Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung im Raum: wie weit in x-Richtung, wie weit in y-Richtung, wie weit in z-Richtung. Er hat eine Länge und eine Richtung, aber keinen festen Ort. Alle Pfeile, die gleich lang und gleich gerichtet sind, stellen denselben Vektor dar. Deshalb legt schon ein einziger Pfeil den Vektor fest.
v = 32−1 heißt: 3 in x-Richtung, 2 in y-Richtung, −1 in z-Richtung
✎ Mini-Aufgabe: Ein Pfeil führt von P(1 | 0 | 2) nach Q(4 | 2 | 1). Ein zweiter Pfeil desselben Vektors beginnt in R(0 | 5 | 0). Wo endet er?
Lösung zeigen
Von P nach Q geht es 3 in x-, 2 in y- und −1 in z-Richtung, also v = 32−1. Von R aus: (0 + 3 | 5 + 2 | 0 − 1) = (3 | 7 | −1).
2. Verbindungsvektor, Ortsvektor und Betrag
Der Vektor von A nach B heißt VerbindungsvektorAB. Du rechnest ihn koordinatenweise aus: Endpunkt minus Anfangspunkt. Der OrtsvektorOP führt vom Ursprung O(0 | 0 | 0) zum Punkt P; er hat dieselben Koordinaten wie P.
AB = OB − OA (Spitze minus Fuß)
Die Länge eines Vektors heißt Betrag. Der Betrag von AB ist der Abstand der Punkte A und B, den du schon berechnen kannst.
|v| = √(v1² + v2² + v3²)
Beispiel: A(2 | −1 | 3) und B(5 | 3 | 3)
AB = 5 − 23 − (−1)3 − 3 = 340
|AB| = √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5
BA = −3−40 ist der Gegenvektor: gleich lang, entgegengesetzt gerichtet.
3. Rechnen mit Vektoren
Addieren, Subtrahieren und Multiplizieren mit einer Zahl gehen koordinatenweise. Im Bild heißt Addieren: Pfeile aneinanderhängen. Multiplizieren mit einer Zahl r streckt den Pfeil um den Faktor r; ist r negativ, kehrt sich zusätzlich die Richtung um.
Beispiel: a = 21−3 und b = 1−24
a + b = 3−11
a − b = 13−7
3 · a = 63−9
✎ Mini-Aufgabe: Beschreibe ohne Rechnung, wie der Pfeil von −2 · a im Vergleich zum Pfeil von a aussieht. Berechne dann −2 · a für a = 21−3.
Lösung zeigen
Doppelt so lang und entgegengesetzt gerichtet. −2 · a = −4−26.
Der Nullvektor o = 000 ist die Verschiebung um nichts. Ein Vektorzug, der zu seinem Anfang zurückkehrt, ergibt immer o.
4. Linearkombination und Kollinearität
Ein Ausdruck r · a + s · b heißt Linearkombination von a und b. Ob sich ein Vektor c so darstellen lässt, prüfst du mit einem Ansatz: Jede Koordinate liefert eine Gleichung. Das sind drei Gleichungen für zwei Unbekannte. Zwei davon bestimmen r und s, die dritte ist die Probe.
Beispiel: Ist c = 283 eine Linearkombination von a = 110 und b = 021?
r · 110 + s · 021 = 283
x: r = 2 z: s = 3
y: r + 2s = 2 + 6 = 8 ✓ Also c = 2 · a + 3 · b.
✎ Mini-Aufgabe: Was ändert sich, wenn c = 273 ist?
Lösung zeigen
x und z liefern wieder r = 2 und s = 3, aber y: 2 + 6 = 8 ≠ 7. Die dritte Gleichung ist verletzt, also ist c keine Linearkombination von a und b.
Zwei Vektoren heißen kollinear, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist. Ihre Pfeile sind dann parallel. Du prüfst das mit dem Ansatz b = r · a: In allen drei Koordinaten muss dieselbe Zahl r herauskommen.
4−25: aus x folgt r = 2, aus z aber r = 53. Nicht kollinear.
Drei Punkte A, B, C liegen auf einer Geraden, wenn AB und AC kollinear sind.
Ein Viereck ABCD ist ein Parallelogramm, wenn AB = DC gilt.
5. Mittelpunkt, Spiegeln, Verlängern
Besondere Punkte findest du mit einem Vektorzug: Geh vom Ursprung zum Anfangspunkt und dann den passenden Teil des Verbindungsvektors weiter.
OM = OA + ½ · AB = ½ · (OA + OB) (Mittelpunkt M der Strecke AB)
Spiegeln von P am Punkt Z: Z ist der Mittelpunkt zwischen P und dem Bildpunkt P′, also OP′→ = OP + 2 · PZ.
Verlängern der Strecke AB über B hinaus um die Hälfte: OE = OB + ½ · AB.
Ein Punkt T liegt auf der Strecke AB, wenn AT = r · AB mit 0 ≤ r ≤ 1 gilt. r ist der Anteil des Weges von A nach B.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme den Mittelpunkt M der Strecke von A(2 | 0 | 4) nach B(6 | 2 | 0). Prüfe dein Ergebnis mit AM und MB.
Lösung zeigen
OM = ½ · (204 + 620) = 412, also M(4 | 1 | 2).
AM = 21−2 und MB = 21−2 sind gleich. Das passt.
6. Im Bild: Addieren im Parallelogramm
Das Bild zeigt das Parallelogramm mit A(2 | 1 | 1), B(2 | 5 | 2), C(0 | 6 | 4) und D(0 | 2 | 3) im Schrägbild. Von A aus führt der Weg über B nach C (erst a, dann b) zum selben Ziel wie der Weg über D (erst b, dann a).
Parallelogramm ABCD: a = AB = DC = 041 und b = AD = BC = −212. Gestrichelt die Diagonale AC = a + b = −253.
Auch die andere Diagonale ist ein Vektorzug: DB = DA + AB = −b + a = a − b = 23−1.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
verschoben um, fährt von … nach …, versetzt
Verbindungsvektor AB = OB − OA
Ziel minus Start, nicht umgekehrt
wie weit, wie lang, Entfernung
Betrag |AB|
Die Antwort ist eine Länge mit Einheit, kein Vektor.
parallel, gleiche Richtung
kollinear: b = r · a
dasselbe r in allen drei Koordinaten
in einer Reihe, auf einer Linie, auf geradem Weg durch
AB und AC kollinear
beide Vektoren am selben Punkt beginnen lassen
in der Mitte, halbiert, auf halber Länge
Mittelpunkt: OM = OA + ½ · AB
Gefragt ist ein Punkt, kein Vektor.
verlängert um, in gleicher Richtung weiter
Vielfaches des Verbindungsvektors, angehängt an einen Punkt
Von welchem Punkt aus wird verlängert?
gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang
Parallelogramm: AB = DC
Die Ecken laufen der Reihe nach: DC, nicht CD.
gleichzeitig, zusätzlich, wird abgetrieben
Summe der Vektoren
Vektoren addieren, nicht ihre Beträge
lässt sich erreichen, darstellen durch
Linearkombination r · a + s · b
die dritte Gleichung als Probe
8. Was nirgends steht
Die Ecken eines Vielecks laufen der Reihe nach um die Figur: In ABCD liegt A neben B und neben D.
Ein straff gespanntes Seil, eine Stange, ein Lichtstrahl: Das ist eine Strecke, also ein gerader Weg.
„Senkrecht darüber“ oder „senkrecht darunter“ heißt bei nach oben zeigender z-Achse: gleiche x- und y-Koordinate, nur z ändert sich.
Die Mitte eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt seiner Diagonalen, also der Mittelpunkt von AC.
Ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen ist ein Rechteck. Gleich lange Gegenseiten allein reichen dafür nicht, die hat jedes Parallelogramm.
Liegt ein Punkt auf einer Strecke, muss der Faktor zwischen 0 und 1 liegen. Sonst liegt er auf der Verlängerung.
Die Einheit steht im Kopf der Aufgabe (Angaben in m). Längen bekommen sie im Antwortsatz zurück.
9. Ein Beispiel mit Denkweg
Eine Seilkamera hängt über einem Sportplatz im Punkt K(10 | 20 | 15). Sie fährt auf geradem Weg zum Punkt Z(40 | 60 | 5) und soll auf halber Strecke anhalten (Angaben in m). Wo hält sie, und wie weit ist sie bis dahin gefahren?
Was ist gefragt? Ein Punkt (der Haltepunkt H) und eine Länge (der Weg von K bis H).
Was steht nicht da? „Halbe Strecke“ heißt: H ist der Mittelpunkt von KZ. Der Weg ist gerade, also ist seine Länge der Betrag eines Vektors.
RechnenKZ = 3040−10. OH = OK + ½ · KZ = 102015 + 1520−5 = 254010. |KH| = ½ · |KZ| = ½ · √2600 = 5 · √26 ≈ 25,5
Antwortsatz Die Kamera hält im Punkt H(25 | 40 | 10), also 10 m über dem Platz, nach rund 25,5 m Fahrt.
Prüfen Die Höhe 10 m liegt genau in der Mitte zwischen 15 m und 5 m. HZ = 1520−5 ist gleich KH. Das passt.
10. Typische Fehler
AB als Fuß minus Spitze gerechnet: Der Vektor zeigt dann von B nach A.
Einen Vektor angegeben, wo ein Punkt gefragt war. Ein Punkt entsteht erst über den Ortsvektor, etwa OD = OA + BC.
Kollinearität nur in zwei Koordinaten geprüft. Die dritte kann den Faktor verletzen.
Beim Betrag die Wurzel vergessen oder die Koordinaten statt ihrer Quadrate addiert.
Bei der Linearkombination nur zwei Gleichungen gelöst und die dritte nicht geprüft.
Parallelogramm mit AB = CD angesetzt: Dann kreuzen sich die Seiten.
Rechnen
2.1Dreieck im Raum
Gegeben sind die Punkte A(2 | 1 | −1), B(4 | −2 | 5) und C(0 | 3 | 1).
a) Bestimme die Vektoren AB, BC und CA.
Hilfe 1
Welcher Punkt ist der Anfang, welcher das Ende des Pfeils?
Hilfe 2
Rechne koordinatenweise: Endpunkt minus Anfangspunkt.
b) Berechne den Umfang des Dreiecks ABC.
Hilfe 1
Der Umfang ist die Summe der drei Seitenlängen.
Hilfe 2
Die Länge einer Seite ist der Betrag ihres Vektors.
c) Berechne AB + BC + CA und erkläre das Ergebnis am Dreieck.
Hilfe 1
Hänge die drei Pfeile aneinander. Wo endet der Weg?
Lösung zeigen
a) Vektor zwischen zwei Punkten: koordinatenweise Endpunkt minus Anfangspunkt.
AB = 4 − 2−2 − 15 − (−1) = 2−36
BC = −45−4; CA = 2−2−2
b) Umfang: drei Seitenlängen, jede als Betrag eines Verbindungsvektors.
c) Ein geschlossener Vektorzug: Die Rechnung bestätigt, was das Bild zeigt.
AB + BC + CA = 2 − 4 + 2−3 + 5 − 26 − 4 − 2 = 000
Der Weg von A über B und C führt zurück nach A. Insgesamt ist das keine Verschiebung, also der Nullvektor.
2.2Rechnen mit Vektoren
Gegeben sind a = 2−13, b = −140 und c = 02−5.
a) Berechne 2 · a − b und a + b − 2 · c.
Hilfe 1
Rechne Koordinate für Koordinate.
Hilfe 2
Multipliziere zuerst, dann addieren und subtrahiere.
b) Berechne die Länge des Vektors a − b.
Hilfe 1
Bilde zuerst den Vektor a − b.
Hilfe 2
Länge heißt Betrag: Wurzel aus der Summe der Quadrate.
c) Bestimme den Vektor x, für den 2 · x + a = b gilt.
Hilfe 1
Forme um wie eine Gleichung mit Zahlen.
Hilfe 2
Was steht links noch, wenn du auf beiden Seiten a abziehst?
Lösung zeigen
a) Rechenausdruck mit Vektoren: koordinatenweise, Punkt vor Strich.
2 · a − b = 4 + 1−2 − 46 − 0 = 5−66
a + b − 2 · c = 2 − 1 − 0−1 + 4 − 43 + 0 + 10 = 1−113
b) „Länge“: Betrag eines Vektors, den du erst bilden musst.
a − b = 3−53; |a − b| = √(9 + 25 + 9) = √43 ≈ 6,56
c) Eine Gleichung mit einem unbekannten Vektor: umformen wie bei Zahlen, dann koordinatenweise rechnen.
2 · x = b − a = −35−3
x = −1,52,5−1,5
2.3Darstellen durch zwei Vektoren
Gegeben sind a = 211 und b = 0−13.
a) Untersuche, ob sich v = 415 in der Form r · a + s · b darstellen lässt, und gib gegebenenfalls r und s an.
Hilfe 1
Schreibe den Ansatz mit unbekannten Zahlen r und s auf.
Hilfe 2
Jede Koordinate gibt eine Gleichung. Welche Gleichung enthält nur eine Unbekannte?
Hilfe 3
Was ist die Aufgabe der Gleichung, die übrig bleibt?
b) Untersuche dasselbe für w = 624.
Hilfe 1
Gehe vor wie in a).
Hilfe 2
Entscheidend ist, ob alle drei Gleichungen erfüllt sind.
Lösung zeigen
a) „darstellen in der Form r · a + s · b“: Ansatz, Koordinatenvergleich, drei Gleichungen für zwei Unbekannte.
r · 211 + s · 0−13 = 415
x: 2r = 4, also r = 2. y: 2 − s = 1, also s = 1.
z: 2 + 3 · 1 = 5 ✓ Also v = 2 · a + b.
b) Gleiche Frage, andere Zahlen: Die Probe in der dritten Gleichung entscheidet.
x: 2r = 6, also r = 3. y: 3 − s = 2, also s = 1.
z: 3 + 3 · 1 = 6 ≠ 4. Widerspruch: w lässt sich nicht in der Form r · a + s · b darstellen.
2.4Parallel oder nicht
a) Untersuche, ob u = 2−31 und v = −69−3 kollinear sind, und ebenso u und w = 4−63.
Hilfe 1
Ist einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen?
Hilfe 2
Bestimme den Faktor aus jeder Koordinate einzeln.
b) Prüfe, ob die Punkte P(1 | 2 | 0), Q(3 | 5 | 1) und R(7 | 11 | 3) auf einer Geraden liegen.
Hilfe 1
Welche zwei Vektoren musst du vergleichen?
Hilfe 2
Bilde zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt.
Lösung zeigen
a) „kollinear“: Ist ein Vektor ein Vielfaches des anderen? Der Faktor muss in jeder Koordinate gleich sein.
v = r · u: Alle drei Koordinaten ergeben r = −3. Also v = −3 · u; u und v sind kollinear.
w = r · u: x und y ergeben r = 2, z ergibt r = 3. Es gibt kein gemeinsames r; u und w sind nicht kollinear.
b) „auf einer Geraden“: Verbindungsvektoren mit gemeinsamem Anfang auf Kollinearität prüfen.
PQ = 231; PR = 693 = 3 · PQ
PQ und PR sind kollinear und beginnen beide in P. Also liegen P, Q und R auf einer Geraden.
2.5Vierter Eckpunkt
Gegeben sind die Punkte A(1 | 0 | 2), B(5 | 2 | 3) und C(4 | 6 | 1).
a) Bestimme die Koordinaten des Punktes D, sodass ABCD ein Parallelogramm ist. [zur Kontrolle: D(0 | 4 | 0)]
Hilfe 1
Welche Seiten eines Parallelogramms sind gleich lang und gleich gerichtet?
Hilfe 2
Von welchem Punkt aus erreichst du D, und mit welchem Vektor?
b) Zeige, dass alle vier Seiten des Parallelogramms gleich lang sind.
Hilfe 1
Bilde die Seitenvektoren der Reihe nach.
Hilfe 2
Die Länge einer Seite ist der Betrag ihres Vektors.
c) Zeige, dass die Diagonalen AC und BD denselben Mittelpunkt haben.
Hilfe 1
Den Mittelpunkt einer Strecke erhältst du mit dem halben Verbindungsvektor oder dem Mittelwert der Ortsvektoren.
Lösung zeigen
a) Vierter Eckpunkt: Gegenseiten im Parallelogramm sind derselbe Vektor; die Ecken laufen in der Reihenfolge A, B, C, D.
Im Parallelogramm ABCD gilt AD = BC = −14−2.
OD = OA + BC = 1 − 10 + 42 − 2 = 040, also D(0 | 4 | 0).
b) „Zeigen“: die Seitenlängen hinschreiben, dann der Schluss.
AB = 421, BC = −14−2, CD = −4−2−1, DA = 1−42
Jeder dieser Vektoren hat den Betrag √(16 + 4 + 1) = √21, dieselben Quadrate in anderer Reihenfolge. Im Parallelogramm genügt auch |AB| = |BC|, weil Gegenseiten ohnehin gleich lang sind.
Alle vier Seiten sind √21 ≈ 4,58 lang; ABCD ist eine Raute.
c) Zwei Mittelpunkte ausrechnen und vergleichen.
Mittelpunkt von AC: ½ · (102 + 461) = 2,531,5, also (2,5 | 3 | 1,5).
Mittelpunkt von BD: ½ · (523 + 040) = 2,531,5. Beide Diagonalen haben denselben Mittelpunkt.
Ohne Taschenrechner
2.6Rückwärts
a) Der Vektor AB = 3−14 endet im Punkt B(5 | 0 | 2). Bestimme den Anfangspunkt A.
Hilfe 1
Welcher Vektorzug führt vom Ursprung zu A?
Hilfe 2
Von B aus gehst du gegen die Pfeilrichtung.
b) Der Punkt P(0 | 5 | 1) wird am Punkt Z(2 | 3 | −1) gespiegelt. Bestimme den Bildpunkt P′.
Hilfe 1
Wie liegen P, Z und P′ zueinander?
Hilfe 2
Wie oft gehe den Weg von P nach Z?
c) Die Strecke CD mit C(1 | −1 | 2) und D(5 | 3 | 0) wird über D hinaus um die Hälfte ihrer Länge verlängert. Bestimme den Endpunkt E der Verlängerung.
Hilfe 1
Von welchem Punkt aus wird verlängert?
Hilfe 2
Welcher Teil welches Vektors kommt dazu?
Lösung zeigen
a) Ende und Vektor gegeben, Anfang gesucht: den Vektor rückwärts gehen.
OA = OB − AB = 5 − 30 + 12 − 4 = 21−2, also A(2 | 1 | −2).
b) Spiegeln an einem Punkt: Z ist die Mitte zwischen P und P′.
c) „über D hinaus um die Hälfte“: ab D einen Teil des Verbindungsvektors CD anhängen.
CD = 44−2; OE = OD + ½ · CD = 5 + 23 + 20 − 1 = 75−1, also E(7 | 5 | −1).
2.7Quader im Schrägbild
Das Material zeigt den Quader ABCDEFGH mit A(3 | 0 | 0), C(0 | 5 | 0) und H(0 | 0 | 3); seine Kanten sind parallel zu den Koordinatenachsen. Es ist a = AB, d = AD und e = AE.
Material
a) Gib für jeden der Vektoren HG, CB und FB an, ob er gleich a, d oder e ist oder gleich dem Gegenvektor eines dieser Vektoren.
Hilfe 1
Suche zu jedem Pfeil eine parallele Kante, die in A beginnt.
Hilfe 2
Zeigt der Pfeil in dieselbe Richtung wie diese Kante oder in die Gegenrichtung?
b) Stelle die Vektoren AG und HB als Summe von Vielfachen der Vektoren a, d und e dar.
Hilfe 1
Geh entlang der Kanten von A nach G.
Hilfe 2
Jede Kante ist einer der drei Vektoren oder sein Gegenvektor.
c) M ist der Mittelpunkt der Kante FG, N der Mittelpunkt der Deckfläche EFGH. Stelle AM und AN durch a, d und e dar und bestimme die Koordinaten von N.
Hilfe 1
Geh bis zu einer Ecke und dann den halben Weg weiter.
Hilfe 2
Wo liegt die Mitte eines Rechtecks?
Hilfe 3
Für die Koordinaten brauchst du a, d und e als Spaltenvektoren; die fehlenden Ecken lies im Material ab.
Lösung zeigen
a) Pfeile im Körper zuordnen: Gleiche Länge und gleiche Richtung heißt gleicher Vektor, egal wo der Pfeil liegt.
HG = a: gleich lang und gleich gerichtet wie AB.
CB = −d: parallel zu AD, aber entgegengesetzt gerichtet.
FB = −e: zeigt nach unten, AE nach oben.
b) Vektorzug entlang der Kanten: jede Kante durch a, d oder e ersetzen.
AG = AB + BC + CG = a + d + e
HB = HE + EA + AB = −d − e + a, also HB = a − d − e
c) Mittelpunkte im Körper: ein Vektorzug mit einem halben Schritt am Ende. Dass die Mitte einer Fläche auf ihrer Diagonale liegt, steht nicht da.
AM = AB + BF + ½ · FG = a + e + ½ · d
AN = AE + ½ · EG = e + ½ · (a + d) = ½ · a + ½ · d + e
Mit a = 050, d = −300 und e = 003: OA + AN = 300 + −1,52,53 = 1,52,53, also N(1,5 | 2,5 | 3).
2.8Mit Parameter
a) Bestimme alle Werte von a, für die der Vektor v = a26 den Betrag 7 hat.
Hilfe 1
Schreibe den Betrag mit a hin und setze ihn gleich 7.
Hilfe 2
Quadriere beide Seiten. Wie viele Lösungen hat die Gleichung dann?
b) Bestimme t so, dass u = 2t−1 und w = −462 kollinear sind.
Hilfe 1
Welche Koordinaten enthalten kein t? Was verraten sie über den Faktor?
Hilfe 2
Setze den Faktor in die Gleichung mit t ein.
Lösung zeigen
a) Betrag gegeben, Koordinate gesucht: Betragsformel als Gleichung für a.
|v| = 7 ⇔ a² + 4 + 36 = 49 ⇔ a² = 9 ⇔ a = −3 oder a = 3
b) Kollinear mit Parameter: den Faktor aus den Koordinaten ohne Parameter bestimmen, dann t.
Ansatz w = r · u. x: −4 = 2r, also r = −2. z: 2 = −r, also r = −2 ✓
y: 6 = −2t, also t = −3. Für t = −3 ist w = −2 · u.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Ein Kran hebt eine Palette auf geradem Weg vom Punkt P zum Punkt Q (Koordinaten in m). Wie weit wird die Palette bewegt? (2) Die Fußpunkte A, B und C dreier Windräder sind bekannt. Stehen die Windräder in einer Reihe? (3) Ein Brett reicht von A nach B. Es wird über B hinaus in gleicher Richtung um ein Drittel seiner Länge verlängert. Wo endet es?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Ist die Antwort eine Zahl, ein Punkt oder ein Ja oder Nein?
Hilfe 2
„in einer Reihe“: Welche Eigenschaft von Vektoren passt dazu?
Hilfe 3
Bei (3): Von welchem Punkt aus geht es weiter?
b) Eine Seilrutsche auf einem Abenteuerspielplatz beginnt an einer Plattform im Punkt S(0 | 0 | 12) und endet im Punkt Z(60 | 80 | 2) (Angaben in m). Unterwegs steht eine Zwischenstütze, deren Seilhalterung im Punkt P(30 | 40 | 6) sitzt. Verläuft das straff gespannte Seil durch diese Halterung, und wie lang ist es von S bis Z? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob … und … 2. Was nicht dasteht: Ein straffes Seil ist … P liegt darauf, wenn … 3. Rechnen: SZ = …; SP = …; Faktor aus x und y: …; z-Koordinate: …; |SZ| = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Was heißt „verläuft durch die Halterung“ für die drei Punkte S, P und Z?
Hilfe 2
Vergleiche zwei Vektoren mit demselben Anfangspunkt S.
Hilfe 3
Die Länge des Seils ist der Betrag eines Vektors.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Antworten: eine Länge, eine Lage, ein Punkt.
(1) Gesucht ist eine Länge: der Betrag |PQ| mit PQ = OQ − OP.
(2) Gesucht ist, ob A, B und C auf einer Geraden liegen. Ansatz: prüfen, ob AC = r · AB mit demselben r in jeder Koordinate gilt.
(3) Gesucht ist ein Punkt E. Ansatz: OE = OB + (13) · AB.
b) „Verläuft das Seil durch P?“ heißt: Liegen S, P und Z auf einer Geraden? Dass das Seil gerade ist, steht nicht da.
1. Gefragt ist, ob P auf der Strecke SZ liegt, und die Länge |SZ|.
2. Ein straffes Seil ist eine gerade Strecke. P liegt darauf, wenn SP ein Vielfaches von SZ ist (Faktor zwischen 0 und 1).
3. SZ = 6080−10; SP = 3040−6; Faktor aus x und y: 0,5; z-Koordinate: 0,5 · (−10) = −5 ≠ −6; |SZ| = √10 100 ≈ 100,5
4. Das straff gespannte Seil verläuft nicht durch die Halterung. Es ist rund 100,5 m lang.
5. Über der Stelle (30 | 40) läge das gerade Seil bei z = 12 − 5 = 7, die Halterung sitzt 1 m tiefer. Ein echtes Seil hängt etwas durch; eine Halterung knapp unter der geraden Linie ist deshalb sinnvoll.
3.2Fähre
Eine Fähre setzt über einen 120 m breiten Fluss. In der Draufsicht liegt das Startufer auf der x-Achse, das andere Ufer auf der Geraden y = 120; der Fluss fließt in positive x-Richtung (Angaben in m). Die Fähre legt im Punkt A(0 | 0) ab, der Anleger B(0 | 120) liegt genau gegenüber. Geschwindigkeiten werden als Vektoren mit zwei Koordinaten angegeben, in m pro Sekunde. Gegenüber dem Wasser fährt die Fähre mit 2,5 m pro Sekunde; die Strömung trägt sie zusätzlich mit 1,5 m pro Sekunde in x-Richtung.
Material
a) Die Fähre wird genau quer zum Fluss gesteuert. Bestimme, wo sie am anderen Ufer ankommt und wie schnell sie sich dabei über Grund bewegt.
Hilfe 1
Welche zwei Bewegungen überlagern sich?
Hilfe 2
Wie lange braucht die Fähre über den Fluss? Nur eine Koordinate ist dafür wichtig.
Hilfe 3
Die Geschwindigkeit über Grund ist der Betrag des Summenvektors.
b) Die Fähre soll genau in B anlegen. Bestimme den Vektor der Eigengeschwindigkeit, der dafür nötig ist; ihr Betrag bleibt 2,5 m pro Sekunde. Vergleiche die Fahrzeit mit der Fahrzeit aus a).
Hilfe 1
In welche Richtung muss die Summe aus Eigengeschwindigkeit und Strömung zeigen, damit die Fähre in B ankommt?
Hilfe 2
Die x-Koordinate der Summe muss null sein. Die zweite Koordinate liefert der Betrag.
c) Das Material zeigt die Fahrspur der Fähre an einem anderen Tag. Sie wurde wieder genau quer zum Fluss gesteuert, mit 2,5 m pro Sekunde gegenüber dem Wasser. Ermittle die Strömungsgeschwindigkeit an diesem Tag.
Hilfe 1
Wo trifft die Fahrspur das andere Ufer?
Hilfe 2
Wie lange war die Fähre unterwegs, wenn sie quer gesteuert wurde?
Lösung zeigen
a) Zwei Bewegungen gleichzeitig: Geschwindigkeitsvektoren addieren. Dass die Fahrzeit nur vom Anteil quer zum Fluss abhängt, steht nicht da.
Eigengeschwindigkeit 02,5, Strömung 1,50. Die Fähre bewegt sich mit der Summe 1,52,5 m pro Sekunde.
Quer zum Fluss kommt sie 2,5 m pro Sekunde voran: 120 : 2,5 = 48 Sekunden bis zum anderen Ufer.
In dieser Zeit treibt sie 48 · 1,5 = 72 m in x-Richtung. Sie kommt im Punkt (72 | 120) an, 72 m flussabwärts von B.
Geschwindigkeit über Grund: |1,52,5| = √8,5 ≈ 2,92 m pro Sekunde.
b) „genau in B“: Der Summenvektor zeigt quer zum Fluss. Der Betrag der Eigengeschwindigkeit ist die zweite Bedingung.
Die Summe aus Eigengeschwindigkeit uw und Strömung 1,50 muss quer zum Fluss zeigen: u + 1,5 = 0, also u = −1,5.
Betrag 2,5: (−1,5)² + w² = 6,25 ⇔ w² = 4 ⇔ w = 2, denn w > 0, weil die Fähre zum anderen Ufer will.
Eigengeschwindigkeit −1,52: Die Fähre hält schräg gegen die Strömung. Über Grund fährt sie mit 02 und braucht 120 : 2 = 60 Sekunden.
Das sind 12 Sekunden mehr als in a). Dafür legt sie direkt in B an und muss nicht 72 m am Ufer zurück.
c) Aus dem Bild die Abdrift ablesen, die Fahrzeit wie in a) bestimmen, dann die Strömung als Weg pro Zeit.
Abgelesen: Die Fahrspur trifft das andere Ufer bei etwa x = 60 (Werte von 55 bis 65 sind vertretbar).
Die Fahrzeit hängt nur vom Vorankommen quer zum Fluss ab: wieder 120 : 2,5 = 48 Sekunden.
Strömung: 60 m : 48 s = 1,25 m pro Sekunde (bei 55 bis 65 m etwa 1,15 bis 1,35 m pro Sekunde).
3.3Sonnensegel
Über einer Terrasse wird ein Sonnensegel an vier Punkten befestigt: A(0 | 0 | 2,5), B(6 | 0 | 3,5), C(7 | 5 | 3) und D(1 | 5 | 2). Der Terrassenboden liegt in der x-y-Ebene, die z-Achse zeigt nach oben (Angaben in m). Das Segel ist straff gespannt.
a) Zeige, dass das Segel die Form eines Parallelogramms hat.
Hilfe 1
Welche Seiten müssen gleich lang und gleich gerichtet sein?
b) Unter der Mitte des Segels wird eine Lampe aufgehängt, 0,8 m tiefer als das Segel. Bestimme den Punkt, an dem die Lampe hängt.
Hilfe 1
Wo liegt die Mitte eines Parallelogramms?
Hilfe 2
„tiefer“: Welche Koordinate ändert sich, welche bleiben gleich?
c) Am Rand des Segels ist ein Seil eingenäht. Berechne seine Länge.
Hilfe 1
Das Seil läuft einmal um das Segel herum.
Hilfe 2
Welche Seiten sind gleich lang?
d) Ein Verkäufer sagt: „Das Segel ist rechteckig, denn gegenüberliegende Seiten sind gleich lang.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Haben nur Rechtecke gleich lange Gegenseiten?
Hilfe 2
Woran unterscheidet sich ein Rechteck von einem schiefen Parallelogramm, wenn du nur Längen messen kannst?
Lösung zeigen
a) Parallelogramm: zwei Gegenseiten als gleiche Vektoren nachweisen.
AB = 601 und DC = 601. Wegen AB = DC ist ABCD ein Parallelogramm.
b) „Mitte des Segels“ steht für den Schnittpunkt der Diagonalen; „tiefer“ ändert nur die z-Koordinate.
Die Mitte eines Parallelogramms ist der Schnittpunkt der Diagonalen, also der Mittelpunkt von AC.
OM = ½ · (002,5 + 753) = 3,52,52,75, also M(3,5 | 2,5 | 2,75).
Senkrecht darunter, 0,8 m tiefer: Die Lampe hängt im Punkt L(3,5 | 2,5 | 1,95).
Gegenseiten sind gleich lang: Das Randseil ist 2 · (√37 + √(26,25)) ≈ 22,41 m lang.
d) Eine Begründung beurteilen: Reicht das genannte Merkmal? Dann ein Merkmal prüfen, das nur Rechtecke haben.
Gleich lange Gegenseiten hat jedes Parallelogramm; die Begründung reicht also nicht.
Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn seine Diagonalen gleich lang sind. AC = 750,5, |AC| = √(74,25) ≈ 8,62; BD = −55−1,5, |BD| = √(52,25) ≈ 7,23
Die Diagonalen sind verschieden lang. Das Segel ist kein Rechteck; die Aussage ist falsch.
Ebenso richtig: |AB|² + |AD|² = 37 + 26,25 = 63,25 ≠ 52,25 = |BD|². Nach dem Satz des Pythagoras ist der Winkel bei A kein rechter.
3.4Hallenkran
In einer Werkhalle fährt ein Kran auf einer Schiene. In Grundstellung hängt sein Haken im Punkt H(4 | 2 | 6); der Hallenboden liegt in der x-y-Ebene (Angaben in m). Die Laufkatze fährt entlang der Schiene in Richtung a = 430, der Haken lässt sich in Richtung e = 001 heben und senken. Erreichbar sind deshalb nur Punkte X mit OX = OH + r · a + s · e.
a) Untersuche, ob der Haken den Punkt Z1(16 | 11 | 1) erreichen kann, und beschreibe die nötigen Bewegungen in Metern.
Hilfe 1
Setze den Ansatz koordinatenweise an.
Hilfe 2
Welche Gleichungen enthalten nur r?
Hilfe 3
Wie viele Meter Fahrt sind ein Schritt r = 1?
b) Begründe, dass der Haken den Punkt Z2(14 | 11 | 2) nicht erreichen kann.
Hilfe 1
Was müsste für r gelten, damit die x-Koordinate passt, und was für die y-Koordinate?
c) Die Grundstellung liegt am Anfang der Schiene; von dort kann die Laufkatze höchstens 20 m weit fahren. In Grundstellung hängt der Haken ganz oben. Gib an, welche Werte r und s annehmen können, und deute die Bedingung für s.
Hilfe 1
Wie lang ist ein Schritt r = 1 entlang der Schiene?
Hilfe 2
Wie tief kann der Haken höchstens hängen?
Lösung zeigen
a) Erreichbar heißt: Die Gleichung hat eine Lösung für r und s. Drei Gleichungen, zwei Unbekannte.
426 + r · 430 + s · 001 = 16111
x: 4 + 4r = 16, also r = 3. y: 2 + 3r = 11, also r = 3 ✓ z: 6 + s = 1, also s = −5
Die Laufkatze fährt 3 · |a| = 3 · 5 = 15 m entlang der Schiene, der Haken wird um 5 m gesenkt.
b) Ein Widerspruch im Gleichungssystem ist die Begründung.
x: 4 + 4r = 14 ergibt r = 2,5; y: 2 + 3r = 11 ergibt r = 3.
Kein r erfüllt beide Gleichungen. Z2 liegt nicht unter der Schiene, der Haken kommt dort nicht hin.
c) Die Grenzen stehen in Metern, die Zahlen r und s zählen Vielfache von a und e.
|a| = √(16 + 9) = 5: 20 m Fahrt entsprechen r = 4. Also 0 ≤ r ≤ 4.
Der Haken kann nur gesenkt werden, höchstens bis zum Boden: 6 + s ≥ 0 und s ≤ 0, also −6 ≤ s ≤ 0.
Der Betrag von s gibt an, um wie viele Meter der Haken gegenüber der Grundstellung gesenkt ist.
Klausuraufgabe
4.1Kletterpyramide
Auf einem Spielplatz steht eine Kletterpyramide aus Seilen. Die vier Bodenanker liegen in den Punkten A(0 | 0 | 0), B(8 | 2 | 0), C(6 | 8 | 0) und D(−2 | 6 | 0), die Spitze in S(3 | 4 | 5). Von der Spitze führt zu jedem Bodenanker ein straff gespanntes Eckseil. Der Boden liegt in der x-y-Ebene (Angaben in m). Die Abbildung zeigt die Pyramide im Schrägbild.
Abbildung
a) Zeige, dass die vier Bodenanker die Ecken eines Parallelogramms bilden.2 BE
Hilfe 1
Welche zwei Seiten eines Parallelogramms sind derselbe Vektor?
b) Berechne die Gesamtlänge der vier Eckseile.3 BE
Hilfe 1
Jedes Eckseil ist eine Strecke von S zu einem Anker.
Hilfe 2
Die Länge ist der Betrag des Verbindungsvektors.
c) Auf halber Länge jedes Eckseils ist ein Ring aus Seilen befestigt. E ist der Befestigungspunkt auf dem Seil SA, F der auf dem Seil SB. Bestimme E und F und zeige, dass das Ringseil EF parallel zu AB verläuft und halb so lang ist.3 BE
Hilfe 1
„auf halber Länge“: Welcher besondere Punkt einer Strecke ist das?
Hilfe 2
Welche Beziehung zwischen EF und AB bedeutet „parallel und halb so lang“?
d) Ein Kind hängt eine Trinkflasche an den Punkt T(2,4 | 3,2 | 4). Prüfe, ob T auf dem Seil SA liegt, und bestimme gegebenenfalls den Abstand von T zur Spitze.3 BE
Hilfe 1
Wann liegt ein Punkt auf einer Strecke und nicht nur auf ihrer Verlängerung?
Hilfe 2
Vergleiche ST mit SA.
e) Im Planungsentwurf steht ohne Erklärung: OQ = OA + ½ · AB + ½ · AD = 340 Erläutere, welcher Punkt Q damit berechnet wird, und deute das Ergebnis im Zusammenhang mit der Spitze S.3 BE
Hilfe 1
Gehe den Vektorzug in Gedanken von A aus ab.
Hilfe 2
Vergleiche Q und S Koordinate für Koordinate.
Lösung zeigen
a) Figur nachweisen: Gegenseiten als gleiche Vektoren.
AB = 820 und DC = 820. Wegen AB = DC ist ABCD ein Parallelogramm.
b) „Gesamtlänge“: vier Beträge addieren.
SA = −3−4−5, |SA| = √50; SB = 5−2−5, |SB| = √54
SC = 34−5, |SC| = √50; SD = −52−5, |SD| = √54
Gesamtlänge: 2 · √50 + 2 · √54 ≈ 28,84 m
c) „auf halber Länge“ heißt Mittelpunkt; „parallel und halb so lang“ ist eine Aussage über ein Vielfaches.
OE = ½ · (OS + OA) = 1,522,5, also E(1,5 | 2 | 2,5); OF = ½ · (OS + OB) = 5,532,5, also F(5,5 | 3 | 2,5)
EF = 410 = ½ · 820 = ½ · AB
EF ist ein positives Vielfaches von AB, also parallel; der Faktor ½ heißt: halb so lang.
d) Punkt auf einer Strecke: Kollinearität mit einem Faktor zwischen 0 und 1.
ST = −0,6−0,8−1 = 0,2 · −3−4−5 = 0,2 · SA
Der Faktor ist in allen Koordinaten 0,2 und liegt zwischen 0 und 1. T liegt also auf dem Seil, ein Fünftel des Weges von S nach A.
Abstand zur Spitze: |ST| = 0,2 · √50 = √2 ≈ 1,41 m
e) Eine fertige Rechnung deuten: den Vektorzug in der Figur beschreiben, das Ergebnis mit S vergleichen.
Von A aus führt der Weg je zur Hälfte entlang AB und AD. Q ist deshalb die Mitte der Grundfläche, der Schnittpunkt ihrer Diagonalen.
Q(3 | 4 | 0) hat dieselbe x- und y-Koordinate wie S(3 | 4 | 5). Die Spitze liegt also senkrecht über der Mitte der Grundfläche, 5 m über dem Boden.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Vektoren“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.