Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hast du einzelne Merkmale eines Graphen untersucht: Symmetrie, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte. Bei einer vollständigen Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion) arbeitest du alle Merkmale in fester Reihenfolge ab und setzt am Ende ein Bild des Graphen zusammen. Du kannst dann den Verlauf beschreiben, ohne eine Wertetabelle zu zeichnen.
✎ Mini-Aufgabe: Du sollst den Graphen von f(x) = x³ − 3x skizzieren. Dir stehen fünf Bausteine zur Verfügung: Wendepunkte, Symmetrie, Extrempunkte, Grenzverhalten, Nullstellen. In welcher Reihenfolge würdest du sie abarbeiten? Begründe, welcher Baustein dir Arbeit abnehmen kann.
Lösung zeigen
Symmetrie, Grenzverhalten, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte. Die Symmetrie steht vorn, weil sie die Rechnung halbieren kann: Bei f(x) = x³ − 3x sind alle Exponenten ungerade, der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Du rechnest für x ≥ 0 und spiegelst.
2. Das Ablaufschema
1. Ableitungen f′, f″, f‴ bereitstellen und den Definitionsbereich notieren (bei ganzrationalen Funktionen ℝ).
2. Symmetrie am Term ablesen.
3. Grenzverhalten für x → −∞ und x → +∞.
4. y-Achsenabschnitt f(0) und Nullstellen f(x) = 0.
5. Extrempunkte: f′(x) = 0, Art mit f″, y-Wert mit f.
6. Wendepunkte: f″(x) = 0, f‴(x) ≠ 0, y-Wert mit f.
7. Ergebnisse sammeln, Graph skizzieren, Verlauf in Worten beschreiben.
Die Reihenfolge hat Gründe. Die Symmetrie spart Arbeit. Das Grenzverhalten legt den Rahmen fest: Du weißt, woher der Graph kommt und wohin er läuft. Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte füllen diesen Rahmen mit Punkten. Die Skizze steht am Ende, weil sie alle Ergebnisse braucht. Nicht jede Aufgabe verlangt alle Schritte: Für einen groben Verlauf reichen oft Grenzverhalten, Nullstellen und Extrempunkte.
3. Symmetrie und Grenzverhalten
Die Symmetrie siehst du an allen Exponenten im Term. Das absolute Glied zählt als x⁰, also als gerader Exponent.
Nur gerade Exponenten: f(−x) = f(x), der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nur ungerade Exponenten: f(−x) = −f(x), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Gerade und ungerade Exponenten gemischt: keine dieser beiden Symmetrien.
Das Grenzverhalten bestimmt für große |x| allein der Summand mit dem höchsten Exponenten. Es zählen der Grad n und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten:
Grad
Leitkoeffizient
x → −∞
x → +∞
gerade
positiv
f(x) → +∞
f(x) → +∞
gerade
negativ
f(x) → −∞
f(x) → −∞
ungerade
positiv
f(x) → −∞
f(x) → +∞
ungerade
negativ
f(x) → +∞
f(x) → −∞
✎ Mini-Aufgabe: Untersuche f(x) = x5 − 4x³ + x auf Symmetrie und gib das Grenzverhalten an. Warum reicht es nicht, nur auf den höchsten Exponenten zu schauen?
Lösung zeigen
Alle Exponenten (5, 3, 1) sind ungerade: punktsymmetrisch zum Ursprung. Grad 5 ungerade, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞. Für die Symmetrie zählen alle Exponenten: Schon ein einziger gerader Exponent, zum Beispiel x² oder eine Zahl ohne x, zerstört die Punktsymmetrie.
4. Nullstellen
Der y-Achsenabschnitt ist f(0), das absolute Glied. Für die Nullstellen setzt du f(x) = 0. Bei den Funktionen hier genügen zwei Verfahren, Polynomdivision brauchst du nicht.
Ausklammern: f(x) = x³ − 6x² + 8x
x · (x² − 6x + 8) = 0 ⇔ x = 0 oder x² − 6x + 8 = 0
pq-Formel: x = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, also x = 2 oder x = 4
Nullstellen: x = 0; x = 2; x = 4
Substitution: f(x) = x4 − 5x² + 4
Mit u = x²: u² − 5u + 4 = 0 ⇔ u = 1 oder u = 4
Zurück: x² = 1 oder x² = 4, also x = ±1 oder x = ±2
Ein negativer u-Wert liefert keine Lösung, denn x² kann nicht negativ sein.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen von f(x) = x³ − 2x² − 3x.
Lösung zeigen
f(0) = 0. Ausklammern: x · (x² − 2x − 3) = 0 ⇔ x = 0 oder x² − 2x − 3 = 0. pq-Formel: x = 1 ± 2, also x = −1 oder x = 3. Nullstellen: x = −1; x = 0; x = 3.
5. Extrempunkte und Wendepunkte im Gesamtbild
Die Kriterien kennst du aus dem Thema Extremstellen. Hier kommt es auf die Reihenfolge und auf das Sammeln an. Ein Extrempunkt hat zwei Koordinaten, den y-Wert rechnest du immer mit f aus.
Beispiel: f(x) = x³ − 3x
Punktsymmetrisch zum Ursprung (nur ungerade Exponenten). Grad 3, Leitkoeffizient 1: f(x) → −∞ für x → −∞, f(x) → +∞ für x → +∞.
f(0) = 0. x · (x² − 3) = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±√3 ≈ ±1,73
Verlauf: Der Graph kommt von links unten, steigt bis H(−1 | 2), fällt über W(0 | 0) bis T(1 | −2) und steigt dann nach rechts oben.
Links der Graph von f(x) = x³ − 3x mit Nullstellen (N), Hochpunkt (H), Tiefpunkt (T) und Wendepunkt (W). Rechts der Graph von f(x) = x4 − 5x² + 4: achsensymmetrisch, vier Nullstellen, in der Mitte ein Hochpunkt.
Ist f′(x0) = 0 und f″(x0) = 0, sagt f″ nichts. Dann entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′. Fehlt er, liegt ein Sattelpunkt vor, kein Extrempunkt.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Extrempunkte und den Wendepunkt von f(x) = x³ − 3x² und beschreibe den Verlauf des Graphen in einem Satz.
Der Graph kommt von links unten, steigt bis H(0 | 0), fällt über W(1 | −2) bis T(2 | −4) und steigt dann nach rechts oben.
6. Funktionen mit Parameter: g(x) = a · f(x) + b
Ist f schon untersucht und du sollst g(x) = a · f(x) + b untersuchen (a ≠ 0), rechnest du nicht neu. Der Graph von g entsteht aus dem von f durch Strecken mit dem Faktor a in y-Richtung und Verschieben um b nach oben. Es gilt g′ = a · f′ und g″ = a · f″.
Die x-Werte aller Extrem- und Wendestellen bleiben gleich.
Jeder Punkt P(x0 | y0) von f wird zu P(x0 | a · y0 + b).
Bei a < 0 wird aus einem Hochpunkt ein Tiefpunkt und umgekehrt.
Die Nullstellen ändern sich (außer bei b = 0), ebenso das Grenzverhalten bei a < 0.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph von f hat den Hochpunkt H(−1 | 2) und den Tiefpunkt T(1 | −2). Gib die Extrempunkte von g(x) = 2 · f(x) + 3 und von h(x) = −f(x) an.
Lösung zeigen
g: Der Faktor 2 ist positiv, die Art bleibt. H(−1 | 2 · 2 + 3) = H(−1 | 7) und T(1 | 2 · (−2) + 3) = T(1 | −1).
h: Der Faktor −1 klappt den Graphen um. Aus H wird der Tiefpunkt T(−1 | −2), aus T wird der Hochpunkt H(1 | 2).
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
zu Beginn, am Start, bei Messbeginn
der Funktionswert f(0), der y-Achsenabschnitt
Einheit nicht vergessen
wieder am Boden, wieder leer, wieder null
eine Nullstelle, f(x) = 0
Der Start t = 0 ist oft auch eine Nullstelle, ist aber nicht gemeint.
höchster oder tiefster Stand im Zeitraum
größter oder kleinster Funktionswert
Ränder des Bereichs mit vergleichen
am steilsten, am stärksten steigend oder fallend
größter oder kleinster Wert von f′, meist an der Wendestelle
Ränder prüfen; Prozent: f′ · 100 %
Breite auf Höhe null, Breite am Wasserspiegel
Abstand der äußeren Nullstellen
Eine doppelte Nullstelle berührt nur.
andere Skala, anderer Maßstab (zum Beispiel °F statt °C)
g(x) = a · f(x) + b
Zeitpunkte bleiben, Werte ändern sich.
8. Was nirgends steht
Das Modell gilt nur im genannten Bereich. Stellen außerhalb zählen nicht, und die Ränder gehören zur Antwort.
f′(x) = 0 reicht nicht für einen Extrempunkt. Du brauchst die hinreichende Bedingung.
Bei der Substitution fallen negative u-Werte weg. Danach kommt die Rücksubstitution.
Eine doppelte Nullstelle ist ein Berührpunkt: Der Graph wechselt dort nicht die Seite der x-Achse.
Achsen mit Einheiten wie „10 m“ oder „100 m“: Prozent und Meter erst nach dem Umrechnen vergleichen.
Das Grenzverhalten allein sagt nichts über die Mitte des Graphen. Der Graph kann zwischendurch Wellen schlagen.
9. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Eine Drohne startet vom Boden. Ihre Höhe beschreibt d(t) = −t³ + 6t² (t in Sekunden nach dem Start, d(t) in Metern, 0 ≤ t ≤ 6). Wann ist sie am höchsten, und wann landet sie?
Was ist gefragt? Der größte Wert von d und der Zeitpunkt, an dem d wieder null ist.
Was steht nicht da? Der Start t = 0 ist auch eine Nullstelle, aber keine Landung. Der größte Wert kann auch am Rand liegen.
Rechnen d′(t) = −3t² + 12t = −3t · (t − 4). d′(t) = 0 bei t = 0 und t = 4. d″(t) = −6t + 12, also d″(4) = −12 < 0: Hochpunkt, d(4) = 32. Ränder: d(0) = 0 und d(6) = 0. Landung: d(t) = t² · (6 − t) = 0 bei t = 0 (Start) oder t = 6.
Antwortsatz 4 Sekunden nach dem Start ist die Drohne mit 32 m am höchsten. Sie landet nach 6 Sekunden.
Prüfen Zwischen t = 0 und t = 6 ist d(t) positiv, an beiden Rändern null. Ein Hochpunkt dazwischen passt.
10. Typische Fehler
Nur die Stelle x0 angeben, obwohl der Punkt P(x0 | f(x0)) gefragt ist.
Den y-Wert mit f′ oder f″ statt mit f berechnen.
Bei der Substitution die Rücksubstitution vergessen oder negative u-Werte stehen lassen.
Die Symmetrie am höchsten Exponenten festmachen statt an allen.
Aus f″(x0) = 0 sofort auf einen Wendepunkt schließen, ohne f‴(x0) ≠ 0 oder den Vorzeichenwechsel zu prüfen.
In der Sachaufgabe nur den Hochpunkt angeben und die Ränder vergessen.
Rechnen
2.1Symmetrie und Grenzverhalten
Gib für jede Funktion die Symmetrie des Graphen und das Verhalten für x → −∞ und x → +∞ an. Begründe jeweils am Term.
a) f(x) = x4 − 3x² + 1
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor?
Hilfe 2
Beachte auch das absolute Glied. Für das Grenzverhalten zählt nur ein Summand.
b) f(x) = x5 − 2x³
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor?
Hilfe 2
Gerader oder ungerader Grad, Vorzeichen des Leitkoeffizienten: Wohin laufen die Enden?
c) f(x) = x³ − x² + 4
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor?
Hilfe 2
Mehr als eine Sorte?
d) f(x) = −2x6 + x²
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor?
Hilfe 2
Was bewirkt das negative Vorzeichen des Leitkoeffizienten?
Lösung zeigen
a) Symmetrie über alle Exponenten, Grenzverhalten über Grad und Leitkoeffizient.
Nur gerade Exponenten (4, 2, 0): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Grad 4, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → +∞ für x → −∞ und für x → +∞.
b) Symmetrie über alle Exponenten, Grenzverhalten über Grad und Leitkoeffizient.
Nur ungerade Exponenten (5, 3): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Grad 5, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞.
c) Gemischte Exponenten: keine der beiden Symmetrien.
Es kommen ungerade (3) und gerade Exponenten (2, 0) vor: Der Graph ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung.
Grad 3, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞.
d) Gerader Grad mit negativem Leitkoeffizienten: beide Enden nach unten.
Nur gerade Exponenten (6, 2): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Grad 6, Leitkoeffizient −2 < 0: f(x) → −∞ für x → −∞ und für x → +∞.
2.2Nullstellen
Bestimme die Nullstellen der Funktion.
a) f(x) = x³ − 5x² + 6x
Hilfe 1
Fehlt etwas im Term, das sich ausklammern lässt?
Hilfe 2
Was gilt, wenn ein Produkt null ist?
b) f(x) = x4 − 16x²
Hilfe 1
Welche Potenz von x steckt in jedem Summanden?
Hilfe 2
Danach lässt sich ein Faktor mit einer binomischen Formel zerlegen.
c) f(x) = x4 − 13x² + 36
Hilfe 1
Welche Potenzen von x kommen vor?
Hilfe 2
Setze u = x².
d) f(x) = x4 − 3x² − 4
Hilfe 1
Setze u = x².
Hilfe 2
Prüfe jeden u-Wert: Kann x² diesen Wert annehmen?
Lösung zeigen
a) Kein absolutes Glied: Ausklammern, dann der Satz vom Nullprodukt.
x³ − 5x² + 6x = x · (x² − 5x + 6) = 0 ⇔ x = 0 oder x² − 5x + 6 = 0
pq-Formel: x = 2,5 ± 0,5, also x = 2 oder x = 3
Nullstellen: x = 0; x = 2; x = 3
b) Gemeinsame Potenz ausklammern; der Rest ist eine Differenz von Quadraten.
x4 − 16x² = x² · (x² − 16) = 0 ⇔ x = 0 oder x² = 16
Nullstellen: x = 0 (doppelt); x = ±4
c) Nur x4, x² und eine Zahl: Substitution.
Mit u = x²: u² − 13u + 36 = 0 ⇔ u = 4 oder u = 9
Zurück: x² = 4 oder x² = 9
Nullstellen: x = ±2; x = ±3
d) Substitution; ein u-Wert fällt weg.
Mit u = x²: u² − 3u − 4 = 0 ⇔ u = 4 oder u = −1
x² = −1 hat keine Lösung. x² = 4 ⇔ x = ±2.
Es gibt nur zwei Nullstellen: x = ±2.
2.3Kubische Funktion vollständig
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x.
a) Untersuche f auf Symmetrie und Grenzverhalten und bestimme den y-Achsenabschnitt und die Nullstellen.
Hilfe 1
Alle Exponenten anschauen. Fehlt ein absolutes Glied?
Hilfe 2
Klammere aus. Der Restfaktor ist eine Binomische Formel.
b) Bestimme die Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen von f.
Hilfe 1
Bilde f′, f″ und f‴. Wo gilt f′(x) = 0?
Hilfe 2
Die Art der Extrempunkte bestimme mit f″, die y-Werte mit f.
Hilfe 3
Für den Wendepunkt brauchst du f″(x) = 0 und die hinreichende Bedingung.
c) Skizziere den Graphen im Bereich 0 ≤ x ≤ 4 und beschreibe den Verlauf in einem Satz.
Hilfe 1
Trage zuerst alle berechneten Punkte ein.
Hilfe 2
Beginne links im Ursprung und verbinde die Punkte der Reihe nach.
Lösung zeigen
a) Erste drei Schritte des Schemas.
Es kommen gerade und ungerade Exponenten vor: weder Symmetrie zur y-Achse noch zum Ursprung.
Grad 3, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → −∞ für x → −∞ und f(x) → +∞ für x → +∞.
f(0) = 0. f(x) = x · (x − 3)² = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3 (doppelt).
Der Graph beginnt im Ursprung, steigt bis H(1 | 4), fällt über W(2 | 2) bis T(3 | 0), berührt dort die x-Achse und steigt dann weiter an.
2.4Gerade Funktion vollständig
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x4 − 6x² + 5.
a) Untersuche f auf Symmetrie und Grenzverhalten und bestimme die Nullstellen. Gib nicht ganzzahlige Werte exakt und auf zwei Nachkommastellen gerundet an.
Hilfe 1
Nur x4, x² und eine Zahl kommen vor.
Hilfe 2
Setze u = x² und löse die quadratische Gleichung.
Hilfe 3
Vergiss die Rücksubstitution nicht.
b) Bestimme die Extrempunkte und die Wendepunkte des Graphen. Nutze die Symmetrie, um Arbeit zu sparen.
Hilfe 1
Bilde f′ und klammere aus.
Hilfe 2
Wegen der Symmetrie genügt es, die Stellen mit x ≥ 0 auszurechnen.
Hilfe 3
Prüfe für Wendepunkte f″(x) = 0 und f‴.
c) Skizziere den Graphen im Bereich −2,5 ≤ x ≤ 2,5.
Hilfe 1
Trage zuerst alle Punkte der rechten Seite ein und spiegle sie.
Hilfe 2
Wo berührt, wo schneidet der Graph die x-Achse?
Lösung zeigen
a) Symmetrie liefert ±-Paare; biquadratisch: Substitution.
Nur gerade Exponenten (4, 2, 0): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Grad 4, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → +∞ für x → −∞ und für x → +∞. f(0) = 5.
Der Graph ist achsensymmetrisch: Er kommt von links oben, fällt über W(−1 | 0) zum Tiefpunkt T(−√3 | −4), steigt über W(−1 | 0) zum Hochpunkt H(0 | 5) und läuft spiegelbildlich nach rechts oben.
2.5Eine Stelle ohne Extrempunkt
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x4 − 4x³. Es gilt f′(x) = 4x³ − 12x² und f″(x) = 12x² − 24x.
a) Bestimme die Nullstellen und gib das Grenzverhalten an.
Hilfe 1
Welche Potenz von x steckt in beiden Summanden?
Hilfe 2
Gerader Grad, Vorzeichen des Leitkoeffizienten.
b) Bestimme alle Extrempunkte. An einer Stelle mit f′(x) = 0 liegt kein Extrempunkt. Weise das nach.
Hilfe 1
Löse f′(x) = 0 durch Ausklammern.
Hilfe 2
Was liefert f″ an der Stelle, die nicht funktioniert?
Hilfe 3
Prüfe das Vorzeichen von f′ links und rechts von dieser Stelle.
c) Bestimme die Wendepunkte des Graphen.
Hilfe 1
Löse f″(x) = 0 durch Ausklammern.
Hilfe 2
Für die hinreichende Bedingung brauchst du f‴.
Lösung zeigen
a) Ausklammern: eine dreifache Nullstelle.
f(x) = x³ · (x − 4) = 0 ⇔ x = 0 (dreifach) oder x = 4
Grad 4, Leitkoeffizient 1 > 0: f(x) → +∞ für x → −∞ und für x → +∞.
b) Hinreichende Bedingung mit f″ versagt: Vorzeichenwechsel von f′.
f′(x) = 4x² · (x − 3) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3
f″(3) = 36 > 0: Tiefpunkt T(3 | −27).
f″(0) = 0: Das Kriterium mit f″ entscheidet nichts. Wegen x² ≥ 0 und x − 3 < 0 ist f′(x) links und rechts von 0 negativ: kein Vorzeichenwechsel, also kein Extrempunkt. Der Graph hat bei (0 | 0) einen Sattelpunkt.
c) Der Sattelpunkt kann zugleich Wendepunkt sein.
f″(x) = 12x · (x − 2) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 2; f‴(x) = 24x − 24
f‴(0) = −24 ≠ 0 und f‴(2) = 24 ≠ 0: Wendepunkte W1(0 | 0) und W2(2 | −16). Der Sattelpunkt S(0 | 0) ist zugleich Wendepunkt.
Ohne Taschenrechner
2.6Welches c passt?
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 3x² + c. Dabei ist c eine reelle Zahl.
a) Der Tiefpunkt des Graphen von f liegt auf der x-Achse. Bestimme c.
Hilfe 1
Berechne zunächst die Extremstellen. Hängt die Lage der x-Werte von c ab?
Hilfe 2
Wie lautet die y-Koordinate des Tiefpunkts, ausgedrückt mit c?
Hilfe 3
Was bedeutet „liegt auf der x-Achse“ für die y-Koordinate?
b) Zeige, dass der Graph von f für jedes c genau einen Wendepunkt hat, und gib ihn an.
Hilfe 1
Hängt f″ von c ab?
Hilfe 2
Wie viele Nullstellen hat eine lineare Funktion?
Lösung zeigen
a) Aus einer Bedingung an den Punkt wird eine Gleichung für c.
f′(x) = 3x² − 6x = 3x · (x − 2); f″(x) = 6x − 6
f′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 2; f″(2) = 6 > 0: Der Tiefpunkt liegt bei x = 2.
f(2) = 8 − 12 + c = c − 4. Tiefpunkt auf der x-Achse: c − 4 = 0, also c = 4.
b) Allgemeine Aussage: das c fällt beim Ableiten weg.
f″(x) = 6x − 6 = 0 ⇔ x = 1. Da f″ linear ist und nicht von c abhängt, gibt es genau eine Stelle.
f‴(x) = 6 ≠ 0: Es liegt für jedes c eine Wendestelle vor. f(1) = c − 2, also W(1 | c − 2).
2.7Am Graphen
Das Material zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = −x4 + 4x².
Material
a) Lies am Material ab: Welche Symmetrie hat der Graph? Wo liegen ungefähr die Hochpunkte und der Tiefpunkt? Begründe die Symmetrie am Term.
Hilfe 1
Spiegle den Graphen in Gedanken an der y-Achse.
Hilfe 2
Welche Exponenten hat f?
b) Bestimme die Hochpunkte rechnerisch.
Hilfe 1
Bilde f′ und klammere aus.
Hilfe 2
Du kannst dich auf x ≥ 0 beschränken.
c) Der Graph berührt die x-Achse im Ursprung. Begründe am Term, dass er sie dort nicht schneidet.
Hilfe 1
Schreibe f(x) als Produkt.
Hilfe 2
Wie verhält sich das Vorzeichen eines Quadrats?
Lösung zeigen
a) Ablesen mit Begründung am Term.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Im Term kommen nur gerade Exponenten vor (4 und 2).
Hochpunkte bei x ≈ ±1,4 mit y = 4, Tiefpunkt bei (0 | 0).
b) Der Graph liefert den Plan, die Rechnung die genauen Werte.
f′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±√2; f″(±√2) = −16 < 0: Hochpunkte
f(±√2) = −4 + 8 = 4: H(−√2 | 4) und H(√2 | 4)
c) Doppelte Nullstelle: kein Vorzeichenwechsel.
f(x) = x² · (4 − x²). Der Faktor x² ist nie negativ, in der Nähe von 0 gilt 4 − x² > 0. Also ist f(x) ≥ 0 links und rechts von 0: kein Vorzeichenwechsel, der Graph berührt die x-Achse.
2.8Gestreckt und verschoben
Von der Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x sind bekannt: Hochpunkt H(1 | 4), Tiefpunkt T(3 | 0) und Wendepunkt W(2 | 2). Außerdem ist die Funktion g mit g(x) = −2 · f(x) + 1 gegeben.
a) Gib die Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen von g an.
Hilfe 1
Wie hängen g′ und f′ zusammen?
Hilfe 2
Wo ändern sich die x-Werte, wo die y-Werte?
Hilfe 3
Der Faktor −2 ist negativ. Was passiert mit der Art der Extrempunkte?
b) Haben f und g dieselben Nullstellen? Begründe.
Hilfe 1
Setze eine Nullstelle von f in g ein.
Hilfe 2
Welchen Wert hat g an den Nullstellen von f?
Lösung zeigen
a) Nichts neu ableiten: Ergebnisse von f umrechnen.
Wegen g′ = −2 · f′ und g″ = −2 · f″ bleiben die x-Werte x = 1, x = 3 und x = 2 erhalten.
Der Faktor −2 ist negativ: Aus dem Hochpunkt von f wird ein Tiefpunkt, aus dem Tiefpunkt ein Hochpunkt.
Nein. f hat die Nullstellen x = 0 und x = 3. Es ist g(0) = −2 · 0 + 1 = 1 und g(3) = 1, beide Werte sind nicht null. Durch die Verschiebung um 1 nach oben ändern sich die Nullstellen.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
Die Funktion b beschreibt den Bogen einer Fußgängerbrücke über einen Fluss. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom linken Ufer in m und b(x) die Höhe des Bogens über dem Wasser in m (Bereich von Ufer zu Ufer).
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Wie hoch ist der Bogen am linken Ufer? (2) An welcher Stelle ist der Bogen am höchsten? (3) An welcher Stelle steigt der Bogen am steilsten an?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert von b oder um die Steigung von b?
Hilfe 2
„am höchsten“ und „am steilsten“ sind verschiedene Fragen. Welche Funktion handelt von der Steilheit?
Hilfe 3
Muss bei (2) und (3) noch etwas außer dem Rechnen mit Ableitungen geprüft werden?
b) Ein Regenrückhaltebecken wird bei einem Gewitter gefüllt. Die Zuflussrate beschreibt z(t) = −0,5t³ + 3t² für 0 ≤ t ≤ 6. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beginn des Gewitters und z(t) die Zuflussrate in m³ pro Stunde. Wann ist der Zufluss am größten, und wie groß ist er dann? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Stelle, an der … am größten ist. 2. Was nicht dasteht: Der größte Wert kann auch am … liegen. 3. Rechnen: z′(t) = …; z′(t) = 0 ⇔ t = … oder t = …; z″(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Zufluss am größten“: Welche Größe soll am größten sein, z oder z′?
Hilfe 2
Der größte Wert einer Funktion liegt an einer Stelle mit waagerechter Tangente oder am Rand.
Hilfe 3
Klammere z′(t) aus.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Funktionswert b(0), größter Wert von b, größter Wert von b′.
(1) Gesucht ist der Funktionswert am Rand: b(0), der y-Achsenabschnitt.
(2) Gesucht ist der größte Funktionswert. Ansatz: b′(x) = 0, Art mit b″, dazu die Ränder vergleichen.
(3) Gesucht ist der größte Wert von b′. Ansatz: b″(x) = 0 (Wendestelle) mit hinreichender Bedingung, dazu die Ränder von b′ prüfen.
b) „Zufluss am größten“ heißt größter Wert von z (die Rate ist schon die Funktion). Die Ränder stehen nicht da.
1. Gefragt ist die Stelle, an der z am größten ist, und der Wert dort.
2. Der größte Wert kann auch am Rand des Zeitraums liegen.
3. z′(t) = −1,5t² + 6t = −1,5t · (t − 4); z′(t) = 0 ⇔ t = 0 oder t = 4; z″(t) = −3t + 6, also z″(4) = −6 < 0: Hochpunkt, z(4) = 16. Ränder: z(0) = 0 und z(6) = 0.
4. Vier Stunden nach Beginn des Gewitters ist der Zufluss mit 16 m³ pro Stunde am größten.
5. An den Rändern fließt nichts zu, dazwischen ist z positiv. Ein Hochpunkt dazwischen passt.
3.2Insel im See
Der Querschnitt einer kleinen Insel im See wird im Modell durch g(x) = −0,25x4 + 2x² für −3 ≤ x ≤ 3 beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung von der Inselmitte in 10 m und g(x) die Höhe über dem Wasserspiegel in m. Das Material zeigt den Graphen von g.
Material
a) Bestimme, wie breit die Insel auf Höhe des Wasserspiegels ist.
Hilfe 1
Welcher Funktionswert gehört zur Höhe des Wasserspiegels?
Hilfe 2
Löse die Gleichung durch Ausklammern. Nicht jede Lösung begrenzt die Insel.
Hilfe 3
Beachte die Einheit der x-Achse.
b) Bestimme die Höhe der beiden Gipfel und ihren Abstand voneinander.
Hilfe 1
Gipfel sind Hochpunkte. Bilde g′.
Hilfe 2
Der Abstand ergibt sich aus den x-Werten, in der Einheit der x-Achse.
c) Ein Besucher sagt: „In der Mitte der Insel steht das Wasser.“ Beurteile diese Aussage anhand des Graphen und einer Rechnung.
Hilfe 1
Welcher Punkt liegt bei x = 0, und was ist er für den Graphen?
Hilfe 2
Liegt der Graph bei x = 0 über, unter oder genau auf dem Wasserspiegel?
Hilfe 3
Was geschieht mit dem Graphen links und rechts von x = 0?
d) Beim Aufstieg von der Senke (x = 0) zum Gipfel (x = 2) ist der Hang an einer Stelle am steilsten. Bestimme diese Stelle und die Steigung dort in Prozent.
Hilfe 1
„am steilsten“: Welche Funktion beschreibt die Steigung, und was soll mit ihr passieren?
Hilfe 2
Prüfe, ob die Ränder des Aufstiegs mehr Steigung haben.
Hilfe 3
Steigung in Prozent: g′ · 100 %. Beachte, dass x in 10 m angegeben ist.
Lösung zeigen
a) „Breite auf Höhe null“: Abstand der äußeren Nullstellen. Die Einheit 10 m steht nicht in der Frage.
g(x) = 0 ⇔ x² · (−0,25x² + 2) = 0 ⇔ x = 0 oder x² = 8 ⇔ x = 0 oder x = ±2√2 ≈ ±2,83
Die Insel reicht von x = −2√2 bis x = 2√2: Breite 4√2 ≈ 5,66, also etwa 56,6 m.
g′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = ±2; g″(±2) = −8 < 0: Hochpunkte. g(±2) = 4: H(−2 | 4) und H(2 | 4).
Die Gipfel liegen 4 m über dem Wasserspiegel, ihr Abstand beträgt 4 · 10 m = 40 m.
c) Doppelte Nullstelle: Der Graph berührt den Wasserspiegel.
Es ist g(0) = 0 und g″(0) = 4 > 0: Bei x = 0 liegt ein Tiefpunkt (0 | 0) genau auf Höhe des Wasserspiegels. Links und rechts davon liegt der Graph über dem Wasserspiegel (g(x) > 0 für 0 < |x| < 2√2).
Die Aussage ist falsch: In der Mitte steht das Wasser nicht über der Insel, es berührt die Senke nur. Steigt der Wasserspiegel auch nur wenig, zerfällt die Insel in zwei Teile.
d) „am steilsten“: größter Wert von g′ im Bereich 0 ≤ x ≤ 2. Die Umrechnung auf Prozent steht nicht da.
g″(x) = −3x² + 4 = 0 ⇔ x = 2√3 ≈ 1,15 (im Bereich 0 ≤ x ≤ 2); g‴(x) = −6x < 0: Maximum von g′
g′(1,15) ≈ 3,08. Ränder: g′(0) = 0 und g′(2) = 0.
Pro 10 m waagerecht steigt der Hang um etwa 3,08 m, das sind 3,08 : 10 ≈ 0,308, also rund 30,8 % Steigung. Das ist 11,5 m von der Mitte entfernt.
3.3Temperaturanzeige
In einem Gewächshaus misst ein Sensor die Temperatur. Im Modell gilt für die Temperatur in °C: f(t) = t³ − 9t² + 24t für 0 ≤ t ≤ 6. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Sonnenaufgang.
a) Bestimme, wann die Temperatur im Messzeitraum am höchsten und wann sie am niedrigsten ist, und gib die Werte an.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte und der kleinste Wert von f im ganzen Zeitraum.
Hilfe 2
Berechne Hoch- und Tiefpunkt. Reicht das schon?
Hilfe 3
Auch f(0) und f(6) kommen in Frage.
b) Ein zweiter Sensor zeigt die Temperatur in °F: g(t) = 1,8 · f(t) + 32. Bestimme die Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen von g.
Hilfe 1
Wie hängen g′ und f′ zusammen, und wie g″ und f″?
Hilfe 2
Bestimme zuerst den Wendepunkt von f. Rechne dann die Punkte um.
Hilfe 3
Welche Rechnung verwandelt eine y-Koordinate von f in die von g?
c) Ein Mitarbeiter sagt: „Bei Sonnenaufgang zeigt der erste Sensor 0, also hat auch die Anzeige in °F dort eine Nullstelle.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Setze t = 0 in g ein.
Hilfe 2
Kann g(t) im Messzeitraum überhaupt null werden? Was gilt für f(t)?
Lösung zeigen
a) „am höchsten, am niedrigsten“: Extrempunkte und Ränder vergleichen.
Die Aussage ist falsch: g(0) = 1,8 · 0 + 32 = 32, nicht 0.
Im Bereich 0 ≤ t ≤ 6 ist f(t) = t · (t² − 9t + 24) ≥ 0, da t² − 9t + 24 stets positiv ist. Also ist g(t) ≥ 32, und g hat in diesem Bereich keine Nullstelle.
3.4Welcher Graph passt?
Die Abbildungen A und B zeigen die Graphen zweier ganzrationaler Funktionen vierten Grades.
Abbildung AAbbildung B
a) Eine der beiden Abbildungen zeigt den Graphen von f mit f(x) = x4 − 5x² + 4. Entscheide, welche, und begründe die Entscheidung mit zwei Merkmalen, die du am Term nachprüfst.
Hilfe 1
Welche Merkmale unterscheiden die beiden Abbildungen?
Hilfe 2
Berechne f(0).
Hilfe 3
Bestimme die Nullstellen von f mit Substitution.
b) Eine Schülerin behauptet: „Der Graph jeder ganzrationalen Funktion vierten Grades hat mindestens einen Extrempunkt.“ Beurteile die Behauptung.
Hilfe 1
Wie verlaufen die Enden eines Graphen vom Grad 4?
Hilfe 2
Zeichne einen Graphen mit beiden Enden nach oben. Gibt es einen tiefsten Punkt?
Lösung zeigen
a) Zwei Merkmale genügen: y-Achsenabschnitt und Nullstellen.
Abbildung A gehört zu f. Es ist f(0) = 4: Der Graph schneidet die y-Achse bei 4, wie in A (in B bei 0).
Mit u = x²: u² − 5u + 4 = 0 ⇔ u = 1 oder u = 4, also x = ±1 oder x = ±2. A hat vier Nullstellen bei ±1 und ±2, B hat Nullstellen bei 0 und ±2.
b) Argument über das Grenzverhalten, nicht über Rechnung.
Die Behauptung stimmt. Bei geradem Grad laufen beide Enden in dieselbe Richtung, bei positivem Leitkoeffizienten beide nach oben, bei negativem beide nach unten. Der Graph hat keine Lücken und Sprünge.
Läuft der Graph an beiden Enden nach oben, kann er nicht immer weiter fallen: Irgendwo liegt ein tiefster Punkt, also ein Tiefpunkt. Läuft er an beiden Enden nach unten, entsprechend ein Hochpunkt.
Jede andere schlüssige Begründung zählt, zum Beispiel über f′ als Funktion dritten Grades, die ihr Vorzeichen wechselt.
3.5Achterbahn
Ein Abschnitt einer Achterbahn wird im Modell durch h(x) = x³ − 6x² + 6x + 8 für 0 ≤ x ≤ 4 beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Beginn des Abschnitts in 10 m und h(x) die Höhe in m über dem Niveau der Station. Negative Werte bedeuten einen Einschnitt im Boden.
a) Bestimme die Höhe des höchsten und des tiefsten Punkts der Bahn in diesem Abschnitt.
Hilfe 1
Gesucht sind größter und kleinster Wert von h im Bereich 0 ≤ x ≤ 4.
Hilfe 2
Bestimme die Extrempunkte und vergleiche mit den Rändern.
Hilfe 3
Runde auf zwei Nachkommastellen.
b) Bestimme, an welcher Stelle die Bahn am stärksten abfällt, und gib das Gefälle dort in Prozent an.
Hilfe 1
„am stärksten abfällt“: Welche Funktion beschreibt die Neigung, und welcher Wert von ihr ist gesucht?
Hilfe 2
Prüfe die Ränder des Bereichs.
Hilfe 3
Beachte die Einheiten: x in 10 m, h in m.
c) Ein Techniker sagt: „Am tiefsten Punkt der Bahn ist das Gefälle am größten.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie groß ist h′ an einem Tiefpunkt?
Hilfe 2
Vergleiche die Stelle des größten Gefälles mit der Stelle des Tiefpunkts.
Lösung zeigen
a) „höchster, tiefster Punkt“: Extrempunkte und Ränder vergleichen.
Bei x = 2 fällt die Bahn pro 10 m waagerecht um 6 m ab, das sind 6 : 10 = 0,6, also ein Gefälle von 60 %.
c) Höhe und Gefälle sind verschiedene Größen: tiefster Punkt ≠ steilste Stelle.
Die Aussage ist falsch. Am Tiefpunkt (x = 2 + √2 ≈ 3,41) ist h′(x) = 0: Die Bahn ist dort waagerecht, es gibt kein Gefälle.
Das größte Gefälle liegt bei x = 2, wo die Bahn noch 4 m über dem Stationsniveau liegt. Das Gefälle dort ist 60 %.
Klausuraufgabe
4.1Bambus
Ein Bambussprössling wird 18 Tage lang beobachtet. Seine Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag wird im Modell durch w(t) = t · (t − 18)²36 = t³36 − t² + 9t für 0 ≤ t ≤ 18 beschrieben; t ist die Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn. Die Abbildung zeigt den Graphen von w.
Abbildung
a) Berechne die Nullstellen von w sowie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen von w ohne Beachtung der Einschränkung des Definitionsbereichs.6 BE
Hilfe 1
Schreibe w(t) als Produkt und lies die Nullstellen ab.
Hilfe 2
Bilde w′ und löse w′(t) = 0 mit der pq-Formel.
Hilfe 3
Bestimme für den Wendepunkt w″ und w‴.
b) Erläutere die Bedeutung der Nullstellen und der Wendestelle von w im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Was misst w, und was bedeutet w(t) = 0?
Hilfe 2
Was misst w′, und was bedeutet es, wenn w′ an einer Stelle am kleinsten ist?
c) Ein Mitarbeiter sagt: „Ab dem 12. Tag wird die Pflanze kürzer, denn dort ist w′ negativ.“ Beurteile diese Aussage anhand der Abbildung.3 BE
Hilfe 1
Was beschreibt w, die Höhe der Pflanze oder ihre Wachstumsgeschwindigkeit?
Hilfe 2
Wie liegt der Graph von w nach dem 12. Tag zur t-Achse?
Hilfe 3
Was sagt es über die Pflanze, wenn w(t) > 0 ist?
d) Ein Biologe misst am 15. Tag eine Wachstumsgeschwindigkeit von 4 cm pro Tag. Beurteile, ob das zum Modell passt.2 BE
Hilfe 1
Welche Größe gibt das Modell für t = 15 an?
Lösung zeigen
a) Bündel aus Nullstellen, Extrempunkten und Wendepunkt, wie in der Prüfung.
w(t) = t · (t − 18)²36 = 0 ⇔ t = 0 oder t = 18 (doppelt)
b) Nullstelle von w: Stillstand des Wachstums. Wendestelle von w: stärkste Änderung der Geschwindigkeit, mit Wert von w′.
t = 0: Zu Beginn der Beobachtung ist die Wachstumsgeschwindigkeit null. t = 18: Nach 18 Tagen kommt das Wachstum zum Stillstand, die Pflanze wächst nicht mehr weiter.
t = 12: 12 Tage nach Beobachtungsbeginn nimmt die Wachstumsgeschwindigkeit am stärksten ab. Es ist w′(12) = −3: Die Geschwindigkeit sinkt dann um 3 cm pro Tag je Tag.
c) Rate und Bestand: w ist die Geschwindigkeit des Wachstums, w′ ihre Änderung.
Die Aussage ist falsch. w ist die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Tag. Solange w(t) > 0 ist, wird die Pflanze länger.
Nach dem 12. Tag verläuft der Graph von w noch oberhalb der t-Achse. w′(t) < 0 bedeutet nur, dass die Wachstumsgeschwindigkeit sinkt. Die Pflanze wächst weiter, nur langsamer, bis sie nach 18 Tagen aufhört.
d) Messwert gegen Modellwert: vergleichen und beurteilen.
w(15) = 15 · 936 = 3,75. Das Modell sagt 3,75 cm pro Tag, gemessen wurden 4 cm pro Tag. Die Abweichung beträgt 0,25 cm pro Tag, etwa 6 % des Messwerts. Das ist gering, der Wert passt zum Modell.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Graphen untersuchen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.