Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher war bei Integralaufgaben die Rechnung vorgegeben: Funktion und Grenzen standen da, gesucht war ein Wert. Hier dreht sich die Richtung um. Das Ergebnis steht in der Aufgabe, und im Integral fehlt etwas: eine Grenze, ein Parameter oder der Anfangswert eines Bestands. Dazu kommen zwei Fragen, bei denen ein Integral durch die Länge eines Zeitraums geteilt wird: die mittlere Änderungsrate und der mittlere Bestand. Zuletzt begründest du Aussagen über Integrale, ohne zu rechnen.
Integral ausrechnen → Gleichung aufstellen → auflösen → Lösung prüfen
2. Grenze oder Parameter gesucht
Du rechnest das Integral wie immer aus, nur bleibt ein Buchstabe stehen. Aus dem vorgegebenen Wert wird eine Gleichung, die du nach diesem Buchstaben auflöst. Ein Summand a ist beim Integrieren eine Konstante (Stammfunktion a · x), ein Faktor a bleibt Faktor.
Beispiel: obere Grenze, ∫1b 3x² dx = 26
∫1b 3x² dx = [x³] von 1 bis b = b³ − 1
b³ − 1 = 26 ⇔ b³ = 27 ⇔ b = 3
Probe: 3³ − 1 = 26
Beispiel: Parameter, ∫03 (x² + a) dx = 15
∫03 (x² + a) dx = [⅓x³ + a · x] von 0 bis 3 = 9 + 3a
9 + 3a = 15 ⇔ a = 2
Steht der gesuchte Buchstabe in der unteren Grenze, geht er mit einem Minuszeichen ein: ∫a4 2x dx = 16 − a².
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme b > 0 mit ∫0b 2x dx = 25.
Lösung zeigen
∫0b 2x dx = b². Aus b² = 25 folgt b = 5, denn b > 0. Probe: 5² = 25.
3. Zwei Lösungen: Welche passt?
Führt die Gleichung auf einen quadratischen Term, gibt es oft zwei Lösungen. Beide lösen die Gleichung. Ob beide zur Aufgabe passen, entscheidet der Sachzusammenhang: der Zeitraum, in dem das Modell gilt, und der Verlauf der Rate.
Beispiel: Zufluss f(t) = 8 − 2t (Liter pro Stunde), Becken zu Beginn leer
Wann sind 12 Liter im Becken? ∫0b (8 − 2x) dx = 8b − b²
8b − b² = 12 ⇔ b² − 8b + 12 = 0 ⇔ b = 2 oder b = 6
Die Rate ist bis t = 4 positiv und danach negativ (Abfluss). Der Bestand steigt bis t = 4 auf 16 Liter und sinkt danach wieder. Den Wert 12 erreicht er zweimal: nach 2 Stunden beim Steigen, nach 6 Stunden beim Sinken.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Rate ist f(t) = 6 − 2t (Liter pro Stunde), das Becken ist zu Beginn leer. Wann sind 5 Liter im Becken? Deute die Lösungen.
Lösung zeigen
∫0b (6 − 2x) dx = 6b − b² = 5 ⇔ b² − 6b + 5 = 0 ⇔ b = 1 oder b = 5. Die Rate ist bis t = 3 positiv: Nach 1 Stunde steigt der Bestand durch 5 Liter, nach 5 Stunden sinkt er (Abfluss) wieder durch 5 Liter.
4. Bestand rekonstruieren
Das Integral einer Rate liefert nur die Änderung des Bestands. Den Bestand selbst bekommst du mit dem Anfangswert.
Nach 8 Stunden: B(8) = 10 + 40 − 16 = 34. Zugeflossen sind 24 Liter, im Becken sind 34.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Rate ist f(t) = 2t + 1 (Liter pro Stunde), zu Beginn sind 7 Liter im Becken. Bestimme B und berechne B(4).
Lösung zeigen
B(t) = 7 + t² + t. B(4) = 7 + 16 + 4 = 27. Zugeflossen sind in diesen 4 Stunden nur 20 Liter.
5. Mittlere Änderungsrate und mittlerer Bestand
Die mittlere Änderungsrate ist die konstante Rate, die im selben Zeitraum dieselbe Änderung bewirkt hätte. Der mittlere Bestand ist der konstante Bestand, der dieselbe Fläche unter dem Bestandsgraphen ergäbe. Gerechnet wird beides mit dem Integral, geteilt durch die Länge des Zeitraums.
mittlere Änderungsrate = (1b − a) · ∫ab f(t) dt = B(b) − B(a)b − a
mittlerer Bestand = (1b − a) · ∫ab B(t) dt
Beispiel: das Becken von oben über [0; 8]
mittlere Rate: ∫08 f(t) dt = 40 − 16 = 24, also 248 = 3 Liter pro Stunde
Kontrolle über den Bestand: B(8) − B(0)8 = 34 − 108 = 3
mittlerer Bestand: ∫08 B(t) dt = [10t + 2,5t² − t³12] von 0 bis 8 = 80 + 160 − 51212 = 5923 ≈ 197,3, also 59224 ≈ 24,7 Liter
Plausibel: Der Bestand liegt zwischen 10 und 34 Litern, 24,7 liegt dazwischen. Die momentane Rate am Ende, f(8) = 1, ist etwas anderes als die mittlere Rate 3.
✎ Mini-Aufgabe: Für eine Änderungsrate f gilt ∫15 f(t) dt = 30. Berechne die mittlere Änderungsrate über [1; 5].
Lösung zeigen
Der Zeitraum ist 5 − 1 = 4 lang, nicht 5. Mittlere Rate = 304 = 7,5.
6. Begründen ohne Rechnung
Drei Argumente reichen für fast alle Aussagen über Integrale ohne Zahlenwert.
Vorzeichen: Liegt der Graph von f auf [a; b] über der x-Achse, ist ∫ab f(x) dx > 0; liegt er darunter, ist es < 0.
Vergleich: Gilt f(x) ≤ g(x) auf [a; b], dann ist ∫ab f dx ≤ ∫ab g dx.
Bestand: B wächst, wo f > 0 ist, und fällt, wo f < 0 ist. Wechselt f von + nach −, hat B dort einen Hochpunkt.
Aus einem positiven Integral folgt nicht, dass f überall positiv ist. Es genügt, dass die positiven Anteile überwiegen.
✎ Mini-Aufgabe: Widerlege: „Ist ∫ab f(x) dx > 0, so ist f auf dem ganzen Intervall positiv.“
Lösung zeigen
Gegenbeispiel f(x) = x auf [−1; 3]: ∫−13 x dx = 4 > 0, aber f(−0,5) < 0.
7. Die Graphen im Zusammenhang
Oben die Rate f(t) = 8 − 2t, unten der Bestand B(t) = 8t − t² des leeren Beckens. Die gestrichelte Linie y = 12 schneidet den Bestand bei t = 2 und t = 6. Das Maximum des Bestands liegt bei t = 4, dort wechselt f von + nach −.
8. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wie viel ist im Becken, im Lager, im Tank
der Bestand B(t) = B(0) + ∫ f
Der Anfangswert gehört dazu.
wie viel ist zugeflossen, hinzugekommen, zurückgelegt
nur die Änderung: ∫ f
Kein Anfangswert.
nach welcher Zeit, wann sind … erreicht
Gleichung B(b) = Wert, b gesucht
Lösungen gegen den Zeitraum prüfen.
im Mittel, durchschnittlich, mittlere Geschwindigkeit
(1b − a) · ∫ f
Durch die Länge des Zeitraums teilen.
mittlerer Bestand, durchschnittlicher Füllstand
(1b − a) · ∫ B
B integrieren, nicht f.
wieder so viel wie zu Beginn
B(b) = B(0), also ∫0b f = 0
b = 0 ist keine Antwort.
am meisten, größter Stand
Hochpunkt von B: f wechselt von + nach −
Ränder des Zeitraums vergleichen.
die Rate nimmt ab
f wird kleiner
Der Bestand kann trotzdem noch steigen.
9. Was nirgends steht
Der Anfangsbestand wird nicht gefragt, aber bei „wie viel ist da“ gebraucht.
Der Zeitraum, in dem das Modell gilt: Lösungen außerhalb scheiden aus.
Die Länge des Zeitraums beim Mitteln.
Ob die Rate das Vorzeichen wechselt: Dann steigt und fällt der Bestand, und eine Gleichung kann zwei Lösungen haben.
Die Einheit: Rate (Größe pro Zeit), Bestand (Größe) und Änderung (Größe) sind verschiedene Dinge.
10. Ein Beispiel mit Denkweg
Ein Becken enthält 20 Kubikmeter Wasser. Der Zufluss beträgt z(t) = 6 − 0,5t Kubikmeter pro Stunde (0 ≤ t ≤ 12). Wie viel Wasser ist nach 8 Stunden im Becken, und wie groß war der Zufluss im Mittel in dieser Zeit?
Was ist gefragt? Der Bestand nach 8 Stunden und die mittlere Zuflussrate über [0; 8].
Was steht nicht da? Die 20 Kubikmeter gehören zum Bestand dazu. Beim Mitteln wird durch 8 geteilt.
b = 4, denn b = −5 ist negativ. Probe: 16 + 4 = 20.
c) Die untere Grenze geht mit Minuszeichen ein.
∫a3 4x dx = [2x²] von a bis 3 = 18 − 2a²
18 − 2a² = 10 ⇔ a² = 4 ⇔ a = 2, denn 0 < a < 3.
Probe: 18 − 8 = 10.
2.2Gesuchter Parameter
a) Bestimme a mit ∫02 (a · x + 3) dx = 12.
Hilfe 1
Der Parameter a bleibt beim Integrieren stehen: als Faktor bei x, als Summand ohne x.
Hilfe 2
Das Ergebnis ist ein Term in a.
b) Bestimme a mit ∫13 a · x² dx = 52.
Hilfe 1
Ein konstanter Faktor bleibt beim Integrieren Faktor.
Hilfe 2
Rechne zuerst den Rest des Integrals aus.
c) Bestimme a mit ∫02 a · e0,5x dx = 8 und runde auf zwei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Die Stammfunktion von e0,5x hat einen Vorfaktor: Wie lautet er?
Hilfe 2
Setze die Grenzen ein und löse nach a auf.
Lösung zeigen
a) Parameter im Funktionsterm: Integral als Term in a, dann gleichsetzen.
∫02 (a · x + 3) dx = [½a · x² + 3x] von 0 bis 2 = 2a + 6
2a + 6 = 12 ⇔ a = 3. Probe: 6 + 6 = 12.
b) Der Parameter als Faktor: ausklammern, Rest integrieren.
∫13 a · x² dx = a · [⅓x³] von 1 bis 3 = a · (9 − ⅓) = (263) · a
(263) · a = 52 ⇔ a = 6. Probe: (263) · 6 = 52.
c) Wie a), nur mit e-Funktion; Taschenrechner für den Zahlenwert.
∫02 a · e0,5x dx = a · [2 · e0,5x] von 0 bis 2 = 2a · (e − 1)
2a · (e − 1) = 8 ⇔ a = 4e − 1, also a ≈ 2,33
2.3Becken mit Abfluss
In ein Becken, das zu Beginn leer ist, fließt Wasser. Die Zuflussrate beschreibt f(t) = 12 − 3t (t in Stunden seit Beobachtungsbeginn, 0 ≤ t ≤ 8; f(t) in Litern pro Stunde). Negative Werte bedeuten Abfluss.
a) Bestimme, wann 22,5 Liter im Becken sind.
Hilfe 1
Gefragt ist ein Zeitpunkt, an dem der Bestand einen vorgegebenen Wert hat. Welche Funktion beschreibt den Bestand?
Hilfe 2
Das Becken war zu Beginn leer. Stelle eine Gleichung auf und löse sie.
Hilfe 3
Prüfe jede Lösung gegen den Zeitraum, in dem das Modell gilt.
b) Deute deine Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Begründe mit dem Verlauf von f.
Hilfe 1
Wann ändert f sein Vorzeichen, und was bedeutet das für den Bestand?
Hilfe 2
Was passiert mit dem Bestand zwischen den beiden Zeitpunkten?
c) Bestimme, wann das Becken wieder leer ist.
Hilfe 1
Leer heißt: Der Bestand ist wieder wie zu Beginn.
Hilfe 2
Welche Lösung ist der Beginn, welche die gesuchte?
Lösung zeigen
a) „wann sind … im Becken“: Gleichung B(t) = Wert; der Anfangswert ist hier 0.
B(t) = 22,5 ⇔ 1,5t² − 12t + 22,5 = 0 ⇔ t² − 8t + 15 = 0 ⇔ t = 3 oder t = 5
Beide Zeitpunkte liegen im Bereich 0 ≤ t ≤ 8. Nach 3 Stunden und nach 5 Stunden sind 22,5 Liter im Becken.
b) Zwei Zeitpunkte zu einem Bestand: Der Verlauf der Rate erklärt sie.
Die Rate ist bis t = 4 positiv, danach negativ. Bis t = 4 steigt der Bestand (auf B(4) = 24 Liter), danach sinkt er durch den Abfluss.
Nach 3 Stunden werden 22,5 Liter beim Füllen erreicht, nach 5 Stunden beim Abfließen wieder.
c) „wieder leer“: B(t) = 0 mit t > 0.
B(t) = 0 ⇔ 12t − 1,5t² = 0 ⇔ 1,5t · (8 − t) = 0 ⇔ t = 0 oder t = 8
t = 0 ist der Beginn. Nach 8 Stunden ist das Becken wieder leer.
2.4Füllmenge im Zeitverlauf
Ein Tank wird gefüllt. Die Zuflussrate beschreibt f(t) = 1,2t − 0,15t² (t in Stunden, 0 ≤ t ≤ 8; f(t) in Litern pro Stunde). Zu Beginn sind 5 Liter im Tank.
a) Zeige, dass B(t) = 5 + 0,6t² − 0,05t³ den Bestand im Tank beschreibt.
Hilfe 1
Woran erkennst du, dass B zu f und zum Anfangswert passt? Es gibt zwei Bedingungen.
Hilfe 2
Eine davon lässt sich mit der Ableitung prüfen.
b) Berechne mit B den Bestand nach 6 Stunden.
Hilfe 1
Setze t = 6 in die Bestandsfunktion ein.
c) Bestimme den größten Bestand im Zeitraum von t = 0 bis t = 8 und den Zeitpunkt, zu dem er auftritt.
Hilfe 1
Wo steigt der Bestand, wo fällt er? Betrachte das Vorzeichen von f.
Hilfe 2
Welche Stellen kommen als größter Wert in Frage?
Lösung zeigen
a) „Zeige“: Beide Bedingungen nachprüfen: B′ = f und B(0) = Anfangswert.
Ableiten: B′(t) = 1,2t − 0,15t² = f(t). B ist also eine Stammfunktion von f.
B(0) = 5, das ist der Anfangsbestand. Damit beschreibt B den Bestand.
Gleichwertig: ∫0t f(x) dx = 0,6t² − 0,05t³, dazu der Anfangswert 5.
Mittlerer Bestand: 17,253 = 5,75 Einheiten. Er liegt zwischen B(0) = 2 und dem größten Wert im Zeitraum, B(3) = 14.
Ohne Taschenrechner
2.6Umgekehrt gefragt
a) Eine Größe hat die Änderungsrate f(t) = 3t² + 2 (t in Stunden). Ihre mittlere Änderungsrate über den Zeitraum von t = 0 bis t = b beträgt 18. Bestimme b > 0.
Hilfe 1
Stelle die mittlere Änderungsrate als Term in b auf.
Hilfe 2
Teile dabei durch die Länge des Zeitraums.
b) Eine Größe hat die Änderungsrate g(t) = 2t + 1 (t in Stunden). Nach 4 Stunden beträgt ihr Bestand 30. Bestimme den Anfangsbestand B(0).
Hilfe 1
Der Anfangswert ist hier die Unbekannte. Stelle B mit einem Buchstaben für B(0) auf.
Lösung zeigen
a) Die mittlere Rate ist vorgegeben, die obere Grenze gesucht.
∫0b (3t² + 2) dt = b³ + 2b. Die mittlere Änderungsrate ist b³ + 2bb = b² + 2.
b² + 2 = 18 ⇔ b² = 16 ⇔ b = 4, denn b > 0.
b) Der Anfangswert ist gesucht, nicht gegeben.
B(t) = B(0) + t² + t
B(4) = B(0) + 16 + 4 = 30 ⇔ B(0) = 10
2.7Teich im Verlauf
Der Wasserstand eines Teichs wird acht Tage lang beobachtet. Die Änderungsrate des Wasserstands beschreibt f(t) = −0,5t² + 4t − 6 (t in Tagen, 0 ≤ t ≤ 8; f(t) in cm pro Tag). Zu Beginn beträgt der Wasserstand 12 cm. Das Material zeigt den Graphen von f.
Material
a) Gib anhand des Graphen die Zeiträume an, in denen der Wasserstand sinkt.
Hilfe 1
Was sagt das Vorzeichen von f über den Wasserstand?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph unter der t-Achse?
b) Berechne, um wie viel cm sich der Wasserstand von t = 0 bis t = 6 insgesamt ändert, und deute das Ergebnis.
Hilfe 1
Die Änderung des Bestands ist das Integral der Rate.
Hilfe 2
Welchen Wasserstand hat der Teich nach 6 Tagen?
c) Bestimme den kleinsten Wasserstand im Zeitraum von t = 0 bis t = 8.
Hilfe 1
Wo kommt der kleinste Wert in Frage: wo f von − nach + wechselt oder am Rand?
Hilfe 2
Vergleiche diese Kandidaten.
Lösung zeigen
a) Rate gegeben, Bestand gefragt: Vorzeichen der Rate lesen.
Der Wasserstand sinkt, wo f negativ ist. Der Graph liegt unter der t-Achse für 0 ≤ t < 2 und für 6 < t ≤ 8 (Nullstellen bei t = 2 und t = 6, Ablesen mit etwa ±0,2 Abweichung gilt).
b) Änderung über einen Zeitraum: Integral der Rate; die Deutung gehört zur Aufgabe.
Der kleinste Wasserstand beträgt 203 ≈ 6,7 cm, er wird bei t = 2 und bei t = 8 erreicht.
2.8Wachstum mit Parameter
Eine Größe hat die Änderungsrate fa(t) = a · t mit a > 0 (t in Stunden). Der Bestand der Größe beträgt zu Beginn 10 und nach 4 Stunden 34.
a) Bestimme a.
Hilfe 1
Stelle die Bestandsfunktion mit dem Parameter a auf.
Hilfe 2
Welche Bedingung liefern die Werte nach 4 Stunden?
b) Berechne die mittlere Änderungsrate über den Zeitraum von t = 0 bis t = 4.
Hilfe 1
Welche Werte kennst du schon, ohne zu integrieren?
c) Bestimme t > 0, sodass der Bestand 64 beträgt.
Hilfe 1
Setze die Bestandsfunktion gleich dem vorgegebenen Wert.
Lösung zeigen
a) Der Parameter steckt in der Rate, der Bestand ist an zwei Stellen bekannt.
B(t) = 10 + a · t²2; B(4) = 10 + 8a = 34 ⇔ a = 3
b) Die mittlere Rate lässt sich aus den Bestandswerten lesen.
B(4) − B(0)4 = 34 − 104 = 6 Einheiten pro Stunde.
Gleichwertig: (14) · ∫04 3t dt = (14) · 24 = 6.
c) Bestandswert gegeben, Zeit gesucht.
B(t) = 10 + 1,5t² = 64 ⇔ t² = 36 ⇔ t = 6, denn t > 0.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) r(t) beschreibt den Zufluss in eine Regentonne in Litern pro Stunde (t in Stunden). Zu Beginn sind 40 Liter in der Tonne. Wie viel Wasser ist nach 5 Stunden in der Tonne? (2) q(t) beschreibt den Zufluss in ein Schwimmbecken in Kubikmetern pro Stunde (t in Stunden). Nach wie vielen Stunden sind seit Beginn 30 Kubikmeter zugeflossen? (3) v(t) beschreibt die Geschwindigkeit eines Radfahrers in Metern pro Sekunde (t in Sekunden). Wie schnell war er in den ersten 20 Sekunden im Mittel?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist ein Bestand, eine Änderung, ein Zeitpunkt oder ein Durchschnitt gefragt?
Hilfe 2
Bei (1) und (2) lohnt der Blick auf die Wörter „sind … in der Tonne“ und „zugeflossen“.
b) Ein Schwimmbecken enthält 20 Kubikmeter Wasser. Es wird gefüllt, der Zufluss beträgt z(t) = 3 + 0,5t Kubikmeter pro Stunde (t in Stunden). Nach wie vielen Stunden sind 60 Kubikmeter im Becken? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der Zeitpunkt, zu dem … 60 beträgt. 2. Was nicht dasteht: Der Bestand ist … plus ∫ von z. Eine Lösung der Gleichung … 3. Rechnen: B(t) = …; B(t) = 60 ⇔ … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Zahl in der Aufgabe gehört zum Bestand, welche zur Rate?
Hilfe 2
Wie viel Wasser ist am Anfang da, und wie entsteht daraus der Bestand zu jeder Zeit?
Hilfe 3
Bei einer quadratischen Gleichung muss jede Lösung geprüft werden.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Bestand mit Anfangswert, Gleichung mit gesuchter Grenze, Mittelwert.
(1) Gesucht ist der Bestand nach 5 Stunden. Ansatz: B(5) = 40 + ∫05 r(t) dt, der Anfangswert gehört dazu.
(2) Gesucht ist die obere Grenze b mit ∫0b q(t) dt = 30. Die zugeflossene Menge ist nur die Änderung, kein Anfangswert.
(3) Gesucht ist die mittlere Geschwindigkeit, also der Mittelwert: (120) · ∫020 v(t) dt.
b) Die 60 sind ein Bestand, die 20 der Anfangswert: nicht die Rate gleich 60 setzen.
1. Gefragt ist der Zeitpunkt, zu dem der Bestand 60 beträgt.
2. Der Bestand ist der Anfangsbestand 20 plus ∫ von z. Eine Lösung der Gleichung kann negativ sein und scheidet dann aus.
5. B(8) = 20 + 24 + 16 = 60. t = −20 liegt vor dem Beginn und scheidet aus.
3.2Bremsvorgang
Ein Zug bremst von 30 m/s bis zum Stillstand. Seine Geschwindigkeit beschreibt v(t) = 30 − 0,6t (t in Sekunden seit Beginn des Bremsvorgangs, v(t) in Metern pro Sekunde). Der Bremsvorgang endet, sobald der Zug steht.
a) Berechne die Länge des Bremswegs.
Hilfe 1
Der Weg ist der Bestand, die Geschwindigkeit die Rate. Bis wann dauert der Bremsvorgang?
Hilfe 2
Wann ist der Zug zum Stehen gekommen?
b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges während des Bremsvorgangs und gib sie in km/h an.
Hilfe 1
Teile den zurückgelegten Weg durch die Dauer.
Hilfe 2
Rechne am Ende in die verlangte Einheit um.
c) Bestimme, nach wie vielen Sekunden der Zug 400 m zurückgelegt hat. Runde auf zwei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Stelle die Wegfunktion auf. Dann ist der Zeitpunkt zu einem vorgegebenen Weg gesucht.
Hilfe 2
Löse die quadratische Gleichung mit dem Taschenrechner.
Hilfe 3
Passen beide Lösungen zum Zeitraum des Bremsvorgangs?
d) Ein Lokführer behauptet: „Nach der Hälfte der Bremszeit habe ich die Hälfte des Bremswegs hinter mir.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Berechne den Weg nach der halben Zeit und vergleiche ihn mit dem Gesamtweg.
Hilfe 2
Wie verändert sich die Geschwindigkeit während des Bremsens?
Lösung zeigen
a) Der Zeitpunkt des Stillstands steht nicht da.
Der Zug steht, wenn v(t) = 0: 30 − 0,6t = 0 ⇔ t = 50.
Weg: ∫050 (30 − 0,6t) dt = [30t − 0,3t²] von 0 bis 50 = 1500 − 750 = 750
Der Bremsweg beträgt 750 m.
b) Mittlere Geschwindigkeit: Weg durch Zeit; Einheit beachten.
Mittlere Geschwindigkeit: 750 m50 s = 15 m/s = 54 km/h.
Gleichwertig: Die Geschwindigkeit nimmt linear ab, der Mittelwert ist 30 + 02 = 15 m/s.
c) Weg gegeben, Zeit gesucht: Gleichung; die zweite Lösung liegt nach dem Stillstand.
t = 50 ± √(2500 − 40003) = 50 ± √(35003) ≈ 50 ± 34,16 ⇒ t ≈ 15,84 oder t ≈ 84,16
Der Bremsvorgang endet bei t = 50. Also gilt t ≈ 15,84: Nach etwa 15,84 s sind 400 m zurückgelegt.
d) Zeit und Weg verhalten sich bei veränderlicher Geschwindigkeit nicht proportional.
Die Hälfte der Bremszeit sind 25 Sekunden. s(25) = 750 − 187,5 = 562,5 m, das sind 75 % des Bremswegs.
Die Aussage ist falsch. Der Zug ist zu Beginn schneller und legt in der ersten Hälfte der Zeit mehr als die Hälfte des Wegs zurück.
3.3Wirkstoff im Blut
Ein Patient bekommt ein Medikament über eine Infusion. Die Zufuhr des Wirkstoffs beschreibt r(t) = 12 · e−0,4t (t in Stunden nach Beginn der Infusion, 0 ≤ t ≤ 12; r(t) in mg pro Stunde). Zu Beginn sind 5 mg des Wirkstoffs im Blut. Ein Abbau im Körper bleibt unberücksichtigt. Das Material zeigt den Graphen von r.
Material
a) Bestimme die Funktion M, die die Wirkstoffmenge im Blut t Stunden nach Beginn der Infusion angibt, und berechne die Menge nach 6 Stunden.
Hilfe 1
Das Integral der Zufuhr ist die zugeführte Menge. Was gehört noch zur Menge im Blut?
Hilfe 2
Die Stammfunktion von e−0,4x hat einen Vorfaktor.
b) Bestimme, zu welchem Zeitpunkt 30 mg im Blut sind.
Hilfe 1
Gesucht ist ein Zeitpunkt zu einem Bestand: Welche Gleichung?
Hilfe 2
Stelle die e-Funktion frei und löse mit dem Logarithmus.
c) Berechne die mittlere Zufuhr des Wirkstoffs in den ersten 6 Stunden und gib sie mit Einheit an.
Hilfe 1
Welche Änderung bewirkt die Zufuhr in diesen 6 Stunden, und wie lang ist der Zeitraum?
d) Lies am Graphen ab, zu welchem Zeitpunkt die Zufuhr auf die Hälfte des Anfangswerts gesunken ist. Begründe anhand des Graphen von r, dass die Wirkstoffmenge im Blut ständig steigt, aber immer langsamer.
Hilfe 1
Lies ab, wo der Graph die Höhe der halben Anfangszufuhr erreicht.
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen von r über die Menge, was sagt die fallende Kurve über den Zuwachs?
Lösung zeigen
a) Rate gegeben, Bestand gesucht: Anfangswert nicht vergessen.
∫0t 12 · e−0,4x dx = [−30 · e−0,4x] von 0 bis t = 30 − 30 · e−0,4t
Mit dem Anfangswert 5: M(t) = 35 − 30 · e−0,4t
M(6) = 35 − 30 · e−2,4 ≈ 32,28. Nach 6 Stunden sind etwa 32,3 mg im Blut.
b) Bestand gegeben, Zeit gesucht: Gleichung mit e-Funktion, Lösung über ln.
M(t) = 30 ⇔ 35 − 30 · e−0,4t = 30 ⇔ e−0,4t = 16
t = ln 60,4, also t ≈ 4,48
Nach etwa 4,48 Stunden sind 30 mg im Blut.
c) Mittlere Änderungsrate: Änderung durch Länge des Zeitraums.
d) Ablesen am Graphen; die Begründung über Vorzeichen und Verlauf der Rate.
Die Hälfte des Anfangswerts ist r = 6. Der Graph erreicht diesen Wert bei t ≈ 1,7 (Ablesen zwischen 1,5 und 2 gilt; rechnerisch t = ln 20,4 ≈ 1,73).
r(t) > 0 für alle t: Die Menge im Blut wächst ständig. r wird kleiner: Der Zuwachs pro Stunde nimmt ab, die Menge wächst immer langsamer.
3.4Lagerbestand
In einem Lager ändert sich die Zahl der Paletten. Die Änderungsrate beschreibt f (t in Tagen, 0 ≤ t ≤ 8; f(t) in Paletten pro Tag), die Zahl der Paletten im Lager B(t). Das Material zeigt den Graphen von f. Er schneidet die t-Achse bei t = 1, t = 4 und t = 7 und liegt punktsymmetrisch zum Punkt (4 | 0).
Material
a) Begründe anhand des Graphen, in welchen Zeiträumen die Zahl der Paletten im Lager wächst und in welchen sie fällt.
Hilfe 1
Was sagt das Vorzeichen von f über die Zahl der Paletten?
Hilfe 2
Lies die Vorzeichenwechsel am Graphen ab.
b) Begründe ohne Rechnung, dass B(7) = B(1) gilt.
Hilfe 1
Was bedeutet die Symmetrie des Graphen für die beiden Flächenstücke zwischen t = 1 und t = 7?
Hilfe 2
Wie hängt B(7) − B(1) mit dem Integral zusammen?
c) Ein Mitarbeiter sagt: „Nach 7 Tagen (t = 7) sind weniger Paletten im Lager als zu Beginn.“ Beurteile die Aussage mit deinen Ergebnissen aus a) und b).
Hilfe 1
Vergleiche B(1) mit B(0).
Hilfe 2
Verknüpfe das mit B(7) = B(1).
Lösung zeigen
a) Rate gegeben: das Vorzeichen bestimmt, ob der Bestand wächst oder fällt.
B wächst, wo f > 0 ist: von t = 1 bis t = 4 und von t = 7 bis t = 8.
B fällt, wo f < 0 ist: von t = 0 bis t = 1 und von t = 4 bis t = 7.
b) Die Symmetrie steht im Kopf der Aufgabe: Flächen gegeneinander aufrechnen.
Der Graph ist punktsymmetrisch zu (4 | 0). Die Fläche zwischen t = 1 und t = 4 oberhalb der Achse ist genauso groß wie die Fläche zwischen t = 4 und t = 7 unterhalb der Achse.
Also ist ∫14 f = −∫47 f und damit ∫17 f = 0. Es folgt B(7) = B(1) + ∫17 f = B(1).
c) Mehrere Teilergebnisse zu einer Aussage verketten.
Von t = 0 bis t = 1 fällt B, also gilt B(1) < B(0).
Mit B(7) = B(1) folgt B(7) < B(0). Die Aussage stimmt.
3.5Fehlersuche
a) Gesucht ist a mit ∫03 (a · x² + 2) dx = 24. Eine Schülerin rechnet: (1) ∫03 (a · x² + 2) dx = [⅓a · x³ + 2x] von 0 bis 3 (2) = 3a + 6 (3) 3a + 6 = 24 ⇔ a = 6 Prüfe die Rechnung, benenne den Fehler und gib das richtige a an.
Hilfe 1
Setze die obere Grenze selbst in die Stammfunktion ein und vergleiche mit Zeile (2).
Hilfe 2
Eine Probe mit dem Ergebnis der Schülerin zeigt, dass es nicht stimmt.
b) Ein Becken enthält zu Beginn 30 Liter. Die Zuflussrate beträgt f(t) = 2t (Liter pro Stunde, t in Stunden). Eine Schülerin gibt für den Bestand nach 5 Stunden 25 Liter an. Erkläre ihren Fehler und gib den richtigen Wert an.
Hilfe 1
Was bedeutet das Integral von f: der Bestand oder die Änderung?
Hilfe 2
Was fehlt für den Bestand?
Lösung zeigen
a) Eine Probe findet jeden Rechenfehler.
Der Fehler steht in Zeile (2): ⅓a · 3³ = 9a, nicht 3a.
∫05 2t dt = 25 ist nur die Menge, die in 5 Stunden zufließt. Der Bestand ist der Anfangsbestand plus diese Menge.
B(5) = 30 + 25 = 55. Nach 5 Stunden sind 55 Liter im Becken.
Klausuraufgabe
4.1Bambus im Gewächshaus
Im Botanischen Garten wird zehn Wochen lang das Wachstum einer Bambuspflanze beobachtet. Zu Beginn ist die Pflanze 40 cm hoch. Im Modell beschreibt g(t) = −0,6t² + 6t die Wachstumsgeschwindigkeit in cm pro Woche, t in Wochen seit Beobachtungsbeginn (0 ≤ t ≤ 10). Die Abbildung zeigt den Graphen von g.
Abbildung
a) Bestimme, wann die Pflanze am schnellsten wächst, und wie schnell sie dann wächst.3 BE
Hilfe 1
„am schnellsten“: Welche Größe soll am größten sein?
Hilfe 2
Gesucht ist der größte Wert von g im ganzen Zeitraum, nicht nur ein Hochpunkt.
Hilfe 3
Vergleiche den Hochpunkt mit den Rändern des Zeitraums.
b) Gib eine Funktionsgleichung für die Höhe H(t) der Pflanze in cm an und zeige, dass sie nach 10 Wochen 140 cm hoch ist.3 BE
Hilfe 1
Die Höhe ist ein Bestand, g ist ihre Änderungsrate. Was gehört zur Höhe dazu, das nicht im Integral steckt?
Hilfe 2
Setze t = 10 ein.
c) Berechne die mittlere Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 6 Wochen und deute das Ergebnis.3 BE
Hilfe 1
Welche Änderung bewirkt das Wachstum in den 6 Wochen, und wie lang ist der Zeitraum?
d) Begründe mithilfe des Graphen von g, dass die Pflanze im gesamten Zeitraum nie schrumpft, und gib an, wann der Graph von H seine Wendestelle hat.2 BE
Hilfe 1
Was sagt das Vorzeichen von g über die Höhe?
Hilfe 2
Was hat die Wendestelle von H mit dem Graphen von g zu tun?
e) Eine zweite Pflanze ist zu Beginn 35 cm hoch. Ihre Wachstumsgeschwindigkeit beschreibt a · g(t) mit einem Faktor a > 0. Nach 10 Wochen ist sie 170 cm hoch. Bestimme a und gib an, um wie viel Prozent ihr Wachstum gegenüber der ersten Pflanze größer ist.3 BE
Hilfe 1
Wie viel wächst die erste Pflanze in 10 Wochen insgesamt?
Hilfe 2
Wie hängt das Wachstum der zweiten Pflanze vom Faktor a ab?
Lösung zeigen
a) „am schnellsten wächst“ heißt: größter Wert der Rate g, Ränder mitprüfen.
Es gilt H(10) = 140, denn 40 − 200 + 300 = 140. Nach 10 Wochen ist die Pflanze 140 cm hoch.
c) Mittlerer Wert der Rate: Änderung durch Länge des Zeitraums, Deutung mit Einheit.
∫06 g(t) dt = [−0,2t³ + 3t²] von 0 bis 6 = −43,2 + 108 = 64,8
Mittlere Geschwindigkeit: 64,86 = 10,8 cm pro Woche.
Hätte die Pflanze mit konstant 10,8 cm pro Woche gewachsen, wäre sie in 6 Wochen ebenso um 64,8 cm gewachsen.
d) Graph der Rate: Vorzeichen gibt das Steigen, der Hochpunkt die Wendestelle.
g liegt im Zeitraum nicht unter der t-Achse (g ≥ 0), also gilt H′ = g ≥ 0: Die Höhe nimmt nie ab.
Die Wendestelle von H liegt dort, wo g seinen größten Wert hat: bei t = 5 (Ablesen etwa 4,5 bis 5,5 gilt).
e) Parameter aus einem Bestandswert: Anfangswert und Integral in der Gleichung.
Höhe der zweiten Pflanze: H2(10) = 35 + a · ∫010 g(t) dt = 35 + 100a, denn ∫010 g(t) dt = −200 + 300 = 100
35 + 100a = 170 ⇔ a = 1,35
Das Wachstum ist 35 % größer.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Mit dem Integral rechnen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.