Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher war die Funktion gegeben, und du hast ihre besonderen Punkte gesucht. Bei einer Steckbriefaufgabe ist es umgekehrt: Der Text beschreibt Eigenschaften eines Graphen, zum Beispiel einen Punkt, einen Hochpunkt oder eine waagerechte Tangente. Gesucht ist die Funktionsgleichung, die alle diese Eigenschaften hat.
Der Weg ist immer derselbe: Du schreibst einen Ansatz mit unbekannten Koeffizienten hin, übersetzt jede Eigenschaft in eine Gleichung und löst das Gleichungssystem.
Grad n → n + 1 Koeffizienten → n + 1 Gleichungen
✎ Mini-Aufgabe: Eine ganzrationale Funktion 4. Grades soll bestimmt werden. Schreibe den Ansatz auf, bilde f′ und f″ und sage, wie viele Gleichungen du brauchst.
Lösung zeigen
Ansatz: f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, also fünf Koeffizienten und fünf nötige Gleichungen.
(III) f(1) = 0: a + b + c + d = 0 (IV) f″(1) = 0: 6a + 2b = 0
(IV): b = −3a. In (III) mit c = 0 und d = 2: a − 3a + 2 = 0, also a = 1 und b = −3
f(x) = x³ − 3x² + 2
Probe: f″(0) = −6 < 0, also ist H(0 | 2) wirklich ein Hochpunkt.
Fange mit den Gleichungen an der Stelle x = 0 an: Sie geben d = f(0), c = f′(0) und 2b = f″(0) ohne Rechnung. Löse danach die einfachste Gleichung nach einer Unbekannten auf und setze sie in die anderen ein.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Parabel f, deren Graph die y-Achse bei 3 schneidet, bei x = 1 eine waagerechte Tangente hat und durch Q(1 | 1) geht.
Lösung zeigen
Ansatz: f(x) = ax² + bx + c; f′(x) = 2ax + b
(I) f(0) = 3: c = 3 (II) f′(1) = 0: 2a + b = 0 (III) f(1) = 1: a + b + 3 = 1
(II): b = −2a. In (III): a − 2a = −2, also a = 2 und b = −4.
f(x) = 2x² − 4x + 3. Probe: f(1) = 2 − 4 + 3 = 1.
4. Symmetrie spart Koeffizienten
Ist der Graph symmetrisch, steckt das schon im Ansatz. Das Gleichungssystem wird kleiner, und du darfst die Symmetrie nicht zusätzlich als Gleichung zählen.
Symmetrisch zur y-Achse: nur gerade Exponenten, auch das absolute Glied. Grad 4: f(x) = ax4 + bx² + c.
Punktsymmetrisch zum Ursprung: nur ungerade Exponenten, kein absolutes Glied. Grad 3: f(x) = ax³ + cx.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph einer Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Wie lautet der Ansatz, und wie viele Gleichungen brauchst du? Wie lautet der Ansatz bei Grad 5 und Punktsymmetrie zum Ursprung?
Lösung zeigen
f(x) = ax4 + bx² + c: drei Koeffizienten, also drei Gleichungen.
Grad 5, punktsymmetrisch: f(x) = ax5 + bx³ + cx, ebenfalls drei Koeffizienten.
5. Zwei Graphen
Oben der Graph aus dem Beispiel, f(x) = x³ − 3x² + 2, mit Hochpunkt H, Wendepunkt W und Tiefpunkt T. Unten der Torbogen aus dem Sachbeispiel, f(x) = −0,5x² + 4,5, mit dem Ursprung in der Mitte des Bodens.
6. Was nirgends steht
Ein Hoch-, Tief-, Wende- oder Sattelpunkt liefert immer eine Gleichung mit f und eine mit f′ oder f″. Der Text nennt sie nicht einzeln.
Der Ursprung darf frei gewählt werden, am günstigsten in einem Fußpunkt oder im Scheitel. Der Graph bleibt derselbe, nur die Gleichung ändert sich.
Der Grad steht oft nicht da. Er ergibt sich aus der Zahl der Gleichungen.
Am Ende kommt die Probe: Alle Angaben mit der Lösung nachrechnen, bei Extrem- und Wendepunkten auch die hinreichende Bedingung.
Sind es weniger Gleichungen als Koeffizienten, bleibt ein Koeffizient frei: Es gibt eine ganze Schar von Funktionen. Sind es mehr, löst du mit so vielen Gleichungen, wie Koeffizienten da sind, und prüfst die übrigen nach. Passt eine nicht, gibt es keine Lösung.
✎ Mini-Aufgabe: Zeige, dass es keine Parabel gibt, deren Graph durch A(0 | 1), B(1 | 3) und C(2 | 5) geht.
Lösung zeigen
f(x) = ax² + bx + c. A: c = 1. B: a + b + 1 = 3, also a + b = 2. C: 4a + 2b + 1 = 5, also 2a + b = 2.
Subtraktion liefert a = 0 und b = 2. Dann ist f(x) = 2x + 1 eine Gerade, keine Parabel. Die drei Punkte liegen auf einer Geraden.
7. Ein Sachbeispiel
Ein Torbogen ist 6 m breit und in der Mitte 4,5 m hoch. Sein Rand hat die Form einer Parabel. Gesucht ist die Funktionsgleichung.
Was ist gefragt? Eine Funktion 2. Grades, also drei Gleichungen.
Was steht nicht da? Wo der Ursprung liegt. Ich lege ihn auf den Boden in die Mitte des Bogens. Dann ist der Scheitel S(0 | 4,5) und ein Fußpunkt (3 | 0).
Rechnen f(x) = ax² + bx + c; f′(x) = 2ax + b. (I) f(0) = 4,5: c = 4,5. (II) f′(0) = 0: b = 0. (III) f(3) = 0: 9a + 4,5 = 0, also a = −0,5.
Antwortsatz Der Torbogen wird durch f(x) = −0,5x² + 4,5 mit −3 ≤ x ≤ 3 beschrieben.
Prüfen f(−3) = 0: Der linke Fußpunkt passt auch (Symmetrie). Mit dem Ursprung im linken Fußpunkt lautet die Gleichung g(x) = −0,5x² + 3x. Es ist derselbe Bogen, nur das Koordinatensystem ist verschoben.
8. Typische Fehler
Bei einem Hochpunkt nur f′ = 0 notiert. Die Gleichung mit f fehlt, das System bleibt unlösbar.
f und f′ verwechselt: „Steigung 4 an der Stelle 2“ heißt f′(2) = 4, nicht f(2) = 4.
Die Symmetrie im Ansatz und zusätzlich als Gleichung gezählt.
Die Probe ausgelassen. Ein Vorzeichenfehler fällt nur beim Nachrechnen auf.
Rechnen
2.1Parabel durch drei Punkte
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel, deren Graph durch die Punkte A(0 | −3), B(1 | −4) und C(3 | 0) verläuft.
Hilfe 1
Wie viele Koeffizienten hat eine Parabel, und wie viele Gleichungen liefern drei Punkte?
Hilfe 2
Setze die Koordinaten jedes Punktes in den Ansatz ein.
Hilfe 3
Der Punkt A liegt auf der y-Achse. Welcher Koeffizient steht damit schon fest?
Lösung zeigen
Parabel durch drei Punkte: Ansatz mit drei Koeffizienten, jeder Punkt gibt eine Gleichung.
Ansatz: f(x) = ax² + bx + c
(I) f(0) = −3: c = −3 (II) f(1) = −4: a + b = −1 (III) f(3) = 0: 9a + 3b = 3
(II): b = −1 − a. In (III): 9a − 3 − 3a = 3, also a = 1 und b = −2.
f(x) = x² − 2x − 3
2.2Hochpunkt und Wendepunkt
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f 3. Grades hat den Hochpunkt H(1 | 5) und den Wendepunkt W(2 | 3).
a) Notiere den Ansatz und alle Gleichungen, die sich aus den Angaben ergeben.
Hilfe 1
Wie viele Koeffizienten hat der Ansatz?
Hilfe 2
Was verrät ein Hochpunkt über f und was über f′?
Hilfe 3
Und was verrät ein Wendepunkt über f und über f″?
b) Zeige, dass f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 die Funktion ist, die zu den Angaben gehört.
Hilfe 1
Mit (IV) erhältst du b aus a, mit (II) dann c aus a.
Hilfe 2
Setze beides in (I) und (III) ein. Es bleiben zwei Gleichungen mit a und d.
c) Weise mit f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 nach, dass H ein Hochpunkt ist.
Hilfe 1
Welche Bedingung unterscheidet Hochpunkt und Tiefpunkt?
Lösung zeigen
a) Zwei Punkte mit besonderer Eigenschaft liefern vier Gleichungen: je Punkt eine mit f und eine mit f′ oder f″.
b) Das Ergebnis steht da. Der Weg dorthin zählt: Gleichungssystem vollständig lösen.
(IV): b = −6a. (II): c = −3a − 2b = 9a.
(I) und (III) mit b = −6a und c = 9a: (I) 4a + d = 5, (III) 2a + d = 3.
Subtraktion: 2a = 2, also a = 1, b = −6, c = 9 und d = 1.
Also f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
c) Die Art eines Extrempunkts entscheidet das Vorzeichen von f″.
f″(x) = 6x − 12; f″(1) = −6 < 0: Hochpunkt.
Außerdem f′(1) = 3 − 12 + 9 = 0 und f(1) = 5, also H(1 | 5).
2.3Symmetrie nutzen
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse, schneidet die y-Achse bei 4 und hat den Tiefpunkt T(2 | −12). Bestimme f(x).
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen bei einer Funktion vor, deren Graph symmetrisch zur y-Achse ist?
Hilfe 2
Wie viele Koeffizienten hat dein Ansatz, und wie viele Gleichungen liefern die Angaben?
Hilfe 3
Der Tiefpunkt liefert zwei Gleichungen: eine mit f und eine mit f′.
Lösung zeigen
„symmetrisch zur y-Achse“ ist keine Gleichung, sondern verkürzt den Ansatz auf gerade Exponenten.
Symmetrie zur y-Achse: nur gerade Exponenten, also f(x) = ax4 + bx² + c; f′(x) = 4ax³ + 2bx
(I) f(0) = 4: c = 4 (II) f′(2) = 0: 32a + 4b = 0, also b = −8a (III) f(2) = −12: 16a + 4b + 4 = −12
In (III): 16a − 32a + 4 = −12, also −16a = −16 und a = 1, b = −8.
W(0 | 2): (I) f(0) = 2: d = 2 (II) f″(0) = 0: b = 0
Berührt die x-Achse bei x = 1: (III) f(1) = 0: a + c + 2 = 0 (IV) f′(1) = 0: 3a + c = 0
(IV): c = −3a. In (III): −2a + 2 = 0, also a = 1 und c = −3.
f(x) = x³ − 3x + 2
b) Berühren oder schneiden entscheidet f′ an der Nullstelle.
f(−2) = −8 + 6 + 2 = 0: x = −2 ist eine Nullstelle.
f′(−2) = 3 · 4 − 3 = 9 ≠ 0: Die Tangente ist dort nicht waagerecht, der Graph schneidet die Achse.
2.5Das System prüfen
Gesucht ist eine ganzrationale Funktion f 3. Grades. Ihr Graph schneidet die y-Achse bei 1, hat dort die Steigung −3 und besitzt den Wendepunkt W(2 | 3). Ein Schüler schreibt mit dem Ansatz f(x) = ax³ + bx² + cx + d auf: (I) d = 1; (II) c = −3; (III) 12a + 2b = 0.
a) Gib an, welche Angabe der Schüler nicht in eine Gleichung übersetzt hat, und notiere die fehlende Gleichung (IV).
Hilfe 1
Wie viele Unbekannte hat der Ansatz, und wie viele Gleichungen stehen da?
Hilfe 2
Gehe die Angaben des Textes nacheinander durch: Wie viele Gleichungen liefert jede, und welche davon stehen bei (I) bis (III)?
b) Aus den Gleichungen (I) bis (IV) ergibt sich b = 3. Bestimme damit die übrigen Koeffizienten und gib f(x) an.
Hilfe 1
Welche Gleichung enthält jetzt nur noch a?
Lösung zeigen
a) Vier Koeffizienten brauchen vier Gleichungen. Drei Gleichungen heißen: eine Angabe ist halb übersetzt.
Vom Wendepunkt W(2 | 3) hat er nur die Krümmung übersetzt, (III). Die Lage fehlt.
(IV) f(2) = 3: 8a + 4b + 2c + d = 3
b) Mit einem gegebenen Zwischenergebnis weiterrechnen: Zuerst die Gleichung wählen, in der nur noch eine Unbekannte steckt.
(III): 12a + 6 = 0, also a = −0,5. Aus (I) und (II) folgen d = 1 und c = −3.
Der Graph einer ganzrationalen Funktion f hat den Tiefpunkt T(0 | 1) und den Hochpunkt H(2 | 5). Der Grad von f ist nicht angegeben; gesucht ist die Funktion mit dem kleinstmöglichen Grad.
a) Bestimme, welchen Grad der Ansatz mindestens haben muss, und begründe das.
Hilfe 1
Wie viele Gleichungen liefert ein Extrempunkt?
Hilfe 2
Wie viele Koeffizienten hat ein Ansatz n-ten Grades?
b) Bestimme f(x) mit diesem Grad.
Hilfe 1
Zwei Gleichungen gehören zu T und liefern zwei Koeffizienten sofort.
Hilfe 2
Aus f′(2) = 0 ergibt sich eine Beziehung zwischen a und b.
c) Prüfe, dass T ein Tiefpunkt und H ein Hochpunkt ist.
Hilfe 1
Welche Ableitung entscheidet über die Art?
Lösung zeigen
a) Der Grad ergibt sich aus der Zahl der Gleichungen: n + 1 Gleichungen gehören zu Grad n.
Jeder Extrempunkt liefert zwei Gleichungen, die zwei Punkte also vier. Der Ansatz braucht vier Koeffizienten: Grad 3.
Eine Parabel hat nur einen Extrempunkt und kommt nicht infrage.
b) Gleichungen an der Stelle x = 0 geben zwei Koeffizienten ohne Rechnung.
Das Material zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion f 3. Grades. Der Graph hat keine weiteren Extrempunkte als die im Bild sichtbaren.
Material
a) Lies am Graphen vier voneinander unabhängige Angaben ab und bestimme damit f(x).
Hilfe 1
Welche Punkte kannst du am Gitter sicher ablesen? Achte auf Hoch- und Tiefpunkt.
Hilfe 2
Jeder Extrempunkt liefert zwei Gleichungen.
Hilfe 3
Wie viele Gleichungen brauchst du für Grad 3?
b) Prüfe deine Funktion mit einer Angabe aus dem Graphen, die du nicht verwendet hast.
Hilfe 1
Welche Angabe aus dem Graphen hast du noch nicht benutzt?
Lösung zeigen
a) Der Graph liefert Punkte und waagerechte Tangenten an Extrempunkten. Gesucht sind vier unabhängige Angaben.
Ablesbar: Der Graph geht durch den Ursprung, hat den Hochpunkt H(1 | 2) und bei x = 3 einen Tiefpunkt auf der x-Achse. Verwendet: f(0) = 0, f(1) = 2, f′(1) = 0, f′(3) = 0.
Ansatz: f(x) = ax³ + bx² + cx + d; f′(x) = 3ax² + 2bx + c. Aus f(0) = 0 folgt d = 0.
(I) a + b + c = 2 (II) 3a + 2b + c = 0 (III) 27a + 6b + c = 0
(II) − (I): 2a + b = −2. (III) − (II): 24a + 4b = 0, also b = −6a.
Einsetzen: 2a − 6a = −2, also a = 0,5, b = −3 und c = 4,5 (aus (I)).
f(x) = 0,5x³ − 3x² + 4,5x
b) Eine nicht verwendete Angabe dient als Probe.
Nicht verwendet: f(3) = 0. Es ist f(3) = 0,5 · 27 − 3 · 9 + 4,5 · 3 = 13,5 − 27 + 13,5 = 0. Das stimmt.
Wer f(3) = 0 verwendet hat, prüft f′(3) = 13,5 − 18 + 4,5 = 0.
2.8Mit Parameter
Der Graph einer Parabel f verläuft durch den Ursprung und hat an der Stelle x = 2 eine waagerechte Tangente.
a) Zeige, dass jede solche Parabel die Gleichung f(x) = ax² − 4ax mit a ≠ 0 hat, und erkläre, warum die Angaben keine einzelne Parabel festlegen.
Hilfe 1
Wie viele Gleichungen liefern die beiden Angaben, wie viele Koeffizienten hat der Ansatz?
b) Bestimme a so, dass der Scheitel der Parabel der Punkt S(2 | 3) ist.
Hilfe 1
An welcher Stelle liegt der Scheitel? Setze sie in f(x) = ax² − 4ax ein.
Lösung zeigen
a) Zu wenige Gleichungen: Ein Koeffizient bleibt als Parameter stehen.
f(x) = ax² + bx + c; f′(x) = 2ax + b
f(0) = 0: c = 0. f′(2) = 0: 4a + b = 0, also b = −4a. Damit f(x) = ax² − 4ax.
Der Ansatz hat drei Koeffizienten, aber nur zwei Gleichungen. Der Koeffizient a bleibt frei: Es gibt unendlich viele Parabeln, eine Schar.
b) Die fehlende Gleichung liefert eine weitere Angabe.
Der Scheitel liegt bei x = 2: f(2) = 3.
f(2) = 4a − 8a = −4a = 3, also a = −0,75.
f(x) = −0,75x² + 3x
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Drei Bahnen werden jeweils durch eine ganzrationale Funktion f 3. Grades mit f(x) = ax³ + bx² + cx + d beschrieben (x: waagerechte Entfernung in m, f(x): Höhe in m). Notiere zu jeder Angabe nur die Gleichungen, die sich ergeben. Rechne nicht. (1) Bahn 1 beginnt im Punkt A(0 | 2) und verläuft dort waagerecht. (2) Bahn 2 ist bei x = 4 am steilsten und fällt dort mit einer Steigung von 25 %. (3) Bahn 3 endet bei x = 8 waagerecht auf Bodenhöhe.
Hilfe 1
Bei jeder Angabe: Geht es um die Lage eines Punktes, um die Steigung oder um die Krümmung?
Hilfe 2
Wo ist die Steigung null, und wo ist sie am größten?
Hilfe 3
Ein Punkt mit einer Aussage zum Verlauf liefert zwei Gleichungen.
b) Ein Wanderweg führt von einer Hütte zu einem Rastplatz. Sein Höhenprofil wird für 0 ≤ x ≤ 6 durch eine ganzrationale Funktion f 3. Grades beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung von der Hütte in 100 m und f(x) die Höhe über der Hütte in m. Die Hütte liegt im Punkt (0 | 0) an einem waagerechten Wegstück. Der Rastplatz bei x = 6 liegt 27 m höher, ebenfalls an einem waagerechten Wegstück. Bestimme die Funktionsgleichung. Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist eine Funktion mit dem Ansatz f(x) = …; sie hat … Koeffizienten, also brauche ich … Gleichungen. 2. Was nicht dasteht: „waagerecht“ heißt …; die Hütte liegt im Ursprung, also … 3. Gleichungen: (I) f(0) = … (II) f′(0) = … (III) f(6) = … (IV) f′(6) = … 4. Rechnen: Aus (I) und (II) folgt …; dann bleiben a und b: … 5. Antwortsatz und Prüfen: …
Hilfe 1
Welche vier Angaben stehen im Text, auch die, die nicht ausdrücklich als Gleichung genannt sind?
Hilfe 2
Was bedeutet „waagerechtes Wegstück“ für die Ableitung?
Hilfe 3
Zwei der vier Gleichungen liefern Koeffizienten, ohne dass du rechnen musst.
Lösung zeigen
a) Drei Angaben, die jeweils mehr verraten, als dasteht: „am steilsten“ ist eine Wendestelle, „Bodenhöhe“ ist der Wert 0.
(1) f(0) = 2 und f′(0) = 0.
(2) „am steilsten“ heißt Wendestelle: f″(4) = 0. Das Gefälle von 25 % ist die Steigung −0,25: f′(4) = −0,25.
(3) Bodenhöhe ist die Höhe 0: f(8) = 0. Waagerecht: f′(8) = 0.
b) Der Text nennt Punkte und waagerechte Wegstücke. Daraus werden vier Gleichungen, zwei davon an der Stelle x = 0.
1. f(x) = ax³ + bx² + cx + d: vier Koeffizienten, also vier Gleichungen.
2. „Waagerecht“ heißt Steigung null, also f′ = 0. Die Hütte im Ursprung: f(0) = 0. Der Rastplatz liegt 27 m höher: f(6) = 27.
4. d = 0 und c = 0. (III) 216a + 36b = 27, (IV) 108a + 12b = 0, also b = −9a. Einsetzen: 216a − 324a = 27, also a = −0,25 und b = 2,25.
5. Das Höhenprofil ist f(x) = −0,25x³ + 2,25x². Prüfen: f(6) = −54 + 81 = 27 und f′(6) = −27 + 27 = 0. Das passt.
3.2Straßentunnel
Der Querschnitt eines Straßentunnels hat die Form einer Parabel. Die Sohle ist 9 m breit, in der Mitte ist der Tunnel 6,5 m hoch. Alle Maße sind in Metern.
a) Bestimme eine Funktionsgleichung für den Querschnitt.
Hilfe 1
Wo lege den Ursprung hin, damit der Scheitel einfach wird?
Hilfe 2
Welche Angaben gehören zum Scheitel, welche zu den Fußpunkten?
Hilfe 3
Wie viele Gleichungen brauchst du für eine Parabel?
b) Ein Lastwagen ist 2,55 m breit und 4,50 m hoch. Er fährt so, dass seine linke Kante in der Tunnelmitte liegt. Untersuche, ob er durchpasst.
Hilfe 1
Welche Ecke des Lastwagens liegt am nächsten an der Tunneldecke?
Hilfe 2
Wie hoch ist der Tunnel an dieser Stelle?
c) Eine Gruppe legt den Ursprung stattdessen in den linken Fußpunkt der Sohle. Beurteile, ob sich dadurch die Antwort auf b) ändert, und gib die Gleichung in diesem Koordinatensystem an.
Hilfe 1
Was ändert sich bei einer anderen Ursprungswahl: der Bogen oder nur seine Beschreibung?
Hilfe 2
Verschiebe auch die Stelle der Lastwagenkante.
Lösung zeigen
a) Das Koordinatensystem wähle selbst. Ein Ursprung in der Mitte der Sohle spart Gleichungen.
Ursprung in der Mitte der Sohle: Scheitel S(0 | 6,5), Fußpunkte (−4,5 | 0) und (4,5 | 0).
f(x) = ax² + bx + c; f′(x) = 2ax + b. f(0) = 6,5: c = 6,5. f′(0) = 0: b = 0.
f(4,5) = 0: 20,25a + 6,5 = 0, also a ≈ −0,321.
f(x) ≈ −0,321x² + 6,5
b) Die Höhe in der Tunnelmitte ist nicht die Grenze. Entscheidend ist die äußere obere Ecke.
Die rechte obere Ecke liegt 2,55 m von der Mitte entfernt. Sie ist die kritische Stelle, weil der Tunnel nach außen niedriger wird.
f(2,55) ≈ −0,321 · 6,5025 + 6,5 ≈ 4,41
Der Tunnel ist dort etwa 4,41 m hoch, der Lastwagen 4,50 m. Er passt nicht.
c) Die Gleichung hängt vom Koordinatensystem ab, der Graph und die Aussage nicht.
Die Antwort ändert sich nicht. Der Querschnitt und der Lastwagen sind dieselben, nur die x-Werte sind um 4,5 verschoben.
Mit dem Ursprung im linken Fußpunkt: g(x) = f(x − 4,5) ≈ −0,321x² + 2,889x. Die rechte Kante liegt bei x = 4,5 + 2,55 = 7,05, und g(7,05) ≈ 4,41. Das ist dasselbe Ergebnis.
3.3Achterbahn
Eine Achterbahn läuft zunächst waagerecht in der Höhe 0 und wird dann auf ein Plateau in 6 m Höhe geführt, auf dem sie waagerecht weiterläuft. Das Übergangsstück reicht von x = 0 bis x = 20 und wird durch eine ganzrationale Funktion f 3. Grades beschrieben (x: waagerechte Entfernung vom Beginn des Anstiegs in m, f(x): Höhe in m). Die Schienen laufen ohne Sprung und ohne Knick ineinander über. Das Material zeigt den Graphen von f und die Gerade durch Anfang und Ende des Übergangsstücks.
Material
a) Bestimme die Funktionsgleichung von f.
Hilfe 1
Was soll an der Nahtstelle gleich sein, damit die Bahn dort keinen Knick hat?
Hilfe 2
Welche Steigung hat ein waagerechtes Stück?
Hilfe 3
Welche Höhe hat das Plateau?
b) Bestimme die Stelle, an der die Bahn am steilsten ist, und die Steigung dort in Prozent.
Hilfe 1
Welche Größe beschreibt die Steilheit der Bahn?
Hilfe 2
Wo hat f′ ihren größten Wert, und welche Stellen musst du noch vergleichen?
c) Die Gerade im Material verbindet Anfang und Ende des Übergangsstücks. Berechne ihre Steigung und erläutere anhand des Materials, wie sich die Steigung der Bahn von der der Geraden unterscheidet.
Hilfe 1
Wie berechne die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph unter der Geraden, wo darüber?
d) Weil die Bahn als zu steil gilt, soll das Übergangsstück bei gleicher Höhe auf 40 m verlängert werden. Ein Planer sagt: „Die größte Steigung wird dadurch halbiert.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was ändert sich an den Anschlussbedingungen, wenn die Länge 40 m beträgt?
Hilfe 2
Wie findest du die größte Steigung der neuen Funktion?
Lösung zeigen
a) „ohne Sprung und ohne Knick“ an zwei Nahtstellen: gleiche Höhe und gleiche Steigung, das sind vier Gleichungen.
f(x) = ax³ + bx² + cx + d; f′(x) = 3ax² + 2bx + c
Anfang: f(0) = 0 und f′(0) = 0, also d = 0 und c = 0.
Einsetzen: 8000a − 12000a = 6, also a = −0,0015 und b = 0,045.
f(x) = −0,0015x³ + 0,045x²
b) „am steilsten“ heißt größter Wert von f′, also Wendestelle von f. Prozent ist f′ · 100 %.
Am steilsten ist die Bahn, wo f′ am größten ist: f″(x) = −0,009x + 0,09 = 0, also x = 10.
f′(x) = −0,0045x² + 0,09x; f′(10) = −0,45 + 0,9 = 0,45. An den Rändern ist f′(0) = f′(20) = 0, also ist 0,45 der größte Wert.
Bei x = 10 m ist die Bahn am steilsten. Die Steigung beträgt dort 45 %.
c) Gerade und Graph vergleichen: mittlere Steigung gegen Steigung an einer Stelle.
Steigung der Geraden: (6 − 0) : (20 − 0) = 0,3, also 30 %.
Im Material verläuft der Graph am Anfang flacher als die Gerade, in der Mitte steiler (bis 45 %) und am Ende wieder flacher. Die Gerade gibt die mittlere Steigung an. Nur in der Mitte ist die Bahn steiler als im Mittel.
d) Dieselben vier Anschlussbedingungen mit anderer Länge. Dann die steilste Stelle wie in b).
Neue Funktion g mit g(0) = 0, g′(0) = 0, g(40) = 6 und g′(40) = 0: 64000a + 1600b = 6 und 4800a + 80b = 0, also b = −60a.
Einsetzen: 64000a − 96000a = 6, also a = −0,0001875 und b = 0,01125.
Die größte Steigung sinkt von 45 % auf 22,5 %. Die Aussage stimmt.
3.4Flussbett
Das Querprofil eines Flussbetts ist symmetrisch zur Flussmitte und wird durch eine ganzrationale Funktion f 4. Grades beschrieben (x: Abstand von der Flussmitte in m, f(x): Höhe über der Sandbank in der Flussmitte in m). Die Sandbank liegt bei x = 0 und ist dort die höchste Stelle der Umgebung. Die tiefsten Stellen liegen 2 m links und rechts der Mitte, 0,8 m unter der Sandbank.
a) Bestimme f(x).
Hilfe 1
Welche Exponenten darf der Ansatz bei einem symmetrischen Profil enthalten?
Hilfe 2
Die Sandbank liefert eine Gleichung, die tiefste Stelle zwei.
Hilfe 3
Wie viele Koeffizienten hat dein Ansatz, und wie viele Gleichungen hast du?
b) Berechne die Steigung des Flussbetts bei x = 1 und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche Ableitung gehört zur Steigung?
Hilfe 2
Was bedeutet ein negativer Wert?
c) Eine Kollegin verwendet den Ansatz g(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e. Begründe, dass sie b = 0 und d = 0 setzen darf.
Hilfe 1
Was gilt für g(x) und g(−x) bei einem symmetrischen Profil?
Hilfe 2
Wie verhalten sich x³ und x, wenn du −x einsetzt?
Lösung zeigen
a) Symmetrie steckt im Ansatz. Eine tiefste Stelle liefert zwei Gleichungen. Die Sandbank liefert f(0) = 0.
Symmetrie zur Flussmitte: nur gerade Exponenten, f(x) = ax4 + bx² + c; f′(x) = 4ax³ + 2bx
Sandbank: f(0) = 0, also c = 0.
Tiefste Stelle bei x = 2: f′(2) = 0: 32a + 4b = 0, also b = −8a. f(2) = −0,8: 16a + 4b = −0,8.
Einsetzen: 16a − 32a = −0,8, also a = 0,05 und b = −0,4.
f(x) = 0,05x4 − 0,4x²
b) Steigung deuten: Einheit Meter je Meter, Vorzeichen als fallend oder steigend.
f′(x) = 0,2x³ − 0,8x; f′(1) = 0,2 − 0,8 = −0,6
Einen Meter von der Mitte entfernt fällt das Flussbett zur tiefsten Stelle hin um 0,6 m je Meter ab. Das Gefälle beträgt 60 %.
c) Begründung über g(−x) = g(x) und das Verhalten gerader und ungerader Exponenten.
Das Profil ist symmetrisch zur y-Achse, es gilt also g(−x) = g(x) für alle x.
Die Terme bx³ und dx wechseln bei −x das Vorzeichen, die Terme ax4, cx² und e nicht. Damit g(−x) = g(x) für alle x gilt, müssen die Terme mit ungeraden Exponenten wegfallen: b = 0 und d = 0.
3.5Radweg
Ein Radweg fällt zunächst geradlinig ab und läuft dann in einer Mulde auf ein waagerechtes Stück aus. Für x ≤ 0 folgt der Weg der Geraden g mit g(x) = −0,2x + 2. Von x = 0 bis x = 10 schließt ein Stück an, das durch eine quadratische Funktion f beschrieben wird, ab x = 10 verläuft der Weg waagerecht (x: waagerechte Entfernung in m, Höhe in m). Der Weg hat keinen Sprung und keinen Knick.
a) Bestimme die Funktionsgleichung von f.
Hilfe 1
Was soll an der Nahtstelle x = 0 für f und g übereinstimmen?
Hilfe 2
Welche Steigung hat die Gerade g?
Hilfe 3
„waagerecht“ bei x = 10: Welche Gleichung folgt für f′?
b) Berechne die Höhe des waagerechten Wegstücks und beschreibe, wie sich die Steigung des Wegs zwischen x = 0 und x = 10 verändert.
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt die Steigung des Wegs? Setze die Ränder des Stücks ein.
c) Der Bauleiter verlangt zusätzlich, dass das waagerechte Stück bei x = 10 in der Höhe 0,5 liegt. Begründe, dass das mit einer quadratischen Funktion nicht möglich ist.
Hilfe 1
Wie viele Gleichungen sind jetzt vorhanden, und wie viele Koeffizienten hat f?
Hilfe 2
Was ergibt f(10) für die Funktion aus a)?
Lösung zeigen
a) Die Nahtstelle liefert zwei Gleichungen (Höhe und Steigung), das waagerechte Ende eine.
f(x) = ax² + bx + c; f′(x) = 2ax + b. Für die Gerade: g(0) = 2 und g′(x) = −0,2.
Nahtstelle x = 0: f(0) = 2, also c = 2. f′(0) = −0,2, also b = −0,2.
Ende bei x = 10, waagerecht: f′(10) = 0: 20a − 0,2 = 0, also a = 0,01.
f(x) = 0,01x² − 0,2x + 2
b) Die Ableitung einer Parabel ist eine Gerade: die Steigung ändert sich gleichmäßig.
f(10) = 1 − 2 + 2 = 1: Das waagerechte Stück liegt 1 m hoch.
f′(x) = 0,02x − 0,2: Die Steigung wächst gleichmäßig von −0,2 (20 % Gefälle) bei x = 0 auf 0 bei x = 10. Das Gefälle wird also langsam kleiner.
c) Mehr Gleichungen als Koeffizienten: Die überzählige prüft man mit der Lösung nach.
Zusätzlich f(10) = 0,5 wäre eine vierte Gleichung für nur drei Koeffizienten.
Die ersten drei Gleichungen legen f fest, und für diese Funktion gilt f(10) = 1. Die vierte Gleichung widerspricht dem. Es gibt keine solche Parabel.
Klausuraufgabe
4.1Lagerhalle
Der Querschnitt einer Lagerhalle ist 10 m breit und 5 m hoch. Die Dachlinie hat die Form einer Parabel. Im Modell ist x die waagerechte Entfernung vom linken Fußpunkt und f(x) die Höhe über dem Boden, beides in m; der Ursprung liegt im linken Fußpunkt. Wanddicke und Dachaufbau bleiben unberücksichtigt.
a) Ermittle eine Funktionsgleichung der Dachlinie. Zur Kontrolle: f(x) = −0,2x² + 2x4 BE
Hilfe 1
Wie viele Koeffizienten hat eine Parabel, und was weißt du über Lage und Höhe der Dachlinie?
Hilfe 2
Fußpunkte und Höhe in der Mitte sind drei Angaben für drei Koeffizienten. Alternativ liegt der Scheitel in der Mitte.
Hilfe 3
Eine Parabel ist symmetrisch: Wo liegt ihr Scheitel?
b) An der linken Wand steht ein Kistenlager, 3 m breit und 4,5 m hoch. Untersuche, ob es unter das Dach passt.3 BE
Hilfe 1
Welche Ecke des Lagers liegt am nächsten am Dach?
Hilfe 2
Wie hoch ist das Dach an dieser Stelle?
c) Eine zweite Halle soll 16 m breit werden. Ihre Dachlinie p ist ebenfalls eine Parabel mit dem Ursprung im linken Fußpunkt und steigt dort mit der Steigung 1 an. Bestimme p(x) und die Höhe der Halle in der Mitte.4 BE
Hilfe 1
Was bedeutet „Steigung 1 am linken Fußpunkt“ für p′?
Hilfe 2
Welche Angabe liefert der rechte Fußpunkt?
d) Der Bauherr verlangt, dass die zweite Halle bei sonst gleichen Angaben in der Mitte 5 m hoch ist. Begründe mithilfe von c), dass das mit einer Parabel nicht möglich ist.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Koeffizienten hat p, und wie viele Gleichungen stehen schon in c)?
Lösung zeigen
a) Aus Breite und Höhe eine Parabel bestimmen. Die Höhe gilt in der Mitte, das steht nicht da.
f(x) = ax² + bx + c; f(0) = 0: c = 0.
Die Parabel ist symmetrisch, der Scheitel liegt in der Mitte: f(5) = 5 und f′(5) = 0.
f′(5) = 0: 10a + b = 0, also b = −10a. f(5) = 5: 25a + 5b = 5, also −25a = 5 und a = −0,2, b = 2.
f(x) = −0,2x² + 2x
b) Die kritische Stelle ist die innere obere Ecke, nicht die Mitte des Lagers.
Die rechte obere Ecke des Lagers liegt bei x = 3 und ist die kritische Stelle, weil das Dach nach links niedriger wird.
f(3) = −0,2 · 9 + 6 = 4,2
Das Dach ist dort 4,20 m hoch, das Lager 4,50 m. Es passt nicht.
c) Der Fußpunkt liefert Höhe und Steigung, der andere Fußpunkt die dritte Gleichung.
p(x) = ax² + bx + c; p(0) = 0: c = 0. p′(0) = 1: b = 1.
p(16) = 0: 256a + 16 = 0, also a = −0,0625.
p(x) = −0,0625x² + x. Höhe in der Mitte: p(8) = −4 + 8 = 4.
d) Mehr Gleichungen als Koeffizienten: Die zusätzliche passt oder passt nicht zur Lösung.
Mit p(0) = 0, p′(0) = 1 und p(16) = 0 sind alle drei Koeffizienten festgelegt. Die Höhe in der Mitte ist damit 4 m.
Die Forderung p(8) = 5 wäre eine vierte Gleichung, die diesem Ergebnis widerspricht (4 ≠ 5). Es gibt keine solche Parabel.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Die Funktion selbst aufstellen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.