eine Ebene festlegen“ heißt: Die drei Punkte liegen nicht auf einer Geraden.
AB = 2−12, AC = −121
Wäre AB = k · AC, folgte aus der ersten Zeile k = −2 und aus der zweiten k = −0,5. Widerspruch: Die Vektoren sind nicht kollinear. A, B und C liegen nicht auf einer Geraden und legen eine Ebene fest.
b) Ebene aus drei Punkten: ein Punkt als Stützpunkt, zwei Verbindungsvektoren als Spannvektoren.
E: x = 120 + r · 2−12 + s · −121
Jeder der drei Punkte als Stützpunkt und jedes Paar nicht kollinearer Verbindungsvektoren ist ebenso richtig.
c) „liegt in E“: Punktprobe, drei Gleichungen für zwei Parameter.
P: I: 1 + 2r − s = 1 II: 2 − r + 2s = 5 III: 2r + s = 4
Aus I: s = 2r. In III: 4r = 4, also r = 1 und s = 2. In II: 2 − 1 + 4 = 5 stimmt. P liegt in E.
Q: I: 1 + 2r − s = 4 II: 2 − r + 2s = 3 III: 2r + s = 5
I und III addiert: 4r = 8, also r = 2 und s = 1. In II: 2 − 2 + 2 = 2 ≠ 3. Q liegt nicht in E.
2.2Spurdreieck
Gegeben ist die Ebene E: x = 111 + r · 2−10 + s · 10−1.
a) Bestimme die Koordinaten der Punkte, in denen die Ebene E die drei Koordinatenachsen schneidet.
Hilfe 1
Welche Koordinaten sind auf der x-Achse null?
Hilfe 2
Setze für jede Achse die beiden anderen Zeilen gleich null und löse nach r und s auf.
b) Zeichne das Spurdreieck der Ebene E in das Koordinatensystem.
Hilfe 1
Die x-Achse zeigt im Schrägbild schräg nach vorn; eine Einheit ist dort kürzer gezeichnet.
Hilfe 2
Verbinde die drei Achsenschnittpunkte.
Lösung zeigen
a) Schnitt mit einer Achse: zwei Koordinaten null, zwei Gleichungen für r und s, dann die dritte Koordinate.
x-Achse: y = 1 − r = 0 und z = 1 − s = 0 ergibt r = 1, s = 1; x = 1 + 2 + 1 = 4: X(4 | 0 | 0)
y-Achse: x = 1 + 2r + s = 0 und z = 1 − s = 0 ergibt s = 1, r = −1; y = 1 + 1 = 2: Y(0 | 2 | 0)
z-Achse: x = 1 + 2r + s = 0 und y = 1 − r = 0 ergibt r = 1, s = −3; z = 1 + 3 = 4: Z(0 | 0 | 4)
b) Spurdreieck: die drei Achsenschnittpunkte eintragen und verbinden.
Die Punkte X, Y und Z aus a) eintragen und zu einem Dreieck verbinden.
2.3Punkt im Dreieck
Gegeben sind die Punkte A(1 | 0 | 2), B(5 | 2 | 0) und C(1 | 4 | 4).
a) Untersuche, ob die Punkte P(2 | 2,5 | 2,5) und Q(3 | 4 | 2,5) im Dreieck ABC liegen.
Hilfe 1
Ein Punkt liegt im Dreieck, wenn er in der Ebene liegt und r und s eine Zusatzbedingung erfüllen.
Hilfe 2
Stelle die Ebene mit Stützpunkt A und den Spannvektoren AB und AC auf. Welche Werte von r und s gehören dann zum Dreieck?
b) Bestimme die Koordinaten des Punktes D, für den das Viereck ABDC ein Parallelogramm ist, und entscheide, ob Q in diesem Parallelogramm liegt.
Hilfe 1
Welche Seite des Parallelogramms ABDC ist parallel zu AC und gleich lang?
Hilfe 2
Welche Bedingungen gelten für r und s in einem Parallelogramm?
Lösung zeigen
a) „im Dreieck“: Punktprobe in der Ebene durch A, B und C und zusätzlich eine Bedingung an r und s.
Q liegt in der Ebene, aber r + s = 1,25 > 1: Q liegt nicht im Dreieck ABC.
b) Vierter Punkt eines Parallelogramms über eine Verschiebung; dann die Bedingung des Parallelogramms an r und s.
OD = OB + AC = 520 + 042 = 562, also D(5 | 6 | 2).
Zum Parallelogramm ABDC gehören 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1. Für Q ist r = 0,5 und s = 0,75: Q liegt im Parallelogramm ABDC.
2.4Gerade und Ebene
Gegeben ist die Ebene E: x = 101 + r · 110 + s · 012. Untersuche jeweils die Lage der Geraden zu E und bestimme gegebenenfalls den Schnittpunkt.
a) g: x = 122 + t · 211
Hilfe 1
Setze die rechten Seiten von E und g gleich. Welche Unbekannten hat das Gleichungssystem?
Hilfe 2
Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setze in die anderen ein.
b) h: x = 200 + t · 122
Hilfe 1
Gehe vor wie in a).
Hilfe 2
Welche Lage gehört zu einem Gleichungssystem ohne Lösung?
c) k: x = 333 + t · −102
Hilfe 1
Gehe vor wie in a).
Hilfe 2
Welche Lage gehört zu einem Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen?
Lösung zeigen
a) Lage Gerade und Ebene: Gleichsetzen gibt drei Gleichungen mit r, s und t; die Zahl der Lösungen entscheidet.
I: 1 + r = 1 + 2t II: r + s = 2 + t III: 1 + 2s = 2 + t
Aus I: r = 2t. Aus III: s = 0,5 + 0,5t. In II: 2t + 0,5 + 0,5t = 2 + t, also 1,5t = 1,5 und t = 1; dann r = 2 und s = 1.
g schneidet E im Punkt S(3 | 3 | 3).
b) Vorgehen wie in a); entscheidend ist, was am Ende des Einsetzens übrig bleibt.
I: 1 + r = 2 + t II: r + s = 2t III: 1 + 2s = 2t
Aus I: r = 1 + t. In II: s = t − 1. In III: 1 + 2t − 2 = 2t, also −1 = 0.
Widerspruch: h ist parallel zu E und liegt nicht in E.
c) Vorgehen wie in a); die Art der Lösungsmenge gibt die Lage.
I: 1 + r = 3 − t II: r + s = 3 III: 1 + 2s = 3 + 2t
Aus I: r = 2 − t. Aus II: s = 1 + t. In III: 1 + 2 + 2t = 3 + 2t, also 0 = 0.
Zu jedem t gibt es passende r und s: k liegt in E.
Ohne Taschenrechner
2.5Punkt mit Parameter
Gegeben sind die Ebene E: x = 102 + r · 110 + s · 011 und für jede reelle Zahl a der Punkt P(a | 4 | a + 1). Bestimme a so, dass P in E liegt, und gib die Koordinaten von P an.
Hilfe 1
Stelle die Gleichungen der Punktprobe auf. Wie viele Unbekannte sind es jetzt?
Hilfe 2
Drücke r und s durch a aus und setze in die übrige Gleichung ein.
Lösung zeigen
Punktprobe mit Parameter: Das Gleichungssystem hat die drei Unbekannten r, s und a.
I: 1 + r = a II: r + s = 4 III: 2 + s = a + 1
Aus I: r = a − 1. Aus III: s = a − 1. In II: 2a − 2 = 4, also a = 3.
Für a = 3 liegt der Punkt P(3 | 4 | 4) in E (mit r = 2 und s = 2).
2.6Ebene im Würfel
Das Material zeigt einen Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 4. Die Ecke A liegt im Ursprung.
Material
a) Gib die Koordinaten der Ecken B, D und H an und stelle eine Parametergleichung der Ebene K durch B, D und H auf.
Hilfe 1
Gehe von A aus: Wie weit musst du in x-, y- und z-Richtung gehen?
Hilfe 2
Nimm einen der drei Punkte als Stützpunkt.
b) Untersuche, welche weiteren Ecken des Würfels in K liegen.
Hilfe 1
Welche Ecken bleiben außer B, D und H übrig?
Hilfe 2
Löse für jede dieser Ecken zuerst die z-Gleichung, dann die y-Gleichung. Was sagt die x-Gleichung?
Lösung zeigen
a) Koordinaten aus dem Schrägbild ablesen, dann eine Ebene durch drei Punkte.
B(4 | 0 | 0), D(0 | 4 | 0), H(0 | 4 | 4)
BD = −440, BH = −444
K: x = 400 + r · −440 + s · −444
b) Für jede übrige Ecke eine Punktprobe mit K; die Gleichung mit nur einem Parameter zuerst.
Punktprobe mit den übrigen fünf Ecken: Aus der z-Gleichung 4s = z folgt s, aus der y-Gleichung 4r + 4s = y folgt r; die x-Gleichung 4 − 4r − 4s = x entscheidet.
F(4 | 0 | 4): s = 1, r = −1; x: 4 + 4 − 4 = 4 stimmt. F liegt in K.
A(0 | 0 | 0): s = 0, r = 0; x: 4 ≠ 0. C(4 | 4 | 0): s = 0, r = 1; x: 0 ≠ 4.
E(0 | 0 | 4): s = 1, r = −1; x: 4 ≠ 0. G(4 | 4 | 4): s = 1, r = 0; x: 0 ≠ 4.
Außer B, D und H liegt nur die Ecke F in K.
Ebenso richtig für F: BF = 004 = DH, also ist BDHF ein Rechteck und F liegt in K; die übrigen Ecken dann mit der Punktprobe.
2.7Geraden angeben
Gegeben ist die Ebene E: x = 201 + r · 101 + s · 01−1. Gib jeweils eine Gleichung einer Geraden an und begründe deine Wahl.
a) Die Gerade g liegt in der Ebene E.
Hilfe 1
Welche Punkte und welche Richtungen von E kannst du direkt aus der Gleichung ablesen?
Hilfe 2
Eine Gerade liegt in E, wenn sie einen Punkt von E enthält und ihre Richtung in E liegt.
b) Die Gerade h ist parallel zur Ebene E, liegt aber nicht in E.
Hilfe 1
Welche Richtung muss h haben, damit sie parallel zu E ist?
Hilfe 2
Wähle einen Stützpunkt, von dem du zeigen kannst, dass er nicht in E liegt.
c) Die Gerade k schneidet die Ebene E in genau einem Punkt.
Hilfe 1
Welche Richtungen führen aus der Ebene heraus?
Hilfe 2
Prüfe, dass deine Richtung nicht als r-faches des einen plus s-faches des anderen Spannvektors entsteht.
Lösung zeigen
a) Rückwärts denken: Was muss eine Gerade mit E gemeinsam haben, damit sie ganz in E liegt?
Zum Beispiel g: x = 201 + t · 101.
g geht durch den Stützpunkt von E und hat einen Spannvektor von E als Richtung. Jeder Punkt von g ist ein Punkt von E mit r = t und s = 0.
b) Rückwärts denken: Welche zwei Eigenschaften unterscheiden „parallel“ von „liegt in“?
Zum Beispiel h: x = 202 + t · 101.
Die Richtung ist ein Spannvektor von E. Der Punkt (2 | 0 | 2) liegt nicht in E: Aus der x- und der y-Gleichung folgt r = 0 und s = 0, dann wäre z = 1 ≠ 2.
c) Rückwärts denken: Welche Richtungen darf k nicht haben?
Zum Beispiel k: x = 201 + t · 001.
k geht durch den Punkt (2 | 0 | 1) von E. Aus r · 101 + s · 01−1 = 001 folgt r = 0, s = 0 und 0 = 1: 001 ist keine Richtung von E. Also ist k weder parallel zu E noch liegt sie in E; sie schneidet E genau im Punkt (2 | 0 | 1).
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Eine dreieckige Glasscheibe hat die Ecken A, B und C. Liegt der Punkt P auf der Scheibe? (2) Die Rückwand einer Theaterbühne liegt in der Ebene E. Ein Scheinwerfer strahlt vom Punkt L aus in Richtung des Vektors w. Trifft das Licht die Ebene der Rückwand, und wenn ja, wo? (3) Ein Pfosten steht im Punkt F des Bodens (der x-y-Ebene) senkrecht. In welcher Höhe trifft er eine schräge Dachfläche, die in der Ebene E liegt?
Hilfe 1
Geht es bei der Frage um einen Punkt und eine Fläche oder um eine Gerade und eine Ebene?
Hilfe 2
Ist die ganze Ebene gemeint oder nur ein begrenztes Stück?
Hilfe 3
Was bedeutet „senkrecht“ für den Richtungsvektor?
b) Die überhängende Wand einer Boulderhalle ist das Rechteck mit den Ecken A(0 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0), C(1,5 | 4 | 4) und D(1,5 | 0 | 4) (Angaben in m, die x-y-Ebene ist der Hallenboden). Eine Trainerin will im Punkt P(0,75 | 5 | 2) einen Griff an die Wand schrauben. Entscheide, ob das möglich ist. Fülle dazu die Lücken: 1. Gefragt ist, ob P in der Ebene der Wand liegt und ob … 2. Was nicht dasteht: Die Wand ist ein Rechteck. Mit A als Stützpunkt gilt deshalb für die Parameter … 3. Rechnen: E: x = …; x: 1,5s = 0,75 ergibt s = …; y: 4r = 5 ergibt r = …; z: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Ein Griff hält nur auf der Wand selbst. Reicht dafür die Punktprobe?
Hilfe 2
Welche Werte von r und s gehören zum Rechteck, wenn A der Stützpunkt ist?
Hilfe 3
Löse zuerst die x- und die y-Gleichung, sie enthalten jeweils nur einen Parameter.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Punkt und begrenzte Fläche, Strahl und Ebene, senkrechte Gerade und Ebene.
(1) Gesucht ist, ob P in der Ebene durch A, B und C liegt und die Parameter zum Dreieck gehören. Ansatz: OP = OA + r · AB + s · AC lösen, dann r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s ≤ 1 prüfen.
(2) Gesucht ist der Schnittpunkt der Geraden x = OL + t · w mit E. Ansatz: Gerade und Ebene gleichsetzen, Gleichungssystem mit r, s und t. Nur t ≥ 0 zählt, weil das Licht von L ausgeht. Ohne Lösung verläuft der Strahl parallel zur Wand.
(3) Gesucht ist die z-Koordinate des Schnittpunkts der Geraden x = OF + t · 001 mit E. Ansatz: Gerade und Ebene gleichsetzen; da F auf dem Boden liegt, ist t die Höhe.
b) „an die Wand schrauben“: Die Wand ist begrenzt; nach der Punktprobe entscheiden die Bereiche von r und s.
1. Gefragt ist, ob P in der Ebene der Wand liegt und ob die Parameter zum Rechteck ABCD gehören.
2. Mit A als Stützpunkt und AB, AD als Spannvektoren gilt 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1.
3. E: x = 000 + r · 040 + s · 1,504; s = 0,5; r = 1,25; z: 4 · 0,5 = 2 stimmt.
4. P liegt zwar in der Ebene der Wand, aber r = 1,25 > 1: P liegt 1 m neben der Wand. Dort kann die Trainerin keinen Griff anschrauben.
5. Die Wand reicht in y-Richtung nur von 0 m bis 4 m, P hat y = 5. Das passt.
3.2Rollstuhlrampe
Vor dem Eingang einer Bücherei wird eine Rollstuhlrampe gebaut. Ihre Fahrfläche ist das Rechteck mit den Ecken A(6 | 0 | 0), B(6 | 1,5 | 0), C(0 | 1,5 | 0,5) und D(0 | 0 | 0,5). Die x-y-Ebene ist der waagerechte Boden, alle Angaben sind in m. Das Material zeigt die Rampe.
Material
a) Stelle eine Parametergleichung der Ebene E auf, in der die Fahrfläche liegt, und gib an, für welche Werte der Parameter die Gleichung genau die Fahrfläche beschreibt.
Hilfe 1
Welche Ecke nimmst du als Stützpunkt, welche Kanten als Spannvektoren?
Hilfe 2
Für welche Werte von r und s erreichst du gerade die Ecken?
b) Nach der Bauvorschrift darf eine Rollstuhlrampe höchstens 6 % Steigung haben. Beurteile, ob die Rampe diese Vorschrift erfüllt.
Hilfe 1
Steigung heißt: Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Strecke.
Hilfe 2
Welcher Spannvektor zeigt bergauf? Lies an ihm beide Größen ab.
c) Genau senkrecht über dem Punkt F(2 | 0,75 | 0) des Bodens soll eine Stütze die Rampe tragen. Bestimme die Länge der Stütze in Zentimetern.
Hilfe 1
Was bedeutet „senkrecht“ für die Richtung der Stütze?
Hilfe 2
Die Stütze liegt auf einer Geraden durch F. Wo trifft diese Gerade die Ebene der Rampe?
Hilfe 3
Die Länge ist der Weg vom Boden bis zu diesem Schnittpunkt.
Lösung zeigen
a) Ebene aus drei Ecken eines Rechtecks; weil die Fahrfläche begrenzt ist, gehören Parameterbereiche dazu.
E: x = 600 + r · 01,50 + s · −600,5
Mit A als Stützpunkt und AB, AD als Spannvektoren beschreibt die Gleichung für 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1 genau die Fahrfläche.
b) Die Steigung steckt im Spannvektor, der bergauf zeigt: Höhenunterschied geteilt durch waagerechte Strecke.
Von A nach D steigt die Rampe um 0,5 m, waagerecht sind es dabei 6 m (Spannvektor −600,5).
Steigung: 0,5 : 6 ≈ 0,083 = 8,3 % > 6 %. Die Rampe ist zu steil und erfüllt die Vorschrift nicht.
c) „senkrecht über F“: eine Gerade durch F, die parallel zur z-Achse ist, mit der Ebene der Rampe schneiden.
Die Stütze liegt auf der Geraden g: x = 20,750 + t · 001.
Gleichsetzen mit E: I: 6 − 6s = 2 II: 1,5r = 0,75 III: 0,5s = t
Aus I: s = 23. Aus II: r = 0,5. Aus III: t = 13. Beide Parameter liegen zwischen 0 und 1, der Punkt liegt auf der Fahrfläche.
Die Stütze reicht vom Boden bis in 13 m Höhe. Sie ist rund 33 cm lang.
3.3Terrassentisch
Ein Tisch mit vier gleich langen Beinen soll auf einer unebenen Terrasse stehen. Die Beine stehen auf den Bodenpunkten A(0 | 0 | 0), B(160 | 0 | 2), C(160 | 90 | 5) und D(0 | 90 | 4) (Angaben in cm). Geh davon aus, dass der Tisch genau dann nicht wackelt, wenn diese vier Bodenpunkte in einer Ebene liegen.
a) Untersuche, ob der Tisch wackelt.
Hilfe 1
Durch wie viele Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, geht immer eine Ebene?
Hilfe 2
Stelle die Ebene durch drei der Bodenpunkte auf und prüfe den vierten.
b) Der Tisch steht auf den Beinen über A, B und D, das vierte Bein schwebt über C. Bestimme, wie dick eine Unterlage unter diesem Bein sein muss, damit der Tisch nicht mehr wackelt.
Hilfe 1
Wo endet das vierte Bein, wenn der Tisch fest auf A, B und D steht?
Hilfe 2
Dieses Beinende liegt in derselben Ebene wie A, B und D.
c) Ein Nachbar meint: „Ein Tisch mit drei Beinen wackelt auf dieser Terrasse nie.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie viele Punkte braucht man mindestens, um eine Ebene festzulegen?
Hilfe 2
Was ist beim vierten Bein anders als bei den ersten drei?
Lösung zeigen
a) „wackelt“ heißt nach der Annahme: Die vier Bodenpunkte liegen nicht in einer Ebene.
Ebene durch A, B und D: E: x = 000 + r · 16002 + s · 0904
Die Spannvektoren sind nicht kollinear (der eine hat y = 0, der andere x = 0).
Punktprobe mit C: x: 160r = 160 ergibt r = 1; y: 90s = 90 ergibt s = 1; z: 2 + 4 = 6 ≠ 5
C liegt nicht in der Ebene durch A, B und D. Der Tisch wackelt.
b) Die Dicke der Unterlage ist der Höhenunterschied zwischen dem Ende des vierten Beins und dem Boden bei C.
Das Ende des vierten Beins liegt in der Ebene durch A, B und D senkrecht über C, also bei r = 1 und s = 1: im Punkt (160 | 90 | 6).
Es endet 6 − 5 = 1 cm über dem Boden. Die Unterlage muss 1 cm dick sein.
c) Begründung ohne Rechnung über die Frage, wie viele Punkte eine Ebene festlegen.
Die Aussage stimmt. Die drei Bodenpunkte unter den Beinen liegen nicht auf einer Geraden, denn die Beine stehen nicht in einer Reihe. Drei solche Punkte legen immer genau eine Ebene fest.
Die drei Beine können deshalb immer gleichzeitig den Boden berühren. Der Tisch steht fest, auch wenn die Platte dabei etwas schräg ist.
3.4Teleskop
In der Dachschräge eines Ateliers ist ein dreieckiges Fenster mit den Ecken K(2 | 1 | 4), L(2 | 3 | 4) und M(1 | 2 | 5) eingebaut. Im Raum steht ein Teleskop, die Mitte seines Objektivs liegt im Punkt T(3,5 | 2 | 1). Alle Angaben sind in m. Ein Stern ist durch das Fenster sichtbar, wenn die Gerade, die von T aus in Richtung des Sterns verläuft, das Fenster trifft.
a) Stelle eine Parametergleichung der Ebene E auf, in der das Fenster liegt.
Hilfe 1
Was brauchst du aus drei Punkten für die Gleichung?
Hilfe 2
Nimm K als Stützpunkt und die Vektoren zu den anderen Ecken als Spannvektoren.
b) Ein erster Stern steht von T aus in Richtung des Vektors −0,50,10,9. Untersuche, ob dieser Stern durch das Fenster sichtbar ist.
Hilfe 1
Welche Gerade beschreibt den Blick von T zum Stern?
Hilfe 2
Schneide diese Gerade mit E. Welche Bedingungen müssen r, s und t zusätzlich erfüllen?
Hilfe 3
Das Gleichungssystem darfst du mit dem Taschenrechner lösen.
c) Ein zweiter Stern steht von T aus in Richtung des Vektors −0,420,160,72. Untersuche, ob auch er durch das Fenster sichtbar ist.
Hilfe 1
Geh vor wie in b).
Hilfe 2
Liegt der Schnittpunkt im Dreieck KLM?
d) Bestimme für den ersten Stern die Strecke, die das Licht vom Fenster bis zur Mitte des Objektivs zurücklegt.
Hilfe 1
Das Licht läuft geradlinig vom Schnittpunkt aus b) bis T.
Hilfe 2
Die Länge eines Vektors berechnest du mit dem Satz des Pythagoras im Raum.
Lösung zeigen
a) Ebene aus drei Punkten; mit K als Stützpunkt wird die Bedingung für das Dreieck später einfach.
KL = 020, KM = −111
E: x = 214 + r · 020 + s · −111
b) „sichtbar durch das Fenster“: Schnitt der Blickgeraden mit der Ebene; das Fenster ist ein begrenztes Dreieck.
Blickgerade: g: x = 3,521 + t · −0,50,10,9
I: 2 − s = 3,5 − 0,5t II: 1 + 2r + s = 2 + 0,1t III: 4 + s = 1 + 0,9t
Lösung, zum Beispiel mit dem Gleichungslöser: r = 0,5, s = 0,375, t = 3,75
t > 0: Der Punkt liegt in Blickrichtung. r ≥ 0, s ≥ 0 und r + s = 0,875 ≤ 1: Er liegt im Fenster. Der erste Stern ist durch das Fenster sichtbar; die Blickgerade trifft das Fenster im Punkt S(1,625 | 2,375 | 4,375).
c) Gleicher Weg wie in b); entscheidend ist wieder, wo der Schnittpunkt in der Ebene liegt.
I: 2 − s = 3,5 − 0,42t II: 1 + 2r + s = 2 + 0,16t III: 4 + s = 1 + 0,72t
Lösung: r = 0,6, s = 0,6, t = 5
Die Blickgerade trifft die Ebene E im Punkt (1,4 | 2,8 | 4,6), aber r + s = 1,2 > 1. Der Punkt liegt neben dem Fenster in der Dachschräge: Der zweite Stern ist durch das Fenster nicht sichtbar.
d) Entfernung zweier Punkte: Länge des Verbindungsvektors.
Das Licht legt vom Fenster bis zum Objektiv rund 3,88 m zurück.
Klausuraufgabe
4.1Messepavillon
Ein Messepavillon hat ein Glasdach aus zwei Trapezen und zwei Dreiecken. Die Ecken an der unteren Dachkante sind A(8 | 0 | 5), B(8 | 12 | 5), C(0 | 12 | 5) und D(0 | 0 | 5); der First beginnt im Punkt F(4 | 4 | 8) und endet im Punkt G. Der First FG verläuft parallel zur y-Achse, und das Dach ist symmetrisch zu der Ebene, die parallel zur x-z-Ebene durch die Mitte des Pavillons geht. Die x-y-Ebene ist der Boden, eine Längeneinheit entspricht 1 m. Die Abbildung zeigt den Pavillon.
Abbildung
a) Gib die Koordinaten des Firstpunkts G an und erläutere dein Vorgehen.2 BE
Hilfe 1
Welche Koordinaten ändern sich entlang einer Kante, die parallel zur y-Achse ist?
Hilfe 2
Wo liegt die Mitte des Pavillons in y-Richtung?
b) Bestimme eine Parametergleichung der Ebene E, in der die vordere Dachfläche ABGF liegt. [zur Kontrolle: Der Punkt P(6 | 6 | 6,5) liegt in E.]3 BE
Hilfe 1
Welche drei Ecken der vorderen Dachfläche nimm?
Hilfe 2
Stützpunkt A, Spannvektoren von A zu zwei anderen Ecken.
c) Zeige, dass die vier Ecken A, B, G und F in einer Ebene liegen.2 BE
Hilfe 1
Drei der Ecken liegen nach Konstruktion in E. Was bleibt zu zeigen?
d) Durch das Dach wird ein Lüftungsrohr geführt. Seine Mittellinie verläuft senkrecht durch den Punkt Q(6 | 1 | 0) des Bodens. Ein Monteur schneidet die Mittellinie mit E, erhält den Punkt S(6 | 1 | 6,5) und plant deshalb das Loch für das Lüftungsrohr in der vorderen Dachfläche ABGF. Beurteile seine Planung.3 BE
Hilfe 1
Rechne den Schnittpunkt nach. Was sagt er über die Ebene, was über die Dachfläche?
Hilfe 2
Welche Werte von r gehören zur Dachfläche ABGF? Eine notwendige Bedingung genügt.
e) Ermittle den Punkt, in dem die Mittellinie des Lüftungsrohrs tatsächlich durch das Dach tritt.4 BE
Hilfe 1
Welche der vier Dachflächen liegt über Q? Die Abbildung hilft.
Hilfe 2
Stelle die Ebene dieser Fläche auf und schneide sie mit der Mittellinie.
Hilfe 3
Prüfe, ob der Schnittpunkt in der Fläche liegt.
Lösung zeigen
a) Punkt aus Lagebedingungen: parallel zur y-Achse und symmetrisch.
G(4 | 8 | 8)
Der First ist parallel zur y-Achse, also hat G dieselbe x- und z-Koordinate wie F. Die Mitte des Pavillons liegt bei y = 6; F liegt 2 m davor (y = 4), wegen der Symmetrie liegt G 2 m dahinter, bei y = 8.
b) Ebene aus drei Eckpunkten; die Kontrolle prüft die eigene Gleichung mit einer Punktprobe.
AB = 0120, AF = −443; die Vektoren sind nicht kollinear.
E: x = 805 + r · 0120 + s · −443
Kontrolle: Für P ergibt die x-Gleichung s = 0,5, die y-Gleichung r = 13, die z-Gleichung 5 + 1,5 = 6,5 stimmt.
c) „in einer Ebene“: Ebene durch drei der Ecken, Punktprobe mit der vierten.
A, B und F liegen nach Konstruktion in E. Punktprobe mit G(4 | 8 | 8):
x: 8 − 4s = 4 ergibt s = 1; z: 5 + 3 = 8 stimmt; y: 12r + 4 = 8 ergibt r = 13. G liegt in E, die Dachfläche ABGF ist eben.
Ebenso richtig: FG = 040 ist parallel zu AB. Ein Viereck mit zwei parallelen Seiten liegt in einer Ebene.
d) Ein Ergebnis beurteilen: Ein Punkt der Ebene ist noch kein Punkt der begrenzten Dachfläche.
Mittellinie: x = 610 + t · 001. Gleichsetzen mit E: 8 − 4s = 6, 12r + 4s = 1, 5 + 3s = t.
s = 0,5, r = −112, t = 6,5: S(6 | 1 | 6,5) liegt in der Ebene E, die Rechnung stimmt.
Aber r < 0: S liegt nicht auf der Dachfläche ABGF, sondern jenseits der Kante AF auf der Verlängerung der Ebene. Die Planung ist falsch, das Lüftungsrohr tritt nicht durch die vordere Dachfläche.
Ebenso richtig: Im Grundriss beginnt die vordere Dachfläche bei x = 6 erst ab y = 2 (Kante AF); Q hat y = 1.
e) Die richtige Dachfläche wählen, dann die Gerade mit einer begrenzten Fläche schneiden.
Q liegt im Grundriss unter der dreieckigen Dachfläche DAF (Abbildung).
Ebene der Dachfläche DAF: x = 005 + r · 800 + s · 443
Gleichsetzen mit der Mittellinie: 8r + 4s = 6, 4s = 1, 5 + 3s = t. Also s = 0,25, r = 0,625 und t = 5,75.
r ≥ 0, s ≥ 0, r + s = 0,875 ≤ 1: Der Punkt liegt im Dreieck DAF. Die Mittellinie tritt im Punkt (6 | 1 | 5,75) durch das Dach.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Geraden und Ebenen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.