Produkt- und Kettenregel mit Exponentialfunktionen
Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher konntest du ex ableiten. In Aufgaben steht im Exponenten aber meist mehr als ein nacktes x, zum Beispiel 3x oder −0,5x + 2. Außerdem wird e… oft mit einem Faktor wie (x + 2) multipliziert. Dafür brauchst du zwei Regeln: die Kettenregel und die Produktregel. Der Exponent hat hier immer die Form kx + c.
Bei f(x) = e3x rechnest du zuerst 3x aus. Das ist die innere Funktion v(x) = 3x. Das Ergebnis steckst du in ez, die äußere Funktion u(z) = ez. Die Probe: Was rechnest du zuerst, wenn du für x eine Zahl einsetzt? Das ist die innere Funktion.
f(x) = u( v(x) ) mit u(z) = ez und v(x) = 3x
✎ Mini-Aufgabe: Gib für f(x) = 3e4x + 2 die innere und die äußere Funktion an. Wohin gehört der Faktor 3?
Lösung zeigen
Innen: v(x) = 4x + 2. Außen: u(z) = 3ez. Der Faktor 3 gehört zur äußeren Funktion, weil er erst nach dem Potenzieren mit e dazukommt.
2. Die Kettenregel
Beim Ableiten einer verketteten Funktion reicht die Ableitung der äußeren Funktion nicht. Du musst mit der Ableitung der inneren Funktion multiplizieren. Das heißt nachdifferenzieren, und genau das wird am häufigsten vergessen.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Ableitung von f(x) = 5e−2x + 7.
Lösung zeigen
f′(x) = 5 · (−2) · e−2x = −10e−2x. Die 7 fällt weg, der Exponent bleibt stehen.
3. Die Produktregel
Multiplizierst du zwei Terme, die beide von x abhängen, etwa f(x) = (2x + 3) · ex, darfst du nicht beide einzeln ableiten und dann multiplizieren. Es gilt die Produktregel:
✎ Mini-Aufgabe: Prüfe an f(x) = x · x, warum man nicht beide Faktoren einzeln ableiten und multiplizieren darf. Was kommt richtig heraus, was kommt so heraus?
Lösung zeigen
Richtig: f(x) = x², also f′(x) = 2x. Beide Faktoren einzeln abgeleitet ergäben 1 · 1 = 1. Mit der Produktregel: 1 · x + x · 1 = 2x.
Schreib zuerst u, u′, v und v′ untereinander auf, dann setzt du ein. Danach klammerst du ex aus. So lässt sich f′(x) = 0 später lösen.
Beispiel: f(x) = (2x + 3) · ex
u(x) = 2x + 3 u′(x) = 2
v(x) = ex v′(x) = ex
f′(x) = 2 · ex + (2x + 3) · ex = ex · (2 + 2x + 3) = ex · (2x + 5)
4. Beide Regeln in einem Term
Steht im Produkt ein verketteter Faktor, brauchst du beide Regeln: die Produktregel für den Aufbau des Terms, die Kettenregel für ekx + c.
Beispiel: f(x) = (x − 4) · e2x
u(x) = x − 4 u′(x) = 1
v(x) = e2x v′(x) = 2e2x (hier steckt die Kettenregel)
Alle Verfahren der Kurvendiskussion funktionieren auch mit e-Anteil. Der ausgeklammerte Term hilft dir: Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist, und e… ist nie null.
e−0,5x > 0 für alle x, also f′(x) = 0 ⇔ 1 − 0,5x = 0 ⇔ x = 2
Die Klammer wechselt bei x = 2 von + nach −, e−0,5x bleibt positiv: Hochpunkt.
f(2) = 2 · e−1 ≈ 0,74, also H(2 | 0,74)
Für eine Tangente an der Stelle a brauchst du zwei Werte: den Berührpunkt (a | f(a)) und die Steigung f′(a). Für f(x) = e2x und a = 0 ist f(0) = 1 und f′(0) = 2, also y = 2x + 1.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Extremstelle von f(x) = x · e−0,25x und gib an, ob dort ein Hoch- oder ein Tiefpunkt liegt.
Lösung zeigen
f′(x) = e−0,25x · (1 − 0,25x) = 0 ⇔ x = 4. Die Klammer wechselt von + nach −: Hochpunkt.
f(4) = 4e−1 ≈ 1,47, also H(4 | 1,47).
6. Der Graph von f und von f′
Oben der Graph von f(x) = x · e−0,5x, unten der von f′(x) = e−0,5x · (1 − 0,5x). Bei x = 2 hat f den Hochpunkt, f′ dort eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach −. Bei x = 4 wechselt f die Krümmung, f′ hat dort ihren kleinsten Wert. Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wie schnell ändert sich … zu diesem Zeitpunkt, momentane Änderungsrate
Wert von f′ an der Stelle
Einheit: Größe pro Zeit
am meisten, am höchsten, größte Konzentration
größter Funktionswert
Ränder des Bereichs mit vergleichen
ab wann sinkt, ab wann wieder steigend
Vorzeichenwechsel von f′, also eine Extremstelle
Die Antwort ist ein Zeitpunkt, kein Wert.
am stärksten zunehmend, am schnellsten wachsend
größter Wert von f′, meist an einer Wendestelle von f
Ränder für f′ prüfen
am stärksten abnehmend, am schnellsten sinkend
kleinster Wert von f′ (am stärksten negativ)
Ränder für f′ prüfen
Tangente an der Stelle a
Gerade durch (a | f(a)) mit Steigung f′(a)
Beide Werte werden gebraucht, f(a) und f′(a).
langfristig, auf lange Sicht
Verhalten von f für sehr große x
e−kx wird beliebig klein, ist aber nie null.
8. Was nirgends steht
ekx + c ist nie null und immer positiv. Nullstellen von f′ kommen deshalb nur aus dem anderen Faktor.
Ein Hochpunkt ist nur dann der größte Wert, wenn er größer ist als die Werte an den Rändern des Bereichs.
f′ hat die Einheit „Größe pro Zeit“, nicht die Einheit von f.
Bei negativem k steht ein Minus im Faktor k. Bei Abklingen und Abkühlen ist f′ deshalb negativ.
Bei t · e−0,5t gewinnt für sehr große t der e-Anteil: Die Werte nähern sich 0.
9. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
In einen See wird Abwasser eingeleitet. Die Schadstoffkonzentration beschreibt S(t) = 6t · e−0,5t in mg je Liter (t in Tagen seit Beginn der Einleitung, 0 ≤ t ≤ 10). Wann ist die Konzentration am größten, und wie groß ist sie dann?
Was ist gefragt? Der größte Wert von S im Bereich 0 ≤ t ≤ 10 und der Zeitpunkt, an dem er auftritt.
Was steht nicht da? Der größte Wert kann auch am Rand liegen. Ich vergleiche den Hochpunkt mit S(0) und S(10). Außerdem ist e−0,5t nie null, Nullstellen von S′ kommen nur aus der Klammer.
f′(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 2 (der Faktor e−x ist nie null)
Vorzeichen von f′: x < 0: negativ; 0 < x < 2: positiv; x > 2: negativ
Bei x = 0 wechselt f′ von − nach +: Tiefpunkt. f(0) = 0: T(0 | 0).
Bei x = 2 wechselt f′ von + nach −: Hochpunkt. f(2) = 4e−2 ≈ 0,54: H(2 | 0,54)
2.4Tangente
a) Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit f(x) = (x + 1) · e2x an der Stelle x = 0.
Hilfe 1
Welche zwei Werte brauchst du an der Stelle x = 0?
Hilfe 2
Die Steigung ist die Ableitung an der Stelle.
b) Bestimme, an welcher Stelle die Tangente aus a) die x-Achse schneidet.
Hilfe 1
Was gilt für y auf der x-Achse?
Lösung zeigen
a) Tangente: Berührpunkt und Steigung.
f′(x) = 1 · e2x + (x + 1) · 2e2x = e2x · (2x + 3)
f(0) = 1 und f′(0) = 3
Tangente: y = 3x + 1
b) Schnitt mit der x-Achse: y = 0.
0 = 3x + 1 ⇔ x = −13
2.5Fehler suchen
a) Eine Schülerin leitet f(x) = (2x + 1) · e3x so ab: f′(x) = 2 · 3e3x = 6e3x. Beschreibe den Fehler und begründe, warum das Vorgehen nicht funktionieren kann.
Hilfe 1
Vergleiche, was die Schülerin gerechnet hat, mit dem, was bei einem Produkt gilt.
Hilfe 2
Probiere dasselbe Vorgehen an f(x) = x · x.
b) Bestimme die richtige Ableitung von f.
Hilfe 1
Schreibe u, u′, v und v′ auf.
Lösung zeigen
a) Der Fehler liegt in der Wahl der Regel.
Die beiden Faktoren wurden einzeln abgeleitet und dann multipliziert. Bei einem Produkt gilt das nicht.
Gegenbeispiel: f(x) = x · x hat die Ableitung 2x, einzeln abgeleitet käme 1 · 1 = 1 heraus.
Die Funktion f mit f(x) = (ax + b) · ex hat die Ableitung f′(x) = (5x + 9) · ex. Bestimme a und b.
Hilfe 1
Leite f mit a und b als Zahlen ab.
Hilfe 2
Vergleiche vor ex die Klammern: Was muss bei x gelten, was ohne x?
Lösung zeigen
Gegeben ist das Ergebnis, gesucht der Ausgangsterm.
f′(x) = a · ex + (ax + b) · ex = ex · (ax + a + b)
Vergleich mit ex · (5x + 9): a = 5 und a + b = 9, also b = 4.
Es ergibt sich a = 5 und b = 4.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) K(t) beschreibt die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut (t in Stunden nach der Einnahme). Ab wann sinkt die Konzentration? (2) T(t) beschreibt die Temperatur eines Motors nach dem Abstellen (t in min). Wie schnell kühlt der Motor nach 5 min ab? (3) N(t) beschreibt die Zahl der Brutpaare einer Kolonie (t in Jahren). Wann sind es 40 Brutpaare?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„sinkt“ und „wie schnell“ handeln von der Änderung, also von der Ableitung.
Hilfe 3
Bei (3): Wird nach einem Wert der Ableitung gefragt?
b) Ein Online-Shop startet eine Werbeaktion. Die Zahl der Zugriffe pro Stunde beschreibt Z(t) = 40t · e−0,25t (Z in Tausend Zugriffen pro Stunde, t in Stunden seit Beginn der Aktion, 0 ≤ t ≤ 12). Wann sind die Zugriffe pro Stunde am höchsten, und wie hoch sind sie dann? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der … von Z im Bereich … und die Stelle, an der er auftritt. 2. Was nicht dasteht: Der größte Wert kann auch … liegen. Ich vergleiche mit … 3. Rechnen: Z′(t) = …; Z′(t) = 0 ⇔ t = …; Z(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Größe soll am größten werden: Z oder die Änderung von Z?
Hilfe 2
Der größte Wert einer Funktion liegt an einer Stelle mit waagerechter Tangente oder am Rand.
Hilfe 3
Ableiten mit Produkt- und Kettenregel, dann e−0,25t ausklammern.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: Vorzeichenwechsel von K′, Wert von T′, gleicher Funktionswert.
(1) Gesucht ist die Stelle, an der K′ von + nach − wechselt (Hochpunkt von K). Ansatz: K′(t) = 0 und Vorzeichenwechsel prüfen.
(2) Gesucht ist der Wert der Änderungsrate zum Zeitpunkt 5, also T′(5). Ansatz: T ableiten und t = 5 einsetzen. Der Wert ist negativ.
(3) Gesucht ist die Zeit t mit N(t) = 40. Hier geht es nicht um eine Ableitung.
b) „am höchsten“ heißt größter Funktionswert, dazu gehören die Ränder.
1. Gefragt ist der größte Wert von Z im Bereich 0 ≤ t ≤ 12 und die Stelle, an der er auftritt.
2. Der größte Wert kann auch am Rand liegen. Ich vergleiche mit Z(0) = 0 und Z(12) ≈ 23,90.
4. Vier Stunden nach Beginn der Aktion sind die Zugriffe am höchsten, rund 58 900 pro Stunde.
5. Z steigt bis t = 4 und sinkt danach. Der Wert liegt deutlich über denen an den Rändern. Das passt.
3.2Heißer Kaffee
Ein Kaffee wird eingeschenkt und kühlt in einem Raum ab. Seine Temperatur beschreibt T(t) = 22 + 68 · e−0,08t (T in °C, t in min nach dem Einschenken, 0 ≤ t ≤ 40). Die Abbildung zeigt den Graphen von T.
Abbildung
a) Bestimme T′(t) und berechne T′(10). Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Wie schnell sich etwas ändert, beschreibt die Ableitung.
Hilfe 2
Die Einheit der Ableitung ist °C pro min.
b) Bestimme anhand der Abbildung näherungsweise, nach wie viel min der Kaffee nur noch 45 °C hat.
Hilfe 1
Geh auf der senkrechten Achse zu 45 °C und dann waagerecht bis zum Graphen.
c) Begründe anhand des Funktionsterms, dass die Temperatur des Kaffees nie unter 22 °C sinkt, und erkläre, was die Zahl 22 in der Situation bedeutet.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen hat e−0,08t?
Hilfe 2
Was bleibt von T(t), wenn der e-Anteil sehr klein wird?
d) Ein Gast sagt: „Zu Beginn kühlt der Kaffee schneller ab als nach 20 min.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welche Größe beschreibt, wie schnell die Temperatur sinkt?
Hilfe 2
Beide Werte sind negativ. Was bedeutet „schneller abkühlen“ für die Beträge?
Lösung zeigen
a) „wie schnell … zu diesem Zeitpunkt“ heißt Ableitung.
T′(t) = 68 · (−0,08) · e−0,08t = −5,44 · e−0,08t
T′(10) = −5,44 · e−0,8 ≈ −2,44
10 min nach dem Einschenken sinkt die Temperatur des Kaffees um etwa 2,44 °C pro min.
b) Ablesen aus dem Graphen.
Auf der Höhe 45 °C liegt der Graph bei t zwischen 13 und 14, also nach etwa 13,5 min (Werte von 13 bis 14 min gelten).
c) Die Begründung steht im Term, nicht in einer Rechnung.
e−0,08t ist für jedes t positiv, also ist 68 · e−0,08t > 0 und T(t) > 22 für alle t.
22 °C ist die Temperatur der Umgebung (Raumtemperatur): Der Kaffee nähert sich ihr an und erreicht sie nie.
d) Vorzeichen und Betrag der Änderungsrate.
T′(0) = −5,44 und T′(20) = −5,44 · e−1,6 ≈ −1,10.
Die Abkühlung wird durch den Betrag von T′ beschrieben: 5,44 °C pro min zu Beginn, 1,10 °C pro min nach 20 min. Die Aussage stimmt.
3.3Video-Klicks
Ein Musikvideo wird veröffentlicht. Die Zahl der Klicks pro Tag beschreibt K(t) = (30t + 20) · e−0,2t (K in Tausend Klicks pro Tag, t in Tagen seit der Veröffentlichung, 0 ≤ t ≤ 14).
a) Bestimme, wann die meisten Klicks pro Tag erreicht werden und wie viele es sind.
Hilfe 1
„am meisten pro Tag“: Welche Größe soll am größten werden?
Hilfe 2
Auch am Rand des Zeitraums könnte der größte Wert liegen.
Hilfe 3
Ableiten mit Produkt- und Kettenregel, dann e−0,2t ausklammern.
b) Berechne K′(0) und deute den Wert mit Einheit.
Hilfe 1
Nutze die ausgeklammerte Form von K′.
Hilfe 2
Die Einheit ist Tausend Klicks pro Tag je Tag.
c) Es gilt K″(t) = e−0,2t · (1,2t − 11,2). Bestimme, wann die Zahl der Klicks pro Tag am stärksten abnimmt, und gib diese Abnahme an.
K′(t) = 0 ⇔ t = 133 ≈ 4,33. Die Klammer wechselt von + nach −: Hochpunkt, K(133) ≈ 63,05.
Ränder: K(0) = 20, K(14) ≈ 26,76. Beide sind kleiner.
Nach etwa 4,3 Tagen sind die Klicks pro Tag am höchsten, rund 63 050 Klicks pro Tag.
b) Ableitung an der Stelle 0 deuten.
K′(0) = 26. Zu Beginn nimmt die Zahl der Klicks pro Tag um 26 000 pro Tag zu.
c) „am stärksten abnehmend“ ist ein kleinster Wert von K′.
Gesucht ist der kleinste Wert von K′. K″(t) = 0 ⇔ t = 283 ≈ 9,33. K″ wechselt von − nach +, also hat K′ dort ein Minimum.
K′(283) ≈ −4,64. Ränder: K′(0) = 26 und K′(14) ≈ −3,53, beide sind größer.
Nach etwa 9,3 Tagen nimmt die Zahl der Klicks pro Tag am stärksten ab. Von einem Tag zum nächsten sinkt sie dann um rund 4640 Klicks.
3.4Dreiecksfläche unter dem Graphen
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 4e−0,5x für x ≥ 0. Für a > 0 sei P(a | f(a)) ein Punkt des Graphen und B(a | 0) der Fußpunkt auf der x-Achse. O ist der Ursprung. Das Dreieck OBP hat bei B einen rechten Winkel und den Flächeninhalt F(a).
a) Zeige, dass F(a) = 2a · e−0,5a gilt.
Hilfe 1
Welche Strecken sind Grundseite und Höhe des Dreiecks?
b) Bestimme a so, dass der Flächeninhalt F(a) am größten wird, und gib diesen Flächeninhalt an.
Hilfe 1
Der Flächeninhalt hängt von a ab: Leite F nach a ab.
Hilfe 2
Ein e-Faktor ist nie null.
c) Jemand meint: „Je weiter P rechts liegt, desto größer ist das Dreieck, weil die Grundseite länger wird.“ Beurteile das. Nimm F(10) zu Hilfe.
Hilfe 1
Was passiert mit der Höhe des Dreiecks, wenn a größer wird?
F′(a) = 0 ⇔ a = 2. Die Klammer wechselt von + nach −: Hochpunkt.
F(2) = 4e−1 ≈ 1,47. Das Dreieck hat bei a = 2 den größten Flächeninhalt, rund 1,47.
c) Zwei Größen ändern sich gegenläufig.
F(10) = 20e−5 ≈ 0,13 und damit viel kleiner als F(2) ≈ 1,47.
Die Grundseite wächst, aber die Höhe 4e−0,5a schrumpft schneller. Ab a = 2 ist F′(a) < 0, F nimmt also ab. Die Aussage stimmt nicht.
Klausuraufgabe
4.1Regenrückhaltebecken
Nach einem Starkregen fließt Wasser in ein Regenrückhaltebecken. Im Modell gibt Z(t) = (80t + 40) · e−0,4t den Zufluss in m³ pro Stunde an; t ist die Zeit in Stunden seit Beginn des Regens (0 ≤ t ≤ 10). Die Abbildung zeigt den Graphen von Z.
Abbildung
a) Zeige rechnerisch, dass für die Ableitung gilt: Z′(t) = 32 · (2 − t) · e−0,4t.4 BE
Hilfe 1
Der Term ist ein Produkt, ein Faktor ist verkettet.
Hilfe 2
Klammere e−0,4t aus und fasse die Klammer zusammen.
Hilfe 3
Am Ende 32 ausklammern.
b) Berechne, wann der Zufluss am größten ist und wie groß er dann ist. Weise nach, dass es sich um den größten Wert im Zeitraum handelt.4 BE
Hilfe 1
„am größten im Zeitraum“: Was gehört zum Nachweis außer dem Hochpunkt?
Hilfe 2
Welche Faktoren von Z′ können null werden?
c) Es gilt Z″(4,5) = 0 und Z′(4,5) ≈ −13,22. Deute diese Angaben im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Was misst Z′?
Hilfe 2
Z″ = 0 liegt dort, wo Z′ einen besonderen Wert hat. Welchen?
d) Ein Techniker sagt: „Nach 6 Stunden ist der Zufluss wieder kleiner als zu Beginn.“ Beurteile diese Aussage.3 BE
Hilfe 1
Vergleiche Z(6) mit dem Anfangswert.
Hilfe 2
Berechne auch einen späteren Zeitpunkt.
Lösung zeigen
a) „Zeigen Sie“: Rechenweg vollständig, Ziel steht da.
b) „Weisen Sie nach“: Bedingungen und Ränder vollständig.
Z′(t) = 0 ⇔ t = 2 (der Faktor e−0,4t ist nie null).
Z′ wechselt bei t = 2 von + nach −: Hochpunkt, Z(2) = 200e−0,8 ≈ 89,87.
Ränder: Z(0) = 40, Z(10) ≈ 15,39. Beide sind kleiner.
Zwei Stunden nach Beginn ist der Zufluss am größten, rund 89,9 m³ pro Stunde.
c) f″ = 0 und f′ deuten.
Z′ ist die Änderungsrate des Zuflusses. Z″(4,5) = 0: Hier ist die Änderungsrate selbst am kleinsten, denn Z′ hat bei t = 4,5 ein Minimum (Z″ wechselt von − nach +; alternativ: Z′(0) = 64 und Z′(10) ≈ −4,69 sind beide größer als −13,22).
4,5 Stunden nach Beginn nimmt der Zufluss am stärksten ab. Er sinkt dann um rund 13,22 m³ pro Stunde in der folgenden Stunde, also um 13,22 m³ pro Stunde weniger je Stunde.
d) Funktionswerte vergleichen.
Z(6) = 520e−2,4 ≈ 47,17, und Z(0) = 40. Der Zufluss ist nach 6 Stunden noch größer als zu Beginn.
Z fällt ab t = 2, die 40 m³ pro Stunde werden also erst später unterschritten (Z(7) ≈ 36,49). Die Aussage stimmt nicht.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Die e-Funktion“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.