Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Das bestimmte Integral rechnet mit Vorzeichen: Stücke oberhalb der x-Achse zählen positiv, Stücke unterhalb negativ. Das ist richtig, wenn du eine Bilanz suchst, etwa die Änderung einer Wassermenge. Ein Flächeninhalt dagegen ist nie negativ, und zwei Stücke heben sich nie gegenseitig auf. In diesem Thema gewinnst du aus dem Integral den echten Flächeninhalt, erst zwischen einem Graphen und der x-Achse, dann zwischen zwei Graphen.
Beispiel: f(x) = x³ über [−1; 1]
∫−11 x³ dx = [ 14 · x4 ] von −1 bis 1 = 14 − 14 = 0
Der Graph schließt mit der x-Achse trotzdem zwei Stücke ein, jedes mit dem Inhalt 14. Der Flächeninhalt ist 12, das Integral ist 0.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne ∫−22 x³ dx. Begründe, warum das Ergebnis nicht der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse sein kann, und gib diesen Flächeninhalt an.
Lösung zeigen
∫−22 x³ dx = [ 14 · x4 ] von −2 bis 2 = 4 − 4 = 0. Der Graph liegt links von 0 unterhalb und rechts von 0 oberhalb der x-Achse, beide Stücke sind gleich groß. Jedes hat den Inhalt 4, der Flächeninhalt ist also 8.
2. Fläche zwischen Graph und x-Achse
Damit sich die Vorzeichen nicht aufheben, zerlegst du das Intervall an den Stellen, an denen der Graph die Seite der x-Achse wechselt. Das sind Nullstellen von f.
Nullstellen von f bestimmen und prüfen, welche im Intervall liegen.
Das Intervall an diesen Stellen zerlegen.
Jedes Teilintegral einzeln berechnen.
Von jedem Teilergebnis den Betrag nehmen und alles addieren.
A = |∫ac f(x) dx| + |∫cb f(x) dx| (c: Nullstelle in [a; b])
Liegen mehrere Nullstellen im Intervall, kommt für jedes Teilintervall ein weiterer Summand dazu. Liegt keine im Intervall, bleibt ein einziges Integral, von dem du den Betrag nimmst.
Beispiel: f(x) = x² − 4 über [0; 3]
x² − 4 = 0 ⇔ x = −2 oder x = 2. Im Intervall liegt nur x = 2.
Stammfunktion: F(x) = 13 · x³ − 4x
∫02 f(x) dx = (83 − 8) − 0 = −163 ≈ −5,33
∫23 f(x) dx = (9 − 12) − (−163) = 73 ≈ 2,33
A = 163 + 73 = 233 ≈ 7,67
Zum Vergleich: Die Bilanz über [0; 3] wäre −163 + 73 = −3. Sie ist negativ und sagt über den Flächeninhalt 233 nichts aus.
✎ Mini-Aufgabe: Gegeben ist f(x) = x² − 9 auf dem Intervall [0; 4]. Entscheide ohne Rechnung, ob zerlegt werden muss, und gib gegebenenfalls die Teilintervalle an.
Lösung zeigen
Die Nullstellen sind −3 und 3. Nur x = 3 liegt in [0; 4]. Es wird in [0; 3] und [3; 4] zerlegt.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f(x) = x² − 1 und der x-Achse über [0; 2].
Lösung zeigen
x² − 1 = 0 ⇔ x = ±1, im Intervall liegt x = 1. F(x) = 13 · x³ − x.
∫01 f(x) dx = −23 und ∫12 f(x) dx = 43, also A = 23 + 43 = 2. Das Integral über [0; 2] allein wäre nur 23.
3. Fläche zwischen zwei Graphen
Liegt der Graph von f über dem Graphen von g, ist der senkrechte Abstand an jeder Stelle f(x) − g(x). Aufsummiert ergibt das den Flächeninhalt. Die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse ist der Sonderfall g(x) = 0.
A = ∫ab (f(x) − g(x)) dx (f oben, g unten)
Meist stehen die Grenzen nicht da: Es sind die Schnittstellen, du löst f(x) = g(x). Welcher Graph oben liegt, prüfst du mit einer Stelle zwischen den Schnittstellen. Die Formel gilt auch, wenn beide Graphen unterhalb der x-Achse liegen: Schiebst du beide um denselben Betrag nach oben, bleibt f(x) − g(x) gleich. Schneiden sich die Graphen im Intervall, wechselt die Rolle von oben und unten. Dann zerlegst du an den Schnittstellen und nimmst von jedem Teilintegral den Betrag, wie oben.
Beispiel: f(x) = −x² + 4 und g(x) = x + 2
−x² + 4 = x + 2 ⇔ x² + x − 2 = 0 ⇔ x = −2 oder x = 1
Zwischenwert x = 0: f(0) = 4 > 2 = g(0), also liegt f oben.
A = ∫−21 (−x² − x + 2) dx = [ −13 · x³ − 12 · x² + 2x ] von −2 bis 1 = 76 − (−103) = 92 = 4,5
✎ Mini-Aufgabe: Die Graphen von f(x) = x² und g(x) = −x + 6 schließen eine Fläche ein. Bestimme ihren Inhalt.
Lösung zeigen
x² = −x + 6 ⇔ x² + x − 6 = 0 ⇔ x = −3 oder x = 2. Bei x = 0 ist g(0) = 6 > 0 = f(0), also liegt g oben.
A = ∫−32 (−x² − x + 6) dx = 223 − (−272) = 1256 ≈ 20,83
4. Die Graphen dazu
Eine Skizze zeigt in Sekunden, ob zerlegt werden muss: Wechselt der Graph im Intervall die Seite der x-Achse? Schneiden sich die beiden Graphen im Intervall?
Links der Graph von f(x) = x² − 4 mit der Nullstelle bei x = 2, rechts die Graphen von f(x) = x³ und g(x) = x mit ihren drei Schnittstellen. Die gestrichelten Linien markieren diese Stellen.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse
Summe der Beträge der Teilintegrale
Nullstellen im Intervall suchen
Bilanz, Gesamtänderung, hat sich verändert um
das Integral ohne Betrag
Das Ergebnis darf negativ sein.
insgesamt zu- und abgeflossen, insgesamt bewegt
Flächeninhalt, also Summe der Beträge
Zu- und Abfluss heben sich nicht auf.
eingeschlossen von zwei Graphen
Grenzen sind die Schnittstellen von f und g
Schnittstellen außerhalb des Bereichs nicht verwenden
begrenzt vom Graphen, der x-Achse und der Geraden x = a
x = a ist eine Integrationsgrenze
Die andere Grenze steht nicht da: Nullstelle oder Schnittstelle
begrenzt von einer Geraden y = c
c ist der Graph der konstanten Funktion g(x) = c
Klären, welcher Graph oben liegt
Gewinnzuwachs bis zur Menge, bei der Grenzerlös und Grenzkosten gleich sind
Fläche zwischen den Graphen von E′ und K′
Das Ergebnis ist ein Geldbetrag, die Menge die obere Grenze
6. Was nirgends steht
Nicht jede Nullstelle trennt. Wechselt f dort das Vorzeichen nicht (der Graph berührt die x-Achse nur), musst du dort nicht zerlegen. Tust du es trotzdem, bleibt das Ergebnis gleich.
Nur Nullstellen im Intervall zählen. Nullstellen außerhalb ändern nichts.
Welcher Graph oben liegt, steht nirgends. Prüfe eine Stelle zwischen den Schnittstellen.
Erst die Teilintegrale, dann die Beträge, dann die Summe.
Das Ergebnis braucht eine Einheit: Flächeneinheiten, im Sachzusammenhang die Einheit von Rate mal Zeit.
7. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Eine Pumpe verändert die Wassermenge in einem Becken. Die Änderungsrate ist r(t) = 0,3t² − 1,8t + 1,5 für 0 ≤ t ≤ 6 (t in Minuten, r(t) in Litern pro Minute, negative Werte bedeuten Abfluss). Wie viel Wasser ist in den 6 Minuten insgesamt zu- und abgeflossen?
Was ist gefragt? Die Wassermenge, die zu- und abgeflossen ist, ohne Verrechnung: der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von r und der t-Achse über [0; 6].
Was steht nicht da? Zu- und Abfluss dürfen sich nicht aufheben. Ich suche die Nullstellen von r im Bereich und zerlege dort.
Antwortsatz In den 6 Minuten sind insgesamt 4,6 Liter zu- und abgeflossen. Die Wassermenge im Becken hat sich dabei nur um −1,8 Liter verändert (Bilanz).
Prüfen Der Flächeninhalt 4,6 ist größer als der Betrag der Bilanz 1,8. Das muss so sein: Die Bilanz verrechnet, der Flächeninhalt nicht.
8. Typische Fehler
Über das ganze Intervall integrieren: Das Ergebnis ist die Bilanz, nicht der Flächeninhalt.
Den Betrag nur um das Gesamtergebnis setzen: |∫03 (x² − 4) dx| = 3, richtig sind 233.
Bei zwei Graphen oben und unten vertauschen oder gar nicht prüfen, welcher Graph oben liegt.
Schnittstellen verwenden, die außerhalb des Bereichs liegen, oder eine Schnittstelle im Bereich weglassen.
Das Ergebnis ohne Einheit und ohne Antwortsatz angeben.
Rechnen
2.1Fläche über [0; 3]
a) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit f(x) = x² + 2 über dem Intervall [0; 3] mit der x-Achse einschließt.
Hilfe 1
Skizziere den Graphen grob: Auf welcher Seite der x-Achse liegt er über dem Intervall?
Hilfe 2
Bilde eine Stammfunktion und setze die Grenzen ein.
b) Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph von f mit f(x) = x² − 10 über dem Intervall [0; 3] mit der x-Achse einschließt.
Hilfe 1
Auf welcher Seite der x-Achse liegt der Graph über dem Intervall? Prüfe mit einem Wert aus dem Intervall.
Hilfe 2
Wie verhält sich der Wert eines Integrals zu einem Flächeninhalt, wenn der Graph unter der Achse liegt?
Lösung zeigen
a) „Inhalt der Fläche mit der x-Achse“ heißt Flächeninhalt: Zuerst prüfen, ob f im Intervall die Seite der x-Achse wechselt.
f(x) = x² + 2 > 0 für alle x, der Graph liegt über [0; 3] oberhalb der x-Achse. F(x) = 13 · x³ + 2x
A = ∫03 (x² + 2) dx = 9 + 6 = 15
b) Das Integral allein wäre hier negativ, ein Flächeninhalt ist es nie.
x² − 10 = 0 ⇔ x = ±√10 ≈ ±3,16. Beide Nullstellen liegen außerhalb von [0; 3]. Wegen f(0) = −10 < 0 liegt der Graph über dem ganzen Intervall unterhalb der x-Achse.
Gegeben ist f mit f(x) = x³ − 3x². Es gilt ∫−13 f(x) dx = −8. Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph von f über dem Intervall [−1; 4] mit der x-Achse einschließt.
Hilfe 1
Wo hat f Nullstellen? Klammere x² aus.
Hilfe 2
Prüfe an jeder Nullstelle im Intervall, ob f dort die Seite der x-Achse wechselt.
Hilfe 3
Der gegebene Wert gehört zu einem Teil des Intervalls. Zu welchem?
Lösung zeigen
Nicht jede Nullstelle im Intervall ist eine Trennstelle: Prüfen, ob das Vorzeichen von f wechselt.
f(x) = x² · (x − 3): Nullstellen 0 und 3. Bei x = 0 berührt der Graph die x-Achse nur, f(x) ≤ 0 für x ≤ 3. Es wird bei x = 3 zerlegt: [−1; 3] und [3; 4].
Die Graphen von f mit f(x) = −x² + 6x und g mit g(x) = 2x schließen eine Fläche ein. Zeige, dass ihr Inhalt 323 beträgt.
Hilfe 1
Zwischen welchen Stellen schließen die Graphen eine Fläche ein? Wie bestimmst du sie?
Hilfe 2
Prüfe an einer Stelle dazwischen, welcher Graph oben liegt.
Lösung zeigen
Bei „Zeigen Sie“ muss jeder Schritt dastehen: Schnittstellen, obere Funktion, Integral.
−x² + 6x = 2x ⇔ −x² + 4x = 0 ⇔ x = 0 oder x = 4
Zwischenwert x = 2: f(2) = 8 > 4 = g(2), also liegt f oben.
A = ∫04 (−x² + 4x) dx = [ −13 · x³ + 2x² ] von 0 bis 4 = −643 + 32 = 323
2.5Eingeschlossene Fläche
a) Bestimme den Inhalt der Fläche, die die Graphen von f mit f(x) = x² + 1 und g mit g(x) = −x² + 9 einschließen.
Hilfe 1
Wo schließen die Graphen eine Fläche ein? Bestimme die Stellen, an denen sie sich treffen.
Hilfe 2
Welcher Graph liegt dazwischen oben? Prüfe einen Zwischenwert.
b) Bestimme den Inhalt der Fläche, die die Graphen von f mit f(x) = x² und g mit g(x) = 2x + 8 einschließen.
Hilfe 1
Wo schließen die Graphen eine Fläche ein? Bestimme die Stellen, an denen sie sich treffen.
Hilfe 2
Welcher Graph liegt dazwischen oben?
c) Bestimme den Inhalt der Fläche, die die Graphen von f mit f(x) = x³ und g mit g(x) = 4x einschließen.
Hilfe 1
Wo treffen sich die Graphen? Klammere aus.
Hilfe 2
Liegt zwischen allen Schnittstellen derselbe Graph oben? Prüfe Zwischenwerte.
Lösung zeigen
a) „eingeschlossen“: die Grenzen sind die Schnittstellen.
x² + 1 = −x² + 9 ⇔ x² = 4 ⇔ x = −2 oder x = 2. Bei x = 0 ist g(0) = 9 > 1 = f(0), also liegt g oben.
A = ∫−22 (8 − 2x²) dx = [ 8x − 23 · x³ ] von −2 bis 2 = 2 · (16 − 163) = 643 ≈ 21,33
b) Wieder zuerst die Schnittstellen, dann die obere Funktion.
x² = 2x + 8 ⇔ x² − 2x − 8 = 0 ⇔ x = −2 oder x = 4. Bei x = 0 ist g(0) = 8 > 0 = f(0), also liegt g oben.
A = ∫−24 (−x² + 2x + 8) dx = [ −13 · x³ + x² + 8x ] von −2 bis 4 = 803 − (−283) = 36
c) Mehr als zwei Schnittstellen: Die Rolle von oben und unten kann wechseln, dann wird zerlegt.
x³ = 4x ⇔ x · (x − 2) · (x + 2) = 0 ⇔ x = −2, 0 oder 2
Auf [−2; 0] liegt f oben: ∫−20 (x³ − 4x) dx = 4. Auf [0; 2] liegt g oben: ∫02 (x³ − 4x) dx = −4.
A = 4 + 4 = 8 (über [−2; 2] ohne Zerlegung ergäbe die Rechnung 0)
Ohne Taschenrechner
2.6Gesuchte Grenze
a) Der Graph von f mit f(x) = 3x² schließt mit der x-Achse und der Geraden x = b (b > 0) über [0; b] eine Fläche vom Inhalt 8 ein. Bestimme b.
Hilfe 1
Berechne den Flächeninhalt für ein allgemeines b, so als wäre b eine Zahl.
Hilfe 2
Setze den Ausdruck gleich 8.
b) Der Graph von f mit f(x) = x² und die Gerade y = c (c > 0) schließen eine Fläche vom Inhalt 323 ein. Bestimme c.
Hilfe 1
Welche Grenzen hat die Fläche, solange c noch unbekannt ist?
Hilfe 2
Rechne mit c wie mit einer Zahl. Das Ergebnis hängt von c ab.
Hilfe 3
Setze das Ergebnis gleich 323.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Das Integral hat eine Grenze b, der Flächeninhalt ist gegeben.
f(x) = 3x² ≥ 0, also A = ∫0b 3x² dx = [ x³ ] von 0 bis b = b³
b³ = 8 ⇔ b = 2
b) Rückwärts mit Parameter: die Grenzen hängen selbst von c ab.
x² = c ⇔ x = −√c oder x = √c
A = ∫−√c√c (c − x²) dx = 2 · (c · √c − 13 · c · √c) = 43 · c · √c
43 · c · √c = 323 ⇔ c · √c = 8 ⇔ c = 4
2.7Fläche am Graphen
Das Material zeigt den Graphen von f mit f(x) = x³ − 2x² − 5x + 6.
Material
a) Der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [−2; 3] soll berechnet werden. Gib anhand des Graphen an, in welche Teilintervalle du dafür zerlegst, und schreibe den Flächeninhalt als Summe von Beträgen von Integralen. Eine Berechnung ist nicht verlangt.
Hilfe 1
Wo schneidet der Graph die x-Achse? Lies die Stellen am Graphen ab.
Hilfe 2
Welche dieser Stellen liegen im Inneren des Intervalls?
b) Berechne den Flächeninhalt aus Teilaufgabe a).
Hilfe 1
Bilde eine Stammfunktion von f.
Hilfe 2
Setze die Grenzen für jedes Teilintegral einzeln ein.
Lösung zeigen
a) Am Graphen ablesen, wo er die Seite der x-Achse wechselt.
Der Graph schneidet die x-Achse bei x = −2, x = 1 und x = 3 (Ablesewerte mit einer Abweichung bis 0,2 gelten als richtig). Im Inneren von [−2; 3] liegt nur x = 1.
A = |∫−21 f(x) dx| + |∫13 f(x) dx|
b) Die Teilintegrale sind nicht glatt: Brüche sauber führen.
a) Gegeben ist f mit f(x) = x² − a² (a > 0). Zeige, dass der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über [0; a] gleich 23 · a³ ist.
Hilfe 1
Auf welcher Seite der x-Achse liegt der Graph über [0; a]? Prüfe f(0).
Hilfe 2
Rechne mit a wie mit einer Zahl.
b) Bestimme a so, dass dieser Flächeninhalt 18 beträgt.
Hilfe 1
Setze den Ausdruck aus Teilaufgabe a) mit 18 gleich.
Lösung zeigen
a) Der Parameter a steckt im Term und in der Grenze.
f(x) = (x − a) · (x + a). Die Nullstelle a liegt am Rand, im Inneren von [0; a] ist f(x) < 0 (zum Beispiel f(0) = −a² < 0).
∫0a (x² − a²) dx = [ 13 · x³ − a² · x ] von 0 bis a = 13 · a³ − a³ = −23 · a³, also A = 23 · a³
b) Rückwärts: der Flächeninhalt ist gegeben, a gesucht.
23 · a³ = 18 ⇔ a³ = 27 ⇔ a = 3
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) r(t) ist die Änderungsrate der Wassermenge in einem Tank (t in Minuten, r(t) in Litern pro Minute, negative Werte bedeuten Abfluss). Um wie viel Liter hat sich die Wassermenge in den ersten 10 Minuten verändert? (2) Dieselbe Rate r. Wie viel Liter sind in den ersten 10 Minuten insgesamt in den Tank geflossen und aus ihm herausgeflossen? (3) E′(x) und K′(x) sind Grenzerlös und Grenzkosten einer Werkstatt in Euro pro Stück (x in Stück). Bei der Menge m sind beide gleich groß, für 0 ≤ x < m ist E′(x) größer als K′(x). Um wie viel Euro wächst der Gewinn, wenn statt keinem Stück m Stück gefertigt werden?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Soll etwas verrechnet werden oder nicht?
Hilfe 2
Bei (3): Welche beiden Graphen sind beteiligt, und was liegt zwischen ihnen?
b) In einer Sporthalle zählt eine Anlage die Änderungsrate b der Zahl der anwesenden Personen. Es gilt b(t) = 3t² − 24t + 36 für 0 ≤ t ≤ 8 (t in Stunden nach Einlass, b(t) in Personen pro Stunde; negative Werte bedeuten, dass mehr Personen gehen als kommen). Wie viele Personen sind in diesen 8 Stunden insgesamt gekommen und gegangen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: Kommen und Gehen dürfen sich … Ich bestimme deshalb … und … 3. Rechnen: b(t) = 0 ⇔ t = … oder t = …; ∫0… b(t) dt = …; ∫…… b(t) dt = …; ∫…8 b(t) dt = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„insgesamt gekommen und gegangen“: Dürfen sich die beiden Zahlen aufheben?
Hilfe 2
Wo wechselt b das Vorzeichen?
Hilfe 3
Welche Größe liefert das Integral allein, und welche ist hier gefragt?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Ansätze: Integral mit Vorzeichen, Summe der Beträge, Fläche zwischen zwei Graphen.
(1) Gesucht ist die Bilanz, das Integral ohne Betrag. Ansatz: ∫010 r(t) dt. Das Ergebnis darf negativ sein.
(2) Gesucht ist die Gesamtmenge ohne Verrechnung, der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von r und der t-Achse. Ansatz: Nullstellen von r im Intervall bestimmen, dort zerlegen, die Beträge der Teilintegrale addieren.
(3) Gesucht ist die Fläche zwischen den Graphen von E′ und K′. Ansatz: ∫0m (E′(x) − K′(x)) dx, E′ liegt oben.
b) „insgesamt“ ohne Verrechnung: Flächeninhalt. Die Nullstellen von b trennen Kommen und Gehen.
1. Gefragt ist die Zahl aller Personen, die gekommen sind, plus die Zahl aller, die gegangen sind: der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von b und der t-Achse über [0; 8].
2. Kommen und Gehen dürfen sich nicht aufheben. Ich bestimme deshalb die Nullstellen von b im Bereich, zerlege dort und nehme von jedem Teilintegral den Betrag.
4. In den 8 Stunden sind insgesamt 96 Personen gekommen und gegangen (32 + 32 + 32).
5. Die Bilanz wäre nur 32 Personen. Der Flächeninhalt 96 ist größer als der Betrag der Bilanz, wie es sein muss.
3.2Rückhaltebecken
Ein Regenrückhaltebecken wird acht Stunden lang beobachtet. Das Zulaufrohr liefert Wasser mit der Rate z(t) = −2t² + 16t, eine Pumpe fördert gleichmäßig mit der Rate a(t) = 24 Wasser ab. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn (0 ≤ t ≤ 8) und beide Raten sind in m³ pro Stunde angegeben. Das Becken enthält zu Beginn so viel Wasser, dass es weder leer läuft noch überläuft. Das Material zeigt beide Graphen.
Material
a) Lies am Graphen ab, in welchem Zeitraum mehr Wasser zufließt, als abgepumpt wird.
Hilfe 1
Welche der beiden Größen ist im Graphen größer, wenn sich die Wassermenge im Becken erhöht?
Hilfe 2
Welche Größe liefert der Graph von z, welche die Gerade?
b) Berechne, um wie viel Kubikmeter die Wassermenge im Becken in diesem Zeitraum zunimmt.
Hilfe 1
Welche Stellen begrenzen den Zeitraum genau? Der Graph liefert nur Näherungen.
Hilfe 2
Wie groß ist die Zunahme pro Stunde in jedem Zeitpunkt?
c) Vergleiche die Wassermenge im Becken nach 8 Stunden mit der zu Beobachtungsbeginn.
Hilfe 1
Wie ändert sich die Wassermenge außerhalb des Zeitraums aus Teilaufgabe a)?
Hilfe 2
Wird hier die Gesamtbewegung gefragt oder der Unterschied der Mengen?
d) Ein Techniker addiert die Beträge der drei Teilintegrale: 643 + 643 + 643 = 64. Er sagt: „Nach acht Stunden sind 64 m³ mehr Wasser im Becken als am Anfang.“ Beurteile seine Aussage.
Hilfe 1
Welche Größe gibt die Summe der Beträge an?
Hilfe 2
Vergleiche mit deinem Ergebnis aus Teilaufgabe c).
Lösung zeigen
a) Zufluss gegen Abfluss: Dort, wo z über a liegt, steigt die Wassermenge.
Der Graph von z liegt etwa zwischen t = 2 und t = 6 über der Geraden y = 24. In dieser Zeit steigt die Wassermenge im Becken. Ablesewerte mit einer Abweichung bis 0,3 Stunden gelten als richtig.
b) Zunahme der Menge = Fläche zwischen den Graphen von Zufluss und Abfluss.
z(t) = a(t) ⇔ −2t² + 16t = 24 ⇔ t² − 8t + 12 = 0 ⇔ t = 2 oder t = 6. Dazwischen liegt z oben.
Bilanz = −643 ≈ −21,3. Nach 8 Stunden sind rund 21,3 m³ weniger Wasser im Becken als zu Beginn.
d) Summe der Beträge ist die Gesamtbewegung, nicht der Unterschied der Mengen.
Die Aussage ist falsch. Die 64 m³ sind die Summe der Beträge, also der gesamte Unterschied zwischen Zufluss und Abpumpen ohne Verrechnung.
Zunahme und Abnahme heben sich teilweise auf: 643 m³ Zunahme stehen 1283 m³ Abnahme gegenüber. Die Wassermenge ist nach 8 Stunden um rund 21,3 m³ gesunken.
3.3Werkstatt
Eine Werkstatt fertigt Spezialrahmen. Für die Menge x (in Stück, 0 ≤ x ≤ 40) gilt für den Grenzerlös E′(x) = 20 und für die Grenzkosten K′(x) = 0,05x² − 1,1x + 8, beides in Euro pro Stück.
a) Bestimme die Menge, bei der Grenzerlös und Grenzkosten gleich groß sind.
Hilfe 1
Was soll an dieser Menge für E′ und K′ gelten? Stelle eine Gleichung auf.
Hilfe 2
Bringe die Gleichung auf die Form 0 = …
Hilfe 3
Prüfe deine Lösungen am Bereich 0 ≤ x ≤ 40.
b) Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von E′ und K′ über [0; 30] und deute ihn im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Prüfe mit einem Wert zwischen den Grenzen, welcher Graph oben liegt.
Hilfe 2
Was misst die Fläche zwischen Grenzerlös und Grenzkosten, wenn du die Einheiten betrachtest?
c) Die Werkstatt fertigt 36 statt 30 Stück. Berechne, um wie viel Euro sich der Gewinn dadurch ändert, und beurteile, ob sich die Mehrproduktion lohnt.
Hilfe 1
Vergleiche E′ und K′ an einer Stelle zwischen 30 und 36.
Hilfe 2
Überlege, was ein Gewinnrückgang für das Vorzeichen des Integrals bedeutet.
Lösung zeigen
a) Grenzerlös gleich Grenzkosten: Gleichsetzen. Nicht jede Lösung ist eine Menge im Definitionsbereich.
0,05x² − 1,1x + 8 = 20 ⇔ x² − 22x − 240 = 0 ⇔ x = 30 oder x = −8
x = −8 liegt nicht im Bereich 0 ≤ x ≤ 40. Bei 30 Stück sind Grenzerlös und Grenzkosten gleich groß.
b) Fläche zwischen E′ und K′: Zuwachs von Erlös minus Kosten, also des Gewinns.
E′(x) − K′(x) = −0,05x² + 1,1x + 12. Bei x = 10 gilt E′(10) = 20 > 2 = K′(10), also liegt E′ oben.
Der Gewinn sinkt um 37,80 €. Die Mehrproduktion lohnt sich nicht: Jedes Stück über 30 kostet mehr, als es einbringt.
3.4Gartenbeet
Ein Garten wird in einem Koordinatensystem beschrieben (1 Längeneinheit = 1 m). Das Beet liegt zwischen einem geraden Weg und einer Hecke. Der Weg verläuft auf der Geraden y = 1, die Hecke folgt dem Graphen von f mit f(x) = 5 − 0,25x².
a) Bestimme die Breite des Beets.
Hilfe 1
Wo beginnt und wo endet das Beet entlang des Weges?
Hilfe 2
Wo trifft die Hecke den Weg?
b) Berechne den Flächeninhalt des Beets.
Hilfe 1
Welche Kurve liegt oben, welche unten?
Hilfe 2
Welche Funktion beschreibt den senkrechten Abstand zwischen Hecke und Weg?
c) Für das Beet wird Rollrasen zu 14,50 € pro m² bestellt, der nur in ganzen Quadratmetern geliefert wird. Berechne die Kosten.
Hilfe 1
Vergleiche deinen Flächeninhalt mit dem, was bestellt werden kann.
Hilfe 2
Wie viele Quadratmeter reichen aus?
d) Ein Gärtner schätzt: „Das Beet hat die halbe Fläche des Rechtecks, das so breit ist wie das Beet und so hoch wie die Hecke über dem Weg.“ Beurteile seine Schätzung.
Hilfe 1
Wie groß ist das Rechteck, das der Gärtner meint? Wo liegt die Hecke am höchsten über dem Weg?
Hilfe 2
Vergleiche mit deinem Ergebnis aus Teilaufgabe b).
Lösung zeigen
a) Das Beet reicht von Schnittstelle zu Schnittstelle von Hecke und Weg.
5 − 0,25x² = 1 ⇔ x² = 16 ⇔ x = −4 oder x = 4
Das Beet reicht von x = −4 bis x = 4 und ist 8 m breit.
b) Fläche zwischen Graph und Gerade: obere minus untere Funktion.
Bei x = 0 ist f(0) = 5 > 1, die Hecke liegt oben.
A = ∫−44 (4 − 0,25x²) dx = [ 4x − 112 · x³ ] von −4 bis 4 = 2 · (16 − 163) = 643 ≈ 21,33 m²
c) Sachbedingung: Bestellt wird in ganzen Quadratmetern, es darf nicht zu wenig sein.
Das Beet hat rund 21,33 m². Bestellt werden müssen 22 m² (nur ganze Quadratmeter, 21 m² reichen nicht).
22 · 14,50 € = 319,00 €
d) Das Rechteck selbst muss erst bestimmt werden: Breite aus a), Höhe aus dem Abstand Hecke−Weg.
Die Hecke liegt bei x = 0 am höchsten: f(0) − 1 = 4 m über dem Weg. Das Rechteck hat den Inhalt 8 m · 4 m = 32 m².
Das Beet hat 643 m² ≈ 21,33 m², das sind zwei Drittel des Rechtecks. Die Schätzung „die Hälfte“ ist zu klein.
3.5Mias Rechnung
Mia soll den Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f mit f(x) = x² − 3x und der x-Achse über [0; 4] bestimmen. Sie rechnet: ∫04 (x² − 3x) dx = [ 13 · x³ − 32 · x² ] = 643 − 24 = −83. Ihr Ergebnis: A = 83.
a) Prüfe Mias Rechnung und erläutere, was ihr Ergebnis tatsächlich angibt.
Hilfe 1
Rechne das Integral nach: Stimmt es?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph über [0; 4] in Bezug auf die x-Achse?
b) Berechne den Flächeninhalt richtig.
Hilfe 1
Wo schneidet der Graph die x-Achse, und liegt diese Stelle im Intervall?
Hilfe 2
Berechne jedes Stück einzeln.
c) Mia vermutet: „Der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse ist nie kleiner als der Betrag des Integrals über dasselbe Intervall.“ Begründe, dass das für jede Funktion gilt.
Hilfe 1
Was geschieht mit Stücken verschiedenen Vorzeichens im Integral, was im Flächeninhalt?
Hilfe 2
Vergleiche |a + b| mit |a| + |b| an Zahlenbeispielen.
Lösung zeigen
a) Die Rechnung kann stimmen und die Antwort trotzdem falsch sein: Zuerst prüfen, welche Größe berechnet wurde.
Die Integralrechnung stimmt: 643 − 24 = −83. Mia hat aber über das ganze Intervall integriert.
−83 ist die Bilanz: Das Stück über [0; 3] liegt unterhalb, das Stück über [3; 4] oberhalb der x-Achse, beide werden verrechnet. Der Betrag dieser Bilanz ist nicht der Flächeninhalt.
b) Das Verfahren aus Abschnitt 2, hier mit einer Nullstelle bei 3.
x² − 3x = x · (x − 3), Nullstellen 0 und 3. Im Inneren von [0; 4] liegt x = 3.
c) Das Integral verrechnet, der Flächeninhalt addiert: Verrechnen kann nur verkleinern.
Das Integral verrechnet die Teilstücke mit Vorzeichen, der Flächeninhalt addiert ihre Beträge. Der Betrag einer Summe ist höchstens so groß wie die Summe der Beträge: |a + b| ≤ |a| + |b|.
Gleichheit gilt, wenn alle Teilstücke auf derselben Seite der x-Achse liegen, wenn f im Intervall also das Vorzeichen nicht wechselt.
Klausuraufgabe
4.1Brückenbogen
Eine Straßenbrücke wird von einem Betonbogen getragen. Die Abbildung zeigt den Querschnitt des Bogens in einem Koordinatensystem (1 Längeneinheit = 1 m, der Boden liegt auf der x-Achse). Die äußere Randkurve wird für −5 ≤ x ≤ 5 durch den Graphen von f mit f(x) = 5 − 0,2x² beschrieben, die innere Randkurve durch den Graphen von g mit g(x) = 4 − 0,16x². Der Bogen ist 12 m lang, gemessen senkrecht zur Querschnittsfläche.
Abbildung
a) Weise nach, dass beide Randkurven bei x = −5 und x = 5 auf dem Boden enden.2 BE
Hilfe 1
Welchen y-Wert hat ein Punkt auf dem Boden?
Hilfe 2
Setze die beiden Stellen in beide Terme ein.
b) Berechne den Inhalt der Fläche, die die äußere Randkurve mit dem Boden einschließt.3 BE
Hilfe 1
Welche Grenzen hat die Fläche?
Hilfe 2
Bilde eine Stammfunktion von f.
c) Der Beton füllt den Bereich zwischen der äußeren und der inneren Randkurve. Bestimme den Inhalt dieser Querschnittsfläche.3 BE
Hilfe 1
Welche der beiden Randkurven liegt oben?
Hilfe 2
Welche Fläche gehört zum Beton, welche zum Durchgang unter dem Bogen?
d) Ein Kubikmeter Beton hat die Masse 2,4 Tonnen. Berechne die Masse des Betons im Bogen.3 BE
Hilfe 1
Wie viele Kubikmeter Beton liegen in einem Stück des Bogens mit der Länge 1 m?
Hilfe 2
Der Bogen ist 12 m lang.
e) Ein Bauleiter behauptet: „Der Beton ist an jeder Stelle des Bogens mindestens 0,5 m dick.“ Die Dicke an der Stelle x ist der senkrechte Abstand der beiden Randkurven. Beurteile die Aussage.3 BE
Hilfe 1
Wie lässt sich die Dicke an der Stelle x durch f und g ausdrücken?
Hilfe 2
Prüfe die Dicke an der Stelle x = 4 und am Rand.
Lösung zeigen
a) „Weise nach“: Einsetzen und das Ergebnis hinschreiben.
f(−5) = f(5) = 5 − 0,2 · 25 = 0 und g(−5) = g(5) = 4 − 0,16 · 25 = 0. Beide Randkurven haben dort die y-Koordinate 0.
b) Fläche zwischen Graph und x-Achse, hier ohne Zerlegung: f ist im Intervall nicht negativ.
f(x) ≥ 0 für −5 ≤ x ≤ 5. ∫−55 (5 − 0,2x²) dx = [ 5x − 115 · x³ ] von −5 bis 5 = 2 · (25 − 253) = 1003 ≈ 33,3 m²
c) Fläche zwischen zwei Graphen: Beton = Fläche unter f minus Fläche unter g.
f(x) ≥ g(x) im Bereich, zum Beispiel f(0) = 5 > 4 = g(0).
∫−55 (f(x) − g(x)) dx = ∫−55 (1 − 0,04x²) dx = [ x − 175 · x³ ] von −5 bis 5 = 2 · (5 − 53) = 203 ≈ 6,67 m²
Gleichwertig: Fläche unter f minus Fläche unter g = 1003 − 803 = 203.
d) Querschnittsfläche mal Länge ergibt das Volumen.
V = 203 m² · 12 m = 80 m³
m = 80 · 2,4 t = 192 t
e) Aussage über alle Stellen: Ein Gegenbeispiel genügt, um sie zu widerlegen.
Dicke d(x) = f(x) − g(x) = 1 − 0,04x².
d(0) = 1, aber d(4) = 0,36 < 0,5 und d(5) = 0. Die Dicke nimmt vom Scheitel zum Rand ab.
Die Aussage ist falsch: d(x) ≥ 0,5 gilt nur für x² ≤ 12,5, also |x| ≤ 3,54. Außerhalb davon ist der Beton dünner als 0,5 m.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Mit dem Integral rechnen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.