Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
In einer Exponentialgleichung steht die gesuchte Zahl im Exponenten, zum Beispiel 3x = 81. Das löst du durch Hinsehen: 34 = 81, also x = 4. Sobald rechts eine Zahl steht, die keine glatte Potenz ist, hilft Hinsehen nicht mehr. Dafür gibt es den Logarithmus. Er beantwortet eine einzige Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis versehen, um die Zahl rechts zu erhalten?
ax = b ⇔ x = loga(b) (a > 0, a ≠ 1, b > 0)
Beide Zeilen sagen dasselbe, so wie 5² = 25 und √25 = 5. Der Logarithmus ist zum Potenzieren, was die Wurzel zum Quadrieren ist. Auf dem Taschenrechner gibt es lg (Basis 10), ln (Basis e) und meist eine Taste log mit frei wählbarer Basis. Hast du nur ln, rechnest du loga(b) = ln b : ln a. Rechenregeln für Logarithmen brauchst du in diesem Kurs nicht.
Beispiel: 3x = 5
3x = 5 ⇔ x = log3(5)
Taschenrechner: x ≈ 1,465
Probe: 31,465 ≈ 5
✎ Mini-Aufgabe: Schreibe 6x = 36 in Logarithmus-Schreibweise und gib die Lösung an.
Lösung zeigen
x = log6(36) = 2, denn 6² = 36.
2. Erst isolieren, dann logarithmieren
Meistens steht die Potenz nicht allein. Dann gilt wie bei jeder Gleichung: Bring zuerst mit Äquivalenzumformungen die Potenz allein auf eine Seite, logarithmiere danach.
Beispiel: 5 · 3x − 2 = 43
5 · 3x − 2 = 43 | + 2
5 · 3x = 45 | : 5
3x = 9 | logarithmieren
x = log3(9) = 2
Beispiel mit Basis e: 40 · e0,25x = 200
40 · e0,25x = 200 | : 40
e0,25x = 5 | ln anwenden
0,25x = ln 5 ≈ 1,6094 | : 0,25
x ≈ 6,4378
Logarithmiert wird erst, wenn auf einer Seite nur noch die reine Potenz steht. Der Faktor 5 in 5 · 3x gehört nicht in den Exponenten: Das Logarithmieren von 5 · 3x ergibt nicht 5 · x.
✎ Mini-Aufgabe: Löse 3 · 2x + 5 = 29.
Lösung zeigen
3 · 2x = 24, also 2x = 8 und damit x = 3.
3. Wenn im Exponenten mehr steht als x
Steht im Exponenten ein Term wie 3x − 1, ist nach dem Logarithmieren dieser Term gleich dem Logarithmus. Danach löst du eine gewöhnliche lineare Gleichung. Bei glatten Zahlen geht es auch ohne Taschenrechner: Wegen 32 = 25 müssen bei gleicher Basis die Exponenten übereinstimmen.
Beispiel: 23x − 1 = 32
3x − 1 = log2(32) = 5
3x = 6 ⇒ x = 2
Beispiel mit unglatten Zahlen: 0,85x = 0,4
x = log0,85(0,4) ≈ 5,638
✎ Mini-Aufgabe: Löse 32x + 1 = 27.
Lösung zeigen
2x + 1 = log3(27) = 3, also 2x = 2 und x = 1.
4. Zwei Potenzen derselben Basis: Substitution
Manchmal steht dieselbe Basis zweimal, einmal mit doppeltem Exponenten. Das Potenzgesetz 22x = (2x)² macht beide Terme zu Ausdrücken derselben Größe. Die ersetzt du durch einen neuen Buchstaben und bekommst eine quadratische Gleichung.
Beispiel: 22x − 3 · 2x + 2 = 0
Substitution u = 2x: u² − 3u + 2 = 0
u = 1 oder u = 2
Rücksubstitution: 2x = 1 ⇒ x = 0; 2x = 2 ⇒ x = 1
Die u-Werte sind noch keine Lösungen, gesucht ist x. Und vor der Rücksubstitution prüfst du: 2x ist immer positiv. Ein negatives u liefert keine Lösung und fällt mit einem Satz Begründung weg.
Beispiel: e2x − ex − 6 = 0
u = ex: u² − u − 6 = 0 ⇒ u = 3 oder u = −2
ex = 3 ⇒ x = ln 3 ≈ 1,0986
ex = −2: keine Lösung, denn ex > 0
✎ Mini-Aufgabe: Löse 32x − 10 · 3x + 9 = 0 mit einer Substitution.
Lösung zeigen
u = 3x: u² − 10u + 9 = 0, also u = 1 oder u = 9. Rücksubstitution: 3x = 1 ergibt x = 0, 3x = 9 ergibt x = 2.
5. Wann es keine Lösung gibt
Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv. Sie kann beliebig klein werden, aber nie null und nie negativ. Deshalb steht in der Definition des Logarithmus b > 0.
2x = −8 keine Lösung 3x = 0 keine Lösung
In Sachaufgaben heißt das: Ein Modell, das mit e−kt abnimmt, erreicht null nie. Es kommt ihr nur beliebig nahe. Das ist keine Rechenpanne, sondern eine Aussage über das Modell.
✎ Mini-Aufgabe: Begründe, warum 5 · 0,8x = −2 keine Lösung hat.
Lösung zeigen
Umgeformt: 0,8x = −0,4. Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, also kann sie nicht −0,4 sein.
Links der Graph von f(x) = 2x mit der Geraden y = 5: Sie schneidet bei x = log2(5) ≈ 2,32. Rechts der Graph von g(x) = e2x − 3 · ex + 2. Seine Nullstellen sind die Lösungen der Gleichung mit der Substitution u = ex: x = 0 und x = ln 2 ≈ 0,69.
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wann, nach wie vielen Tagen, ab welchem Zeitpunkt (Wert W)
Gleichung N(t) = W nach t lösen
Die Antwort ist eine Zeit, kein Bestand.
verdoppelt, verdreifacht, halbiert
Zielwert ist das Zwei-, Drei- oder Halbe des Anfangswerts
Der Anfangswert kürzt sich heraus, er muss nicht bekannt sein.
Halbwertszeit, Verdopplungszeit
Zeit, in der der Bestand auf die Hälfte sinkt oder auf das Doppelte steigt
Gilt für jeden Startwert, auch für den Rest nach schon vergangener Zeit.
unter … gesunken, über … gestiegen
Gleichung lösen, dann am Verlauf prüfen, auf welcher Seite die Ungleichung gilt
Steigt oder fällt der Graph? Danach richtet sich die Richtung.
erstmals nach vollen Jahren
kleinstes ganzes t mit der Eigenschaft
Nicht runden, sondern prüfen: das ganze Jahr davor und danach einsetzen.
vollständig abgebaut, bis auf null
a · bt = 0
Hat keine Lösung. Eine Schwelle nennen, die erreicht wird.
5 % pro Jahr
Wachstumsfaktor 1,05
Nicht 0,05 und nicht 5.
6. Was nirgends steht
Die Potenz muss allein stehen, bevor du logarithmierst. Vorher teilst du durch den Faktor und bringst Summanden auf die andere Seite.
Die Basis ist positiv und nicht 1. Mit negativen Werten auf der rechten Seite gibt es keine Lösung.
Bei einer Substitution zählen nur u-Werte größer als 0. Danach folgt immer die Rücksubstitution.
In einer Sachaufgabe gilt das Modell nur im genannten Bereich. Eine Lösung außerhalb davon ist keine Antwort.
Runde erst am Schluss, und antworte mit Einheit in einem Satz.
7. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Auf einem Teich breiten sich Seerosen aus. Die bedeckte Fläche beträgt S(t) = 0,8 · 1,25t m² (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn). Wann sind 3,2 m² bedeckt?
Was ist gefragt? Ein Zeitpunkt t mit S(t) = 3,2.
Was steht nicht da? Die Gleichung muss erst so umgeformt werden, dass die Potenz allein steht. Der Anfangswert 0,8 steht als Faktor davor.
Antwortsatz Nach etwa 6,2 Wochen sind 3,2 m² des Teichs bedeckt.
Prüfen S(6) = 0,8 · 1,256 ≈ 3,05 und S(7) ≈ 3,81. 3,2 liegt dazwischen, das passt.
8. Typische Fehler
Zu früh logarithmieren, bevor die Potenz allein steht.
Den Faktor mitlogarithmieren: Aus 5 · 3x = 45 wird zuerst 3x = 9.
Bei der Substitution die Rücksubstitution vergessen. Die u-Werte sind noch keine Lösungen.
Negative u-Werte mit in die Rücksubstitution nehmen.
Beim Exponenten 3x − 1 = 5 rechnen: x = 5 : 3 statt x = 2.
Zwischenergebnisse runden und damit weiterrechnen.
Rechnen
2.1Potenzen lösen
Löse die Gleichungen ohne Taschenrechner.
a) 3x = 81
Hilfe 1
Welche Potenz von 3 ergibt 81?
Hilfe 2
Schreibe 81 als Potenz von 3.
b) 10x = 0,001
Hilfe 1
Wie schreibt man 0,001 als Bruch, und wie als Potenz von 10?
Hilfe 2
Ein Bruch 110n entspricht einem negativen Exponenten.
c) 2x = 0,0625
Hilfe 1
Wie lautet 0,0625 als Bruch?
Hilfe 2
16 ist welche Potenz von 2?
d) 5 · 3x = 45
Hilfe 1
Welche Rechenoperation trennt 3x vom Faktor 5?
Hilfe 2
Danach wie in a).
Lösung zeigen
a) Die rechte Seite ist eine glatte Potenz der Basis.
3x = 81 = 34, also x = 4.
b) Rechte Seite ist eine glatte Potenz, der Exponent ist negativ.
0,001 = 11000 = 10−3, also x = −3.
c) Dezimalzahl als Bruch, dann als Potenz.
0,0625 = 116 = 2−4, also x = −4.
d) Die Potenz steht nicht allein: erst durch den Faktor teilen.
5 · 3x = 45 | : 5 ⇒ 3x = 9
x = log3(9) = 2
2.2Mit dem Taschenrechner
Löse die Gleichungen. Runde auf vier Nachkommastellen.
a) 1,05x = 2
Hilfe 1
Die Potenz steht schon allein. Welche Frage beantwortet der Logarithmus hier?
Hilfe 2
Basis 1,05, Zahl 2: Nutze die Logarithmus-Taste mit freier Basis oder ln b : ln a.
b) 3 · e0,4x = 12
Hilfe 1
Was muss zuerst passieren, bevor du logarithmierst?
Hilfe 2
Zur Basis e gehört der natürliche Logarithmus. Danach steht 0,4x = …
c) 250 · 0,9x = 100
Hilfe 1
Die Potenz steht nicht allein.
Hilfe 2
Basis 0,9 und rechts 0,4: auch mit Basis kleiner 1 gibt es einen Logarithmus.
Lösung zeigen
a) Reine Potenz, Basis nicht glatt: Logarithmus mit dem Taschenrechner.
1,05x = 2 ⇔ x = log1,05(2); x ≈ 14,2067
b) Erst isolieren, dann mit ln logarithmieren; der Exponent 0,4x wird nach dem Logarithmieren durch 0,4 geteilt.
3 · e0,4x = 12 | : 3 ⇒ e0,4x = 4
0,4x = ln 4 ⇒ x = ln 4 : 0,4; x ≈ 3,4657
c) Faktor 250 vorher abspalten; Basis kleiner als 1 ändert nichts am Verfahren.
250 · 0,9x = 100 | : 250 ⇒ 0,9x = 0,4
x = log0,9(0,4); x ≈ 8,6967
2.3Term im Exponenten
Löse die Gleichungen. Runde, wenn nötig, auf vier Nachkommastellen.
a) 23x − 1 = 32
Hilfe 1
Schreibe 32 als Potenz von 2.
Hilfe 2
Bei gleicher Basis stimmen die Exponenten überein.
b) e2x − 3 = 10
Hilfe 1
Was steht nach dem Logarithmieren links?
Hilfe 2
Löse dann die lineare Gleichung nach x.
c) 51 − x = 0,04
Hilfe 1
Welche Potenz von 5 ist 0,04?
Hilfe 2
Achte auf das Vorzeichen vor x im Exponenten.
Lösung zeigen
a) Gleiche Basis auf beiden Seiten: Exponenten vergleichen, dann lineare Gleichung.
32 = 25, also 3x − 1 = 5
3x = 6 ⇒ x = 2
b) Der ganze Exponent ist der Logarithmus, danach linear lösen.
2x − 3 = ln 10 ⇒ 2x = 3 + ln 10
x = (3 + ln 10) : 2; x ≈ 2,6513
c) Rechte Seite als Potenz der Basis schreiben; der Exponent enthält ein Minus vor x.
0,04 = 125 = 5−2, also 1 − x = −2
x = 3
2.4Zwei Potenzen
Löse die Gleichungen durch eine Substitution. Gib die Substitution an.
a) 32x − 12 · 3x + 27 = 0
Hilfe 1
Wie lässt sich 32x mit 3x ausdrücken?
Hilfe 2
Was entsteht, wenn du 3x durch u ersetzt?
Hilfe 3
Aus jedem u-Wert wird wieder eine Exponentialgleichung.
b) e2x − 7 · ex + 10 = 0
Hilfe 1
Setze u = ex.
Hilfe 2
Die quadratische Gleichung lässt sich mit dem Satz von Vieta oder der pq-Formel lösen.
Hilfe 3
Aus ex = u folgt x mit dem natürlichen Logarithmus.
Lösung zeigen
a) Dieselbe Basis in zwei Potenzen, eine mit doppeltem Exponenten: Substitution.
Substitution u = 3x: u² − 12u + 27 = 0
(u − 3) · (u − 9) = 0 ⇒ u = 3 oder u = 9
3x = 3 und 3x = 9: x = 1 und x = 2
b) Wie a), aber mit e und gerundeten Lösungen.
Substitution u = ex: u² − 7u + 10 = 0
(u − 2) · (u − 5) = 0 ⇒ u = 2 oder u = 5
ex = 2 und ex = 5: x ≈ 0,6931 und x ≈ 1,6094
2.5Substitution zeigen
Gegeben ist die Gleichung 22x + 1 − 10 · 2x + 8 = 0.
a) Zeige, dass die Substitution u = 2x auf die Gleichung u² − 5u + 4 = 0 führt.
Hilfe 1
Wie lässt sich 22x + 1 in zwei Faktoren zerlegen?
Hilfe 2
Mit dem Potenzgesetz am+n = am · an und 22x = (2x)².
b) Bestimme mit dieser Gleichung alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Hilfe 1
Löse zuerst die quadratische Gleichung.
Hilfe 2
Welche u-Werte sind zulässig?
Hilfe 3
Aus jedem zulässigen u-Wert wird eine Exponentialgleichung.
Lösung zeigen
a) „Zeigen Sie“: die Umformung vollständig hinschreiben, das Ergebnis steht schon da.
22x + 1 = 2 · 22x = 2 · (2x)² = 2u²
2u² − 10u + 8 = 0 | : 2 ⇔ u² − 5u + 4 = 0
b) Mit gegebener quadratischer Gleichung weiterrechnen, dann Rücksubstitution.
u² − 5u + 4 = (u − 1) · (u − 4) = 0 ⇒ u = 1 oder u = 4
2x = 1 ⇒ x = 0; 2x = 4 ⇒ x = 2
Beide u-Werte sind positiv. Die Gleichung hat die Lösungen x = 0 und x = 2.
Ohne Taschenrechner
2.6Rückwärts
a) Die Gleichung 5 · bx = 40 mit b > 0 hat die Lösung x = 3. Bestimme b.
Hilfe 1
Was passiert, wenn du x = 3 in die Gleichung einsetzt?
Hilfe 2
Welche positive Zahl ergibt hoch 3 den Wert 8?
b) Für welchen Wert von c hat die Gleichung c · 3x = 54 die Lösung x = 2?
Hilfe 1
Setze x = 2 ein.
Hilfe 2
Löse die entstehende lineare Gleichung nach c.
Lösung zeigen
a) Die Lösung ist gegeben und die Basis gesucht: Lösung einsetzen und die entstehende Gleichung lösen.
x = 3 eingesetzt: 5 · b3 = 40 ⇒ b3 = 8
b = 2
b) Lösung gegeben, Faktor gesucht.
x = 2 eingesetzt: c · 3² = 54 ⇒ 9c = 54
c = 6
2.7Am Graphen
Das Material zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = 3 · 2x − 12.
Material
a) Lies die Nullstelle von f am Graphen ab und bestätige sie durch Rechnung.
Hilfe 1
Wo schneidet der Graph die x-Achse?
Hilfe 2
Nullstelle: f(x) = 0 setzen und die Potenz isolieren.
b) Bestimme die Stelle, an der f den Wert 36 annimmt.
Hilfe 1
Setze f(x) = 36.
Hilfe 2
Danach wie in a).
c) Begründe mit dem Graphen und durch Rechnung, dass die Gleichung f(x) = −15 keine Lösung hat.
Hilfe 1
Wohin läuft der Graph für sehr kleine x?
Hilfe 2
Welche Gleichung für 2x entsteht?
Lösung zeigen
a) Am Graphen ablesen, dann durch Rechnung belegen.
Am Graphen: Nullstelle bei x = 2.
3 · 2x − 12 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2
b) Funktionswert gegeben, Stelle gesucht: Gleichung f(x) = 36.
3 · 2x − 12 = 36 ⇔ 3 · 2x = 48 ⇔ 2x = 16
x = 4
c) Wert unterhalb des Graphen: nicht erreichbar; die Rechnung zeigt es mit 2x = −1.
Der Graph liegt für alle x oberhalb von y = −12; er nähert sich dieser Höhe von oben an. Der Wert −15 wird nie erreicht.
Rechnung: 3 · 2x − 12 = −15 ⇔ 3 · 2x = −3 ⇔ 2x = −1. Eine Potenz mit Basis 2 ist positiv, es gibt keine Lösung.
2.8Mit Parameter
Gegeben ist die Gleichung 5 · 2x = a − 10 mit einer reellen Zahl a.
a) Bestimme alle Werte von a, für die die Gleichung keine Lösung hat, und begründe deine Antwort.
Hilfe 1
Isoliere die Potenz.
Hilfe 2
Welche Werte kann 2x überhaupt annehmen?
b) Bestimme a so, dass die Gleichung die Lösung x = 3 hat.
Hilfe 1
Setze x = 3 ein.
Hilfe 2
Löse die entstehende Gleichung nach a.
Lösung zeigen
a) Keine Lösung heißt: die Potenz soll eine Zahl ≤ 0 werden.
2x = (a − 10) : 5. Eine Potenz mit Basis 2 ist immer positiv.
Keine Lösung, wenn (a − 10) : 5 ≤ 0, also a ≤ 10.
b) Lösung gegeben, Parameter gesucht.
x = 3 eingesetzt: 5 · 23 = a − 10 ⇒ 40 = a − 10
a = 50
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Kapital von 2 500 € wächst mit 3 % pro Jahr. Nach wie vielen Jahren sind es 4 000 €? (2) Die Konzentration eines Medikaments im Blut beschreibt c(t) = 12 · e−0,2t in mg pro Liter (t in Stunden). Wann ist sie auf 2 mg pro Liter gesunken? (3) Die Zahl der Bakterien einer Kultur beschreibt N(t) = 800 · 1,5t (t in Tagen). Wann hat sie sich verdoppelt?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Welcher Wert der Funktion ist erreicht, wenn die Frage beantwortet ist?
Hilfe 2
Bei Frage (1): Welche Funktion beschreibt das Kapital mit 3 % Zinsen pro Jahr?
Hilfe 3
Bei Frage (3): „verdoppelt“ ist doppelt so viel wie am Anfang. Welcher Wert ist das?
b) Die Zahl der Bakterien in einer Kultur beschreibt B(t) = 2 000 · e0,3t (t in Tagen seit Beobachtungsbeginn). Wann hat sich die Zahl der Bakterien verdreifacht? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der Zeitpunkt, an dem B(t) = … ist. 2. Was nicht dasteht: Der Anfangswert ist B(0) = …, verdreifacht heißt also … 3. Rechnen: 2 000 · e0,3t = …; e0,3t = …; 0,3t = …; t ≈ … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„verdreifacht“: Dreifaches wovon?
Hilfe 2
Wie groß ist die Zahl der Bakterien zu Beginn, also bei t = 0?
Hilfe 3
Zuerst die Potenz allein auf eine Seite bringen, dann ln anwenden.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Gleichungen: Zielwert gegeben (1), Zielwert gegeben (2), Zielwert aus „verdoppelt“ ablesen (3).
(1) Gesucht ist die Zeit t mit K(t) = 4 000, wobei K(t) = 2 500 · 1,03t. Ansatz: 2 500 · 1,03t = 4 000, dann isolieren und logarithmieren.
(2) Gesucht ist die Zeit t mit c(t) = 2. Ansatz: 12 · e−0,2t = 2, dann e−0,2t isolieren und mit ln lösen.
(3) Gesucht ist die Zeit t, in der N(t) auf das Doppelte des Anfangswerts, also 1 600, gestiegen ist. Ansatz: 800 · 1,5t = 1 600, also 1,5t = 2.
b) „verdreifacht“ heißt: dreimal so viel wie am Anfang. Der Zielwert steht nicht da und wird aus B(0) berechnet.
1. Gefragt ist der Zeitpunkt, an dem B(t) = 3 · B(0) ist.
4. Nach etwa 3,7 Tagen hat sich die Zahl der Bakterien verdreifacht.
5. B(3,7) = 2 000 · e0,3 · 3,7 ≈ 6 069, das sind rund das Dreifache von 2 000. Das passt.
3.2Schmerzmittel
Nach der Einnahme eines Schmerzmittels beschreibt c(t) = 12 · e−0,28t die Konzentration im Blut in mg pro Liter (t in Stunden nach der Einnahme, 0 ≤ t ≤ 12). Das Mittel wirkt, solange die Konzentration mindestens 4 mg pro Liter beträgt. Das Material zeigt den Graphen von c und die Gerade y = 4.
Material
a) Bestimme, wie lange das Mittel nach der Einnahme wirkt.
Hilfe 1
Wann hört die Wirkung auf: bei welchem Wert von c?
Hilfe 2
Setze c(t) = 4 und isoliere die Potenz.
Hilfe 3
Liegt der Graph vor oder nach dieser Stelle über 4?
b) Berechne die Halbwertszeit des Mittels und erläutere ihre Bedeutung.
Hilfe 1
Welcher Wert ist die Hälfte von c(0)?
Hilfe 2
Setze c(t) gleich diesem Wert.
Hilfe 3
Gilt die Aussage nur ab der Einnahme oder von jedem Zeitpunkt aus?
c) Ein Patient sagt: „Nach der doppelten Zeit aus Teilaufgabe a) hat sich die Konzentration von 4 auf 2 mg pro Liter halbiert.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
In der Zeit aus a) sinkt c von 12 auf 4. Um welchen Faktor?
Hilfe 2
Was passiert beim Verdoppeln der Zeit mit dem Exponenten?
Hilfe 3
Setze die doppelte Zeit in c ein.
Lösung zeigen
a) „wirkt, solange mindestens“: Gleichung c(t) = 4 lösen, dann am Verlauf prüfen, auf welcher Seite die Wirkung gilt.
Die Wirkung endet, wenn c(t) = 4 wird: 12 · e−0,28t = 4 ⇔ e−0,28t = 13
−0,28t = ln(13) ≈ −1,0986 ⇒ t ≈ 3,92
c fällt, also ist c(t) ≥ 4 für 0 ≤ t ≤ 3,92. Das Mittel wirkt etwa 3,9 Stunden lang.
b) Halbwertszeit: Zeit bis zum halben Anfangswert; die Bedeutung gilt für jeden Startzeitpunkt.
Nach etwa 2,5 Stunden ist die Konzentration auf die Hälfte gesunken, und zwar von jedem Wert aus: Nach weiteren 2,5 Stunden hat sie sich wieder halbiert.
c) Doppelte Zeit heißt doppelter Exponent: Das Ergebnis ist das Quadrat des Faktors, nicht das Doppelte der Änderung.
Nach der doppelten Zeit 2 · 3,92 ≈ 7,85 Stunden gilt c = 12 · (e−0,28 · 3,92)² = 12 · (13)² = 12 : 9.
c ≈ 1,33 mg pro Liter, nicht 2 mg pro Liter. Die Aussage ist falsch.
In jedem Zeitraum von 3,92 Stunden sinkt die Konzentration auf ein Drittel, nicht um denselben Betrag.
3.3Sparbrief
Ein Sparbrief über 4 000 € wird mit 3,5 % pro Jahr verzinst. Die Zinsen werden dem Sparbrief gutgeschrieben. Mit t ist die Zeit in Jahren seit dem Kauf bezeichnet, K(t) ist der Wert in Euro. Gebühren und Steuern bleiben unberücksichtigt.
a) Stelle eine Funktionsgleichung für K auf und berechne, nach wie vielen vollen Jahren der Sparbrief erstmals mehr als 6 000 € wert ist.
Hilfe 1
Welcher Faktor gehört zu 3,5 % Zinsen pro Jahr?
Hilfe 2
Der Zielwert steht in der Aufgabe. Setze K(t) gleich diesem Wert.
Hilfe 3
Ist das Ergebnis eine ganze Zahl? „Nach vollen Jahren“ verlangt ganze Jahre: Setze die beiden benachbarten ganzen Jahre ein.
b) Im selben Sachzusammenhang wurde gerechnet: ln 2 : ln 1,035 ≈ 20,1. Gib an, welche Größe damit bestimmt wurde, und erläutere, was das Ergebnis für den Käufer bedeutet.
Hilfe 1
Welche Gleichung hat die Lösung ln 2 : ln 1,035?
Hilfe 2
Was steht in dieser Gleichung für den Anfangswert, und hängt das Ergebnis davon ab?
Lösung zeigen
a) 3,5 % pro Jahr heißt Faktor 1,035. „Nach vollen Jahren“: ganzzahlige Jahre prüfen, nicht auf 11 abrunden.
Probe mit vollen Jahren: K(11) ≈ 5 840 € ist noch zu wenig, K(12) ≈ 6 044 € reicht.
Nach 12 vollen Jahren ist der Sparbrief erstmals mehr als 6 000 € wert.
b) Eine fertige Rechnung: aus ln b : ln a die Gleichung at = b zurückgewinnen und im Sachzusammenhang deuten.
Es gilt 1,035t = 2. Die Rechnung bestimmt die Zeit, nach der sich der Wert des Sparbriefs verdoppelt hat.
Der Sparbrief ist nach etwa 20,1 Jahren doppelt so viel wert wie beim Kauf (8 000 €), unabhängig davon, wie viel Geld am Anfang angelegt wurde.
3.4Wasserlinsen
Auf einem Teich breiten sich Wasserlinsen aus. Die bedeckte Fläche beschreibt F(t) = et + 6 · e0,5t in m² (t in Wochen seit Beobachtungsbeginn, 0 ≤ t ≤ 5).
a) Bestimme, nach wie vielen Wochen die Wasserlinsen 27 m² bedecken.
Hilfe 1
Wie hängen et und e0,5t zusammen?
Hilfe 2
Setze u = e0,5t.
Hilfe 3
Prüfe jeden u-Wert: Welche kommen für e0,5t in Frage?
b) Erläutere, warum der zweite u-Wert aus Teilaufgabe a) keine Lösung der Gleichung liefert.
Hilfe 1
Kann e0,5t negativ sein?
Hilfe 2
Welche Aussage folgt für e0,5t = −9?
c) Zeige, dass die bedeckte Fläche im Beobachtungszeitraum zu keinem Zeitpunkt genau 5 m² beträgt.
Hilfe 1
Welche Gleichung für u entsteht?
Hilfe 2
Welche u-Werte sind zulässig?
Hilfe 3
Liegt das berechnete t im genannten Zeitraum?
Lösung zeigen
a) Zwei Exponentialterme mit et und e0,5t: Das Potenzgesetz et = (e0,5t)² führt auf die Substitution.
et = (e0,5t)². Substitution u = e0,5t: u² + 6u = 27 ⇔ u² + 6u − 27 = 0
(u − 3) · (u + 9) = 0 ⇒ u = 3 oder u = −9
u = 3: e0,5t = 3 ⇒ 0,5t = ln 3 ⇒ t = 2 ln 3 ≈ 2,20
Nach etwa 2,2 Wochen sind 27 m² bedeckt.
b) Negativer u-Wert: Begründung über die Positivität der Exponentialfunktion.
u = e0,5t ist für jedes t positiv. Der Wert u = −9 ist negativ, die Gleichung e0,5t = −9 hat keine Lösung.
c) „im Beobachtungszeitraum“: eine rechnerisch gültige Lösung kann außerhalb des Bereichs liegen.
et + 6 · e0,5t = 5 ⇔ u² + 6u − 5 = 0 mit u = e0,5t
u = −3 + √14 ≈ 0,742 oder u = −3 − √14 < 0. Nur u ≈ 0,742 ist zulässig.
e0,5t ≈ 0,742 ⇒ t ≈ −0,60. Das liegt vor dem Beobachtungsbeginn (t < 0), also nicht im Zeitraum 0 ≤ t ≤ 5.
Alternativ: F(0) = 1 + 6 = 7 > 5, und F ist als Summe zweier wachsender Terme streng monoton steigend. Also gilt F(t) ≥ 7 > 5 für alle t ≥ 0.
3.5Jod-131
Radioaktives Jod-131 aus der Nuklearmedizin hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen. Der Anteil, der von einer Probe nach t Tagen noch vorhanden ist, beschreibt A(t) = 0,5t/8 (A(t) als Dezimalzahl, A(0) = 1).
a) Berechne, nach wie vielen Tagen nur noch 10 % der Probe vorhanden sind.
Hilfe 1
Wie schreibt man 10 % als Dezimalzahl?
Hilfe 2
Logarithmiere zur Basis 0,5.
Hilfe 3
Der Logarithmus ist t8, nicht t.
b) Ein Mitarbeiter lagert den Abfall 80 Tage und sagt: „Danach ist weniger als ein Promille vorhanden, also nichts mehr.“ Prüfe den ersten Teil der Aussage und beurteile den zweiten.
Hilfe 1
Wie viele Halbwertszeiten sind 80 Tage?
Hilfe 2
Ein Promille als Dezimalzahl: Wie groß ist es?
Hilfe 3
Kann eine Potenz mit Basis 0,5 null sein?
Lösung zeigen
a) 10 % als Dezimalzahl: A(t) = 0,1. Der Exponent t8 muss nach dem Logarithmieren mit 8 multipliziert werden.
10 % entsprechen A(t) = 0,1: 0,5t/8 = 0,1
t8 = log0,5(0,1) ≈ 3,3219 ⇒ t ≈ 26,6
Nach etwa 26,6 Tagen sind noch 10 % vorhanden.
b) „weniger als ein Promille“ ist eine Schwelle, „nichts mehr“ wäre null: Das Modell erreicht null nie.
A(80) = 0,580/8 = 0,510 = 11 024 ≈ 0,00098
Das sind 0,098 % und damit weniger als 1 Promille (0,1 %).
„Also nichts mehr“ stimmt nicht: 0,5t/8 ist für jedes t positiv. Der Anteil wird nie null, er unterschreitet nur jede Schwelle.
Klausuraufgabe
4.1Algenmittel
In einem Becken wird die Wirkung eines Algenmittels untersucht. Ohne Mittel beschreibt A(t) = 60 · e0,3t die Zahl der Algenzellen in Tausend pro Milliliter (t in Tagen seit Beobachtungsbeginn). Mit dem Mittel beschreibt B(t) = 60 · e0,3t − 2 · e0,6t diese Zahl, solange B(t) ≥ 0 ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von B.
Abbildung
a) Berechne, nach wie vielen Tagen die Zellzahl ohne Mittel 600 Tausend pro Milliliter erreicht.2 BE
Hilfe 1
Setze A(t) gleich dem gegebenen Wert.
Hilfe 2
Isoliere die Potenz und wende dann ln an.
b) Die Zellzahl ohne Mittel verdoppelt sich in gleichen Zeitabständen. Bestimme diesen Zeitabstand und begründe, dass er nicht von der Zellzahl zu Beginn abhängt.3 BE
Hilfe 1
Welcher Wert ist doppelt so groß wie A(0)?
Hilfe 2
Was passiert mit dem Faktor 60, wenn du die Gleichung durch ihn teilst?
c) Zeige rechnerisch, dass die Zellzahl mit Mittel nach etwa 11,3 Tagen auf null sinkt.3 BE
Hilfe 1
Setze B(t) = 0. Wie hängen e0,6t und e0,3t zusammen?
Hilfe 2
Substituiere u = e0,3t und klammere aus.
Hilfe 3
Welcher u-Wert ist unmöglich?
d) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Zellzahl mit Mittel am größten ist, und gib die größte Zellzahl an. Hinweis: B″(t) = 5,4 · e0,3t − 0,72 · e0,6t darf ohne Nachweis verwendet werden.4 BE
Hilfe 1
Notwendige Bedingung: Was gilt für B′ am Hochpunkt?
Hilfe 2
Klammere e0,3t aus.
Hilfe 3
Setze die Stelle in B″ ein. Was sagt das Vorzeichen?
e) Beschreibe anhand der Abbildung und deiner Ergebnisse aus den Teilaufgaben c) und d) den Verlauf der Zellzahl mit Mittel im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Wo steigt der Graph, wo fällt er?
Hilfe 2
Welche Zeiten und Werte hast du aus c) und d)?
Lösung zeigen
a) Zeitpunkt zu gegebenem Wert: Gleichung A(t) = 600, Potenz isolieren, ln.
A(t) = 600 ⇔ 60 · e0,3t = 600 ⇔ e0,3t = 10
0,3t = ln 10 ⇒ t ≈ 7,68. Nach etwa 7,7 Tagen.
b) Verdopplungszeit: Zielwert ist das Doppelte, der Anfangswert kürzt sich heraus.
Ausgehend vom Beginn: A(t) = 120 ⇔ e0,3t = 2 ⇒ t = ln 2 : 0,3 ≈ 2,31 Tage.
Allgemein: Mit Anfangswert a gilt a · e0,3t = 2a ⇔ e0,3t = 2. Der Anfangswert a kürzt sich heraus, also ist der Zeitabstand ≈ 2,3 Tage für jeden Anfangswert.
c) Null setzen, e0,6t = (e0,3t)² erkennen, Substitution oder Ausklammern.
B(t) = 0 ⇔ 60 · e0,3t = 2 · e0,6t. Mit u = e0,3t ist e0,6t = u², also 60u − 2u² = 0 ⇔ 2u · (30 − u) = 0.
u = 0 ist unmöglich (u > 0), also u = 30: e0,3t = 30 ⇒ t = ln 30 : 0,3 ≈ 11,34.
Nach etwa 11,3 Tagen ist die Zellzahl mit Mittel null.
d) „am größten“: B′(t) = 0, dazu der Nachweis, dass es ein Hochpunkt ist.