Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Ein bestimmtes Integral als Grenzwert von Ober- und Untersummen zu berechnen, ist als Idee überzeugend und als Rechenweg unbrauchbar: Für jede neue Funktion beginnt die Arbeit von vorn. Der Hauptsatz ersetzt den Grenzwert durch zwei Funktionswerte. Dafür brauchst du eine Funktion F, die rückwärts zu f passt: eine Stammfunktion. Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens.
✎ Mini-Aufgabe: Für f(x) = x² auf [0; 2] lag der Flächeninhalt zwischen 1,75 und 3,75. Berechne ⅓ · 2³ und prüfe, ob der Wert in dieser Einschachtelung liegt. Was ergibt das Ableiten von ⅓x³?
Lösung zeigen
⅓ · 2³ = 83 ≈ 2,67 liegt zwischen 1,75 und 3,75. Das Ableiten von ⅓x³ ergibt x². Das ist kein Zufall: ⅓x³ ist eine Stammfunktion von x², und 83 ist der Wert des Integrals.
2. Die Stammfunktion und die Ableitungsprobe
Bisher war f gegeben und f′ gesucht. Jetzt ist es umgekehrt: Gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ist.
F ist Stammfunktion von f ⇔ F′(x) = f(x) für alle x
Beispiel: Ableitungsprobe
F(x) = x³ und f(x) = 3x²: F′(x) = 3x² = f(x), also Stammfunktion.
F(x) = 2x² und f(x) = 2x: F′(x) = 4x ≠ 2x, also keine Stammfunktion.
Die Ableitungsprobe kostet zwei Zeilen und ist immer eindeutig. Wer sie weglässt, hat sein Ergebnis nicht geprüft.
✎ Mini-Aufgabe: Prüfe durch Ableiten, ob F(x) = ¼x⁴ eine Stammfunktion von f(x) = x³ ist.
Lösung zeigen
F′(x) = ¼ · 4x³ = x³ = f(x). Ja, F ist eine Stammfunktion von f.
3. Die Integrationskonstante
Beim Ableiten fällt jede additive Konstante weg. Beim Rückwärtsgehen darfst du sie also beliebig wieder hinzufügen.
F Stammfunktion von f ⇒ F + c ist auch Stammfunktion von f
Mehr gibt es nicht: Sind F und G Stammfunktionen von f, dann hat F − G überall die Ableitung f − f = 0. Eine Funktion mit der Ableitung 0 ist konstant. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich also nur um eine Konstante. Ihre Graphen sind senkrecht gegeneinander verschoben.
✎ Mini-Aufgabe: Gib drei verschiedene Stammfunktionen von f(x) = 2x an und prüfe eine davon durch Ableiten.
Lösung zeigen
Zum Beispiel x², x² + 5 und x² − 1. Probe für x² + 5: Die Ableitung ist 2x. Jede Funktion x² + c passt.
4. Der Hauptsatz
∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)
Dabei ist F irgendeine Stammfunktion von f. Anschaulich: Denk dir die Fläche, die von der festen Stelle a aus bis zur beweglichen Stelle x aufgelaufen ist. Rückt x um ein kleines Stück h weiter, kommt ein schmaler Streifen dazu, fast ein Rechteck der Breite h und der Höhe f(x). Der Zuwachs der aufgelaufenen Fläche ist also f(x) je Schritt: Sie verhält sich wie eine Funktion mit der Ableitung f. Beginnt man die Zählung früher oder später, verschiebt sich der aufgelaufene Wert überall um denselben Betrag. Bei F(b) − F(a) fällt dieser Betrag weg, deshalb liefert jede Stammfunktion denselben Wert. Mehr Begründung verlangt der Grundkurs nicht.
Beispiel: ∫−12 3x² dx
Stammfunktion: F(x) = x³
F(2) − F(−1) = 2³ − (−1)³ = 8 − (−1) = 9
Die Klammer um die untere Grenze ist wichtig: −(−1) ergibt +1.
Es gilt obere Grenze minus untere Grenze: F(b) − F(a), nie umgekehrt. Bei negativen Grenzen und Summen als Stammfunktion lieber einmal zu viel Klammern setzen.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne ∫13 2x dx zuerst mit F(x) = x², dann mit F(x) = x² + 7. Was fällt auf?
Lösung zeigen
Mit x²: 9 − 1 = 8. Mit x² + 7: 16 − 8 = 8. Beide Male 8: Die Konstante hebt sich bei F(b) − F(a) auf.
5. Stammfunktionen durch Ansatz und Probe
Fertige Regeln kommen im nächsten Hauptthema. Bis dahin liest du die Potenzregel rückwärts: Beim Ableiten sinkt der Exponent um 1 und der alte Exponent wird zum Faktor. Rückwärts: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Summanden behandelst du einzeln, konstante Faktoren bleiben stehen.
f(x) = x → F(x) = ½x²
f(x) = x² → F(x) = ⅓x³
f(x) = x³ → F(x) = ¼x⁴
f(x) = 5 → F(x) = 5x
Der Ansatz darf geraten sein. Erst die Ableitungsprobe entscheidet.
✎ Mini-Aufgabe: Finde eine Stammfunktion von f(x) = 6x² − 4x und prüfe sie durch Ableiten.
Lösung zeigen
F(x) = 2x³ − 2x². Probe: F′(x) = 6x² − 4x = f(x).
6. Was der Graph von f über F verrät
Weil F′ = f gilt, ist f die Ableitungsfunktion von F. Was du über f′ und f gelernt hast, gilt jetzt für f und F, nur eine Stufe verschoben. Ist f positiv, steigt F. Ist f negativ, fällt F. Eine Nullstelle von f mit Vorzeichenwechsel von + nach − ist ein Hochpunkt von F, von − nach + ein Tiefpunkt. Die Höhe von F lässt sich aus f nicht ablesen: Dazu fehlt die Konstante.
Oben der Graph von f(x) = x² − 4x + 3, unten der Graph der Stammfunktion F(x) = ⅓x³ − 2x² + 3x. Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph von f ist eine nach oben geöffnete Parabel mit den Nullstellen 1 und 5. Beschreibe Monotonie und Extremstellen einer Stammfunktion F.
Lösung zeigen
f ist positiv für x < 1, negativ zwischen 1 und 5, positiv für x > 5. F steigt also bis 1, fällt von 1 bis 5 und steigt ab 5. Bei x = 1 hat F einen Hochpunkt, bei x = 5 einen Tiefpunkt.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
zugeflossene Menge, Zunahme, zurückgelegter Weg in einem Zeitraum
bestimmtes Integral der Rate: ∫ab f(t) dt
Das ist eine Änderung, nicht der Bestand.
Menge nach t Stunden, Füllstand, Position
Anfangswert plus Integral der Rate
Der Anfangswert steht oft in einem eigenen Satz.
Zufluss, Geschwindigkeit, Rate
die Funktion f selbst
Sie ist die Ableitung des Bestands.
wann ist am meisten da, höchster Stand
Hochpunkt der Bestandsfunktion: f wechselt von + nach −
Auch die Ränder des Zeitraums vergleichen.
Stammfunktion nachweisen, zeigen, dass F zu f passt
F′ bilden und mit f vergleichen
Schreibe F′(x) = f(x) hin.
Stammfunktion mit F(x0) = y0
Term der Stammfunktion plus Konstante c, dann einsetzen
c nicht vergessen.
8. Was nirgends steht
Ein Integral einer Rate ist eine Änderung. Der Anfangsbestand steht nicht darin und muss dazugezählt werden.
Ein Integral kann negativ oder null sein. Null heißt nicht, dass nichts passiert ist, sondern dass sich Zunahme und Abnahme ausgleichen.
Das Modell gilt nur im angegebenen Zeitraum. Ein Bestand kann nicht negativ werden, ein Fahrzeug rollt nicht rückwärts.
Die Einheit des Integrals ist Einheit der Rate mal Einheit der Zeit: Liter pro Minute mal Minuten ergibt Liter.
9. Ein Beispiel mit Denkweg
Ein Skater rollt mit der Geschwindigkeit v(t) = 0,3t² (v in m/s, t in Sekunden, 0 ≤ t ≤ 10). Wie weit kommt er zwischen der 2. und der 5. Sekunde?
Was ist gefragt? Der Weg in einem Zeitraum. Die Geschwindigkeit ist die Rate, der Weg ihre Änderung: ∫25 v(t) dt.
Was steht nicht da? Die Stammfunktion von v. Ich suche sie durch Ansatz und prüfe sie durch Ableiten. Der Weg von 2 s bis 5 s ist F(5) − F(2), nicht F(5).
a) Bestimme die Stammfunktion F von f mit f(x) = 6x² − 2x + 1, für die F(1) = 5 gilt.
Hilfe 1
Eine Stammfunktion hat immer eine Konstante. Wo kommt die Bedingung ins Spiel?
Hilfe 2
Setze die Stelle in den Ansatz mit c ein.
b) Bestimme die Stammfunktion F von f mit f(x) = x³ − x, für die F(0) = −2 gilt.
Hilfe 1
Was bleibt von F(0) übrig, wenn man 0 einsetzt?
Lösung zeigen
a) „Die Stammfunktion, für die gilt“ legt die Konstante fest.
F(x) = 2x³ − x² + x + c
F(1) = 2 − 1 + 1 + c = 5 ⇔ c = 3
Also F(x) = 2x³ − x² + x + 3. Probe: F′(x) = 6x² − 2x + 1 = f(x).
b) Die Bedingung an der Stelle 0 liefert die Konstante direkt.
F(x) = ¼x⁴ − ½x² + c; F(0) = c = −2
Also F(x) = ¼x⁴ − ½x² − 2.
2.4Mit Zwischenergebnis weiter
Gegeben ist f mit f(x) = 3x² − 6x.
a) Bestimme die Stammfunktion F von f mit F(1) = 0. Zur Kontrolle: F(x) = x³ − 3x² + 2.
Hilfe 1
Bilde zuerst irgendeine Stammfunktion und ergänze die Konstante.
Hilfe 2
Setze x = 1 ein.
b) Berechne mit F den Wert von ∫−13 f(x) dx.
Hilfe 1
Setze 3 und −1 in F ein.
c) Bestimme Lage und Art der Extremstellen von F. Verwende dazu f.
Hilfe 1
Was gilt für f an einer Extremstelle von F?
Hilfe 2
Prüfe das Vorzeichen von f links und rechts der Nullstellen.
Lösung zeigen
a) Eine Stammfunktion mit Bedingung, das Kontrollergebnis steht dabei.
F(x) = x³ − 3x² + c; F(1) = 1 − 3 + c = 0 ⇔ c = 2
Also F(x) = x³ − 3x² + 2.
b) Das Integral mit der gegebenen Stammfunktion: obere minus untere Grenze.
F(3) − F(−1) = 2 − (−2) = 4
c) „Extremstellen von F“ mit Hilfe von f: Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel.
f(x) = 3x · (x − 2) = 0 bei x = 0 und x = 2
f ist für x < 0 positiv, zwischen 0 und 2 negativ, für x > 2 positiv: Vorzeichenwechsel + nach − bei 0, − nach + bei 2.
F hat bei x = 0 einen Hochpunkt (F(0) = 2) und bei x = 2 einen Tiefpunkt (F(2) = −2).
2.5Zwei Terme, eine Funktion
Zeige, dass F(x) = (x + 1)² und G(x) = x² + 2x − 5 Stammfunktionen derselben Funktion f sind, und gib f an.
Hilfe 1
Die Klammer in F lässt sich ausmultiplizieren.
Hilfe 2
Zwei Stammfunktionen einer Funktion haben dieselbe Ableitung.
Lösung zeigen
„Zeige“: beide Terme ableiten und vergleichen; dass sie verschieden aussehen, stört nicht.
F(x) = x² + 2x + 1, also F′(x) = 2x + 2.
G′(x) = 2x + 2. Beide Ableitungen stimmen überein, die Funktion ist f(x) = 2x + 2.
Die Terme unterscheiden sich um die Konstante F(x) − G(x) = 6.
Ohne Taschenrechner
2.6Rückwärts: die Grenze gesucht
a) Bestimme a > 0 so, dass ∫0a 3x² dx = 64 gilt.
Hilfe 1
Berechne das Integral zuerst allgemein mit a als obere Grenze.
b) Bestimme b > 1 so, dass ∫1b 2x dx = 8 gilt.
Hilfe 1
Setze die untere Grenze 1 ein.
c) Bestimme k so, dass ∫02 kx dx = 6 gilt.
Hilfe 1
k verhält sich beim Integrieren wie eine Zahl.
Lösung zeigen
a) Das Integral ist gegeben, die Grenze gesucht: Hauptsatz ansetzen und die Gleichung lösen.
F(x) = x³; F(a) − F(0) = a³ = 64
obere Grenze a = 4
b) Wie a), aber die untere Grenze ist nicht 0.
F(x) = x²; F(b) − F(1) = b² − 1 = 8 ⇔ b² = 9
Wegen b > 1 ist b = 3.
c) Der Parameter steht im Integranden.
F(x) = ½kx²; F(2) − F(0) = 2k = 6
k = 3
2.7Am Graphen von f
Das Material zeigt den Graphen von f mit f(x) = x² − 6x + 8. Weitere Nullstellen hat f nicht. F ist eine Stammfunktion von f.
Material
a) Beschreibe anhand des Graphen von f, wo F steigt und fällt, und gib Lage und Art der Extremstellen von F an.
Hilfe 1
Wo liegt der Graph von f oberhalb, wo unterhalb der x-Achse?
Hilfe 2
Was bedeutet ein positiver Wert von f für die Steigung von F?
b) Skizziere in das Koordinatensystem einen möglichen Graphen von F.
Hilfe 1
Beginne bei den Stellen 2 und 4.
c) Begründe anhand des Graphen, dass ∫24 f(x) dx negativ ist, und berechne den Wert.
Hilfe 1
Wo liegt der Graph im Intervall [2; 4]?
Hilfe 2
Bestimme die Stammfunktion und setze die Grenzen ein.
Lösung zeigen
a) „Anhand des Graphen von f“: Vorzeichen von f liest man für die Monotonie von F ab.
f ist positiv für x < 2 und für x > 4, negativ zwischen 2 und 4.
F steigt für x < 2, fällt zwischen 2 und 4 und steigt für x > 4.
Hochpunkt von F bei x = 2, Tiefpunkt von F bei x = 4.
b) Eine Stammfunktion zeichnen: nur die Form ist bestimmt, die Höhe nicht.
Der Graph steigt bis x = 2, fällt bis x = 4 und steigt danach. Jede senkrechte Verschiebung ist richtig.
c) „Begründen Sie anhand des Graphen“ plus Berechnung: das Vorzeichen der Fläche und der Wert.
Zwischen x = 2 und x = 4 liegt der Graph von f unterhalb der x-Achse, also ist das Integral negativ.
F(x) = ⅓x³ − 3x² + 8x; F(4) = 163, F(2) = 203
∫24 f(x) dx = 163 − 203 = −43
2.8Parameter bestimmen
a) Für a ∈ ℝ ist die Funktion F mit F(x) = a x³ − x² + 2x gegeben. Bestimme a so, dass F eine Stammfunktion von f mit f(x) = 12x² − 2x + 2 ist.
Hilfe 1
Leite F mit dem Parameter a ab.
Hilfe 2
Vergleiche die Faktoren vor x².
b) Bestimme a so, dass ∫01 a x² dx = 2 gilt.
Hilfe 1
Der Faktor a bleibt beim Integrieren stehen.
Lösung zeigen
a) Parameter bestimmen: F ableiten und die Ableitung mit f vergleichen.
F′(x) = 3a x² − 2x + 2
F′(x) = f(x) verlangt 3a = 12, also Parameter a = 4.
b) Wie 2.6, mit dem Parameter als Faktor.
F(x) = (a3) x³; F(1) − F(0) = a3 = 2
a = 6
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) v(t) beschreibt die Geschwindigkeit eines Läufers in m/s (t in Sekunden). Wie weit läuft er von der 10. bis zur 30. Sekunde? (2) z(t) beschreibt den Zufluss in einen Tank in Litern pro Minute. Zu Beginn sind 50 Liter im Tank. Wie viel Wasser ist nach 6 Minuten darin? (3) r(t) beschreibt die Änderungsrate der Zahl der Mitglieder eines Vereins (t in Monaten). Wann hat der Verein die meisten Mitglieder, wenn r erst positiv und später negativ ist?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist die gegebene Funktion der Bestand oder seine Änderungsrate?
Hilfe 2
Welche der drei Fragen verlangt einen Anfangswert?
Hilfe 3
Bei (3): Welche Funktion ist der Bestand, und wie erkennt man an der Rate, wo er am größten ist?
b) Ein Tank wird gefüllt. Der Zufluss beträgt z(t) = 0,6t² Liter pro Minute (t in Minuten seit Füllbeginn, 0 ≤ t ≤ 10). Zu Beginn sind 50 Liter im Tank. Wie viel Wasser enthält er nach 6 Minuten? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Wassermenge …, also Anfangswert plus … 2. Was nicht dasteht: Das Integral von z liefert nur …; die 50 Liter … 3. Rechnen: Stammfunktion Z(t) = …; Z(6) − Z(0) = …; Gesamt … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Wie viel Wasser enthält der Tank“: Ist das eine Rate, eine Änderung oder ein Bestand?
Hilfe 2
Welche Größe liefert das Integral der Zuflussrate, und was kommt für den Bestand noch dazu?
Hilfe 3
Die Stammfunktion von 0,6t² finde durch Ansatz. Prüfe sie durch Ableiten.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Ansätze: Integral einer Rate, Anfangswert plus Integral, Vorzeichenwechsel der Rate.
(1) Gesucht ist der Weg zwischen 10 s und 30 s. Ansatz: ∫1030 v(t) dt.
(2) Gesucht ist der Bestand nach 6 Minuten. Ansatz: 50 + ∫06 z(t) dt. Der Anfangsbestand steht nicht im Integral.
(3) Gesucht ist die Stelle, an der r von + nach − wechselt (Hochpunkt der Mitgliederzahl). Ansatz: Nullstelle von r mit Vorzeichenwechsel. Hier wird nicht integriert.
b) „Wie viel Wasser enthält er nach“: Bestand, nicht Zufluss. Der Anfangswert steht in einem eigenen Satz.
1. Gefragt ist die Wassermenge im Tank nach 6 Minuten, also Anfangswert plus zugeflossene Menge: 50 + ∫06 z(t) dt.
2. Das Integral liefert nur die Menge, die in 6 Minuten dazukommt. Die 50 Liter müssen addiert werden.
5. Der Tank enthält mehr als zu Beginn, weil z positiv ist. Die Zuflussmenge liegt zwischen 0 und 6 · z(6) = 129,6 Litern. 43,2 Liter passen.
3.2Talsperre
Der Wasservorrat einer Talsperre ändert sich im Beobachtungszeitraum durch Zufluss und Abgabe. Die Änderungsrate beschreibt r mit r(t) = 0,3t² − 2,4t + 3,6 (t in Tagen seit Beobachtungsbeginn, 0 ≤ t ≤ 8; r(t) in 1000 m³ pro Tag). Zu Beginn enthält die Talsperre 40 (in 1000 m³). Das Material zeigt den Graphen von r. Weitere Nullstellen als die im Bild hat r nicht.
Material
a) Beschreibe anhand des Graphen, in welchen Zeiträumen der Wasservorrat zunimmt und in welchen er abnimmt.
Hilfe 1
Wovon hängt es ab, ob der Vorrat steigt oder sinkt: vom Wert von r oder von seiner Steigung?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph von r oberhalb der Achse?
b) Berechne, wie sich der Wasservorrat in den ersten 6 Tagen insgesamt verändert, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche Größe liefert das Integral einer Änderungsrate?
Hilfe 2
Bestimme die Stammfunktion durch Ansatz und prüfe sie durch Ableiten.
Hilfe 3
Was bedeutet das Ergebnis, wenn Zunahme und Abnahme gleich groß sind?
c) Bestimme, wann der Wasservorrat im Beobachtungszeitraum am größten ist, und gib den größten Vorrat an.
Hilfe 1
Der größte Wert liegt an einem Hochpunkt oder am Rand.
Hilfe 2
Berechne den Vorrat in allen drei Kandidaten.
Hilfe 3
R(2) und R(8) bestimmst du mit der Stammfunktion aus b).
Lösung zeigen
a) Die Rate r liest man am Graphen ab; der Vorrat steigt, wo r positiv ist.
r ist positiv für t < 2 und für t > 6, negativ zwischen 2 und 6.
Der Vorrat nimmt von Tag 0 bis Tag 2 zu, von Tag 2 bis Tag 6 ab und von Tag 6 bis Tag 8 wieder zu.
b) „wie sich der Vorrat verändert“: Integral der Rate. Das Ergebnis 0 ist zu deuten.
Nach 6 Tagen ist der Vorrat so groß wie zu Beginn (40 in 1000 m³). Dazwischen hat er erst zu- und dann abgenommen, der Ausgleich ist nicht Stillstand.
c) „am größten“: lokaler Hochpunkt und die Ränder vergleichen; das Maximum kann an mehr als einer Stelle angenommen werden.
Mögliche Stellen: der Hochpunkt bei t = 2 (r wechselt von + nach −) und der Rand t = 8.
Vorrat 40 + R(t): Tag 2: 40 + 3,2 = 43,2. Tag 8: 40 + 3,2 = 43,2.
Tag 0 hat 40. Der Vorrat ist an Tag 2 und an Tag 8 am größten, jeweils 43,2 (in 1000 m³). Beide Tage gehören zur Lösung.
3.3Ausrollender Wagen
Ein Wagen rollt in einer Halle aus. Seine Geschwindigkeit beschreibt v mit v(t) = 6 − 0,4t² (t in Sekunden seit Beginn des Ausrollens, v(t) in m/s). Rechne mit Taschenrechner und runde sinnvoll.
a) Bestimme, nach welcher Zeit der Wagen steht.
Hilfe 1
Was ist die Geschwindigkeit eines stehenden Wagens?
Hilfe 2
Eine quadratische Gleichung hat zwei Lösungen. Welche passt zur Aufgabe?
b) Berechne, wie weit der Wagen bis zum Stillstand rollt.
Hilfe 1
Welche Größe liefert das Integral der Geschwindigkeit?
Hilfe 2
Bis zu welcher Zeit gilt das Modell sinnvoll?
Hilfe 3
Die Stammfunktion von 6 − 0,4t² findest du durch Ansatz; prüfe sie durch Ableiten.
c) Eine Kollegin setzt t = 5 in v ein und schließt: „Nach 5 Sekunden fährt der Wagen mit 4 m/s zurück.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Bis wann gilt das Modell?
Hilfe 2
Was würde ein negativer Wert für v bedeuten?
Lösung zeigen
a) „Der Wagen steht“ heißt v(t) = 0; nur positive Zeiten zählen.
6 − 0,4t² = 0 ⇔ t² = 15
t = √15 ≈ 3,87; die Lösung −3,87 liegt vor dem Beginn und entfällt. Nach etwa 3,9 Sekunden steht der Wagen.
b) Der Weg ist das Integral der Geschwindigkeit, die obere Grenze ist der Stillstand aus a).
c) Ein Wert außerhalb des Modellbereichs wird gedeutet: Das Modell gilt nur bis zum Stillstand.
v(5) = 6 − 10 = −4. Das Modell gilt aber nur bis zum Stillstand bei t ≈ 3,87 s.
Ein auslaufender Wagen rollt nicht rückwärts; die Aussage ist falsch, weil v(5) außerhalb des Gültigkeitsbereichs liegt.
3.4Regentonne
Eine Regentonne wird bei Regen gefüllt und gleichzeitig über einen Hahn geleert. Die Änderungsrate der Wassermenge beschreibt r mit r(t) = 6 − 2t (t in Minuten seit Regenbeginn, r(t) in Litern pro Minute). Zu Beginn sind 5 Liter in der Tonne. Rechne mit Taschenrechner und runde sinnvoll.
a) Gib eine Funktion B an, die die Wassermenge in der Tonne nach t Minuten beschreibt.
Hilfe 1
Welche Funktion hat die Ableitung r, und was legt die Konstante fest?
Hilfe 2
Welche Angabe der Aufgabe gehört zu t = 0?
b) Bestimme, wann die Tonne am vollsten ist, und wie viel Wasser dann darin ist.
Hilfe 1
Wo wechselt r das Vorzeichen?
Hilfe 2
Prüfe auch die Ränder des Zeitraums.
c) Bestimme, nach welcher Zeit die Tonne leer ist.
Hilfe 1
Was ist die Wassermenge in einer leeren Tonne?
Hilfe 2
Löse die quadratische Gleichung und prüfe, welche Lösung zum Zeitraum passt.
d) Ein Nachbar meint: „Nach 8 Minuten fehlen 11 Liter in der Tonne.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Welcher Wert ist die kleinste mögliche Wassermenge?
Hilfe 2
Bis wann gilt das Modell?
Lösung zeigen
a) „Wassermenge in der Tonne nach t Minuten“: Bestandsfunktion, also Stammfunktion plus Anfangswert.
Eine Stammfunktion von r ist 6t − t²; allgemein B(t) = 6t − t² + c.
b) „am vollsten“: größter Wert von B. Hochpunkt über die Nullstelle von r, dazu der Rand t = 0.
r(t) = 0 bei t = 3; r wechselt von + nach −: Hochpunkt von B.
B(3) = −9 + 18 + 5 = 14. Der Rand t = 0 hat nur 5.
Nach 3 Minuten ist die Tonne mit 14 Litern am vollsten.
c) „leer“ heißt B(t) = 0; nur positive Zeiten zählen.
−t² + 6t + 5 = 0 ⇔ t² − 6t − 5 = 0
t = 3 ± √14, also t ≈ 6,74 oder t ≈ −0,74. Die negative Lösung liegt vor dem Regenbeginn.
Nach etwa 6,7 Minuten ist die Tonne leer.
d) Ein Bestand kann nicht negativ sein: B(8) = −11 ist außerhalb des Modellbereichs.
B(8) = −64 + 48 + 5 = −11. Das Modell gilt nur, solange die Tonne Wasser enthält, also bis t ≈ 6,74.
Die Tonne kann nicht weniger als 0 Liter enthalten. Die Aussage ist falsch.
Klausuraufgabe
4.1Regenrückhaltebecken
Ein Regenrückhaltebecken wird nach einem Starkregen acht Stunden lang gefüllt. Im Modell gibt f mit f(t) = −0,3t² + 2,4t die Zuflussrate in m³ pro Stunde an; t ist die Zeit in Stunden seit Regenbeginn (0 ≤ t ≤ 8). Die Abbildung zeigt den Graphen von f. Zu Beginn enthält das Becken 12 m³ Wasser.
Abbildung
a) Für die Stammfunktion Z von f mit Z(0) = 0 wird der Ansatz Z(t) = a t³ + b t² gemacht. Bestimme a und b durch Ableiten und Vergleichen mit f. Zur Kontrolle: Z(t) = −0,1t³ + 1,2t²3 BE
Hilfe 1
Leite den Ansatz ab.
Hilfe 2
Vergleiche die Faktoren vor t² und vor t in Z′ und f.
b) Berechne, wie viel Wasser zwischen der 2. und der 6. Stunde in das Becken fließt.3 BE
Hilfe 1
Welche Größe liefert das Integral der Zuflussrate?
Hilfe 2
Setze die Grenzen 2 und 6 in die Stammfunktion ein.
c) Bestimme, ab wann das Becken mehr als 30 m³ enthält.4 BE
Hilfe 1
Was beschreibt Z: die Wassermenge im Becken oder nur die zugeflossene Menge?
Hilfe 2
Wie bekommst du den Bestand aus Z?
Hilfe 3
Löse die Gleichung mit dem Taschenrechner und prüfe, welche Lösung zum Bereich passt.
d) Die Betreiberin sagt: „Weil der Zufluss nach der vierten Stunde sinkt, nimmt auch die Wassermenge im Becken nach der vierten Stunde ab.“ Beurteile diese Aussage anhand der Abbildung.4 BE
Hilfe 1
Was bedeutet es für das Becken, wenn f positiv ist?
Hilfe 2
Wo liegt der Graph in der Abbildung nach t = 4: über oder unter der Achse?
Lösung zeigen
a) Formansatz mit Kontrollergebnis: Ableiten und Koeffizienten vergleichen.
Z′(t) = 3a t² + 2b t
Vergleich mit f: 3a = −0,3 und 2b = 2,4, also a = −0,1 und b = 1,2.
Z(t) = −0,1t³ + 1,2t²
b) „wie viel Wasser zwischen“: Integral der Zuflussrate über den Zeitraum.
B(t) = 30 ⇔ −0,1t³ + 1,2t² − 18 = 0. Mit dem Taschenrechner: t ≈ 5,11 (die weiteren Lösungen t ≈ −3,42 und t ≈ 10,30 liegen außerhalb von 0 ≤ t ≤ 8).
B steigt in diesem Bereich, weil f positiv ist. Ab etwa 5,1 Stunden enthält das Becken mehr als 30 m³.
d) Rate und Bestand: Der Zufluss sinkt, ist aber positiv, also steigt die Wassermenge weiter.
Die Aussage ist falsch. Nach der 4. Stunde sinkt die Zuflussrate, aber f(t) bleibt positiv: In der Abbildung liegt der Graph bis t = 8 über der t-Achse.
Positiver Zufluss heißt: Es kommt weiter Wasser dazu, der Bestand steigt (F′ = f > 0).
Die Wassermenge nimmt bis zur 8. Stunde zu. Erst bei f(8) = 0 hört der Zufluss auf.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Das Integral“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.