Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Hier modellierst du Wachstum aus Messdaten: Du wählst einen Funktionstyp, bestimmst seine Zahlen aus den Daten und prüfst, ob das Modell zur Sache passt. Zwei Typen brauchst du. Beim unbegrenzten Wachstum wächst (oder fällt) der Bestand immer weiter. Beim begrenzten Wachstum nähert er sich einer Schranke S, ohne sie zu erreichen.
Modelle mit Messdaten schreibt man meist mit der Basis e. Aus der E-Phase kennst du f(t) = a · bt. Dieselbe Funktion lautet in der e-Form:
f(t) = a · ekt mit k = ln b
a ist der Anfangsbestand f(0).
k > 0 bedeutet Wachstum, k < 0 Abnahme. Den Faktor pro Zeitschritt bekommst du mit b = ek zurück.
Ableiten: f′(t) = k · a · ekt = k · f(t). Die Änderungsrate ist in jedem Moment proportional zum Bestand.
Beispiel: 500 mit 8 % Zuwachs pro Jahr
b = 1,08 ⇒ k = ln 1,08 ≈ 0,0770
f(t) = 500 · e0,077t
✎ Mini-Aufgabe: Schreibe N(t) = 2 000 · 0,85t in der e-Form. Liegt Wachstum oder Abnahme vor?
Lösung zeigen
k = ln 0,85 ≈ −0,1625, also N(t) = 2 000 · e−0,1625t. Wegen k < 0 nimmt der Bestand ab, und zwar um 15 % je Zeitschritt.
2. Exponentielles Wachstum aus Messwerten
Liegt ein Messwert bei t = 0, kennst du a sofort. Sonst setzt du beide Wertepaare in f(t) = a · ekt ein und teilst die Gleichungen durcheinander. Dabei fällt a heraus.
Rechne mit dem ungerundeten k weiter und runde erst am Ende. Sonst verschiebt sich a.
Echte Messwerte liegen nie genau auf einer Kurve. Ob ein exponentielles Modell passt, siehst du vorher an den Quotienten aufeinanderfolgender Werte bei gleichen Zeitabständen: Sie müssen ungefähr gleich sein. Nachher vergleichst du das Modell mit einem Messwert, den du nicht zum Aufstellen benutzt hast. Nimm zum Aufstellen zwei Werte, die weit auseinanderliegen, weil sich Messfehler dann weniger auswirken.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Bestand hat bei t = 1 den Wert 60 und bei t = 4 den Wert 103,68. Bestimme a und k.
Lösung zeigen
e3k = 103,68 : 60 = 1,728, also ek = 1,2 und k = ln 1,2 ≈ 0,1823. a = 60 : 1,2 = 50. Also f(t) = 50 · e0,1823t.
3. Begrenztes Wachstum
Viele Bestände können nicht beliebig wachsen: Ein Getränk wird im Zimmer höchstens so warm wie die Luft, ein Neubaugebiet füllt sich höchstens bis zur Zahl seiner Wohnungen. Dann nimmt nicht der Bestand exponentiell zu, sondern sein Abstand zur Schranke (der Restbestand) nimmt exponentiell ab:
f(t) = S − c · e−kt mit c = S − f(0) und k > 0
Der Graph nähert sich der waagerechten Geraden y = S, erreicht sie aber nie.
Liegt der Anfangsbestand über der Schranke (etwas kühlt ab), lautet der Ansatz f(t) = S + c · e−kt mit c = f(0) − S.
Beispiel: Joghurt mit 5 °C kommt in ein Zimmer mit 21 °C, nach 30 Minuten hat er 11 °C
S = 21, c = 21 − 5 = 16
21 − 16 · e−30k = 11 ⇒ e−30k = 0,625
−30k = ln 0,625 ⇒ k ≈ 0,01567
T(t) = 21 − 16 · e−0,01567t
✎ Mini-Aufgabe: Ein Bestand wächst begrenzt mit der Schranke S = 100. Zu Beginn beträgt er 20, nach 2 Tagen 60. Stelle die Funktionsgleichung auf.
Nachweis an einer Tabelle: Ob begrenztes Wachstum mit einer Schranke S vorliegt, prüfst du an den Abständen S − f(t). Bei gleichen Zeitabständen müssen ihre Quotienten gleich sein.
t
0
1
2
3
4
f(t)
10
30
40
45
47,5
50 − f(t)
40
20
10
5
2,5
Jeder Abstand ist halb so groß wie der vorige. Also liegt begrenztes Wachstum mit S = 50 vor, und es gilt e−k = 0,5, also k ≈ 0,6931 und f(t) = 50 − 40 · e−0,6931t. Die Quotienten der Bestände sind dagegen nicht gleich (30 : 10 = 3, aber 40 : 30 ≈ 1,33).
✎ Mini-Aufgabe: Im Abstand von je einer Minute wurden die Werte 90 · 82 · 75,6 · 70,48 gemessen. Weise nach, dass begrenztes Wachstum mit der Schranke S = 50 vorliegt.
Lösung zeigen
Die Abstände zu S sind 40, 32, 25,6 und 20,48. Die Quotienten 32 : 40, 25,6 : 32 und 20,48 : 25,6 sind alle 0,8. Also liegt begrenztes Wachstum mit S = 50 vor, und es gilt e−k = 0,8.
4. Geschwindigkeit und gesuchte Zeitpunkte
f(t) = S − c · e−kt ⇒ f′(t) = c · k · e−kt = k · (S − f(t))
Die Änderungsrate ist proportional zum Abstand von der Schranke. Am Anfang ist der Abstand am größten, dort wächst der Bestand am schnellsten. Je näher er an S kommt, desto langsamer wächst er.
t = ln 0,1875 : (−0,01567) ≈ 106,8: nach rund 107 Minuten
Einen gesuchten Zeitpunkt findest du, indem du die e-Potenz allein auf eine Seite bringst und dann den Logarithmus anwendest.
✎ Mini-Aufgabe: Für einen Bestand gilt f(t) = 60 − 45 · e−0,3t. Berechne die Änderungsrate bei t = 0 und bestimme, wann der Bestand 50 erreicht.
Lösung zeigen
f′(t) = 13,5 · e−0,3t, also f′(0) = 13,5. Dann 60 − 45 · e−0,3t = 50 ⇒ e−0,3t = 29 ⇒ t = ln 4,5 : 0,3 ≈ 5,0.
5. Die Graphen
Oben der Temperaturverlauf T(t) = 21 − 16 · e−0,01567t des Joghurts, gestrichelt die Schranke 21. Unten seine Änderungsrate T′(t). Je kleiner der Abstand zur Schranke, desto flacher der Graph und desto kleiner T′.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wächst begrenzt, nähert sich, höchstens, Platz für, Raumtemperatur, Kapazität
Schranke S
S steht oft nicht als Zahl da, sie kommt aus der Situation.
zu Beginn, bei Beobachtungsbeginn, Anfangsbestand
f(0), also t = 0
c = S − f(0), nicht c = f(0)
nach 4 Stunden, nach 3 Wochen
t = 4, t = 3
Auf die Zeiteinheit achten (Minuten, Stunden, Tage).
wie schnell nimmt zu, wie stark ändert sich zu diesem Zeitpunkt
Wert von f′ an der Stelle
Einheit: Größe pro Zeit. Bei Abnahme ist f′ negativ.
wann wächst am schnellsten (begrenztes Wachstum)
größter Wert von f′
Er liegt am Anfang, nicht in der Mitte.
nach wie vielen …, wann ist … erreicht
Gleichung f(t) = Wert, nach t lösen
Die Antwort ist ein Zeitpunkt.
prozentualer Zuwachs pro Zeiteinheit
b = ek, Zuwachs b − 1
nicht k · 100 % rechnen
gehen ohne Sprung und ohne Knick ineinander über
gleicher Funktionswert und gleiche Ableitung an der Übergangsstelle
Beides prüfen: Gleiche Funktionswerte allein lassen noch einen Knick zu.
Weise nach, dass begrenztes Wachstum vorliegt
Quotienten der Abstände S − f(t) gleich
Abstände zur Schranke, nicht die Bestände
7. Was nirgends steht
Die Schranke kommt aus der Sache (Raumtemperatur, Zahl der Plätze, Höchstwert), nicht aus der Rechnung.
Zeitabstand in Tabellen: Liegen die Werte 2 Tage auseinander und die Quotienten sind 0,5, dann gilt e−2k = 0,5, nicht e−k = 0,5.
Die Schranke wird nie erreicht. Die Frage „wann ist S erreicht?“ hat keine Lösung.
Beim begrenzten Wachstum wächst der Bestand am Anfang am schnellsten, auch wenn die Aufgabe nach einem Maximum fragt.
Ein Modell gilt nur im sinnvollen Bereich: Prognosen weit außerhalb der Messwerte sind unsicher, und ein exponentielles Modell kennt keine Platzgrenze.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Eine Suppe hat beim Servieren (t = 0) 90 °C, nach 10 Minuten (t = 10) 70 °C. Im Raum sind es 22 °C. Wann hat die Suppe 40 °C?
Was ist gefragt? Der Zeitpunkt t mit T(t) = 40.
Was steht nicht da? Die Raumtemperatur ist die Schranke S = 22. Die Suppe kühlt von oben ab, also T(t) = 22 + c · e−kt mit c = 90 − 22 = 68.
Antwortsatz Nach rund 38 Minuten (t ≈ 38) hat die Suppe 40 °C.
Prüfen Bei t = 10 sind es 70 °C, bei t = 38 etwa 40 °C und die Raumtemperatur 22 °C liegt darunter. Die Suppe wird langsamer kälter. Das passt.
9. Typische Fehler
c = f(0) statt c = S − f(0) setzen. Dann stimmt schon der Anfangswert des Modells nicht.
Das Minus im Exponenten vergessen: Mit k > 0 muss e−kt im Ansatz stehen.
Den Logarithmus einer negativen Zahl bilden wollen. Dahinter steckt fast immer ein Vorzeichenfehler beim Freistellen der e-Potenz.
k früh runden und mit dem gerundeten Wert weiterrechnen.
Beim Nachweis die Quotienten der Bestände statt der Abstände zur Schranke bilden.
Die Schranke als Wert deuten, der irgendwann erreicht wird.
Änderungsrate und Bestand verwechseln: f′(t) hat die Einheit Größe pro Zeit, f(t) die Einheit der Größe.
Rechnen
2.1Andere Schreibweise
a) Schreibe N(t) = 300 · 1,2t in der Form a · ekt. Gib k auf drei Nachkommastellen an.
Hilfe 1
Welche Zahl x erfüllt ex = 1,2?
Hilfe 2
Setze 1,2 = eln 1,2 in den Term ein und wende ein Potenzgesetz an.
b) Schreibe M(t) = 80 · 0,9t ebenso und entscheide, ob der Bestand wächst oder abnimmt.
Hilfe 1
Wie lässt sich der Faktor 0,9 mit der Basis e schreiben?
Hilfe 2
Welches Vorzeichen hat ln 0,9?
Lösung zeigen
a) Gleicher Bestand, andere Basis: bt wird zu et · ln b.
N(t) = 300 · et · ln 1,2, also k ≈ 0,182
N(t) = 300 · e0,182t
b) Das Vorzeichen von k entscheidet über die Richtung.
M(t) = 80 · et · ln 0,9, k ≈ −0,105
Wegen k < 0 nimmt der Bestand ab.
2.2Zwei Messwerte
Ein Bestand wächst exponentiell mit f(t) = a · ekt. Der Graph von f verläuft durch P(2 | 45) und Q(6 | 405). Bestimme a und k.
Hilfe 1
Setze beide Punkte in den Ansatz ein. Was passiert mit a, wenn du die Gleichungen durcheinander teilst?
Hilfe 2
Aus e4k = Zahl bekommst du k mit dem Logarithmus.
Hilfe 3
Setze k in eine der beiden Gleichungen ein.
Lösung zeigen
Zwei Punkte, zwei Unbekannte: Gleichungen teilen, dann a bestimmen.
f(2) = 45: a · e2k = 45; f(6) = 405: a · e6k = 405
Quotient: e4k = 9. Daraus folgt k ≈ 0,549 (genau k = (ln 9) : 4); es gilt e2k = 3.
a = 45 : e2k = 45 : 3. Also a = 15.
f(t) = 15 · e0,549t
2.3Begrenzter Bestand
Die Masse einer Bakterienkultur wächst begrenzt mit der Schranke 120 g. Zu Beginn (t = 0) beträgt sie 30 g, nach 3 Stunden (t = 3) 75 g. Dabei ist t die Zeit in Stunden und f(t) die Masse in Gramm.
a) Bestimme die Funktionsgleichung der Masse f(t).
Hilfe 1
Wie weit ist der Bestand zu Beginn von der Schranke entfernt?
Hilfe 2
Setze f(3) = 75 in den Ansatz ein und bringe die e-Potenz allein auf eine Seite.
Hilfe 3
Aus der e-Potenz bekommst du k mit dem Logarithmus.
b) Mit dem Ergebnis aus a) (gerundet) gilt f(t) = 120 − 90 · e−0,231t. Berechne, wie schnell die Masse zwei Stunden nach Beginn (t = 2) zunimmt, und deute den Wert.
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt, wie schnell sich f ändert?
Hilfe 2
Die Ableitung von e−kt hat einen Faktor −k.
Lösung zeigen
a) „wächst begrenzt“: Ansatz mit Schranke; Anfangswert und ein zweiter Wert legen c und k fest.
Ansatz f(t) = S − c · e−kt mit S = 120. Der Abstand zur Schranke bei t = 0 ist c = 90.
b) „wie schnell“: Wert von f′, mit Einheit Gramm pro Stunde.
f′(t) = 90 · 0,231 · e−0,231t = 20,79 · e−0,231t
f′(2) ≈ 13,1.
Zwei Stunden nach Beginn nimmt die Masse mit 13,1 g pro Stunde zu.
2.4Werte und Zeitpunkte
Für die Masse einer Pflanzenkolonie gilt g(t) = 80 − 50 · e−0,25t. Dabei ist t die Zeit in Wochen und g(t) die Masse in Kilogramm.
a) Gib die Masse zu Beginn und die Schranke an.
Hilfe 1
Welchen Wert hat e0?
Hilfe 2
Was geschieht mit e−0,25t für sehr große t?
b) Berechne die Masse nach 6 Wochen (t = 6).
Hilfe 1
Setze t = 6 in den Term ein.
c) Bestimme, nach wie vielen Wochen die Masse 70 kg beträgt.
Hilfe 1
Setze g(t) = 70 und bringe die e-Potenz allein auf eine Seite.
Hilfe 2
Wende auf beide Seiten den Logarithmus zur Basis e an.
Lösung zeigen
a) Beim Ansatz S − c · e−kt steht S allein, f(0) ist S − c.
g(0) = 80 − 50 = 30: Zu Beginn sind es 30 kg.
Die Schranke ist 80 kg.
b) Einsetzen: t = 6.
g(6) = 80 − 50 · e−1,5 ≈ 68,8 kg
c) „nach wie vielen Wochen“: Gleichung g(t) = 70 nach t lösen.
80 − 50 · e−0,25t = 70 ⇔ e−0,25t = 0,2
−0,25t = ln 0,2, also t = 4 · ln 5 ≈ 6,4
Nach etwa 6,4 Wochen (t ≈ 6,4) beträgt die Masse 70 kg.
2.5Messreihe prüfen
Die Masse eines Bestands (in g) wurde in gleichen Zeitabständen gemessen. Zu den Zeitpunkten t = 0, 1, 2, 3, 4 (in Stunden) ergaben sich die Werte 12 · 36 · 48 · 54 · 57.
a) Weise nach, dass die Masse begrenzt wächst, und zwar mit der Schranke 60 g.
Hilfe 1
Welche Größe muss bei gleichen Zeitabständen immer denselben Quotienten liefern?
Hilfe 2
Bilde diese Größe für alle fünf Messzeitpunkte.
b) Gib eine Funktionsgleichung für f(t) an.
Hilfe 1
Was ist der Quotient der Abstände je eine Stunde in der Formel?
Lösung zeigen
a) „Weisen Sie nach“: Abstände zur Schranke bilden, nicht die Werte selbst.
Abstände zur Schranke 60 − f(t) für t = 0, 1, 2, 3, 4: 48 · 24 · 12 · 6 · 3.
Bei gleichen Zeitabständen sind alle Quotienten 24 : 48 = 12 : 24 = 6 : 12 = 3 : 6 = 0,5. Also liegt begrenztes Wachstum mit S = 60 vor.
b) Der Quotient der Abstände je Zeiteinheit ist e−k.
c = 60 − 12 = 48. Aus e−k = 0,5 folgt k ≈ 0,693.
f(t) = 60 − 48 · e−0,693t
Ohne Taschenrechner
2.6Unbekannte Konstante
Für die Masse eines begrenzt wachsenden Bestands gilt f(t) = 100 − 80 · e−kt mit k > 0. Dabei ist t die Zeit in Tagen und f(t) die Masse in Gramm.
a) Zu Beginn (t = 0) nimmt die Masse mit 8 g pro Tag zu. Bestimme k.
Hilfe 1
Welche Funktion gibt die Zunahme pro Tag an?
Hilfe 2
Setze t = 0 ein.
b) Bestimme, nach wie vielen Tagen die Masse 60 g erreicht.
Hilfe 1
Setze f(t) = 60 und bringe die e-Potenz allein auf eine Seite.
Lösung zeigen
a) Die Änderungsrate zu Beginn steht für f′(0).
f′(t) = 80k · e−kt, also f′(0) = 80k
80k = 8, also k = 0,1
b) Mit k = 0,1 bekannt: Gleichung f(t) = 60 lösen.
100 − 80 · e−0,1t = 60 ⇔ e−0,1t = 0,5
t = 10 · ln 2 (≈ 6,9). Nach 10 · ln 2 Tagen beträgt die Masse 60 g.
2.7Aus dem Graphen
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f, die begrenztes Wachstum beschreibt (t in Tagen, f(t) Masse in Gramm).
Material
Lies die Schranke, den Anfangswert und den Wert für t = 1 am Graphen ab. Bestimme damit eine Funktionsgleichung der Form f(t) = S − c · e−kt.
Hilfe 1
Wohin läuft der Graph auf lange Sicht? Wo startet er?
Hilfe 2
Mit S und f(0) kennst du c. Setze dann den dritten Wert ein.
Lösung zeigen
„Lies ab“: drei Werte aus der Zeichnung, dann wie gewohnt rechnen.
Abgelesen: S ≈ 80, f(0) ≈ 30, f(1) ≈ 55. Abweichungen um etwa 2 sind in Ordnung; dann ändern sich c und k nur wenig.
c = 80 − 30 = 50. 80 − 50 · e−k = 55 ⇔ e−k = 0,5, also k = ln 2 ≈ 0,69.
f(t) = 80 − 50 · e−0,69t
2.8Eine Konstante offen
Für einen Parameter k > 0 gilt f(t) = 60 − 40 · e−kt. Dabei ist t die Zeit in Tagen und f(t) die Masse in Gramm.
a) Bestimme k so, dass die Masse nach 3 Tagen (t = 3) genau 50 g beträgt.
Hilfe 1
Setze t = 3 und f(3) = 50 ein.
Hilfe 2
Löse wie bei einem gesuchten Zeitpunkt, nur nach k.
b) Ein zweiter Bestand hat dieselbe Gleichung mit einem größeren k. Beschreibe, was sich am Graphen ändert und was gleich bleibt.
Hilfe 1
Welche Zahlen in f(t) = 60 − 40 · e−kt enthalten k nicht?
Lösung zeigen
a) Parameter bestimmen: den Wert einsetzen und nach k statt nach t auflösen.
60 − 40 · e−3k = 50 ⇔ e−3k = 0,25
−3k = ln 0,25, also k = (ln 4) : 3 = (2 · ln 2) : 3 ≈ 0,46
b) Was hängt von k ab, und was nicht? Schranke und Startwert nicht.
Gleich bleiben die Schranke 60 und der Anfangswert f(0) = 20.
Der Graph steigt am Anfang steiler (f′(0) = 40k wird größer) und nähert sich schneller der Schranke.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Video hat zu Beginn (t = 0) 2 Tausend Aufrufe, nach 5 Stunden (t = 5) 13,1 Tausend. Es gibt keine Grenze für die Zunahme. Wann sind es 50 Tausend Aufrufe? (2) Ein Getränk aus dem Kühlschrank (6 °C) steht in einem Zimmer mit 22 °C. Nach 20 Minuten hat es 12 °C. Welche Temperatur hat es nach einer Stunde? (3) Die Wirkstoffmenge im Blut einer Patientin wächst während einer Infusion begrenzt. Wann wächst sie am schnellsten?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Steht etwas im Text, das den Bestand nach oben begrenzt?
Hilfe 2
Bei (3): Es geht um die Änderung des Bestands, nicht um den Bestand selbst. Wie verläuft diese Änderung?
b) Ein Neubaugebiet bietet Wohnraum für höchstens 600 Menschen. Bei der Eröffnung (t = 0) wohnen dort 60 Menschen, nach 4 Jahren (t = 4) sind es 300. Die Zahl E(t) der Einwohner wächst begrenzt. Nach wie vielen Jahren wohnen dort 500 Menschen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: Die Schranke ist …, und c = … 3. Rechnen: e−4k = …; k ≈ …; t = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Zahl im Text begrenzt die Einwohnerzahl?
Hilfe 2
Wie weit ist der Anfangsbestand von dieser Zahl entfernt?
Hilfe 3
Zuerst k aus dem Wert nach 4 Jahren bestimmen, dann E(t) = 500 lösen.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: unbegrenztes Modell mit Zeitpunkt, begrenztes Modell mit Wert, größte Änderungsrate am Rand.
(1) Gesucht ist der Zeitpunkt t mit f(t) = 50. Ansatz f(t) = a · ekt: a = 2 aus t = 0, k aus f(5) = 13,1, dann 2 · ekt = 50 lösen.
(2) Gesucht ist T(60). Die Zimmertemperatur ist die Schranke S = 22: Ansatz T(t) = 22 − c · e−kt mit c = 22 − 6 = 16, k aus T(20) = 12, dann t = 60 einsetzen.
(3) Gesucht ist der größte Wert der Änderungsrate f′. Bei begrenztem Wachstum fällt f′ mit der Zeit, der größte Wert liegt also am Anfang (t = 0). Eine Gleichung ist nicht nötig.
b) „höchstens 600“ steht für die Schranke. Gefragt ist ein Zeitpunkt, also eine Gleichung E(t) = 500.
1. Gefragt ist der Zeitpunkt t mit E(t) = 500.
2. Die Schranke ist die Zahl der Wohnplätze, S = 600. Der Abstand zu Beginn ist c = 600 − 60 = 540.
3. 600 − 540 · e−4k = 300 ⇔ e−4k = 59, also k ≈ 0,147. Dann 600 − 540 · e−0,147t = 500 ⇔ e−0,147t = 527, also t ≈ 11,5.
4. Nach etwa 11,5 Jahren (t ≈ 11,5) wohnen dort 500 Menschen.
5. Nach 4 Jahren sind es 300 Menschen, 500 erst nach mehr als doppelt so langer Zeit: Das Wachstum wird langsamer, und 500 liegt unter der Schranke 600. Das passt.
3.2Schimmel auf Brot
Auf einer Brotscheibe mit 100 cm² Fläche breitet sich Schimmel aus. Die befallene Fläche N (in cm²) wurde alle 2 Tage gemessen, t ist die Zeit in Tagen seit Messbeginn. Für t = 0, 2, 4, 6, 8 ergaben sich die Werte 2,0 · 3,6 · 6,6 · 12,1 · 22,0.
a) Begründe, dass sich die Entwicklung näherungsweise durch exponentielles Wachstum beschreiben lässt, und bestimme mit den Werten für t = 0 und t = 8 ein Modell N(t) = a · ekt.
Hilfe 1
Wann ist ein exponentielles Modell vertretbar? Prüfe Quotienten.
Hilfe 2
Wie lautet N(0) im Ansatz?
Hilfe 3
Teile nach a auf, dann k aus N(8).
b) Bestimme mit dem Modell, wann die gesamte Scheibe befallen wäre, und berechne die befallene Fläche, die das Modell für t = 30 voraussagt.
Hilfe 1
Welche Zahl im Text begrenzt die Fläche?
Hilfe 2
Setze N(t) gleich dieser Zahl.
c) Beurteile, wie verlässlich die Vorhersage für t = 30 ist.
Hilfe 1
Vergleiche den berechneten Wert mit dem, was auf der Scheibe möglich ist.
Lösung zeigen
a) Zwei Aufträge: Passt der Modelltyp? Dann Parameter aus zwei Werten.
Quotienten bei gleichen Zeitabständen: 3,6 : 2,0 = 1,8; 6,6 : 3,6 ≈ 1,83; 12,1 : 6,6 ≈ 1,83; 22,0 : 12,1 ≈ 1,82. Sie sind ungefähr gleich, also passt ein exponentielles Modell.
N(0) = 2, also a = 2. N(8) = 22: 2 · e8k = 22 ⇔ e8k = 11, also k = (ln 11) : 8 ≈ 0,2997.
N(t) = 2 · e0,2997t
b) Die Gesamtfläche (100 cm²) steht in der Einleitung: gesucht ist der Zeitpunkt, an dem N(t) = 100 gilt.
2 · e0,2997t = 100 ⇔ e0,2997t = 50, also t ≈ 13,1. Nach rund 13 Tagen (t ≈ 13,1) wäre die Scheibe befallen.
N(30) = 2 · e0,2997 · 30 ≈ 16 000 cm².
c) Modellgrenze erkennen: Die Situation hat eine Obergrenze, das Modell nicht.
Die Vorhersage von etwa 16 000 cm² ist unbrauchbar: Die Scheibe hat nur 100 cm².
Das exponentielle Modell kennt keine Grenze. Es passt nur, solange Platz bleibt, hier bis etwa t = 13. Danach würde ein begrenztes Modell mit der Schranke 100 cm² besser passen.
3.3Dauerinfusion
Einer Patientin wird ein Wirkstoff über eine Dauerinfusion verabreicht. Vor Beginn ist kein Wirkstoff im Blut. Die Wirkstoffkonzentration wird durch die Funktion K beschrieben (t in Stunden seit Beginn der Infusion, K(t) in mg pro Liter). Das Material zeigt den Graphen von K.
Material
a) Lies am Graphen ab, welchem Wert sich die Konzentration auf lange Sicht nähert, und den Wert für t = 2. Bestimme damit eine Funktionsgleichung K(t) = S − c · e−kt.
Hilfe 1
Wo startet der Graph? Wohin läuft er?
Hilfe 2
Was sagt „kein Wirkstoff vor Beginn“ über c?
b) Berechne, wie schnell die Konzentration vier Stunden nach Beginn (t = 4) zunimmt, und deute den Wert.
Hilfe 1
Welche Funktion gibt die Zunahme pro Stunde an?
Hilfe 2
Welche Einheit hat sie?
c) Wirksam ist der Wirkstoff erst ab 7,5 mg pro Liter. Bestimme, nach wie vielen Stunden dieser Wert erreicht wird.
Hilfe 1
Setze K(t) = 7,5 und bringe die e-Potenz allein auf eine Seite.
d) Die Ärztin möchte, dass die Konzentration 8 mg pro Liter erreicht. Beurteile, ob das mit dieser Infusion möglich ist.
Hilfe 1
Was ergibt die Gleichung K(t) = 8?
Lösung zeigen
a) Ablesen und Rechnen: Die Schranke liest man am Graphen, und „kein Wirkstoff vor Beginn“ liefert K(0) = 0.
Abgelesen: S ≈ 8 und K(2) ≈ 4 (Abweichungen um etwa 0,2 sind in Ordnung). Vor Beginn ist K(0) = 0, also c = 8.
8 − 8 · e−2k = 4 ⇔ e−2k = 0,5, also k = (ln 2) : 2 ≈ 0,347.
K(t) = 8 − 8 · e−0,347t
b) Änderungsrate gefragt: Wert von K′ mit Einheit (mg pro Liter und Stunde).
Vier Stunden nach Beginn der Infusion nimmt die Konzentration mit 0,69 mg pro Liter und Stunde zu.
c) Zeitpunkt gesucht: K(t) = 7,5 lösen.
8 − 8 · e−0,347t = 7,5 ⇔ e−0,347t = 116
t = ln 16 : 0,347 ≈ 8,0. Nach 8 Stunden (t = 8) wird 7,5 mg pro Liter erreicht.
d) Schranke gefragt: Sie wird nie erreicht.
Nein: 8 mg pro Liter ist die Schranke. Aus 8 − 8 · e−0,347t = 8 folgt e−0,347t = 0, und diese Gleichung hat keine Lösung. Die Konzentration nähert sich 8, erreicht den Wert aber nie.
3.4Schadstoff im See
In einem See wird nach einem Unfall die Konzentration eines Schadstoffs gemessen (t in Tagen seit dem Unfall, K(t) in mg pro Liter). Zu Beginn (t = 0) sind es 80 mg pro Liter, nach 5 Tagen (t = 5) sind es 52 mg pro Liter. Die Konzentration nimmt exponentiell ab. Zum Baden ist der See erst wieder geeignet, wenn sie unter dem Grenzwert von 10 mg pro Liter liegt.
a) Bestimme die Funktionsgleichung K(t) = a · ekt.
Hilfe 1
Welcher Wert gibt a unmittelbar?
Hilfe 2
Löse die Gleichung für t = 5 nach der e-Potenz auf.
b) Bestimme, von welchem Zeitpunkt an die Konzentration unter dem Grenzwert liegt.
Hilfe 1
Welche Gleichung gehört zum Grenzwert?
Hilfe 2
Wenn der Bestand fällt: Liegt er vor oder nach der Lösung unter dem Grenzwert?
c) Berechne, wie schnell die Konzentration fünf Tage nach dem Unfall (t = 5) abnimmt, und deute den Wert.
Hilfe 1
Welche Funktion gibt die Änderung pro Tag an?
Hilfe 2
Was bedeutet das Vorzeichen für die Richtung?
Lösung zeigen
a) Zwei Werte, exponentieller Ansatz: a aus t = 0, k aus dem zweiten Wert. k wird negativ.
a = 80. 80 · e5k = 52 ⇔ e5k = 0,65, also k ≈ −0,086 (genau k = (ln 0,65) : 5).
K(t) = 80 · e−0,086t
b) „unter dem Grenzwert“: Gleichung K(t) = 10; weil K fällt, gilt danach K(t) < 10.
80 · e−0,086t = 10 ⇔ e−0,086t = 0,125
t = ln 0,125 : (−0,086) ≈ 24,2. Von etwa 24 Tagen nach dem Unfall an (t ≈ 24,2) liegt die Konzentration unter 10 mg pro Liter.
c) Änderungsrate gefragt: negativer Wert bedeutet Abnahme, in der Antwort als Abnahme formulieren.
Fünf Tage nach dem Unfall sinkt die Konzentration um etwa 4,5 mg pro Liter und Tag.
3.5Sonnenblume
Eine Sonnenblume wird alle 2 Wochen gemessen. Dabei ist t die Zeit in Wochen seit Messbeginn und h(t) die Höhe in cm. Für t = 0, 2, 4, 6, 8 ergaben sich die Werte 80 · 160 · 200 · 220 · 230. Die Sonnenblume wird höchstens 240 cm hoch.
a) Weise nach, dass die Höhe näherungsweise begrenzt wächst, und zwar mit der Schranke 240 cm, und bestimme eine Funktionsgleichung h(t).
Hilfe 1
Welche Größe nimmt bei begrenztem Wachstum exponentiell ab?
Hilfe 2
Wie viel Zeit liegt zwischen zwei Messwerten? Was bedeutet das für e−k?
b) Bestimme, wann die Sonnenblume am schnellsten wächst, und gib diese Wachstumsgeschwindigkeit an.
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt die Wachstumsgeschwindigkeit?
Hilfe 2
Wie verläuft sie mit der Zeit?
c) Ein Gärtner sagt: „Nach 14 Wochen (t = 14) ist die Sonnenblume 240 cm hoch.“ Beurteile die Aussage mit dem Modell.
Hilfe 1
Berechne h(14).
Hilfe 2
Kann der Graph die Schranke je berühren?
Lösung zeigen
a) Zwei Aufgaben: Nachweis über die Abstände, dann das Modell. Stille Bedingung: Der Zeitschritt ist 2 Wochen.
Abstände zur Schranke bei t = 0, 2, 4, 6, 8: 160 · 80 · 40 · 20 · 10. Die Quotienten im Abstand von 2 Wochen sind alle 0,5.
Also begrenztes Wachstum mit S = 240, c = 240 − 80 = 160. Weil 2 Wochen dazwischen liegen, gilt e−2k = 0,5, also k ≈ 0,347 je Woche.
h(t) = 240 − 160 · e−0,347t
b) „am schnellsten“ heißt größter Wert von h′. Hier fällt h′ von Anfang an.
h′(t) = 160 · 0,347 · e−0,347t ≈ 55,5 · e−0,347t ist positiv und fällt mit t.
Der größte Wert liegt am Anfang: Zu Beginn (t = 0) wächst die Sonnenblume am schnellsten, mit h′(0) ≈ 55,5 cm pro Woche.
c) Schranke und „erreicht“: Das Modell erreicht S nie, kommt ihr aber beliebig nah.
h(14) = 240 − 160 · e−0,347 · 14 ≈ 238,8. Nach dem Modell fehlen etwa 1,2 cm.
Die Schranke 240 wird nie genau erreicht. Als Näherung („fast 240 cm“) stimmt die Aussage, im Wortlaut nicht.
Klausuraufgabe
4.1Nutzer der Plattform
Nach dem Start einer Online-Plattform für Fahrgemeinschaften wird die Zahl der aktiven Nutzer (in Tausend) in Abhängigkeit von der Zeit t (in Wochen seit dem Start) gemessen. Für t = 2, 4, 6, 8 ergaben sich die Werte 1,0 · 2,1 · 4,0 · 8,1.
a) Bis zum Ende von Woche 8 (t = 8) lässt sich die Nutzerzahl durch f(t) = a · ekt modellieren (f(t) in Tausend). Berechne mithilfe der Werte für t = 2 und t = 6 eine Funktionsgleichung von f.3 BE
Hilfe 1
Setze beide Wertepaare in den Ansatz ein und teile.
Hilfe 2
Aus der e-Potenz für k den Logarithmus anwenden, danach a bestimmen.
b) Erläutere die Bedeutung von a im Sachzusammenhang und berechne, um wie viel Prozent die Nutzerzahl pro Woche zunimmt.3 BE
Hilfe 1
Was ergibt f(0)?
Hilfe 2
Um welchen Faktor wächst f in einem Tag?
c) Ab t = 8 wird die Nutzerzahl durch g(t) = 16 − 128 · e−0,3466t modelliert (g(t) in Tausend). Zeige rechnerisch, dass die Graphen von f und g an der Stelle t = 8 bei Rundung auf eine Nachkommastelle ohne Sprung und ohne Knick ineinander übergehen.4 BE
Hilfe 1
Welche beiden Größen müssen an der Stelle t = 8 übereinstimmen, damit weder Sprung noch Knick entsteht?
Hilfe 2
Die Steigung ist die Ableitung.
d) Berechne nach diesem Modell, nach wie vielen Wochen die Nutzerzahl 15 Tausend übersteigt.2 BE
Hilfe 1
Setze g(t) = 15 und bringe die e-Potenz allein auf eine Seite.
e) Die Nutzerzahl nähert sich nach diesem Modell langfristig einem Wert. Begründe das anhand des Funktionsterms von g und deute den Wert im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Was passiert mit e−0,3466t für sehr große t?
Lösung zeigen
a) Zwei Werte, zwei Unbekannte: Gleichungen teilen.
f(2) = 1,0: a · e2k = 1,0; f(6) = 4,0: a · e6k = 4,0
Quotient: e4k = 4, also k = (ln 4) : 4 ≈ 0,3466; es gilt e2k = 2.
a = 1,0 : 2 = 0,5. Also f(t) = 0,5 · e0,3466t.
b) a ist der Anfangsbestand. „Prozent pro Woche“ ist der Faktor ek minus 1, nicht k.
a = f(0) = 0,5: Zu Beginn (t = 0), beim Start der Plattform, waren es 0,5 Tausend, also 500 Nutzer.
Faktor pro Woche: ek = e0,3466 ≈ 1,414. Die Nutzerzahl nimmt pro Woche um etwa 41 % zu.
c) „ohne Sprung und ohne Knick“: gleicher Wert und gleiche Steigung an der Übergangsstelle.
Kein Sprung: f(8) = 0,5 · e2,7728 ≈ 8,0 und g(8) = 16 − 128 · e−2,7728 ≈ 8,0.
Kein Knick: gleiche Steigung. f′(t) = 0,5 · 0,3466 · e0,3466t, also f′(8) ≈ 2,8. g′(t) = 128 · 0,3466 · e−0,3466t, also g′(8) ≈ 2,8.
Funktionswerte und Steigungen stimmen bei t = 8 überein, also gehen die Graphen ohne Sprung und Knick ineinander über.
d) Zeitpunkt zu einem Wert: Gleichung g(t) = 15 lösen.
16 − 128 · e−0,3466t = 15 ⇔ e−0,3466t = 1128
t = ln 128 : 0,3466 ≈ 14,0. Ab 14 Wochen nach dem Start (t = 14) liegt die Nutzerzahl über 15 Tausend.
e) Schranke aus dem Term: Der Faktor vor e−kt wird beliebig klein.
Für t → ∞ geht e−0,3466t gegen 0, also g(t) gegen 16.
Die Nutzerzahl nähert sich langfristig 16 Tausend, ohne sie zu erreichen: Nach dem Modell gibt es nicht mehr als 16 000 Interessenten.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Die e-Funktion in Aufgaben“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.