Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bei einem Extremalproblem soll eine Größe möglichst groß oder möglichst klein werden: die größte Fläche, das größte Volumen, die niedrigsten Kosten. Dabei bist du nicht frei, denn eine Bedingung schränkt die Auswahl ein, zum Beispiel eine feste Zaunlänge oder eine feste Menge Karton. Leitbeispiel: Aus 40 m Zaun soll ein rechteckiges Gehege mit möglichst großem Flächeninhalt entstehen.
✎ Mini-Aufgabe: Zu den Seiten x = 5 m und y = 15 m gehört die Fläche 75 m². Berechne die Fläche für x = 9 m und für x = 11 m. Bei welchem x vermutest du den größten Wert, und warum reicht Ausprobieren nicht als Nachweis?
Lösung zeigen
x = 9 m: y = 11 m, A = 99 m². x = 11 m: y = 9 m, A = 99 m². Beide Werte sind gleich, also liegt das Maximum vermutlich in der Mitte, bei x = 10 m mit A = 100 m². Ausprobieren liefert nur Kandidaten: Zwischen den getesteten Werten könnte noch ein größerer liegen.
2. Das Verfahren
Zielgröße: Die Größe, die möglichst groß oder klein werden soll, als Formel mit zwei Variablen: A = x · y.
Nebenbedingung: Was fest vorgegeben ist, als Gleichung: 2x + 2y = 40. Löse sie nach einer Variablen auf: y = 20 − x.
Zielfunktion: Setze ein, bis nur noch eine Variable übrig ist: A(x) = x · (20 − x) = 20x − x².
Definitionsbereich: Alle Längen sind positiv, also x > 0 und y = 20 − x > 0. Das gibt 0 < x < 20.
Extremum: A′(x) = 0 lösen, die Art mit A″ nachweisen, mit den Rändern vergleichen. Zum Schluss die zweite Größe zurückrechnen und einen Antwortsatz mit Einheit schreiben.
Beispiel: Gehege aus 40 m Zaun
Zielgröße A = x · y; Nebenbedingung 2x + 2y = 40 ⇔ y = 20 − x
Ränder: A(0) = 0 und A(20) = 0, beide kleiner als A(10) = 100
y = 20 − 10 = 10. Das Gehege ist 10 m lang und 10 m breit, der größte Flächeninhalt beträgt 100 m².
Die Aufgabe ist erst fertig, wenn die zweite Größe zurückgerechnet ist und ein Antwortsatz mit Einheit dasteht.
✎ Mini-Aufgabe: Löse die Nebenbedingung 2x + 3y = 60 nach y auf. Welche Zielfunktion A(x) = x · y entsteht damit?
Lösung zeigen
y = (60 − 2x) : 3 = 20 − (23)x. Damit ist A(x) = x · (20 − (23)x) = 20x − (23)x².
✎ Mini-Aufgabe: Zwei positive Zahlen haben die Summe 30, ihr Produkt soll möglichst groß werden. Schreibe Zielgröße und Nebenbedingung auf und gib die Zielfunktion mit Definitionsbereich an.
Lösung zeigen
Zielgröße P = x · y, Nebenbedingung x + y = 30, also y = 30 − x. Zielfunktion P(x) = x · (30 − x) = 30x − x² mit 0 < x < 30.
3. Zielfunktion und Rand im Graphen
Oben das Volumen V(x) = 75x − 0,25x³ der Schachtel aus dem Sachbeispiel weiter unten, unten die Fläche A(x) = 80x − 2x² eines Geheges an einer Mauer (80 m Zaun für drei Seiten). Ist die Mauer nur 30 m lang, gilt x ≥ 25: Der Hochpunkt bei x = 20 liegt dann außerhalb, und der größte Wert steht am Rand bei x = 25.
Liegt die Extremstelle nicht im Definitionsbereich, steht die Lösung am Rand. Dort vergleichst du die Funktionswerte.
✎ Mini-Aufgabe: Für A(x) = 12x − 2x² gilt 0 < x < 6 (x in m, A in m²). Bestimme die Extremstelle, prüfe die Ränder und schreibe einen Antwortsatz.
Lösung zeigen
A′(x) = 12 − 4x = 0 ⇔ x = 3; A″(x) = −4 < 0: Hochpunkt. A(3) = 18. Ränder: A(0) = 0 und A(6) = 0. Der größte Flächeninhalt beträgt 18 m² bei x = 3 m.
✎ Mini-Aufgabe: Für A(x) = 80x − 2x² gilt wegen der kurzen Mauer nur 25 ≤ x < 40. Ist x = 20 eine Lösung? Wo liegt der größte Wert, und wie groß ist er?
Lösung zeigen
x = 20 liegt nicht im Definitionsbereich. Auf [25; 40) fällt der Graph, der größte Wert steht am linken Rand: A(25) = 2000 − 1250 = 750.
4. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
möglichst groß, größte Fläche, möglichst viel
die Zielgröße, die maximal wird
Das ist die Formel, die du ableitest, nicht die Vorgabe.
genau … stehen zur Verfügung, vollständig verbraucht, insgesamt
die Nebenbedingung als Gleichung
Alles Vorgegebene verwenden.
an einer Seite kein Zaun (Wand, Fluss, Mauer)
diese Seite fehlt im Umfang
2x + y statt 2x + 2y
Ecken ausschneiden, Ränder hochklappen
Länge und Breite werden um 2x kürzer, die Höhe ist x
V = x · (a − 2x) · (b − 2x)
höchstens, nur, darf nicht länger sein als
Einschränkung des Definitionsbereichs
Randwert prüfen: Die Extremstelle kann herausfallen.
Preis pro Meter, Eintrittspreis, Besucher je Preis
Nebenbedingung mit Preisen oder Absatz
Kosten und Längen nicht mischen; Einheit beachten.
Ecke liegt auf dem Graphen
Die Höhe ist der Funktionswert f(x)
Steht das Rechteck symmetrisch, ist die Breite 2x.
Welche Maße hat …, wie viel …
beide Größen angeben
Die zweite Größe aus der Nebenbedingung zurückrechnen.
5. Was nirgends steht
Der Definitionsbereich: Längen sind positiv, und jede Größe der Nebenbedingung muss es auch bleiben.
Der Rand: Gibt es eine Obergrenze oder Untergrenze, kann der größte Wert am Rand liegen.
Die Art des Extremums: A′(x) = 0 genügt nicht, du weist Maximum oder Minimum nach.
Die zweite Größe: Gefragt sind oft die Maße, nicht nur der Wert der Zielfunktion.
Die Einheit im Antwortsatz.
Eine nach unten geöffnete Parabel hat ihren größten Wert am Scheitel, sofern der Scheitel im Definitionsbereich liegt. Bei einer Zielfunktion dritten Grades gilt das nicht: Dort vergleichst du die Ränder.
6. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Aus genau 300 cm² Karton soll eine oben offene Schachtel mit quadratischem Boden entstehen, die möglichst viel fasst.
Was ist gefragt? Das größte Volumen V = x² · h. Dabei ist x die Kante des Bodens und h die Höhe, beides in cm.
Was steht nicht da? Der Karton besteht aus Boden und vier Wänden: x² + 4xh = 300, also h = (300 − x²) : (4x). Beide Maße sind positiv, also 0 < x < √300 ≈ 17,3. An den Rändern ist das Volumen 0.
Antwortsatz Das größte Volumen beträgt 500 cm³, bei einer Bodenkante von 10 cm und einer Höhe von 5 cm.
Prüfen Karton: 100 + 4 · 10 · 5 = 300 cm². Das passt. Der Graph oben steigt bis x = 10 und fällt danach.
7. Typische Fehler
Die Nebenbedingung wird vergessen. Dann bleiben zwei Variablen, und es lässt sich nichts ableiten.
Zielgröße und Nebenbedingung werden vertauscht: Wer 2x + 2y = 40 ableitet, optimiert den Umfang statt der Fläche.
Der Definitionsbereich fehlt, und eine Extremstelle außerhalb wird als Lösung angegeben.
Nach A′(x) = 0 fehlt der Nachweis der Art, oder die Ränder bleiben ungeprüft.
Die zweite Größe wird nicht zurückgerechnet, der Antwortsatz hat keine Einheit.
Beim Ausschneiden von Ecken wird x nur einmal abgezogen: V = x · (a − x) · (b − x) statt V = x · (a − 2x) · (b − 2x).
Rechnen
2.1Zahlen zerlegen
Zwei positive Zahlen x und y haben die Summe 14. Die Summe ihrer Quadrate soll möglichst klein werden. Bestimme die beiden Zahlen und die kleinste Quadratsumme.
Hilfe 1
Was soll möglichst klein werden, und was ist fest vorgegeben?
Hilfe 2
Drücke y mit der Summe durch x aus und setze in die Quadratsumme ein.
Hilfe 3
Danach leite ab. Vergiss die zweite Zahl nicht.
Lösung zeigen
„möglichst klein“: Zielgröße ist die Quadratsumme, vorgegeben ist die Summe der Zahlen.
Zielgröße S = x² + y², Nebenbedingung x + y = 14, also y = 14 − x
S(x) = x² + (14 − x)² = 2x² − 28x + 196 mit 0 < x < 14
S′(x) = 4x − 28 = 0 ⇔ x = 7; S″(x) = 4 > 0: Tiefpunkt. Ränder: S(0) = 196 und S(14) = 196, beide größer als S(7).
Beide Zahlen sind 7; kleinste Quadratsumme: 98.
2.2Rechteck unter einer Geraden
Die Gerade g hat die Gleichung g(x) = −2x + 20. Ein Rechteck hat eine Ecke im Ursprung, je eine Ecke auf der x-Achse und auf der y-Achse; die vierte Ecke P(u | g(u)) liegt auf der Geraden (0 < u < 10).
a) Zeige, dass für den Flächeninhalt des Rechtecks A(u) = 20u − 2u² gilt.
Hilfe 1
Wie lang sind die beiden Seiten des Rechtecks in Abhängigkeit von u?
Hilfe 2
Die Höhe ist die y-Koordinate von P.
b) Bestimme u so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und gib den größten Flächeninhalt an.
Hilfe 1
Leite A ab und setze die Ableitung null.
Hilfe 2
Die Art weist du mit der zweiten Ableitung nach.
Lösung zeigen
a) Die Höhe ist der Funktionswert der Geraden an der Stelle u.
Ränder: A(0) = 0 und A(10) = 0. Das Rechteck hat bei u = 5 die Seiten 5 und 10; größter Flächeninhalt: 50 FE.
2.3Rechteck unter einer Parabel
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 27 − x². Ein Rechteck liegt symmetrisch zur y-Achse unter dem Graphen: Die Grundseite liegt auf der x-Achse von −x bis x, die oberen Ecken liegen auf dem Graphen (0 < x < 3√3). Für den Flächeninhalt gilt A(x) = 54x − 2x³.
a) Bestimme x so, dass der Flächeninhalt maximal wird, und weise die Art des Extremums nach.
Hilfe 1
Setze die Ableitung null. Die Gleichung hat zwei Lösungen.
Hilfe 2
Welche Lösung gehört zum Definitionsbereich?
Hilfe 3
Prüfe am Ende auch die Ränder.
b) Gib Breite und Höhe des größten Rechtecks sowie seinen Flächeninhalt an.
Hilfe 1
Die Breite ist nicht x.
Hilfe 2
Die Höhe ist der Funktionswert an der Stelle x.
Lösung zeigen
a)
A′(x) = 54 − 6x² = 0 ⇔ x² = 9 ⇔ x = 3 oder x = −3. Nur x = 3 liegt im Definitionsbereich 0 < x < 3√3.
A″(x) = −12x, also A″(3) = −36 < 0: Hochpunkt. Ränder: A(0) = 0 und A(3√3) = 0.
b)
Breite 2x = 6, Höhe f(3) = 18.
A(3) = 108; größter Flächeninhalt: 108 FE.
2.4Zerschnittener Draht
Ein Draht von 28 cm Länge wird an einer Stelle zerschnitten. Aus dem ersten Stück der Länge x wird ein Quadrat gebogen, aus dem zweiten Stück ebenfalls. Der Draht wird vollständig verbraucht. Bestimme x so, dass die Summe der beiden Quadratflächen möglichst klein wird. Vergleiche diese Summe mit der Fläche eines einzigen Quadrats aus dem ganzen Draht.
Hilfe 1
Wie lang ist die Seite eines Quadrats, das aus einem Draht der Länge x gebogen wird?
Hilfe 2
Wie lang ist das zweite Drahtstück?
Hilfe 3
Die Zielfunktion ist die Summe zweier Quadratflächen in x.
Lösung zeigen
„Summe der beiden Flächen“: Zielgröße ist die Summe, die Nebenbedingung ist die feste Drahtlänge.
Seiten der Quadrate: x : 4 und (28 − x) : 4 mit 0 < x < 28
S(14) = 24,5 cm². Beide Stücke sind 14 cm lang. Ein einziges Quadrat aus 28 cm Draht hätte 7² = 49 cm², also doppelt so viel.
2.5Zaunpreise
Ein rechteckiges Grundstück wird vollständig eingezäunt. Die beiden Seiten der Länge x kosten je 20 € pro Meter. Von den beiden Seiten der Länge y liegt eine an der Straße und kostet 40 € pro Meter, die andere liegt an einem Feld und kostet 20 € pro Meter. Es stehen genau 2400 € zur Verfügung, die ganz ausgegeben werden. Bestimme x und y so, dass der Flächeninhalt maximal wird.
Hilfe 1
Was kostet jede der vier Seiten? Addiere zur Gesamtsumme.
Hilfe 2
Die Gesamtkosten sind die Nebenbedingung: 2400 € für alle vier Seiten.
Hilfe 3
Löse nach x oder y auf, setze in A = x · y ein.
Lösung zeigen
Die Nebenbedingung ist hier ein Geldbetrag, kein Umfang.
Kosten: 2 · 20x + 40y + 20y = 40x + 60y = 2400, also x = 60 − 1,5y
A(y) = x · y = (60 − 1,5y) · y = 60y − 1,5y² mit 0 < y < 40
x = 60 − 30 = 30. Probe: 40 · 30 + 60 · 20 = 2400. Das Grundstück ist 30 m mal 20 m groß, der größte Flächeninhalt beträgt 600 m².
Ohne Taschenrechner
2.6Wie lang ist der Zaun?
Ein rechteckiges Gehege grenzt mit einer Seite an eine Mauer. Die drei anderen Seiten werden eingezäunt, der Zaun wird vollständig verbraucht. Die größte Fläche, die sich so einzäunen lässt, beträgt 200 m². Bestimme die Länge des Zauns.
Hilfe 1
Die Zaunlänge ist unbekannt. Nenne sie L und löse das Problem zuerst allgemein.
Hilfe 2
Wie groß ist die größte Fläche in Abhängigkeit von L?
Hilfe 3
Setze diesen Term gleich 200.
Lösung zeigen
Rückwärts: Das Ergebnis ist gegeben, die Vorgabe der Nebenbedingung ist gesucht.
Zaunlänge L; x senkrecht zur Mauer, y parallel dazu: 2x + y = L, also y = L − 2x
A(x) = x · (L − 2x) = Lx − 2x² mit 0 < x < L : 2. A′(x) = L − 4x = 0 ⇔ x = L : 4; A″(x) = −4 < 0: Hochpunkt.
A(L : 4) = L²4 − L²8 = L²8
L²8 = 200 ⇔ L² = 1600 ⇔ L = 40 (L > 0). Zaunlänge 40 m.
2.7Schachtel am Graphen
Aus einem quadratischen Karton wird eine oben offene Schachtel gefaltet: An den vier Ecken werden Quadrate der Seitenlänge x (in cm) ausgeschnitten, die Ränder werden hochgeklappt. Die Abbildung zeigt das Volumen V(x) in cm³ in Abhängigkeit von x.
Abbildung
a) Lies aus der Abbildung näherungsweise ab, für welches x das Volumen am größten ist und wie groß es dann ist.
Hilfe 1
Suche den höchsten Punkt des Graphen.
Hilfe 2
Lies dort beide Koordinaten ab.
b) Bestimme mithilfe der Abbildung die Seitenlänge des Kartons. Begründe.
Hilfe 1
Bei welchem x ist das Volumen null? Was ist dann vom Boden übrig?
Hilfe 2
Von jeder Seite werden zwei Quadrate abgezogen.
c) Stelle den Term von V(x) auf und bestätige damit rechnerisch deine Ablesung aus Teilaufgabe a).
Hilfe 1
Länge und Breite der Schachtel sind 24 − 2x, die Höhe ist x.
Hilfe 2
Klammere bei V′ die 12 aus, dann bleibt eine quadratische Gleichung.
Lösung zeigen
a)
Ablesen: Das Volumen ist bei x ≈ 4 am größten und beträgt etwa 1000 cm³ (Toleranz: x zwischen 3,5 und 4,5, V zwischen 950 und 1100 cm³).
b)
Der Graph schneidet die x-Achse bei x = 12: Dann bleibt kein Boden übrig, V = 0. Die Eckquadrate nehmen von beiden Seiten je 12 cm weg, der Karton ist 24 cm lang.
c)
V(x) = x · (24 − 2x)² = 4x³ − 96x² + 576x
V′(x) = 12x² − 192x + 576 = 12 · (x − 4) · (x − 12) = 0 ⇔ x = 4 oder x = 12. x = 12 ist der Rand mit V(12) = 0.
Zwei positive Zahlen haben die Summe s (s > 0). Bestimme die beiden Zahlen so, dass ihr Produkt maximal wird, und gib das größte Produkt in Abhängigkeit von s an.
Hilfe 1
Rechne mit s wie mit einer festen Zahl.
Hilfe 2
Beide Zahlen hängen von s ab.
Lösung zeigen
Parameter: Die Rechnung ist dieselbe wie mit 30, nur steht s statt der Zahl.
y = s − x; P(x) = x · (s − x) = sx − x² mit 0 < x < s
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Aus 120 m Zaun soll ein rechteckiges Gehege entstehen, in dem die Hunde möglichst viel Platz haben (Seiten x und y in m). (2) Aus genau 600 cm² Karton wird eine oben offene Schachtel mit quadratischem Boden (Kantenlänge x in cm) und der Höhe h gefaltet. Sie soll möglichst viel fassen. (3) Ein rechteckiges Beet hat 36 m Umfang, eine Seite ist 5 m lang. Wie groß ist seine Fläche?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Soll etwas möglichst groß oder klein werden, oder ist nur ein Wert gesucht?
Hilfe 2
Wenn ja: Was ist die Zielgröße, was ist fest vorgegeben?
Hilfe 3
Bei Frage (3) hilft ein Blick auf die Frage: Steht dort „möglichst“?
b) An der Außenwand einer Turnhalle wird ein rechteckiger Fahrradstellplatz abgezäunt. Entlang der Wand ist kein Zaun nötig; für die drei anderen Seiten stehen genau 72 m Zaun zur Verfügung. Welche Maße hat der größte Stellplatz? Dabei ist x die Länge senkrecht zur Wand und y die Länge parallel zur Wand, beides in m. Fülle die Lücken: 1. Gefragt sind die Maße, für die … am größten ist. 2. Was nicht dasteht: Die Seite an der Wand braucht …, also gilt …; beide Längen sind positiv, also … 3. Rechnen: A(x) = …; A′(x) = … = 0 ⇔ x = …; A″(x) = …; y = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„am größten“: Welche Formel gehört zur Fläche, welche zum Zaun?
Hilfe 2
Welche Seite braucht keinen Zaun, und wie sieht dann die Zaunlänge aus?
Hilfe 3
Setze die aufgelöste Nebenbedingung in die Fläche ein und leite ab.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, zwei Extremalprobleme und eine Rechnung ohne Extremum.
(1) Gesucht ist der größte Flächeninhalt A = x · y. Nebenbedingung 2x + 2y = 120, daraus A(x) = x · (60 − x); dann A′(x) = 0.
(2) Gesucht ist das größte Volumen V = x² · h. Nebenbedingung: Boden plus vier Wände, x² + 4xh = 600, nach h auflösen und in V einsetzen.
(3) Hier wird kein Extremum gesucht. Die andere Seite folgt aus 2 · (5 + y) = 36, also y = 13, und die Fläche ist 5 · 13 = 65 m². Keine Ableitung nötig.
b) Wand heißt: eine Seite fehlt im Zaun. Das steht nicht als Gleichung da.
1. Gefragt sind die Maße, für die der Flächeninhalt A = x · y am größten ist.
2. Die Seite an der Wand braucht keinen Zaun, also gilt 2x + y = 72 und y = 72 − 2x; beide Längen sind positiv, also 0 < x < 36.
4. Der Stellplatz ist 18 m tief und 36 m lang, der größte Flächeninhalt beträgt 648 m².
5. Zaun: 2 · 18 + 36 = 72 m, das passt. An den Rändern x = 0 und x = 36 ist die Fläche 0.
3.2Konzertpreis
Ein Verein veranstaltet ein Konzert. Bei einem Eintrittspreis von p Euro (0 < p < 20) kommen erfahrungsgemäß 500 − 25p Besucher. Die Einnahmen E(p) in Euro sind Preis mal Besucherzahl.
a) Bestimme den Eintrittspreis, bei dem die Einnahmen am größten sind. Gib die Besucherzahl und die Einnahmen dazu an.
Hilfe 1
Wie berechnen sich die Einnahmen aus Preis und Besucherzahl?
Hilfe 2
Die Besucherzahl hängt vom Preis ab. Das ist die Nebenbedingung.
Hilfe 3
Setze ein, leite ab, und gib am Ende Besucherzahl und Einnahmen an.
b) Die Halle fasst höchstens 200 Besucher. Bestimme den Eintrittspreis mit den größten Einnahmen unter dieser Bedingung.
Hilfe 1
Wie viele Besucher kommen bei p = 10? Ist das erlaubt?
Hilfe 2
Für welche Preise ist die Besucherzahl höchstens 200?
Hilfe 3
Wo liegt der größte Wert, wenn die Extremstelle nicht im Bereich liegt?
c) Bei einem Preis von 14 € gilt E′(14) = −200. Erläutere, was das für den Verein bedeutet.
Hilfe 1
Was misst E′: die Einnahmen oder ihre Änderung?
Hilfe 2
Einheit: Euro pro Euro Preisänderung.
Lösung zeigen
a) „Einnahmen am größten“: Zielgröße ist Preis mal Besucherzahl, und die Besucherzahl hängt vom Preis ab.
E(p) = p · (500 − 25p) = 500p − 25p² mit 0 < p < 20
Bei 10 € Eintritt kommen 500 − 250 = 250 Besucher, die Einnahmen betragen E(10) = 2500 €.
b) „höchstens 200“ ändert den Definitionsbereich, nicht die Zielfunktion.
500 − 25p ≤ 200 ⇔ p ≥ 12, also gilt jetzt 12 ≤ p < 20.
Die Stelle p = 10 liegt nicht mehr im Bereich. E′(p) = 500 − 50p < 0 für p > 10: E fällt auf dem ganzen Bereich.
Der größte Wert steht am linken Rand: E(12) = 12 · 200 = 2400. Der Preis von 12 € bringt bei voller Halle (200 Besucher) die größten Einnahmen, 2400 €.
c) Eine Ableitung im Sachzusammenhang: Wert, Richtung und Einheit in einem Satz.
Bei 14 € sinken die Einnahmen, wenn der Preis um 1 € steigt, um etwa 200 €. Eine weitere Preiserhöhung lohnt sich dort nicht.
3.3Tunnelquerschnitt
Der Querschnitt eines Tunnels wird im Modell durch den Graphen von f mit f(x) = 9 − 0,25x² für −6 ≤ x ≤ 6 beschrieben (x und f(x) in m). Der Boden liegt auf der x-Achse. Die Abbildung zeigt den Querschnitt. Ein Transportkasten mit rechteckigem Querschnitt steht mittig auf dem Boden und berührt den Tunnel oben mit beiden Ecken.
Abbildung
a) Der Transportkasten ist 6 m breit. Bestimme seine Höhe und die Fläche seines Querschnitts.
Hilfe 1
Der Kasten steht mittig. Welche x-Werte gehören zu den oberen Ecken?
Hilfe 2
Die Höhe ist ein Funktionswert.
b) Der Querschnitt des Kastens soll so groß wie möglich sein. Bestimme seine Breite, seine Höhe und die größte Fläche.
Hilfe 1
Wie breit ist der Kasten, wenn die rechte obere Ecke bei x liegt?
Hilfe 2
Die Höhe ist f(x). Stelle die Fläche in x auf.
Hilfe 3
Die zweite Lösung der Gleichung A′(x) = 0 ist negativ.
c) Ein Fahrer behauptet: „Mit 6 m Breite nutze ich schon mindestens 95 % des größtmöglichen Querschnitts aus.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Setze die Flächen aus a) und b) ins Verhältnis.
Lösung zeigen
a) Breite 6 m heißt x von −3 bis 3, nicht bis 6.
Breite 6 m heißt: Der Kasten reicht von x = −3 bis x = 3. Höhe: f(3) = 9 − 2,25 = 6,75 m (an der Abbildung ablesbar: etwas unter 7).
Querschnitt: 6 · 6,75 = 40,5 m².
b) Symmetrisch heißt Breite 2x: Der Term für die Fläche braucht den Faktor 2.
Halbe Breite x, Breite 2x, Höhe f(x): A(x) = 2x · (9 − 0,25x²) = 18x − 0,5x³ mit 0 < x < 6
Breite 2x ≈ 6,93 m, Höhe f(3,46) = 6 m, größte Fläche 24√3 ≈ 41,57 m².
c) Beurteilen heißt: Urteil und Zahl, die es trägt.
40,5 : 41,57 ≈ 0,974, also etwa 97,4 %. Die Aussage stimmt: Der 6 m breite Kasten nutzt mehr als 95 % der größtmöglichen Fläche.
3.4Faltschachtel
Aus einem rechteckigen Karton von 30 cm Länge und 20 cm Breite wird eine oben offene Schachtel gefaltet: An den vier Ecken wird je ein Quadrat der Seitenlänge x (in cm) ausgeschnitten, danach werden die Ränder hochgeklappt.
a) Stelle das Volumen V der Schachtel in Abhängigkeit von x auf und gib den Definitionsbereich mit Begründung an.
Hilfe 1
Was bleibt von der Länge, wenn an beiden Enden ein Quadrat fehlt?
Hilfe 2
Welche Seite begrenzt x nach oben?
b) Bestimme x so, dass das Volumen maximal wird. Die Gleichung V′(x) = 0 hat zwei Lösungen: Begründe, welche in Frage kommt. Gib die Maße der Schachtel an.
Hilfe 1
Löse V′(x) = 0 mit der Lösungsformel oder dem Taschenrechner.
Hilfe 2
Welche Lösung passt zum Definitionsbereich aus a)?
Hilfe 3
Rechne Länge und Breite mit der Lösung zurück.
Lösung zeigen
a) Ecken ausschneiden: beide Seiten werden um 2x kürzer, die Höhe ist x.
Länge 30 − 2x, Breite 20 − 2x, Höhe x: V(x) = x · (30 − 2x) · (20 − 2x) = 4x³ − 100x² + 600x
Definitionsbereich: x > 0 und die kürzere Seite 20 − 2x > 0, also 0 < x < 10.
b) Zwei Lösungen von V′(x) = 0: Der Definitionsbereich entscheidet.
V′(x) = 12x² − 200x + 600 = 0 ⇔ x² − (503)x + 50 = 0 ⇔ x = (25 ± 5√7) : 3, also x ≈ 3,92 oder x ≈ 12,74
x ≈ 12,74 liegt nicht in ]0; 10[ und scheidet aus. V″(x) = 24x − 200, also V″(3,92) ≈ −105,8 < 0: Hochpunkt. Ränder: V(0) = 0 und V(10) = 0.
Maße: Länge ≈ 22,15 cm, Breite ≈ 12,15 cm, Höhe ≈ 3,92 cm; Volumen V(3,92) ≈ 1056 cm³.
3.5Annas Rechnung
Ein Schrebergarten wird ganz mit Zaun umgeben und durch einen Mittelzaun in zwei gleich große Beete geteilt. Der Mittelzaun verläuft parallel zu den Seiten der Länge x. Insgesamt stehen 84 m Zaun zur Verfügung. Die Gesamtfläche soll möglichst groß werden. Anna rechnet:
(1) Nebenbedingung: 2x + 2y = 84, also y = 42 − x.
(2) A(x) = x · (42 − x) = 42x − x².
(3) A′(x) = 42 − 2x = 0 ⇔ x = 21, y = 21, A = 441 m².
a) Erläutere, welchen Fehler Anna in Schritt (1) gemacht hat.
Hilfe 1
Wie viele Zaunstücke der Länge x gibt es, wie viele der Länge y?
b) Bestimme die richtigen Maße und den größten Flächeninhalt.
Hilfe 1
Verwende die Gleichung aus a).
Hilfe 2
Danach läuft die Rechnung wie gewohnt.
c) Begründe ohne Rechnung, dass die größte Fläche kleiner sein muss als Annas 441 m².
Hilfe 1
Wie viel Zaun bleibt für den Umfang übrig?
Lösung zeigen
a) Der Mittelzaun steht nicht in Annas Gleichung.
Anna zäunt nur den Umfang ein. Der Mittelzaun verläuft parallel zu den Seiten der Länge x, er braucht eine dritte Zaunlänge x. Richtig ist 3x + 2y = 84.
b)
3x + 2y = 84, also y = 42 − 1,5x; A(x) = x · (42 − 1,5x) = 42x − 1,5x² mit 0 < x < 28
y = 42 − 21 = 21. Das Gelände ist 14 m mal 21 m groß, größter Flächeninhalt: 294 m².
c)
Ein Teil des Zauns wird für den Mittelzaun gebraucht. Der Umfang des Gartens ist deshalb kleiner als 84 m. Annas 441 m² sind die größte Fläche eines Rechtecks mit 84 m Umfang. Mit kürzerem Umfang geht höchstens weniger.
Klausuraufgabe
4.1Stahlbogen
Auf einem Festplatz überspannt ein Stahlbogen den Eingang. Sein Umriss über dem Boden wird im Modell durch den Graphen von f mit f(x) = −0,5x² + 5x für 0 ≤ x ≤ 10 beschrieben (x und f(x) in Metern). Die Abbildung zeigt den Graphen von f.
Unter dem Bogen werden Werbewände aufgehängt. Eine Werbewand hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes ABCD mit A(0 | 0), B(10 | 0), C(10 − u | f(u)) und D(u | f(u)) für 0 < u < 5.
Abbildung
a) Zeichne die Werbewand für u = 1 in die Abbildung ein.2 BE
Hilfe 1
Berechne f(1).
Hilfe 2
Die Ecken C und D liegen auf dem Graphen und auf gleicher Höhe.
b) Gib einen Term an, mit dem man die Länge der oberen Kante CD in Abhängigkeit von u berechnen kann.2 BE
Hilfe 1
Die Kante liegt waagerecht. Welche x-Koordinaten haben C und D?
c) Der Flächeninhalt der Werbewand kann mit dem Term (10 − u) · f(u) berechnet werden. Beschreibe eine geometrische Überlegung, mit der sich dieser Term herleiten lässt.3 BE
Hilfe 1
Welche Formel gibt es für den Flächeninhalt eines Trapezes?
Hilfe 2
Welche Seiten sind parallel, und wie lang sind sie?
Hilfe 3
Eine zweite Möglichkeit: Zerlege das Trapez in ein Rechteck und zwei Dreiecke.
d) Unter den Werbewänden hat eine den größten Flächeninhalt. Ermittle den zugehörigen Wert von u.5 BE
Hilfe 1
Multipliziere den Term aus c) aus.
Hilfe 2
Bilde die Ableitung und löse die quadratische Gleichung.
Hilfe 3
Welche Lösung liegt im Bereich 0 < u < 5?
e) Berechne den Flächeninhalt der größten Werbewand und die Länge ihrer oberen Kante CD.2 BE
Hilfe 1
Setze dein Ergebnis aus d) in A und in den Term aus b) ein.
Lösung zeigen
a) Zeichnen: Funktionswert ausrechnen, beide Ecken auf dem Graphen setzen.
f(1) = 4,5. Die Ecken sind A(0 | 0), B(10 | 0), C(9 | 4,5) und D(1 | 4,5); die obere Kante CD liegt waagerecht auf der Höhe 4,5 m.
b) Länge einer waagerechten Strecke: Differenz der x-Koordinaten.
Länge von CD: (10 − u) − u = 10 − 2u (in m).
c) „geometrische Überlegung“: Trapezformel mit den Längen aus b) zusammensetzen.
Der Flächeninhalt eines Trapezes ist die Länge der Mittellinie mal die Höhe. Die Höhe ist f(u). Die Mittellinie ist der Mittelwert der parallelen Seiten: (AB + CD) : 2 = (10 + 10 − 2u) : 2 = 10 − u.
Also ist der Flächeninhalt (10 − u) · f(u).
d) Der Bereich 0 < u < 5 steht im Kopf der Aufgabe: Er entscheidet über die zweite Lösung.
A′(u) = 1,5u² − 20u + 50 = 0 ⇔ u = 103 oder u = 10. Nur u = 103 ≈ 3,33 liegt in ]0; 5[.
A″(u) = 3u − 20, also A″(103) = −10 < 0: Hochpunkt. Zum Vergleich: A(0) = 0 und A(5) = 62,5 sind kleiner als A(103) ≈ 74,07; auch der Verlauf (A′ > 0 vor u = 103, A′ < 0 danach) zeigt, dass es das Maximum ist.
e)
A(103) = 200027 ≈ 74,07, also etwa 74,1 m²
CD = 10 − 2 · 103 = 103 ≈ 3,33 m
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Die Funktion selbst aufstellen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.