Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
In der Differenzialrechnung war ein Bestand gegeben, und du hast seine Änderungsrate gesucht. Jetzt läuft es rückwärts: Gegeben ist die Änderungsrate, gesucht ist, wie sich der Bestand verändert hat. Der Schlüssel ist ein Bild: Die Bestandsänderung ist der Flächeninhalt zwischen dem Graphen der Rate und der x-Achse.
Beispiel: konstante Rate
In ein Becken laufen 4 Minuten lang konstant 3 Liter pro Minute.
Rate · Zeit = 3 · 4 = 12 (Liter)
Im Ratendiagramm ist das ein Rechteck mit der Höhe 3 und der Breite 4.
✎ Mini-Aufgabe: In ein Becken fließen 7 Minuten lang konstant 2,5 Liter pro Minute. Gib die Bestandsänderung als Flächeninhalt im Ratendiagramm an.
Lösung zeigen
Rechteck mit der Breite 7 und der Höhe 2,5: 7 · 2,5 = 17,5. Der Bestand nimmt um 17,5 Liter zu.
2. Wenn die Rate sich ändert
Steigt oder fällt die Rate gleichmäßig, ist das Ratendiagramm eine Gerade. Die Fläche darunter besteht dann aus Rechtecken, Dreiecken und Trapezen, und die Flächenformeln aus der Mittelstufe genügen.
Beispiel: f(t) = 2t für 0 ≤ t ≤ 6
Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung, darunter liegt ein Dreieck.
Grundseite 6, Höhe f(6) = 12: A = ½ · 6 · 12 = 36 (Liter)
Wer mit der Endrate rechnet (12 · 6 = 72), bekommt das Doppelte.
3. Das Vorzeichen: das Integral ist eine Bilanz
Eine Rate kann negativ sein: Es fließt mehr ab als zu. Der Graph liegt dann unterhalb der x-Achse. Solche Flächenstücke zählen negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt.
Fläche oberhalb der x-Achse → Bestand nimmt zu Fläche unterhalb der x-Achse → Bestand nimmt ab
Beispiel: f(t) = 4 − t für 0 ≤ t ≤ 6
Nullstelle bei t = 4. Über [0; 4] liegt ein Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 4: +8.
Über [4; 6] liegt ein Dreieck unterhalb der Achse, Grundseite 2, Höhe 2: −2.
Bilanz: +8 − 2 = 6 (Liter). Der Bestand ist insgesamt um 6 Liter gestiegen.
✎ Mini-Aufgabe: Die Rate eines Beckens ist f(t) = 6 − 2t (Liter pro Minute) für 0 ≤ t ≤ 5. Bestimme die Bestandsänderung über [0; 5].
Lösung zeigen
Nullstelle bei t = 3. Über [0; 3]: Dreieck mit Grundseite 3 und Höhe 6, also +9. Über [3; 5]: Dreieck unterhalb der Achse, Grundseite 2, Höhe |f(5)| = 4, also −4. Bilanz: 9 − 4 = 5 Liter.
4. Krumme Ränder: Ober- und Untersumme
Ist der Graph gekrümmt, passt keine Flächenformel. Dann schachtelst du die Fläche mit Rechtecken ein. Du teilst [a; b] in n gleich breite Teilintervalle der Breite Δx = b − an. In jedem Teilintervall liegt ein Rechteck ganz unter dem Graphen (Summe: Untersumme U(n)) und eines ganz darüber (Summe: Obersumme O(n)).
U(n) ≤ A ≤ O(n)
Steigt f auf dem Intervall, liefert der linke Rand jedes Teilintervalls die Höhe für U(n) und der rechte die für O(n). Fällt f, ist es umgekehrt.
Mit wachsendem n rücken U(n) und O(n) zusammen. Bei einer steigenden oder fallenden Funktion lässt sich der Abstand sogar genau angeben: Schiebt man die Höhenunterschiede aller Teilintervalle übereinander, entsteht eine einzige Säule.
O(n) − U(n) = Δx · | f(b) − f(a) |
Beispiel: f(x) = x² auf [0; 2]
f(2) − f(0) = 4 und Δx = 2n, also O(n) − U(n) = 8n.
n = 4: Abstand 2. n = 8: Abstand 1. n = 80: Abstand 0,1.
✎ Mini-Aufgabe: Wie viele gleich breite Teilintervalle braucht man bei f(x) = x² auf [0; 2] mindestens, damit sich Obersumme und Untersumme um höchstens 0,05 unterscheiden?
Lösung zeigen
8n ≤ 0,05 ⇔ n ≥ 160. Man braucht mindestens 160 Teilintervalle.
6. Das bestimmte Integral
Streben U(n) und O(n) für wachsendes n gegen dieselbe Zahl, heißt diese Zahl das bestimmte Integral von f über [a; b]. Im Grundkurs genügt dir diese Anschauung, ein Beweis wird nicht verlangt.
∫ab f(x) dx
a ist die untere, b die obere Grenze, f der Integrand. Das dx erinnert an die Rechteckbreite Δx. Für f(x) = x² auf [0; 2] ist das Integral 83 ≈ 2,67; es liegt zwischen 1,75 und 3,75. Wie man es ohne Summen bekommt, kommt im nächsten Thema. Merke die Doppelbedeutung: Das bestimmte Integral ist ein orientierter Flächeninhalt und eine Bestandsänderung.
Die erste Regel zerlegt die Fläche an einer Zwischenstelle. Die zweite sagt, dass eine Fläche der Breite null den Inhalt null hat. Die dritte ist eine Festlegung: Vertauschte Grenzen drehen das Vorzeichen um.
✎ Mini-Aufgabe: Für f gilt ∫03 f(x) dx = 5 und ∫07 f(x) dx = 2. Bestimme ∫37 f(x) dx.
Lösung zeigen
∫07 = ∫03 + ∫37, also ∫37 f(x) dx = 2 − 5 = −3.
8. Integrale über gerade Stücke
Stammfunktionen kennst du für das Integral noch nicht. Besteht der Graph aber aus geraden Stücken, ist die Fläche ein Rechteck, Dreieck oder Trapez, und du rechnest das Integral exakt aus.
Beispiel: ∫04 (2x + 1) dx
Der Graph ist eine Gerade von (0 | 1) bis (4 | 9). Darunter liegt ein Trapez.
A = 1 + 92 · 4 = 20
Gegenprobe: Rechteck 4 · 1 = 4 plus Dreieck ½ · 4 · 8 = 16 ergibt ebenfalls 20.
Liegt ein Teil des Graphen unter der x-Achse, zerlege an der Nullstelle und setze die Vorzeichen: oben plus, unten minus.
Zu den Abschnitten 3 und 4. Links die Rate f(t) = 4 − t: Über [0; 4] liegt die Fläche oberhalb der Achse (Zunahme), über [4; 6] unterhalb (Abnahme). Rechts der Graph von f(x) = x² auf [0; 2]; die gestrichelten Linien zeigen die Teilpunkte für n = 4.
9. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Zuflussrate, Änderungsrate, Zunahme pro Zeit
Die Funktion f, deren Graph die Fläche liefert
Die Rate ist nicht der Bestand.
wie viel Wasser fließt zu, wie viele kommen hinzu
Bestandsänderung = ∫ f(t) dt
Einheit: Rate mal Zeit, zum Beispiel Liter.
wie viel ist nach 8 Minuten im Becken
Anfangsbestand plus Bestandsänderung
Der Anfangsbestand steckt nicht in der Fläche.
Bilanz, Gesamtänderung, insgesamt
Integral mit Vorzeichen
Flächen unterhalb der Achse zählen negativ.
in welchem Zeitraum nimmt der Bestand ab
Zeitraum mit f < 0
Die Rate ist negativ, nicht nur kleiner.
wann ist der Bestand am größten
Stelle, an der f von + nach − wechselt
Nicht die Stelle der größten Rate.
die Menge liegt zwischen … und …
Untersumme ≤ Menge ≤ Obersumme
Welcher Rand zu welcher Summe gehört, hängt vom Verlauf ab.
Näherung mit n Rechtecken
Rechtecksumme mit Δx = b − an
Alle Teilintervalle sind gleich breit.
10. Was nirgends steht
Der Anfangsbestand steht im Text, aber nicht in der Fläche. Du addierst ihn zur Bestandsänderung.
Flächen unterhalb der x-Achse zählen negativ. Das sagt dir die Aufgabe nicht.
Der Bestand ist dort am größten, wo die Rate das Vorzeichen wechselt, nicht dort, wo die Rate am größten ist.
Ob eine Rechtecksumme eine Unter- oder Obersumme ist, hängt vom Verlauf ab: Steigt f, ist der linke Rand die Untersumme, fällt f, ist er die Obersumme.
Ober- und Untersumme schließen die Fläche nur ein, wenn f in jedem Teilintervall steigt oder fällt.
11. Ein Sachbeispiel mit Denkweg
Ein Tank enthält 50 Liter. Für 0 ≤ t ≤ 4 (t in Minuten) beschreibt r(t) = 6 − 3t die Änderungsrate der Füllmenge in Litern pro Minute. Wie viel Wasser ist nach 4 Minuten im Tank?
Was ist gefragt? Die Füllmenge nach 4 Minuten, nicht nur die Änderung.
Was steht nicht da? Die 50 Liter am Anfang kommen zur Bestandsänderung dazu. r wechselt bei t = 2 das Vorzeichen, die Fläche darunter zählt negativ.
Rechnen r(2) = 0 und r(4) = −6. Über [0; 2]: ½ · 2 · 6 = 6. Über [2; 4]: ½ · 2 · 6 = 6, unterhalb also −6. ∫04 r(t) dt = 6 − 6 = 0.
Antwortsatz Nach 4 Minuten sind 50 Liter im Tank, genauso viel wie am Anfang.
Prüfen Bis t = 2 steigt die Menge auf 56 Liter, danach sinkt sie zurück auf 50. Das passt zu r > 0 vor t = 2 und r < 0 danach.
12. Typische Fehler
Mit der Endrate rechnen statt mit der Fläche: 12 · 6 statt ½ · 6 · 12.
Die Flächen unterhalb der Achse addieren statt abziehen.
Rate und Bestand verwechseln: Die größte Rate ist nicht der höchste Bestand.
Den Anfangsbestand vergessen oder in die Fläche packen.
Bei einer fallenden Funktion den linken Rand für die Untersumme nehmen.
Rechnen
2.1Flächen unter Geraden
a) Berechne ∫05 3 dx.
Hilfe 1
Welche Figur liegt zwischen Graph und x-Achse?
Hilfe 2
Skizziere den Graphen von f(x) = 3 auf [0; 5].
b) Berechne ∫04 2x dx.
Hilfe 1
Skizziere den Graphen. Welche Figur entsteht?
Hilfe 2
Die Höhe ist der Funktionswert an der rechten Grenze.
c) Berechne ∫15 (x + 3) dx.
Hilfe 1
Welche Funktionswerte begrenzen die Fläche links und rechts?
Hilfe 2
Das Trapez lässt sich auch in Rechteck und Dreieck zerlegen.
Lösung zeigen
a) Konstante Funktion: Der Graph ist eine waagerechte Gerade, die Fläche ein Rechteck.
a) 15: Rechteck mit Breite 5 und Höhe 3, 5 · 3 = 15
b) Gerade durch den Ursprung: Die Fläche ist ein Dreieck.
b) 16: Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe f(4) = 8, ½ · 4 · 8 = 16
c) Gerade, die nicht im Ursprung beginnt: Trapez oder Rechteck plus Dreieck.
c) 24: Trapez mit den parallelen Seiten f(1) = 4 und f(5) = 8 und der Breite 4, 4 + 82 · 4 = 24
2.2Unterhalb der Achse
a) Berechne ∫03 (x − 3) dx.
Hilfe 1
Wo liegt der Graph auf [0; 3] bezüglich der x-Achse?
Hilfe 2
Was bedeutet das für das Vorzeichen des Integrals?
b) Berechne ∫07 (x − 3) dx.
Hilfe 1
Wo schneidet der Graph die x-Achse?
Hilfe 2
Nutze das Ergebnis aus a).
Hilfe 3
Zerlege das Integral an der Nullstelle.
Lösung zeigen
a) Der Graph liegt auf [0; 3] unterhalb der x-Achse: Der Wert ist negativ.
a) −4,5: Dreieck unterhalb der Achse mit Grundseite 3 und Höhe |f(0)| = 3, ½ · 3 · 3 = 4,5, also −4,5
b) Der Graph wechselt das Vorzeichen: an der Nullstelle zerlegen.
b) 3,5: Nullstelle x = 3. Über [3; 7] liegt ein Dreieck oberhalb mit Grundseite 4 und Höhe f(7) = 4: 8. Zusammen −4,5 + 8 = 3,5
2.3Rechtecksummen
a) Gegeben ist f(x) = x² + 1 auf [0; 3]. Berechne die Untersumme U(3) und die Obersumme O(3) mit drei gleich breiten Teilintervallen.
Hilfe 1
Wie breit ist ein Teilintervall, und wo liegen die Teilpunkte?
Hilfe 2
Steigt oder fällt f? Davon hängt ab, welcher Rand zu U gehört.
Hilfe 3
Rechne Δx · (Summe der Höhen).
b) Schreibe die Einschachtelung des Flächeninhalts A auf und prüfe die Differenz O(3) − U(3) auf einem zweiten Weg.
Hilfe 1
Welche beiden Zahlen schließen A ein?
Hilfe 2
Die Differenz entsteht aus dem Höhenunterschied zwischen den Rändern des Intervalls.
Lösung zeigen
a) Die Funktion steigt: Linker Rand für U, rechter Rand für O.
Δx = 1, Teilpunkte 0; 1; 2; 3. f steigt auf [0; 3], also liefert der linke Rand die Untersumme und der rechte die Obersumme.
U(3) = 8 und O(3) = 17, denn U(3) = 1 · (1 + 2 + 5) und O(3) = 1 · (2 + 5 + 10)
b) Zweiter Weg: Höhenunterschied am Rand mal Breite.
a) Für f(x) = x² + 1 auf [0; 3] gilt mit n = 6 gleich breiten Teilintervallen O(6) = 14,375. Bestimme U(6), ohne die Funktionswerte an den Teilpunkten einzeln zu berechnen.
Hilfe 1
Wodurch unterscheiden sich Ober- und Untersumme nur?
Hilfe 2
Der Abstand hängt nur von den Rändern des Intervalls und von Δx ab.
b) Vergleiche die Einschachtelungen für n = 3 (Aufgabe 2.3) und n = 6 und beschreibe, was sich ändert.
Hilfe 1
Wie breit ist das Intervall zwischen U und O jeweils?
Lösung zeigen
a) Gegebene Obersumme und bekannter Abstand: Die Untersumme folgt ohne die einzelnen Funktionswerte.
Der Graph einer Funktion f ist ein Streckenzug durch die Punkte (0 | 0), (2 | 4), (4 | 0), (6 | −2) und (10 | −2). Er ist im Material dargestellt.
Material
a) Bestimme ∫04 f(x) dx.
Hilfe 1
In welche Figuren zerfällt die Fläche?
b) Bestimme ∫010 f(x) dx.
Hilfe 1
Nutze das Ergebnis aus a).
Hilfe 2
Welche Teile liegen unterhalb der x-Achse?
c) Bestimme die Zahl c mit 0 < c ≤ 10, für die ∫0c f(x) dx = 0 gilt.
Hilfe 1
Welchen Wert hat das Integral bis x = 6?
Hilfe 2
Wie ändert es sich danach pro Einheit?
Lösung zeigen
a) Aus dem Streckenzug Flächen ablesen.
a) 8: Dreieck über [0; 2]: ½ · 2 · 4 = 4, Dreieck über [2; 4]: ½ · 2 · 4 = 4. Zusammen 8
b) Teile unterhalb der Achse zählen negativ.
b) −2: Über [4; 6] liegt ein Dreieck unterhalb der Achse, ½ · 2 · 2 = 2, also −2. Über [6; 10] liegt ein Rechteck unterhalb, 4 · 2 = 8, also −8.
8 − 2 − 8 = −2
c) Gesucht ist die Stelle, an der sich positive und negative Fläche aufheben.
c) c = 9: Bis x = 6 summiert sich 8 − 2 = 6. Ab x = 6 kommt pro Einheit −2 hinzu. 6 − 2 · (c − 6) = 0 ⇔ c = 9
2.7Obere Grenze gesucht
Für b > 0 gilt ∫0b (0,5x + 1) dx = 15. Bestimme b.
Hilfe 1
Welche Figur liegt über [0; b] unter dem Graphen? Wie lang sind ihre parallelen Seiten?
Hilfe 2
Stelle die Flächenformel auf und setze sie gleich 15.
Hilfe 3
Die Gleichung ist quadratisch.
Lösung zeigen
Rückwärts: Die Fläche ist gegeben, die Breite gesucht.
Die Fläche unter dem Graphen von f(x) = 0,5x + 1 über [0; b] ist ein Trapez mit den parallelen Seiten f(0) = 1 und f(b) = 0,5b + 1 und der Breite b.
1 + 0,5b + 12 · b = b + 0,25b² = 15 ⇔ b² + 4b − 60 = 0 ⇔ b = 6 oder b = −10
Wegen b > 0 gilt b = 6.
2.8Mit Parameter
a) Bestimme a > 0 so, dass ∫04 a·x dx = 12 gilt.
Hilfe 1
Wie hoch ist das Dreieck an der Stelle x = 4?
b) Bestimme a so, dass ∫04 (x + a) dx = 20 gilt.
Hilfe 1
Wie lässt sich die Fläche in zwei einfache Figuren zerlegen?
Lösung zeigen
a) Parameter gesucht: Fläche allgemein mit a ausdrücken.
Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe f(4) = 4a: ½ · 4 · 4a = 8a
8a = 12 ⇔ a = 1,5
b) Rechteck plus Dreieck mit dem Parameter a.
Rechteck mit der Höhe a und Breite 4: 4a. Dreieck mit Grundseite 4 und Höhe 4: 8.
8 + 4a = 20 ⇔ a = 3
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) z(t) beschreibt die Zuflussrate eines Beckens in Litern pro Minute (t in Minuten). Wie viel Wasser fließt zwischen der 2. und der 8. Minute zu? (2) w(t) beschreibt die Änderungsrate der Zahl der Abonnenten eines Kanals in Personen pro Monat (t in Monaten). Zu Beginn sind es 3 000 Abonnenten. Wie viele sind es nach 12 Monaten? (3) Der Graph der Änderungsrate r eines Bestands liegt zwischen t = 5 und t = 9 unterhalb der x-Achse. Was bedeutet das für den Bestand, und welches Vorzeichen hat ∫59 r(t) dt?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist ein Bestand oder seine Änderungsrate gegeben?
Hilfe 2
Die Bestandsänderung ist ein Integral der Änderungsrate.
Hilfe 3
Bei (2): Steckt der Anfangsbestand in der Fläche?
b) Beim Fahren eines Elektrorollers beschreibt r(t) = 5 − t die Änderung des Ladestands in Prozentpunkten pro Minute (t in Minuten, 0 ≤ t ≤ 8). Bergab lädt der Akku (r > 0), bergauf entlädt er sich (r < 0). Zu Beginn beträgt der Ladestand 20 %. Wie hoch ist er nach 8 Minuten? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: … 3. Rechnen: Über [0; 5] …, über [5; 8] …, also ∫08 r(t) dt = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Fragt die Aufgabe nach der Änderung oder nach dem Stand?
Hilfe 2
Bei welchem t wechselt r das Vorzeichen?
Hilfe 3
Der Anfangsbestand ist nicht Teil der Fläche.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Integral, Anfangsbestand plus Integral, Vorzeichen.
(1) Gesucht ist die Bestandsänderung zwischen t = 2 und t = 8. Ansatz: ∫28 z(t) dt.
(2) Gesucht ist der Bestand nach 12 Monaten. Ansatz: 3 000 + ∫012 w(t) dt. Der Anfangsbestand kommt dazu.
(3) Der Bestand nimmt in diesem Zeitraum ab. ∫59 r(t) dt ist negativ.
b) „Wie hoch ist der Ladestand“ heißt Anfangsbestand plus Bestandsänderung. Das Vorzeichen wechselt bei t = 5.
1. Gefragt ist der Ladestand nach 8 Minuten, also Anfangsbestand plus Bestandsänderung.
2. Die 20 % am Anfang stehen nicht in der Fläche. r wechselt bei t = 5 das Vorzeichen, die Fläche darunter zählt negativ.
3. Über [0; 5]: Dreieck mit Grundseite 5 und Höhe 5, ½ · 5 · 5 = 12,5. Über [5; 8]: Dreieck unterhalb, Grundseite 3, Höhe |r(8)| = 3, also −4,5. ∫08 r(t) dt = 12,5 − 4,5 = 8
4. Nach 8 Minuten beträgt der Ladestand 20 % + 8 Prozentpunkte = 28 %.
5. Der Ladestand steigt zunächst auf 32,5 % und sinkt dann auf 28 %. Das ist möglich, denn er bleibt zwischen 0 % und 100 %.
3.2Schulzisterne
Eine Schulzisterne sammelt Regenwasser vom Dach. Zehn Minuten lang wird die Änderungsrate z(t) des Wasserstands gemessen (t in Minuten seit Messbeginn, z(t) in Litern pro Minute). Das Material zeigt z als Streckenzug durch (0 | 2), (3 | 8), (6 | 6), (9 | −3) und (10 | −3). Negative Werte bedeuten, dass Wasser entnommen wird. Zu Messbeginn enthält die Zisterne 50 Liter.
Material
a) Bestimme, in welchem Zeitraum der Wasserstand steigt, und berechne die Zunahme in den ersten drei Minuten.
Hilfe 1
Wovon hängt ab, ob der Wasserstand steigt?
Hilfe 2
Wo schneidet der Graph die t-Achse? Die Strecke ab (6 | 6) hat eine feste Steigung.
Hilfe 3
Welche Figur liegt über [0; 3]?
b) Berechne den Wasserstand nach 10 Minuten.
Hilfe 1
Was sagt die Aufgabe über den Wasserstand zu Beginn?
Hilfe 2
Zerlege an den Eckpunkten und an der Nullstelle.
Hilfe 3
Wo liegt Fläche unterhalb der Achse?
c) Bestimme, wann der Wasserstand am höchsten ist und wie hoch er dann ist.
Hilfe 1
Wann hört der Wasserstand auf zu steigen?
Hilfe 2
Nutze die Teilflächen aus b).
d) Lena liest im Material die höchste Zuflussrate ab (bei t = 3) und sagt: „Dann ist die Zisterne am vollsten.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Was heißt es für den Wasserstand, wenn z positiv ist?
Lösung zeigen
a) „steigt“ heißt z > 0. Die Nullstelle von z liegt zwischen den Eckpunkten und muss berechnet oder abgelesen werden.
Der Wasserstand steigt, solange z(t) > 0 ist. Die Strecke von (6 | 6) nach (9 | −3) hat die Steigung −3, also z(8) = 0. Der Wasserstand steigt für 0 ≤ t < 8.
Erste drei Minuten: Trapez mit den parallelen Seiten 2 und 8 und der Breite 3: 2 + 82 · 3 = 15 Liter.
b) Wasserstand heißt Anfangsbestand plus Bestandsänderung; Teile unterhalb der Achse zählen negativ.
c) Der Bestand ist am größten, wo z von + nach − wechselt.
Der Wasserstand steigt bis t = 8 und sinkt danach, weil z dort das Vorzeichen von + nach − wechselt. Er ist bei t = 8 am höchsten.
50 + 15 + 21 + 6 = 92. Der höchste Wasserstand beträgt 92 Liter.
d) Rate und Bestand: Der größte Zufluss ist nicht der volle Stand.
Die Aussage ist falsch. Bei t = 3 ist z = 8 am größten, aber z ist bis t = 8 positiv, der Wasserstand steigt also noch weiter.
Am vollsten ist die Zisterne bei t = 8, wo z das Vorzeichen wechselt.
3.3Nach dem Regen
Nach einem Regenschauer nimmt der Zulauf in einen Teich ab. Im Modell beschreibt f(t) = 40t + 2 die Zuflussrate in Litern pro Minute (t in Minuten nach Ende des Schauers, 0 ≤ t ≤ 6). Die Rate nimmt im Modell ständig ab.
a) Bestimme mit n = 3 gleich breiten Teilintervallen eine untere und eine obere Schranke für die Wassermenge, die in den sechs Minuten zufließt.
Hilfe 1
Steigt oder fällt f? Welcher Rand liefert dann die große Höhe?
Hilfe 2
Berechne die vier Funktionswerte an den Teilpunkten.
Hilfe 3
Rechne Δx · (Summe der Höhen) für jeden Fall.
b) Bestimme, wie viele gleich breite Teilintervalle man mindestens braucht, damit sich die beiden Schranken um höchstens 2 Liter unterscheiden.
Hilfe 1
Wie hängt der Abstand von Obersumme und Untersumme von n ab?
Hilfe 2
Bei fallender Funktion zählt f(a) − f(b).
c) Jonas meint: „Wegen O(3) ≈ 73,33 sind sicher mehr als 73 Liter zugeflossen.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Ist die Obersumme größer oder kleiner als die wirkliche Menge?
Lösung zeigen
a) Die Rate fällt: Der linke Rand liefert die Obersumme.
Δx = 2, Teilpunkte 0; 2; 4; 6 mit f(0) = 20, f(2) = 10, f(4) ≈ 6,67, f(6) = 5. Da f fällt, liefert der linke Rand die Obersumme.
O(3) ≈ 73,33 und U(3) ≈ 43,33
Es fließen zwischen 43,33 und 73,33 Liter zu.
b) Abstand zwischen den Summen: Randwerte mal Breite.
90n ≤ 2 ⇔ n ≥ 45. Man braucht mindestens 45 Teilintervalle.
c) Obersumme ist eine obere Grenze, keine sichere Mindestmenge.
Die Aussage ist falsch. Die Obersumme ist eine obere Schranke: Es sind höchstens 73,33 Liter zugeflossen.
Sicher sind nur mehr als 43,33 Liter, denn das ist die Untersumme.
3.4Sportverein
Die Zahl der Mitglieder eines Sportvereins ändert sich im Lauf eines Jahres. Das Material zeigt die Änderungsrate m(t) in Personen pro Monat (t in Monaten seit Jahresbeginn) als Streckenzug durch (0 | 4), (3 | 10), (6 | 0), (9 | −6) und (12 | −6). Zu Jahresbeginn hat der Verein 240 Mitglieder.
Material
a) Gib an, in welchen Zeiträumen die Mitgliederzahl steigt und in welchen sie sinkt.
Hilfe 1
Welche Größe ist im Graphen dargestellt: der Bestand oder seine Änderung?
b) Tom bestimmt ∫012 m(t) dt als Summe der Flächeninhalte aller vier Stücke und erhält 63. Er sagt: „Nach zwölf Monaten hat der Verein 63 Mitglieder mehr.“ Bestimme den Fehler und gib die richtige Mitgliederzahl nach zwölf Monaten an.
Hilfe 1
Prüfe jede Teilfläche und deren Lage zur x-Achse.
Hilfe 2
Wie zählen Flächen unterhalb der Achse?
Hilfe 3
Was gehört zur Bilanz noch dazu, wenn nach der Mitgliederzahl gefragt ist?
c) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem der Verein die meisten Mitglieder hatte, und gib diese Zahl an.
Hilfe 1
Wann hört die Mitgliederzahl auf zu steigen?
d) Die Vorsitzende sagt: „Am Jahresende steht der Verein schlechter da als am Anfang, denn ab Monat 6 ist die Rate negativ.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Welche Größe entscheidet, ob am Ende mehr oder weniger als am Anfang da sind?
Lösung zeigen
a) Steigt oder sinkt: Vorzeichen der Rate.
m(t) > 0 für 0 ≤ t < 6: Die Mitgliederzahl steigt.
m(t) < 0 für 6 < t ≤ 12: Die Mitgliederzahl sinkt.
b) Fehleranalyse: Vorzeichen der Flächen unterhalb der Achse.
Toms Summe 63 = 21 + 15 + 9 + 18 besteht aus den Inhalten der vier Teilflächen. Sie stimmen, aber er addiert die Flächen unterhalb der x-Achse (9 und 18), statt sie abzuziehen.
Richtig: 21 + 15 − 9 − 18 = 9. Der Verein hat nach zwölf Monaten 240 + 9 = 249 Mitglieder.
c) Der Bestand ist am größten beim Vorzeichenwechsel der Rate.
m wechselt bei t = 6 das Vorzeichen von + nach −. Die Mitgliederzahl ist nach 6 Monaten am höchsten.
240 + 21 + 15 = 276. Der Verein hatte 276 Mitglieder.
d) Negative Rate in einem Zeitraum heißt nicht negative Bilanz über das Jahr.
Die Aussage ist falsch. Die Bilanz über das Jahr ist +9, der Verein hat 249 Mitglieder, mehr als die 240 am Anfang.
Die negative Rate ab Monat 6 heißt nur, dass die Mitgliederzahl in diesem Zeitraum sinkt.
3.5Stausee, Messwerte
Für einen Stausee wird alle drei Monate die Zuflussrate gemessen (t in Monaten seit Jahresbeginn, f(t) in Millionen m³ pro Monat). Zu den Zeitpunkten t = 0, 3, 6, 9, 12 betragen die Werte 1, 5, 4, 2 und 0. Zwischen den Messzeitpunkten gibt es keine Werte. Zu Jahresbeginn enthielt der See 40 Mio. m³.
a) Schätze die Zunahme des Wasserbestands im Jahr mit vier Rechtecken ab, deren Höhe der Messwert am Anfang des jeweiligen Zeitraums ist. Gib den Bestand am Jahresende an.
Hilfe 1
Wie breit ist jedes Rechteck?
Hilfe 2
Welche vier Werte sind die Höhen?
b) Führe dieselbe Abschätzung mit dem Messwert am Ende jedes Zeitraums durch und gib den Bestand am Jahresende an.
Hilfe 1
Welche vier Werte sind jetzt die Höhen?
c) Ein Planer sagt: „Die Zunahme liegt sicher zwischen 33 und 36 Mio. m³.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Was weiß man über f zwischen den Messzeitpunkten?
Hilfe 2
Wann sind Rechtecksummen sichere Schranken?
Lösung zeigen
a) Rechtecke aus Messwerten, dann Anfangsbestand addieren.
Δx = 3: 3 · (1 + 5 + 4 + 2) = 36. Der Bestand nimmt um etwa 36 Mio. m³ zu.
Bestand am Jahresende: 40 + 36 = 76 Mio. m³
b) Gleiche Rechnung mit anderen Höhen.
3 · (5 + 4 + 2 + 0) = 33. Der Bestand nimmt um etwa 33 Mio. m³ zu.
Bestand am Jahresende: 40 + 33 = 73 Mio. m³
c) Ober- und Untersumme brauchen einen steigenden oder fallenden Verlauf zwischen den Messpunkten.
Die Aussage ist nicht sicher. Die Rate steigt von 1 auf 5 und fällt dann wieder, sie ist nicht in jedem Teilintervall steigend oder fallend.
Zwischen den Messzeitpunkten kann die Rate höher oder niedriger sein als die gemessenen Werte. 33 und 36 sind deshalb Näherungswerte, keine sicheren Schranken.
Klausuraufgabe
4.1Drohnenflug
Eine Drohne startet vom Boden und steigt zunächst. Die Abbildung zeigt ihre senkrechte Geschwindigkeit v(t) in Metern pro Sekunde (t in Sekunden seit dem Start, 0 ≤ t ≤ 35; positive Werte bedeuten Steigen). Der Graph ist ein Streckenzug durch (0 | 0), (5 | 4), (15 | 4), (20 | 0), (25 | −2) und (35 | −2).
Abbildung
a) Gib an, in welchem Zeitraum die Drohne steigt, und begründe deine Angabe.2 BE
Hilfe 1
Welche Größe ist im Graphen dargestellt?
Hilfe 2
Welches Vorzeichen hat v beim Steigen?
b) Berechne die Höhe der Drohne 20 Sekunden nach dem Start.4 BE
Hilfe 1
Welche Figuren liegen zwischen Graph und t-Achse?
Hilfe 2
Die Drohne startet am Boden.
c) Erläutere die Bedeutung des Wertes −2 im Zeitraum von 25 bis 35 Sekunden im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Was bedeutet ein negatives Vorzeichen bei v?
d) Der Pilot behauptet: „Nach 35 Sekunden ist die Drohne wieder gelandet.“ Beurteile die Behauptung.3 BE
Hilfe 1
Wie hoch war die Drohne nach 20 Sekunden?
Hilfe 2
Welche Fläche kommt danach dazu, und mit welchem Vorzeichen?
e) Ermittle den Zeitpunkt, ab dem die Drohne nach ihrem Steigflug dauerhaft niedriger als 40 m fliegt.3 BE
Hilfe 1
Wie hoch ist die Drohne, wenn das gleichmäßige Sinken beginnt?
Hilfe 2
Wie viele Meter muss sie bis 40 m noch sinken, und mit welcher Geschwindigkeit?
Lösung zeigen
a) Steigen heißt v > 0.
Die Drohne steigt für 0 < t < 20, denn dort liegt der Graph von v oberhalb der t-Achse (v > 0).
b) Höhenänderung als Fläche unter dem Graphen von v.
Über [0; 5]: ½ · 5 · 4 = 10. Über [5; 15]: 10 · 4 = 40. Über [15; 20]: ½ · 5 · 4 = 10.
∫020 v(t) dt = 60. Die Drohne ist nach 20 Sekunden 60 m hoch.
c) Wert mit Vorzeichen und Einheit deuten.
Zwischen 25 und 35 Sekunden sinkt die Drohne gleichmäßig mit 2 Metern pro Sekunde.
d) Behauptung rechnerisch prüfen: Höhe nach 35 Sekunden.
Über [20; 25]: ½ · 5 · 2 = 5 unterhalb, also −5. Über [25; 35]: 10 · 2 = 20 unterhalb, also −20.
Höhe nach 35 Sekunden: 60 − 25 = 35 m. Die Behauptung ist falsch, die Drohne ist noch 35 m hoch.
e) Höhe nach 25 Sekunden berechnen, dann mit gleichmäßigem Sinken weiterrechnen.
Höhe nach 25 Sekunden: 60 − 5 = 55 m. Danach sinkt sie mit 2 m pro Sekunde.
55 − 2 · (t − 25) = 40 ⇔ t = 32,5. Ab 32,5 Sekunden fliegt die Drohne niedriger als 40 m.
Alternativ von der Höhe nach 35 Sekunden aus: 35 + 2 · (35 − t) = 40 ⇔ t = 32,5.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q1-Kurs, in den Abschnitt „Das Integral“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.