Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Gerade im Raum legst du mit zwei Angaben fest: mit einem Punkt, durch den sie geht, und mit einer Richtung. Vom Punkt aus läufst du ein beliebiges Vielfaches der Richtung, vorwärts oder rückwärts. Jede Zahl für den Parameter r liefert genau einen Punkt der Geraden.
g: x = a + r · v (r ∈ ℝ)
a ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden (Stützvektor), v ≠ 0→ ist der Richtungsvektor. Diese Schreibweise heißt Parameterform der Geraden.
✎ Mini-Aufgabe: Gegeben ist g: x = 123 + r · 20−1. Setze r = 0, r = 1 und r = −1 ein. Welche Punkte erhältst du? Liegt der Punkt (5 | 2 | 1) auf g?
Lösung zeigen
r = 0: (1 | 2 | 3); r = 1: (3 | 2 | 2); r = −1: (−1 | 2 | 4).
(5 | 2 | 1) erhältst du mit r = 2: 1 + 4 = 5, 2 + 0 = 2, 3 − 2 = 1. Der Punkt liegt auf g. Alle Punkte von g haben die y-Koordinate 2, weil die Richtung in y-Richtung 0 ist.
2. Gerade aufstellen, Punktprobe, Strecke
Sind zwei Punkte A und B gegeben, nimmst du A als Stützpunkt und den Verbindungsvektor AB als Richtung. Prüfen, ob ein Punkt P auf g liegt (Punktprobe): Setze den Ortsvektor von P für x ein. Das gibt drei Gleichungen für das eine r. Liefern alle drei denselben Wert, liegt P auf g; sonst nicht.
g: x = OA + r · AB
Beispiel: A(2 | 1 | 0) und B(4 | −1 | 3)
AB = 4 − 2−1 − 13 − 0 = 2−23, also g: x = 210 + r · 2−23
P(6 | −3 | 6): 2 + 2r = 6 ⇔ r = 2; 1 − 2r = −3 ⇔ r = 2; 3r = 6 ⇔ r = 2. Dreimal r = 2: P liegt auf g.
Q(0 | 3 | −2): 2 + 2r = 0 ⇔ r = −1; 1 − 2r = 3 ⇔ r = −1; 3r = −2 ⇔ r = −23. Widerspruch: Q liegt nicht auf g.
Eine Strecke AB ist nur das Stück der Geraden zwischen A und B. Du nimmst dieselbe Gleichung und schränkst den Parameter ein: 0 ≤ r ≤ 1. Bei r = 0 bist du in A, bei r = 1 in B, bei r = 0,5 im Mittelpunkt. Ein Strahl (Halbgerade) beginnt in einem Punkt und läuft nur in eine Richtung: r ≥ 0.
Eine Gerade hat viele Gleichungen. Jeder ihrer Punkte taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache (außer 0) des Richtungsvektors als Richtung. Zwei verschiedene Gleichungen können also dieselbe Gerade beschreiben.
3. Spurpunkte und besondere Lage
Die drei Koordinatenebenen sind die xy-Ebene (dort ist z = 0), die xz-Ebene (y = 0) und die yz-Ebene (x = 0). Der Punkt, in dem eine Gerade eine Koordinatenebene durchstößt, heißt Spurpunkt. Du setzt die passende Koordinate gleich 0, bestimmst r und setzt r in die Geradengleichung ein.
yz-Ebene: 2 + r = 0 ⇔ r = −2; Spurpunkt (0 | −1 | 8)
xz-Ebene: 1 + r = 0 ⇔ r = −1; Spurpunkt (1 | 0 | 6)
Eine 0 im Richtungsvektor verrät eine besondere Lage: Ist die z-Koordinate der Richtung 0, ändert sich die Höhe entlang der Geraden nicht; die Gerade verläuft parallel zur xy-Ebene. Sind zwei Koordinaten der Richtung 0, ist die Gerade parallel zu einer Achse, zum Beispiel bei 001 parallel zur z-Achse.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Gerade hat den Richtungsvektor 120 und den Stützpunkt (0 | 0 | 3). Warum findest du keinen Spurpunkt mit der xy-Ebene? Was passiert, wenn du es trotzdem versuchst?
Lösung zeigen
Die z-Koordinate ist für jedes r gleich 3. Die Gleichung 3 + 0 · r = 0 hat keine Lösung. Die Gerade verläuft in 3 Einheiten Höhe parallel zur xy-Ebene und trifft sie nie.
4. Lage zweier Geraden
Zwei Geraden im Raum sind identisch, echt parallel, schneiden sich in einem Punkt, oder sie sind windschief: weder parallel noch mit gemeinsamem Punkt. Windschief gibt es nur im Raum, etwa eine Straße und eine Brücke, die quer darüber führt. Du gehst immer in derselben Reihenfolge vor:
Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander? Ja: Liegt der Stützpunkt der einen Geraden auf der anderen? Ja: identisch. Nein: echt parallel.
Nein: Setze die beiden Gleichungen gleich, mit zwei verschiedenen Parametern r und s. Das gibt ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten.
Löse zwei der Gleichungen nach r und s und setze in die dritte ein. Stimmt sie: Die Geraden schneiden sich; den Schnittpunkt erhältst du, indem du r in g einsetzt. Widerspruch: windschief.
Beispiel: g: x = 102 + r · 110 und h: x = 231 + s · 1−11
110 ist kein Vielfaches von 1−11 (die z-Koordinate 0 lässt sich nicht zu 1 vervielfachen): nicht parallel.
I: 1 + r = 2 + s II: r = 3 − s III: 2 = 1 + s
Aus III: s = 1, aus II: r = 2. Probe in I: 1 + 2 = 2 + 1 stimmt.
Die Geraden schneiden sich in S(3 | 2 | 2).
Beispiel: dieselbe Gerade g und k: x = 030 + s · 1−12
I: 1 + r = s II: r = 3 − s III: 2 = 2s
Aus III: s = 1, aus II: r = 2. Probe in I: 1 + 2 = 3, aber s = 1. Widerspruch.
Nicht parallel und kein gemeinsamer Punkt: g und k sind windschief.
Schneiden sich zwei Geraden, ist ihr Schnittwinkel der kleinere der beiden Winkel am Schnittpunkt, also höchstens 90°. Du berechnest ihn mit den Richtungsvektoren; der Betrag im Zähler sorgt für den kleineren Winkel. Ist das Skalarprodukt 0, stehen die Richtungen senkrecht aufeinander (orthogonal).
cos α = |v · w||v| · |w|
✎ Mini-Aufgabe: Im ersten Beispiel ist v = 110 und w = 1−11. Berechne den Schnittwinkel. Dann: Die Gerade k aus dem zweiten Beispiel hat w = 1−12. Ist auch k orthogonal zu g? Schneiden sich g und k senkrecht?
Lösung zeigen
v · w = 1 − 1 + 0 = 0: g und h schneiden sich senkrecht, α = 90°.
Für k: 110 · 1−12 = 0. Die Richtungen sind orthogonal, aber g und k sind windschief. Sie stehen senkrecht zueinander, ohne sich zu schneiden. Das Skalarprodukt sagt nichts darüber, ob es einen Schnittpunkt gibt.
5. Bewegungen auf Geraden
Bewegt sich ein Körper geradlinig mit fester Geschwindigkeit, ist der Parameter die Zeit t: X(t) = Startpunkt + t · v. Der Richtungsvektor v ist dann der Weg in einer Zeiteinheit, seine Länge |v| die Geschwindigkeit. Bewegen sich zwei Körper, gilt:
Die Bahnen kreuzen sich: Gleichsetzen mit zwei Parametern r und s. Beide Körper kommen am selben Ort vorbei, aber vielleicht zu verschiedenen Zeiten.
Zusammenstoß: derselbe Ort zur selben Zeit. Du setzt mit einem gemeinsamen t gleich.
Abstand zur Zeit t: d(t) = |B(t) − A(t)|, eine Funktion von t. Den kleinsten Abstand findest du am Scheitel des Terms unter der Wurzel.
Senkrecht übereinander liegen zwei Punkte, wenn x- und y-Koordinate übereinstimmen; der Höhenunterschied ist dann der Unterschied der z-Koordinaten.
Wie steil eine Bahn steigt, misst ihr Neigungswinkel gegen die Waagerechte: der Winkel zwischen v = v1v2v3 und seinem Schatten in der Waagerechten v1v20. Du rechnest ihn mit derselben Kosinusformel.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Körper bewegt sich nach X(t) = 120 + t · 2−12, t in Sekunden, Längen in m. Wo ist er nach 3 s, und wie schnell ist er?
Lösung zeigen
X(3) = 1 + 62 − 30 + 6 = 7−16, er ist in (7 | −1 | 6).
|2−12| = √(4 + 1 + 4) = 3. Er legt 3 m pro Sekunde zurück.
✎ Mini-Aufgabe: Ein zweiter Körper bewegt sich zur selben Zeit nach Y(t) = −302 + t · 402. Zeige, dass für den Abstand der beiden Körper d(t) = √(5 · (t − 2)² + 4) gilt. Wann sind sie sich am nächsten, und wie weit sind sie dann voneinander entfernt?
5 · (t − 2)² ist nie negativ und nur für t = 2 gleich 0. Nach 2 s sind sich die Körper am nächsten: d(2) = √4 = 2, also 2 m. Dann ist X(2) = (5 | 0 | 4) und Y(2) = (5 | 0 | 6): Y ist senkrecht über X.
Ist der Term unter der Wurzel nicht so geschrieben, bestimmst du den Scheitel der quadratischen Funktion, etwa mit t = −b2a.
6. Geraden im Bild
Die Geraden g, h und k aus Abschnitt 4 als Schrägbild. g und h schneiden sich in S(3 | 2 | 2). k trifft g nicht; ob sich zwei Geraden schneiden, entscheidet die Rechnung, nicht das Bild.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
bewegt sich geradlinig, verläuft gerade, Bahn
Gerade mit Stützpunkt und Richtung
Richtung aus zwei Punkten: AB = B − A
Seil, Rohr, Kabel, Tunnel zwischen A und B
Strecke: 0 ≤ r ≤ 1
Ein Schnittpunkt der Geraden kann außerhalb liegen.
Lichtstrahl, Laserstrahl
Strahl: r ≥ 0
Lösungen mit r < 0 liegen hinter der Lichtquelle.
trifft den Boden, Schatten auf dem Boden
Spurpunkt mit der xy-Ebene: z = 0
Der Schatten eines Punktes liegt auf dem Lichtstrahl durch diesen Punkt.
trifft die Wand, die Decke
Schnitt mit der Ebene der Wand, etwa x = 0
Liegt der Punkt innerhalb der Wand? Trifft der Strahl vorher eine andere Fläche?
kreuzen sich die Bahnen, berühren sich
Schnittpunkt: zwei Parameter r und s
kein Schnittpunkt und nicht parallel: windschief
stoßen zusammen, Kollision, treffen sich
gleicher Ort zur gleichen Zeit: ein Parameter t
Kreuzende Bahnen allein reichen nicht.
wie schnell
|v| pro Zeiteinheit
Einheiten umrechnen, etwa km pro Minute in km/h
senkrecht übereinander
gleiche x- und y-Koordinate
Höhenunterschied: Differenz der z-Werte
Neigung, steigt unter dem Winkel
Winkel zwischen v und v1v20
nicht der Winkel zur z-Achse
8. Was nirgends steht
Ein Seil, ein Rohr, ein Tunnel ist keine ganze Gerade. Liegt ein Schnittpunkt bei r = 1,5, berühren sich die Gegenstände nicht.
Ein Strahl läuft nur vorwärts. Ein Auftreffpunkt mit negativem Parameter liegt hinter der Quelle und zählt nicht.
Der Boden ist die xy-Ebene, die z-Koordinate ist die Höhe, wenn die Aufgabe nichts anderes sagt.
Für einen Zusammenstoß müssen beide Körper zur selben Zeit am selben Ort sein. Dass sich die Bahnen kreuzen, reicht nicht.
Nicht parallel heißt im Raum nicht „schneiden sich“. Erst die dritte Gleichung entscheidet.
Eine Längeneinheit ist oft nicht 1 m. Steht „eine Einheit entspricht 10 m“, rechnest du jedes Ergebnis um.
9. Ein Beispiel aus der Sache
In einer Tiefgarage verläuft ein gerades Lüftungsrohr von A(0 | 0 | 2) nach B(4 | 2 | 2), ein zweites von C(6 | 0 | 1) nach D(6 | 6 | 3) (Angaben in m, gemeint sind die Mittellinien der Rohre). Berühren sich die Rohre?
Was ist gefragt? Ob die beiden Rohre einen gemeinsamen Punkt haben.
Was steht nicht da? Die Rohre sind Strecken. Ein Schnittpunkt der Geraden zählt nur, wenn er auf beiden Rohren liegt: 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1.
Rechnen g: x = 002 + r · 420, h: x = 601 + s · 062. Die Richtungen sind keine Vielfachen. I: 4r = 6, also r = 1,5. III: 2 = 1 + 2s, also s = 0,5. II: 2 · 1,5 = 3 und 6 · 0,5 = 3 stimmt. Die Geraden schneiden sich in (6 | 3 | 2), aber bei r = 1,5 > 1.
Antwortsatz Die Rohre berühren sich nicht. Die Gerade des ersten Rohrs träfe das zweite Rohr erst 0,5 · |AB| = 0,5 · √20 ≈ 2,2 m hinter dem Ende B.
Prüfen B hat die x-Koordinate 4, das zweite Rohr liegt ganz bei x = 6. Das erste Rohr endet also 2 m vor der Ebene des zweiten. Das passt.
10. Typische Fehler
Als Richtung OB statt AB genommen. Die Richtung ist immer die Differenz zweier Punkte.
Bei der Punktprobe nur zwei Gleichungen geprüft. Erst wenn alle drei dasselbe r liefern, liegt der Punkt auf der Geraden.
Beim Gleichsetzen zweier Geraden für beide denselben Buchstaben r benutzt. Das prüft „gleicher Ort zur gleichen Zeit“ und ist nur bei Bewegungen gemeint.
Aus „nicht parallel“ auf „schneiden sich“ geschlossen. Im Raum fehlt dann noch die Probe in der dritten Gleichung.
Parallele Richtungsvektoren gleich „identisch“ genannt, ohne den Stützpunkt zu prüfen.
Den Schnittwinkel ohne Betrag gerechnet und 120° angegeben statt 60°.
Rechnen
2.1Gerade durch zwei Punkte
Gegeben sind die Punkte A(3 | −1 | 2) und B(5 | 0 | −1).
a) Gib eine Gleichung der Geraden g durch A und B an.
Hilfe 1
Eine Gerade braucht einen Punkt und eine Richtung.
Hilfe 2
Die Richtung von A nach B erhältst du als Differenz der beiden Ortsvektoren.
b) Prüfe, ob die Punkte P(−1 | −3 | 8) und Q(9 | 2 | −6) auf g liegen.
Hilfe 1
Setze den Ortsvektor des Punktes für x ein.
Hilfe 2
Jede Zeile ergibt eine Gleichung für r. Was muss für alle drei Werte gelten?
Lösung zeigen
a) Zwei Punkte gegeben, Gerade gesucht: Stützpunkt und Verbindungsvektor.
AB = 21−3, g: x = 3−12 + r · 21−3
b) „liegt auf g“: Punktprobe, drei Gleichungen für ein r.
P: 3 + 2r = −1 ⇔ r = −2; −1 + r = −3 ⇔ r = −2; 2 − 3r = 8 ⇔ r = −2. P liegt auf g.
Q: 3 + 2r = 9 ⇔ r = 3; −1 + r = 2 ⇔ r = 3; 2 − 3r = −6 ⇔ r = 83. Widerspruch, Q liegt nicht auf g.
2.2Strecke
Gegeben sind die Punkte A(1 | 4 | 0) und B(7 | −2 | 3).
a) Gib eine Gleichung der Strecke AB an.
Hilfe 1
Stelle zuerst die Gerade durch A und B auf.
Hilfe 2
Welche Werte darf der Parameter annehmen, damit du zwischen A und B bleibst?
b) Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke AB und die Länge der Strecke.
Hilfe 1
Welcher Parameterwert führt genau zur Hälfte des Weges von A nach B?
Hilfe 2
Die Länge ist der Betrag des Verbindungsvektors.
c) Prüfe, ob die Punkte P(3 | 2 | 1) und Q(9 | −4 | 4) auf der Strecke AB liegen.
Hilfe 1
Mache zuerst die Punktprobe für die Gerade durch A und B.
Hilfe 2
Liegt der Parameterwert in dem Bereich, de in a) angegeben haben?
Lösung zeigen
a) Strecke statt Gerade: Gleichung wie bei der Geraden, dazu der Bereich des Parameters.
x = 140 + r · 6−63 mit 0 ≤ r ≤ 1
b) Mittelpunkt: halber Verbindungsvektor; Länge: Betrag.
r = 0,5: M(4 | 1 | 1,5)
|AB| = √(36 + 36 + 9) = √81 = 9. Die Strecke ist 9 Einheiten lang.
c) Auf der Strecke: Punktprobe und dazu 0 ≤ r ≤ 1.
P: 1 + 6r = 3, 4 − 6r = 2 und 3r = 1 liefern jeweils r = 13. Wegen 0 ≤ 13 ≤ 1 liegt P auf der Strecke.
Q: 1 + 6r = 9, 4 − 6r = −4 und 3r = 4 liefern jeweils r = 43. Q liegt auf der Geraden AB, wegen 43 > 1 aber nicht auf der Strecke, sondern hinter B.
2.3Spurpunkte
Gegeben ist die Gerade g: x = 61−2 + r · −312.
a) Bestimme die Spurpunkte von g mit den drei Koordinatenebenen.
Hilfe 1
Welche Koordinate ist in der xy-Ebene null, welche in der xz- und welche in der yz-Ebene?
Hilfe 2
Setze jeweils diese Koordinate von g gleich 0 und bestimme r.
b) Gib an, für welche Werte von r alle drei Koordinaten des Geradenpunkts nicht negativ sind, und beschreibe dieses Stück von g.
Hilfe 1
Schreibe für jede Koordinate eine Ungleichung in r.
Hilfe 2
Welche Werte von r erfüllen alle drei Ungleichungen zugleich?
Lösung zeigen
a) Spurpunkt: eine Koordinate gleich null setzen, r bestimmen, einsetzen.
xz-Ebene: 1 + r = 0 ⇔ r = −1; Spurpunkt (9 | 0 | −4)
b) Drei Ungleichungen in r, der gemeinsame Bereich ist ein Stück der Geraden.
x ≥ 0 ⇔ r ≤ 2; y ≥ 0 ⇔ r ≥ −1; z ≥ 0 ⇔ r ≥ 1. Zusammen: 1 ≤ r ≤ 2.
Das ist die Strecke zwischen den Spurpunkten (3 | 2 | 0) in der xy-Ebene und (0 | 3 | 2) in der yz-Ebene.
2.4Parallel oder identisch
Gegeben ist die Gerade g: x = 12−1 + r · 2−13.
a) Untersuche die gegenseitige Lage von g und h1: x = 505 + s · −42−6.
Hilfe 1
Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren.
Hilfe 2
Sind sie Vielfache voneinander, entscheidet ein einziger Punkt.
b) Untersuche die gegenseitige Lage von g und h2: x = 313 + s · 6−39.
Hilfe 1
Vergleiche zuerst die Richtungsvektoren.
Hilfe 2
Prüfe dann, ob der Stützpunkt von h2 auf g liegt.
c) Die Gerade h3 hat den Richtungsvektor 4−25. Begründe, dass g und h3 weder parallel noch identisch sind.
Hilfe 1
Mit welcher Zahl müsstest du 2−13 multiplizieren, um die ersten beiden Koordinaten zu erhalten?
Lösung zeigen
a) Erst die Richtungen vergleichen, dann einen Stützpunkt prüfen.
−42−6 = −2 · 2−13: Die Richtungen sind parallel.
Punktprobe (5 | 0 | 5) in g: 1 + 2r = 5, 2 − r = 0, −1 + 3r = 5 liefern jeweils r = 2. Der Stützpunkt von h1 liegt auf g, die Geraden sind identisch.
b) Wie a): Richtungen vergleichen, dann einen Stützpunkt prüfen.
6−39 = 3 · 2−13: Die Richtungen sind parallel.
Punktprobe (3 | 1 | 3) in g: 1 + 2r = 3 ⇔ r = 1; 2 − r = 1 ⇔ r = 1; −1 + 3r = 3 ⇔ r = 43. Widerspruch: g und h2 sind echt parallel.
c) Parallel heißt: Die Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander. Das prüft man koordinatenweise.
Aus den ersten beiden Koordinaten müsste der Faktor 2 sein, aber 2 · 3 = 6 ≠ 5. Die Richtungsvektoren sind keine Vielfachen, also sind g und h3 weder parallel noch identisch.
2.5Schnittpunkt und Winkel
Gegeben sind die Geraden g: x = 201 + r · 12−1 und h: x = 06−3 + s · 2−11.
a) Zeige, dass sich g und h schneiden, und bestimme den Schnittpunkt S. (zur Kontrolle: S(4 | 4 | −1))
Hilfe 1
Begründe zuerst, dass die Geraden nicht parallel sind.
Hilfe 2
Setze die Gleichungen mit zwei verschiedenen Parametern gleich.
Hilfe 3
Löse zwei Gleichungen nach r und s und prüfe mit der dritten.
b) Berechne den Schnittwinkel von g und h.
Hilfe 1
Den Winkel zwischen zwei Geraden bestimmen allein ihre Richtungen.
Hilfe 2
Denke an den Betrag im Zähler.
c) Berechne den Abstand des Punktes S vom Punkt A(2 | 0 | 1).
Hilfe 1
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge ihres Verbindungsvektors.
Lösung zeigen
a) „schneiden sich“ zeigen: nicht parallel, LGS mit r und s, Probe in der dritten Gleichung.
2−11 ist kein Vielfaches von 12−1 (Faktor 2 aus der ersten, −12 aus der zweiten Koordinate): nicht parallel.
I: 2 + r = 2s II: 2r = 6 − s III: 1 − r = −3 + s
I + III: 3 = −3 + 3s ⇔ s = 2, also r = 2. Probe in II: 4 = 6 − 2 stimmt.
r = 2 in g: S(4 | 4 | −1)
b) Schnittwinkel: Kosinusformel mit den Richtungsvektoren.
12−1 · 2−11 = 2 − 2 − 1 = −1; beide Beträge √6
cos α = |−1|√6 · √6 = 16, α ≈ 80,41°
c) Mit dem Kontrollwert aus a) weiterrechnen: Länge eines Verbindungsvektors.
Gegeben sind die Geraden g: x = 110 + r · 102 und h: x = 031 + s · 111.
a) Zeige, dass g und h windschief sind.
Hilfe 1
Windschief heißt zweierlei. Welche zwei Dinge musst du zeigen?
Hilfe 2
Beim Gleichsetzen enthält eine der Gleichungen nur einen Parameter.
b) Der Stützpunkt (0 | 3 | 1) von h wird durch (0 | 3 | c) ersetzt; der Richtungsvektor bleibt. Bestimme c so, dass sich g und die neue Gerade schneiden.
Hilfe 1
Welche deiner Gleichungen aus a) ändern sich, wenn nur die z-Koordinate des Stützpunkts wechselt?
Hilfe 2
r und s bleiben, wie sie aus den unveränderten Gleichungen folgen. Was muss dann in der dritten Gleichung gelten?
Lösung zeigen
a) Windschief zeigen: nicht parallel und Gleichsetzen führt auf einen Widerspruch.
111 ist kein Vielfaches von 102 (y-Koordinate 0 gegen 1): nicht parallel.
I: 1 + r = s II: 1 = 3 + s III: 2r = 1 + s
Aus II: s = −2, aus I: r = −3. In III: 2 · (−3) = −6, aber 1 + (−2) = −1. Widerspruch, kein gemeinsamer Punkt.
Also sind g und h windschief.
b) Rückwärts: Die Gleichungen ohne c legen r und s fest, die Gleichung mit c muss dann stimmen.
I und II enthalten c nicht: weiter s = −2 und r = −3.
III: 2r = c + s ⇔ −6 = c − 2 ⇔ c = −4.
Mit c = −4 schneiden sich die Geraden, und zwar in (−2 | 1 | −6).
2.7Geraden am Quader
Das Material zeigt einen Quader mit den Ecken A(4 | 1 | 0), B(4 | 5 | 0), C(1 | 5 | 0), D(1 | 1 | 0), E(4 | 1 | 3), F(4 | 5 | 3), G(1 | 5 | 3) und H(1 | 1 | 3). Die Gerade g geht durch A und G, die Gerade h durch B und H.
Material
a) Gib eine Gleichung von g an.
Hilfe 1
Richtung von A nach G: Ortsvektor von G minus Ortsvektor von A.
b) Untersuche die gegenseitige Lage von g und h. Gib gegebenenfalls den gemeinsamen Punkt an.
Hilfe 1
Stelle h wie g auf und vergleiche die Richtungen.
Hilfe 2
Beim Gleichsetzen liefert die z-Zeile schnell eine Beziehung zwischen r und s.
c) Begründe, dass g und die Gerade durch C und D windschief sind.
Hilfe 1
In welcher Fläche des Quaders liegt die Gerade durch C und D?
Hilfe 2
An welchem Punkt verlässt g diese Fläche?
Lösung zeigen
a) Gerade durch zwei Ecken: Stützpunkt und Verbindungsvektor.
g: x = 410 + r · −343
b) Zwei Raumdiagonalen: Lage wie immer untersuchen; das Bild gibt einen Hinweis, die Rechnung entscheidet.
h: x = 450 + s · −3−43. Die Richtungen sind keine Vielfachen.
Aus III: r = s, in II: 8r = 4 ⇔ r = 0,5 = s. I stimmt.
g und h schneiden sich im Mittelpunkt des Quaders (2,5 | 3 | 1,5).
c) Begründen ohne langes LGS: Lage im Quader und die z-Koordinate nutzen.
Die Gerade durch C und D hat die Richtung 0−40, g die Richtung −343: nicht parallel.
Die Gerade durch C und D liegt ganz in der Grundfläche (z = 0). g hat nur bei r = 0 die Höhe 0, also nur den Punkt A mit der Grundfläche gemeinsam. A hat die x-Koordinate 4, die Gerade durch C und D die x-Koordinate 1. Es gibt keinen gemeinsamen Punkt: windschief.
Ebenso richtig ist das vollständige Gleichsetzen mit Widerspruch.
2.8Punkt und Gerade gesucht
Gegeben ist die Gerade g: x = 2−13 + r · 12−2.
a) Der Punkt P(a | 5 | b) liegt auf g. Bestimme a und b.
Hilfe 1
Welche Koordinate von P ist bekannt?
Hilfe 2
Bestimme aus dieser Koordinate den Parameter.
b) Gib eine Gleichung einer Geraden h an, die g im Punkt Q(2 | −1 | 3) senkrecht schneidet.
Hilfe 1
Durch welchen Punkt muss h gehen?
Hilfe 2
Welche Bedingung muss der Richtungsvektor von h erfüllen, damit h senkrecht auf g steht?
c) Gib eine Gleichung einer Geraden k an, die g senkrecht schneidet und parallel zur xy-Ebene verläuft.
Hilfe 1
Woran erkennt man am Richtungsvektor, dass eine Gerade parallel zur xy-Ebene verläuft?
Hilfe 2
Schreibe den Richtungsvektor mit einer festen 0 und erfülle dazu die Bedingung aus b).
Lösung zeigen
a) Rückwärts: die bekannte Koordinate legt r fest, die anderen folgen.
−1 + 2r = 5 ⇔ r = 3. a = 2 + 3 = 5, b = 3 − 6 = −3. P(5 | 5 | −3)
b) Umgekehrte Aufgabe: Stützpunkt ist Q, Richtung mit Skalarprodukt 0.
Q liegt auf g (r = 0). Gesucht ist w mit w · 12−2 = 0, zum Beispiel w = 2−10.
h: x = 2−13 + s · 2−10. Jeder andere Richtungsvektor mit Skalarprodukt 0 ist ebenso richtig, etwa 011 oder 201.
c) Zwei Bedingungen an die Richtung: z-Koordinate 0 und Skalarprodukt 0; dazu ein Punkt von g als Stützpunkt.
Richtung w1w20 mit w1 + 2w2 = 0, zum Beispiel 2−10.
k: x = 2−13 + s · 2−10. Jeder Punkt von g taugt als Stützpunkt, jedes Vielfache von 2−10 als Richtung.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Zwei gerade Kabel sind in einem Kabelschacht jeweils zwischen zwei Halterungen gespannt. Berühren sich die Kabel? (2) Sonnenlicht fällt durch ein Dachfenster in eine Halle. Wo entsteht der Lichtfleck auf dem Hallenboden? (3) Ein Lieferroboter und ein Gabelstapler fahren in einer Lagerhalle gleichzeitig los, jeder geradlinig mit fester Geschwindigkeit. Stoßen sie zusammen?
Hilfe 1
Welches mathematische Objekt ist ein Kabel, ein Lichtstrahl, eine Fahrt?
Hilfe 2
Bei (1) und (3): Reicht ein gemeinsamer Punkt der Geraden für eine Ja-Antwort?
b) Über einem Innenhof ist eine Lichterkette straff von A(0 | 2 | 4) an einer Hauswand nach B(10 | 7 | 6) an der gegenüberliegenden Hauswand gespannt (Angaben in m). Eine Lampe soll an der Kette im Punkt L(4 | 4 | 4,8) befestigt werden. Ist das möglich? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob L … liegt. 2. Was nicht dasteht: Die Lichterkette ist keine ganze Gerade, sondern …, also muss für den Parameter gelten … 3. Rechnen: Gerade durch A und B: x = …; Punktprobe mit L: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welches Stück der Geraden durch A und B ist die Kette?
Hilfe 2
Die Punktprobe liefert einen Parameterwert. Welche Werte gehören zur Kette?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Schnitt zweier Strecken, Spurpunkt eines Strahls, gleicher Ort zur gleichen Zeit.
(1) Gesucht ist ein gemeinsamer Punkt zweier Strecken. Ansatz: Geraden mit r und s gleichsetzen; nur eine Lösung mit 0 ≤ r ≤ 1 und 0 ≤ s ≤ 1 bedeutet Berührung.
(2) Gesucht ist der Punkt, in dem der Lichtstrahl den Boden trifft. Ansatz: Gerade durch das Fenster mit der Lichtrichtung, z = 0 setzen (Spurpunkt mit der xy-Ebene), Parameter muss positiv sein.
(3) Gesucht ist ein Zeitpunkt, zu dem beide am selben Ort sind. Ansatz: beide Bahnen mit demselben Zeitparameter t gleichsetzen. Dass sich die Bahnen kreuzen, reicht nicht.
b) „an der Kette“: Punktprobe und dazu 0 ≤ r ≤ 1, weil die Kette an den Wänden endet.
1. Gefragt ist, ob L auf der Strecke von A nach B liegt.
2. Die Kette ist die Strecke AB, also muss 0 ≤ r ≤ 1 gelten.
3. x = 024 + r · 1052; 10r = 4, 2 + 5r = 4 und 4 + 2r = 4,8 liefern jeweils r = 0,4.
4. L liegt auf der Kette, 40 % des Weges von A nach B. Die Lampe kann dort hängen.
5. Die Höhe 4,8 m liegt zwischen 4 m und 6 m, und 0 ≤ 0,4 ≤ 1. Das passt.
3.2Seilbahn
Eine Gondelbahn führt von der Talstation T(1 | 1 | 0) geradlinig zur Bergstation B(5 | 7 | 3). Unter ihr verläuft das Seil einer Materialseilbahn geradlinig von P(5 | 1 | 0,3) nach Q(1 | 7 | 1,7). Die xy-Ebene beschreibt die Höhe der Talstation, eine Einheit entspricht 100 m. Die Seile werden als Strecken betrachtet. Das Material zeigt die Lage.
Material
a) Berechne die Länge des Gondelseils von T nach B.
Hilfe 1
Die Länge ist der Betrag eines Vektors.
Hilfe 2
Achte darauf, was eine Einheit bedeutet.
b) Berechne den Neigungswinkel des Gondelseils gegen die Waagerechte.
Hilfe 1
Welcher Vektor zeigt in die Waagerechte unter dem Seil?
Hilfe 2
Rechne den Winkel zwischen den beiden Vektoren mit der Kosinusformel.
c) Untersuche, ob sich die beiden Seile berühren.
Hilfe 1
Stelle beide Seile als Geraden mit verschiedenen Parametern auf.
Hilfe 2
Die x- und die y-Zeile legen beide Parameter fest. Was sagt dann die z-Zeile?
d) Bestimme den Höhenunterschied der beiden Seile an der Stelle, an der sie senkrecht übereinander verlaufen.
Hilfe 1
Was gilt für die Koordinaten zweier Punkte, die senkrecht übereinander liegen?
Hilfe 2
Ein Teil deiner Rechnung aus c) passt genau zu dieser Bedingung.
Lösung zeigen
a) Länge einer Strecke, dazu die Umrechnung der Einheit.
TB = 463, |TB| = √61 ≈ 7,81
Das Gondelseil ist etwa 781 m lang.
b) Neigung gegen die Waagerechte: Winkel zwischen Richtung und ihrem waagerechten Anteil.
Aus II: r = s, in I: 8r = 4 ⇔ r = s = 0,5. In III: 1,5 ≠ 0,3 + 0,7 = 1. Widerspruch.
Die Geraden sind windschief; die Seile berühren sich nicht.
d) „senkrecht übereinander“: gleiche x- und y-Koordinate; die z-Werte vergleichen.
Senkrecht übereinander heißt: gleiche x- und y-Koordinate, das sind I und II aus c): r = s = 0,5.
Gondelseil: (3 | 4 | 1,5), Materialseil: (3 | 4 | 1). Beide Parameter liegen zwischen 0 und 1, die Stelle liegt auf beiden Seilen.
Höhenunterschied 0,5 Einheiten: Das Materialseil verläuft dort 50 m unter dem Gondelseil.
3.3Zwei Flugzeuge
Eine Radarstation erfasst zwei Flugzeuge. Ihre Positionen beschreiben A(t) = 0−208 + t · 1260 und B(t) = 44−289 + t · −88−0,4. Dabei ist t die Zeit in Minuten nach 10:00 Uhr, alle Koordinaten sind in km, die z-Koordinate ist die Flughöhe.
a) Berechne die Geschwindigkeit von Flugzeug A in km/h.
Hilfe 1
Welcher Vektor gibt den Weg in einer Minute an?
Hilfe 2
Wie viele Minuten hat eine Stunde?
b) Zeige, dass sich die Flugbahnen kreuzen, und bestimme den Kreuzungspunkt K.
Hilfe 1
Bei Bahnen geht es um Orte, nicht um Zeiten. Welche Parameter verwende?
Hilfe 2
Die z-Zeile enthält nur einen Parameter.
c) Ein Fluglotse stellt fest, dass die Gleichung 0−208 + t · 1260 = 44−289 + t · −88−0,4 keine Lösung hat. Deute dieses Ergebnis und erläutere, warum es nicht im Widerspruch zu b) steht.
Hilfe 1
Was bedeutet es, dass in der Gleichung des Lotsen auf beiden Seiten dasselbe t steht?
Hilfe 2
Zu welchen Zeiten erreichen A und B den Punkt K?
d) Bestimme den kleinsten Abstand der beiden Flugzeuge und den Zeitpunkt, zu dem er auftritt.
Hilfe 1
Der Abstand zur Zeit t ist die Länge des Vektors von A(t) nach B(t).
Hilfe 2
Unter der Wurzel steht eine quadratische Funktion in t. Wo hat sie ihren kleinsten Wert?
e) Zwei Flugzeuge sollen sich auf weniger als 5 km nicht nähern. Beurteile die Lage.
Hilfe 1
Vergleiche dein Ergebnis aus d) mit der Vorgabe.
Lösung zeigen
a) Geschwindigkeit: Betrag des Richtungsvektors, dann Minuten in Stunden umrechnen.
|1260| = √180 = 6√5 ≈ 13,42 km pro Minute
13,42 · 60 ≈ 805: Flugzeug A fliegt mit etwa 805 km/h.
b) Bahnen kreuzen sich: Geraden mit zwei Parametern gleichsetzen.
Um etwa 10:02:13 Uhr sind sich die Flugzeuge am nächsten, rund 3,58 km.
e) Ergebnis mit einer Vorgabe vergleichen und eine Folgerung ziehen.
Der kleinste Abstand von etwa 3,58 km liegt unter 5 km. Obwohl die Flugzeuge nicht zusammenstoßen, ist der Abstand zu klein; der Lotse muss eine Flugbahn ändern lassen.
3.4Lasershow
In einer Halle liegt der Boden in der xy-Ebene und die Rückwand in der yz-Ebene. Die Rückwand reicht von y = 0 bis y = 20 und vom Boden bis zur Decke in 8 m Höhe (Angaben in m). Ein Laser steht im Punkt L(10 | 4 | 1,5) und sendet Strahlen in verschiedene Richtungen.
a) Strahl 1 hat die Richtung −211. Bestimme den Punkt, in dem er auf die Rückwand trifft.
Hilfe 1
Welche Koordinate ist auf der Rückwand null?
Hilfe 2
Prüfe, ob der Punkt wirklich auf der Wand liegt und nicht daneben oder darüber.
b) Strahl 2 hat die Richtung −223. Bestimme, wo Strahl 2 auftrifft.
Hilfe 1
Rechne wie in a) und prüfe den Punkt.
Hilfe 2
Liegt der Punkt außerhalb der Wand, hat der Strahl vorher eine andere Fläche getroffen. Welche?
c) Für Strahl 3 mit der Richtung 210 berechnet ein Mitarbeiter den Punkt (0 | −1 | 1,5) als Auftreffpunkt auf der Rückwand. Beurteile sein Ergebnis.
Hilfe 1
Welchen Parameterwert hat der Mitarbeiter benutzt?
Hilfe 2
In welche Richtung läuft ein Laserstrahl?
Lösung zeigen
a) Auftreffpunkt: Spurpunkt mit der Ebene der Wand, dann prüfen, ob er innerhalb der Wand liegt.
Strahl 1: x = 1041,5 + r · −211, r ≥ 0
x = 0: 10 − 2r = 0 ⇔ r = 5; Punkt (0 | 9 | 6,5)
0 ≤ 9 ≤ 20 und 0 ≤ 6,5 ≤ 8: Strahl 1 trifft die Rückwand in (0 | 9 | 6,5).
b) Erst die Wand versuchen; liegt der Punkt zu hoch, trifft der Strahl vorher die Decke (z = 8).
x = 0: r = 5, Punkt (0 | 14 | 16,5). Wegen 16,5 > 8 liegt er über der Decke; der Strahl trifft vorher die Decke.
Decke z = 8: 1,5 + 3r = 8 ⇔ r = 136 ≈ 2,17
Punkt (173 | 253 | 8) ≈ (5,67 | 8,33 | 8). Er liegt innerhalb der Halle (0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ 20).
Strahl 2 trifft die Decke etwa im Punkt (5,67 | 8,33 | 8).
c) Ein Strahl läuft nur vorwärts: Ein negativer Parameter bedeutet einen Punkt hinter dem Laser.
Der Punkt gehört zu r = −5. Ein Strahl hat nur Punkte mit r ≥ 0; Strahl 3 entfernt sich von der Rückwand (x wächst) und trifft sie nie.
Zudem läge der Punkt mit y = −1 außerhalb der Wand. Das Ergebnis ist falsch.
Klausuraufgabe
4.1Stollen
Für ein Pumpspeicherkraftwerk werden zwei Stollen A und B durch einen Berg zu einer unterirdischen Halle vorangetrieben. Die Bohrköpfe bewegen sich mit jeweils fester Geschwindigkeit geradlinig. Bei der Vermessung zu Beginn (Zeitpunkt t1) und zwei Tage später (Zeitpunkt t2) ergaben sich folgende Positionen (Angaben in m, z ist die Höhe): Bohrkopf A: zum Zeitpunkt t1 in P1(20 | 12 | 4), zum Zeitpunkt t2 in P2(40 | 24 | 6) Bohrkopf B: zum Zeitpunkt t1 in Q1(154 | 42 | 15), zum Zeitpunkt t2 in Q2(136 | 48 | 14)
a) Bestimme Gleichungen der Geraden, auf denen sich die beiden Bohrköpfe bewegen.3 BE
Hilfe 1
Je zwei gemessene Positionen legen eine Gerade fest.
Hilfe 2
Wähle die Richtung so, dass der Parameter zur Zeit passt.
b) Zeige, dass sich die beiden Geraden schneiden, und bestimme den Schnittpunkt T. (zur Kontrolle: T(100 | 60 | 12))4 BE
Hilfe 1
Gleichsetzen mit zwei Parametern.
Hilfe 2
Die z-Zeile ist am einfachsten nach einem Parameter aufzulösen.
c) Begründe, dass der Punkt T nicht zwischen P1 und P2 liegt. Ermittle, wo sich Bohrkopf A befindet, wenn Bohrkopf B den Punkt T erreicht, und wie weit A dann noch von T entfernt ist.3 BE
Hilfe 1
Welche Werte hat der Parameter zwischen P1 und P2?
Hilfe 2
Ein Parameterschritt von 1 entspricht hier zwei Tagen, für beide Bohrköpfe.
d) Berechne den Neigungswinkel von Stollen A gegen die Waagerechte.2 BE
Hilfe 1
Welcher Vektor beschreibt die Waagerechte unter dem Stollen?
e) Damit die Halle gebaut werden kann, müssen die beiden Stollen in T unter einem Winkel von mindestens 45° aufeinandertreffen. Prüfe diese Bedingung.2 BE
Hilfe 1
Gesucht ist der Schnittwinkel der beiden Geraden.
Lösung zeigen
a) Zwei Ortungen je Bohrkopf: Gerade durch zwei Punkte.
P1P2 = 20122, gA: x = 20124 + r · 20122
Q1Q2 = −186−1, gB: x = 1544215 + s · −186−1
b) Schnittpunkt zweier Geraden: nicht parallel, LGS, Probe.
Die Richtungen sind keine Vielfachen (x-Koordinaten verschiedener Vorzeichen, y-Koordinaten gleicher).
Aus III: s = 11 − 2r, in II: 12 + 12r = 108 − 12r ⇔ r = 4, also s = 3. Probe in I: 100 = 154 − 54 stimmt.
T(100 | 60 | 12)
c) Parameter als Zeit lesen: Beide Bohrköpfe legen in gleichen Zeiten einen Parameterschritt zurück.
Zwischen P1 und P2 liegen die Punkte mit 0 ≤ r ≤ 1. T gehört zu r = 4 > 1, liegt also nicht zwischen P1 und P2, sondern in Bohrrichtung dahinter.
B erreicht T bei s = 3, also 6 Tage nach t1. Weil der Parameter bei beiden in derselben Zeit um 1 wächst, ist A dann bei r = 3: (80 | 48 | 10).
Ebenso richtig, auch bei anderer Parametrisierung in a): B legt alle zwei Tage Q1Q2 zurück und braucht bis T dreimal so lange, 6 Tage. A kommt in derselben Zeit von P1 aus um 3 · P1P2 weiter.
Abstand zu T: |20122| = √548 ≈ 23,4 m.
d) Neigung: Winkel zwischen Richtung und ihrem waagerechten Anteil.