Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Exponentialfunktionen f(x) = bx kennst du aus dem Thema Wachstum. Hier geht es um die Frage, wie steil ihr Graph ist, und um eine Basis, die das Rechnen einfacher macht: die Zahl e. Mit ihr schreibt man Wachstum und Zerfall fast immer auf.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne (2h − 1) : h für h = 0,001. Der Wert ist näherungsweise die Steigung von f(x) = 2x an der Stelle 0. Ist sie größer oder kleiner als 1?
Lösung zeigen
(20,001 − 1) : 0,001 ≈ 0,6934. Die Steigung bei 0 ist kleiner als 1: Der Graph von 2x steigt dort flacher als die Gerade y = x + 1.
Für die Steigung an einer Stelle x0 bildest du den Differenzenquotienten und lässt h gegen 0 gehen. Bei f(x) = bx kannst du bx0 ausklammern, denn bx0+h = bx0 · bh:
( bx0+h − bx0 ) : h = bx0 · ( bh − 1 ) : h
Der zweite Faktor enthält x0 nicht mehr. Er hängt nur von der Basis ab und ist für h gegen 0 die Steigung an der Stelle 0. Also gilt:
f′(x0) = f′(0) · f(x0)
Die Steigung ist der Funktionswert mal eine feste Zahl. Welche Zahl das ist, legt allein die Basis fest:
Basis b
2
2,5
3
f′(0) ≈
0,693
0,916
1,099
Bei b = 2 ist der Faktor kleiner als 1, bei b = 3 größer. Dazwischen liegt eine Basis, bei der er genau 1 ist. Für sie gilt f′(x) = f(x): Die Funktion stimmt mit ihrer eigenen Ableitung überein.
2. Die Zahl e
Diese Basis heißt e, nach Leonhard Euler. Du bekommst sie als Grenzwert, den du mit dem Taschenrechner selbst nachprüfen kannst:
e = lim (1 + 1n)n für n → ∞
n
1
10
100
1 000
10 000
(1 + 1n)n
2,00000
2,59374
2,70481
2,71692
2,71815
Die Werte nähern sich e ≈ 2,71828 (im Taschenrechner mit Dezimalpunkt). Wie π ist e eine feste Zahl und keine Variable. Du findest sie auf dem Taschenrechner über die Taste ex.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne (1 + 1n)n für n = 5 und für n = 50. Wie weit bist du jeweils von 2,71828 entfernt?
Lösung zeigen
n = 5: 2,48832, Abstand etwa 0,23. n = 50: 2,69159, Abstand etwa 0,027. Je größer n, desto kleiner der Abstand.
3. Ableiten mit e^x
Für die Basis e ist f′(0) = 1. Damit gilt die kürzeste Ableitungsregel der Oberstufe:
f(x) = ex ⇒ f′(x) = ex
Faktorregel und Summenregel gelten weiter. Drei Beispiele:
Beispiele
f(x) = 3ex ⇒ f′(x) = 3ex
f(x) = ex + 5 ⇒ f′(x) = ex
f(x) = 4ex − 2x² ⇒ f′(x) = 4ex − 4x
Ein konstanter Faktor bleibt stehen, ein konstanter Summand fällt weg. Steht im Exponenten mehr als ein x, etwa bei e2x, reicht die Regel noch nicht. Das kommt im nächsten Thema.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Ableitung von f(x) = 6ex − 4x + 1.
Lösung zeigen
f′(x) = 6ex − 4.
4. Der Graph von e^x
Links die Graphen von bx für b = 2, e und 3: alle gehen durch (0 | 1), der Graph von ex liegt dazwischen. Rechts der Graph von ex mit seiner Tangente y = x + 1 an der Stelle 0.
ex > 0 für alle x: Der Graph liegt über der x-Achse und hat keine Nullstelle.
f′(x) = ex > 0: Der Graph steigt überall streng monoton. Es gibt weder Hoch- noch Tiefpunkt.
f″(x) = ex > 0: Der Graph ist überall linksgekrümmt und hat keine Wendestelle.
Für x → −∞ nähert sich der Graph der x-Achse (y = 0 ist waagerechte Asymptote), für x → ∞ wächst er über alle Grenzen.
Der Punkt (0 | 1) liegt auf dem Graphen, die Steigung dort ist 1.
✎ Mini-Aufgabe: Begründe mit der Ableitung, warum der Graph von f(x) = ex keinen Hochpunkt hat.
Lösung zeigen
Ein Hochpunkt braucht f′(x) = 0. Es gilt aber f′(x) = ex > 0 für jedes x. Also gibt es keine Stelle mit waagerechter Tangente.
5. Jede Exponentialfunktion mit Basis e
Wachstumsfaktoren wie 1,05, 0,82 oder 1,35 kennst du. Mit der Basis e schreibst du dieselbe Funktion anders auf. Jede positive Zahl b ist eine Potenz von e, nämlich b = eln b. Der natürliche Logarithmus ln ist die Umkehrung von ex und hat eine eigene Taste auf dem Taschenrechner. Damit gilt:
bx = ek · x mit k = ln b
Beispiele (auf vier Nachkommastellen)
2x = e0,6931 · x, denn ln 2 ≈ 0,6931
1,05x = e0,0488 · x, denn ln 1,05 ≈ 0,0488
0,82x = e−0,1985 · x, denn ln 0,82 ≈ −0,1985
Rückwärts: Steht a · ek · x da und du brauchst den Wachstumsfaktor je Schritt, rechnest du b = ek.
Beispiel: k = 0,25
b = e0,25 ≈ 1,2840
Die Größe nimmt je Schritt um rund 28,4 % zu.
k ist die momentane relative Änderungsrate, b gehört zu einem ganzen Schritt. k > 0 heißt Zunahme, k < 0 Abnahme. Darum ist k nicht die Prozentzahl: k = 0,25 bedeutet 28,4 %, nicht 25 %.
✎ Mini-Aufgabe: Schreibe f(x) = 1,2x in der Form ek · x und gib k auf vier Nachkommastellen an.
Lösung zeigen
k = ln 1,2 ≈ 0,1823, also f(x) = e0,1823 · x.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wächst um 5 % je Stunde
Wachstumsfaktor b = 1,05, in e-Form k = ln 1,05
k ist nicht 0,05
nimmt um 13 % je Jahr ab
b = 0,87, in e-Form k = ln 0,87
k ist negativ
k = 0,25 (Wachstumskonstante)
b = ek, Zunahme um b − 1
nicht 25 %, sondern 28,4 %
zu Beginn, am Anfang, Startwert
a = f(0), denn e0 = 1
a und k nicht verwechseln
bei gleichem Anfangswert wächst schneller
größere Basis b = ek
Basen vergleichen, nicht nur k und Prozentzahl mischen
7. Was nirgends steht
Rechne mit dem ungerundeten k weiter. Wer k früh rundet, verschiebt das Endergebnis. Gerundet wird erst am Schluss.
ex ist nie null und nie negativ. Das darfst du in jeder Begründung als bekannt voraussetzen.
Ein Modell gilt nur im angegebenen Zeitraum. Ein Wert weit außerhalb ist eine Hochrechnung, keine Messung.
Prozentangaben je Zeitschritt gehören zu b, nicht zu k.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Auf einem Teich bedecken Algen 40 m². Die Fläche wächst täglich um 12 %. Wie groß ist sie nach 5 Tagen, und welches k gehört zum Modell A(t) = 40 · ek · t?
Was ist gefragt? Die Fläche nach 5 Tagen und die Zahl k im Modell mit Basis e.
Was steht nicht da? 12 % je Tag heißt Wachstumsfaktor b = 1,12, nicht k = 0,12. Das Modell mit e entsteht aus b = ek, also ist k = ln 1,12.
Rechnen A(t) = 40 · 1,12t. k = ln 1,12 ≈ 0,1133, also A(t) = 40 · e0,1133 · t. A(5) = 40 · 1,125 ≈ 70,49.
Antwortsatz Nach 5 Tagen bedecken die Algen rund 70,5 m². Die Wachstumskonstante ist k ≈ 0,1133.
Prüfen e0,1133 · 5 ≈ 1,762, und 1,125 ≈ 1,762. Beide Schreibweisen geben denselben Wert. Das passt.
9. Typische Fehler
1,8x ist nicht e1,8x, sondern e0,5878 · x. Ohne ln geht es nicht.
e ist eine feste Zahl wie π. In ex ist x die Variable.
3ex wird beim Ableiten zu 3ex, nicht zu 3x · ex. Der Faktor bleibt stehen.
e2x lässt sich mit der Regel aus Abschnitt 3 noch nicht ableiten.
k = 0,3 heißt nicht 30 %, sondern b = e0,3 ≈ 1,3499, also rund 35 %.
Rechnen
2.1Ableitungen mit e^x
a) Bestimme die Ableitung von f mit f(x) = 4ex − 3x.
Hilfe 1
Wie leitet man ex ab?
Hilfe 2
Der Faktor 4 bleibt stehen.
b) Bestimme die Ableitung von g mit g(x) = ex − 5x² + 2.
Hilfe 1
Jeder Summand wird einzeln abgeleitet.
Hilfe 2
Was passiert mit der Zahl 2?
c) Bestimme die Ableitung von h mit h(x) = 7 − 0,5ex + x³.
Hilfe 1
Welcher Summand hängt nicht von x ab?
Hilfe 2
Das Vorzeichen vor 0,5ex gehört zum Faktor.
Lösung zeigen
a) Summe aus Vielfachem von ex und linearem Term: Faktor bleibt, ex bleibt.
f′(x) = 4ex − 3
b) Konstanter Summand fällt weg.
g′(x) = ex − 10x
c) Vorzeichen und Faktor −0,5 bleiben beim ex-Term.
h′(x) = −0,5ex + 3x²
2.2Eulersche Zahl und Taschenrechner
a) Berechne (1 + 1n)n für n = 20 und für n = 500 auf fünf Nachkommastellen. Gib an, wie weit der Wert jeweils noch von e ≈ 2,71828 entfernt ist.
Hilfe 1
Setze n in den ganzen Term ein, nicht nur in einen Teil.
Hilfe 2
Zuerst 1n, dann 1 + 1n, dann potenzieren.
b) Berechne auf vier Nachkommastellen: e2, e−0,5 und e0,35.
Hilfe 1
Die Taste ex liegt meist über der Taste ln.
Hilfe 2
Bei e−0,5 den Exponenten samt Minuszeichen eingeben.
Lösung zeigen
a) Zahl der Klammer und Hochzahl sind beide n: erst 1n, dann 1 + 1n, dann potenzieren.
n = 20: (1 + 120)20 ≈ 2,65330, Abstand zu e etwa 0,065
n = 500: (1 + 1500)500 ≈ 2,71557, Abstand zu e etwa 0,0027
Mit wachsendem n wird der Abstand kleiner.
b) Taste ex des Taschenrechners.
e2 ≈ 7,3891
e−0,5 ≈ 0,6065
e0,35 ≈ 1,4191
2.3Basis wechseln
Schreibe die Funktion jeweils in der Form ek · x und gib k auf vier Nachkommastellen gerundet an.
a) f(x) = 1,8x
Hilfe 1
Jede positive Zahl b lässt sich als Potenz von e schreiben.
Hilfe 2
Welche Taste liefert den Exponenten?
b) g(x) = 0,65x
Hilfe 1
Gehe wie bei a) vor.
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen von k über Wachstum oder Zerfall?
c) h(x) = 1,045x
Hilfe 1
Gehe wie bei a) vor.
Hilfe 2
Runde erst am Ende auf vier Nachkommastellen.
Lösung zeigen
a) Basis b gegeben, e-Form gesucht: k = ln b.
f(x) = eln 1,8 · x, also k ≈ 0,5878
b) Basis kleiner als 1: k wird negativ.
g(x) = eln 0,65 · x, also k ≈ −0,4308
c) Basis nahe 1: k ist klein.
h(x) = eln 1,045 · x, also k ≈ 0,0440
2.4Zurück zum Faktor je Stunde
Die Zeit t wird in Stunden gemessen.
a) f(t) = 5 · e0,25 · t. Gib den Wachstumsfaktor je Stunde an und bestimme, um wie viel Prozent die Größe je Stunde zunimmt.
Hilfe 1
Welcher Faktor gehört zu einem ganzen Schritt von einer Stunde?
Hilfe 2
Prozent: Um wie viel ist der Faktor größer als 1?
b) g(t) = 80 · e−0,3 · t. Gib den Faktor je Stunde an und bestimme, um wie viel Prozent die Größe je Stunde abnimmt.
Hilfe 1
Wie bei a): Welcher Faktor gehört zu einer Stunde?
Hilfe 2
Bei Abnahme: Um wie viel ist der Faktor kleiner als 1?
Lösung zeigen
a) k gegeben, Faktor und Prozent gesucht: b = ek, Prozent aus b − 1.
Faktor je Stunde: b = e0,25, also b ≈ 1,2840
Zunahme: 1,2840 − 1 = 0,2840, das sind 28,4 % je Stunde.
b) Negatives k: Faktor unter 1, Abnahme = 1 − b.
Faktor je Stunde: b = e−0,3, also b ≈ 0,7408
Abnahme: 1 − 0,7408 = 0,2592, das sind 25,9 % je Stunde.
2.5Extrempunkt und Tangente
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = ex − x. Ihre Ableitung ist f′(x) = ex − 1.
a) Zeige, dass der Graph von f genau einen Extrempunkt hat, und gib dessen Koordinaten und Art an.
Hilfe 1
Welche Bedingung muss an einer Extremstelle für f′ gelten?
Hilfe 2
Für welches x ist ex gleich 1? Gibt es eine zweite Lösung?
Hilfe 3
Die Art bestimme mit f″.
b) Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1.
Hilfe 1
Welche Zahl gibt die Steigung der Tangente an?
Hilfe 2
Welchen Punkt berührt die Tangente?
Lösung zeigen
a) Zeigen heißt: Bedingungen vollständig aufschreiben; die Ableitung ist gegeben.
f′(x) = 0 ⇔ ex = 1 ⇔ x = 0. Das ist die einzige Lösung, denn ex steigt streng monoton und e0 = 1.
Der Graph hat genau einen Extrempunkt, den Tiefpunkt T(0 | 1).
b) Tangente: Steigung f′(1) und Berührpunkt (1 | f(1)).
f′(1) = e − 1 ≈ 1,72; f(1) = e − 1
y = (e − 1) · (x − 1) + (e − 1) = (e − 1) · x, das heißt y ≈ 1,72x.
Die Tangente geht durch den Ursprung.
Ohne Taschenrechner
2.6Parameter aus einem Punkt
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = a · ex + 2x, a ∈ ℝ. Der Graph von f geht durch den Punkt P(0 | 5).
a) Bestimme a.
Hilfe 1
Was gilt für die Koordinaten eines Punktes auf dem Graphen?
Hilfe 2
e0 hat welchen Wert?
b) Gib die Steigung des Graphen von f an der Stelle 0 an.
Hilfe 1
Setze das Ergebnis aus a) ein und leite ab.
Hilfe 2
e0 = 1.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Der Punkt P legt a fest.
P liegt auf dem Graphen: f(0) = a · e0 + 0 = a = 5, also a = 5.
b) Mit dem Wert aus a) die Ableitung bilden.
f′(x) = 5ex + 2, also f′(0) = 7, denn e0 = 1.
2.7Graphen zuordnen
Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit f(x) = ex, g(x) = 2ex und h(x) = ex − 2. Das Material zeigt ihre Graphen I bis III in beliebiger Reihenfolge.
Material
a) Ordne jedem der drei Graphen I bis III einen der Terme zu und begründe deine Zuordnung.
Hilfe 1
Lies ab, wo jeder Graph die y-Achse schneidet.
Hilfe 2
Berechne f(0), g(0), h(0).
b) Zwei der drei Graphen entstehen durch Verschieben auseinander. Nenne diese Graphen und zeige mit den Ableitungen, dass sie an jeder Stelle dieselbe Steigung haben.
Hilfe 1
Welche beiden Graphen haben dieselbe Form?
Hilfe 2
Bilde die Ableitungen beider Terme.
Lösung zeigen
a) Die y-Achsenabschnitte unterscheiden die Graphen.
Die Graphen schneiden die y-Achse bei 1 (I), 2 (II) und −1 (III).
Es gilt f(0) = 1, g(0) = 2 und h(0) = e0 − 2 = −1.
Also gehört f zu I, g zu II und h zu III.
b) Verschieben ändert die Steigung nicht: gleiche Ableitung.
Die Graphen von f und h: h entsteht aus f durch Verschieben um 2 nach unten.
f′(x) = ex und h′(x) = ex, denn der Summand −2 fällt weg. Die Steigungen stimmen an jeder Stelle überein.
2.8Exponent bestimmen
a) Schreibe f(x) = (e3)x in der Form ek · x und gib k an.
Hilfe 1
Wie rechnet man mit einer Potenz, die selbst potenziert wird?
Hilfe 2
Wie lautet der Exponent von e nach dem Zusammenfassen?
b) Schreibe g(x) = (1e)x in der Form ek · x und gib k an.
Hilfe 1
Wie schreibt man den Kehrwert einer Zahl als Potenz?
Hilfe 2
Welches Vorzeichen hat k bei einer Abnahme?
c) Der Graph von h mit h(x) = ek · x geht durch den Punkt (1 | e4). Bestimme k.
Hilfe 1
Setze x = 1 und den y-Wert ein.
Hilfe 2
Zwei Potenzen von e sind gleich, wenn ihre Exponenten gleich sind.
Lösung zeigen
a) Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
(e3)x = e3x, also k = 3
b) Kehrwert ist eine negative Hochzahl.
1e = e−1, also g(x) = e−x und k = −1
c) Punktprobe: den Punkt einsetzen und Exponenten vergleichen.
h(1) = ek = e4, also k = 4.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Die Zahl der Bakterien in einer Kultur ist N(t) = 5 · e0,12 · t (t in Stunden). Um wie viel Prozent wächst sie je Stunde? (2) Ein Guthaben wächst um 6 % je Jahr. Es soll als B(t) = B0 · ek · t geschrieben werden. Wie bestimme k? (3) Der Graph von f mit f(x) = ex hat an der Stelle x = 2 eine Tangente. Wie bestimme deren Steigung?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um den Faktor je Schritt, um k oder um eine Steigung?
Hilfe 2
Frage (1): Ist 0,12 schon die Prozentzahl?
Hilfe 3
Frage (3): Was ist die Ableitung von ex?
b) Ein Wirkstoff wird im Blut abgebaut: c(t) = 60 · e−0,3 · t (t in Stunden nach dem Ende der Infusion, c(t) in mg je Liter). Um wie viel Prozent nimmt die Konzentration je Stunde ab? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der … je Stunde und daraus die … 2. Was nicht dasteht: k = −0,3 ist nicht … Der Faktor je Stunde ist b = … 3. Rechnen: b = … ≈ …; Abnahme = 1 − … ≈ … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Je Stunde“: Welcher Faktor gehört zu einem ganzen Schritt?
Hilfe 2
Wie hängen k und der Faktor je Stunde zusammen?
Hilfe 3
Abnahme heißt: Um wie viel ist der Faktor kleiner als 1?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: b = ek mit Abzug von 1, k = ln b, f′(2) = f(2).
(1) Gesucht ist der Wachstumsfaktor je Stunde. Ansatz: b = e0,12, die Prozentzahl ist b − 1. Es sind nicht 12 %.
(2) Gesucht ist k. Der Faktor ist b = 1,06, Ansatz: k = ln 1,06.
(3) Gesucht ist die Steigung f′(2). Für ex gilt f′(x) = ex, also f′(2) = e2.
b) „Um wie viel Prozent je Stunde“ heißt: Faktor b = ek, Abnahme = 1 − b. Die Zahl −0,3 ist keine Prozentzahl.
1. Gefragt ist der Abbaufaktor je Stunde und daraus die prozentuale Abnahme.
2. k = −0,3 ist nicht „30 % Abnahme“. Der Faktor je Stunde ist b = ek.
4. Die Konzentration nimmt je Stunde um rund 25,9 % ab.
5. b liegt zwischen 0 und 1, also ist es eine Abnahme. 30 % Abnahme wären b = 0,7; 0,7408 liegt knapp darüber. Das passt zu k = −0,3.
3.2Algen im Teich
Auf einem Teich breiten sich Algen aus. Ihre Fläche beschreibt die Funktion A mit A(t) = 20 · e0,18 · t. Dabei ist t die Zeit in Tagen seit Messbeginn (0 ≤ t ≤ 14) und A(t) die Fläche in m². Das Material zeigt den Graphen von A.
Material
a) Berechne die Fläche, die die Algen 10 Tage nach Messbeginn bedecken.
Hilfe 1
Welche Zahl gehört für t in den Term?
Hilfe 2
Die Einheit steht in der Aufgabe.
b) Der Teichbesitzer sagt: „Wegen 0,18 wachsen die Algen um 18 % je Tag.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welcher Faktor gehört zu einem ganzen Tag?
Hilfe 2
Vergleiche diesen Faktor mit 1,18.
c) Bestimme anhand des Graphen, an welchem Tag die Algen 100 m² bedecken.
Hilfe 1
Suche 100 auf der senkrechten Achse.
Hilfe 2
Gehe waagerecht zum Graphen und dann nach unten.
d) Der Teich hat eine Wasserfläche von 300 m². Beurteile anhand des Modells, ob die Algen den Teich innerhalb des Messzeitraums vollständig bedecken.
Hilfe 1
Wann ist die Fläche im Messzeitraum am größten?
Hilfe 2
Welcher Wert gehört zum Rand?
Hilfe 3
Vergleiche diesen Wert mit 300 m².
Lösung zeigen
a) Funktionswert im Sachzusammenhang: Zeit einsetzen, Einheit angeben.
A(10) = 20 · e1,8 ≈ 120,99
Nach 10 Tagen bedecken die Algen rund 121 m².
b) Die Zahl im Exponenten ist k und nicht die Prozentzahl je Tag.
Die Aussage ist falsch. Der Faktor je Tag ist b = e0,18 ≈ 1,1972.
Die Fläche wächst also um rund 19,7 % je Tag, nicht um 18 %. Die 0,18 ist die momentane Wachstumsrate, ein ganzer Tag wächst mit dem schon größeren Bestand weiter.
c) „anhand des Graphen“: ablesen, nicht rechnen.
Der Graph erreicht den Wert 100 bei t ≈ 9 (Werte von 8,7 bis 9,2 gelten).
Nach etwa 9 Tagen bedecken die Algen 100 m².
d) Messzeitraum 0 ≤ t ≤ 14: Der Rand t = 14 entscheidet, weil die Fläche nur wächst.
A wächst überall, denn ex steigt streng monoton und der Faktor 20 ist positiv. Der größte Wert im Messzeitraum liegt bei t = 14.
A(14) = 20 · e2,52 ≈ 248,6. Das ist weniger als 300.
Im Messzeitraum bedecken die Algen den Teich nicht vollständig.
3.3Gebrauchtwagen
Ein Neuwagen kostet 18 000 €. Er verliert jedes Jahr 13 % seines Wertes. Gesucht ist ein Modell für den Wert W(t) in € nach t Jahren.
a) Stelle die Funktionsgleichung von W in der Form W(t) = a · ek · t auf und gib k auf vier Nachkommastellen gerundet an. Berechne den Wert des Wagens nach 4 Jahren.
Hilfe 1
Um wie viel wird der Faktor kleiner als 1, wenn der Wagen 13 % verliert?
Hilfe 2
Wie hängt k mit dem Faktor je Jahr zusammen?
Hilfe 3
Setze t = 4 ein. Mit dem gerundeten k weicht das Ergebnis leicht ab.
b) Eine Händlerin rechnet mit W(t) = 18 000 · e−0,13 · t. Beurteile ihr Modell, indem du beide Modelle für t = 10 vergleichst.
Hilfe 1
Berechne beide Werte für t = 10.
Hilfe 2
Welcher Jahresfaktor gehört zu e−0,13?
c) Erläutere, was der Wert k aus Teil a) im Sachzusammenhang bedeutet.
Hilfe 1
Was beschreibt k: einen ganzen Schritt oder den Augenblick?
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen?
Lösung zeigen
a) „verliert 13 % je Jahr“ heißt Faktor 0,87 und nicht k = −0,13.
Faktor je Jahr: b = 1 − 0,13 = 0,87, also W(t) = 18 000 · 0,87t.
k = ln 0,87 ≈ −0,1393, also W(t) = 18 000 · e−0,1393 · t.
W(4) = 18 000 · 0,874 ≈ 10 312.
Nach 4 Jahren ist der Wagen noch rund 10 312 € wert.
b) Zwei Modelle mit fast gleichem Exponenten vergleichen: Wert nach 10 Jahren bei beiden berechnen.
Modell mit Faktor: 18 000 · 0,8710 ≈ 4 472. Modell der Händlerin: 18 000 · e−1,3 ≈ 4 906.
Die Händlerin schätzt den Wert um rund 434 € zu hoch, weil e−0,13 ≈ 0,878 größer ist als der Faktor 0,87. Ihr Modell passt nicht zu „13 % Verlust je Jahr“.
c) k deuten: momentane relative Änderungsrate, mit Einheit und Vorzeichen.
k ist die momentane relative Änderungsrate. Im Augenblick verliert der Wagen rund 13,9 % seines jeweiligen Wertes pro Jahr. Das Minuszeichen steht für den Wertverlust.
Über ein ganzes Jahr gerechnet sind es 13 %, weil der Wert dabei schon sinkt.
3.4Zwei Bakterienkulturen
Zwei Bakterienkulturen starten mit je 50 Zellen. Die Zellzahl in Kultur A wächst nach A(t) = 50 · 1,25t, die in Kultur B nach B(t) = 50 · e0,22 · t. Dabei ist t die Zeit in Stunden.
a) Entscheide, welche Kultur auf Dauer schneller wächst. Begründe, ohne Zellzahlen für große t zu berechnen.
Hilfe 1
Was haben beide Kulturen gemeinsam, was unterscheidet sie?
Hilfe 2
Bringe beide auf dieselbe Schreibweise.
Hilfe 3
Vergleiche die beiden Faktoren je Stunde.
b) Berechne, um wie viele Zellen sich beide Kulturen nach 12 Stunden unterscheiden.
Hilfe 1
Setze t = 12 in beide Terme ein.
Hilfe 2
Bilde die Differenz der beiden Werte.
Lösung zeigen
a) Gleicher Anfangswert: Es entscheidet der Faktor je Stunde.
Beide Kulturen starten mit 50 Zellen. Entscheidend ist der Faktor je Stunde.
Kultur A: b = 1,25. Kultur B: b = e0,22 ≈ 1,2461.
Gleichwertig: In e-Form hat A den Wert k = ln 1,25 ≈ 0,2231, und 0,2231 > 0,22. Auch dann wächst A schneller.
Wegen 1,25 > 1,2461 wächst Kultur A schneller. Die Zahlen 0,25 und 0,22 sind nicht vergleichbar, denn 0,25 ist hier kein k.
Die Steigung des Graphen von f(x) = bx an der Stelle 0 lässt sich näherungsweise durch (bh − 1) : h mit kleinem h bestimmen. Für b = 2 ergibt sich mit h = 0,001 der Wert 0,693, für b = 3 der Wert 1,099.
a) Berechne die Näherung (bh − 1) : h mit h = 0,001 auf drei Nachkommastellen für b = 2,7 und für b = 2,8. Gib an, zwischen welchen beiden Zahlen die Basis mit Steigung 1 liegt.
Hilfe 1
Setze b und h in den Term ein. Auf die Klammern achten.
Hilfe 2
Welche Näherung liegt unter 1, welche darüber?
b) Begründe, warum es nur eine Basis b gibt, bei der der Graph von bx an der Stelle 0 die Steigung 1 hat.
Hilfe 1
Wie ändert sich die Steigung bei 0, wenn die Basis größer wird?
Hilfe 2
Kann ein Wert zweimal vorkommen, wenn die Werte immer weiter steigen?
Lösung zeigen
a) Der Wert 1 liegt zwischen den beiden Näherungen.
b = 2,7: (2,70,001 − 1) : 0,001 ≈ 0,994
b = 2,8: (2,80,001 − 1) : 0,001 ≈ 1,030
0,994 < 1 < 1,030: Die gesuchte Basis liegt zwischen 2,7 und 2,8.
b) Die Steigung bei 0 wächst mit der Basis. Dann wird der Wert 1 nur einmal angenommen.
Die Werte der Steigung bei 0 steigen mit der Basis: b = 2: 0,693; b = 2,7: 0,994; b = 2,8: 1,030; b = 3: 1,099.
Eine größere Basis hat immer die größere Steigung bei 0. Der Wert 1 kann deshalb nur von einer Basis angenommen werden. Das ist die Basis e ≈ 2,718.
Klausuraufgabe
4.1Videokanal
Ein Videokanal für Mathe-Erklärungen wird beobachtet. Die Zahl seiner Abonnenten wurde in den ersten sechs Wochen gemessen. In Tausend ergaben sich: 1,20 bei t = 0, 1,59 bei t = 2, 2,10 bei t = 4 und 2,78 bei t = 6. Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Kanalstart. Als Modell dient die Funktion K mit K(t) = 1,2 · e0,14 · t für 0 ≤ t ≤ 12; K(t) ist die Abonnentenzahl in Tausend. Das Material zeigt den Graphen von K.
Abbildung
a) Zeige, dass das Modell die vier Messwerte auf zwei Nachkommastellen genau wiedergibt.3 BE
Hilfe 1
Setze jede Woche für t ein.
Hilfe 2
Runde erst am Ende.
Hilfe 3
Vergleiche mit den gemessenen Werten.
b) Erläutere die Bedeutung des Wertes 1,2 im Sachzusammenhang und berechne, um wie viel Prozent die Abonnentenzahl je Woche zunimmt.3 BE
Hilfe 1
Welchen Wert hat K an der Stelle t = 0?
Hilfe 2
Welcher Faktor gehört zu einer Woche?
c) Eine Mitschülerin schreibt K(t) = 1,2 · 1,14t, weil 0,14 für 14 % Zuwachs je Woche stehe. Prüfe ihre Funktion für t = 6 und beurteile ihre Aussage.3 BE
Hilfe 1
Rechne K(6) mit dem Faktor 1,14 aus.
Hilfe 2
Vergleiche mit der Messung bei t = 6.
d) Ab 5 000 Abonnenten schaltet der Anbieter eine Zusatzfunktion frei. Bestimme anhand des Graphen, zu welchem Zeitpunkt t das geschieht.2 BE
Hilfe 1
In welcher Einheit ist K angegeben?
Hilfe 2
Suche den Wert auf der senkrechten Achse und gehe zum Graphen.
e) Der Kanal besteht seit einem Jahr (t = 52). Berechne K(52) und beurteile, ob das Modell für diesen Zeitpunkt taugt.3 BE