Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Der Hauptsatz sagt: Hast du eine Stammfunktion F von f, dann ist ∫ab f(x) dx = F(b) − F(a). Offen blieb, wie du F findest. Raten und durch Ableiten prüfen klappt bei x² oder 3x, bei 3e2x − 4cos(0,5x) nicht mehr. Du brauchst das Raten nicht: Jede Ableitungsregel, rückwärts gelesen, ist eine Regel zum Finden einer Stammfunktion.
Zu jeder Stammfunktion gehört ein beliebiges + c. In den Regeln unten steht es nicht dabei. Du brauchst es erst, wenn ein Wert vorgegeben ist, etwa F(1) = 5 oder ein Anfangsbestand.
2. Die Potenzregel rückwärts
Beim Ableiten holst du den Exponenten nach vorn und senkst ihn um 1. Rückwärts erhöhst du den Exponenten um 1 und teilst durch den neuen Exponenten.
f(x) = xⁿ → F(x) = 1n + 1 · xn+1 (n ≠ −1)
Beispiele
x³ → (14)x⁴
x → 0,5x²
1x² = x−2 → −x−1 = −1x. Probe: (−1x)′ = 1x²
Der Fall n = −1 fällt heraus: Im Nenner stünde 0. Für 1x gibt es mit diesen Regeln keine Stammfunktion; sie kommt später.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion von f(x) = x⁶ und eine von g(x) = 1x³. Prüfe beide durch Ableiten.
Konstante Faktoren bleiben beim Integrieren stehen, Summen integrierst du Summand für Summand.
c · f(x) → c · F(x) f(x) + g(x) → F(x) + G(x)
Beispiel: f(x) = 6x² − 4x + 5
6x² → 6 · (13)x³ = 2x³
−4x → −4 · 0,5x² = −2x²
5 = 5x⁰ → 5x
F(x) = 2x³ − 2x² + 5x
Für Produkte gibt es keine solche Regel. Wer x · x² faktorweise integriert, rechnet 0,5x² · (13)x³ und erhält (16)x⁵. Ableiten ergibt (56)x⁴, nicht x³. Multipliziere Produkte vorher aus: x · x² = x³ und damit 0,25x⁴.
4. e-Funktion, Sinus, Kosinus
Diese drei Grundintegrale musst du kennen.
ex → ex
sin(x) → −cos(x)
cos(x) → sin(x)
Merkhilfe: Das Ableiten läuft im Kreis: sin → cos → −sin → −cos → sin. Integrieren läuft ihn rückwärts. Deshalb steht beim Sinus ein Minus: (−cos(x))′ = sin(x).
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme eine Stammfunktion von f(x) = 3ex + 2sin(x) und prüfe sie durch Ableiten.
Meist steht nicht ex da, sondern e2x oder e0,5t − 1. Die Kettenregel hätte beim Ableiten mit der inneren Ableitung a multipliziert. Rückwärts teilst du durch a. Merksatz: Stammfunktion der äußeren Funktion bilden, durch die innere Ableitung teilen.
Die Regel funktioniert, weil die innere Ableitung eine Zahl ist. Ist die innere Funktion nicht linear, etwa x², dann ist ihre Ableitung 2x und hängt von x ab. Eine Zahl kannst du herausteilen, eine Funktion nicht.
Gegenbeispiel: f(x) = cos(x²)
Ansatz: F(x) = 0,5sin(x²), die 2 wie einen Faktor a behandelt
Probe: F′(x) = 0,5 · cos(x²) · 2x = x · cos(x²)
Das ist nicht cos(x²). Der Ansatz ist falsch.
Im Grundkurs reicht die lineare Substitution für e-Funktion, Sinus und Kosinus. Potenzen einer Klammer wie (2x + 1)³ gehören nicht dazu.
✎ Mini-Aufgabe: Prüfe durch Ableiten, ob F(x) = (13)sin(x³) eine Stammfunktion von f(x) = cos(x³) ist, und sage, woran es scheitert.
Lösung zeigen
F′(x) = (13) · cos(x³) · 3x² = x² · cos(x³). Das ist nicht cos(x³). Die innere Ableitung 3x² ist keine Zahl, man kann sie nicht herausteilen.
7. Die Probe gehört zur Aufgabe
Beim Integrieren hast du eine Kontrolle, die immer klappt und eine Zeile kostet: Leite dein Ergebnis ab. Kommt der Integrand heraus, stimmt es. Drei Fehler fallen dabei sofort auf:
Der Teiler fehlt: Aus e3x wird (13)e3x, nicht e3x.
Das Vorzeichen stimmt nicht: Bei sin(x) steht −cos(x).
Ein Produkt wurde faktorweise integriert.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Schüler gibt für f(x) = cos(5x) die Stammfunktion F(x) = sin(5x) an. Prüfe die Angabe und korrigiere sie.
Lösung zeigen
F′(x) = 5cos(5x). Der Faktor 5 ist zu viel, es fehlt der Teiler 5. Richtig: F(x) = 0,2sin(5x).
8. Graphen von f und F
Oben der Graph von F(x) = x³ − 12x, unten der Graph von f(x) = 3x² − 12. Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen.
Wo f > 0 ist, steigt F. Wo f < 0 ist, fällt F.
Wo f eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, hat F eine Extremstelle: von + nach − ein Hochpunkt, von − nach + ein Tiefpunkt.
Wo f am kleinsten oder größten ist, hat F die stärkste Neigung (Wendestelle von F).
✎ Mini-Aufgabe: Wie viele Stammfunktionen hat f(x) = 3x² − 12, und wie liegen ihre Graphen zueinander?
Lösung zeigen
Unendlich viele: F(x) + c für jede Zahl c. Ihre Graphen sind gegeneinander nach oben oder unten verschoben. Die Steigung ist an jeder Stelle gleich.
die Änderungsrate f; der Bestand ist eine Stammfunktion von f
Das Gegebene ist die Rate, nicht der Bestand.
wie viel ist zugeflossen, hinzugekommen (von a bis b)
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Das + c fällt weg.
wie viel ist im Becken, wie viele sind es nach t
Bestand B(t) = F(t) + c mit B(0) = Anfangsbestand
Den Anfangsbestand nicht vergessen.
Entnahme, Abfluss, Verbrauch
Der Bestand nimmt ab: B′(t) = −a(t)
Auf das Vorzeichen achten.
Weg, Strecke (gegeben ist die Geschwindigkeit)
Integral der Geschwindigkeit
Einheit: m/s · s = m
F steigt, F fällt
f > 0, f < 0
Entscheidend ist das Vorzeichen von f.
Extremstelle von F
Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel
Eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel zählt nicht.
10. Was nirgends steht
Eine Stammfunktion ist nie eindeutig: + c. Erst ein vorgegebener Wert wie F(1) = 5 oder ein Anfangsbestand legt c fest.
In Sachaufgaben ist die gegebene Funktion eine Rate. Den Bestand musst du erst bilden.
Der Anfangsbestand gehört zum Bestand, aber nicht zur Menge, die zugeflossen ist.
Bei Abfluss oder Entnahme ist die Bestandsänderung negativ, auch wenn die Rate als positive Zahl angegeben ist.
t = 0 ist der Beginn der Beobachtung, nicht Mitternacht.
11. Ein Beispiel mit Denkweg
In einem Fischteich wächst die Zahl der Fische. Die Zuwachsrate beschreibt g(t) = 20e0,1t, t in Jahren seit Beobachtungsbeginn, g(t) in Fischen pro Jahr. Zu Beginn leben 300 Fische im Teich. Wie viele Fische sind es nach 10 Jahren?
Was ist gefragt? Der Bestand nach 10 Jahren, nicht die Zuwachsrate.
Was steht nicht da? g ist nur die Rate. Die 300 Fische vom Anfang gehören zum Bestand dazu. Ich brauche also B(t) = G(t) + c mit B(0) = 300.
Rechnen Stammfunktion: G(t) = 200e0,1t, denn 200 · 0,1 = 20. B(t) = 200e0,1t + c. B(0) = 200 + c = 300, also c = 100. B(10) = 200e + 100 ≈ 643,7.
Antwortsatz Nach 10 Jahren leben etwa 644 Fische im Teich.
Prüfen Zugewachsen sind B(10) − B(0) ≈ 343,7 Fische. Die Rate steigt von 20 auf 20e ≈ 54 Fische pro Jahr, in 10 Jahren kämen also zwischen 200 und 540 hinzu. 344 passt.
12. Typische Fehler
Beim Integrieren von e2x oder sin(3x) nicht durch den inneren Faktor geteilt.
Das Minus bei sin(x) → −cos(x) vergessen oder an cos gesetzt.
Ein Produkt faktorweise integriert.
Bei einem vorgegebenen Wert F(x0) = y0 das + c vergessen.
Bei Sachaufgaben die Rate wie einen Bestand behandelt oder den Anfangsbestand weggelassen.
Rechnen
2.1Potenzen und Summen
a) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = x⁶.
Hilfe 1
Was passiert beim Ableiten mit dem Exponenten? Lies das rückwärts.
b) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 8x³ − 9x² + 2.
Hilfe 1
Behandle jeden Summanden für sich.
Hilfe 2
Der Summand 2 ist 2 · x⁰.
c) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 4x² + 3x.
Hilfe 1
Schreibe 4x² als Potenz.
Hilfe 2
Auch negative Exponenten folgen der Potenzregel, nur n = −1 nicht.
d) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 0,5x⁴ − 2x + 3.
Hilfe 1
Zuerst jeden Summanden einzeln, dann zusammensetzen.
Hilfe 2
Prüfe am Ende durch Ableiten.
Lösung zeigen
a) Eine Potenz, nichts weiter: Exponent erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen.
F(x) = (17)x⁷
b) Summe: jeder Summand einzeln, Faktoren bleiben stehen.
F(x) = 2x⁴ − 3x³ + 2x
c) Ein Bruch mit x im Nenner ist eine Potenz mit negativem Exponenten.
4x² = 4 · x−2 → 4 · (−x−1) = −4x
F(x) = −4x + 1,5x²
d) Dezimalzahlen als Faktor ändern nichts am Vorgehen.
0,5x⁴ → 0,5 · (15)x⁵ = 0,1x⁵; −2x → −x²; 3 → 3x
F(x) = 0,1x⁵ − x² + 3x
2.2Grundfunktionen und Innenfaktoren
a) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 4cos(x) − 3ex.
Hilfe 1
Welche Funktion ergibt beim Ableiten cos(x)?
b) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = e5x.
Hilfe 1
Was würde die Kettenregel beim Ableiten von e5x hinzufügen?
c) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 6cos(0,5x).
Hilfe 1
Die innere Ableitung ist 0,5. Wodurch musst du teilen?
Hilfe 2
Teilen durch 0,5 heißt malnehmen mit 2.
d) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 2sin(4x) − e−x.
Hilfe 1
Beide Summanden haben eine innere Funktion. Wie lautet jeweils die innere Ableitung?
Hilfe 2
Bei e−x ist sie −1.
Hilfe 3
Prüfe beide Vorzeichen durch Ableiten.
Lösung zeigen
a) Grundintegrale mit Faktoren, noch keine innere Funktion.
F(x) = 4sin(x) − 3ex
b) Im Exponenten steht 5x statt x: innere Funktion linear.
F(x) = 0,2e5x. Probe: 0,2 · 5 · e5x = e5x
c) Innerer Faktor 0,5: Teilen durch 0,5 verdoppelt.
6 : 0,5 = 12
F(x) = 12sin(0,5x)
d) Zwei Fallen: Vorzeichen beim Sinus und der negative Innenfaktor.
F′(x) = 0,5 · (−sin(2x)) · 2 = −sin(2x) ≠ f(x). Das Vorzeichen ist falsch.
Richtig: F(x) = −0,5cos(2x)
c) Der Schüler hat abgeleitet statt integriert.
F′(x) = 6x ≠ x³. Er hat f abgeleitet statt integriert.
Richtig: F(x) = 0,25x⁴
2.4Stammfunktion mit Anfangswert
a) Gegeben ist f mit f(x) = e2x + x. Bestimme die Stammfunktion F von f mit F(0) = 3.
Hilfe 1
Bilde zuerst eine Stammfunktion mit + c.
Hilfe 2
Setze 0 ein und löse nach c.
b) Mit F(x) = 0,5e2x + 0,5x² + 2,5 (Ergebnis aus a)) berechne F(1).
Hilfe 1
Setze x = 1 ein; e² mit dem Taschenrechner.
c) Berechne ∫01 f(x) dx. Was fällt im Vergleich mit F(1) auf, und warum ist das so?
Hilfe 1
Welche Stammfunktion du einsetzt, ist egal. Rechne F(1) − F(0).
Hilfe 2
Vergleiche mit F(1) aus b).
Lösung zeigen
a) Ein vorgegebener Wert legt das + c fest.
F(x) = 0,5e2x + 0,5x² + c
F(0) = 0,5 + c = 3 ⇔ c = 2,5
F(x) = 0,5e2x + 0,5x² + 2,5
b) Einsetzen mit dem Taschenrechner.
F(1) = 0,5e² + 0,5 + 2,5 ≈ 6,69
c) Das Integral ist eine Differenz, in der c wegfällt.
∫01 f(x) dx = F(1) − F(0) ≈ 6,69 − 3 = 3,69
Das Integral ist um F(0) = 3 kleiner als F(1). Beim Integral kommt es nur auf die Differenz an, das + c fällt heraus.
Ohne Taschenrechner
2.5Parameter gesucht
a) Bestimme die Zahl a so, dass F mit F(x) = a · e2x + x eine Stammfunktion von f mit f(x) = 3e2x + 1 ist.
Hilfe 1
Leite F ab, a bleibt stehen.
Hilfe 2
Vergleiche die Faktoren vor e2x.
b) Bestimme die Zahl k so, dass F mit F(x) = 4sin(kx) eine Stammfunktion von f mit f(x) = 2cos(0,5x) ist.
Hilfe 1
Leite F ab. Was steht dann im Argument von cos, was davor?
Hilfe 2
Beide Bedingungen müssen gelten.
Lösung zeigen
a) Rückwärts: Ableitung von F muss f sein.
F′(x) = 2a · e2x + 1. Vergleich mit f: 2a = 3, also a = 1,5.
b) Zwei Bedingungen, eine Unbekannte: sie müssen zusammenpassen.
F′(x) = 4k · cos(kx). Im Argument: k = 0,5. Vor dem Kosinus: 4k = 2, also k = 0,5. Beide Bedingungen stimmen überein.
2.6Graph von f und Graph von F
Der Graph zeigt die Funktion f mit f(x) = x² − 2x − 3. Es ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen −1 und 3.
Material
a) Gib anhand des Graphen von f an, in welchen Bereichen eine Stammfunktion F von f steigt und fällt, und gib Lage und Art ihrer Extremstellen an.
Hilfe 1
Was sagt das Vorzeichen von f über F?
Hilfe 2
Wo wechselt f das Vorzeichen, und in welche Richtung?
b) Bestimme die Stammfunktion F von f mit F(0) = 0 und gib F(−1) an.
Hilfe 1
Der Term von f steht in der Einleitung.
Hilfe 2
Welche Zahl legt F(0) = 0 für das + c fest?
c) An welcher Stelle im Bereich −1 ≤ x ≤ 3 fällt der Graph von F am steilsten, und wie groß ist dort die Steigung?
Hilfe 1
Die Steigung von F ist f. Wann ist f am kleinsten?
Lösung zeigen
a) Aus dem Graphen von f auf F schließen: Vorzeichen von f ist Monotonie von F.
f > 0 für x < −1 und x > 3: F steigt. f < 0 für −1 < x < 3: F fällt.
Bei x = −1 wechselt f von + nach −: Hochpunkt von F. Bei x = 3 wechselt f von − nach +: Tiefpunkt von F.
b) Stammfunktion mit Anfangswert, glatte Zahlen.
F(x) = (13)x³ − x² − 3x + c; F(0) = c = 0
F(−1) = −13 − 1 + 3 = 53
c) Steilstes Gefälle von F: kleinster Wert von f.
f hat den Scheitel bei x = 1 (Mitte der Nullstellen), f(1) = −4.
Bei x = 1 fällt F am steilsten, die Steigung ist −4.
2.7Obere Grenze gesucht
a) Bestimme a > 0 so, dass ∫0a (2x + 1) dx = 12 gilt.
Hilfe 1
Bilde das Integral mit der Grenze a.
Hilfe 2
Löse die entstehende Gleichung und prüfe, welche Lösungen zu a > 0 passen.
b) Bestimme b > 0 so, dass ∫0b 3x² dx = 64 gilt.
Hilfe 1
Eine Stammfunktion von 3x² ist x³.
c) Bestimme c mit 0 < c < π2 so, dass ∫0c cos(x) dx = 0,5 gilt.
Hilfe 1
Welche Funktion ergibt abgeleitet cos(x)?
Hilfe 2
Setze die Grenzen ein: Welche Gleichung für c entsteht, und welchen Winkel im Bereich 0 < c < π2 kennst du dafür ohne Taschenrechner?
Lösung zeigen
a) Integral mit Unbekannter in der Grenze: erst integrieren, dann die Gleichung lösen.
∫0a (2x + 1) dx = [x² + x] von 0 bis a = a² + a
a² + a = 12 ⇔ a = 3 oder a = −4. Wegen a > 0: a = 3.
b) Gleiche Aufgabe, einfachere Gleichung.
[x³] von 0 bis b = b³ = 64, also b = 4.
c) Bekannter Sinuswert ohne Taschenrechner.
[sin(x)] von 0 bis c = sin(c) = 0,5, also c = π6 (im Bereich 0 < c < π2 ist das die einzige Lösung).
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Z(t) beschreibt die Zuflussrate eines Beckens in Litern pro Minute (t in Minuten seit Beobachtungsbeginn). Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Wie viel Wasser ist in den ersten 5 Minuten zugeflossen? (2) Zu Beginn waren 40 Liter im Becken. Wie viel Wasser ist nach 5 Minuten im Becken? (3) Wie schnell fließt nach 5 Minuten Wasser zu?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um eine Rate, um eine Menge, die sich ändert, oder um einen Bestand?
Hilfe 2
Welche Frage braucht eine Stammfunktion, welche nicht?
b) Ein Regenrückhaltebecken wird von einem Bach gespeist. Die Zuflussrate beschreibt z(t) = 12e0,5t für 0 ≤ t ≤ 6. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Regenbeginn und z(t) die Zuflussrate in m³ pro Stunde. Zu Regenbeginn enthält das Becken 50 m³. Wie viel Wasser enthält das Becken nach 4 Stunden? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist der … nach 4 Stunden. 2. Was nicht dasteht: z ist die … Die 50 m³ sind der … 3. Rechnen: Z(t) = …; B(t) = Z(t) + c = …; B(0) = 50 ⇔ c = …; B(4) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Wie viel Wasser enthält das Becken“: Ist das die Rate oder der Bestand?
Hilfe 2
Welche Funktion ist gegeben, und welche brauchst du?
Hilfe 3
Eine Stammfunktion bestimmt c erst mit dem Wert zu Beginn.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: Integral der Rate, Anfangsbestand plus Integral, Wert der Rate.
(1) Gesucht ist die zugeflossene Menge: ∫05 Z(t) dt = F(5) − F(0) mit einer Stammfunktion F von Z.
(2) Gesucht ist der Bestand: B(5) = 40 + ∫05 Z(t) dt.
(3) Gesucht ist der Wert der Rate: Z(5) einsetzen. Es wird nicht integriert.
b) „Wie viel enthält das Becken“ heißt Bestand. Die Rate ist gegeben, der Anfangsbestand steht nicht im Funktionsterm.
1. Gefragt ist der Bestand (Wassermenge im Becken) nach 4 Stunden.
2. z ist die Zuflussrate, nicht der Bestand. Die 50 m³ sind der Anfangsbestand und gehören zum Bestand.
4. Nach 4 Stunden enthält das Becken etwa 203,3 m³ Wasser.
5. Zugeflossen sind B(4) − B(0) ≈ 153,3 m³. Die Rate steigt von 12 auf 12e² ≈ 88,7 m³ pro Stunde; in 4 Stunden kämen zwischen 48 und 355 m³ zusammen. 153 passt.
3.2Stausee
Das Wasservolumen eines Stausees ändert sich durch Zu- und Abflüsse. Die Änderungsrate beschreibt w(t) = 0,6t² − 3,6t + 3 für 0 ≤ t ≤ 8. Dabei ist t die Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn und w(t) die Änderungsrate in 1000 m³ pro Tag. Zu Beobachtungsbeginn enthält der See 50 (in 1000 m³). Das Material zeigt den Graphen von w.
Material
a) Gib anhand des Graphen an, in welchen Zeiträumen das Wasservolumen des Sees zunimmt, und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
Was bedeutet w(t) > 0 für das Volumen?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph von w über der t-Achse?
b) Bestimme die Funktion V, die das Wasservolumen des Sees (in 1000 m³) zur Zeit t angibt.
Hilfe 1
Welche Funktion ist V′?
Hilfe 2
Der Wert zu Beobachtungsbeginn legt die Konstante fest.
c) Ermittle, wann der See im Zeitraum 0 ≤ t ≤ 8 am wenigsten Wasser enthält, und wie groß das Volumen dann ist.
Hilfe 1
Gesucht ist der kleinste Wert von V.
Hilfe 2
Wo ist V′ = w gleich 0, und was passiert dort mit dem Vorzeichen?
Hilfe 3
Auch die Ränder kommen als kleinster Wert infrage.
d) Berechne ∫15 w(t) dt und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Die Stammfunktion von w kennst du schon aus b).
Hilfe 2
Was misst das Integral einer Änderungsrate?
Lösung zeigen
a) Graph der Rate gegeben, Aussage über den Bestand gefragt.
Das Volumen nimmt zu, solange die Änderungsrate w(t) positiv ist.
Der Graph von w liegt für 0 ≤ t < 1 und für 5 < t ≤ 8 oberhalb der t-Achse. In diesen Zeiträumen nimmt das Volumen zu.
b) Bestand aus Rate: Stammfunktion plus Anfangsbestand.
Eine Stammfunktion von w ist 0,2t³ − 1,8t² + 3t, also V(t) = 0,2t³ − 1,8t² + 3t + c.
V(0) = c = 50
V(t) = 0,2t³ − 1,8t² + 3t + 50
c) „Am wenigsten“ heißt kleinster Funktionswert von V: Tiefpunkt und Ränder vergleichen.
V′(t) = w(t) = 0,6 · (t − 1) · (t − 5) = 0 bei t = 1 und t = 5
w wechselt bei t = 1 von + nach − (Hochpunkt von V, V(1) = 51,4) und bei t = 5 von − nach + (Tiefpunkt von V): V(5) = 45
Ränder: V(0) = 50 und V(8) = 61,2
Nach 5 Tagen enthält der See mit 45 (1000 m³) am wenigsten Wasser.
d) Integral der Änderungsrate: Änderung des Bestands, hier mit Vorzeichen.
∫15 w(t) dt = V(5) − V(1) = 45 − 51,4 = −6,4
Von Tag 1 bis Tag 5 nimmt das Volumen um 6,4 (1000 m³), also um 6400 m³ ab.
3.3Heizöltank
Aus einem Heizöltank wird Öl entnommen. Die Entnahmerate beschreibt a(t) = 150e−0,2t für t ≥ 0. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beginn der Entnahme und a(t) die Entnahmerate in Litern pro Stunde. Zu Beginn der Entnahme enthält der Tank 900 Liter.
a) Bestimme die Funktion B, die den Inhalt des Tanks (in Litern) zur Zeit t angibt.
Hilfe 1
Der Inhalt nimmt ab. Was heißt das für B′?
Hilfe 2
Bilde eine Stammfunktion und bestimme c aus dem Anfangsinhalt.
b) Berechne, wie viel Öl nach 6 Stunden im Tank ist.
Hilfe 1
Setze in B ein, mit dem Taschenrechner.
c) Berechne, wie viel Öl von t = 2 bis t = 5 entnommen wird.
Hilfe 1
Gesucht ist die Menge, die sich in diesem Zeitraum ändert.
Hilfe 2
Wähle das Integral der Entnahmerate.
d) Ein Mitarbeiter sagt: „Wenn man lange genug wartet, ist der Tank leer.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wie verhält sich e−0,2t für große t?
Hilfe 2
Kann B(t) kleiner als 150 werden?
Lösung zeigen
a) Entnahme: B′ ist minus die Entnahmerate. Das Vorzeichen steht nicht da.
B′(t) = −a(t) = −150e−0,2t, denn der Inhalt nimmt ab.
B(t) = 750e−0,2t + c, denn 750 · 0,2 = 150
B(0) = 750 + c = 900 ⇔ c = 150
B(t) = 750e−0,2t + 150
b) Einsetzen mit dem Taschenrechner, passende Genauigkeit.
B(6) = 750e−1,2 + 150 ≈ 375,9
Nach 6 Stunden sind noch etwa 376 Liter im Tank.
c) „Wie viel wird entnommen“ heißt Integral der Rate, ohne Anfangsbestand.
∫25 150e−0,2t dt = [−750e−0,2t] von 2 bis 5 = 750e−0,4 − 750e−1
≈ 226,8
Von t = 2 bis t = 5 (nach 2 bis nach 5 Stunden) werden etwa 226,8 Liter entnommen.
d) Bei einer fallenden Rate kann der Bestand gegen einen Wert größer null laufen.
Die Aussage ist falsch. Es gilt e−0,2t > 0, also B(t) > 150 für alle t.
Der Inhalt nähert sich 150 Litern, wird aber nie kleiner. Die Entnahme wird so klein, dass sie in der Summe nur 750 Liter ausmacht.
3.4Solaranlage
Eine Solaranlage speist an einem Sommertag Strom ins Netz ein. Die Leistung beschreibt p(t) = 4sin((π12)t) für 0 ≤ t ≤ 12. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit 6 Uhr und p(t) die Leistung in kW. Winkel werden im Bogenmaß gemessen.
a) Berechne, wie viel Energie die Anlage von 6 Uhr bis 18 Uhr ins Netz einspeist.
Hilfe 1
Leistung mal Zeit ist Energie. Was heißt das, wenn die Leistung nicht konstant ist?
Hilfe 2
Die innere Ableitung von (π12)t ist π12.
b) Begründe ohne Rechnung, dass die Anlage bis 12 Uhr genau die Hälfte dieser Energie einspeist.
Hilfe 1
Wie sieht der Graph von p aus?
Hilfe 2
Wo liegt die Symmetrieachse?
c) Ein Mitschüler gibt P(t) = −4cos((π12)t) als Stammfunktion von p an. Beurteile die Angabe.
Hilfe 1
Leite P ab.
Hilfe 2
Welcher Faktor fehlt, und was würde der Mitschüler damit als Energie erhalten?
Lösung zeigen
a) Energie ist das Integral der Leistung. Die Einheit kWh steht nicht im Funktionsterm.
b) Das Kriterium ist die Symmetrie des Graphen, nicht die Rechnung.
Der Graph von p ist ein Sinusbogen von t = 0 bis t = 12, symmetrisch zur Geraden t = 6 (12 Uhr). Die Flächen links und rechts davon sind gleich groß. Also ist die Energie bis 12 Uhr die Hälfte, etwa 15,3 kWh.
c) Probe durch Ableiten: Die innere Ableitung π12 ist keine 1.
Der Teiler π12 fehlt. Mit dieser Angabe käme 8 kWh heraus statt etwa 30,6 kWh.
Richtig ist P(t) = −(48π) · cos((π12)t).
3.5Zwei Rechnungen
Tom und Lea sollen ∫01 (x + 1)² dx berechnen. Tom multipliziert (x + 1)² zuerst aus und integriert dann. Lea integriert beide Faktoren einzeln und multipliziert die Ergebnisse.
Tom: ∫01 (x² + 2x + 1) dx = [(13)x³ + x² + x] von 0 bis 1 = 73
Lea: [(0,5x² + x) · (0,5x² + x)] von 0 bis 1 = 1,5 · 1,5 = 2,25
a) Beurteile, welche der beiden Rechnungen richtig ist. Begründe mit einer Probe durch Ableiten.
Hilfe 1
Welche der beiden Funktionen in den Klammern ist eine Stammfunktion von (x + 1)²?
Hilfe 2
Leite die Funktion von Lea ab, mit der Produktregel.
b) Ben schlägt für f mit f(x) = ex² die Stammfunktion F(x) = 0,5ex² vor, weil bei e2x ja 0,5e2x herauskommt. Beurteile seinen Vorschlag.
Hilfe 1
Leite F ab.
Hilfe 2
Wie unterscheidet sich die innere Funktion x² von 2x?
Lösung zeigen
a) Die Probe durch Ableiten entscheidet. Dass Produkte nicht faktorweise integriert werden, steht in keinem Aufgabentext.
Tom: Ableiten von (13)x³ + x² + x ergibt x² + 2x + 1 = (x + 1)². Die Rechnung ist richtig, der Wert ist 73 ≈ 2,33.
b) Die lineare Substitution gilt nur, wenn die innere Funktion linear ist.
F′(x) = 0,5 · ex² · 2x = x · ex² ≠ f(x). Der Vorschlag ist falsch.
Bei e2x ist die innere Ableitung die Zahl 2, die man herausteilen kann. Bei ex² ist sie 2x und hängt von x ab.
Klausuraufgabe
4.1Regenwasserzisterne
Eine Zisterne für Regenwasser fasst 250 Liter. Während eines Gewitters fließt Regenwasser vom Dach zu. Im Modell beschreibt z(t) = 80e−0,4t die Zuflussrate in Litern pro Minute für 0 ≤ t ≤ 15. Dabei ist t die Zeit in Minuten seit Beginn des Gewitters. Zu Beginn des Gewitters enthält die Zisterne 30 Liter.
a) Bestimme unter Angabe einer Stammfunktion die Wassermenge, die in den ersten 5 Minuten des Gewitters zufließt.3 BE
Hilfe 1
Gesucht ist die zugeflossene Menge, nicht der Inhalt der Zisterne.
Hilfe 2
Die innere Ableitung von −0,4t ist −0,4. Wodurch musst du teilen?
Hilfe 3
Setze die Grenzen 0 und 5 ein.
b) Bestimme die Funktion B, die den Inhalt der Zisterne in Litern zur Zeit t angibt, und berechne den Inhalt nach 15 Minuten.4 BE
Hilfe 1
Der Inhalt ist ein Bestand. Welche Funktion ist B′?
Hilfe 2
Wie lege die Konstante fest?
c) Der Hausbesitzer meint: „Bei einem langen Gewitter mit diesem Zufluss läuft die Zisterne irgendwann über.“ Beurteile die Aussage.4 BE
Hilfe 1
Die Zisterne läuft über, wenn B(t) die 250 Liter erreicht. Kann B(t) so groß werden?
Hilfe 2
Was gilt für e−0,4t, egal wie groß t ist?
d) Berechne, wie viel Wasser von t = 5 bis t = 10 zufließt, und vergleiche mit der Menge aus den ersten 5 Minuten. Beschreibe, was das über den Zufluss aussagt.3 BE
Hilfe 1
Verwende die Stammfunktion aus a).
Hilfe 2
Vergleiche beide Mengen.
Lösung zeigen
a) „Wie viel fließt zu“: Integral der Rate von 0 bis 5.
Stammfunktion: Z(t) = −200e−0,4t, denn 80 : (−0,4) = −200
∫05 z(t) dt = Z(5) − Z(0) = −200e−2 + 200 ≈ 172,9
In den ersten 5 Minuten fließen etwa 172,9 Liter zu.
b) Bestand aus Rate mit Anfangsinhalt 30 Liter, der nur in der Einleitung steht.
B(t) = −200e−0,4t + c; B(0) = −200 + c = 30 ⇔ c = 230
B(t) = 230 − 200e−0,4t
B(15) = 230 − 200e−6 ≈ 229,5
Nach 15 Minuten enthält die Zisterne etwa 229,5 Liter.
c) Obere Grenze des Bestands: Die Rate wird so klein, dass die Summe beschränkt bleibt.
Die Aussage ist falsch. Es gilt e−0,4t > 0, also B(t) < 230 für jedes t.
B steigt, weil z(t) > 0 ist, bleibt aber unter 230 Litern. Die Zisterne fasst 250 Liter und läuft deshalb nie über.
d) Zwei Integrale vergleichen und im Sachzusammenhang deuten.