Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Manche Vorgänge wiederholen sich nach einer festen Zeitspanne genau: die Höhe einer Gondel am Riesenrad, der Wasserstand im Hafen, die Tageslänge im Jahr. Solche Vorgänge beschreibst du mit Sinus und Kosinus. Der Graph besteht aus einer Welle, die sich immer wieder wiederholt. Die Länge einer Welle heißt Periode. Dieses Thema kommt ohne Ableitung aus: Hoch-, Tief- und Nullstellen findest du über die Form der Welle.
Zuerst brauchst du ein neues Winkelmaß. Statt Grad misst du den Winkel als Länge des Bogens auf dem Kreis mit Radius 1. Ein voller Umlauf hat den Umfang 2π, also gehören 360° und 2π zusammen. Das ist das Bogenmaß.
x = α : 360° · 2π α = x : 2π · 360°
0° ↔ 0, 30° ↔ π6, 45° ↔ π4, 60° ↔ π3, 90° ↔ π2
180° ↔ π, 270° ↔ 3π2, 360° ↔ 2π
Beispiel: Umrechnen
150° ins Bogenmaß: x = 150° : 360° · 2π = 5π6 ≈ 2,618
5π4 ins Gradmaß: α = (5π4) : (2π) · 360° = 225°
Stelle den Taschenrechner auf RAD. Auf DEG liefert er sin(1) ≈ 0,0175 statt 0,8415, und jede folgende Rechnung ist falsch.
✎ Mini-Aufgabe: Rechne 135° ins Bogenmaß um (als Vielfaches von π) und gib den Wert als Dezimalzahl an.
Lösung zeigen
x = 135° : 360° · 2π = 3π4 ≈ 2,356
2. Sinus und Kosinus am Einheitskreis
Drehst du den Punkt (1 | 0) um den Winkel x gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung, landet er in P(cos(x) | sin(x)). Der Kosinus ist die x-Koordinate, der Sinus die y-Koordinate.
Beide Werte liegen immer zwischen −1 und 1. sin(x) = 1,4 hat keine Lösung.
Nach einem vollen Umlauf bist du wieder am selben Punkt: sin(x + k · 2π) = sin(x) und cos(x + k · 2π) = cos(x) für ganzzahlige k. Die Periode ist 2π.
Der Sinusgraph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Kosinusgraph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Beide Graphen sind gegeneinander verschoben: sin(x) = cos(x − π2).
x
0
π2
π
3π2
2π
sin(x)
0
1
0
−1
0
cos(x)
1
0
−1
0
1
✎ Mini-Aufgabe: Gib alle Nullstellen von f(x) = cos(x) im Intervall von 0 bis 2π an.
Lösung zeigen
cos(x) = 0 bei x = π2 und x = 3π2 (x-Koordinate des Punktes auf dem Kreis ist null, ganz oben und ganz unten).
3. Die allgemeine Sinusfunktion
Aus der Grundwelle wird mit vier Zahlen jede Schwingung. Die Logik kennst du von der Parabel: strecken und verschieben.
f(x) = a · sin( b · (x − c) ) + d
a ist die Amplitude: der Abstand zwischen Mittellinie und Hochpunkt. Bei negativem a ist die Welle gespiegelt.
b staucht oder streckt in x-Richtung. Die Periode ist p = 2π : b. Ein größeres b macht die Welle enger.
c verschiebt die Welle nach rechts, d nach oben. Die Gerade y = d ist die Mittellinie.
Beispiel: f(x) = 3 · sin(2 · (x − 1)) + 5
Amplitude 3, Periode p = 2π : 2 = π ≈ 3,14, Mittellinie y = 5. Die Werte liegen zwischen 2 und 8.
Der Sinus steigt an der Stelle c durch die Mittellinie. Der erste Hochpunkt liegt eine Viertelperiode später: x = 1 + π4 ≈ 1,79, H(1 + π4 | 8).
Der erste Tiefpunkt liegt drei Viertelperioden nach c: x = 1 + 3π4 ≈ 3,36, T(1 + 3π4 | 2).
Oben die Grundfunktionen sin(x) und cos(x). Unten f(x) = 3 · sin(2 · (x − 1)) + 5 mit Mittellinie y = 5: gleiche Form, aber enger (Periode π), höher und nach rechts verschoben.
✎ Mini-Aufgabe: Gib für f(x) = 2 · sin(4x) − 1 die Amplitude, die Periode und die Mittellinie an.
Lösung zeigen
Amplitude 2, Periode p = 2π : 4 = π2 ≈ 1,57, Mittellinie y = −1.
4. Gleichungen mit Sinus und Kosinus lösen
Die Taste für arcsin oder arccos liefert dir nur eine Lösung. Wegen der Symmetrie gibt es im Intervall von 0 bis 2π meist eine zweite: sin(x) = sin(π − x) und cos(x) = cos(2π − x).
Beispiel: sin(x) = 0,5 im Intervall von 0 bis 2π
1. Lösung (Taschenrechner, RAD): x = π6 ≈ 0,5236
2. Lösung über die Symmetrie: x = π − π6 = 5π6 ≈ 2,6180
Alle Lösungen: x = π6 + k · 2π oder x = 5π6 + k · 2π, k ganzzahlig
Beispiel: 3 · sin(2x) = 1,5 im Intervall von 0 bis 2π
sin(2x) = 0,5, also 2x = π6 + k · 2π oder 2x = 5π6 + k · 2π
Das Intervall für 2x geht von 0 bis 4π, also kommen zwei Umläufe zusammen: 2x = π6, 5π6, 13π6, 17π6
Erst jetzt durch 2 teilen: x = π12, 5π12, 13π12, 17π12
✎ Mini-Aufgabe: Löse cos(x) = −0,5 im Intervall von 0 bis 2π.
Lösung zeigen
x = 2π3 und x = 4π3 (cos(2π − 2π3) = cos(2π3)).
5. Periodische Vorgänge modellieren
Für ein Modell brauchst du den Hochpunkt (xH | yH) und den Tiefpunkt (xT | yT) einer Welle. Die Kosinusform ist am bequemsten: Der Kosinus hat seinen Hochpunkt genau bei x = c.
a = (yH − yT) : 2 d = (yH + yT) : 2 p = 2 · |xT − xH| b = 2π : p
f(x) = a · cos( b · (x − xH) ) + d
Beispiel: Hochpunkt (3 | 14), Tiefpunkt (9 | 6)
a = (14 − 6) : 2 = 4, d = (14 + 6) : 2 = 10, p = 2 · |9 − 3| = 12, b = 2π : 12 = π6
f(x) = 4 · cos((π6) · (x − 3)) + 10
Kontrolle: f(9) = 4 · cos(π) + 10 = 6, das ist der Tiefpunkt.
Willst du die Sinusform, rückst du um eine Viertelperiode zurück: c = xH − p4.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Vorgang hat den Tiefpunkt (1 | 2) und den nächsten Hochpunkt (4 | 8). Bestimme a, d, p und b und stelle die Gleichung in der Kosinusform auf.
eine Umdrehung dauert, eine Welle dauert, wiederholt sich alle …
Periode p
b = 2π : p, nicht p oder 2π · p
Durchmesser, Schwankung von … bis …, Höchst- und Tiefstwert
Amplitude a = halber Abstand
Der Durchmesser ist 2a.
Nabe, Mittelwert, durchschnittlich, Ruhelage
Mittellinie y = d
d ist die Mitte, nicht der Höchstwert.
wann ist … erstmals
kleinste positive Lösung der Gleichung
Zweite Lösung nicht verwechseln.
wie lange über oder unter einem Wert
zwei Lösungen, der Graph liegt dazwischen oder außerhalb
Dauer = Differenz der Zeitpunkte
wie oft pro Umlauf oder Zeitraum
so viele Lösungen im Intervall, wie der Graph den Wert erreicht
Im Hoch- und Tiefpunkt nur eine Lösung.
am schnellsten steigt, am schnellsten fällt
Stelle auf der Mittellinie, dort ist die Welle am steilsten
Ohne Ableitung: Mitte zwischen Tief- und Hochpunkt.
7. Was nirgends steht
Der Taschenrechner steht auf RAD, sonst stimmt nichts.
Eine Gleichung hat in einer Periode meist zwei Lösungen. Der Rechner nennt nur eine.
Beginnt der Zeitraum im Hoch- oder Tiefpunkt, kann eine Lösungsmenge in zwei Stücken auftreten: am Anfang und am Ende.
Steht x oder t im Klammerinhalt mit Faktor b, läuft der Klammerinhalt über b mal so viele Perioden. Dann gibt es mehr Lösungen.
Zeitpunkte in Uhrzeit oder Datum umrechnen, wenn die Aufgabe danach fragt.
Wertebereich: sin und cos bleiben zwischen −1 und 1. Bei a · sin(…) + d bleibt f zwischen d − a und d + a.
8. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Die Temperatur in einem Gewächshaus wird durch T(t) = 4 · sin((π12) · (t − 8)) + 16 beschrieben (t in Stunden seit Mitternacht, 0 ≤ t ≤ 24, T(t) in °C). Wann liegt sie über 18 °C?
Was ist gefragt? Der Zeitraum, in dem T(t) > 18 gilt.
Was steht nicht da? Es gibt zwei Grenzzeitpunkte, und dazwischen liegt der Graph über 18 °C. Die Dauer ist die Differenz.
Rechnen 4 · sin(u) + 16 = 18 ⇔ sin(u) = 0,5 mit u = (π12) · (t − 8). u = π6 ⇒ t − 8 = 2 ⇒ t = 10. u = 5π6 ⇒ t − 8 = 10 ⇒ t = 18.
Antwortsatz Von 10 Uhr bis 18 Uhr, also 8 Stunden lang, liegt die Temperatur über 18 °C.
a) Bestimme b > 0 so, dass die Funktion f mit f(x) = sin(b · x) die Periode 8 hat.
Hilfe 1
Wie hängt die Periode von b ab?
b) Bestimme c mit 0 ≤ c < 2π so, dass der Graph von g mit g(x) = sin(x − c) durch den Punkt P(π | 1) verläuft.
Hilfe 1
Setze P in g ein.
Hilfe 2
Wann ist der Sinus gleich 1?
Lösung zeigen
a) Periode vorgegeben: Formel nach b auflösen.
p = 2π : b = 8 ⇔ b = 2π : 8 = π4
b) Punkt einsetzen und die Gleichung für den Sinus lösen.
sin(π − c) = 1. Der Sinus ist 1 bei π2 (und allen Stellen π2 + k · 2π).
π − c = π2, also c = π2. Im Bereich 0 ≤ c < 2π ist das die einzige Lösung.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Die Höhe h(t) einer Riesenradgondel über dem Boden schwankt periodisch (t in min seit dem Einstieg am tiefsten Punkt). Wann ist die Gondel erstmals 30 m hoch? (2) Der Wasserstand w(t) in einem Hafenbecken schwankt periodisch (t in Stunden). Wie lange liegt er innerhalb einer Periode über 3 m? (3) Die Auslenkung s(t) einer Feder schwankt periodisch (t in s). Wie oft schwingt die Feder in 60 s?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Wird ein Wert gesucht, ein Zeitraum oder eine Periode?
Hilfe 2
„erstmals“ fragt nach der kleinsten positiven Lösung einer Gleichung.
Hilfe 3
Bei (3): Welche Größe sagt, wie lange eine Schwingung dauert?
b) Der Wasserstand in einem Hafenbecken wird durch h(t) = 2 · cos((π6) · t) + 5 beschrieben (t in Stunden seit dem letzten Hochwasser, 0 ≤ t ≤ 12, h(t) in m). Ein Frachter darf nur einlaufen, solange der Wasserstand mindestens 6 m beträgt. Wie lange darf er im Zeitraum von t = 0 bis t = 12 einlaufen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Dauer, in der … 2. Was nicht dasteht: Der Zeitraum beginnt und endet im …, also gibt es … 3. Rechnen: 2 · cos((π6) · t) + 5 = 6 ⇔ cos(…) = … ⇔ (π6) · t = … oder … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Größe ist mindestens 6 m?
Hilfe 2
Welche Gleichung liefert die Grenzen?
Hilfe 3
Wo liegt der Graph von h bei t = 0, und wie geht es dort weiter?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: erste Lösung, Zeitraum zwischen zwei Lösungen, Periode.
(1) Gesucht ist die kleinste positive Zeit mit h(t) = 30. Ansatz: Gleichung h(t) = 30 lösen, die kleinste positive Lösung nehmen.
(2) Gesucht ist die Dauer, in der w(t) > 3 gilt. Ansatz: w(t) = 3 lösen (zwei Lösungen pro Periode), die Dauer ist die Differenz der beiden Zeitpunkte.
(3) Gesucht ist die Zahl der Perioden in 60 s. Hier wird nichts gelöst: Ansatz ist die Periode p, dann 60 : p.
b) „mindestens 6 m“ heißt h(t) ≥ 6; der Zeitraum beginnt im Hochwasser. Die Stücke am Anfang und am Ende gehören zusammen.
1. Gefragt ist die Dauer, in der h(t) ≥ 6 gilt.
2. Der Zeitraum beginnt und endet im Hochwasser (h(0) = h(12) = 7). Der Wasserstand ist zu Beginn und am Ende hoch, also gibt es zwei Teilzeiträume.
3. 2 · cos((π6) · t) + 5 = 6 ⇔ cos((π6) · t) = 0,5 ⇔ (π6) · t = π3 oder (π6) · t = 5π3, also t = 2 oder t = 10
4. Von t = 0 bis t = 2 und von t = 10 bis t = 12 liegt der Wasserstand bei mindestens 6 m. Der Frachter darf insgesamt 4 Stunden einlaufen.
Ein Riesenrad hat einen Durchmesser von 60 m, seine Nabe liegt 40 m über dem Boden. Eine Umdrehung dauert 20 min. Für die Höhe einer Gondel gilt h(t) = 40 − 30 · cos((π10) · t); t ist die Zeit in min seit dem Einstieg am tiefsten Punkt (0 ≤ t ≤ 40), h(t) die Höhe über dem Boden in m. Das Material zeigt den Graphen von h und die Gerade y = 55.
Material
a) Bestimme, nach welcher Zeit die Gondel erstmals 55 m über dem Boden ist.
Hilfe 1
Welche Gleichung beschreibt „55 m über dem Boden“?
Hilfe 2
Löse die Gleichung nach dem Kosinus auf.
Hilfe 3
Welche der beiden Lösungen ist die frühere?
b) Bestimme, wie lange die Gondel bei einer Umdrehung höher als 55 m über dem Boden ist.
Hilfe 1
Welche Ungleichung steht in der Aufgabe?
Hilfe 2
Wie viele Lösungen hat h(t) = 55 in einer Umdrehung?
Hilfe 3
Wo liegt der Graph oberhalb der Geraden?
c) Die Gondel durchfährt bei einer Umdrehung zweimal die Nabenhöhe. Bestimme beide Zeitpunkte und erläutere den Unterschied der beiden Durchgänge.
Hilfe 1
Welche Höhe hat die Nabe?
Hilfe 2
Zwei Lösungen pro Umdrehung: Was unterscheidet sie am Graphen?
d) Ein Fahrgast sagt: „Das Rad dreht sich gleichmäßig, also steigt meine Gondel in jeder Zeitspanne von zwei min gleich viel.“ Beurteile die Aussage mit den Zeiträumen von t = 0 bis t = 2 und von t = 4 bis t = 6.
Der Kosinus ist −0,5 bei 2π3 und 4π3. Erstmals bei (π10) · t = 2π3, also t = 203 ≈ 6,67.
Nach etwa 6,67 min ist die Gondel erstmals 55 m hoch.
b) „wie lange höher als“: Differenz der beiden Lösungen, nicht eine Lösung.
Die Gondel ist höher als 55 m, solange h(t) > 55 gilt. Im Material liegt der Graph zwischen den beiden Lösungen von h(t) = 55 über der Geraden y = 55.
Lösungen: t = 203 und t = 403 (der Kosinus ist −0,5 bei 2π3 und 4π3).
Dauer: 403 − 203 = 203 ≈ 6,67. Die Gondel ist in jeder Umdrehung rund 6,67 min höher als 55 m.
c) Nabenhöhe = Mittellinie y = d.
Nabenhöhe 40 m: h(t) = 40 ⇔ cos((π10) · t) = 0 ⇔ (π10) · t = π2 oder 3π2, also t = 5 oder t = 15.
Bei t = 5 steigt die Gondel (Aufwärtsfahrt), bei t = 15 sinkt sie (Abwärtsfahrt). Der Graph geht dort einmal von unten nach oben, einmal von oben nach unten durch die Mittellinie.
d) Gleichmäßige Drehung heißt nicht gleichmäßige Höhenänderung.
Anstieg von t = 0 bis 2: h(2) − h(0) ≈ 5,73 m. Anstieg von t = 4 bis 6: h(6) − h(4) ≈ 18,54 m.
Die Aussage ist falsch. Die Drehung ist gleichmäßig, der Graph ist aber eine Welle, die in der Nähe der Mittellinie am steilsten ist.
3.3Tageslänge
In einer Stadt dauert der längste Tag am 21. Juni (172. Tag des Jahres) 16,4 Stunden, der kürzeste am 21. Dezember (355. Tag) 8,0 Stunden. Die Tageslänge T(t) in Stunden wird durch T(t) = a · cos(b · (t − c)) + d beschrieben; t ist der Tag des Jahres (1 ≤ t ≤ 365). Ein Jahr hat 365 Tage, Schaltjahre bleiben unberücksichtigt. Das Modell hat die Periode von einem Jahr (365 Tage); die Angabe zum 355. Tag ist auf ganze Tage gerundet.
a) Stelle die Funktionsgleichung von T auf (b auf vier Nachkommastellen gerundet).
Hilfe 1
Wie berechne die Amplitude aus längstem und kürzestem Tag?
Hilfe 2
Die Periode ist ein Jahr, in Tagen.
Hilfe 3
Wo liegt der Hochpunkt des Kosinus?
b) Berechne die Tageslänge am 21. März (t = 80) und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Setze t = 80 ein, Rechner auf RAD.
Hilfe 2
Wie lang ist die Nacht, wenn der Tag 12,15 Stunden dauert?
c) Bestimme, an welchen Tagen des Jahres die Tageslänge im Modell genau 14 Stunden beträgt. Gib auch das Datum an.
Hilfe 1
Löse T(t) = 14 zuerst nach dem Kosinus auf.
Hilfe 2
Der Kosinus hat zu jedem Wert zwei Lösungen im Umlauf.
Hilfe 3
Wie wandelst du t in ein Datum um? Januar hat 31, Februar 28, März 31 Tage.
d) Beurteile, ob ein Modell mit a = 4,2 für einen Ort am Äquator und für einen Ort am Nordpol geeignet ist.
Hilfe 1
Wie lang ist ein Tag am Äquator im Jahresverlauf?
Hilfe 2
Welche Werte kann die Tageslänge überhaupt annehmen?
Lösung zeigen
a) Hoch- und Tiefpunkt gegeben: a, d, b, c nach den Formeln der Kosinusform.
a = (16,4 − 8,0) : 2 = 4,2; d = (16,4 + 8,0) : 2 = 12,2; p = 365 (Vorgabe, der Tiefpunkt liegt bei 172 + 182,5 = 354,5 ≈ 355); b = 2π : 365 ≈ 0,0172; c = 172
T(t) = 4,2 · cos(0,0172 · (t − 172)) + 12,2
b) Einsetzen, dann das Ergebnis mit einer bekannten Tatsache vergleichen.
Taschenrechner (RAD): 0,0172 · (t − 172) = 1,1279 oder −1,1279, also t − 172 ≈ 65,57 oder t − 172 ≈ −65,57.
t ≈ 237,57 oder t ≈ 106,43: der 238. Tag (26. August) und der 106. Tag (16. April). Mit ungerundetem b ergeben sich dieselben Tage.
d) Parameter gelten nur für den Ort der Daten.
Am Äquator ist die Tageslänge das ganze Jahr etwa 12 Stunden. Die Amplitude müsste nahezu 0 sein, a = 4,2 ist zu groß.
Am Nordpol gibt es Polartag (24 Stunden) und Polarnacht (0 Stunden). Die Tageslänge bleibt zwischen 0 und 24 Stunden, aber über lange Zeit konstant. Eine reine Kosinuswelle mit a = 4,2 liefert nie 0 oder 24 und wechselt immer gleichmäßig, passt also nicht.
Die Amplitude ist ortsabhängig und muss neu bestimmt werden.
3.4Gezeiten
An einer Küstenstation wird der Wasserstand durch h(t) = 1,4 · cos(0,16π · (t − 2,5)) + 2 beschrieben; t ist die Zeit in Stunden seit Mitternacht (0 ≤ t ≤ 24), h(t) der Wasserstand in m. Windstau und Luftdruck bleiben unberücksichtigt.
a) Bestimme, wie viel Zeit zwischen einem Hochwasser und dem nächsten Niedrigwasser vergeht, und um wie viel m der Wasserstand dabei sinkt.
Hilfe 1
Wann ist der Kosinus am größten und am kleinsten?
Hilfe 2
Die Periode folgt aus b.
b) Um 5:00 Uhr wird ein Wasserstand von 2,3 m gemessen. Berechne h(5) und beurteile, ob das Modell brauchbar ist.
Hilfe 1
Setze t = 5 ein, Rechner auf RAD.
Hilfe 2
Wie groß ist die Abweichung im Vergleich zur Schwankung von Hoch- zu Niedrigwasser?
c) Ein Besucher sagt: „Das nächste Hochwasser nach 2:30 Uhr ist um 14:30 Uhr, die Gezeiten wiederholen sich ja alle zwölf Stunden.“ Beurteile die Aussage mit dem Modell.
Hilfe 1
Welche Periode gehört zu b = 0,16π?
Hilfe 2
Wann liegt der nächste Hochpunkt?
Lösung zeigen
a) Hochwasser = Hochpunkt, Niedrigwasser = Tiefpunkt eine halbe Periode später.
Hochwasser bei t = 2,5 mit h = 1,4 + 2 = 3,4. Die Periode ist p = 2π : (0,16π) = 12,5, ein halber Umlauf 6,25.
Niedrigwasser bei t = 2,5 + 6,25 = 8,75 mit h = 2 − 1,4 = 0,6.
Zwischen Hochwasser und Niedrigwasser vergehen 6,25 Stunden (6 h 15 min), der Wasserstand sinkt um 3,4 − 0,6 = 2,8 m.
b) Modellwert gegen Messwert, Abweichung im Verhältnis zur Schwankung beurteilen.
Die Abweichung zur Messung beträgt 0,13 m. Das sind etwa 5 % der Schwankung von 2,8 m. Das Modell ist für diesen Zeitpunkt brauchbar.
c) Die Periode steht nicht im Text, sondern in b.
Im Modell ist die Periode 12,5 Stunden, nicht 12.
Das nächste Hochwasser liegt bei t = 2,5 + 12,5 = 15, also um 15:00 Uhr. Die Aussage stimmt nicht, sie ist um eine halbe Stunde zu früh.
3.5Federpendel
Ein Gewicht hängt an einer Feder und wird 8 cm über die Ruhelage nach oben gedrückt und dann losgelassen. Die Auslenkung wird durch s(t) = 8 · cos(π · t) beschrieben; t ist die Zeit in s seit dem Loslassen, s(t) die Auslenkung in cm (positiv nach oben). Reibung bleibt unberücksichtigt.
a) Gib an, was die Zahlen 8 und π in der Gleichung für die Bewegung der Feder bedeuten und wie lange ein voller Hin- und Hergang dauert.
Hilfe 1
Welcher Parameter gibt die größte Auslenkung an?
Hilfe 2
Wie berechne die Periode aus b?
b) Bestimme alle Zeitpunkte im Zeitraum von t = 0 bis t = 6, zu denen das Gewicht in der Ruhelage ist.
Hilfe 1
Welche Gleichung beschreibt die Ruhelage?
Hilfe 2
Wo hat der Kosinus Nullstellen?
Hilfe 3
Wie viele Perioden passen in 6 s?
c) Ein Schüler schlägt vor, die Auslenkung stattdessen mit einer ganzrationalen Funktion zu modellieren. Beurteile diesen Vorschlag.
Hilfe 1
Was geschieht mit ganzrationalen Funktionen für große t?
Hilfe 2
Wie oft ist die Feder in der Ruhelage?
Lösung zeigen
a) Parameter im Sachzusammenhang deuten, Einheit nennen.
8 ist die Amplitude: Das Gewicht schwingt 8 cm über und 8 cm unter die Ruhelage.
Die Periode ist 2π : π = 2: Ein voller Hin- und Hergang dauert 2 s.
b) Nullstellen einer periodischen Funktion: eine Reihe von Lösungen, nicht nur zwei.
Ruhelage: s(t) = 0 ⇔ cos(π · t) = 0 ⇔ π · t = π2 + k · π.
t = 0,5 + k mit k = 0, 1, …, 5: t = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5; 4,5; 5,5.
Das Gewicht ist zu sechs Zeitpunkten in der Ruhelage.
c) Beschränktheit und unendlich viele Nullstellen sprechen für eine periodische Funktion.
Die Auslenkung bleibt dauernd zwischen −8 cm und 8 cm. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n ≥ 1 wächst für große t über jede Grenze (betragsmäßig).
Außerdem hat sie höchstens so viele Nullstellen wie ihr Grad. Die Feder ist aber unendlich oft in der Ruhelage. Eine ganzrationale Funktion passt für lange Zeiträume nicht.
Klausuraufgabe
4.1Wellenbecken
Im Wellenbecken eines Freibads wird die Wasserhöhe am Beckenrand gemessen. Im Modell gilt w(t) = 0,3 · sin((π4) · (t − 1)) + 1,1 für 0 ≤ t ≤ 16; t ist die Zeit in s nach dem Start der Wellenmaschine, w(t) die Höhe über dem Beckenboden in m. Die Abbildung zeigt den Graphen von w und die Gerade y = 1,25.
Abbildung
a) Gib die größte und die kleinste Wasserhöhe im Modell an.2 BE
Hilfe 1
Wie weit weicht die Höhe höchstens von der Mittellinie ab?
b) Berechne die Wasserhöhe 2 s nach dem Start.2 BE
Hilfe 1
Setze t = 2 ein.
Hilfe 2
Stelle den Rechner auf RAD.
c) Die Badaufsicht sperrt das Becken für Kinder, solange das Wasser höher als 1,25 m steht. Ermittle, wie lange die Sperre bei einer Welle dauert.4 BE
Hilfe 1
Welche Ungleichung steht in der Aufgabe?
Hilfe 2
Löse zuerst die zugehörige Gleichung.
Hilfe 3
Wie viele Lösungen hat sie in einer Periode?
d) Die Wellenmaschine soll bei jeder Welle den Wasserstand einmal steigen und einmal sinken lassen. Bestimme die Zahl der Wellen in 60 s und gib mithilfe der Abbildung einen Zeitpunkt an, zu dem das Wasser am stärksten steigt.3 BE
Hilfe 1
Wie lange dauert eine Welle?
Hilfe 2
Wo ist der Graph in der Abbildung am steilsten, und steigt er dort?
e) Im Bericht der Betreiber steht ohne Erklärung: (w(7) − w(3)) : (7 − 3) = (0,8 − 1,4) : 4 = −0,15. Gib an, welche Größe damit bestimmt wird, und erläutere das Vorzeichen.3 BE
Hilfe 1
Welche Größe steht im Zähler, welche im Nenner?
Hilfe 2
Was bedeutet ein negatives Vorzeichen?
Lösung zeigen
a) Wertebereich aus Mittellinie und Amplitude.
Mittellinie 1,1 m, Amplitude 0,3 m: größte Höhe 1,1 + 0,3 = 1,4 m, kleinste Höhe 1,1 − 0,3 = 0,8 m.
Zwei Sekunden nach dem Start beträgt die Höhe rund 1,31 m.
c) „höher als“: Ungleichung, zwei Lösungen, Dauer = Differenz.
Die Sperre gilt, solange w(t) > 1,25. Im Material liegt der Graph von w in diesem Bereich über der Geraden y = 1,25 zwischen zwei Lösungen von w(t) = 1,25.
0,3 · sin((π4) · (t − 1)) + 1,1 = 1,25 ⇔ sin((π4) · (t − 1)) = 0,5 ⇔ (π4) · (t − 1) = π6 oder 5π6, also t = 1 + 23 ≈ 1,67 oder t = 1 + 103 ≈ 4,33.
Dauer: 103 − 23 = 83 ≈ 2,67. Die Sperre dauert bei jeder Welle rund 2,67 s.
d) Zahl der Perioden und steilste Stelle am Graphen.
Periode p = 2π : (π4) = 8 s. In 60 s: 60 : 8 = 7,5 Wellen (7 vollständige und eine halbe).
Das Wasser steigt am stärksten, wo die Welle von unten durch die Mittellinie geht, zum Beispiel bei t = 1 (w = 1,1 m, der Graph ist dort am steilsten). Ebenso t = 9 oder t = 17; beim Ablesen genügt eine Abweichung von 0,5 s.
e) Differenzenquotient: mittlere Änderung pro Zeit.
Der Term ist die mittlere Änderungsrate der Höhe zwischen t = 3 und t = 7 (Hochpunkt bis Tiefpunkt).
Das Wasser sinkt in diesen 4 s im Mittel um 0,15 m pro s, daher das Minuszeichen. In der Abbildung fällt der Graph zwischen den beiden Stellen.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Sinus und Kosinus“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.