Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus mehreren Gleichungen, in denen die Unbekannten x, y, z nur mit Zahlen multipliziert und dann addiert werden: kein x², kein x · y. Eine Lösung ist ein Zahlentripel, das alle Gleichungen zugleich erfüllt. Die Lösungsmenge schreibst du als L = {(1 | 2 | 3)}.
Aus der E-Phase kennst du zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Jetzt kommt die dritte Unbekannte dazu. Ab dem nächsten Thema brauchst du das LGS bei fast jeder Rechnung mit Geraden und Ebenen.
✎ Mini-Aufgabe: Finde drei verschiedene Lösungen der einen Gleichung x + 2y = 6. Wie viele Lösungen hat sie insgesamt?
Lösung zeigen
Zum Beispiel x = 6, y = 0; x = 0, y = 3; x = 2, y = 2. Zu jedem y gehört genau ein x = 6 − 2y: Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen. Im Koordinatensystem liegen sie alle auf einer Geraden.
2. Das Gauß-Verfahren
Ziel ist die Stufenform: In der zweiten Gleichung kommt x nicht mehr vor, in der dritten weder x noch y. Dann löst du von unten nach oben.
Erlaubt sind drei Umformungen: zwei Gleichungen vertauschen, eine Gleichung mit einer Zahl ≠ 0 multiplizieren, das Vielfache einer Gleichung zu einer anderen addieren.
Schreib zu jeder neuen Gleichung, wie sie entstanden ist, zum Beispiel II − 2 · I.
Multipliziere immer die ganze Gleichung, auch die rechte Seite.
Beispiel: Gleiche Unbekannte stehen untereinander. Die leeren Felder unten links zeigen die Stufe.
Gleichung
x
y
z
rechte Seite
I
x
+ y
+ z
= 6
II
2x
− y
+ z
= 3
III
x
+ 2y
− z
= 2
IIa = II − 2 · I
−3y
− z
= −9
IIIa = III − I
y
− 2z
= −4
IIIb = 3 · IIIa + IIa
−7z
= −21
Von unten nach oben: −7z = −21 ⇔ z = 3. In IIIa: y − 6 = −4 ⇔ y = 2. In I: x + 2 + 3 = 6 ⇔ x = 1. Also L = {(1 | 2 | 3)}.
Die Probe geht schnell: Setz (1 | 2 | 3) in alle drei Ausgangsgleichungen ein. Stimmt eine nicht, steckt der Fehler in einer Umformung.
✎ Mini-Aufgabe: Löse das LGS in Stufenform: x + y − z = 2; 2y + z = 7; 3z = 9.
Lösung zeigen
3z = 9 ergibt z = 3. Dann 2y + 3 = 7, also y = 2. Dann x + 2 − 3 = 2, also x = 3. L = {(3 | 2 | 3)}.
3. Wie viele Lösungen?
Ist die Stufenform fertig, entscheidet die letzte Zeile, wie viele Lösungen es gibt.
Letzte Zeile wie −7z = −21: genau eine Lösung.
Letzte Zeile 0 = 0 (Nullzeile): Eine Gleichung war überflüssig. Es gibt unendlich viele Lösungen. Eine Unbekannte wählst du frei als Parameter t und drückst die anderen durch t aus.
Letzte Zeile wie 0 = 2 (Widerspruch): keine Lösung, L = { }.
Beispiel: unendlich viele Lösungen
I: x + y + z = 4
II: x − y + 3z = 0
III: 2x + 4z = 4
IIa = II − I: −2y + 2z = −4
IIIa = III − 2 · I: −2y + 2z = −4
IIIb = IIIa − IIa: 0 = 0
z = t: −2y + 2t = −4 ⇔ y = 2 + t; x = 4 − (2 + t) − t = 2 − 2t
L = {(2 − 2t | 2 + t | t) mit t ∈ ℝ}
Steht in III rechts 6 statt 4, wird die letzte Zeile zu 0 = 2. Dann hat das LGS keine Lösung. Das ist kein Rechenfehler: Bei einem Widerspruch hörst du auf und schreibst L = { }.
Die Lösungen mit Parameter kannst du als Vektor schreiben: 2 − 2t2 + tt = 220 + t · −211. Genau so sieht im nächsten Thema eine Gerade im Raum aus.
✎ Mini-Aufgabe: Wähle c so, dass das LGS x + y = 4; 2x + 2y = c unendlich viele Lösungen hat. Für welche c hat es keine Lösung?
Lösung zeigen
II − 2 · I ergibt 0 = c − 8. Für c = 8 steht 0 = 0 da: unendlich viele Lösungen. Für jedes andere c ist die Zeile ein Widerspruch: keine Lösung. Genau eine Lösung gibt es für kein c.
4. Am Graphen: zwei Unbekannte
Bei zwei Unbekannten beschreibt jede Gleichung eine Gerade in der x-y-Ebene. Eine Lösung des LGS ist ein Punkt, der auf allen Geraden liegt.
Oben: x + y = 4 und x − y = 2 schneiden sich in (3 | 1), genau eine Lösung. Mitte: x + y = 4 und 2x + 2y = 2 sind parallel, keine Lösung. Unten: x + y = 4 und 3x + 3y = 12 beschreiben dieselbe Gerade, unendlich viele Lösungen.
✎ Mini-Aufgabe: Wie viele Lösungen kann ein LGS aus drei Gleichungen mit zwei Unbekannten haben? Denk an drei Geraden.
Lösung zeigen
Gehen alle drei Geraden durch einen Punkt: genau eine Lösung. Sind alle drei gleich: unendlich viele. Sonst gibt es keinen Punkt auf allen drei Geraden: keine Lösung. Das ist der häufigste Fall.
Bei drei Unbekannten beschreibt jede Gleichung eine Ebene im Raum (Thema „Ebenen im Raum“). Die Lösungsmenge ist dann ein Punkt, eine Gerade, eine Ebene oder leer.
5. Mit dem Taschenrechner
Im Teil mit Hilfsmitteln darfst du den LGS-Löser des Taschenrechners benutzen: Du gibst die Zahlen jeder Gleichung ein, der Rechner liefert die Lösung. Im Teil ohne Hilfsmittel rechnest du von Hand; die Zahlen sind dann glatt.
Bring jede Gleichung vorher in die Form ax + by + cz = d. Fehlt eine Unbekannte, gibst du 0 ein.
Meldet der Rechner einen Fehler oder „keine eindeutige Lösung“, hat das LGS keine oder unendlich viele Lösungen. Welcher Fall vorliegt, klärst du von Hand mit der Stufenform.
Schreib in der Klausur das LGS auf, das du eingegeben hast. Der Ansatz bringt Punkte, die Eingabe nicht.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
zusammen, insgesamt, kostet zusammen … €
eine Summe, also eine Gleichung
Jede Angabe liefert höchstens eine Gleichung.
doppelt so viele A wie B
a = 2b, also a − 2b = 0
Nicht umdrehen: Probe mit b = 1.
5 € mehr als, 3 weniger als
a = b + 5, also a − b = 5
Unbekannte nach links.
Mischung mit 40 % Anteil
0,4 · Gesamtmenge, etwa 0,4 · (x + y + z)
Prozent als Dezimalzahl, Grundwert prüfen.
alle möglichen …, die Angaben legen … nicht fest
unendlich viele Lösungen mit Parameter
Bereich des Parameters angeben.
Preise, Mengen, Stückzahlen
die Lösung des LGS
≥ 0; Stückzahlen ganz, Preise in Cent
7. Was nirgends steht
Mengen, Preise und Stückzahlen sind nicht negativ. Eine Lösung mit −20 g ist mathematisch richtig und in der Sache unmöglich.
Stückzahlen sind ganze Zahlen, Preise ganze Cent-Beträge.
Bei unendlich vielen Lösungen gehört der erlaubte Bereich des Parameters zur Antwort, zum Beispiel 0 ≤ t ≤ 5.
Weniger Gleichungen als Unbekannte: nie genau eine Lösung. Mehr Gleichungen als Unbekannte: meistens keine.
Alle Gleichungen brauchen dieselbe Einheit: g und kg nicht mischen.
8. Ein Sachbeispiel
Eine Rösterei mischt 10 kg Kaffee aus drei Sorten zu 8 €, 12 € und 16 € pro kg. Die Mischung soll zusammen 120 € kosten. Welche Mischungen sind möglich?
Was ist gefragt? Die Mengen x, y, z in kg der drei Sorten. Gefragt sind alle möglichen Mischungen, nicht eine.
Was steht nicht da? Es gibt nur zwei Angaben für drei Unbekannte, also keine eindeutige Lösung. Und keine Menge darf negativ sein.
Rechnen I: x + y + z = 10; II: 8x + 12y + 16z = 120. II − 8 · I: 4y + 8z = 40, also y = 10 − 2z. Mit z = t: y = 10 − 2t und x = 10 − y − z = t. L = {(t | 10 − 2t | t) mit t ∈ ℝ}. Bedingungen: t ≥ 0 und 10 − 2t ≥ 0, also 0 ≤ t ≤ 5.
Antwortsatz Möglich ist jede Mischung aus t kg der ersten Sorte, 10 − 2t kg der zweiten und t kg der dritten, mit 0 ≤ t ≤ 5. Zum Beispiel 2 kg, 6 kg und 2 kg.
Prüfen 2 + 6 + 2 = 10 und 16 + 72 + 32 = 120. Das passt. Die Ränder bedeuten: t = 0 heißt nur die mittlere Sorte, t = 5 heißt die mittlere Sorte gar nicht.
9. Typische Fehler
Nur die linke Seite multipliziert: 2 · I heißt auch rechts das Doppelte.
Vorzeichen beim Subtrahieren: II − I zieht jede Zahl von I ab, auch die negativen.
0 = 0 als „x = 0“ gelesen. Die Nullzeile sagt nur: Diese Gleichung war überflüssig.
Bei unendlich vielen Lösungen nur eine einzige Lösung angegeben.
„Doppelt so viele A wie B“ als 2a = b aufgeschrieben.
Rechnen
Ohne Taschenrechner
2.1Drei Gleichungen, drei Unbekannte
a) Bestimme die Lösungsmenge des LGS. I: x − 2y + z = 5 II: y + 3z = 4 III: 2z = −2
Hilfe 1
In welcher Gleichung steht nur noch eine Unbekannte?
Hilfe 2
Setze jedes Ergebnis in die Gleichung darüber ein.
b) Bestimme die Lösungsmenge des LGS. I: x + 2y − z = −1 II: 2x + y + z = 7 III: −x + y + 2z = 0
Hilfe 1
Bringe das LGS in die Form aus a). Welche Unbekannte muss aus II und III verschwinden?
Hilfe 2
Kombiniere II und III jeweils mit einem Vielfachen von I. Danach muss y aus einer der beiden neuen Gleichungen verschwinden.
Lösung zeigen
a) Die Gleichungen bilden schon eine Stufe: von unten nach oben lösen.
III: z = −1
II: y − 3 = 4 ⇔ y = 7
I: x − 14 − 1 = 5 ⇔ x = 20
L = {(20 | 7 | −1)}
b) Drei Gleichungen, drei Unbekannte, noch keine Stufe: zuerst die Stufenform herstellen.
IIa = II − 2 · I: −3y + 3z = 9
IIIa = III + I: 3y + z = −1
IIIb = IIIa + IIa: 4z = 8 ⇔ z = 2
in IIIa: 3y + 2 = −1 ⇔ y = −1; in I: x − 2 − 2 = −1 ⇔ x = 3
L = {(3 | −1 | 2)}
2.2Lösungsmenge bestimmen
Bestimme die Lösungsmenge des LGS. I: x − y + 2z = 1 II: 2x + y + z = 5 III: 4x − y + 5z = 7
Hilfe 1
Geh vor wie in 2.1 b, bis die Stufe fertig ist.
Hilfe 2
Sieh dir die letzte Zeile genau an: Was sagt sie über die Zahl der Lösungen?
Hilfe 3
Wähle eine Unbekannte frei und drücke die anderen durch sie aus.
Lösung zeigen
„Lösungsmenge“: erst die Stufenform, dann entscheidet die letzte Zeile, wie die Antwort aussieht.
IIa = II − 2 · I: 3y − 3z = 3
IIIa = III − 4 · I: 3y − 3z = 3
IIIb = IIIa − IIa: 0 = 0, also unendlich viele Lösungen
z = t: 3y − 3t = 3 ⇔ y = 1 + t; in I: x = 1 + (1 + t) − 2t = 2 − t
L = {(2 − t | 1 + t | t) mit t ∈ ℝ}
2.3Nachweis
Zeige, dass das LGS keine Lösung hat. I: x + y + z = 2 II: x + 2y + 3z = 5 III: 2x + 3y + 4z = 8
Hilfe 1
Ausprobieren einzelner Zahlen reicht für einen Nachweis nicht. Welche Zeile müsste am Ende stehen?
Hilfe 2
Forme wie gewohnt um, bis in der letzten Zeile keine Unbekannte mehr übrig ist.
Lösung zeigen
„Zeige, dass keine Lösung“: Die Umformung muss auf eine falsche Aussage führen.
IIa = II − I: y + 2z = 3
IIIa = III − 2 · I: y + 2z = 4
IIIb = IIIa − IIa: 0 = 1
Die letzte Zeile ist ein Widerspruch. Also hat das LGS keine Lösung: L = { }.
Ebenso richtig: III − I − II ergibt sofort 0 = 1.
Mit Taschenrechner
2.4Dezimalzahlen
Bestimme die Lösungsmenge des LGS. Der Taschenrechner ist erlaubt. I: 1,2x + 0,5y − z = 0,3 II: 0,8x − 1,5y + 2z = 5,2 III: −x + 2,5y + 0,6z = −6,2
Hilfe 1
Wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte hat das LGS? Das stellst du im LGS-Löser ein.
Hilfe 2
Steht jede Gleichung schon in der Form ax + by + cz = d? Achte bei der Eingabe auf die Minuszeichen.
Lösung zeigen
Dezimalzahlen, Hilfsmittel erlaubt: Das LGS steht schon in der richtigen Form und geht direkt in den LGS-Löser.
Eingabe: Zahlen von I, II und III zeilenweise in den LGS-Löser, die rechte Seite jeweils zuletzt.
Ergebnis: x = 1,5; y = −2; z = 0,5
Probe in I: 1,8 − 1 − 0,5 = 0,3
L = {(1,5 | −2 | 0,5)}
Ohne Taschenrechner
2.5Aus der Lösungsmenge
Ein LGS mit drei Unbekannten hat die Lösungsmenge L = {(4 − 2t | 1 + t | t) mit t ∈ ℝ}.
a) Gib zwei verschiedene Lösungen des LGS an.
Hilfe 1
Für t darfst du jede Zahl einsetzen.
Hilfe 2
Setze zwei verschiedene Zahlen für t ein und berechne jeweils x, y und z.
b) Bestimme die Lösung, bei der x und y gleich groß sind.
Hilfe 1
Schreibe die Bedingung „x und y gleich groß“ als Gleichung mit t.
Hilfe 2
Löse nach t auf und setze t in alle drei Koordinaten ein.
c) Bestimme alle Lösungen, bei denen keine der drei Zahlen negativ ist.
Hilfe 1
„nicht negativ“ heißt ≥ 0, und zwar für jede der drei Koordinaten.
Hilfe 2
Du erhältst drei Ungleichungen für t. Welche t erfüllen alle drei zugleich?
Lösung zeigen
a) Jede Zahl für t liefert eine Lösung.
Zum Beispiel t = 0: (4 | 1 | 0) und t = 2: (0 | 3 | 2). Jedes andere t ist ebenso richtig.
b) Eine Zusatzbedingung legt den Parameter fest.
4 − 2t = 1 + t ⇔ t = 1
Die Lösung ist (2 | 2 | 1).
c) Drei Bedingungen zugleich: Der Bereich für t ist der Teil, in dem alle drei gelten.
4 − 2t ≥ 0 ⇔ t ≤ 2; 1 + t ≥ 0 ⇔ t ≥ −1; z = t ≥ 0
Alle drei gelten für 0 ≤ t ≤ 2.
Gesucht sind die Tripel (4 − 2t | 1 + t | t) mit 0 ≤ t ≤ 2.
2.6Dritte Gleichung gesucht
Gegeben sind die Gleichungen I: x + y + z = 3 und II: x − y + 2z = 1.
a) Gib eine dritte Gleichung III an, sodass das LGS aus I, II und III unendlich viele Lösungen hat. Begründe Deine Wahl.
Hilfe 1
Wann entsteht in der Stufenform eine Nullzeile?
Hilfe 2
Baue III so aus I und II zusammen, dass III nichts Neues sagt.
b) Gib eine dritte Gleichung III an, sodass das LGS aus I, II und III keine Lösung hat. Begründe deine Wahl.
Hilfe 1
Wann entsteht in der Stufenform ein Widerspruch?
Hilfe 2
Was passiert, wenn III links wie eine Gleichung aus a) aussieht, rechts aber eine andere Zahl hat?
Lösung zeigen
a) Rückwärts denken: erst die gewünschte letzte Zeile, dann III passend wählen.
Zum Beispiel III = I + II: 2x + 3z = 4.
Begründung: III − I − II ergibt 0 = 0, III ist überflüssig. Mit zwei Gleichungen für drei Unbekannte bleibt eine Unbekannte frei, und I, II widersprechen sich nicht ((2 | 1 | 0) erfüllt beide).
Jede Gleichung der Form r · I + s · II ist ebenso richtig.
b) Rückwärts: erst die gewünschte letzte Zeile (Widerspruch), dann III passend wählen.
Zum Beispiel III: 2x + 3z = 5.
Begründung: III − I − II ergibt 0 = 1, ein Widerspruch. Also gibt es keine Lösung.
Ebenso richtig ist zum Beispiel x + y + z = 4 (widerspricht I direkt).
2.7Mit Parameter
Gegeben ist das LGS mit a ∈ ℝ: I: x + y + z = 1 II: x + 2y + 2z = 3 III: 2x + 3y + a · z = 5 Untersuche, für welche Werte von a das LGS genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.
Hilfe 1
Rechne wie ohne Parameter, bis in der letzten Zeile nur noch z vorkommt.
Hilfe 2
Durch einen Term mit a darfst du nur teilen, wenn er nicht 0 ist. Welcher Wert von a ist besonders?
Lösung zeigen
Parameter im LGS: Stufenform wie sonst, dann eine Fallunterscheidung am Faktor vor z.
IIa = II − I: y + z = 2
IIIa = III − 2 · I: y + (a − 2) · z = 3
IIIb = IIIa − IIa: (a − 3) · z = 1
a ≠ 3: z = 1a − 3, dazu genau ein y und ein x: genau eine Lösung.
a = 3: Die letzte Zeile heißt 0 = 1, ein Widerspruch: keine Lösung.
Unendlich viele Lösungen gibt es für kein a, denn rechts steht immer 1 ≠ 0.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Angabe eine Gleichung, alle Unbekannten auf der linken Seite. Rechne nicht. (1) In einem Regal stehen x Taschenbücher und y gebundene Bücher, dreimal so viele Taschenbücher wie gebundene. (2) Eine Schorle aus x Litern Saft und y Litern Wasser soll zu 40 % aus Saft bestehen. (3) Eine Erwachsenenkarte kostet x €, eine Kinderkarte y €. Die Erwachsenenkarte kostet 4 € mehr.
Hilfe 1
Probe mit einer kleinen Zahl: Gibt es 1 gebundenes Buch, wie viele Taschenbücher sind es dann?
Hilfe 2
40 % wovon? Von der ganzen Schorle oder nur vom Wasser?
Hilfe 3
Welche Karte ist teurer? Zu welchem Preis musst du 4 € addieren, damit beide Seiten gleich sind?
b) Eine Gärtnerei verkauft Rosen zu 5 €, Tomatenpflanzen zu 3 € und Kräutertöpfe zu 2 € das Stück. An einem Samstag verkaufte sie 600 Pflanzen und nahm 2 100 € ein. Es waren 50 Kräutertöpfe mehr als Tomatenpflanzen. Wie viele Pflanzen jeder Art hat die Gärtnerei verkauft? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … Ich nenne die Anzahlen x, y und z. 2. Was nicht dasteht: Die dritte Angabe als Gleichung lautet … Die Lösung muss … 3. Rechnen: Das LGS lautet … Die Lösung ist … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Für jede Zahlenangabe im Text gibt es eine Gleichung. Wie viele Angaben sind es?
Hilfe 2
Einnahmen: Anzahl mal Preis für jede Pflanzenart, dann addiert.
Hilfe 3
Wovon gibt es mehr, Kräutertöpfe oder Tomatenpflanzen? Prüfe deine Gleichung mit einer kleinen Zahl.
Lösung zeigen
a) „dreimal so viele“, „40 %“, „mehr als“: Jede Angabe wird eine Gleichung, die Richtung prüft man mit einer kleinen Zahl.
(1) x = 3y, also x − 3y = 0
(2) x = 0,4 · (x + y), also 0,6x − 0,4y = 0
(3) x = y + 4, also x − y = 4
b) Drei Angaben, drei Unbekannte: LGS aufstellen. Dass die Anzahlen ganze Zahlen ≥ 0 sein müssen, steht nicht da.
1. Gefragt sind die Anzahlen der Rosen x, der Tomatenpflanzen y und der Kräutertöpfe z.
2. „50 Kräutertöpfe mehr als Tomatenpflanzen“: z = y + 50, also −y + z = 50. Die Anzahlen müssen ganze Zahlen ≥ 0 sein.
3. I: x + y + z = 600; II: 5x + 3y + 2z = 2 100; III: −y + z = 50. Lösung von Hand oder mit dem LGS-Löser: x = 250, y = 150, z = 200
4. Die Gärtnerei hat 250 Rosen, 150 Tomatenpflanzen und 200 Kräutertöpfe verkauft.
5. 250 + 150 + 200 = 600; 1 250 + 450 + 400 = 2 100; 200 = 150 + 50. Alle Zahlen sind ganz und positiv. Das passt.
3.2Bäckerei
Drei Kassenzettel einer Bäckerei:
Zettel I: 4 Brötchen und 2 Brezeln für 3,60 €
Zettel II: 2 Brötchen und 5 Brezeln für 5,00 €
Zettel III: 3 Brötchen und 1 Brezel für 2,50 €
x ist der Preis eines Brötchens, y der Preis einer Brezel, beides in €. Die Abbildung zeigt zu jedem Zettel die Gerade aller Preispaare (x | y), die zu ihm passen.
Abbildung
a) Begründe anhand der Abbildung, dass nicht alle drei Zettel stimmen können.
Hilfe 1
Was bedeutet ein Punkt, der auf einer der Geraden liegt?
Hilfe 2
Wo müsste ein Preispaar liegen, das zu allen drei Zetteln passt?
b) Genau ein Zettel hat einen Tippfehler im Betrag. Eine Brezel kostet mehr als ein Brötchen. Ermittle die Preise und den falschen Zettel.
Hilfe 1
Ist ein Zettel falsch, stimmen die beiden anderen. Welche Paare von Zetteln gibt es?
Hilfe 2
Löse für jedes Paar das LGS aus zwei Gleichungen.
Hilfe 3
Welche Preise kann eine Kasse überhaupt ausgeben?
c) Gib an, welcher Betrag auf dem falschen Zettel hätte stehen müssen.
Hilfe 1
Welche Brötchen und Brezeln stehen auf dem falschen Zettel?
Hilfe 2
Rechne mit den Preisen aus b).
Lösung zeigen
a) Ein Preispaar, das zu allen Zetteln passt, wäre ein gemeinsamer Punkt aller drei Geraden.
Ein Preispaar, das zu allen drei Zetteln passt, müsste auf allen drei Geraden liegen.
Die Geraden schneiden sich aber paarweise in drei verschiedenen Punkten; einen Punkt auf allen dreien gibt es nicht. Also ist mindestens ein Zettel falsch.
b) Drei Gleichungen, zwei Unbekannte, eine davon falsch: jedes Paar prüfen. Still: Preise sind ganze Cent-Beträge.
I und II: 4x + 2y = 3,6 und 2x + 5y = 5 ergibt x = 0,5 und y = 0,8.
I und III: 4x + 2y = 3,6 und 3x + y = 2,5 ergibt x = 0,7 und y = 0,4. Hier wäre die Brezel billiger: fällt weg.
II und III: ergibt x = 1526 ≈ 0,577 und y = 1013 ≈ 0,769. Das sind keine Cent-Beträge: fällt weg.
Ein Brötchen kostet 0,50 €, eine Brezel 0,80 €. Zettel III ist falsch.
c) Richtige Preise einsetzen.
3 · 0,50 € + 0,80 € = 2,30 €. Auf Zettel III hätten 2,30 € stehen müssen.
3.3Hundefutter
Ein Tierheim mischt die Tagesration für einen großen Hund aus drei Trockenfuttersorten:
Sorte A: 22 % Eiweiß, 10 % Fett
Sorte B: 30 % Eiweiß, 6 % Fett
Sorte C: 26 % Eiweiß, 15 % Fett
Die Ration soll 600 g wiegen und 150 g Eiweiß und 70 g Fett enthalten.
a) Bestimme, wie viel Gramm jeder Sorte das Tierheim mischen muss.
Hilfe 1
Welche Größen sind unbekannt, und in welcher Einheit rechne?
Hilfe 2
Eiweiß aus Sorte A: 22 % der Menge von A. So entsteht die Eiweiß-Gleichung; die Fett-Gleichung entsteht genauso.
b) Nach einer Operation soll ein Hund eine Ration mit gleichem Gewicht und gleichem Fettgehalt, aber 180 g Eiweiß bekommen. Untersuche, ob das mit den drei Sorten möglich ist.
Hilfe 1
Nur eine Zahl im LGS ändert sich.
Hilfe 2
Passt jede Lösung des LGS auch in die Futterschüssel?
Lösung zeigen
a) Drei Angaben (Gewicht, Eiweiß, Fett), drei Sorten: LGS mit den Prozentsätzen als Dezimalzahlen.
x, y, z: Menge der Sorten A, B, C in g
I: x + y + z = 600; II: 0,22x + 0,30y + 0,26z = 150; III: 0,10x + 0,06y + 0,15z = 70
LGS-Löser: x = 1 6757 ≈ 239,3; y = 6257 ≈ 89,3; z = 1 9007 ≈ 271,4
Das Tierheim mischt rund 239 g von A, 89 g von B und 271 g von C.
b) Die Rechnung liefert eine Lösung. Ob sie in der Sache möglich ist, entscheidet das Vorzeichen.
In II steht jetzt 180 statt 150. LGS-Löser: x = −1 7007 ≈ −242,9; y = 2 5007 ≈ 357,1; z = 3 4007 ≈ 485,7
Das LGS hat genau eine Lösung, aber die Menge von Sorte A wäre negativ.
Mit diesen drei Sorten ist die Ration nicht möglich.
3.4Getränkelieferung
Ein Getränkehändler liefert für ein Sportfest 30 Kisten Mineralwasser mit zusammen 300 Flaschen. Es gibt Kisten mit 6, mit 12 und mit 20 Flaschen.
a) Ermittle alle Möglichkeiten, wie sich die Lieferung zusammensetzen kann.
Hilfe 1
Wie viele Gleichungen liefern die Angaben, und wie viele Unbekannte gibt es?
Hilfe 2
Drücke zwei der Unbekannten durch die dritte aus.
Hilfe 3
Welche Werte kann eine Kistenzahl überhaupt annehmen?
b) Der Händler sagt: „Es waren genauso viele Kisten mit 20 Flaschen wie Kisten mit 12 Flaschen.“ Gib die Lieferung an.
Hilfe 1
Schreibe die Aussage des Händlers als Gleichung.
Hilfe 2
Welche der Möglichkeiten aus a) erfüllt sie?
c) Ein Mitarbeiter meint: „Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten haben immer unendlich viele Lösungen. Also gibt es hier unendlich viele mögliche Lieferungen.“ Beurteile beide Teile der Aussage.
Hilfe 1
Gibt es zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, die sich widersprechen?
Hilfe 2
Welche der Lösungen des LGS sind echte Lieferungen?
Lösung zeigen
a) Zwei Angaben, drei Kistensorten: unendlich viele Lösungen des LGS. Still: Kistenzahlen sind ganze Zahlen ≥ 0.
x, y, z: Zahl der Kisten mit 6, 12 und 20 Flaschen
I: x + y + z = 30; II: 6x + 12y + 20z = 300
II − 6 · I: 6y + 14z = 120 ⇔ 3y + 7z = 60. Mit z = t: y = 20 − 7t3 und x = 30 − y − z = 10 + 4t3
Ganze Zahlen: t muss durch 3 teilbar sein. y ≥ 0: t ≤ 607 ≈ 8,6. Also t = 0, 3 oder 6.
Möglich sind (10 | 20 | 0), (14 | 13 | 3) und (18 | 6 | 6), jeweils Kisten mit 6, 12 und 20 Flaschen.
b) Eine zusätzliche Angabe wählt eine Möglichkeit aus.
y = z trifft nur auf (18 | 6 | 6) zu.
Geliefert wurden 18 Kisten mit 6, 6 Kisten mit 12 und 6 Kisten mit 20 Flaschen.
c) Zwei Behauptungen: eine über LGS allgemein, eine über die Sache. Jede braucht eine eigene Begründung.
Erster Teil falsch: Zwei Gleichungen können sich widersprechen, etwa x + y + z = 1 und x + y + z = 2. Dann gibt es keine Lösung. Richtig ist: Genau eine Lösung gibt es nie.
Zweiter Teil falsch: Das LGS hat zwar unendlich viele Lösungen, aber Kistenzahlen müssen ganze Zahlen ≥ 0 sein. Es bleiben nur drei Lieferungen.
Klausuraufgabe
4.1Marmeladenkörbe
Ein Hofladen verkauft Marmelade in Gläsern der Sorten Erdbeere, Kirsche und Aprikose; jede Sorte hat einen festen Glaspreis. Zwei Geschenkkörbe sind im Angebot:
Korb A: 2 Gläser Erdbeere, 1 Glas Kirsche, 1 Glas Aprikose für 16 €
Korb B: 1 Glas Erdbeere, 2 Gläser Kirsche, 1 Glas Aprikose für 15 €
Ein Glas Erdbeere kostet x €, ein Glas Kirsche y €, ein Glas Aprikose z €.
a) Stelle ein LGS auf, das die Preise der beiden Körbe beschreibt.2 BE
Hilfe 1
Jeder Korb liefert eine Gleichung.
Hilfe 2
Anzahl mal Preis für jede Sorte, dann addiert.
b) Zeige, dass das LGS aus a) die Lösungsmenge L = {(t + 1 | t | 14 − 3t) mit t ∈ ℝ} hat.3 BE
Hilfe 1
Entferne zuerst eine Unbekannte aus einer der beiden Gleichungen.
Hilfe 2
Wähle y = t und drücke x und z durch t aus.
c) Bestimme, welche Werte t in diesem Sachzusammenhang annehmen kann, und gib zwei mögliche Preislisten an.3 BE
Hilfe 1
Was muss für jeden Glaspreis gelten?
Hilfe 2
Stelle für jede der drei Koordinaten eine Ungleichung in t auf.
d) Als Angebot gibt es Korb C mit 4 Gläsern Erdbeere, 2 Gläsern Kirsche und 3 Gläsern Aprikose für 33 €; eines der Erdbeergläser wird dabei nicht berechnet. Bestimme die Preise der drei Sorten.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Erdbeergläser werden bezahlt?
Hilfe 2
Setze die Lösungsmenge aus b) in die neue Gleichung ein, oder löse das LGS aus drei Gleichungen.
e) Ein Kunde meint: „Statt Korb C hätte auch ein Korb D mit 3 Gläsern Erdbeere, 3 Gläsern Kirsche und 2 Gläsern Aprikose für 31 € gereicht, um die Preise festzulegen.“ Beurteile die Aussage.3 BE
Hilfe 1
Vergleiche Korb D mit den Körben A und B.
Hilfe 2
Was passiert in der Stufenform, wenn eine Gleichung aus den anderen zusammengesetzt ist?
Lösung zeigen
a) Zwei Körbe, zwei Gleichungen.
I: 2x + y + z = 16
II: x + 2y + z = 15
b) Lösungsmenge vorgegeben: Sie muss durch Lösen des LGS entstehen. Einsetzen allein zeigt nur, dass diese Tripel Lösungen sind.
I − II: x − y = 1, also x = y + 1. Mit y = t: x = t + 1.
In II: t + 1 + 2t + z = 15 ⇔ z = 14 − 3t
Also L = {(t + 1 | t | 14 − 3t) mit t ∈ ℝ}. Ebenso richtig: 2 · II − I ergibt 3y + z = 14.
c) Unendlich viele Lösungen, aber nur positive Preise: Bereich für t bestimmen.
Alle Preise positiv: t + 1 > 0, t > 0 und 14 − 3t > 0, also 0 < t < 143 ≈ 4,67 (in Cent-Schritten).
Zum Beispiel t = 2: Erdbeere 3 €, Kirsche 2 €, Aprikose 8 €.
Zum Beispiel t = 4: Erdbeere 5 €, Kirsche 4 €, Aprikose 2 €.
d) Eine dritte Gleichung legt den Parameter fest. Still: nur die berechneten Gläser zählen.