Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Der Graph einer Funktion steigt oder fällt, und er ist linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt. Beides liest du aus den Ableitungen ab, ohne den Graphen zu zeichnen. Die Monotonie sagt, ob der Graph steigt oder fällt, und hängt am Vorzeichen von f′. Die Krümmung sagt, ob die Steigung selbst zunimmt oder abnimmt, und hängt am Vorzeichen von f″. Eine Linkskurve sieht aus wie eine Schale, eine Rechtskurve wie ein umgedrehter Hügel.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Graph steigt von links nach rechts immer weiter, wird dabei aber immer flacher. Was gilt dann für f′, was für f″? Vermute zuerst, lies dann die Lösung.
Lösung zeigen
f′ ist positiv, weil der Graph steigt. Weil er flacher wird, nimmt f′ ab, und deshalb ist f″ negativ. Der Graph ist eine Rechtskurve, obwohl er steigt.
2. Monotonie: das Vorzeichen von f′
Die Ableitung f′(x) ist die Steigung der Tangente. Positive Steigung heißt bergauf, negative bergab. Gilt das auf einem ganzen Intervall I, nennt man f dort streng monoton steigend bzw. streng monoton fallend.
f′(x) > 0 auf I: f streng monoton steigend auf I
f′(x) < 0 auf I: f streng monoton fallend auf I
Das Vorzeichen von f′ kann nur dort wechseln, wo f′ null ist. Deshalb gehst du immer gleich vor:
f′ bilden und faktorisieren.
Die Nullstellen von f′ bestimmen. Sie zerlegen die x-Achse in Intervalle.
In jedem Intervall einen Testwert in f′ einsetzen und das Vorzeichen notieren.
Die Intervalle mit offenen Klammern angeben.
Beispiel: f(x) = x³ − 3x² − 9x
f′(x) = 3x² − 6x − 9 = 3 · (x + 1) · (x − 3) Nullstellen: x = −1 und x = 3
f ist streng monoton steigend auf ]−∞; −1[ und auf ]3; ∞[ und streng monoton fallend auf ]−1; 3[.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne für f(x) = x² − 4x die Werte f′(1) und f′(3). Steigt oder fällt der Graph an diesen Stellen?
Lösung zeigen
f′(x) = 2x − 4. f′(1) = −2 < 0: Der Graph fällt bei x = 1. f′(3) = 2 > 0: Er steigt bei x = 3. Dazwischen liegt die Nullstelle x = 2 von f′, dort wechselt das Vorzeichen.
3. Der Grenzfall f′(x₀) = 0
Eine Nullstelle von f′ heißt nur, dass die Tangente dort waagerecht ist. Ob sich das Monotonieverhalten ändert, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′. Ohne Vorzeichenwechsel steigt oder fällt der Graph auf beiden Seiten weiter.
Beispiel: f(x) = x³
f′(x) = 3x² f′(0) = 0, aber f′(x) > 0 für alle x ≠ 0
f′ berührt die x-Achse und wechselt das Vorzeichen nicht: f ist auf ganz ℝ streng monoton steigend.
Die Frage lautet nie „Wo ist f′ gleich null?“, sondern „Wo wechselt f′ das Vorzeichen?“
✎ Mini-Aufgabe: Begründe, dass f(x) = x³ + 1 trotz f′(0) = 0 auf ganz ℝ streng monoton steigend ist.
Lösung zeigen
f′(x) = 3x² ist für jedes x ≠ 0 positiv. Bei x = 0 ist f′ null, aber links und rechts davon positiv: kein Vorzeichenwechsel. Der Graph hat dort nur eine waagerechte Tangente und steigt weiter.
4. Krümmung: das Vorzeichen von f″
Nimmt die Steigung f′ zu, dreht sich die Tangente nach links: Der Graph ist eine Linkskurve. Nimmt f′ ab, ist er eine Rechtskurve. Ob f′ zu- oder abnimmt, sagt das Vorzeichen von f″, denn f″ ist die Ableitung von f′. Das Verfahren ist dasselbe wie bei der Monotonie, eine Ableitung höher.
f″(x) > 0 auf I: f linksgekrümmt auf I
f″(x) < 0 auf I: f rechtsgekrümmt auf I
Beispiel: f(x) = x³ − 3x² − 9x
f″(x) = 6x − 6 = 6 · (x − 1) Nullstelle: x = 1
Testwerte: f″(0) = −6 < 0, f″(2) = 6 > 0
f ist rechtsgekrümmt auf ]−∞; 1[ und linksgekrümmt auf ]1; ∞[.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Krümmungsintervalle von f(x) = x⁴ − 2x³.
linksgekrümmt auf ]−∞; 0[ und ]1; ∞[, rechtsgekrümmt auf ]0; 1[.
5. Die Graphen im Zusammenspiel
Am Graphen von f′ liest du ab: Liegt er über der x-Achse, steigt f. Liegt er darunter, fällt f. Steigt der Graph von f′ selbst, ist f linksgekrümmt; fällt er, ist f rechtsgekrümmt. Für die Monotonie von f zählt also die Lage von f′ zur x-Achse, für die Krümmung der Verlauf von f′.
Oben der Graph von f(x) = x³ − 3x² − 9x, unten der Graph von f′(x) = 3x² − 6x − 9. Die gestrichelten Linien stehen bei x = −1, 1 und 3. Bei −1 und 3 liegt f′ auf der x-Achse. Bei 1 ist f′ am kleinsten: Dort wechselt f von der Rechts- in die Linkskurve.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
nimmt zu, wächst, steigt
f′ > 0
Gefragt ist ein Zeitraum, kein einzelner Zeitpunkt.
nimmt ab, sinkt, fällt
f′ < 0
Der Bestand wird kleiner.
wächst noch, aber immer langsamer
f′ > 0 und f″ < 0
Beide Bedingungen müssen gleichzeitig gelten.
sinkt immer schneller
f′ < 0 und f″ < 0
f′ wird noch kleiner, der Betrag wächst.
sinkt noch, aber immer langsamer
f′ < 0 und f″ > 0
Der Bestand fällt weiter.
Die Funktion beschreibt die Änderungsrate
f ist selbst die Ableitung des Bestands
Steigt die Rate, ist der Bestand linksgekrümmt. Ob der Bestand steigt, entscheidet das Vorzeichen der Rate.
7. Was nirgends steht
Ein Zeitraum ist ein Intervall. Eine einzelne Zahl ist keine Antwort.
Der Bereich der Aufgabe begrenzt die Intervalle: Außerhalb sagt das Modell nichts.
Eine Nullstelle von f′ ist erst dann eine Intervallgrenze, wenn f′ dort das Vorzeichen wechselt.
„Wird langsamer“ sagt nur etwas über f″. Ob der Bestand dabei noch wächst, zeigt das Vorzeichen von f′.
8. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Die Zahl der Zuschauer eines Livestreams (in Hundert) wird für 0 ≤ t ≤ 12 durch Z(t) = −t³ + 12t² + 27t beschrieben; t ist die Zeit in Minuten nach Beginn. Gefragt ist: In welchem Zeitraum nimmt die Zuschauerzahl noch zu, aber immer langsamer?
Was ist gefragt? Ein Zeitraum, in dem beides gilt: Z nimmt zu (Z′ > 0) und die Zunahme wird kleiner (Z″ < 0).
Was steht nicht da? Beide Bedingungen gelten gleichzeitig, und der Zeitraum ist durch 0 ≤ t ≤ 12 begrenzt.
Rechnen Z′(t) = −3t² + 24t + 27 = −3 · (t − 9) · (t + 1). Im Bereich liegt nur t = 9. Z′(5) = 72 > 0, also Z′ > 0 für 0 ≤ t < 9 und Z′ < 0 für 9 < t ≤ 12. Z″(t) = −6t + 24 = 0 bei t = 4, und Z″ < 0 für t > 4.
Antwortsatz Zwischen der 4. und der 9. Minute nimmt die Zuschauerzahl noch zu, aber immer langsamer.
Prüfen Z′(4) = 75 und Z′(8) = 27: Die Zunahme sinkt von 75 auf 27 Hundert pro Minute, bleibt aber positiv. Das passt.
9. Typische Fehler
f′ und f″ verwechseln: Monotonie braucht f′, Krümmung braucht f″.
Aus f′(x0) = 0 sofort auf einen Wechsel schließen. Prüfe das Vorzeichen links und rechts.
Beim Lösen von f′(x) = 0 durch x teilen: Die Lösung x = 0 geht verloren. Klammere aus.
Einzelne x-Werte statt Intervalle angeben.
„Wird langsamer“ als „fällt“ lesen.
✎ Mini-Aufgabe: Max behauptet: „f(x) = x³ − 3x ist auf ]−1; 1[ monoton steigend, denn f′(−1) = 0 und f′(1) = 0.“ Wo steckt der Fehler? Wie lautet die richtige Aussage?
Lösung zeigen
f′(x) = 3x² − 3 = 3 · (x − 1) · (x + 1). Nullstellen am Rand eines Intervalls sagen nichts über das Vorzeichen im Inneren. Es ist f′(0) = −3 < 0, also fällt f auf ]−1; 1[ streng monoton. Steigend ist f auf ]−∞; −1[ und auf ]1; ∞[.
Rechnen
2.1Monotonieintervalle
Bestimme die Monotonieintervalle der Funktion f mit f(x) = x³ + 3x² − 24x.
Hilfe 1
Welche Ableitung sagt, ob der Graph steigt oder fällt?
Hilfe 2
Bilde f′ und klammere 3 aus, dann zerfällt der Term in zwei Faktoren.
Hilfe 3
Setze aus jedem Intervall zwischen den Nullstellen einen Testwert in f′ ein.
Lösung zeigen
„Monotonieintervalle“ heißt: Vorzeichen von f′ untersuchen. Nullstellen von f′, Testwerte, Intervalle.
Der Graph von g ist linksgekrümmt auf ]−∞; −1[ und auf ]1; ∞[ und rechtsgekrümmt auf ]−1; 1[.
2.3Zwei Untersuchungen
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x⁴ − 4x³ + 3.
a) Bestimme die Monotonieintervalle von f.
Hilfe 1
Welche Nullstellen hat f′? Faktorisiere vollständig.
Hilfe 2
Prüfe an jeder Nullstelle von f′, ob das Vorzeichen links und rechts davon verschieden ist.
Hilfe 3
Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel ist keine Intervallgrenze.
b) Bestimme die Krümmungsintervalle von f.
Hilfe 1
Bilde f″ aus f′ und faktorisiere.
Hilfe 2
Setze Testwerte aus den drei Intervallen in f″ ein.
Lösung zeigen
a) Eine doppelte Nullstelle von f′ liegt vor: dort kein Vorzeichenwechsel.
f′(x) = 4x³ − 12x² = 4x² · (x − 3); f′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3
f′(−1) = −16 < 0, f′(1) = −8 < 0, f′(4) = 64 > 0. Bei x = 0 wechselt f′ das Vorzeichen nicht.
f ist streng monoton fallend auf ]−∞; 3[ (auch an der Stelle 0) und streng monoton steigend auf ]3; ∞[.
b) Dasselbe Verfahren wie in a), eine Ableitung höher.
f″(x) = 12x² − 24x = 12x · (x − 2); f″(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 2
f″(−1) = 36 > 0, f″(1) = −12 < 0, f″(3) = 36 > 0
f ist linksgekrümmt auf ]−∞; 0[ und auf ]2; ∞[ und rechtsgekrümmt auf ]0; 2[.
2.4Immer steigend
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ + 3x² + 4x.
a) Zeige, dass f auf ganz ℝ streng monoton steigend ist.
Hilfe 1
Welche Aussage über f′ brauchst du für alle x?
Hilfe 2
Bilde f′. Hat f′ Nullstellen?
Hilfe 3
Schreibe f′ mit einer quadratischen Ergänzung oder prüfe die Nullstellen mit der Lösungsformel.
b) Es gilt f″(x) = 6x + 6. Bestimme die Krümmungsintervalle von f.
Hilfe 1
Wo wechselt f″ das Vorzeichen?
Hilfe 2
Setze Testwerte in f″ ein.
Lösung zeigen
a) „Zeigen Sie“: eine Aussage für alle x begründen, nicht nur Stichproben.
f′(x) = 3x² + 6x + 4 = 3 · (x + 1)² + 1
Wegen (x + 1)² ≥ 0 ist f′(x) ≥ 1 > 0 für alle x. Nach dem Monotoniekriterium ist f auf ganz ℝ streng monoton steigend.
b) Zwischenergebnis gegeben: weiterrechnen, nicht neu ableiten.
6x + 6 = 0 ⇔ x = −1
f″(−2) = −6 < 0, f″(0) = 6 > 0
f ist rechtsgekrümmt auf ]−∞; −1[ und linksgekrümmt auf ]−1; ∞[.
Ohne Taschenrechner
2.5Aus dem Graphen von f′
Die Abbildung zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′ einer Funktion f für −2 ≤ x ≤ 4. Weitere Nullstellen von f′ gibt es in diesem Bereich nicht.
Abbildung
a) Gib die Monotonieintervalle von f im dargestellten Bereich an.
Hilfe 1
Der Graph zeigt f′. Welche Lage zur x-Achse bedeutet „f steigt“?
Hilfe 2
Bestimme die Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet.
b) Gib an, auf welchem Intervall der Graph von f linksgekrümmt ist, und begründe deine Angabe anhand des Graphen.
Hilfe 1
Für die Krümmung zählt nicht die Lage von f′ zur x-Achse. Worauf kommt es an?
Hilfe 2
Wo steigt der Graph von f′, wo fällt er?
Lösung zeigen
a) „Anhand des Graphen von f′“: Lage zur x-Achse für die Monotonie von f.
Der Graph von f′ liegt unterhalb der x-Achse auf ]−2; −1[ und auf ]3; 4[, oberhalb auf ]−1; 3[.
f ist streng monoton fallend auf ]−2; −1[ und auf ]3; 4[ und streng monoton steigend auf ]−1; 3[.
b) Für die Krümmung von f zählt der Verlauf von f′ (steigend oder fallend), nicht seine Lage zur x-Achse.
Der Graph von f′ steigt auf ]−2; 1[ (bis zum Scheitel bei x = 1) und fällt auf ]1; 4[.
Wo f′ steigt, ist f″ > 0. Also ist f linksgekrümmt auf ]−2; 1[ und rechtsgekrümmt auf ]1; 4[.
2.6Terme gesucht
a) Gib einen Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion f an, deren Graph auf ]−∞; 2[ rechtsgekrümmt und auf ]2; ∞[ linksgekrümmt ist.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen soll f″ links und rechts von 2 haben?
Hilfe 2
Welche einfache Funktion wechselt bei 2 das Vorzeichen von − nach +?
Hilfe 3
Probiere eine Funktion dritten Grades und prüfe durch zweimaliges Ableiten.
b) Die Funktion g soll auf ]−3; 1[ streng monoton fallend und auf ]−∞; −3[ sowie auf ]1; ∞[ streng monoton steigend sein. Gib einen Term für g′ an und begründe, dass er diese Bedingungen erfüllt.
Hilfe 1
Wie muss das Vorzeichen von g′ auf den drei Bereichen verlaufen?
Hilfe 2
An welchen Stellen muss g′ null sein?
Hilfe 3
Gib g′ in faktorisierter Form an und prüfe das Vorzeichen mit einem Testwert je Bereich.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Vom Verhalten des Graphen auf die zweite Ableitung schließen, dann einen Term wählen.
Gesucht ist ein f mit f″(x) < 0 für x < 2 und f″(x) > 0 für x > 2.
Zum Beispiel f(x) = (x − 2)³: f″(x) = 6 · (x − 2) ist negativ für x < 2 und positiv für x > 2.
Ebenso richtig ist jede Funktion dritten Grades mit der Wendestelle 2, zum Beispiel f(x) = x³ − 6x².
b) Rückwärts: Aus den Monotonieintervallen die Nullstellen und das Vorzeichen von g′ aufbauen.
g′ muss bei x = −3 und x = 1 null sein und dort das Vorzeichen wechseln. Möglich ist g′(x) = (x + 3) · (x − 1) = x² + 2x − 3.
Also ist g′ negativ auf ]−3; 1[ und positiv auf ]−∞; −3[ und ]1; ∞[, wie verlangt.
2.7Mit Parameter
Für jede reelle Zahl a ist die Funktion fa gegeben durch fa(x) = x³ + a · x.
a) Bestimme alle Werte von a, für die fa auf ganz ℝ streng monoton steigend ist.
Hilfe 1
Welche Bedingung muss fa′ für alle x erfüllen?
Hilfe 2
Bilde fa′. Wann hat dieser Term Nullstellen?
Hilfe 3
Unterscheide die Fälle a > 0, a = 0 und a < 0.
b) Bestimme für a = −3 die Monotonieintervalle von fa.
Hilfe 1
Setze a = −3 in fa′ ein und klammere aus.
Lösung zeigen
a) Parameter in der Ableitung: Fälle unterscheiden. Der Fall a = 0 ist der Grenzfall von Abschnitt 3.
fa′(x) = 3x² + a
Für a > 0 gilt fa′(x) ≥ a > 0 für alle x: streng monoton steigend.
Für a = 0 ist f0′(x) = 3x² nur bei x = 0 gleich null, ohne Vorzeichenwechsel: auch dann streng monoton steigend.
Für a < 0 hat fa′ die Nullstellen x = −√(−a3) und x = √(−a3) mit Vorzeichenwechsel; zwischen ihnen fällt fa.
Ergebnis: a ≥ 0.
b) Der Parameter ist festgelegt: das Standardverfahren.
f_(−3)′(x) = 3x² − 3 = 3 · (x − 1) · (x + 1); Nullstellen x = −1 und x = 1
f ist streng monoton steigend auf ]−∞; −1[ und auf ]1; ∞[ und streng monoton fallend auf ]−1; 1[.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) W(t) beschreibt die Zahl der Wartenden an einer Kasse (t in Minuten). In welchem Zeitraum wird die Schlange kürzer? (2) A(t) beschreibt die Zahl der Abonnenten eines Kanals (t in Monaten). In welchem Zeitraum nimmt die Zahl der Abonnenten noch zu, aber immer langsamer? (3) K(t) beschreibt den Kontostand eines Vereins (t in Monaten ab Jahresbeginn). Wie hoch ist der Kontostand nach drei Monaten?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„kürzer werden“ und „zunehmen“ handeln von der Änderung. „Immer langsamer“ handelt von der Änderung der Änderung.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Wird nach einem Wert gefragt oder nach einem Verlauf?
b) Eine Sonnenblume wird zehn Wochen lang gemessen. Im Modell beschreibt h(t) = −0,1t³ + 1,5t² + 2t + 10 ihre Höhe in Zentimetern; t ist die Zeit in Wochen seit Messbeginn (0 ≤ t ≤ 10). Ab wann wird der Zuwachs pro Woche kleiner, und wächst die Sonnenblume in dieser Zeit noch? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der Zeitraum, in dem … abnimmt, und das Vorzeichen von … in diesem Zeitraum. 2. Was nicht dasteht: Der Zuwachs ist …. Dass er abnimmt, zeigt das Vorzeichen von …. Ob die Pflanze noch wächst, zeigt das Vorzeichen von …, auch an den Rändern. 3. Rechnen: h′(t) = …; h″(t) = … = 0 ⇔ t = …; h′(0) = …, h′(10) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Zuwachs pro Woche“: Welche Funktion beschreibt ihn?
Hilfe 2
„Wird kleiner“ ist eine Aussage über die Änderung dieser Funktion.
Hilfe 3
Wachsen heißt h′ > 0. Prüfe das auch an den Rändern des Bereichs.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Objekte: Vorzeichen von W′, Vorzeichen von A′ und A″ zugleich, ein Funktionswert.
(1) Gesucht ist ein Zeitraum, in dem W′(t) < 0 gilt. Ansatz: Nullstellen von W′, dann das Vorzeichen in den Intervallen.
(2) Gesucht ist ein Zeitraum, in dem beides gilt: A′(t) > 0 (nimmt zu) und A″(t) < 0 (Zunahme wird kleiner). Ansatz: Vorzeichen von A′ und von A″ bestimmen und die Zeiträume zusammenführen.
(3) Gesucht ist ein Wert. Ansatz: K(3) berechnen, ohne Ableitung.
b) „Zuwachs wird kleiner“ heißt h″ < 0. Dass die Pflanze weiter wächst, steht nicht da: h′ > 0 prüfen.
1. Gefragt ist der Zeitraum, in dem h′ (der Zuwachs) abnimmt, und das Vorzeichen von h′ in diesem Zeitraum.
2. Der Zuwachs ist h′. Dass er abnimmt, zeigt h″ < 0. Ob die Pflanze noch wächst, zeigt das Vorzeichen von h′, auch an den Rändern.
3. h′(t) = −0,3t² + 3t + 2; h″(t) = −0,6t + 3 = 0 ⇔ t = 5; h′(0) = 2 und h′(10) = 2. Für t > 5 ist h″ < 0. Der Graph von h′ ist eine nach unten geöffnete Parabel, ihre kleinsten Werte im Bereich liegen an den Rändern und sind positiv: h′ > 0 auf 0 ≤ t ≤ 10.
4. Ab der 5. Woche wird der Zuwachs kleiner. Die Sonnenblume wächst dabei bis zum Ende der Messung weiter.
5. h′(5) = 9,5 und h′(10) = 2: Der Zuwachs sinkt von 9,5 auf 2 cm pro Woche, bleibt aber positiv. Das passt.
3.2Rückhaltebecken
Der Wasserstand W in einem Rückhaltebecken ändert sich mit der Rate r (in cm pro Stunde); es gilt r(t) = W′(t). Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn (0 ≤ t ≤ 10). Das Material zeigt den Graphen von r. Der Term von W ist nicht gegeben.
Material
a) Gib an, in welchem Zeitraum der Wasserstand sinkt und in welchem er steigt.
Hilfe 1
Was zeigt die senkrechte Achse: den Wasserstand oder seine Änderung?
Hilfe 2
Wann sinkt der Wasserstand? Welches Vorzeichen hat dann r?
Hilfe 3
Achte auf die Stelle, an der der Graph die t-Achse nur berührt.
b) Bestimme den Zeitraum, in dem der Wasserstand steigt, die Zunahme aber immer kleiner wird.
Hilfe 1
Welche zwei Bedingungen gehören zu „steigt“ und zu „Zunahme wird kleiner“?
Hilfe 2
Die Zunahme ist r. Wann wird r kleiner?
c) Die Betreiberin sagt: „Solange der Graph von r steigt, steigt auch der Wasserstand.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was bedeutet ein steigender Graph von r, was ein positiver Wert von r?
Hilfe 2
Suche im Graphen einen Zeitpunkt, an dem r steigt und der Wasserstand trotzdem sinkt.
d) Lies r(0) ab und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche Einheit hat r? Was bedeutet ein negativer Wert?
Lösung zeigen
a) Der Graph zeigt eine Rate. Der Wasserstand sinkt, wo r < 0 ist. Die Berührstelle steht nicht als Hinweis da.
Der Wasserstand sinkt, wo r < 0 gilt: für 0 ≤ t < 2.
Er steigt, wo r > 0 gilt: für 2 < t < 8 und für 8 < t ≤ 10.
Bei t = 8 berührt der Graph von r die t-Achse und wechselt das Vorzeichen nicht. Der Wasserstand steigt dort weiter, also steigt er auf 2 < t ≤ 10.
b) Zwei Bedingungen zugleich: r > 0 und r fällt.
Der Wasserstand steigt, wo r > 0 gilt. Die Zunahme wird kleiner, wo der Graph von r fällt.
Der Graph von r fällt auf 4 < t < 8 (vom Höchstwert 4 bei t = 4 bis 0 bei t = 8). Dort ist r > 0.
Von der 4. bis zur 8. Stunde steigt der Wasserstand noch, aber immer langsamer.
c) Die Aussage verwechselt den Verlauf der Rate mit dem Vorzeichen der Rate.
Die Aussage ist falsch. Der Graph von r steigt auf 0 < t < 4, aber auf 0 ≤ t < 2 ist r negativ: Der Wasserstand sinkt dort noch, nur langsamer.
Ob der Wasserstand steigt, entscheidet das Vorzeichen von r, nicht der Verlauf von r.
d) Ein Wert der Änderungsrate: Größe, Vorzeichen und Einheit in einem Satz.
r(0) = −16: Zu Beginn sinkt der Wasserstand um 16 cm pro Stunde.
3.3Stadtfest
Auf einem Stadtfest wird die Zahl der Besucher auf dem Festgelände von 12 Uhr bis 18 Uhr gezählt. Im Modell beschreibt B(t) = −t³ + 9t² − 12t + 30 die Zahl der Besucher in Hundert; t ist die Zeit in Stunden seit 12 Uhr (0 ≤ t ≤ 6).
a) Bestimme, von wann bis wann die Besucherzahl zunimmt. Gib die Zeitpunkte als Uhrzeiten an.
Hilfe 1
„nimmt zu“: Welches Vorzeichen muss die Änderung haben?
Hilfe 2
Bilde B′ und löse B′(t) = 0 mit der Lösungsformel. Klammere vorher −3 aus.
Hilfe 3
t zählt Stunden ab 12 Uhr. Rechne den Dezimalteil in Minuten um.
b) Beschreibe den Verlauf der Besucherzahl zwischen 17:30 Uhr und 18 Uhr: Nimmt sie zu oder ab, und wird die Änderung schneller oder langsamer?
Hilfe 1
Rechne die Uhrzeiten in t um.
Hilfe 2
Zu oder ab: Welche Ableitung? Schneller oder langsamer: Welche Ableitung?
c) Ein Besucher sagt: „Ab 17:14 Uhr kommen keine Besucher mehr.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was wird gezählt: wer ankommt oder wer gerade auf dem Gelände ist?
Hilfe 2
Was heißt B′ < 0 für Ankommende und Gehende?
Lösung zeigen
a) Die Nullstellen sind nicht glatt (Taschenrechner), und die Antwort verlangt Uhrzeiten, nicht t-Werte.
B′(0) = −12 < 0, B′(3) = 15 > 0, B′(6) = −12 < 0. Die Besucherzahl nimmt also für 0,76 < t < 5,24 zu.
0,76 Stunden sind etwa 46 Minuten, 5,24 Stunden etwa 5 Stunden 14 Minuten: Die Besucherzahl nimmt von etwa 12:46 Uhr bis etwa 17:14 Uhr zu.
b) Zwei Aussagen: Vorzeichen von B′ (Zu- oder Abnahme) und von B″ (schneller oder langsamer).
17:30 Uhr entspricht t = 5,5, 18 Uhr entspricht t = 6. Für t > 5,24 ist B′(t) < 0: Die Besucherzahl nimmt ab.
B″(t) = −6t + 18 < 0 für t > 3: B′ fällt, die Abnahme wird schneller (B′(5,5) = −3,75, B′(6) = −12).
c) Bestand und Zugang verwechselt: B zählt die Besucher auf dem Gelände.
Die Aussage ist falsch. B beschreibt die Zahl der Besucher auf dem Gelände, nicht die der Neuankömmlinge.
Ab 17:14 Uhr gilt B′ < 0: Es gehen mehr Besucher, als neue kommen. Dass niemand mehr kommt, folgt daraus nicht.
3.4Lern-App
Eine Lern-App vergibt Punkte. Im Modell beschreibt Pa(t) = −t³ + a · t² + 15t die Punktzahl einer Nutzerin; t ist die Zeit in Wochen seit dem Start (0 ≤ t ≤ 6), a ist eine feste positive Zahl. Der Entwickler möchte, dass die Zunahme der Punktzahl ab der dritten Woche langsamer wird.
a) Bestimme a so, dass die Zunahme der Punktzahl genau ab der dritten Woche langsamer wird.
Hilfe 1
„Zunahme“: Welche Ableitung von Pa beschreibt sie? „Wird langsamer“: Was gilt dann für ihre Ableitung?
Hilfe 2
An welcher Stelle soll das Vorzeichen von Pa″ wechseln?
Hilfe 3
Prüfe am Ende, ob Pa″ bei t = 3 wirklich das Vorzeichen wechselt.
b) Zeige für a = 9, dass die Punktzahl im ganzen Zeitraum 0 ≤ t ≤ 6 zunimmt.
Hilfe 1
„Zunimmt“: Welches Vorzeichen muss P′ haben?
Hilfe 2
Für welche t soll das gelten? Prüfe auch die Ränder des Bereichs.
Hilfe 3
Der Graph von P′ ist eine Parabel. Wo liegen ihre kleinsten Werte im Bereich?
c) Deute den Wert P′(3) im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche Einheit hat P′?
Lösung zeigen
a) „Zunahme wird langsamer“ heißt Pa″ < 0 ab t = 3. Dass Pa″ dort das Vorzeichen wechselt, ist eine zweite Bedingung.
Die Zunahme ist Pa′. Sie wird langsamer, wo Pa″ < 0 gilt. Das soll ab t = 3 der Fall sein.
Probe: P″(t) = −6t + 18 ist für t < 3 positiv und für t > 3 negativ. Das Vorzeichen wechselt bei 3 von + nach −.
b) Auch wenn die Zunahme ab Woche 3 kleiner wird, kann sie positiv bleiben: P′ > 0 auf dem ganzen Bereich zeigen.
P′(t) = −3t² + 18t + 15. Der Graph von P′ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitel bei t = 3.
Die kleinsten Werte im Bereich liegen an den Rändern: P′(0) = 15 und P′(6) = 15.
Beide sind positiv, also gilt P′(t) > 0 auf 0 ≤ t ≤ 6: Die Punktzahl nimmt im ganzen Zeitraum zu, auch ab der dritten Woche, wenn die Zunahme kleiner wird.
c) Ein Wert der Änderungsrate: Größe, Zeitpunkt und Einheit.
P′(3) = 42: Nach drei Wochen nimmt die Punktzahl um 42 Punkte pro Woche zu. Ab dann wird die Zunahme kleiner.
Klausuraufgabe
4.1Lieferdrohne
Eine Drohne fliegt sieben Sekunden lang über einem Feld. Im Modell beschreibt h(t) = −0,2t³ + 2,1t² − 6t + 20 ihre Höhe über dem Boden in Metern; t ist die Zeit in Sekunden seit Beginn der Aufzeichnung (0 ≤ t ≤ 7). Die Abbildung zeigt den Graphen von h.
Abbildung
a) Bestimme die Zeiträume, in denen die Drohne steigt, und die, in denen sie sinkt.3 BE
Hilfe 1
Welche Ableitung gehört zu Steigen und Sinken?
Hilfe 2
Bilde h′ und klammere −0,6 aus.
Hilfe 3
Setze Testwerte aus den drei Bereichen in h′ ein.
b) Beschreibe mithilfe der Abbildung, wie sich die Sinkgeschwindigkeit der Drohne in den ersten zwei Sekunden verändert, und begründe die Beschreibung mit h″.3 BE
Hilfe 1
Beschreibe, wie der Graph in den ersten zwei Sekunden verläuft: Wird er steiler oder flacher?
Hilfe 2
Was bedeutet das für h′ und damit für h″?
Hilfe 3
Bestimme h″ und prüfe das Vorzeichen auf 0 ≤ t ≤ 2.
c) Ermittle den Zeitraum, in dem die Drohne steigt und dabei immer langsamer steigt.4 BE
Hilfe 1
Welche zwei Bedingungen gehören zu „steigt“ und zu „immer langsamer“?
Hilfe 2
Das Steigen kennst du aus Teil a). Wo gilt h″ < 0?
Hilfe 3
Beide Bedingungen müssen im selben Zeitraum gelten.
d) Zum Landen soll die Drohne nicht schneller als 5 Meter pro Sekunde sinken. Prüfe, ob das Modell diese Vorgabe im Zeitraum 5 ≤ t ≤ 7 einhält.4 BE
Hilfe 1
Sinken heißt h′ < 0. Wie berechnet man daraus die Sinkgeschwindigkeit?
Hilfe 2
Wo auf 5 ≤ t ≤ 7 ist h′ am kleinsten? Begründe mit h″.
Hilfe 3
Vergleiche den größten Betrag mit 5 m/s.
Lösung zeigen
a) Standardverfahren: Vorzeichen von h′ auf dem Messzeitraum.
h′(t) = −0,6t² + 4,2t − 6 = −0,6 · (t − 2) · (t − 5); h′(t) = 0 bei t = 2 und t = 5
Die Drohne sinkt für 0 ≤ t < 2 und für 5 < t ≤ 7 und steigt für 2 < t < 5.
b) „Anhand der Abbildung“ beschreiben, dann mit h″ begründen. Die Sinkgeschwindigkeit ist der Betrag von h′.
In den ersten zwei Sekunden fällt der Graph und wird dabei flacher: Die Drohne sinkt immer langsamer.
h″(t) = −1,2t + 4,2 ist für t < 3,5 positiv, also steigt h′ dort. Von h′(0) = −6 bis h′(2) = 0 wird die Steigung größer und der Betrag der Sinkgeschwindigkeit kleiner. Der Graph ist eine Linkskurve.
c) Zwei Bedingungen zugleich: h′ > 0 und h″ < 0.
Gesucht ist der Zeitraum mit h′ > 0 und h″ < 0.
h′ > 0 gilt für 2 < t < 5 (Teil a). h″(t) = −1,2t + 4,2 < 0 ⇔ t > 3,5.
Beide Bedingungen gelten für 3,5 < t < 5. Zwischen 3,5 s und 5 s steigt die Drohne noch, aber immer langsamer.
d) Sinkgeschwindigkeit ist −h′. Wo h′ fällt (h″ < 0), liegt der kleinste Wert am rechten Rand.
Die Sinkgeschwindigkeit ist der Betrag von h′, solange h′ < 0 gilt. Auf 5 ≤ t ≤ 7 ist h′ ≤ 0.
h″(t) < 0 für t > 3,5, also fällt h′ auf 5 ≤ t ≤ 7. Der kleinste Wert von h′, also die größte Sinkgeschwindigkeit, liegt bei t = 7.
h′(7) = −0,6 · 5 · 2 = −6. Bei t = 7 sinkt die Drohne mit 6 m/s. Das ist mehr als 5 m/s: Das Modell hält die Vorgabe nicht ein.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Graphen untersuchen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.