Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Mit Vektoren kannst du schon Punkte verbinden, verschieben und Längen ausrechnen. Jetzt kommt eine Rechnung dazu, die aus zwei Vektoren eine Zahl macht: das Skalarprodukt. An dieser Zahl siehst du, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, und mit ihr berechnest du den Winkel zwischen ihnen, ohne zu zeichnen oder zu messen.
Dieselbe Zahl hängt mit dem Winkel γ zusammen, den die beiden Pfeile einschließen, wenn sie am selben Punkt beginnen. Dass beide Formeln dasselbe liefern, folgt aus dem Kosinussatz der Mittelstufe. In der Physik ist das Skalarprodukt die Arbeit: Zieht eine Kraft F einen Gegenstand längs des Wegs s, ist die Arbeit W = F · s.
a · b = |a| · |b| · cos γ
✎ Mini-Aufgabe: Berechne a · a für a = 122 und vergleiche mit der Länge |a|. Was fällt dir auf?
Lösung zeigen
a · a = 1 + 4 + 4 = 9 und |a| = √9 = 3. Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge: a · a = |a|².
2. Senkrecht prüfen
Bei γ = 90° ist cos γ = 0, also ist auch das Skalarprodukt null. Umgekehrt gilt das ebenso, solange keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
a · b = 0 ⇔ a und b stehen senkrecht aufeinander (sind orthogonal)
Rechter Winkel bei B? Beide Vektoren beginnen in B.
BA = −2−2−1, BC = −12−2
BA · BC = 2 − 4 + 2 = 0
Das Dreieck hat bei B einen rechten Winkel.
✎ Mini-Aufgabe: Für welche Zahl t steht 2t1 senkrecht auf 3−24?
Lösung zeigen
2 · 3 + t · (−2) + 1 · 4 = 10 − 2t = 0 ⇔ t = 5
3. Winkel zwischen zwei Vektoren
Stellst du die Formel mit cos γ um, bekommst du den Winkel. Gemeint ist der Winkel zwischen den beiden Pfeilen, wenn sie am selben Punkt beginnen; er liegt zwischen 0° und 180°.
cos γ = a · b|a| · |b|
Skalarprodukt positiv: γ < 90° (spitz).
Skalarprodukt null: γ = 90°.
Skalarprodukt negativ: γ > 90° (stumpf).
Beispiel: Winkel bei A im Dreieck aus Abschnitt 2
AB = 221, AC = 14−1
AB · AC = 2 + 8 − 1 = 9; |AB| = 3; |AC| = √18 = 3√2
cos α = 93 · 3√2 = 1√2 ⇒ α = 45°
Den Taschenrechner für Winkel auf Grad (DEG) stellen. Ohne Taschenrechner kommen nur Werte vor, die du kennst: cos 0° = 1, cos 45° = √22, cos 60° = 0,5, cos 90° = 0, cos 120° = −0,5, cos 135° = −√22, cos 180° = −1.
✎ Mini-Aufgabe: Rechne den Winkel bei A noch einmal, aber mit BA statt AB. Was kommt heraus, und welcher Winkel ist das?
Lösung zeigen
BA · AC = −9, also cos = −1√2 und 135°. Das ist der Nebenwinkel: BA zeigt auf A zu statt von A weg. Für den Winkel bei A müssen beide Vektoren in A beginnen.
4. Flächeninhalt eines Dreiecks
Kennst du zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen, hast du die Fläche: Die Höhe auf die Seite AB ist |AC| · sin α.
Flächeninhalt = ½ · |AB| · |AC| · sin α
Bei einem rechten Winkel ist sin 90° = 1. Die Fläche ist dann die Hälfte des Produkts der beiden Katheten.
Beispiel: das Dreieck aus Abschnitt 2
Rechter Winkel bei B, |BA| = 3, |BC| = 3: Flächeninhalt = ½ · 3 · 3 = 4,5
Ebenso über den Winkel bei A: ½ · 3 · 3√2 · sin 45° = ½ · 3 · 3√2 · √22 = 4,5
✎ Mini-Aufgabe: Warum verrät das Vorzeichen des Skalarprodukts schon, ob ein Winkel spitz oder stumpf ist?
Lösung zeigen
In a · b = |a| · |b| · cos γ sind beide Längen positiv. Das Vorzeichen kommt also nur von cos γ, und cos γ ist zwischen 0° und 90° positiv, zwischen 90° und 180° negativ.
5. Spitz, rechtwinklig, stumpf im Bild
Jedes Bild zeigt a = 031 und einen zweiten Vektor b, beide ab dem Ursprung. Sie liegen in der yz-Ebene; dort zeigt das Schrägbild die Winkel unverzerrt. Links ist b = 013, in der Mitte 0−13, rechts 0−32.
Winkel gegen den Boden, Neigung, steigt an unter …
Winkel zwischen der Strecke und dem Vektor zum Punkt genau darunter
Der Boden hat keinen eigenen Vektor.
Fläche eines Dreiecks, einer dreieckigen Platte
½ · |a| · |b| · sin γ
γ liegt zwischen genau diesen beiden Seiten.
Rechteck nachweisen
Parallelogramm und ein rechter Winkel
Ein rechter Winkel allein reicht nicht.
Arbeit einer Kraft längs eines Wegs
W = F · s
Einheit Nm = J; das Ergebnis ist eine Zahl.
7. Was nirgends steht
Winkel an einem Punkt: Beide Vektoren beginnen in diesem Punkt.
„Ist das Dreieck rechtwinklig?“ nennt keine Ecke. Du prüfst alle drei, bis eine passt.
Winkel gegen den Boden: Du nimmst den Punkt genau unter dem oberen Ende, mit denselben x- und y-Koordinaten und der Höhe des unteren Endes.
Neigung einer schrägen Fläche gegen den Boden: Du misst entlang einer Linie in der Fläche, die genau bergauf führt; sie steht senkrecht auf der waagerechten Kante der Fläche.
Senkrecht gilt nur für Vektoren, die nicht der Nullvektor sind; 000 · b = 0 für jeden Vektor.
Das Skalarprodukt ist eine Zahl. Ein Ergebnis wie 6−40 ist kein Skalarprodukt.
Ein Rechteck braucht mehr als einen rechten Winkel: entweder ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel oder vier rechte Winkel.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Eine Leiter steht mit dem Fuß im Punkt P(4 | 2 | 0) auf dem Boden und lehnt mit dem oberen Ende im Punkt Q(3 | 0 | 6) an einer Hauswand (Angaben in m, Boden in der xy-Ebene). Sicher steht eine Leiter, wenn sie mit dem Boden einen Winkel von 65° bis 75° einschließt. Steht diese Leiter sicher?
Was ist gefragt? Der Winkel zwischen der Leiter und dem Boden, dann der Vergleich mit 65° und 75°.
Was steht nicht da? Der Boden hat keinen Vektor. Ich nehme den Punkt S(3 | 0 | 0) genau unter dem oberen Ende und vergleiche PQ mit PS. Beide beginnen in P.
a) Zeige, dass der Innenwinkel bei A rund 60,9° beträgt.
Hilfe 1
Beide gegebenen Vektoren beginnen in A.
Hilfe 2
Schreibe die Rechnung vollständig hin, auch wenn das Ergebnis schon dasteht.
b) Berechne mit α ≈ 60,9° den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Hilfe 1
Du kennst zwei Seiten und den Winkel zwischen ihnen.
Hilfe 2
Die Längen hast du in a) schon berechnet.
Lösung zeigen
a) „Zeige“: die Rechnung vollständig aufschreiben, bis der angegebene Wert dasteht.
AB · AC = 8 + 0 + 9 = 17; |AB| = 5; |AC| = 7
cos α = 1735 ⇒ α ≈ 60,9°
b) Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel: Flächenformel mit sin α.
Flächeninhalt = ½ · 5 · 7 · sin 60,9° ≈ 15,3 Flächeneinheiten
Ohne Taschenrechner
2.6Senkrecht mit Parameter
Gegeben sind die Vektoren a = t2−1 und b = 3t4 mit einer Zahl t.
a) Bestimme t so, dass a und b senkrecht aufeinander stehen.
Hilfe 1
Senkrecht: Welche Bedingung gilt dann für das Skalarprodukt?
Hilfe 2
Rechne das Skalarprodukt mit t aus und löse die Gleichung.
b) Bestimme alle Werte von t, für die a und b einen stumpfen Winkel einschließen.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen hat das Skalarprodukt bei einem stumpfen Winkel?
Hilfe 2
Aus der Gleichung in a) wird eine Ungleichung.
Lösung zeigen
a) Senkrecht mit unbekannter Zahl: Skalarprodukt aufstellen, gleich 0 setzen, nach t lösen.
a · b = 3t + 2t − 4 = 5t − 4
5t − 4 = 0 ⇔ t = 0,8. Beide Vektoren sind dann nicht der Nullvektor, sie stehen senkrecht aufeinander.
b) Stumpf heißt: Skalarprodukt negativ; eine Ungleichung statt einer Gleichung.
Stumpf heißt cos γ < 0, also a · b < 0, weil beide Längen positiv sind.
5t − 4 < 0 ⇔ t < 0,8
180° kommt nicht vor: b = k · a verlangt k = −4 (dritte Koordinate), dann t = −8, aber 3 ≠ (−4) · (−8).
2.7Dreieck im Würfel
Die Abbildung zeigt einen Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 4 und darin das Dreieck ACF. Die Grundfläche ABCD liegt in der xy-Ebene; D hat die Koordinaten D(2 | 2 | 0).
Abbildung
a) Bestimme den Innenwinkel des Dreiecks ACF bei A.
Hilfe 1
Bestimme zuerst die Koordinaten von A, C und F: Von D aus geht jede Kante 4 Einheiten in eine Achsenrichtung.
Hilfe 2
Bilde die beiden Vektoren, die in A beginnen.
b) Begründe ohne weitere Rechnung, dass das Dreieck ACF gleichseitig ist.
Hilfe 1
Wo liegen die drei Seiten des Dreiecks im Würfel?
Hilfe 2
Was weißt du über die Seitenflächen eines Würfels?
Lösung zeigen
a) Koordinaten aus Würfel und Abbildung gewinnen, dann Winkel bei A mit Vektoren ab A.
A(6 | 2 | 0), C(2 | 6 | 0), F(6 | 6 | 4)
AC = −440, AF = 044: AC · AF = 16; |AC| = |AF| = √32 = 4√2
cos α = 1632 = 0,5 ⇒ α = 60°
b) Jede Seite des Dreiecks ist eine Diagonale einer Würfelfläche.
AC, AF und CF sind Diagonalen von Seitenflächen des Würfels. Alle Seitenflächen sind gleich große Quadrate, also sind die drei Diagonalen gleich lang.
Das Dreieck ACF ist gleichseitig; dazu passt der Winkel von 60° aus a).
2.8Rückwärts
a) Für zwei Vektoren a und b gilt |a| = 2 und |b| = 3; sie schließen einen Winkel von 60° ein. Berechne a · b.
Hilfe 1
Die Koordinaten fehlen. Welche Form des Skalarprodukts braucht keine Koordinaten?
Hilfe 2
Welchen Wert hat cos 60°?
b) Für zwei Vektoren u und v, die nicht der Nullvektor sind, gilt u · v = |u| · |v|. Begründe, dass u und v in dieselbe Richtung zeigen.
Hilfe 1
Vergleiche die Gleichung mit der Form des Skalarprodukts mit cos γ.
Hilfe 2
Für welchen Winkel hat der Kosinus den Wert 1?
Lösung zeigen
a) Längen und Winkel gegeben, keine Koordinaten: die Form mit cos γ.
a · b = |a| · |b| · cos 60° = 2 · 3 · 0,5 = 3
b) Die Gleichung mit der Kosinusform vergleichen: Was bleibt für cos γ übrig?
Aus u · v = |u| · |v| · cos γ folgt cos γ = 1, weil beide Längen nicht null sind.
Also ist γ = 0°: Die Vektoren schließen keinen Winkel ein und zeigen in dieselbe Richtung.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Zwei Stahlträger einer Halle beginnen beide im Punkt P und enden in Q bzw. R. Bilden die Träger in P einen rechten Winkel? (2) Ein Kind hält die Schnur eines Drachens 1 m über dem Boden in der Hand H; der Drachen ist im Punkt D. Unter welchem Winkel steigt die Schnur gegenüber der Waagerechten an? (3) Wie weit ist der Drachen aus (2) von der Hand entfernt?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Winkel oder um eine Länge?
Hilfe 2
Für einen Winkel brauchst du zwei Vektoren, die am selben Punkt beginnen.
Hilfe 3
Bei (2): Welcher Vektor beschreibt die Waagerechte in Höhe der Hand?
b) Für ein Treppenhaus wird eine dreieckige Glasscheibe mit den Ecken A(1 | 0 | 1), B(0 | 4 | 3) und C(1 | 4 | 1) geplant (Angaben in m). Der Glaser fragt, ob die Scheibe einen rechten Winkel hat und wie viel Glas er braucht. Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, ob … und … 2. Was nicht dasteht: An welcher Ecke … Bei einem rechten Winkel ist der Flächeninhalt … 3. Rechnen: AB · AC = …; BA · BC = …; CA · CB = …; Flächeninhalt = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Wie viel Glas“: Welche Größe ist gemeint?
Hilfe 2
Die Aufgabe nennt keine Ecke. Wie gehst du vor?
Hilfe 3
Prüfen kannst du einen rechten Winkel auch mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: ein Skalarprodukt mit 0 vergleichen, einen Winkel mit einem selbst gebildeten Vergleichsvektor, eine Länge.
(1) Gesucht ist, ob der Winkel bei P 90° beträgt. Ansatz: PQ · PR berechnen und mit 0 vergleichen.
(2) Gesucht ist der Winkel zwischen der Schnur und der Waagerechten. Ansatz: Winkel zwischen HD und dem Vektor von H zu dem Punkt, der genau unter D auf Höhe der Hand liegt.
(3) Gesucht ist eine Länge: |HD|. Hier braucht man kein Skalarprodukt.
b) Zwei Fragen: rechter Winkel (an unbekannter Ecke) und Flächeninhalt in m².
1. Gefragt ist, ob ein Innenwinkel der Scheibe 90° beträgt, und wie groß die Fläche der Scheibe ist.
2. An welcher Ecke ein rechter Winkel liegen könnte, steht nicht da: alle drei Ecken prüfen. Bei einem rechten Winkel ist der Flächeninhalt ½ · Kathete · Kathete.
3. AB = −142, AC = 040, BC = 10−2: AB · AC = 16; BA · BC = 5; CA · CB = 0; Flächeninhalt = ½ · 4 · √5 = 2√5 ≈ 4,47
4. Die Scheibe hat bei C einen rechten Winkel. Der Glaser braucht rund 4,47 m² Glas, ohne Verschnitt.
Ein Kind zieht einen Bollerwagen 100 m weit geradeaus über einen ebenen Platz; der Boden liegt in der xy-Ebene. Den Weg beschreibt s = 80600 (in m), die Zugkraft an der Deichsel F = 483630 (in N). In der Physik ist die Arbeit, die eine Kraft längs eines Wegs verrichtet, das Skalarprodukt W = F · s (in Nm, also Joule).
a) Berechne die Arbeit, die das Kind auf dem Weg verrichtet.
Hilfe 1
Die Formel steht im Text.
Hilfe 2
Achte auf die Einheit des Ergebnisses.
b) Bestimme, unter welchem Winkel die Deichsel gegen den Boden geneigt ist.
Hilfe 1
Die Deichsel zeigt in Richtung der Zugkraft.
Hilfe 2
Gegen den Boden: Welcher Vektor liegt genau unter der Kraft am Boden?
Hilfe 3
Vergleiche diesen Vektor mit s.
c) Ein zweites Kind zieht den Wagen mit einer gleich großen Kraft auf demselben Weg, hält die Deichsel aber flacher. Beurteile, ob es mehr oder weniger Arbeit verrichtet als das erste Kind.
Hilfe 1
Schreibe die Arbeit mit der Form des Skalarprodukts, die einen Winkel enthält.
Hilfe 2
Was ändert sich, was bleibt gleich?
Lösung zeigen
a) Die Formel W = F · s ist gegeben; Ergebnis mit Einheit.
W = F · s = 48 · 80 + 36 · 60 + 30 · 0 = 3840 + 2160 = 6000
Das Kind verrichtet auf dem Weg eine Arbeit von 6000 J.
b) Winkel gegen den Boden: Kraftvektor mit dem Vektor genau darunter vergleichen; hier hat s dieselbe waagerechte Richtung.
Unter der Kraft liegt am Boden 48360; er zeigt in dieselbe Richtung wie s, denn 48 : 36 = 80 : 60. Gesucht ist also der Winkel zwischen F und s.
|F| = √4500 ≈ 67,1; |s| = 100
cos γ = 6000√4500 · 100 ≈ 0,894 ⇒ γ ≈ 26,6°
Die Deichsel ist um rund 26,6° gegen den Boden geneigt.
c) Gleiche Kraft, gleicher Weg, kleinerer Winkel: Es kommt nur auf cos γ an.
W = |F| · |s| · cos γ. Kraft und Weg bleiben gleich lang, nur γ wird kleiner.
Zwischen 0° und 90° wird cos γ größer, wenn γ kleiner wird. Das zweite Kind verrichtet also mehr Arbeit; bei waagerechter Deichsel wären es höchstens |F| · |s| ≈ 6708 J.
3.3Skater-Rampe
Eine Skater-Rampe steht auf einem ebenen Platz, der in der xy-Ebene liegt; 1 Einheit entspricht 1 m. Ihre schräge Fahrfläche ist das Viereck ABCD mit A(4 | 1 | 0), B(4 | 3 | 0), C(1 | 3 | 1) und D(1 | 1 | 1). Die Abbildung zeigt die Rampe.
Abbildung
a) Bestimme den Winkel, unter dem die Fahrfläche gegen den Boden geneigt ist.
Hilfe 1
Der Boden hat keinen Vektor. Welcher Punkt liegt genau unter D?
Hilfe 2
Wähle eine Linie der Fahrfläche, die genau bergauf führt.
b) Zeige, dass die Fahrfläche ABCD ein Rechteck ist.
Hilfe 1
Was gehört zu einem Rechteck außer einem rechten Winkel?
Hilfe 2
Vergleiche gegenüberliegende Seiten als Vektoren.
c) Ein Skater fährt auf der Fahrfläche geradlinig von A nach C. Bestimme den Winkel, unter dem seine Fahrlinie gegen den Boden ansteigt, und erläutere, warum er kleiner ist als der Winkel aus a).
Hilfe 1
Welcher Punkt liegt diesmal genau unter dem oberen Ende?
Hilfe 2
Vergleiche für beide Wege den Höhengewinn und die Strecke am Boden.
Lösung zeigen
a) Winkel gegen den Boden: Fußpunkt unter D bilden, dann Winkel bei A.
Unter D liegt am Boden der Punkt E(1 | 1 | 0).
AD = −301, AE = −300: AD · AE = 9; |AD| = √10; |AE| = 3
cos α = 93 · √10 ≈ 0,949 ⇒ α ≈ 18,4°
Die Fahrfläche ist um rund 18,4° gegen den Boden geneigt.
b) Rechteck: Parallelogramm und ein rechter Winkel, beides zeigen.
AB = 020 = DC: ABCD ist ein Parallelogramm.
AB · AD = 0 + 0 + 0 = 0: Der Winkel bei A ist ein rechter. Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
c) Wie in a), aber mit einem anderen Fußpunkt; danach Höhe und Weg am Boden vergleichen.
Unter C liegt am Boden der Punkt F(1 | 3 | 0).
AC = −321, AF = −320: AC · AF = 13; |AC| = √14; |AF| = √13
cos γ = 13√14 · √13 ≈ 0,964 ⇒ γ ≈ 15,5°
Auf beiden Wegen gewinnt der Skater 1 m Höhe. Schräg über die Fläche ist die Strecke am Boden länger (√13 m statt 3 m), deshalb steigt die Fahrlinie flacher an.
3.4Windpark
In einem Windpark liegen die Mittelpunkte der Rotoren zweier Windräder in N1(300 | 400 | 120) und N2(−300 | 600 | 120). Eine Fotografin steht im Punkt P(0 | 0 | 0) auf einem ebenen Feld in der xy-Ebene und hält die Kamera 1,5 m über dem Boden. Alle Angaben in m. Ihr Objektiv erfasst zwei Gegenstände zugleich, wenn die Blickrichtungen von der Kamera zu ihnen einen Winkel von höchstens 60° einschließen.
a) Untersuche, ob die Fotografin beide Rotormittelpunkte zugleich aufs Bild bekommt.
Hilfe 1
Von welchem Punkt aus wird geblickt?
Hilfe 2
Bilde die beiden Blickrichtungen als Vektoren ab diesem Punkt.
Hilfe 3
Vergleiche den Winkel zwischen ihnen mit 60°.
b) Die Fotografin geht 100 m in Richtung der negativen y-Achse zurück. Prüfe, ob ihr das Foto dann gelingt.
Hilfe 1
Wo ist die Kamera jetzt?
Hilfe 2
Rechne wie in a) mit den neuen Blickrichtungen.
Lösung zeigen
a) Blickwinkel: zwei Vektoren ab der Kamera, nicht ab P auf dem Boden.
53,3° ist weniger als 60°: Von dort gelingt das Foto mit beiden Rotormittelpunkten.
3.5Zwei Behauptungen
Lea soll den Innenwinkel bei B im Dreieck ABC mit A(1 | 2 | 0), B(3 | 1 | 2) und C(5 | 4 | 1) bestimmen. Sie rechnet:
AB · BC = 2−12 · 23−1 = 4 − 3 − 2 = −1; cos β = −13 · √14 ⇒ β ≈ 95,1°
Lea schreibt: „Das Dreieck hat bei B einen stumpfen Winkel.“
a) Beurteile Leas Rechnung und gib den Innenwinkel bei B richtig an.
Hilfe 1
Wo beginnt und wo endet der Vektor AB?
Hilfe 2
Welche beiden Vektoren gehören zum Winkel bei B?
b) Ben sagt: „Ist das Skalarprodukt zweier Seitenvektoren eines Dreiecks negativ, dann hat das Dreieck einen stumpfen Winkel.“ Beurteile Bens Aussage.
Hilfe 1
Hast du in a) ein Beispiel gesehen, das zu Bens Aussage passt oder ihr widerspricht?
Hilfe 2
Unter welcher Bedingung an die Vektoren stimmt die Aussage?
c) Untersuche, ob das Dreieck ABC einen stumpfen Innenwinkel hat.
Hilfe 1
Für „spitz oder stumpf“ reicht das Vorzeichen.
Hilfe 2
Den Winkel bei B kennst du schon.
Lösung zeigen
a) Die Rechnung selbst ist richtig; zu prüfen ist, ob die Vektoren zum Winkel passen.
Leas Zahlen stimmen, aber AB beginnt in A und endet in B. Für den Winkel bei B müssen beide Vektoren in B beginnen.
BA · BC = −21−2 · 23−1 = −4 + 3 + 2 = 1
cos β = 13 · √14 ⇒ β ≈ 84,9°. Leas 95,1° ist der Nebenwinkel; der Innenwinkel bei B ist spitz.
b) Eine allgemeine Aussage: Gegenbeispiel suchen und die Bedingung nennen, unter der sie stimmt.
So allgemein ist die Aussage falsch. Gegenbeispiel aus a): AB · BC = −1 < 0, der Winkel bei B ist aber spitz.
Richtig ist sie nur, wenn beide Vektoren in derselben Ecke beginnen, etwa BA · BC < 0. Dann ist der Winkel an dieser Ecke stumpf.
c) Es genügen die Vorzeichen der Skalarprodukte an den übrigen Ecken.
AB · AC = 2−12 · 421 = 8 − 2 + 2 = 8 > 0: Der Winkel bei A ist spitz.
CA · CB = −4−2−1 · −2−31 = 8 + 6 − 1 = 13 > 0: Der Winkel bei C ist spitz.
Mit β ≈ 84,9° aus a) sind alle drei Innenwinkel spitz; das Dreieck hat keinen stumpfen Winkel.
Klausuraufgabe
4.1Funkmast
Ein Funkmast steht senkrecht auf ebenem Gelände, das in der xy-Ebene liegt. Sein Fußpunkt ist F(0 | 0 | 0). Im Punkt M(0 | 0 | 24) sind zwei Abspannseile befestigt, die geradlinig zu den Verankerungen A(6 | 8 | 0) und B(8 | −6 | 0) im Boden führen. Alle Angaben in m. Die Abbildung zeigt die Anlage.
Abbildung
a) Zeige, dass die Verankerungen A und B vom Fußpunkt F aus gesehen in zueinander senkrechten Richtungen liegen.2 BE
Hilfe 1
„Vom Fußpunkt aus gesehen“: Wo beginnen die beiden Vektoren?
Hilfe 2
Senkrecht: Welche Bedingung prüfst du?
b) Berechne den Winkel, den das Seil zwischen M und A mit dem Boden einschließt. [zur Kontrolle: rund 67,4°]3 BE
Hilfe 1
Welcher Punkt am Boden liegt genau unter M?
Hilfe 2
Bilde zwei Vektoren, die beide in A beginnen.
c) Ein Monteur sagt: „Weil A und B vom Fußpunkt aus senkrecht zueinander liegen, stehen auch die beiden Seile senkrecht aufeinander.“ Beurteile die Aussage und begründe, dass sie auch bei keiner anderen Höhe des Befestigungspunkts M zutrifft.3 BE
Hilfe 1
Welche Vektoren beschreiben die beiden Seile, wenn du von M ausgehst?
Hilfe 2
Ersetze die Höhe 24 durch eine Zahl h > 0.
d) Berechne den Winkel, den die beiden Seile im Punkt M einschließen.3 BE
Hilfe 1
Das Skalarprodukt der Seilvektoren kennst du aus c).
Hilfe 2
Wie lang sind die beiden Seile?
e) Eine neue Vorschrift verlangt, dass jedes Seil mit dem Boden einen Winkel von höchstens 60° einschließt. Die Verankerung A soll dafür auf der Halbgeraden, die in F beginnt und durch A verläuft, nach außen versetzt werden; M bleibt. Ermittle, wie weit die neue Verankerung mindestens vom Fußpunkt F entfernt sein muss.3 BE
Hilfe 1
Beschreibe die neue Verankerung mit einem Parameter, etwa als Vielfaches von FA.
Hilfe 2
Stelle den Kosinus des Winkels gegen den Boden in Abhängigkeit vom Parameter auf.
Hilfe 3
Welcher Kosinuswert gehört zu 60°, und wird der Winkel kleiner oder größer, wenn die Verankerung nach außen wandert?
Lösung zeigen
a) Richtungen ab F: zwei Vektoren ab F, Skalarprodukt prüfen.
FA = 680, FB = 8−60: FA · FB = 48 − 48 + 0 = 0
Beide Vektoren sind nicht der Nullvektor, also stehen sie senkrecht aufeinander.
b) Winkel gegen den Boden: Der Fußpunkt unter M ist schon bekannt.
F liegt genau unter M. Gesucht ist der Winkel bei A zwischen AM und AF.
AM = −6−824, AF = −6−80: AM · AF = 36 + 64 + 0 = 100; |AM| = 26; |AF| = 10
cos α = 100260 = 513 ⇒ α ≈ 67,4°
c) Die Seile beginnen in M; ihr Skalarprodukt prüfen, dann mit allgemeiner Höhe wiederholen.
MA = 68−24, MB = 8−6−24: MA · MB = 48 − 48 + 576 = 576 ≠ 0. Die Seile stehen nicht senkrecht aufeinander; die Aussage ist falsch.
Liegt M in der Höhe h > 0, ist MA · MB = 48 − 48 + h² = h² > 0. Das Skalarprodukt ist nie null; die Seile schließen bei jeder Höhe einen spitzen Winkel ein.
d) Winkel bei M: Skalarprodukt aus c) und die beiden Seillängen.
|MA| = |MB| = √(36 + 64 + 576) = 26
cos γ = 57626 · 26 = 144169 ⇒ γ ≈ 31,6°
e) Umkehraufgabe mit Parameter: Grenzfall 60° als Gleichung, dann die Richtung der Ungleichung deuten.
Neue Verankerung V(6k | 8k | 0) mit k > 0; ihr Abstand zu F ist 10k.
VF = −6k−8k0, VM = −6k−8k24: VF · VM = 100k²; |VF| = 10k; |VM| = √(100k² + 576)
cos α = 10k√(100k² + 576). Höchstens 60° heißt cos α ≥ 0,5.