Zuerst kommt die Erklärung, danach 14 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Ein Graph hat zwei Arten besonderer Stellen. An einer Extremstelle wechselt er die Richtung: Er steigt und fällt danach (Hochpunkt), oder er fällt und steigt danach (Tiefpunkt). An einer Wendestelle wechselt er die Krümmung: Aus einer Linkskurve wird eine Rechtskurve oder umgekehrt.
In Sachaufgaben sind das die Antworten auf zwei Fragen, die immer wieder kommen: Wann ist es am meisten? und Wann ändert es sich am schnellsten?
Beides liest du an der Ableitung ab. f′(x) ist die Steigung des Graphen an der Stelle x. Wo der Graph die Richtung wechselt, wechselt f′ das Vorzeichen.
✎ Mini-Aufgabe: Skizziere den Graphen einer Funktion, die bei x = 2 eine waagerechte Tangente hat, dort aber weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt. Was macht f′ links und rechts von 2?
Lösung zeigen
Zum Beispiel f(x) = (x − 2)³. Der Graph steigt vor und nach x = 2. f′ ist auf beiden Seiten positiv und nur bei 2 gleich null. So ein Punkt heißt Sattelpunkt.
2. Extremstellen finden
Ein Hoch- oder Tiefpunkt kann nur dort liegen, wo die Tangente waagerecht ist:
f′(x0) = 0 (notwendige Bedingung)
Das reicht aber nicht, denn auch ein Sattelpunkt hat eine waagerechte Tangente. Entscheidend ist, ob f′ an der Stelle das Vorzeichen wechselt:
f′ wechselt von + nach −: Hochpunkt.
f′ wechselt von − nach +: Tiefpunkt.
kein Vorzeichenwechsel: kein Extrempunkt (Sattelpunkt).
Oft schneller geht es mit der zweiten Ableitung. Sie sagt, wie der Graph an der Stelle gekrümmt ist:
f′(x0) = 0 und f″(x0) < 0: Rechtskurve, also Hochpunkt.
f′(x0) = 0 und f″(x0) > 0: Linkskurve, also Tiefpunkt.
f″(x0) = 0: Die zweite Ableitung entscheidet nichts. Dann prüfst du den Vorzeichenwechsel von f′.
Ein Punkt hat zwei Koordinaten. Wer nur x = −1 schreibt, hat die Extremstelle, nicht den Extrempunkt.
3. Wendestellen finden
An einer Wendestelle wechselt die Krümmung, also das Vorzeichen von f″:
f″(x0) = 0 und f″ wechselt das Vorzeichen (oder: f‴(x0) ≠ 0)
Die Wendestelle ist die Stelle mit der größten oder kleinsten Steigung in ihrer Umgebung. Dort steigt oder fällt der Graph am stärksten. Genau deshalb fragen Sachaufgaben nach ihr.
Beispiel (dieselbe Funktion)
f″(x) = 6x = 0 ⇔ x = 0; f‴(x) = 6 ≠ 0, also eine Wendestelle
An keiner anderen Stelle fällt der Graph steiler als bei x = 0.
Die Tangente im Wendepunkt heißt Wendetangente. Allgemein gilt für die Tangente an der Stelle x0:
y = f′(x0) · (x − x0) + f(x0)
Im Beispiel: y = −3 · (x − 0) + 1 = −3x + 1.
4. Graph lesen: f′ verrät f
Oben der Graph von f(x) = x³ − 3x + 1, unten der Graph von f′(x) = 3x² − 3. Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen.
Nullstelle von f′ mit Wechsel von + nach −: Hochpunkt von f (bei x = −1).
Nullstelle von f′ mit Wechsel von − nach +: Tiefpunkt von f (bei x = 1).
Tiefpunkt von f′: Wendepunkt von f. Hier fällt f am stärksten (bei x = 0).
Wo der Graph von f′ oberhalb der x-Achse liegt, steigt f.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph von f′ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 5. Wo hat f einen Hochpunkt, wo einen Tiefpunkt, wo eine Wendestelle?
Lösung zeigen
f′ wechselt bei 1 von − nach +: Tiefpunkt bei x = 1. Bei 5 wechselt f′ von + nach −: Hochpunkt bei x = 5. Der Scheitel der Parabel liegt in der Mitte, bei x = 3. Dort ist die Wendestelle von f.
5. So steht es in der Aufgabe
In Klausur und Abitur steht selten „Bestimmen Sie den Hochpunkt“. Meist steht da eine Frage aus der Sache, und du musst erkennen, welches mathematische Objekt gemeint ist.
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
am meisten, am höchsten, Höchststand
größter Funktionswert
Ränder des Bereichs mit vergleichen
am wenigsten, Tiefststand
kleinster Funktionswert
Ränder mit vergleichen
ab wann wieder steigend oder fallend, Trendwende
Vorzeichenwechsel von f′, also eine Extremstelle
Die Antwort ist ein Zeitpunkt, kein Wert.
am stärksten oder schnellsten steigt, wächst, nimmt zu
größter Wert von f′, meist an der Wendestelle
Ränder für f′ prüfen
am stärksten oder schnellsten sinkt, nimmt ab, geht zurück
kleinster Wert von f′ (am stärksten negativ)
Ränder für f′ prüfen
steilste Stelle (Weg, Hang, Rampe)
größter Betrag von f′
Steigung in Prozent: f′ · 100 %
wie schnell … zu diesem Zeitpunkt
Wert von f′ an der Stelle
Einheit: Größe pro Zeit
das Wachstum lässt nach, wird langsamer
f′ wird kleiner, also f″ < 0
Der Bestand kann trotzdem noch steigen.
6. Was nirgends steht
Diese Bedingungen stehen fast nie in der Aufgabe. Punkte gibt es trotzdem dafür.
Die Ränder. Der größte Wert kann am Anfang oder am Ende des Zeitraums liegen. Hoch- und Tiefpunkte sind nur Kandidaten. Vergleiche immer auch die Werte am Rand.
Der Gültigkeitsbereich. Eine Lösung wie t = −2,3 liegt außerhalb des Modells und fällt weg.
Die Einheit der Ableitung. Misst f(t) Liter und t Stunden, dann misst f′(t) Liter pro Stunde.
Die Zeitachse. Ist t die Zeit ab 8 Uhr, dann heißt t = 5 nicht 5 Uhr, sondern 13 Uhr.
Rate und Bestand. Beschreibt f einen Zufluss pro Stunde, dann ist der Hochpunkt von f der stärkste Zufluss, nicht der höchste Füllstand.
7. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Die Zahl der Besucher einer Ausstellung pro Woche wird beschrieben durch Z(t) = −0,1t³ + 1,2t² + 2. Dabei ist t die Zeit in Wochen nach der Eröffnung (0 ≤ t ≤ 12) und Z(t) die Zahl der Besucher pro Woche in Tausend. Wann kamen die meisten Besucher?
Was ist gefragt? Der größte Wert von Z im Bereich 0 ≤ t ≤ 12.
Was steht nicht da? Der größte Wert kann auch am Rand liegen. Ich vergleiche also den Hochpunkt mit Z(0) und Z(12).
Rechnen Z′(t) = −0,3t² + 2,4t = −0,3t · (t − 8). Z′(t) = 0 bei t = 0 und t = 8. Z″(t) = −0,6t + 2,4, also Z″(8) = −2,4 < 0: Hochpunkt. Z(8) = 27,6; Z(0) = 2; Z(12) = 2.
Antwortsatz 8 Wochen nach der Eröffnung kamen die meisten Besucher, rund 27 600 pro Woche.
Prüfen Z steigt bis t = 8 (Z′ > 0) und fällt danach. Der Wert ist positiv und deutlich größer als an den Rändern. Das passt.
✎ Mini-Aufgabe: Erklär es dir selbst: Warum genügt Z″(8) < 0 allein nicht, um zu sagen, dass bei t = 8 die meisten Besucher kamen?
Lösung zeigen
Z′(8) = 0 und Z″(8) < 0 zeigen nur einen Hochpunkt in der Umgebung von 8. Ein Randwert könnte größer sein. Erst der Vergleich mit Z(0) = 2 und Z(12) = 2 zeigt, dass 27,6 der größte Wert ist.
✎ Mini-Aufgabe: Zwei weitere Fragen an dieselbe Funktion: Wann wuchs die Besucherzahl am schnellsten? Und wann sank sie am schnellsten?
Lösung zeigen
Am schnellsten gewachsen: an der Wendestelle t = 4. Z′(4) = 4,8, die Zahl stieg dort um 4 800 Besucher pro Woche je Woche.
Am schnellsten gesunken: am Rand t = 12, mit Z′(12) = −14,4. Die Wendestelle ist hier nicht die Antwort, weil der kleinste Wert von Z′ am Rand liegt.
8. Typische Fehler
Nur f′(x) = 0 gelöst und aufgehört. Ohne Vorzeichenwechsel oder f″ ist offen, ob es ein Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt ist.
Nur die Stelle angegeben. Gefragt ist meist der Punkt, also auch der Funktionswert.
Den Rand vergessen.
„am meisten“ mit „am schnellsten“ verwechselt. Das eine ist der Hochpunkt von f, das andere die Wendestelle.
Mit f″ entschieden, ob der Graph steigt. Ob er steigt, sagt f′; f″ sagt, wie er gekrümmt ist.
Die Einheit vergessen. Eine Änderungsrate ist immer „pro …“.
Rechnen
2.1Extrempunkte
Bestimme die Koordinaten und die Art der Extrempunkte des Graphen von f mit f(x) = 2x³ + 3x² − 12x.
Hilfe 1
Wo kann ein Hoch- oder Tiefpunkt liegen? Was gilt dort für die Steigung des Graphen?
Hilfe 2
Bilde f′ und setze f′(x) = 0. Teile die Gleichung zuerst durch 6, dann hilft die pq-Formel.
Hilfe 3
Die Art bestimmst du mit f″ an beiden Stellen, die y-Koordinaten mit f.
Lösung zeigen
„Extrempunkte“ heißt: notwendige Bedingung f′ = 0, dann hinreichende Bedingung, dann die y-Koordinaten.
Der Graph hat den Hochpunkt H(−2 | 20) und den Tiefpunkt T(1 | −7).
2.2Wendepunkt und Wendetangente
Bestimme den Wendepunkt des Graphen von g mit g(x) = x³ − 6x² + 9x + 1 und eine Gleichung der Tangente in diesem Punkt.
Hilfe 1
An einer Wendestelle wechselt die Krümmung. Welche Ableitung beschreibt die Krümmung?
Hilfe 2
Für die Tangente brauchst du einen Punkt und eine Steigung. Die Steigung ist g′ an der Wendestelle.
Hilfe 3
Setze in y = m · (x − x0) + y0 ein.
Lösung zeigen
Wendepunkt: g″ = 0 und Vorzeichenwechsel (oder g‴ ≠ 0). Tangente: Steigung g′ an dieser Stelle.
g′(x) = 3x² − 12x + 9; g″(x) = 6x − 12; g‴(x) = 6
g″(x) = 0 ⇔ x = 2; g‴(2) = 6 ≠ 0: Wendestelle
g(2) = 3, also W(2 | 3). g′(2) = −3
Tangente: y = −3 · (x − 2) + 3, also y = −3x + 9
2.3Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt
Der Graph von h mit h(x) = x⁴ − 4x³ hat zwei Punkte mit waagerechter Tangente. Bestimme diese Punkte und untersuche jeweils, ob dort ein Hoch-, ein Tief- oder ein Sattelpunkt liegt.
Hilfe 1
An einer der beiden Stellen ist h″ = 0. Was sagt das über die Art des Punktes?
Hilfe 2
Was macht h′ kurz vor und kurz nach dieser Stelle? Setze Zahlen ein.
Lösung zeigen
Bei x = 0 ist h″(0) = 0. Dann entscheidet die zweite Ableitung nichts. Man prüft den Vorzeichenwechsel von h′ oder zeigt mit h‴(0) ≠ 0, dass dort ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente liegt. Das steht nicht in der Aufgabe.
h′(x) = 4x³ − 12x² = 4x² · (x − 3); h′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3
h″(0) = 0: keine Entscheidung. Vorzeichen von h′: Für x < 0 und für 0 < x < 3 ist 4x² > 0 und x − 3 < 0, also h′(x) < 0. Kein Vorzeichenwechsel bei 0: Sattelpunkt S(0 | 0).
Ebenso möglich: h‴(x) = 24x − 24, h‴(0) = −24 ≠ 0. Bei x = 0 liegt also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente, ein Sattelpunkt.
2.4Weiterrechnen
Für k(x) = −x³ + 3x² + 9x − 5 hat jemand begonnen: k′(x) = −3x² + 6x + 9 = 0 ⇔ x² − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 oder x = 3 Führe die Untersuchung der Extrempunkte zu Ende und schreibe einen Antwortsatz.
Hilfe 1
Die Stellen −1 und 3 sind gefunden. Was fehlt noch, damit klar ist, was dort für Punkte liegen?
Hilfe 2
Bilde k″ und setze beide Stellen ein. Die y-Koordinaten liefert k.
Lösung zeigen
Der Anfang ist gemacht. Es fehlen die hinreichende Bedingung, die y-Koordinaten und der Antwortsatz.
b) Das Fachwissen, das man braucht, steht nicht da: Der Graph von f′ ist eine Parabel, ihr Scheitel liegt in der Mitte zwischen ihren Nullstellen.
Der Graph von f′ ist eine Parabel. Ihre Nullstellen 0 und 2 sind die Extremstellen von f. Ihr Scheitel liegt genau in der Mitte zwischen den Nullstellen, bei x = 1.
Am Scheitel hat f′ seinen kleinsten Wert, also hat f dort seine Wendestelle.
2.8Parameter für den Wendepunkt
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ + ax² mit einer reellen Zahl a.
a) Bestimme a so, dass der Graph von f bei x = 2 einen Wendepunkt hat.
Hilfe 1
Was muss an einer Wendestelle für f″ gelten?
Hilfe 2
f″(x) = 6x + 2a. Setze x = 2 ein.
b) Zeige für diesen Wert von a, dass der Graph von f bei x = 4 einen Tiefpunkt hat.
Hilfe 1
Setze deinen Wert für a aus a) ein.
Hilfe 2
Was muss für einen Tiefpunkt bei x = 4 für f′ und für f″ gelten?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Die Eigenschaft ist gegeben, der Parameter gesucht.
f″(x) = 6x + 2a; f″(2) = 12 + 2a = 0 ⇔ a = −6. f‴(x) = 6 ≠ 0, also liegt bei x = 2 ein Wendepunkt.
b) „Zeige“: beide Bedingungen nachrechnen und den Schluss hinschreiben.
Also hat der Graph bei x = 4 einen Tiefpunkt, T(4 | −32).
2.9f, f′ und f″ zuordnen
Das Material zeigt die Graphen A, B und C. Einer gehört zu einer Funktion f, einer zu ihrer Ableitung f′ und einer zu f″.
ABC
Material
Ordne die Graphen f, f′ und f″ zu und begründe deine Zuordnung.
Hilfe 1
Wo hat jeder Graph waagerechte Tangenten, wo Nullstellen?
Hilfe 2
Die Nullstellen von f′ liegen dort, wo f waagerechte Tangenten hat.
Hilfe 3
Die Nullstelle von f″ liegt dort, wo f′ seinen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
Lösung zeigen
Zuordnen über Nullstellen und Extremstellen: Die Nullstellen der Ableitung liegen unter den Extremstellen der Funktion.
B ist f, C ist f′, A ist f″.
C hat Nullstellen bei 0 und 2. Genau dort hat B waagerechte Tangenten (Tiefpunkt und Hochpunkt). Also ist C die Ableitung von B.
A hat eine Nullstelle bei 1. Dort hat C seinen Hochpunkt und B seinen Wendepunkt. Also ist A die Ableitung von C.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) E(t) beschreibt die Zahl der Erkrankten in einer Stadt (t in Tagen). Ab welchem Tag nimmt die Zahl der Erkrankten wieder ab? (2) A(t) beschreibt die Zahl der Abonnenten eines Kanals (t in Monaten). Wann wächst die Zahl der Abonnenten am schnellsten? (3) K(t) beschreibt den Kontostand eines Vereins (t in Monaten ab Jahresbeginn). Wann ist der Kontostand wieder so hoch wie zu Jahresbeginn?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„nimmt wieder ab“ und „wächst am schnellsten“ handeln von der Änderung, also von der Ableitung.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Geht es um den Kontostand selbst oder um seine Änderung?
b) Ein Radweg führt auf einen Hügel. Sein Höhenprofil vom Start bis zur Kuppe beschreibt h(x) = −0,002x³ + 0,018x² für 0 ≤ x ≤ 6. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Start und h(x) die Höhe über dem Start, beides in 100 m. Wo ist der Weg am steilsten, und wie viel Prozent Steigung hat er dort? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Stelle, an der … am größten ist, und … 2. Was nicht dasteht: Steigung in Prozent ist … · 100 %. Die Ränder x = 0 und x = 6 … 3. Rechnen: h′(x) = …; h″(x) = … = 0 ⇔ x = …; h′(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„am steilsten“: Welche Größe beschreibt die Steilheit?
Hilfe 2
Welche Funktion beschreibt die Steigung, und was soll mit ihr passieren?
Hilfe 3
Der größte Wert einer Funktion liegt an einer Stelle mit waagerechter Tangente oder am Rand.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Objekte: Vorzeichenwechsel von E′, größter Wert von A′, gleicher Funktionswert.
(1) Gesucht ist die Stelle, an der E′ von + nach − wechselt (Hochpunkt von E). Ansatz: E′(t) = 0 und Vorzeichenwechsel prüfen.
(2) Gesucht ist der größte Wert von A′. Ansatz: A″(t) = 0 (Wendestelle), dazu die Ränder prüfen.
(3) Gesucht ist der Zeitpunkt t > 0 mit K(t) = K(0). Hier geht es nicht um eine Ableitung.
b) „am steilsten“ heißt: größter Wert von h′. Die Prozentangabe und die Ränder stehen nicht da.
1. Gefragt ist die Stelle, an der h′ am größten ist, und der Wert von h′ dort.
2. Steigung in Prozent ist h′ · 100 %. An den Rändern: h′(0) = 0 und h′(6) = 0.
4. Nach 300 m (waagerecht gemessen) ist der Weg am steilsten. Die Steigung beträgt dort 5,4 %.
5. 5,4 % sind für einen Radweg realistisch, und an den Rändern ist der Weg flach. Das passt.
3.2Hochbehälter
Ein Pumpwerk füllt den Hochbehälter eines Ortsteils den ganzen Tag gleichmäßig mit 170 m³ Wasser pro Stunde. Ist der Behälter voll, fließt überschüssiges Wasser über einen Überlauf ab. Den Wasserverbrauch des Ortsteils an einem Werktag beschreibt die Funktion f mit f(t) = −0,1t³ + 3,3t² − 21,6t + 100. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach Mitternacht (0 ≤ t ≤ 24) und f(t) der Verbrauch in m³ pro Stunde. Das Material zeigt den Graphen von f und die Gerade y = 170.
Material
a) Bestimme, wann am meisten Wasser verbraucht wird und wie viel Wasser dann pro Stunde verbraucht wird.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von f im ganzen Tag, nicht irgendein Hochpunkt.
Hilfe 2
Auch um 0 Uhr und um 24 Uhr könnte der Verbrauch am größten sein.
Hilfe 3
Ansatz: f′(t) = 0 lösen, die Art prüfen, dann mit f(0) und f(24) vergleichen.
Hilfe 4
f′(t) = −0,3t² + 6,6t − 21,6. Klammere −0,3 aus und löse die quadratische Gleichung.
b) Der Graph von f hat bei t = 11 seinen Wendepunkt. Erläutere, was das für den Wasserverbrauch bedeutet, und gib an, wie stark der Verbrauch dann zunimmt.
Hilfe 1
Was bedeutet ein Wendepunkt für die Steigung des Graphen?
Hilfe 2
Die Steigung von f ist die Änderung des Verbrauchs pro Stunde.
Hilfe 3
Berechne f′(11) und deute den Wert mit Einheit.
c) Bestimme den Zeitraum, in dem der Wasserstand im Hochbehälter sinkt.
Hilfe 1
Wovon hängt ab, ob der Behälter voller oder leerer wird?
Hilfe 2
Wann fließt mehr Wasser hinaus als hinein?
Hilfe 3
Ansatz: f(t) > 170.
Hilfe 4
Welche Lösungen von f(t) = 170 liegen zwischen 0 und 24, und wo liegt der Graph über der Geraden?
d) Ein Mitarbeiter sagt: „Wenn am meisten Wasser verbraucht wird, ist der Behälter am leersten.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was passiert mit dem Wasserstand um 18 Uhr: Steigt er, oder sinkt er?
Hilfe 2
Vergleiche Abfluss und Zufluss um 18 Uhr.
Hilfe 3
Solange der Wasserstand sinkt, wird er niedriger. Wann hört er auf zu sinken?
Lösung zeigen
a) „am meisten“: größter Funktionswert im ganzen Bereich, also Hochpunkt und Ränder vergleichen.
f′(t) = −0,3t² + 6,6t − 21,6 = −0,3 · (t − 4) · (t − 18); f′(t) = 0 bei t = 4 und t = 18
Um 18 Uhr wird am meisten Wasser verbraucht, 197,2 m³ pro Stunde.
b) Wendestelle gegeben, Bedeutung gefragt: Zeitpunkt, Größe und Einheit in einem Satz.
Um 11 Uhr nimmt der Verbrauch am stärksten zu. f′(11) = 14,7: Der Verbrauch steigt dann um 14,7 m³ pro Stunde je Stunde.
c) Der Wasserstand ist ein Bestand, f ist eine Rate. Er sinkt, solange der Abfluss f(t) größer ist als der Zufluss 170.
Der Wasserstand sinkt, solange mehr verbraucht wird, als zufließt: f(t) > 170.
f(t) = 170 hat im Bereich 0 ≤ t ≤ 24 die Lösungen t = 14 und t ≈ 21,34 (Gleichungslöser des Taschenrechners oder Ablesen im Material). Die dritte Lösung t ≈ −2,34 liegt außerhalb.
Dazwischen liegt der Graph über der Geraden.
Der Wasserstand sinkt von 14 Uhr bis etwa 21:20 Uhr.
d) Die Aussage verwechselt Rate und Bestand: der größte Abfluss ist nicht der niedrigste Stand.
Die Aussage ist falsch. Um 18 Uhr fließen 197,2 m³ pro Stunde ab, aber nur 170 m³ zu. Der Wasserstand sinkt also noch weiter und ist um 18 Uhr nicht am niedrigsten.
Er sinkt nur zwischen 14 Uhr und etwa 21:20 Uhr; sonst steigt er oder bleibt am Überlauf gleich. Am niedrigsten ist er deshalb am Ende der Sinkphase, gegen 21:20 Uhr, wenn Verbrauch und Zufluss wieder gleich sind.
3.3Graph der Ableitung
Das Material zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′ einer ganzrationalen Funktion f. Der Graph von f selbst ist nicht abgebildet.
Material
a) Entscheide für jede Aussage, ob sie wahr ist, und begründe mit dem Graphen von f′. (1) Der Graph von f hat bei x = −2 einen Hochpunkt. (2) Der Graph von f hat bei x = 0,5 einen Wendepunkt. (3) Es gilt f(3) > f(−2).
Hilfe 1
Der Graph zeigt f′, nicht f. Was sagt das Vorzeichen von f′ über f?
Hilfe 2
Wo der Graph von f′ unter der x-Achse liegt, fällt f.
Hilfe 3
Einen Wendepunkt hat f dort, wo f′ einen Hoch- oder Tiefpunkt hat.
b) Skizziere einen möglichen Graphen von f.
Hilfe 1
Markiere zuerst die Stellen −2, 0,5 und 3 auf der x-Achse.
Hilfe 2
Wo steigt f, wo fällt f? Das zeigt das Vorzeichen von f′.
Lösung zeigen
a) Jede Aussage über f wird in eine Aussage über f′ übersetzt: Vorzeichen, Nullstellen, Extremstellen.
(1) Wahr: f′ wechselt bei x = −2 das Vorzeichen von + nach −.
(2) Wahr: f′ hat bei x = 0,5 seinen Tiefpunkt. Dort wechselt f″ das Vorzeichen, und f fällt am stärksten.
(3) Falsch: Zwischen −2 und 3 liegt der Graph von f′ unter der x-Achse, f fällt dort. Also gilt f(3) < f(−2).
b) Skizze: Steigen und Fallen aus dem Vorzeichen von f′, Wendepunkt aus dem Tiefpunkt von f′.
f steigt bis x = −2 (Hochpunkt), fällt bis x = 3 (Tiefpunkt) und steigt danach. Der Wendepunkt liegt bei x = 0,5. Wie hoch der Graph liegt, ist beliebig; eine Möglichkeit zeigt die Abbildung.
Ein möglicher Graph von f
3.4Lern-App
Die Zahl der aktiven Nutzer einer Lern-App in den ersten neun Monaten nach dem Start wird beschrieben durch N(t) = t³ − 12t² + 36t + 20. Dabei ist t die Zeit in Monaten nach dem Start (0 ≤ t ≤ 9) und N(t) die Zahl der aktiven Nutzer in Tausend. Zum Start übernahm die App 20 000 Nutzer aus einer Testphase.
a) Bestimme, wann die App im Modellzeitraum die meisten aktiven Nutzer hatte.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von N im ganzen Zeitraum von 0 bis 9 Monaten.
Hilfe 2
Was steht nicht da? Der größte Wert muss nicht am Hochpunkt liegen.
Hilfe 3
Berechne den Hochpunkt und vergleiche mit N(0) und N(9).
Hilfe 4
N′(t) = 3t² − 24t + 36 = 3 · (t² − 8t + 12).
b) Gib den Zeitraum an, in dem die Zahl der aktiven Nutzer zurückging.
Hilfe 1
Zurückgehen heißt: N fällt. Welches Vorzeichen hat dann N′?
Hilfe 2
Ansatz: N′(t) < 0. Die Nullstellen von N′ kennst du aus a).
c) Bestimme, wann die Zahl der aktiven Nutzer am stärksten zurückging, und gib an, wie schnell sie zu diesem Zeitpunkt abnahm.
Hilfe 1
„am stärksten zurück“: Wo ist N′ am kleinsten, also am stärksten negativ?
Hilfe 2
Der kleinste Wert von N′ liegt an einer Wendestelle oder am Rand.
Hilfe 3
N″(t) = 0 lösen, N′ dort berechnen und mit N′(0) und N′(9) vergleichen.
d) Das Team der App schreibt: „Seit unserem Tiefpunkt wächst die Zahl der Nutzer von Monat zu Monat schneller.“ Beurteile diese Aussage im Rahmen des Modells.
Hilfe 1
„wächst von Monat zu Monat schneller“: Was macht dann N′?
Hilfe 2
N′ wird größer, wenn N″ positiv ist.
Hilfe 3
Prüfe N′ und N″ für die Zeit nach dem Tiefpunkt. Und: Wie weit reicht das Modell?
Lösung zeigen
a) „die meisten im Modellzeitraum“: größter Wert auf dem ganzen Intervall. Hier liegt er am Rand.
N″(2) = −12 < 0: Hochpunkt bei t = 2 mit N(2) = 52
Ränder: N(0) = 20, N(9) = 101
Nach 9 Monaten, am Ende des Modellzeitraums, hatte die App mit 101 000 die meisten aktiven Nutzer. Der Hochpunkt nach 2 Monaten (52 000) ist nur der größte Wert in seiner Umgebung.
b) „ging zurück“: N fällt, also N′ < 0.
N′(t) = 3 · (t − 2) · (t − 6) < 0 für 2 < t < 6.
Zwischen 2 und 6 Monaten nach dem Start ging die Zahl der aktiven Nutzer zurück.
c) „am stärksten zurück“: kleinster Wert von N′, Ränder von N′ mit prüfen.
N″(t) = 6t − 24 = 0 ⇔ t = 4; N′(4) = −12
Ränder: N′(0) = 36, N′(9) = 63. Der kleinste Wert von N′ ist also −12.
Nach 4 Monaten ging die Nutzerzahl am stärksten zurück, um 12 000 Nutzer pro Monat.
d) „wächst schneller“: N′ > 0 und N′ steigt, also N″ > 0. Dazu die Grenze des Modells.
Der Tiefpunkt liegt bei t = 6 (N″(6) = 12 > 0, N(6) = 20).
Für t > 6 ist N′(t) > 0: Die Zahl wächst. Außerdem ist N″(t) = 6t − 24 > 0, also wird N′ größer: Das Wachstum wird schneller.
Im Modellzeitraum bis 9 Monate stimmt die Aussage. Ob es danach so weitergeht, sagt das Modell nicht.
3.5Temperatur nach einer Impfung
Nach einer Impfung steigt bei manchen Menschen die Körpertemperatur leicht an. Für einen Patienten wird sie beschrieben durch K(t) = −0,002t³ + 0,03t² + 37. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach der Impfung (0 ≤ t ≤ 15) und K(t) die Körpertemperatur in °C.
a) Bestimme die höchste Körpertemperatur im Modellzeitraum.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von K zwischen 0 und 15 Stunden.
Hilfe 2
Vergleiche den Hochpunkt mit den Werten am Rand.
Hilfe 3
K′(t) = −0,006t² + 0,06t. Klammere t aus.
b) Eine Ärztin notiert ohne weitere Erklärung: K″(t) = 0 ⇔ t = 5 und K′(5) = 0,15. Formuliere die Frage, die sie damit beantwortet hat, und die Antwort im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Was berechnet man mit K″(t) = 0?
Hilfe 2
Die Stelle, an der K′ am größten oder kleinsten ist.
Hilfe 3
Was bedeutet K′(5) = 0,15 mit Einheit?
c) Ab 37,5 °C spricht man von erhöhter Temperatur. Ermittle, wie lange der Patient laut Modell erhöhte Temperatur hat.
Hilfe 1
Erhöhte Temperatur heißt: K(t) ≥ 37,5.
Hilfe 2
Löse K(t) = 37,5, zum Beispiel mit dem Gleichungslöser, und prüfe, welche Lösungen zwischen 0 und 15 liegen.
Hilfe 3
Zwischen welchen Lösungen liegt der Graph über 37,5? Die Dauer ist ihr Abstand.
d) Nach dem Modell hat der Patient nach 15 Stunden wieder 37 °C. Beurteile, ob das Modell auch für die Zeit nach 15 Stunden geeignet ist.
Hilfe 1
Was macht die Temperatur nach dem Modell direkt nach t = 15?
Hilfe 2
Berechne K′(15) oder K(17).
Hilfe 3
Ist dieser Wert für einen Menschen plausibel?
Lösung zeigen
a) „höchste … im Modellzeitraum“: größter Wert auf dem Intervall, Ränder mit vergleichen.
Die höchste Temperatur beträgt 38,0 °C, 10 Stunden nach der Impfung.
b) Eine fertige Rechnung zurück in die Sache übersetzen: Was wurde gesucht, was ist die Antwort?
Frage: Wann stieg die Körpertemperatur am schnellsten, und wie schnell?
Antwort: 5 Stunden nach der Impfung stieg sie am schnellsten, um 0,15 °C pro Stunde.
c) „wie lange erhöht“: der Zeitraum zwischen den Lösungen von K(t) = 37,5 im Modellbereich.
K(t) = 37,5 ⇔ −0,002t³ + 0,03t² − 0,5 = 0
Lösungen (Gleichungslöser): t = 5, t ≈ 13,66 und t ≈ −3,66. Die negative Lösung liegt außerhalb des Modells.
Zwischen 5 und 13,66 Stunden ist K(t) ≥ 37,5.
Der Patient hat laut Modell rund 8,7 Stunden erhöhte Temperatur.
d) Das Modell prüfen: Was sagt es außerhalb seines Bereichs voraus, und ist das für einen Menschen plausibel?
K′(15) = −0,45: Nach dem Modell sinkt die Temperatur weiter, um 0,45 °C pro Stunde. Nach 17 Stunden wären es rund 35,8 °C.
Das ist für einen gesunden Menschen nicht plausibel. Das Modell eignet sich nur bis 15 Stunden.
Klausuraufgabe
4.1Hochwasser
Nach starken Regenfällen wird an einem Fluss zehn Tage lang der Pegelstand gemessen. Im Modell gibt P(t) = −t³ + 12t² + 200 den Pegelstand in Zentimetern an; t ist die Zeit in Tagen seit Messbeginn (0 ≤ t ≤ 10). Die Abbildung zeigt den Graphen von P.
Abbildung
a) Weise nach, dass der Pegel acht Tage nach Messbeginn mit 456 cm seinen höchsten Stand im Messzeitraum erreicht.3 BE
Hilfe 1
Höchster Stand: größter Wert von P im Messzeitraum.
Hilfe 2
Die Werte P(0) und P(10) gehören dazu.
Hilfe 3
P′(t) = −3t² + 24t. Klammere t aus.
b) Bestimme die Wendestelle von P und erläutere, was sie für das Hochwasser bedeutet.2 BE
Hilfe 1
Wendestelle: P″(t) = 0.
Hilfe 2
Was misst P′ an dieser Stelle? Einheit: cm pro Tag.
c) Im Bericht des Wasserwirtschaftsamts steht ohne weitere Erklärung: P(t) = 400 ⇔ t = 1 − √21 oder t = 1 + √21 oder t = 10; 10 − (1 + √21) ≈ 4,4 Formuliere eine Frage zum Hochwasser, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und erläutere die Schritte der Rechnung mithilfe der Abbildung.4 BE
Hilfe 1
Welche Frage beantwortet eine Gleichung der Form P(t) = 400?
Hilfe 2
Was bedeutet die Differenz zweier Zeitpunkte?
Hilfe 3
Welche Lösung passt nicht zum Messzeitraum, und was ist t = 10?
d) Solange der Pegel um mehr als 30 cm pro Tag steigt, gibt das Amt eine Eilwarnung heraus. Ermittle, wie lange die Eilwarnung im Messzeitraum gilt.5 BE
Hilfe 1
„steigt um mehr als 30 cm pro Tag“: Welche Größe ist größer als 30?
Hilfe 2
Ansatz: P′(t) > 30.
Hilfe 3
Forme in eine quadratische Ungleichung um und bestimme die Nullstellen.
Lösung zeigen
a) „Weise nach“: Bedingungen und Randvergleich vollständig hinschreiben, auch wenn das Ergebnis schon dasteht.
P′(t) = −3t² + 24t = −3t · (t − 8); P′(t) = 0 bei t = 0 und t = 8
P′ wechselt bei t = 8 das Vorzeichen von + nach − (oder P″(8) = −24 < 0): Hochpunkt. P(8) = 456
Ränder: P(0) = 200, P(10) = 400. Also ist 456 cm der höchste Stand im Messzeitraum.
b) Wendestelle bestimmen und im Sachzusammenhang deuten: stärkster Anstieg mit Wert und Einheit.
P″(t) = −6t + 24 = 0 ⇔ t = 4; P‴(t) = −6 ≠ 0
Vier Tage nach Messbeginn stieg der Pegel am schnellsten, um P′(4) = 48 cm pro Tag.
c) Eine fertige Rechnung deuten: Frage finden, jeden Schritt in der Sache erklären, den Graphen als Beleg nutzen.
Frage: Wie lange lag der Pegel im Messzeitraum bei mindestens 4 m?
P(t) = 400 sucht die Zeitpunkte, an denen der Pegel 400 cm erreicht. t = 1 − √21 ≈ −3,6 liegt vor dem Messbeginn und fällt weg. t = 10 ist das Messende.
In der Abbildung liegt der Graph zwischen t = 1 + √21 ≈ 5,6 und t = 10 über 400 cm. Die Differenz ist die Dauer: rund 4,4 Tage.
d) „steigt um mehr als 30 cm pro Tag“: P′(t) > 30. Was nicht dasteht: Nur Steigen zählt, starkes Sinken nicht.
Die Eilwarnung gilt, solange P′(t) > 30.
−3t² + 24t > 30 ⇔ t² − 8t + 10 < 0. Nullstellen: t = 4 ± √6, also t ≈ 1,55 und t ≈ 6,45.
Dazwischen ist P′(t) > 30. Die Eilwarnung gilt rund 6,45 − 1,55 ≈ 4,9 Tage.
Ab etwa t = 9,1 sinkt der Pegel um mehr als 30 cm pro Tag. Das löst keine Eilwarnung aus, weil die Bedingung vom Steigen spricht.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Graphen untersuchen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.