Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hast du ganzrationale Funktionen und e-Funktionen abgeleitet. Für Sinus und Kosinus gibt es keine Potenzregel. Ihre Ableitung findest du am Graphen: Du liest an vielen Stellen die Steigung der Tangente ab und trägst diese Werte als neue Kurve auf. Was dabei entsteht, steht auf der Seite mit den Graphen.
✎ Mini-Aufgabe: Lies am Graphen von f(x) = sin(x) die Steigung an den Stellen 0, π2, π und 3π2 ab. Trage die vier Werte als Punkte über diesen Stellen auf. Welche bekannte Kurve liegt durch diese Punkte?
Lösung zeigen
Die Steigungen sind 1, 0, −1 und 0. Die Punkte (0 | 1), (π2 | 0), (π | −1) und (3π2 | 0) liegen auf dem Graphen des Kosinus. Die Ableitung des Sinus ist also der Kosinus.
2. Die beiden Regeln
(sin x)′ = cos x (cos x)′ = −sin x
Das Minus bei der Kosinus-Ableitung siehst du am Graphen: Der Kosinus hat bei 0 einen Hochpunkt und fällt danach. Seine Steigung ist direkt hinter 0 negativ, und das leistet nur −sin(x). Mit Faktor- und Summenregel leitest du damit alle Terme aus Sinus, Kosinus und Potenzen ab.
Beispiel: Ableiten und höhere Ableitungen
f(x) = 3·sin(x) + x² ⇒ f′(x) = 3·cos(x) + 2x
g(x) = 2·cos(x) − 4x ⇒ g′(x) = −2·sin(x) − 4
Mehrfaches Ableiten von sin(x): cos(x), −sin(x), −cos(x), sin(x), danach wieder von vorn. Für die 21. Ableitung teilst du 21 durch 4: Rest 1, also steht dort dasselbe wie in der ersten Ableitung.
✎ Mini-Aufgabe: Bilde die erste, zweite, dritte und vierte Ableitung von f(x) = cos(x). Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
f′(x) = −sin(x), f″(x) = −cos(x), dritte Ableitung sin(x), vierte Ableitung cos(x). Nach vier Ableitungen steht wieder die Ausgangsfunktion da.
Oben der Graph von f(x) = sin(x), unten der Graph seiner Ableitung f′(x) = cos(x). Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen: Wo oben die Tangente waagerecht ist, liegt unten eine Nullstelle.
3. Die Kettenregel bei a·sin(b·(x − c)) + d
In Sachaufgaben steht fast nie sin(x), sondern ein linearer Term in der Klammer. Den leitest du nach: Der Faktor b kommt vor die Ableitung, der Klammerinhalt bleibt unverändert stehen, und der Summand d fällt weg.
Kontrolle: Sinus und Kosinus liegen zwischen −1 und 1. Die Steigung von a·sin(b·(x − c)) + d liegt deshalb zwischen −a·b und a·b (für a, b > 0). Kommt bei dir ein größerer Wert heraus, hast du dich verrechnet.
✎ Mini-Aufgabe: Bilde die Ableitung von f(x) = −3·sin(2·(x + 1)) + 4 und gib an, zwischen welchen Werten die Steigung des Graphen liegt.
Lösung zeigen
f′(x) = −3·2·cos(2·(x + 1)) = −6·cos(2·(x + 1)). Der Kosinus liegt zwischen −1 und 1, also liegt die Steigung zwischen −6 und 6.
Waagerechte Tangenten liegen dort, wo f′(x) = 0 ist. Bei f(x) = sin(x) heißt das cos(x) = 0, also x = π2 und x = 3π2 im Intervall [0; 2π]. Nicht bei 0 und π: Das sind die Nullstellen von f.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = cos(x) an der Stelle x0 = π2.
Lösung zeigen
f(π2) = 0 und f′(x) = −sin(x), also f′(π2) = −1. Tangente: y = −1·(x − π2) = −x + π2.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Geschwindigkeit, wie schnell sich etwas bewegt oder ändert
Wert der Ableitung an der Stelle
Einheit: Größe pro Zeit
nimmt gerade zu, nimmt gerade ab
f′ > 0 beziehungsweise f′ < 0
Das Vorzeichen sagt die Richtung.
nimmt am schnellsten zu, steigt am schnellsten
größter Wert von f′
Bei a·sin(b·(x − c)) + d ist das a·b, in der Mittellage von f.
sinkt am schnellsten, kühlt am schnellsten ab
kleinster Wert von f′, also am stärksten negativ
Bei „am schnellsten“ ohne Richtung zählt der Betrag.
steht still, kehrt um, Umkehrpunkt
f′ = 0
Dort liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt von f.
höchster Stand, Hochwasser, Tageshöchsttemperatur
Hochpunkt von f, also f′ = 0
Dort ändert sich f gerade nicht.
Steigung in Prozent
f′ · 100 %
Gemeint ist meist der Betrag.
6. Was nirgends steht
Bogenmaß: Der Taschenrechner muss auf RAD stehen. Alle Regeln dieses Themas gelten nur im Bogenmaß.
Die schnellste Änderung ist nicht der höchste Stand. Bei f(x) = a·sin(b·(x − c)) + d ist f′ am größten, wenn f gerade die Mittellage d durchläuft, und f′ = 0 an Hoch- und Tiefpunkten.
„Alle Zeitpunkte“ in einem Bereich heißt: alle Stellen der Perioden in diesem Bereich, nicht nur die erste. Die Ränder gehören dazu.
Eine Ableitung hat immer eine Einheit: Einheit der Größe pro Einheit der Zeit.
7. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Die Temperatur in einem Gewächshaus wird durch G(t) = 5·sin(π12·(t − 8)) + 17 beschrieben. t ist die Zeit in Stunden nach Mitternacht (0 ≤ t ≤ 24), G(t) die Temperatur in °C. Wann steigt die Temperatur am schnellsten, und wie schnell?
Was ist gefragt? Der Zeitpunkt, an dem G′ am größten ist, und der Wert von G′ dort.
Was steht nicht da? Gefragt ist nach der Änderung, nicht nach der höchsten Temperatur. Der größte Wert von G′ kann auch am Rand liegen, ich prüfe deshalb G′(0) und G′(24) mit.
Rechnen G′(t) = 5·π12·cos(π12·(t − 8)). Der Kosinus ist 1 bei t = 8 (t = 32 liegt außerhalb). G′(8) = 5π12 ≈ 1,31. Ränder: G′(0) = G′(24) = −5π24 ≈ −0,65.
Antwortsatz Um 8 Uhr steigt die Temperatur am schnellsten, um rund 1,3 °C pro Stunde.
Prüfen Um 8 Uhr ist G(8) = 17, die Mittellage. Der Hochpunkt liegt erst bei t = 14, dort ist G′(14) = 0. Der Wert 5π12 ist genau a·b, die größtmögliche Steigung. Das passt.
8. Typische Fehler
Aus cos(x) wird sin(x) statt −sin(x).
Nachdifferenzieren vergessen: Die Ableitung von sin(2x) ist 2·cos(2x), nicht cos(2x).
Den Klammerinhalt mit abgeleitet oder verändert: Aus sin(3·(x − 1)) wird 3·cos(3·(x − 1)).
Taschenrechner auf Gradmaß (DEG) statt Bogenmaß (RAD).
Waagerechte Tangenten von sin(x) bei den Nullstellen 0 und π gesucht statt bei π2 und 3π2.
Die Einheit der Ableitung weggelassen: Eine Änderungsrate ohne Einheit ist im Sachzusammenhang nichts wert.
Rechnen
2.1Terme ableiten
Bestimme jeweils die Ableitung.
a) f(x) = 3·sin(x) + x²
Hilfe 1
Welche Ableitung hat sin(x)?
Hilfe 2
Die Summenregel gilt Term für Term.
b) g(x) = 2·cos(x) − 4x
Hilfe 1
Welche Ableitung hat cos(x)? Achte auf das Vorzeichen.
Hilfe 2
Der Term −4x wird wie immer abgeleitet.
c) h(x) = 5 − cos(x) + 0,5x³
Hilfe 1
Das Minus vor dem Kosinus gehört zum Term. Was wird aus −cos(x)?
Hilfe 2
Eine Konstante hat die Ableitung 0.
d) Gib die 21. Ableitung von f(x) = sin(x) an.
Hilfe 1
Leite vier Mal ab. Was fällt auf?
Hilfe 2
Wie oft passt die Zahl 4 in 21, und welcher Rest bleibt?
Lösung zeigen
a) Summe aus Sinus und Potenz: Faktor- und Summenregel mit (sin)′ = cos.
f′(x) = 3·cos(x) + 2x
b) Kosinus: das Vorzeichen der Ableitung entscheidet.
g′(x) = −2·sin(x) − 4
c) Minus vor dem Kosinus: zwei Vorzeichen treffen aufeinander.
h′(x) = sin(x) + 1,5x²
d) Hohe Ableitungsordnung: Die Ableitungen wiederholen sich.
Nach vier Ableitungen steht wieder sin(x) da. 21 = 5·4 + 1, also ist die 21. Ableitung gleich der ersten: cos(x).
2.2Steigungen berechnen
Berechne die Steigung des Graphen von f mit f(x) = 2·sin(x) an den Stellen x = 0, x = π3 und x = π.
Hilfe 1
Die Steigung an einer Stelle ist der Wert der Ableitung dort.
Hilfe 2
Bilde zuerst f′. Setze die Stellen im Bogenmaß ein.
Lösung zeigen
Steigung an einer Stelle heißt Wert der Ableitung an dieser Stelle.
a) Der Graph von f mit f(x) = a·sin(2x) hat im Ursprung die Steigung 6. Bestimme a.
Hilfe 1
Die Steigung im Ursprung ist f′(0).
Hilfe 2
Bilde f′ mit dem Parameter a.
b) Der Graph von g mit g(x) = 2·sin(b·x) und b > 0 hat im Ursprung die Steigung 3. Bestimme b.
Hilfe 1
Welcher Faktor kommt durch die Kettenregel in g′?
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Die Steigung ist gegeben, der Parameter gesucht.
f′(x) = 2a·cos(2x); f′(0) = 2a = 6 ⇔ a = 3
b) Rückwärts mit dem Faktor in der Klammer.
g′(x) = 2b·cos(b·x); g′(0) = 2b = 3 ⇔ b = 1,5
2.7Aus dem Graphen ableiten
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f mit f(x) = a·sin(b·x), a > 0 und b > 0, für 0 ≤ x ≤ 5.
Material
a) Lies die Amplitude und die Periode aus dem Material ab, gib den Funktionsterm von f an und bestimme f′.
Hilfe 1
Wie weit liegt der Hochpunkt von der Mittellinie entfernt?
Hilfe 2
Nach wie vielen Einheiten wiederholt sich der Graph? Wie hängt die Periode mit b zusammen?
b) Gib die größte Steigung des Graphen an und nenne eine Stelle, an der sie angenommen wird.
Hilfe 1
Welchen größten Wert kann der Kosinus annehmen?
Lösung zeigen
a) Parameter aus dem Graphen lesen, dann ableiten.
Amplitude a = 2, Periode 4. Mit Periode = 2πb folgt b = 2π4 = π2. Also f(x) = 2·sin(π2·x).
f′(x) = 2·π2·cos(π2·x) = π·cos(π2·x)
b) Größte Steigung: größter Wert von f′.
Der Kosinus ist höchstens 1. Die größte Steigung ist π ≈ 3,14, zum Beispiel an der Stelle x = 0 (auch bei x = 4).
2.8Tangente durch einen Punkt
Für a ≠ 0 ist die Funktion f gegeben durch f(x) = a·cos(x).
Die Tangente an den Graphen von f an der Stelle x0 = π2 verläuft durch den Punkt P(0 | π). Bestimme a.
Hilfe 1
Stelle die Tangente an der Stelle π2 mit dem Parameter a auf.
Hilfe 2
Setze die Koordinaten von P in die Tangentengleichung ein.
Lösung zeigen
Parameter über einen Punkt der Tangente bestimmen.
f′(x) = −a·sin(x); f(π2) = 0; f′(π2) = −a
Tangente: y = −a·(x − π2). Der Punkt P liegt darauf: π = −a·(0 − π2) = a·π2
Also a = 2.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) s(t) beschreibt die Auslenkung eines Pendels (t in Sekunden). Wann bleibt das Pendel kurz stehen? (2) T(t) beschreibt die Tageslänge (t in Tagen). Wann nimmt die Tageslänge am schnellsten zu? (3) U(t) beschreibt die Spannung in einer Leitung (t in Millisekunden). Wann ist die Spannung null?
Hilfe 1
Geht es bei jeder Frage um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„bleibt stehen“ und „nimmt am schnellsten zu“ handeln von der Änderung.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Nach welchem Funktionswert wird gefragt?
b) Ein Federpendel schwingt nach s(t) = 8·sin(π·t). Dabei ist t die Zeit in Sekunden (0 ≤ t ≤ 2) und s(t) die Auslenkung in Zentimetern. Wann bewegt sich das Pendel am schnellsten, und wie schnell? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der Zeitpunkt, an dem … am größten ist, und … 2. Was nicht dasteht: „am schnellsten“ meint den größten …, die Richtung spielt … Die Ränder t = 0 und t = 2 … 3. Rechnen: s′(t) = …; |cos(π·t)| = 1 ⇔ t = …; |s′| = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„am schnellsten“: Welche Größe beschreibt, wie schnell sich das Pendel bewegt?
Hilfe 2
Geschwindigkeit kann positiv oder negativ sein. Was zählt bei „am schnellsten“?
Hilfe 3
Der größte Betrag liegt dort, wo der Kosinus 1 oder −1 ist. Prüfe auch die Ränder.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: Nullstelle von s′, größter Wert von T′, Nullstelle von U.
(1) Gesucht ist die Stelle, an der die Geschwindigkeit s′ null ist. Ansatz: s′(t) = 0.
(2) Gesucht ist der größte Wert von T′. Ansatz: T″(t) = 0 (Wendestelle von T), dazu die Ränder prüfen.
(3) Gesucht sind die Nullstellen von U. Hier geht es nicht um eine Ableitung: U(t) = 0.
b) „am schnellsten“ heißt: größter Betrag von s′. Dass das Vorzeichen nicht zählt und die Ränder dazugehören, steht nicht da.
1. Gefragt ist der Zeitpunkt, an dem der Betrag der Geschwindigkeit |s′| am größten ist, und dieser Wert.
2. „am schnellsten“ meint den größten Betrag der Geschwindigkeit, die Richtung spielt keine Rolle. Die Ränder t = 0 und t = 2 gehören zum Bereich und werden mitgeprüft.
3. s′(t) = 8π·cos(π·t); |cos(π·t)| = 1 ⇔ π·t = 0, π oder 2π ⇔ t = 0, 1 oder 2; |s′| = 8π ≈ 25,1
4. Zu den Zeiten t = 0 s, t = 1 s und t = 2 s bewegt sich das Pendel am schnellsten, mit rund 25,1 cm pro Sekunde.
5. Dort ist s = 0: Das Pendel geht durch die Ruhelage, und dort ist es am schnellsten. In den Umkehrpunkten bei t = 0,5 s und t = 1,5 s steht es. Das passt.
3.2Hafenbecken
Der Wasserstand in einem Hafenbecken schwankt mit den Gezeiten. Für einen Tag wird er beschrieben durch h(t) = 1,5·sin(π6·(t − 3)) + 4. Dabei ist t die Zeit in Stunden nach Mitternacht (0 ≤ t ≤ 24) und h(t) der Wasserstand in Metern. Das Material zeigt den Graphen von h.
Material
a) Bestimme, zu welchen Uhrzeiten der Wasserstand am schnellsten steigt, und wie viel Meter pro Stunde er dann zunimmt.
Hilfe 1
Gefragt ist nach der Änderung des Wasserstands, nicht nach dem Wasserstand selbst.
Hilfe 2
Gesucht ist der größte Wert von h′ im ganzen Tag. Prüfe auch die Ränder.
Hilfe 3
Bilde h′ mit der Kettenregel. Wann ist der Kosinus 1?
b) Berechne h′(9) und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Setze t = 9 in die Ableitung ein.
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen? Was sagt die Einheit?
c) Gib anhand des Materials alle Zeitpunkte an, zu denen h′(t) = 0 gilt, und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
An welchen Stellen ist die Tangente an den Graphen waagerecht?
Hilfe 2
Beachte den ganzen Bereich von 0 bis 24 Uhr.
d) Ein Besucher sagt: „Wenn das Wasser am höchsten steht, steigt es auch am schnellsten.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie groß ist die Steigung des Graphen am Hochpunkt?
Hilfe 2
Wo liegt der Wasserstand, wenn er am schnellsten steigt?
Lösung zeigen
a) „am schnellsten steigt“: größter Wert von h′ im ganzen Bereich, auch eine zweite Periode zählt.
h′ ist am größten, wenn der Kosinus 1 ist: π6·(t − 3) = 0 oder 2π ⇔ t = 3 oder t = 15 (t = 27 liegt außerhalb). Ränder: h′(0) = h′(24) = 0.
h′(3) = h′(15) = π4 ≈ 0,79. Um 3 Uhr und um 15 Uhr steigt der Wasserstand am schnellsten, um rund 0,79 m pro Stunde.
b) Wert der Ableitung deuten: Vorzeichen und Einheit.
h′(9) = π4·cos(π) = −π4 ≈ −0,79
Um 9 Uhr sinkt der Wasserstand um rund 0,79 m pro Stunde.
c) „anhand des Materials“: Hoch- und Tiefpunkte ablesen, auch an den Rändern.
Der Graph hat Hochpunkte bei t = 6 und t = 18 (5,5 m) und Tiefpunkte bei t = 0, t = 12 und t = 24 (2,5 m). Dort ist die Tangente waagerecht.
Also gilt h′(t) = 0 für t = 0, 6, 12, 18 und 24.
d) Die Aussage verwechselt Stand und Änderung des Stands.
Die Aussage ist falsch. Um 6 Uhr steht das Wasser mit 5,5 m am höchsten, aber h′(6) = 0: Es steigt dann nicht mehr und sinkt danach.
Am schnellsten steigt es um 3 Uhr und um 15 Uhr, wenn der Wasserstand mit 4 m in der Mitte zwischen Niedrig- und Hochwasser liegt.
3.3Tageslänge
Die Tageslänge in Hamburg wird näherungsweise beschrieben durch T(t) = 4,6·cos(0,0172·(t − 172)) + 12,3. Dabei ist t der Tag des Jahres (t = 1 am 1. Januar) und T(t) die Zeit zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang in Stunden. Schaltjahre bleiben unberücksichtigt.
a) Bestimme T′ und berechne T′(80) für den 21. März. Deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welcher Faktor kommt aus der Klammer dazu, und welches Vorzeichen hat die Ableitung des Kosinus?
Hilfe 2
Der Taschenrechner muss im Bogenmaß rechnen.
Hilfe 3
Was bedeutet der Wert, wenn t um einen Tag wächst? Beachte die Einheit.
b) Berechne T′(172) und T′(300). Deute beide Werte.
Hilfe 1
Setze beide Stellen in die Ableitung ein.
Hilfe 2
Der Tag 172 ist der 21. Juni, der Tag 300 der 27. Oktober.
c) Ein Mitschüler sagt: „Die Tageslänge ändert sich im Lauf des Jahres um höchstens 4,6 Stunden pro Tag, denn 4,6 steht vor dem Kosinus.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welche Einheit hat die Zahl 4,6, und welche hat eine Änderung pro Tag?
Hilfe 2
Wie groß wird die Ableitung höchstens?
Lösung zeigen
a) Ableitung an einer Stelle: Wert mit Vorzeichen und Einheit deuten.
Am 21. März nimmt die Tageslänge um rund 0,079 Stunden pro Tag zu.
b) Zwei Werte deuten: ein Wert null, ein Wert negativ.
T′(172) = −0,0791·sin(0) = 0: Am 21. Juni ändert sich die Tageslänge nicht, sie ist am größten.
T′(300) = −0,0791·sin(0,0172·128) ≈ −0,0639: Am 27. Oktober nimmt die Tageslänge um rund 0,064 Stunden pro Tag ab.
c) Amplitude und Änderungsrate verwechselt.
Die Aussage ist falsch. 4,6 Stunden ist der Unterschied zwischen mittlerer und größter Tageslänge, also eine Länge und keine Änderung pro Tag.
Die größte Änderung pro Tag ist 4,6·0,0172 ≈ 0,079 Stunden pro Tag.
3.4Wellenrampe
Eine Skateanlage hat ein wellenförmiges Profil, das für 0 ≤ x ≤ 6 durch h(x) = 0,5·cos(x) beschrieben wird. Dabei ist x die waagerechte Entfernung und h(x) die Höhe über der Mittellinie, beides in Metern.
a) Eine Stütze soll an der Stelle x = π3 senkrecht zum Profil stehen und geradlinig bis zur Höhenachse (x = 0) verlaufen. Bestimme, in welcher Höhe sie die Höhenachse schneidet.
Hilfe 1
„senkrecht zum Profil“: Welche Gerade steht senkrecht auf der Tangente?
Hilfe 2
Bestimme zuerst die Steigung des Profils an der Stelle π3.
Hilfe 3
Setze x = 0 in die Geradengleichung ein.
b) Aus Sicherheitsgründen darf das Profil nirgends steiler als 40 % sein. Beurteile, ob das Profil diese Vorgabe einhält.
Hilfe 1
Wie rechnet man eine Steigung in Prozent um?
Hilfe 2
Welcher Betrag der Steigung ist im ganzen Profil der größte? Denke an den Wert, den der Sinus höchstens annimmt.
Lösung zeigen
a) „senkrecht zum Profil“ heißt Normale, nicht Tangente.
Für x = 0: y ≈ −2,17. Die Stütze schneidet die Höhenachse etwa 2,17 m unter der Mittellinie.
b) „nirgends steiler als 40 %“: größter Betrag von h′ mit 0,4 vergleichen.
40 % entsprechen der Steigung 0,4. Die Steigung ist h′(x) = −0,5·sin(x), ihr Betrag ist höchstens 0,5 (zum Beispiel bei x = π2).
0,5 entspricht 50 % und ist größer als 40 %. Das Profil hält die Vorgabe nicht ein.
Klausuraufgabe
4.1Atemvolumen
Bei einem Lungenfunktionstest wird das Luftvolumen in der Lunge einer ruhig atmenden Person gemessen. Im Modell gibt V(t) = 0,3·sin(π2·(t − 1)) + 2,8 das Volumen in Litern an; t ist die Zeit in Sekunden seit Messbeginn (0 ≤ t ≤ 8). Die Abbildung zeigt den Graphen von V.
Abbildung
a) Weise nach, dass das Volumen zwei Sekunden nach Messbeginn mit 3,1 Litern seinen größten Wert im Messzeitraum erreicht.3 BE
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von V im Messzeitraum.
Hilfe 2
Bilde V′ mit der Kettenregel und prüfe V′(2).
Hilfe 3
Welche Bedingung gehört zu einem Hochpunkt? Oder: Welchen größten Wert hat der Sinus?
b) Begründe ohne Rechnung, dass auch V′(6) = 0 gilt.2 BE
Hilfe 1
Wie lang ist eine Periode von V?
Hilfe 2
Was gilt bei t = 2 für den Graphen von V, und was folgt eine Periode später?
c) Bestimme V′(3) und deute den Wert im Sachzusammenhang.3 BE
Hilfe 1
Setze t = 3 in V′ ein.
Hilfe 2
Was sagen Vorzeichen und Einheit?
d) Das Gerät wertet einen Zeitraum als Ausatmung, solange das Volumen um mehr als 0,3 Liter pro Sekunde abnimmt. Ermittle, wie lange das in einem Atemzyklus der Fall ist.4 BE
Hilfe 1
„nimmt um mehr als 0,3 l pro Sekunde ab“: Welche Größe ist kleiner als welche Zahl?
Hilfe 2
Ansatz: V′(t) < −0,3. Stelle nach dem Kosinus um.
Hilfe 3
Löse die umgestellte Gleichung mit dem Taschenrechner im Bogenmaß und achte auf die zweite Lösung in einer Periode.
e) Bei einer zweiten Person ist die Amplitude doppelt so groß (0,6 statt 0,3), sonst gilt dasselbe Modell. Beurteile, wie sich dadurch die größte Geschwindigkeit der Volumenänderung ändert.2 BE
Hilfe 1
Welche Zahl steht in V′ als Faktor vor dem Kosinus?
Lösung zeigen
a) „Weisen Sie nach“: Bedingungen vollständig hinschreiben, auch wenn das Ergebnis dasteht.
V″(t) = −0,075π²·sin(π2·(t − 1)); V″(2) = −0,075π² < 0: Hochpunkt (oder: V′ wechselt bei t = 2 von + nach −)
V(2) = 0,3·1 + 2,8 = 3,1. Ränder: V(0) = V(8) = 2,5. Da der Sinus höchstens 1 ist, ist 3,1 l der größte Wert.
b) Ohne Rechnung: Die Periode von 4 Sekunden steht nicht da, aus dem Term abzulesen.
Die Periode von V ist 2π : (π2) = 4 s. Bei t = 2 liegt ein Hochpunkt, also liegt bei t = 2 + 4 = 6 wieder einer.
An einem Hochpunkt ist die Tangente waagerecht, also gilt V′(6) = 0.
c) Wert der Ableitung deuten: Vorzeichen und Einheit.
V′(3) = 0,15π·cos(π) = −0,15π ≈ −0,47
Drei Sekunden nach Messbeginn nimmt das Volumen in der Lunge um rund 0,47 Liter pro Sekunde ab: Die Person atmet aus.
d) „nimmt ab um mehr als 0,3“: V′(t) < −0,3, nicht V(t) und nicht der Betrag in beide Richtungen.
Die Ausatmung gilt, solange V′(t) < −0,3: 0,15π·cos(u) < −0,3 mit u = π2·(t − 1), also cos(u) < −0,6366.
In einer Periode gilt das für 2,261 < u < 4,022 (Lösungen von cos(u) = −0,6366 sind u ≈ 2,261 und u = 2π − 2,261 ≈ 4,022).
Die u-Spanne ist 1,761 lang, in Zeit umgerechnet 1,761·2π ≈ 1,12. Die Ausatmung gilt in jedem Atemzyklus etwa 1,1 Sekunden lang.
e) Der Faktor a steht auch in der Ableitung: Die größte Änderung ist a·b.
V′ enthält den Faktor a. Die größte Geschwindigkeit der Volumenänderung ist a·π2: Sie wächst von 0,15π ≈ 0,47 auf 0,3π ≈ 0,94 Liter pro Sekunde, sie verdoppelt sich also.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E2-Kurs, in den Abschnitt „Sinus und Kosinus“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.