Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Linear oder exponentiell?
Ein Bestand verändert sich Schritt für Schritt (Stunde, Tag, Jahr). Bei linearem Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird in jedem Schritt mit derselben Zahl multipliziert. Dieser Unterschied entscheidet über alles Weitere.
linear: B(n) = B(n−1) + d B(n) = B(0) + n · d
exponentiell: B(n) = B(n−1) · q B(n) = B(0) · qⁿ
Links steht die Beschreibung von Schritt zu Schritt (rekursiv), rechts der direkte Sprung zum n-ten Wert (explizit). Aus einer Wertetabelle erkennst du den Typ mit zwei Tests:
Differenzen aufeinanderfolgender Werte immer gleich: linear, d ist die Differenz.
Quotienten aufeinanderfolgender Werte immer gleich: exponentiell, q ist der Quotient.
✎ Mini-Aufgabe: Die Tabelle zeigt n = 0, 1, 2, 3 mit B(n) = 12; 18; 27; 40,5. Entscheide, ob das Wachstum linear oder exponentiell ist, und gib d bzw. q an.
Lösung zeigen
Differenzen: 6; 9; 13,5, nicht konstant. Quotienten: 18 : 12 = 1,5; 27 : 18 = 1,5; 40,5 : 27 = 1,5, konstant. Das Wachstum ist exponentiell mit q = 1,5.
Zum Vergleich linear mit +50 je Stunde: B(3) = 500 + 3 · 50 = 650
2. Wachstumsrate und Wachstumsfaktor
In Sachtexten steht fast nie ein Faktor, sondern ein Prozentsatz: „wächst um 5 % pro Jahr“, „verliert jährlich 18 % an Wert“. Dieser Prozentsatz ist die Wachstumsrate p. Zum Rechnen brauchst du den Wachstumsfaktor q.
q = 1 + p (p als Dezimalzahl, bei Abnahme negativ)
q > 1: der Bestand nimmt zu.
0 < q < 1: der Bestand nimmt ab (Zerfall).
q = 1: es ändert sich nichts.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Bestand nimmt jedes Jahr um 15 % ab. Gib q an und bestimme, welcher Anteil des Anfangsbestands nach zwei Jahren noch übrig ist.
Lösung zeigen
q = 1 − 0,15 = 0,85. Nach zwei Jahren: 0,85² = 0,7225. Es sind noch 72,25 % übrig, nicht 70 %.
Beispiel: Abnahme um 8 % je Jahr
p = −0,08, also q = 1 − 0,08 = 0,92
nach drei Jahren: B(3) = B(0) · 0,92³ ≈ 0,779 · B(0), das sind rund 77,9 % des Anfangswerts
Zum Vergleich: +5 % ergibt q = 1,05 und +100 % ergibt q = 2.
„Minus 8 %“ heißt weder q = −8 noch q = −0,08, sondern q = 0,92. Ein Wachstumsfaktor ist nie negativ.
3. Die Funktion f(x) = a · b^x + c
Mit dem Wachstumsfaktor als Basis wird aus dem Bestand eine Funktion. Sie hat drei Stellschrauben:
f(x) = a · bx + c
b ist der Wachstumsfaktor (dasselbe q wie oben): b > 1 Zunahme, 0 < b < 1 Abnahme.
a streckt den Graphen. Ist c = 0, so ist a zugleich der Startwert, denn f(0) = a.
c verschiebt den Graphen nach oben oder unten. Die Gerade y = c ist die waagerechte Asymptote: der Graph nähert sich ihr, erreicht sie aber nie.
Beispiel: f(x) = 8 · 0,75x + 12
Faktor 0,75: Abnahme um 25 % je Schritt (der Teil über der Asymptote schrumpft)
Asymptote: y = 12
Startwert: f(0) = 8 · 1 + 12 = 20, nicht 8
✎ Mini-Aufgabe: Gib für f(x) = 4 · 0,5x + 20 den Wachstumsfaktor, die Gleichung der Asymptote und den Startwert f(0) an.
Oft sind nur zwei Messwerte gegeben. Du setzt beide Punkte in f(x) = a · bx ein und teilst die beiden Gleichungen durcheinander. Dabei kürzt sich a heraus. Liegen die Punkte bei x = 0 und x = 1, kannst du a und b direkt ablesen.
Beispiel: P(1 | 12) und Q(3 | 27)
(I) a · b¹ = 12 (II) a · b³ = 27
(II) : (I): b² = 27 : 12 = 2,25, also b = 1,5 (b > 0)
a aus (I): a = 12 : 1,5 = 8, also f(x) = 8 · 1,5x
Probe mit Q: 8 · 1,5³ = 8 · 3,375 = 27
Beim Teilen entsteht b hoch dem Abstand der x-Werte, hier b². Danach folgt die Wurzel. Subtrahieren führt nicht zum Ziel.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme a und b von f(x) = a · bx aus P(1 | 40) und Q(3 | 10).
Lösung zeigen
(II) : (I): b² = 10 : 40 = 0,25, also b = 0,5. a = 40 : 0,5 = 80. Es gilt f(x) = 80 · 0,5x; Probe: 80 · 0,5³ = 10.
5. Halbwertszeit und Verdopplungszeit
Bei Zerfall fragt man oft nach der Zeit, in der sich der Bestand halbiert: die Halbwertszeit T. Beim Wachstum entspricht ihr die Verdopplungszeit. Sie hängt nicht davon ab, wo man zu zählen beginnt: von 800 auf 400 dauert es genauso lange wie von 400 auf 200.
nach 1 · T: die Hälfte nach 2 · T: ein Viertel nach 3 · T: ein Achtel
qT = 0,5 also q = 0,51/T
Beispiel: 640 mg, Halbwertszeit 3 Tage
nach 9 Tagen sind 3 Halbwertszeiten vergangen: 640 : 8 = 80 mg
Faktor je Tag: q = 0,51/3 ≈ 0,794, der Stoff verliert täglich rund 20,6 %
nach 4 Tagen: 640 · 0,54/3 ≈ 254 mg
Ist der Bestand gegeben und die Zeit gesucht, brauchst du hier noch keine neue Rechenart: Du halbierst Schritt für Schritt, liest im Graphen ab oder probierst mit dem Taschenrechner, bis der Wert passt.
✎ Mini-Aufgabe: Die Halbwertszeit eines Stoffes beträgt 4 Tage. Bestimme den Faktor je Tag und gib an, wie viel von 320 mg nach 12 Tagen übrig ist.
Lösung zeigen
q = 0,51/4 ≈ 0,841, also eine Abnahme um rund 15,9 % je Tag. 12 Tage sind 3 Halbwertszeiten: 320 · 0,5³ = 320 : 8 = 40 mg.
6. Wie die Graphen aussehen
Oben: Die Gerade 4x, die Parabel x² und die Exponentialfunktion 2x. Alle drei treffen sich bei x = 4, danach liegt 2x ganz oben. Unten: f(x) = 8 · 0,75x + 12 nähert sich der gestrichelten Asymptote y = 12.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wächst um 5 % pro Jahr
Rate p = 0,05, Faktor q = 1,05
Nicht 5 oder 0,05 einsetzen.
nimmt um 8 % ab, verliert 8 %
Faktor q = 0,92
q ist nie negativ.
in 5 Jahren um 30 % mehr
Faktor für 5 Jahre: 1,3
Das ist nicht der Faktor je Jahr (Wurzel ziehen).
alle 4 Tage verdoppelt
Verdopplungszeit 4 Tage, q⁴ = 2
q gilt je Tag, T ist eine Zeitspanne.
Halbwertszeit
qT = 0,5
Gilt von jedem Startwert aus.
je Zeitraum von zwei Tagen
Faktor für zwei Tage
Je Tag ist die Wurzel daraus.
um wie viel Prozent mehr nach n Schritten
qn − 1
Nicht n · p.
wann wird … erreicht, erstmals mehr als
f(t) = Wert bzw. f(t) > Wert
Hier ablesen, halbieren oder probieren.
8. Was nirgends steht
Der Faktor gehört zur Zeiteinheit der Aufgabe. Steht die Zeit in Tagen und die Rate je Woche, musst du umrechnen.
Prozentsätze beziehen sich immer auf den Wert vor dem Schritt. Raten hintereinander werden multipliziert, nicht addiert.
Bei f(x) = a · bx + c ist der Startwert a + c, und die Asymptote y = c liefert eine Schranke, die nie erreicht wird.
Die Basis b ist positiv. Aus b² = 2,25 kommt nur b = 1,5 in Frage.
Der Zerfall endet nie bei null. Nach jeder Halbierung bleibt etwas übrig.
Ein Modell gilt nur im beobachteten Bereich. Ein Teich kann nicht mehr als 100 % bedeckt sein, auch wenn die Formel es hergibt.
9. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Ein Medikament wird im Blut stündlich um 15 % abgebaut. Nach der Einnahme sind 200 mg im Blut. Ab wann sind es weniger als 100 mg?
Was ist gefragt? Der erste Zeitpunkt, an dem die Menge unter 100 mg liegt, also die Hälfte des Anfangswerts.
Was steht nicht da? Der Faktor je Stunde ist 1 − 0,15 = 0,85, nicht 0,15 und nicht 0,85 als Prozentsatz. Die Zeit ist in Stunden gerechnet. Eine Formel für „wann“ habe ich noch nicht, ich probiere Stunde für Stunde.
10 Tage sind zwei Halbwertszeiten, der Bestand wurde also geviertelt: 25 · 4 = 100 mg.
2.8Exponentialfunktion am Graphen
Material
a) Der Graph von f mit f(x) = a · bx ist abgebildet. Lies die Punkte A und B ab und bestimme f(x).
Hilfe 1
Lies die Koordinaten der markierten Punkte am Gitter ab.
Hilfe 2
Setze beide Punkte in f(x) = a · bx ein und teile.
b) Berechne f(5).
Hilfe 1
Setze 5 in deinen Term ein.
Lösung zeigen
a) Punkte am Graphen ablesen, dann wie bei zwei Messwerten.
Ablesen: A(1 | 6) und B(3 | 54). (II) : (I): b² = 54 : 6 = 9, also b = 3 (b > 0). a = 6 : 3 = 2.
Es gilt f(x) = 2 · 3x.
b) Funktionswert außerhalb des Bildes.
f(5) = 2 · 3⁵ = 2 · 243 = 486
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Konto mit 3 000 € wird jährlich mit 2,5 % verzinst. Wie hoch ist der Kontostand nach 8 Jahren? (2) Von einem Stoff halbiert sich die Menge alle 6 Stunden. Wann ist nur noch ein Achtel übrig? (3) Eine Maschine ist neu 20 000 € wert und nach 2 Jahren noch 16 200 €. Um wie viel Prozent verliert sie jährlich an Wert?
Hilfe 1
Frage dich bei jeder Aufgabe: Ist die Zeit gegeben oder der Bestand?
Hilfe 2
Bei (3) sind zwei Bestände gegeben. Welcher Faktor führt von einem zum anderen?
Hilfe 3
Bei (2): Wie oft muss halbiert werden?
b) Eine Kolonie von Wasserflöhen beginnt mit 250 Tieren und wächst täglich um 18 %. Ab welchem Tag sind es erstmals mehr als 500 Tiere? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der erste Tag, an dem … größer ist als … 2. Was nicht dasteht: Der Faktor je Tag ist …, nicht 0,18. Die Zeit habe ich noch keine Formel, ich … 3. Rechnen: B(t) = …; B(4) = …; B(5) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt die Zahl der Tiere nach t Tagen?
Hilfe 2
Setze nacheinander t = 3, 4, 5 … ein.
Hilfe 3
Wann ist der Wert zum ersten Mal größer als 500?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Bestand aus Zeit, Zeit aus Bestand, Faktor aus zwei Werten.
(1) Gesucht ist der Kontostand nach 8 Jahren. Ansatz: K(8) = 3 000 · 1,025⁸.
(2) Gesucht ist die Zeit bis zu einem Achtel. Ansatz: ein Achtel sind drei Halbierungen, also 3 · 6 Stunden.
(3) Gesucht ist die jährliche Rate. Ansatz: 20 000 · q² = 16 200, also q² = 0,81 und p = q − 1.
b) Tage probieren: Wert und Zeitpunkt sind getrennt zu beantworten. 1,18 statt 0,18 ist die stille Bedingung.
1. Gefragt ist der erste Tag, an dem die Zahl der Tiere größer ist als 500.
2. Der Faktor je Tag ist 1,18, nicht 0,18. Ich habe keine Formel für die Zeit und probiere Tag für Tag.
3. B(t) = 250 · 1,18t; B(4) ≈ 484,7; B(5) ≈ 571,9
4. Nach 5 Tagen sind es erstmals mehr als 500 Tiere (rund 572).
5. Bei 18 % je Tag dauert eine Verdopplung etwas länger als 4 Tage (1,18⁴ ≈ 1,94). Das passt.
3.2Wasserlinsen
Auf einem Teich mit einer Fläche von 100 m² breiten sich Wasserlinsen aus. Zu Beobachtungsbeginn bedecken sie 8 m². Danach nimmt die bedeckte Fläche täglich um 25 % zu (A(t): bedeckte Fläche in m², t: Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn, 0 ≤ t ≤ 12). Wind und Wellengang bleiben unberücksichtigt. Das Material zeigt den Graphen von A und die Fläche des Teichs als gestrichelte Linie.
Material
a) Stelle eine Funktionsgleichung für A auf und berechne die bedeckte Fläche nach 6 Tagen. Runde auf eine Nachkommastelle.
Hilfe 1
Welche Zahl multipliziert die Fläche täglich?
Hilfe 2
Was ist die Fläche bei t = 0?
b) Bestimme mithilfe des Graphen, wann der Teich vollständig bedeckt ist.
Hilfe 1
Welchen Wert hat A, wenn der Teich ganz bedeckt ist?
Hilfe 2
Wo schneidet der Graph diese Linie?
c) Die Betreiberin meint: „Die Hälfte der Teichfläche ist erreicht, wenn die Hälfte der Zeit bis zur vollständigen Bedeckung vergangen ist.“ Beurteile diese Aussage mithilfe des Graphen.
Hilfe 1
Lies ab, wann 50 m² erreicht sind.
Hilfe 2
Vergleiche diese Zeit mit der Hälfte der Gesamtzeit.
Hilfe 3
Wie viel Zeit liegt zwischen 50 m² und 100 m²?
Lösung zeigen
a) Rate in Faktor übersetzen, Startwert aus dem Text.
Täglich +25 %, also q = 1,25. Startwert 8 m². A(t) = 8 · 1,25t
A(6) = 8 · 1,25⁶ ≈ 30,5. Nach 6 Tagen sind rund 30,5 m² bedeckt.
b) Zeitpunkt zu gegebenem Wert: am Graphen. Der Teich ist begrenzt, das Modell nicht.
Gesucht ist die Stelle, an der A den Wert 100 erreicht. Im Material schneidet der Graph die gestrichelte Linie bei t ≈ 11,3. Ablesewerte von 11,2 bis 11,4 Tagen gelten als richtig.
Probe: A(11) ≈ 93,1 und A(12) ≈ 116,4. Der Teich ist nach rund 11,3 Tagen vollständig bedeckt, im Verlauf des 12. Tages.
Danach bleibt die Fläche bei 100 m², weil nicht mehr als der ganze Teich bedeckt sein kann.
c) Rate gegen Zeit: exponentielles Wachstum ist am Anfang langsam, am Ende schnell.
Die Aussage ist falsch. 50 m² werden nach rund 8,2 Tagen erreicht, die halbe Zeit wäre 5,7 Tage, und dort sind es erst A(5,7) ≈ 28,5 m². Ablesewerte für 50 m² von 8,0 bis 8,4 Tagen sind in Ordnung; entscheidend ist der Vergleich mit der halben Zeit.
Die Fläche verdoppelt sich immer in derselben Zeit von rund 3,1 Tagen. Von 50 auf 100 m² braucht sie also nur noch etwa 3 Tage, die Hälfte der Fläche wird erst kurz vor dem Ende erreicht.
3.3Koffein im Blut
Der Körper baut Koffein ab, die Halbwertszeit beträgt 5 Stunden. Nach einer Tasse Kaffee befinden sich zu Beginn (t = 0) 100 mg Koffein im Blut (t: Zeit in Stunden seit der Tasse; m(t): Koffein im Blut in mg). Ein weiteres Getränk wird nicht getrunken.
a) Bestimme den Wachstumsfaktor je Stunde und gib an, um wie viel Prozent das Koffein je Stunde abnimmt.
Hilfe 1
Welchen Wert hat q⁵ nach einer Halbwertszeit?
Hilfe 2
Ziehe die fünfte Wurzel.
b) Berechne die Menge Koffein nach 8 Stunden.
Hilfe 1
Wie viele Halbwertszeiten sind 8 Stunden?
Hilfe 2
Setze die Anzahl als Exponenten ein.
c) Ab dem Moment, in dem weniger als 10 mg im Blut sind, stört das Koffein den Schlaf nicht mehr. Bestimme, nach wie vielen Stunden das erstmals der Fall ist.
Hilfe 1
Welche Menge soll unterschritten werden?
Hilfe 2
Beginne bei einem Vielfachen der Halbwertszeit, etwa t = 15, und geh stundenweise weiter.
Hilfe 3
Bei welcher Stunde kippt das Ergebnis unter 10?
d) Ein Kollege sagt: „Nach zwei Halbwertszeiten, also nach 10 Stunden, ist das Koffein vollständig abgebaut.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie viel ist nach zwei Halbierungen noch da?
Lösung zeigen
a) Aus der Halbwertszeit den Faktor je Zeiteinheit.
q⁵ = 0,5, also q = 0,51/5 ≈ 0,871. Das Koffein nimmt um rund 12,9 % je Stunde ab.
b) Zeit in Halbwertszeiten umrechnen, auch bei nicht ganzzahligem Ergebnis.
m(8) = 100 · 0,58/5 ≈ 33,0. Nach 8 Stunden sind noch rund 33,0 mg im Blut.
c) „weniger als“: Ungleichung, Zeit durch Probieren.
Gesucht ist die erste Zeit mit m(t) < 10. Wertetabelle: m(15) = 12,5; m(16) ≈ 10,9; m(17) ≈ 9,5. Wer die Zeit genauer angibt (rund 16,6 Stunden), liegt ebenfalls richtig.
Nach 17 Stunden liegt die Menge erstmals unter 10 mg (die Grenze wird zwischen der 16. und 17. Stunde unterschritten).
d) Zerfall endet nicht bei null.
Die Aussage ist falsch. Nach zwei Halbwertszeiten ist noch ein Viertel übrig, also 25 mg. Der Bestand halbiert sich immer wieder, wird aber nie null.
3.4Videokanal
Ein Videokanal wird beobachtet. Die Zahl der Abonnenten (in Tausend) wurde zu vier Zeitpunkten notiert (t: Zeit in Monaten seit Beobachtungsbeginn).
t in Monaten: 0 2 4 6
Abonnenten in Tausend: 2,00 2,90 4,21 6,10
a) Entscheide anhand der Werte, ob die Zahl der Abonnenten eher linear oder exponentiell wächst, und begründe.
Hilfe 1
Bilde Differenzen und Quotienten aufeinanderfolgender Werte.
Hilfe 2
Wie viel Zeit liegt zwischen den Messungen?
b) Stelle eine Funktion f(t) = a · bt auf (t in Monaten) und gib an, um wie viel Prozent die Zahl der Abonnenten je Monat zunimmt.
Hilfe 1
Für welche Zeitspanne gilt der Quotient 1,45?
Hilfe 2
Wie hängt der Faktor je Monat mit dem Faktor für 2 Monate zusammen?
c) Anna prognostiziert die Abonnenten nach 12 Monaten mit einer Geraden durch die ersten beiden Werte, Ben mit f aus b). Berechne beide Prognosen.
Hilfe 1
Wie lautet Annas Gerade?
Hilfe 2
Setze t = 12 in beide Modelle ein.
d) Beurteile, welches der beiden Modelle die bisherigen Messwerte besser beschreibt und ob Bens Modell auch für 5 Jahre (60 Monate) glaubwürdig ist.
Hilfe 1
Berechne Annas Wert bei t = 6.
Hilfe 2
Berechne Bens Wert bei t = 60 und beurteile ihn.
Lösung zeigen
a) Zwei Tests an einer Tabelle, Abstand der Messzeitpunkte beachten.
Das Wachstum ist exponentiell, mit dem Faktor 1,45 für je 2 Monate.
b) Der Faktor gehört zur Zeitspanne der Tabelle, nicht zu einem Monat.
a = f(0) = 2,0. Der Faktor 1,45 gehört zu 2 Monaten: b² = 1,45, also b = √1,45 ≈ 1,204.
f(t) = 2,0 · 1,204t. Die Zahl nimmt um rund 20,4 % je Monat zu (nicht um 45 %).
c) Zwei Modelle am selben Zeitpunkt auswerten.
Anna: Steigung 0,90 : 2 = 0,45 je Monat, also 2,0 + 0,45 · 12 = 7,4 (Tausend).
Ben: f(12) = 2,0 · 1,45⁶ ≈ 18,6 (Tausend).
d) Modell am Datensatz prüfen, dann die Grenze benennen.
Annas Gerade trifft nur die ersten beiden Werte: für t = 6 ergibt sie 4,7 statt 6,10. Bens Modell passt zu allen vier Werten.
Für 60 Monate liefert Bens Modell 2,0 · 1,45³⁰ ≈ 138 700 (Tausend), also rund 139 Millionen Abonnenten. Das ist für einen Kanal unrealistisch. Unbegrenztes exponentielles Wachstum gilt nur für einen begrenzten Zeitraum.
3.5Elektroroller
Ein Elektroroller kostet neu 2 400 € und verliert jedes Jahr 12 % des Werts vom Vorjahr (W(t): Wert in Euro, t: Zeit in Jahren seit dem Kauf). Eine Schülerin rechnet für den Wert nach 5 Jahren: „5 · 12 % = 60 % Verlust, also bleiben 40 % von 2 400 €, das sind 960 €.“
a) Erläutere den Fehler und berechne den richtigen Restwert nach 5 Jahren. Runde auf ganze Euro.
Hilfe 1
Worauf bezieht sich die 12 % im zweiten Jahr?
Hilfe 2
Mit welcher Zahl wird der Wert jedes Jahr multipliziert?
b) Bestimme, nach wie vielen Jahren der Roller erstmals weniger als die Hälfte seines Neupreises wert ist.
Hilfe 1
Welcher Wert ist die Hälfte des Neupreises?
Hilfe 2
Probiere ganze Jahre um 5 herum.
c) Ein Händler sagt: „12 % von 100 % sind in 9 Jahren aufgebraucht, dann ist der Roller wertlos.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie viel ist nach 9 Jahren übrig?
Hilfe 2
Kann ein Produkt positiver Zahlen null werden?
Lösung zeigen
a) Fehleranalyse: Raten addiert statt Faktoren multipliziert.
Der Verlust von 12 % bezieht sich jedes Jahr auf den Wert des Vorjahres, nicht auf den Neupreis. Die Verluste dürfen nicht addiert werden.
W(t) = 2 400 · 0,88t; W(5) ≈ 1 266,56 ≈ 1 267 €. Nach 5 Jahren hat der Roller noch rund 53 % seines Werts, nicht 40 %.
b) Zeit zu Wert: halber Neupreis, Jahre probieren.
Gesucht ist die erste Zeit mit W(t) < 1 200. W(5) ≈ 1 266,56; W(6) ≈ 1 114,57.
Nach 6 Jahren ist der Roller erstmals weniger als 1 200 € wert.
c) Exponentieller Zerfall erreicht null nie.
Die Aussage ist falsch. Der Wert wird jedes Jahr mit 0,88 multipliziert und damit immer kleiner, aber nie null. Nach 9 Jahren sind es noch 2 400 · 0,88⁹ ≈ 760 €.
Klausuraufgabe
4.1Hefekultur
In einem Labor wird eine Hefekultur beobachtet. Die Tabelle zeigt die Zahl der Hefezellen je Milliliter Nährlösung (in Tausend) an fünf Messtagen (t: Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn).
t in Tagen: 2 3 4 5 6
Zellen in Tausend je ml: 9,80 13,72 19,21 26,89 37,65
a) Weise nach, dass die Zellzahl nicht linear, sondern näherungsweise exponentiell wächst.3 BE
Hilfe 1
Welche Größe prüfst du bei linearem, welche bei exponentiellem Wachstum?
Hilfe 2
Die Werte stehen in einer Zeile, bilde Differenzen und Quotienten.
b) Die Zellzahl wird durch f(t) = a · bt beschrieben. Bestimme a und b mithilfe der Werte für t = 2 und t = 4. Zur Kontrolle: f(t) ≈ 5,0 · 1,40t.4 BE
Hilfe 1
Setze beide Werte ein und teile.
Hilfe 2
Was ergibt sich beim Teilen: b oder eine Potenz von b?
Hilfe 3
Ziehe die Wurzel und bestimme a aus (I).
c) Erläutere die Bedeutung von a im Sachzusammenhang und gib an, um wie viel Prozent die Zellzahl je Tag zunimmt.3 BE
Hilfe 1
Was ist f(0)?
Hilfe 2
Wie hängt die Rate je Tag mit b zusammen?
d) Bestimme, ab welchem Tag die Zellzahl nach dem Modell 100 Tausend je Milliliter übersteigt.2 BE
Hilfe 1
Setze ganze Tage um 8 herum ein.
Hilfe 2
Wann kippt der Wert über 100?
e) Ab 200 Tausend Zellen je Milliliter ist die Nährlösung erschöpft. Beurteile, ob das Modell die Zellzahl für t = 14 beschreiben kann.2 BE
Hilfe 1
Berechne f(14) und vergleiche mit der Grenze.
Hilfe 2
Ab welchem Tag liefert das Modell mehr als 200?
Lösung zeigen
a) „Weise nach“: beide Tests mit Werten hinschreiben.
Differenzen: 3,92; 5,49; 7,68; 10,76, nicht konstant, also nicht linear.
Quotienten: 13,72 : 9,80 = 1,40; 19,21 : 13,72 ≈ 1,40; 26,89 : 19,21 ≈ 1,40; 37,65 : 26,89 ≈ 1,40. Die Quotienten sind (bis auf Rundung) gleich, das Wachstum ist näherungsweise exponentiell.
b) Zwei Werte, die nicht bei t = 0 und t = 1 liegen. Der Quotient gehört zu zwei Tagen.
(I) a · b² = 9,80; (II) a · b⁴ = 19,21. (II) : (I): b² = 19,21 : 9,80 ≈ 1,96, also b ≈ 1,40 (b > 0).
a = 9,80 : 1,40² = 5,0. Es gilt f(t) ≈ 5,0 · 1,40t.
c) Parameter im Sachzusammenhang deuten.
a = f(0) ≈ 5,0: Zu Beobachtungsbeginn waren es nach dem Modell rund 5 Tausend Zellen je Milliliter (ein berechneter Wert, nicht gemessen).
b = 1,40: Die Zellzahl nimmt um 40 % je Tag zu.
d) Zeit zu Wert: Tage probieren.
Gesucht ist die erste Zeit mit f(t) > 100. f(8) ≈ 73,8; f(9) ≈ 103,3.
Nach 9 Tagen übersteigt die Zellzahl erstmals 100 Tausend je Milliliter.
e) Modellgrenze benennen.
f(14) ≈ 556 liegt weit über 200. Schon f(10) ≈ 144,6 und f(11) ≈ 202,5: Ab etwa t = 11 gilt das Modell nicht mehr, denn die Zellzahl kann die Grenze nicht überschreiten.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Die e-Funktion“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.