Verknüpfte Exponential- und ganzrationale Funktionen
Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Aus der E-Phase kennst du ganzrationale Funktionen und e-Funktionen. Hier werden beide zu einer Funktion zusammengesetzt, und zwar als Summe, als Produkt oder als Verkettung. Die Art bestimmt das Werkzeug: Summen leitest du Summand für Summand ab, Produkte mit der Produktregel, verkettete Terme mit der Kettenregel.
Summe: x² + e−x Produkt: (x − 2) · ex Verkettung: (ex − 2)²
Welche Art vorliegt, entscheidet der Rechenschritt, der zuletzt ausgeführt wird. Bei x² + e−x ist das ein Plus, also eine Summe, auch wenn im Exponenten selbst etwas steckt. Neu sind in diesem Thema drei Dinge: Der Faktor ekx wird nie null, die e-Funktion setzt sich im Grenzverhalten gegen jede Potenz durch, und eine Stammfunktion findest du über einen Ansatz.
✎ Mini-Aufgabe: Gib jeweils an, ob eine Summe, ein Produkt oder eine Verkettung vorliegt: f(x) = 3x · e−x, g(x) = 2x − e0,5x, h(x) = (ex − 1)².
Lösung zeigen
f ist ein Produkt (zuletzt wird multipliziert), g eine Summe bzw. Differenz (zuletzt wird subtrahiert), h eine Verkettung (zuletzt wird quadriert).
2. Nullstellen: der e-Faktor wird nie null
Eine e-Potenz ist für jedes x positiv, auch e−0,5x oder e2x. Steht sie als Faktor in einem Produkt, macht sie das Produkt nie zu null. Nach dem Satz vom Nullprodukt untersuchst du nur den anderen Faktor.
Beispiel: (x² − 4) · e0,5x = 0
e0,5x > 0 für alle x, also bleibt x² − 4 = 0
x = −2 oder x = 2
Bei einer Differenz zweier e-Potenzen klammerst du zuerst eine aus. Eine Gleichung der Form ex = c löst du mit dem natürlichen Logarithmus.
Beispiel: e2x − 4ex = 0
ex · (ex − 4) = 0
ex > 0, also ex = 4, also x = ln 4 ≈ 1,386
Bei einer Summe wie x² + e−x gibt es nichts auszuklammern. Hier hilft eine Überlegung zum Vorzeichen: x² ist nie negativ, e−x immer positiv. Die Summe ist also immer positiv und hat keine Nullstelle.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f(x) = (x² − 3x) · e−x.
Lösung zeigen
e−x > 0, also muss x² − 3x = x · (x − 3) = 0 gelten: x = 0 oder x = 3.
3. Ableiten, Extrem- und Wendepunkte
Für ein Produkt aus einem ganzrationalen Term p(x) und ekx liefern Produkt- und Kettenregel zusammen eine Abkürzung:
Der e-Faktor bleibt stehen, in der Klammer steht wieder ein ganzrationaler Term vom selben Grad. Deshalb bildest du auch f″ auf diese Weise. Nullstellen von f′ und f″ kommen wieder nur aus der Klammer.
Bei ganzrationalen Funktionen entscheidet der Summand mit der höchsten Potenz über das Verhalten für x → ∞. Steckt ein e-Faktor im Produkt, setzt sich die e-Funktion durch. Die Tabelle zeigt, warum:
x
1
5
10
20
x³
1
125
1 000
8 000
ex
2,72
148,41
22 026
485 165 195
x³ · e−x
0,368
0,842
0,0454
0,0000165
Erhöhst du x um 1, wird ex mit dem Faktor e ≈ 2,72 multipliziert. Dagegen wächst x³ von x = 10 auf x = 11 nur mit dem Faktor 1,331, und dieser Faktor wird mit wachsendem x immer kleiner. Deshalb überholt ex jede Potenz. Für jede natürliche Zahl n gilt:
x → ∞: xn · e−x → 0 xn · ex → ∞
x → −∞: xn · ex → 0
Für x → −∞ wird ex beliebig klein und zieht das Produkt mit jeder Potenz auf null. Das Vorzeichen eines Produkts bestimmst du getrennt: Es hängt nur vom ganzrationalen Faktor ab. Achte auf den Exponenten: x · e−x geht für x → −∞ nicht gegen null, denn dort wird e−x beliebig groß.
Beispiel: f(x) = (2 − x) · ex
x → ∞: 2 − x → −∞ und ex → ∞, also f(x) → −∞
x → −∞: ex → 0 und setzt sich gegen 2 − x durch, also f(x) → 0
Für negative x ist 2 − x > 0: Der Graph nähert sich der x-Achse von oben.
Eine Gerade, der sich der Graph für x → ∞ oder x → −∞ beliebig nähert, heißt Asymptote. Du findest sie, indem du den e-Summanden streichst, der gegen null geht:
f(x) = 3 − 2e−x x → ∞: Asymptote y = 3
g(x) = x + 1 + 2e−x x → ∞: Asymptote y = x + 1
Die zweite Asymptote ist schräg. Ob der Graph darüber oder darunter verläuft, verrät der gestrichene Summand: 2e−x ist positiv, also liegt der Graph von g oberhalb von y = x + 1. Bei f wird ein positiver Term abgezogen, der Graph liegt unterhalb von y = 3. Eine Asymptote gilt nur für die Richtung, die du untersucht hast: Für x → −∞ wächst 2e−x über alle Grenzen, dort hat g keine Asymptote.
✎ Mini-Aufgabe: Gib für f(x) = 0,5x − 2 + e−0,5x die Asymptote für x → ∞ an und entscheide, ob der Graph oberhalb oder unterhalb von ihr verläuft.
Lösung zeigen
Streiche den Summanden e−0,5x, der gegen null geht: y = 0,5x − 2. Der gestrichene Summand ist positiv, also liegt der Graph oberhalb der Asymptote.
5. Zwei Graphen im Vergleich
Oben der Graph von g(x) = x + 1 + 2e−x mit seiner Asymptote y = x + 1 (gestrichelt). Unten der Graph von f(x) = x · e−x mit Hochpunkt H und Wendepunkt W; für x → ∞ nähert er sich der x-Achse, für x → −∞ fällt er ins Negative.
6. Stammfunktion nachweisen und finden
Ein Produkt darf man nicht Faktor für Faktor integrieren. Ob eine vorgegebene Funktion F eine Stammfunktion von f ist, prüfst du aber immer durch Ableiten:
F ist Stammfunktion von f ⇔ F′(x) = f(x) für alle x
Beispiel: F(x) = (x − 1) · ex und f(x) = x · ex
F′(x) = 1 · ex + (x − 1) · ex = x · ex = f(x), also ist F eine Stammfunktion von f.
Gegenprobe: G(x) = 0,5x² · ex hat die Ableitung G′(x) = x · ex + 0,5x² · ex. Der zweite Summand ist zu viel, G ist keine Stammfunktion von f.
Eine Stammfunktion findest du mit einem Ansatz. Beim Ableiten von p(x) · ekx bleiben der Exponent und der Grad von p erhalten. Die Stammfunktion hat also dieselbe Form, nur mit unbekannten Koeffizienten. Den Grad wählst du wie beim ganzrationalen Faktor von f: Steht dort x², brauchst du ax² + bx + c und erhältst drei Gleichungen.
Beispiel: f(x) = (4x − 2) · e2x
Ansatz: F(x) = (ax + b) · e2x
F′(x) = (a + 2 · (ax + b)) · e2x = (2ax + a + 2b) · e2x
Koeffizientenvergleich mit 4x − 2: vor x gilt 2a = 4, ohne x gilt a + 2b = −2
Mit der Stammfunktion berechnest du Integrale wie gewohnt: ∫01 (4x − 2) · e2x dx = F(1) − F(0) = 0 − (−2) = 2.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme mit dem Ansatz F(x) = (ax + b) · e−x eine Stammfunktion von f(x) = x · e−x.
Lösung zeigen
F′(x) = (a − (ax + b)) · e−x = (−ax + a − b) · e−x. Koeffizientenvergleich mit x: −a = 1 und a − b = 0, also a = −1 und b = −1.
F(x) = −(x + 1) · e−x.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
am meisten, höchster Stand, größter Wert
größter Funktionswert, meist ein Hochpunkt
Ränder und Verhalten für große t vergleichen
am schnellsten wächst, nimmt am stärksten zu
größter Wert der Änderungsrate f′, meist eine Wendestelle
Die Antwort ist ein Zeitpunkt und ein Wert von f′
am schnellsten sinkt, nimmt am stärksten ab
kleinster Wert von f′ (am stärksten negativ)
Minimum von f′, nicht von f
auf lange Sicht, langfristig, auf Dauer
Verhalten für t → ∞, also ein Grenzwert
Der e-Faktor entscheidet, nicht der ganzrationale Faktor
nähert sich, pendelt sich ein
Asymptote, waagerecht oder schräg
Gilt nur für die untersuchte Richtung
insgesamt, gesamte Menge von … bis …
Integral über die Rate
Rate: Einheit pro Zeit, Integral: Menge
durchschnittlich pro Zeiteinheit zwischen zwei Zeitpunkten
Änderung des Bestands geteilt durch die Zeitspanne
Zwei Funktionswerte, kein Ableiten
wann ist … erreicht, ab wann mehr als …
Gleichung oder Ungleichung f(t) = c bzw. f(t) > c
Gleichungen der Form ex = c mit ln lösen
8. Was nirgends steht
Der Faktor ekx ist nie null. Nullstellen von f, f′ und f″ kommen nur aus dem ganzrationalen Faktor.
Ein Bereich t ≥ 0 hat keinen rechten Rand. Statt des Randes prüfst du das Verhalten für t → ∞.
Ob in der Aufgabe ein Bestand (Menge) oder eine Rate (Menge pro Zeit) steht, entscheidet über die Rechnung. Das steht meist nur in der Einheit.
Strebt eine Rate gegen null, ist sie damit nicht null: Die e-Funktion erreicht ihren Grenzwert nie, im Modell geht es also immer weiter.
Gezählte Dinge (Karten, Abonnenten) gibst du ganzzahlig an; das Modell liefert nur eine Näherung.
Gelten die Aussagen nur für einen angegebenen Bereich, bleibst du in diesem Bereich.
9. Ein Beispiel mit Denkweg
Ein Medikament wird gespritzt. Die Konzentration im Blut beschreibt c(t) = 4t · e−0,5t (t in Stunden nach der Spritze, t ≥ 0, c(t) in mg pro Liter). Wann ist die Konzentration am höchsten, und wie hoch ist sie dann?
Was ist gefragt? Der größte Wert von c für t ≥ 0 und die Stelle, an der er angenommen wird.
Was steht nicht da? Der Bereich t ≥ 0 hat keinen rechten Rand. Ich vergleiche den Hochpunkt mit c(0) und mit dem Verhalten für t → ∞.
Rechnen c′(t) = (4 − 2t) · e−0,5t = 0 ⇔ t = 2. c′ wechselt von + nach −: Hochpunkt, c(2) = 8e−1 ≈ 2,94. Außerdem c(0) = 0, und für t → ∞ gilt c(t) → 0.
Antwortsatz Zwei Stunden nach der Spritze ist die Konzentration am höchsten, rund 2,94 mg pro Liter.
Prüfen Der Wert ist positiv und größer als an den Rändern. Zu Beginn ist noch nichts im Blut, später wird das Medikament abgebaut: Das passt.
10. Typische Fehler
Den e-Faktor gleich null setzen. e0,5x = 0 hat keine Lösung, Nullstellen kommen nur aus dem ganzrationalen Faktor.
Das Grenzverhalten nach dem ganzrationalen Faktor beurteilen. x³ · e−x geht für x → ∞ nicht gegen unendlich, sondern gegen null.
Für x → −∞ nicht auf den Exponenten achten. (2 − x) · ex geht gegen null, x · e−x dagegen gegen −∞.
Eine Asymptote für beide Richtungen übernehmen. y = x + 1 gilt bei x + 1 + 2e−x nur für x → ∞.
Faktorweise integrieren. Eine Stammfunktion von x · ex ist nicht 0,5x² · ex.
Im Ansatz den Exponenten ändern. Zu (4x − 2) · e2x gehört (ax + b) · e2x, nicht (ax + b) · ex.
Beim Ableiten des Ansatzes den Summanden a aus der Produktregel vergessen.
Rate und Menge verwechseln: Die Gesamtmenge ist das Integral der Rate, nicht ein Funktionswert.
Rechnen
2.1Drei Terme
Untersuche jeweils, welche Nullstellen die Funktion hat.
a) f(x) = (x² − 2x) · ex
Hilfe 1
Wann ist ein Produkt null? Kann ein Faktor hier nie null werden?
Hilfe 2
Der Faktor ex ist für jedes x positiv.
b) g(x) = e2x − 4ex
Hilfe 1
Hier steht kein Produkt. Gibt es einen gemeinsamen Faktor?
Hilfe 2
Klammere ex aus. Eine Gleichung der Form ex = c löse mit dem natürlichen Logarithmus.
c) h(x) = x² + e−x
Hilfe 1
Es gibt nichts auszuklammern. Welches Vorzeichen hat jeder Summand?
Hilfe 2
Wie verhalten sich x² und e−x für alle x?
Lösung zeigen
a) Ein Produkt mit e-Faktor: Der e-Faktor fällt weg, der Rest entscheidet.
ex > 0 für alle x, also genügt x² − 2x = x · (x − 2) = 0
x = 0 oder x = 2
b) Differenz zweier e-Potenzen: ausklammern, dann ex = c mit ln lösen.
g(x) = ex · (ex − 4) = 0. Wegen ex > 0 bleibt ex = 4
x = ln 4 ≈ 1,386
c) Summe: Hier hilft nur eine Überlegung zum Vorzeichen.
x² ≥ 0 und e−x > 0, also h(x) > 0 für alle x.
h hat keine Nullstelle.
2.2Funktion mit e-Faktor
Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = (2x + 1) · e−x.
a) Untersuche den Graphen von g auf Extrempunkte. Gib Koordinaten und Art an.
Hilfe 1
Welche Bedingung gilt an einer solchen Stelle für g′?
Hilfe 2
Bilde g′ und g″ mit der Abkürzung für p(x) · ekx aus der Erklärung.
Hilfe 3
Die Art folgt aus g″, die y-Koordinate aus g.
b) Untersuche den Graphen von g auf Wendepunkte.
Hilfe 1
Welche Bedingung gilt an einer Wendestelle? Welche Ableitung brauchst du?
Hilfe 2
Neben g″(x) = 0 braucht ein Wendepunkt noch eine zweite Bedingung.
Lösung zeigen
a) Standardverfahren: g′ = 0, Art mit g″, y-Wert mit g; der e-Faktor fällt bei der Nullstellensuche weg.
f″(3) = −e−3 < 0: Hochpunkt, f(3) = e−3. Der Extrempunkt ist H(3 | e−3).
2.7Graph und Term
Das Material zeigt den Graphen der Funktion h mit h(x) = x − 1 + 2e−x.
Material
a) Lies am Graphen ab, welcher Geraden sich der Graph für große x nähert. Weise dies anschließend rechnerisch nach.
Hilfe 1
Wie verläuft der Graph rechts? Lies zwei Punkte ab, durch die die Gerade gehen müsste.
Hilfe 2
Welcher Summand von h wird für x → ∞ unbedeutend?
b) Entscheide, ob der Graph von h oberhalb oder unterhalb dieser Geraden verläuft. Begründe.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen hat der Summand, den du weggelassen hast?
c) Der Graph hat genau einen Extrempunkt. Gib dessen Art an und berechne seine Koordinaten exakt.
Hilfe 1
Bilde h′ und setze h′(x) = 0.
Hilfe 2
Eine Gleichung der Form e−x = c löse mit dem natürlichen Logarithmus.
Lösung zeigen
a) Ablesen am Graphen und rechnerisch bestätigen.
Ablesen: Der Graph verläuft rechts etwa wie die Gerade durch (1 | 0) und (3 | 2), also y = x − 1. Abweichungen sind in Ordnung: Steigung etwa 1, y-Achsenabschnitt etwa −1 (bis 0,3 daneben).
Rechnung: h(x) − (x − 1) = 2e−x → 0 für x → ∞. Die Asymptote ist y = x − 1.
b) Lage zur Asymptote: Vorzeichen des gestrichenen Summanden.
h(x) − (x − 1) = 2e−x > 0 für alle x. Der Graph verläuft oberhalb der Geraden.
c) Extrempunkt exakt: h′ = 0 mit ln lösen, y-Wert exakt.
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) a(t) beschreibt die Zahl der Aufrufe eines Videos pro Tag (t in Tagen nach dem Hochladen). Wann ist die Zahl der Aufrufe pro Tag am größten? (2) h(t) beschreibt den Wasserstand eines Sees in Metern (t in Wochen). Welchem Wert nähert sich der Wasserstand auf lange Sicht? (3) z(t) beschreibt den Zufluss in einen Tank in Litern pro Minute (t in Minuten nach dem Einschalten der Pumpe). Wie viel Wasser fließt von t = 0 bis t = 10 insgesamt in den Tank?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen größten Wert, um das Verhalten für große t oder um eine Gesamtmenge?
Hilfe 2
Welche Einheit hat z, und was bedeutet sie für die gesuchte Größe? Was liefert die Fläche unter dem Graphen?
Hilfe 3
Bei (2): Was passiert mit den Funktionswerten, wenn t beliebig groß wird?
b) Ein Schulprojekt stellt ein Erklärvideo ins Netz. Die Zahl der Aufrufe pro Tag beschreibt a(t) = 20t · e−0,2t (t in Tagen nach dem Hochladen, t ≥ 0, a(t) in Tausend Aufrufen pro Tag). Wann sind die Aufrufe pro Tag am größten, wie viele sind es dann, und wie entwickeln sie sich auf lange Sicht? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Stelle, an der … am größten ist, der Wert dort und … 2. Was nicht dasteht: Der Bereich t ≥ 0 hat keinen rechten Rand. Ich vergleiche den Hochpunkt mit … und mit … 3. Rechnen: a′(t) = …; a′(t) = 0 ⇔ t = …; a(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Aufrufe pro Tag: Welche Funktion ist gemeint, und welcher ihrer Werte ist gesucht?
Hilfe 2
Der größte Wert liegt an einer Stelle mit waagerechter Tangente oder am Rand. Hier fehlt ein rechter Rand.
Hilfe 3
Wie verhält sich a(t) für große t? Welcher Faktor setzt sich durch?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Objekte: größter Wert, Grenzwert, Integral.
(1) Gesucht ist die Stelle, an der a am größten ist. Ansatz: a′(t) = 0, die Art prüfen und mit den Rändern bzw. dem Verhalten für große t vergleichen.
(2) Gesucht ist der Grenzwert von h für t → ∞. Ansatz: Grenzverhalten bestimmen, kein Ableiten.
(3) z ist eine Rate. Die Gesamtmenge ist das Integral ∫010 z(t) dt. Ansatz: Stammfunktion über einen Formansatz bestimmen, dann die Grenzen einsetzen.
b) „am größten“ heißt größter Wert von a. Der offene Rand und die Entwicklung auf lange Sicht stehen nicht da.
1. Gefragt ist die Stelle, an der a am größten ist, der Wert dort und das Verhalten für t → ∞.
2. Ich vergleiche den Hochpunkt mit a(0) und mit dem Verhalten für t → ∞.
3. a′(t) = (20 − 4t) · e−0,2t; a′(t) = 0 ⇔ t = 5; a(5) = 100e−1 ≈ 36,79. a′ wechselt bei 5 von + nach −. Außerdem a(0) = 0 und a(t) → 0 für t → ∞.
4. Fünf Tage nach dem Hochladen sind die Aufrufe pro Tag am größten, rund 36 800 Aufrufe pro Tag. Auf lange Sicht sinken sie gegen null.
5. Der Wert ist größer als die Werte an den Rändern. Das passt zu einem Video, das erst bekannt wird und dann an Interesse verliert.
3.2Gasquelle
Aus einer Erdgasquelle wird Gas gefördert. Die Förderrate beschreibt r(t) = 6t · e−0,5t (t in Monaten seit Förderbeginn, t ≥ 0, r(t) in Tausend m³ pro Monat). Das Material zeigt den Graphen von r.
Material
a) Lies am Graphen näherungsweise ab, wann die Förderrate am größten ist. Bestimme dann Zeitpunkt und Wert der größten Förderrate rechnerisch.
Hilfe 1
Wo liegt der höchste Punkt des Graphen?
Hilfe 2
Welche Bedingung gilt dort für r′? Bilde r′ mit der Abkürzung für p(t) · ekt.
Hilfe 3
Vergleiche mit dem Anfang und mit dem Verhalten für große t.
b) Der Betreiber sagt: „Nach einem Jahr ist die Quelle erschöpft.“ Beurteile diese Aussage anhand des Modells.
Hilfe 1
Was bedeutet „erschöpft“ für die Förderrate?
Hilfe 2
Berechne r(12) und überlege, ob r(t) jemals null wird.
c) Zeige, dass R mit R(t) = (−12t − 24) · e−0,5t eine Stammfunktion von r ist. Berechne damit die Menge Gas, die von t = 0 bis t = 6 insgesamt gefördert wird.
Hilfe 1
Was muss für R′ und r gelten?
Hilfe 2
r ist eine Rate (Tausend m³ pro Monat). Welche Größe erhältst du, wenn du über die Zeit aufsummierst?
Hilfe 3
Setze die Grenzen in R ein.
Lösung zeigen
a) „am größten“: größter Funktionswert; der Bereich t ≥ 0 hat keinen rechten Rand.
Ablesen: Der höchste Punkt liegt bei t ≈ 2 mit r ≈ 4,4 (t zwischen 1,5 und 2,5 und r zwischen 4 und 5 sind in Ordnung).
r′(t) = (6 − 3t) · e−0,5t = 0 ⇔ t = 2. r′ wechselt von + nach −: Hochpunkt, r(2) = 12e−1 ≈ 4,41
Rand: r(0) = 0, und r(t) → 0 für t → ∞.
Zwei Monate nach Förderbeginn ist die Förderrate am größten, rund 4,41 Tausend m³ pro Monat.
b) Beurteilen: Was sagt das Modell für große t, und was heißt „erschöpft“?
r(12) = 72e−6 ≈ 0,18: Nach einem Jahr werden noch rund 180 m³ pro Monat gefördert.
Für t > 0 ist 6t > 0 und e−0,5t > 0, also r(t) > 0 für alle t. Die Rate sinkt gegen null, wird aber nie null.
Im Modell ist die Quelle nach einem Jahr nicht erschöpft. Sinnvoll lesen lässt sich die Aussage nur als „die Förderrate ist sehr klein“.
c) „insgesamt gefördert“ bei einer Rate: Integral über die Förderrate; die Stammfunktion ist gegeben.
Die Gesamtmenge ist das Integral der Rate: ∫06 r(t) dt = R(6) − R(0) = −96e−3 + 24 ≈ 19,22
Von t = 0 bis t = 6 werden rund 19 220 m³ Gas gefördert.
3.3Tankfüllung
Ein Tank wird mit konstant 50 Litern pro Minute befüllt. Gleichzeitig läuft durch ein Leck Wasser ab, anfangs ebenfalls 50 Liter pro Minute, danach immer weniger. Die Wassermenge im Tank beschreibt V(t) = 50t − 100 + 100e−0,5t (t in Minuten seit Beginn der Befüllung, t ≥ 0, V(t) in Litern).
a) Gib an, welcher Geraden sich der Graph von V für große t nähert, und deute diese Gerade im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welcher Summand von V wird für große t unbedeutend?
Hilfe 2
Was bedeutet es für das Leck, dass dieser Summand verschwindet? Was sagt der Achsenabschnitt der Geraden?
b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt die Wassermenge im Tank mit 40 Litern pro Minute zunimmt.
Hilfe 1
„nimmt mit 40 Litern pro Minute zu“: Welche Funktion beschreibt die Zunahme pro Minute?
Hilfe 2
Eine Gleichung der Form e−0,5t = c löse mit dem natürlichen Logarithmus.
c) Der Abstand zwischen dem Graphen von V und der Geraden aus a) wird für große t immer kleiner. Ab welchem Zeitpunkt beträgt er weniger als 1 Liter?
Hilfe 1
Wie groß ist der Abstand zwischen dem Graphen von V und der Geraden für ein beliebiges t?
Hilfe 2
Stelle eine Ungleichung auf und löse sie mit dem natürlichen Logarithmus. Achte auf das Umformen mit negativen Zahlen.
Lösung zeigen
a) Asymptote bestimmen und deuten: Steigung und Achsenabschnitt haben eine Bedeutung in der Sache.
Für t → ∞ gilt 100e−0,5t → 0. Die Gerade ist y = 50t − 100.
Deutung: Auf lange Sicht läuft praktisch nichts mehr durchs Leck, der Tank füllt sich mit 50 Litern pro Minute. Die Gerade liegt 100 Liter unter dem Wert 50t, den ein dichter Tank hätte: Insgesamt gehen durchs Leck 100 Liter verloren.
b) „Zunahme pro Minute“ ist die Änderungsrate V′, nicht V.
Ab etwa 9,21 Minuten nach Beginn der Befüllung beträgt der Abstand weniger als 1 Liter.
3.4Auffangbecken
Nach einem Starkregen steigt der Wasserstand in einem Auffangbecken und sinkt danach wieder. Er wird beschrieben durch w(t) = 3 + 8t · e−0,5t (t in Stunden seit Beginn des Regens, t ≥ 0, w(t) in Metern).
a) Bestimme den höchsten Wasserstand und den Zeitpunkt, zu dem er erreicht wird.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von w. Welche Bedingung gilt für w′?
Hilfe 2
Auch das Verhalten für große t gehört zum Vergleich.
b) Nach dem Hochpunkt sinkt der Wasserstand erst schneller, dann langsamer. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem er am schnellsten sinkt, und gib an, wie schnell.
Hilfe 1
„am schnellsten sinkt“: Welche Funktion beschreibt die Änderung des Wasserstands, und welcher ihrer Werte ist gesucht?
Hilfe 2
Wo hat w′ seinen kleinsten Wert? Dafür brauchst du w″.
Hilfe 3
Bilde w″ aus w′(t) = (8 − 4t) · e−0,5t mit der Abkürzung für p(t) · ekt.
c) Von dem Zeitpunkt aus b) an wird der weitere Verlauf durch die Tangente an den Graphen von w geschätzt. Bestimme, wann der Wasserstand nach dieser Schätzung wieder 3 m beträgt.
Hilfe 1
In welchem Punkt berührst du den Graphen? Was gibst du damit für die Tangente vor?
Hilfe 2
Stelle die Tangentengleichung auf: Punkt und Steigung.
Hilfe 3
Setze die Tangente gleich 3.
d) Beurteile, ob der Wasserstand nach dem Modell w jemals wieder 3 m erreicht, und ob die Schätzung aus c) zu früh oder zu spät liegt.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen hat 8t · e−0,5t für t > 0?
Hilfe 2
Wie liegt der Graph rechts vom Wendepunkt zur Tangente? Was sagt w″ dort?
Lösung zeigen
a) „höchster Wasserstand“: größter Funktionswert; kein rechter Rand.
w′(t) = (8 − 4t) · e−0,5t = 0 ⇔ t = 2. w′ wechselt von + nach −: Hochpunkt, w(2) = 3 + 16e−1 ≈ 8,89
Rand: w(0) = 3, und w(t) → 3 für t → ∞.
Zwei Stunden nach Regenbeginn ist der Wasserstand mit rund 8,89 m am höchsten.
b) „am schnellsten sinkt“: kleinster Wert der Änderungsrate w′, also Wendestelle von w.
w″(t) = (−4 − 0,5 · (8 − 4t)) · e−0,5t = (2t − 8) · e−0,5t = 0 ⇔ t = 4. w″ wechselt von − nach +: w′ hat dort ein Minimum.
Ränder: w′(0) = 8 > 0 und w′(t) → 0 für t → ∞. Der kleinste Wert von w′ liegt also bei t = 4.
w′(4) = −8e−2 ≈ −1,08. Vier Stunden nach Regenbeginn sinkt der Wasserstand am schnellsten, um rund 1,08 m pro Stunde.
c) Tangente im Punkt der stärksten Abnahme; ihre Nullstelle bezogen auf die Höhe 3 m.
Berührpunkt bei t = 4: w(4) = 3 + 32e−2 ≈ 7,33 und Steigung w′(4) = −8e−2 ≈ −1,08
Tangente: y = w(4) + w′(4) · (t − 4)
y = 3 ⇔ 32e−2 = 8e−2 · (t − 4) ⇔ t − 4 = 4 ⇔ t = 8
Nach dieser Schätzung beträgt der Wasserstand acht Stunden nach Regenbeginn wieder 3 m.
d) Beurteilen: Das Modell gegen die Schätzung stellen; das Vorzeichen von w″ bestimmt die Lage zur Tangente.
w(t) = 3 + 8t · e−0,5t, und für t > 0 ist 8t · e−0,5t > 0, also w(t) > 3. Der Wasserstand nähert sich 3 m, erreicht diesen Wert aber nie.
Rechts von t = 4 ist w″ > 0, der Graph ist nach oben gekrümmt und verläuft oberhalb der Tangente. Die Schätzung aus c) liegt zu früh.
3.5Düngung
Ein Landwirt untersucht die Nitratkonzentration im Boden nach dem Düngen. Sie wird beschrieben durch n(t) = a · t · e−0,25t (t in Tagen nach dem Düngen, t ≥ 0, n(t) in mg pro Liter). Die Zahl a > 0 hängt von der Düngermenge ab.
a) Bestimme für a = 3, wann die Konzentration am höchsten ist und wie hoch sie dann ist.
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von n.
Hilfe 2
Setze a = 3 ein und bilde n′. Vergleiche mit dem Anfang und dem Verhalten für große t.
b) Der Landwirt ändert die Düngermenge und damit a. Begründe, dass sich dabei der Zeitpunkt der höchsten Konzentration nicht ändert, die höchste Konzentration selbst aber schon.
Hilfe 1
Wie sieht n′ mit dem Parameter a aus? Welcher Faktor ändert sich, wenn a sich ändert?
Hilfe 2
Was bestimmt die Nullstelle von n′?
c) Bestimme a so, dass die höchste Konzentration genau 5 mg pro Liter beträgt.
Hilfe 1
Welche Stelle gehört zur höchsten Konzentration, und welchen Wert hat n dort in Abhängigkeit von a?
Hilfe 2
Setze diesen Wert gleich 5 und löse nach a auf.
Lösung zeigen
a) Größter Wert, Bereich t ≥ 0 ohne rechten Rand.
n(t) = 3t · e−0,25t, n′(t) = (3 − 0,75t) · e−0,25t = 0 ⇔ t = 4. n′ wechselt von + nach −: Hochpunkt, n(4) = 12e−1 ≈ 4,41
Rand: n(0) = 0, und n(t) → 0 für t → ∞.
Vier Tage nach dem Düngen ist die Konzentration mit rund 4,41 mg pro Liter am höchsten.
b) Begründen ohne Zahlen: Der Parameter steht als Faktor vor dem Term.
n′(t) = a · (1 − 0,25t) · e−0,25t. Die Faktoren a > 0 und e−0,25t > 0 ändern die Nullstelle nicht: n′(t) = 0 ⇔ t = 4 für jedes a.
Der Wert n(4) = 4a · e−1 ist proportional zu a und ändert sich deshalb mit a.
c) Rückwärts: Der Wert des Hochpunkts ist gegeben, der Parameter gesucht.
Der Hochpunkt liegt für jedes a bei t = 4: n(4) = 4a · e−1 = 5 ⇔ a = 5e4 ≈ 3,40
Mit a ≈ 3,40 beträgt die höchste Konzentration 5 mg pro Liter.
Klausuraufgabe
4.1Kartenvorverkauf
Für ein Konzert beginnt der Vorverkauf der Eintrittskarten im Internet. Im Modell beschreibt v(t) = (400 + 200t) · e−0,2t die Verkaufsrate, also die Zahl der verkauften Karten pro Tag (t in Tagen seit Beginn des Vorverkaufs, t ≥ 0). Die Abbildung zeigt den Graphen von v.
Abbildung
a) Berechne den Zeitpunkt, zu dem die Verkaufsrate am größten ist, und die Verkaufsrate zu diesem Zeitpunkt. Verwende v′(t) = (120 − 40t) · e−0,2t.3 BE
Hilfe 1
Gesucht ist der größte Wert von v. Welche Bedingung gilt für v′ an einer solchen Stelle?
Hilfe 2
Der Faktor e−0,2t ist nie null. Welcher Faktor von v′ muss null sein?
Hilfe 3
Prüfe die Art und vergleiche mit dem Anfang und dem Verhalten für große t.
b) Zu einem Zeitpunkt nimmt die Verkaufsrate am schnellsten ab. Bestimme diesen Zeitpunkt und deute den Wert von v′ dort im Sachzusammenhang. Verwende v″(t) = (8t − 64) · e−0,2t.2 BE
Hilfe 1
„am schnellsten ab“: Welche Funktion beschreibt die Änderung der Verkaufsrate?
Hilfe 2
Wo hat v′ seinen kleinsten Wert? Dafür brauchst du v″.
Hilfe 3
Welche Einheit hat v′, wenn v in Karten pro Tag gemessen wird?
c) Begründe anhand des Funktionsterms, wie sich die Verkaufsrate auf lange Sicht entwickelt, und deute das Ergebnis.2 BE
Hilfe 1
Betrachte beide Faktoren von v getrennt für t → ∞.
Hilfe 2
Welcher Faktor setzt sich durch?
d) Zeige, dass V mit V(t) = (−1 000t − 7 000) · e−0,2t eine Stammfunktion von v ist.2 BE
Hilfe 1
Was muss für V′ und v gelten?
Hilfe 2
Leite V mit der Produktregel ab.
e) Berechne, wie viele Karten von t = 0 bis t = 10 insgesamt verkauft werden.2 BE
Hilfe 1
Die Verkaufsrate ist eine Zahl pro Tag. Welche Größe erhältst du, wenn du über die Tage aufsummierst?
Hilfe 2
Setze die Grenzen in V ein.
f) Die Halle fasst 6 000 Karten. Ab t = 10 bleibt die Verkaufsrate auf ihrem Wert v(10) konstant. Bestimme, wann die Karten ausverkauft sind.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Karten fehlen nach t = 10 noch?
Hilfe 2
Welche Rate gilt ab t = 10?
Hilfe 3
Wie lange dauert es, bis die fehlende Zahl mit dieser konstanten Rate verkauft ist?
Lösung zeigen
a) „am größten“: größter Wert von v; der Bereich hat keinen rechten Rand.
v′(t) = 0 ⇔ 120 − 40t = 0 ⇔ t = 3 (der Faktor e−0,2t ist nie null)
v′ wechselt bei t = 3 von + nach − (der Faktor 120 − 40t wechselt): Hochpunkt. v(3) = 1 000 · e−0,6 ≈ 548,8
Rand: v(0) = 400 < 548,8, und v(t) → 0 für t → ∞.
Drei Tage nach Beginn des Vorverkaufs ist die Verkaufsrate am größten, rund 549 Karten pro Tag.
b) „am schnellsten ab“: kleinster Wert von v′, also Wendestelle von v.
v″(t) = 0 ⇔ 8t − 64 = 0 ⇔ t = 8. v″ wechselt von − nach +, v′ hat dort sein Minimum (v′(0) = 120 > 0 und v′(t) → 0 für t → ∞).
v′(8) = −200 · e−1,6 ≈ −40,4. Acht Tage nach Beginn des Vorverkaufs nimmt die Verkaufsrate am schnellsten ab, um rund 40 Karten pro Tag je Tag.
c) „auf lange Sicht“: Grenzwert für t → ∞; die e-Funktion setzt sich gegen den ganzrationalen Faktor durch.
Für t → ∞ wächst der Faktor 400 + 200t, aber e−0,2t → 0 setzt sich durch. Also gilt v(t) → 0.
Auf lange Sicht werden pro Tag immer weniger Karten verkauft; die Rate nähert sich null, ohne null zu erreichen (v(t) > 0 für alle t).
d) „Zeigen Sie, dass … Stammfunktion“: V ableiten.
Von t = 0 bis t = 10 werden rund 4 700 Karten verkauft.
f) „bleibt konstant“: lineares Wachstum ab t = 10; die Restmenge wird mit der Rate v(10) verkauft.
Bis t = 10 sind rund 4 699 Karten verkauft; es fehlen 6 000 − 4 699 = 1 301 Karten.
Rate ab t = 10: v(10) = 2 400 · e−2 ≈ 324,8 Karten pro Tag.
Dauer: 1 301 : 324,8 ≈ 4,0 Tage, also t ≈ 14.
Etwa 14 Tage nach Beginn des Vorverkaufs sind die Karten ausverkauft.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Die e-Funktion in Aufgaben“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.