Zuerst kommt die Erklärung, danach 11 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hattest du zwei Achsen. Für Häuser, Zelte und Regale brauchst du eine dritte Richtung. Im räumlichen Koordinatensystem stehen drei Achsen paarweise senkrecht aufeinander und treffen sich im Ursprung O(0 | 0 | 0): Die x-Achse zeigt auf dich zu, die y-Achse nach rechts, die z-Achse nach oben. Ein Punkt hat jetzt drei Koordinaten, zum Beispiel P(2 | 3 | 4). Achtung: Die Achse nach rechts heißt jetzt y, die nach oben z.
✎ Mini-Aufgabe: Leg den Ursprung in eine Ecke des Fußbodens deines Zimmers, die Achsen entlang der Kanten zwischen Boden und Wänden und senkrecht nach oben. Welche Koordinate haben alle Punkte des Fußbodens gemeinsam? Und alle Punkte der Decke?
Lösung zeigen
Alle Punkte des Fußbodens haben z = 0. Alle Punkte der Decke haben dieselbe z-Koordinate, nämlich die Raumhöhe, bei 2,5 m also z = 2,5.
2. Punkte im Raum
Lies P(a | b | c) als Weg vom Ursprung aus:
a Einheiten in Richtung der x-Achse, bei negativem a in die Gegenrichtung,
dann b Einheiten parallel zur y-Achse,
dann c Einheiten parallel zur z-Achse.
P(x | y | z): x nach vorn, y nach rechts, z nach oben
Beispiel: P(2 | 3 | 4)
Vom Ursprung 2 Einheiten nach vorn bis (2 | 0 | 0),
dann 3 nach rechts bis (2 | 3 | 0); das ist der Punkt direkt unter P auf dem Boden,
dann 4 nach oben: P(2 | 3 | 4).
Die Reihenfolge ist fest: erst x, dann y, dann z. P(2 | 3 | 4) und P(3 | 2 | 4) sind verschiedene Punkte.
3. Das Schrägbild
Auf Papier zeichnest du den Raum als Schrägbild, am einfachsten auf Kästchenpapier. Eine Einheit auf der y- und der z-Achse sind 2 Kästchen. Die x-Achse zeichnest du schräg nach links unten, unter 135° zur y-Achse; eine Einheit ist dort eine Kästchendiagonale, also 1 Kästchen nach links und 1 nach unten. Die Verkürzung erzeugt den Raumeindruck.
P(x | y | z): (2y − x) Kästchen nach rechts, (2z − x) Kästchen nach oben
Einzeichnen: den Weg aus Abschnitt 2 gehen, x in Diagonalen, y und z in Doppelkästchen.
Ablesen: Von einer Ecke, deren Höhe du kennst (meist auf dem Boden, z = 0), parallel zur x-Achse zurückgehen, bis du die y-Achse triffst. Wie viele x-Einheiten dieser Weg lang ist, ergibt x; der Treffpunkt auf der y-Achse ist y.
Kanten, die man am Körper nicht sehen kann, zeichnest du gestrichelt.
✎ Mini-Aufgabe: P(2 | 3 | 4) wird 4 Kästchen rechts und 6 Kästchen über dem Ursprung gezeichnet. Suche einen anderen Punkt mit x = 0, der im Schrägbild an derselben Stelle landet.
Lösung zeigen
2y − 0 = 4 und 2z − 0 = 6, also Q(0 | 2 | 3).
Jeder Punkt, der von Q aus 2 Einheiten weiter vorn, 1 weiter rechts und 1 weiter oben liegt, landet ebenfalls dort, etwa (4 | 4 | 5).
Ein Schrägbild allein legt einen Punkt also nicht fest. Ablesen geht nur mit einer Zusatzinformation, etwa „liegt auf dem Boden“ oder „senkrecht über der Ecke A“.
Im ersten Bild der Weg zum Punkt P(2 | 3 | 4), im zweiten ein Quader mit A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), D(0 | 5 | 0) und E(0 | 0 | 3). Verdeckte Kanten sind gestrichelt.
4. Oktanten, Achsen und Ebenen
Die drei Koordinatenebenen teilen den Raum in acht Oktanten. Welcher Oktant es ist, verraten die Vorzeichen:
x-y-Ebene: z = 0 (der „Boden“); x-z-Ebene: y = 0; y-z-Ebene: x = 0
x-Achse: y = 0 und z = 0; ebenso für die anderen Achsen
über der x-y-Ebene (z > 0): Oktant I (+ | + | +), II (− | + | +), III (− | − | +), IV (+ | − | +)
unter der x-y-Ebene (z < 0): Oktant V bis VIII, mit denselben Vorzeichen für x und y wie I bis IV
Diese Nummerierung ist verbreitet, aber nicht in jedem Buch gleich. Überall gleich ist nur der Oktant I mit drei positiven Koordinaten. Nennst du zu einem Oktanten auch die Vorzeichen, etwa (+ | − | +), ist deine Antwort in jedem Fall eindeutig.
Ist eine Koordinate 0, liegt der Punkt auf einer Koordinatenebene und in keinem Oktanten. Sind zwei Koordinaten 0, liegt er auf einer Achse.
✎ Mini-Aufgabe: Liegt ein Punkt der x-Achse auch in einer Koordinatenebene? In welcher?
Lösung zeigen
Ja, sogar in zweien: Er hat y = 0 und z = 0, liegt also in der x-z-Ebene und in der x-y-Ebene. Die x-Achse ist die Schnittgerade dieser beiden Ebenen.
5. Körper aus Koordinaten
Liegen die Kanten eines Quaders parallel zu den Achsen, ändert sich entlang jeder Kante genau eine Koordinate. Damit findest du fehlende Ecken ohne Rechnung.
„senkrecht über“ oder „direkt unter“: x und y bleiben, nur z ändert sich.
Mitte einer Kante oder Fläche: Jede Koordinate ist der Mittelwert der Koordinaten gegenüberliegender Ecken.
Länge einer achsenparallelen Kante: Differenz der einen Koordinate, die sich ändert.
Mitte der Deckfläche EFGH, Mittelwert von E und G: (2 | 2,5 | 3)
✎ Mini-Aufgabe: Auf die Deckfläche dieses Quaders wird eine Pyramide gesetzt, ihre Spitze liegt 2 Einheiten über der Mitte der Deckfläche. Gib die Spitze an.
Lösung zeigen
S(2 | 2,5 | 5): x und y wie die Mitte der Deckfläche, z = 3 + 2.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
steht auf dem Boden, liegt auf der Grundfläche
z = 0
nur wenn der Boden die x-y-Ebene ist
senkrecht über, direkt unter, hängt an
gleiche x und y
nur z ändert sich
in der Mitte, symmetrisch, genau über der Mitte
Mittelwert der Koordinaten
halbe Länge, nicht ganze
Ursprung in der Mitte der Grundfläche
Ecken bei ± halben Seitenlängen
negative Koordinaten gehören dazu
… m unter der Decke, … m unter dem First
z = Höhe − Abstand
nicht den Abstand selbst als z nehmen
im Inneren
jede Koordinate zwischen ihren Grenzen
unter einem Dach hängt die obere Grenze von der Stelle ab
unter der Erde, im Keller
z < 0
unter der x-y-Ebene, Oktanten V bis VIII
7. Was nirgends steht
Eine Einheit ist meist 1 m. Kästchen im Schrägbild sind keine Einheiten.
Ein Schrägbild allein reicht zum Ablesen nicht; du brauchst eine Ecke mit bekannter Höhe oder eine Angabe im Text.
Ein Satteldach oder eine Pyramide ist nicht überall gleich hoch. Ob ein Punkt darunter liegt, entscheidet die Dachhöhe genau an seiner Stelle.
Stehen Wände unter dem Dach, ist die Höhe des Dachs nicht die z-Koordinate der Spitze.
Liegt der Ursprung in der Mitte, haben die Hälfte der Ecken negative Koordinaten.
8. Ein Sachbeispiel
Ein Zimmer ist 6 m lang, 4 m breit und 2,5 m hoch. Der Ursprung liegt in einer Bodenecke, die x-Achse verläuft entlang der langen Wand, die y-Achse entlang der kurzen, die z-Achse senkrecht nach oben; eine Einheit ist 1 m. Eine Lampe hängt 0,6 m unter der Decke genau über der Mitte des Zimmers. Wo hängt die Lampe?
Was ist gefragt? Die Koordinaten des Punktes L, an dem die Lampe hängt.
Was steht nicht da? „über der Mitte“: x und y sind die halben Längen. „unter der Decke“: Die Decke hat z = 2,5, die Lampe liegt 0,6 tiefer.
Rechnen x = 6 : 2 = 3; y = 4 : 2 = 2; z = 2,5 − 0,6 = 1,9
Antwortsatz Die Lampe hängt im Punkt L(3 | 2 | 1,9), also 1,9 m über dem Boden über der Zimmermitte.
Prüfen Alle Koordinaten liegen zwischen 0 und den Maßen des Zimmers, die Lampe ist also im Zimmer. 1,9 m ist eine plausible Höhe für eine Hängelampe.
9. Typische Fehler
Achsen vertauscht: Die Achse nach rechts ist jetzt y, nicht x.
Eine x-Einheit im Schrägbild so lang gezeichnet wie auf y und z statt als eine Kästchendiagonale.
Aus dem Schrägbild abgelesen, ohne eine bekannte Höhe zu nutzen; dann ist der Punkt nicht eindeutig.
Einen Punkt mit einer Koordinate 0 einem Oktanten zugeordnet.
Bei „0,6 m unter der Decke“ z = 0,6 statt z = 2,5 − 0,6 genommen.
Rechnen
2.1Punkte einzeichnen
Im Gitter sind die y-Achse (waagerecht) und die z-Achse (senkrecht) schon eingezeichnet; ein Kästchen ist eine halbe Einheit. Ergänze die x-Achse und trage die Punkte P(3 | 2 | 4), Q(0 | −2 | 3) und R(2 | 4 | −1) ein.
Hilfe 1
Geh für jeden Punkt den Weg vom Ursprung: erst x, dann y, dann z.
Hilfe 2
Eine Einheit in x-Richtung ist ein Kästchen nach links und eins nach unten; in y- und z-Richtung sind es 2 Kästchen.
Hilfe 3
Negative Koordinaten heißen: in die Gegenrichtung der Achse.
Lösung zeigen
Drei Koordinaten, drei Wegstücke: x schräg, y waagerecht, z senkrecht.
x-Achse: vom Ursprung schräg nach links unten, eine Einheit ist eine Kästchendiagonale.
P: 3 Diagonalen nach vorn, 2 Einheiten nach rechts, 4 nach oben; zusammen 1 Kästchen nach rechts und 5 nach oben.
Q: x = 0, also kein Schritt nach vorn; 2 Einheiten nach links, 3 nach oben. Q liegt in der y-z-Ebene.
R: 2 Diagonalen nach vorn, 4 Einheiten nach rechts, 1 nach unten; zusammen 6 Kästchen nach rechts und 4 nach unten.
2.2Quader im Schrägbild
Das Material zeigt einen Quader im Schrägbild. Er steht auf der x-y-Ebene, seine Kanten sind parallel zu den Achsen. Die Einheiten sind an den Achsen markiert.
Material
Bestimme die Koordinaten aller acht Ecken des Quaders.
Hilfe 1
Welche Ecken liegen auf dem Boden, und welche z-Koordinate haben sie?
Hilfe 2
Geh von einer Bodenecke parallel zur x-Achse zurück, bis du die y-Achse triffst. Vergleiche die Länge dieses Wegs mit den Einheiten auf der x-Achse.
Hilfe 3
Die Deckfläche liegt senkrecht über der Bodenfläche: x und y bleiben gleich.
Lösung zeigen
Ablesen im Schrägbild geht nur mit einer bekannten Höhe; hier hilft, dass der Quader auf der x-y-Ebene steht.
A, B, C und D liegen auf der x-y-Ebene, also z = 0. Von A aus parallel zur x-Achse zurück sind es 4 x-Einheiten bis zur y-Achse, Treffpunkt bei y = 3.
Gib für jeden der Punkte A(2 | −3 | 5), B(−1 | −4 | −2), C(0 | 3 | −2), D(0 | 0 | −7) und E(4 | −1 | 0) an, in welchem Oktanten er liegt oder auf welcher Achse bzw. Koordinatenebene.
Hilfe 1
Schaue zuerst, ob eine Koordinate 0 ist.
Hilfe 2
Sonst entscheiden die drei Vorzeichen; vergleiche mit der Liste der Oktanten.
Lösung zeigen
Erst auf Nullen prüfen, dann die Vorzeichen lesen.
A: x > 0, y < 0, z > 0, also Oktant IV.
B: alle drei Koordinaten negativ, also Oktant VII.
C: x = 0, also in der y-z-Ebene, in keinem Oktanten.
D: x = 0 und y = 0, also auf der z-Achse, unterhalb des Ursprungs.
E: z = 0, also in der x-y-Ebene.
2.4Würfel mit Pyramide
Ein Würfel ABCDEFGH hat die Ecken A(0 | 0 | 0), B(4 | 0 | 0), D(0 | 4 | 0) und E(0 | 0 | 4). Die Deckfläche EFGH liegt senkrecht über der Grundfläche ABCD.
a) Gib die Koordinaten der Ecken C, F, G und H an. [Zur Kontrolle: G(4 | 4 | 4)]
Hilfe 1
Jede Ecke unterscheidet sich von ihren Nachbarecken in genau einer Koordinate.
Hilfe 2
Die Deckfläche liegt 4 Einheiten über der Grundfläche.
b) Auf die Deckfläche wird eine Pyramide gesetzt. Ihre Spitze S liegt 3 Einheiten senkrecht über dem Mittelpunkt M der Deckfläche. Bestimme die Koordinaten von M und S und gib die Höhe des ganzen Körpers an.
Hilfe 1
Wo liegt die Mitte eines Quadrats, wenn du zwei gegenüberliegende Ecken kennst?
Hilfe 2
„senkrecht über“: Welche Koordinaten bleiben gleich?
Hilfe 3
Von welcher Höhe aus werden die 3 Einheiten gemessen?
Lösung zeigen
a) Würfel mit Kanten entlang der Achsen: Die fehlenden Ecken entstehen aus den Koordinaten der gegebenen.
b) „senkrecht über dem Mittelpunkt“: erst den Mittelpunkt bestimmen, dann nur die Höhe ändern.
M ist die Mitte der Diagonale EG: M(2 | 2 | 4).
S liegt senkrecht über M: x und y bleiben, z = 4 + 3 = 7, also S(2 | 2 | 7).
Der Körper ist 7 Einheiten hoch.
Ohne Taschenrechner
2.5Zwei Punkte im Schrägbild
a) Zeige, dass die Punkte P(4 | 1 | 3) und Q(2 | 0 | 2) im Schrägbild an derselben Stelle gezeichnet werden, wenn eine Einheit auf der y- und der z-Achse 2 Kästchen und auf der x-Achse eine Kästchendiagonale ist.
Hilfe 1
Bestimme für jeden Punkt, wie viele Kästchen nach rechts und nach oben er vom Ursprung aus gezeichnet wird.
Hilfe 2
Ein Schritt in x-Richtung verschiebt um ein Kästchen nach links und eins nach unten.
b) Erläutere, warum man die Koordinaten eines Punktes aus einem Schrägbild allein nicht sicher ablesen kann, und nenne eine Angabe, mit der es gelingt.
Hilfe 1
Um wie viel unterscheiden sich P und Q in jeder Koordinate?
Hilfe 2
Wie viele Zahlen liefert die Lage auf dem Papier, und wie viele braucht ein Punkt im Raum?
Lösung zeigen
a) „an derselben Stelle gezeichnet“: Kästchen nach rechts und nach oben für beide Punkte vergleichen.
P: 2 · 1 − 4 = −2, also 2 Kästchen nach links; 2 · 3 − 4 = 2 Kästchen nach oben.
Q: 2 · 0 − 2 = −2, also 2 Kästchen nach links; 2 · 2 − 2 = 2 Kästchen nach oben.
Beide Punkte liegen im Bild 2 Kästchen links und 2 Kästchen über dem Ursprung.
b) Erläutern heißt hier: aus a) eine allgemeine Grenze des Schrägbilds machen.
Das Schrägbild drückt den Raum auf die Ebene: Ein Schritt nach vorn sieht aus wie ein Kästchen nach links und eins nach unten, und dieselbe Stelle erreicht man auch mit anderen Schritten. Verschiedene Punkte haben deshalb dasselbe Bild, wie P und Q zeigen.
Kennt man eine Koordinate, etwa z = 0 für einen Punkt auf dem Boden, oder weiß man, dass der Punkt senkrecht über einer bekannten Ecke liegt, sind die anderen Koordinaten festgelegt.
2.6Bedingungen für die Lage
Gib an, welche Bedingung die Koordinaten eines Punktes P(x | y | z) erfüllen müssen, damit P (1) auf der y-Achse liegt, (2) in der x-z-Ebene liegt, (3) in dem Oktanten direkt unter dem Oktanten I liegt, (4) unterhalb der x-y-Ebene liegt.
Hilfe 1
Denke an einen Beispielpunkt, etwa (0 | 5 | 0) auf der y-Achse: Welche Koordinaten sind 0?
Hilfe 2
Welche Koordinaten dürfen beliebig sein, wenn man auf der Achse oder in der Ebene entlanggeht?
Hilfe 3
„direkt unter“: Welche Koordinate wechselt das Vorzeichen, welche bleiben wie im Oktanten I?
Lösung zeigen
Rückwärts gefragt: nicht der Ort zu gegebenen Zahlen, sondern die Bedingung an die Zahlen zu einem Ort.
(1) x = 0 und z = 0; y beliebig.
(2) y = 0; x und z beliebig.
(3) x > 0, y > 0 und z < 0 (in der üblichen Nummerierung Oktant V).
(4) z < 0; x und y beliebig.
2.7Punkt mit Parameter
Für jede reelle Zahl a ist der Punkt P(a | a − 2 | 3 − a) gegeben.
a) Bestimme alle Werte von a, für die P in einer Koordinatenebene liegt, und gib jeweils die Ebene an.
Hilfe 1
Was gilt für eine Koordinate eines Punktes in einer Koordinatenebene?
Hilfe 2
Untersuche jede der drei Koordinaten einzeln.
b) Untersuche, ob es einen Wert von a gibt, für den P auf einer Koordinatenachse liegt.
Hilfe 1
Wie viele Koordinaten sind bei einem Punkt auf einer Achse gleich 0?
Hilfe 2
Vergleiche die Werte von a aus a).
c) Bestimme die Werte von a, für die P im Oktanten I liegt.
Hilfe 1
Im Oktanten I sind alle drei Koordinaten positiv.
Hilfe 2
Schreibe drei Ungleichungen auf und suche die Werte, die alle drei erfüllen.
Lösung zeigen
a) Die Lage in einer Koordinatenebene hängt an einer einzigen Koordinate.
x = 0 für a = 0: P(0 | −2 | 3) liegt in der y-z-Ebene.
y = 0 für a = 2: P(2 | 0 | 1) liegt in der x-z-Ebene.
z = 0 für a = 3: P(3 | 1 | 0) liegt in der x-y-Ebene.
b) Achse statt Ebene: Die Bedingung ist strenger als in a).
Auf einer Achse wären zwei Koordinaten zugleich 0.
Die drei Koordinaten werden aber für drei verschiedene Werte 0, nämlich a = 0, a = 2 und a = 3. Also liegt P für kein a auf einer Achse.
c) Ein Oktant ist eine Bedingung an alle drei Vorzeichen zugleich.
Oktant I: a > 0, a − 2 > 0 und 3 − a > 0, also a > 0, a > 2 und a < 3.
P liegt im Oktanten I genau für 2 < a < 3.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Angabe nur, was sie über die Koordinaten des gesuchten Punktes verrät. Rechne nicht. Der Erdboden ist jeweils die x-y-Ebene, eine Einheit ist 1 m. (1) Ein Kranhaken hängt senkrecht über dem Punkt (8 | 5 | 0). (2) Ein Rohr liegt 1,5 m tief im Erdreich. (3) Ein Schild ist an einer Hauswand befestigt, die in der y-z-Ebene liegt.
Hilfe 1
Welche Koordinate beschreibt die Höhe?
Hilfe 2
„senkrecht über“: Was ändert sich beim Hochgehen, was nicht?
Hilfe 3
Welche Koordinate ist für alle Punkte der y-z-Ebene gleich?
b) Ein Zelt hat die Form einer Pyramide mit quadratischem Boden der Seitenlänge 4 m. Der Ursprung liegt in der Mitte des Zeltbodens, die Bodenkanten sind parallel zur x- bzw. y-Achse, die senkrechte Mittelstange ist 2,5 m hoch und trägt die Spitze. Bestimme die Koordinaten der vier Bodenecken und der Spitze. Fülle die Lücken: 1. Gefragt sind … 2. Was nicht dasteht: Vom Ursprung bis zu jeder Bodenkante sind es … m. Die Spitze liegt … 3. Rechnen: Bodenecken (… | … | 0), …; Spitze (… | … | …) 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Wo liegt der Ursprung, und wie weit ist es von dort bis zum Rand des Bodens?
Hilfe 2
Liegt der Ursprung in der Mitte, haben manche Ecken negative Koordinaten.
Hilfe 3
„senkrecht“: Welche Koordinaten hat die Spitze mit dem Ursprung gemeinsam?
Lösung zeigen
a) Jede Formulierung legt eine oder zwei Koordinaten fest, nicht alle drei.
(1) x = 8 und y = 5; z ist unbekannt, aber positiv.
(2) z = −1,5; über x und y sagt die Angabe nichts.
(3) x = 0; über y und z sagt die Angabe nichts.
b) Ursprung in der Mitte: Die Maße beziehen sich auf den Rand, die Koordinaten auf die Mitte.
1. Gefragt sind die Koordinaten der vier Bodenecken und der Spitze.
2. Vom Ursprung bis zu jeder Bodenkante sind es 2 m, die halbe Seitenlänge. Die Spitze liegt senkrecht über dem Ursprung, am oberen Ende der Mittelstange.
4. Die Bodenecken des Zelts liegen bei (2 | 2 | 0), (−2 | 2 | 0), (−2 | −2 | 0) und (2 | −2 | 0), die Spitze bei (0 | 0 | 2,5).
5. Benachbarte Ecken unterscheiden sich um 4 in genau einer Koordinate, das ist die Seitenlänge. Die Spitze liegt auf der z-Achse, mittig über dem Boden. Das passt.
3.2Gartenhaus
Das Material zeigt ein Gartenhaus mit Satteldach im Schrägbild. Es steht auf der x-y-Ebene, die Ecke A liegt im Ursprung; eine Einheit entspricht 1 m. Die Einheiten sind an den Achsen markiert. Das Dach ist symmetrisch, sein First KL liegt 4 m über dem Boden.
Material
a) Gib die Koordinaten der Punkte C, G und K an.
Hilfe 1
Welche Ecken liegen auf dem Boden? Von dort aus kannst du parallel zur x-Achse zur y-Achse zurückgehen.
Hilfe 2
G liegt senkrecht über C: Was ändert sich?
Hilfe 3
Das Schrägbild allein legt K nicht fest. Was sagen „symmetrisch“ und „4 m über dem Boden“?
b) Der Punkt Q(2 | 6 | 0) gibt den Standort einer Regentonne an. Beschreibe, wo die Regentonne in Bezug auf das Gartenhaus steht.
Hilfe 1
Gehe die drei Koordinaten einzeln durch: Was bedeutet z = 0, was y = 6, was x = 2?
Hilfe 2
Welche y-Koordinate hat die Giebelwand über CD?
c) Im Gartenhaus soll ein Haken im Punkt P(3,5 | 1 | 2,8) befestigt werden. Untersuche, ob P im Inneren des Gartenhauses liegt.
Hilfe 1
Welche Bedingungen muss ein Punkt im Inneren für x, y und z erfüllen?
Hilfe 2
Die obere Grenze für z hängt von x ab. Schneide das Haus in Gedanken bei y = 1 senkrecht durch: Welche Figur siehst du?
Hilfe 3
Zwischen der Kante FG und dem First steigt das Dach gleichmäßig. Wie hoch ist es bei x = 3,5?
Lösung zeigen
a) Bodenecken lassen sich ablesen; für höher liegende Punkte braucht man eine Ecke darunter oder eine Angabe im Text.
C liegt auf dem Boden (z = 0). Von C parallel zur x-Achse zurück sind es 4 x-Einheiten bis zur y-Achse, Treffpunkt y = 5. Also C(4 | 5 | 0).
G liegt senkrecht über C, 2,5 Einheiten höher: G(4 | 5 | 2,5).
K liegt in der Giebelwand über AB (y = 0), wegen der Symmetrie über der Mitte von AB (x = 2), und 4 m hoch: K(2 | 0 | 4).
b) Koordinaten in Worte übersetzen: jede Zahl mit den Maßen des Hauses vergleichen.
Q liegt auf dem Boden, weil z = 0. Die Giebelwand über CD liegt bei y = 5; mit y = 6 steht die Tonne 1 m außerhalb des Hauses neben dieser Wand.
Mit x = 2 steht sie genau vor der Mitte dieser Giebelwand, senkrecht unter der Verlängerung des Firsts.
c) „im Inneren“: drei Bedingungen, und unter einem Satteldach ist die Höhengrenze nicht überall gleich.
P liegt im Inneren, wenn 0 ≤ x ≤ 4 und 0 ≤ y ≤ 5 gilt und z zwischen 0 und der Dachhöhe an dieser Stelle liegt. x = 3,5 und y = 1 erfüllen die ersten beiden Bedingungen.
Bei x = 3,5 liegt P unter der vorderen Dachfläche zwischen der Kante FG (x = 4, Höhe 2,5 m) und dem First (x = 2, Höhe 4 m). Das Dach steigt auf 2 m waagerecht um 1,5 m, also um 0,75 m pro Meter.
Dachhöhe bei x = 3,5: 2,5 + 0,75 · 0,5 = 2,875.
Wegen 0 ≤ 2,8 ≤ 2,875 liegt P im Inneren, knapp 8 cm unter dem Dach.
3.3Drohne über dem Spielfeld
Bei einem Fußballspiel filmt eine Drohne. Das Spielfeld ist 105 m lang und 68 m breit. Der Ursprung liegt im Anstoßpunkt in der Mitte des Spielfelds; die x-Achse verläuft parallel zu den langen Seitenlinien, die y-Achse entlang der Mittellinie, die z-Achse senkrecht nach oben. Eine Einheit ist 1 m.
a) Gib die Koordinaten der vier Eckpunkte des Spielfelds an.
Hilfe 1
Wie weit ist es vom Anstoßpunkt bis zur Torlinie und bis zur Seitenlinie?
Hilfe 2
Zwei der Ecken haben eine negative x-Koordinate.
b) Die Drohne befindet sich im Punkt D(−20 | 15 | 25). Beschreibe ihre Lage in Bezug auf das Spielfeld.
Hilfe 1
Was bedeutet die z-Koordinate? Was bedeuten x und y für den Punkt auf dem Rasen darunter?
Hilfe 2
Wie weit ist der Punkt (−20 | 15 | 0) von der Mittellinie entfernt?
c) Die Drohne darf nur senkrecht über dem Spielfeld fliegen und höchstens 30 m hoch. Gib an, welche Bedingungen ihre Koordinaten dann erfüllen.
Hilfe 1
Geh die Koordinaten einzeln durch: Zwischen welchen Grenzen darf jede liegen?
Hilfe 2
„senkrecht über dem Spielfeld“ betrifft x und y; die Höhe betrifft nur z.
d) Eine Zeit lang fliegt die Drohne so, dass ihre x-Koordinate stets 0 ist. Beschreibe, wo sie sich in dieser Zeit aufhält.
Hilfe 1
Welche Koordinatenebene besteht aus allen Punkten mit x = 0?
Hilfe 2
Wo liegen auf dem Rasen alle Punkte mit x = 0?
Lösung zeigen
a) Ursprung in der Mitte: Die Eckpunkte liegen symmetrisch um ihn herum.
Die Eckpunkte liegen auf dem Boden, in x-Richtung 52,5 m und in y-Richtung 34 m vom Ursprung entfernt:
b) Lage beschreiben: Höhe und den Punkt auf dem Rasen darunter getrennt in Worte fassen.
Die Drohne fliegt 25 m hoch. Senkrecht unter ihr liegt der Punkt (−20 | 15 | 0) auf dem Rasen.
Er liegt in der Spielfeldhälfte mit negativem x, 20 m von der Mittellinie entfernt, und 15 m seitlich der Linie durch den Anstoßpunkt, die parallel zu den Seitenlinien verläuft (auf der Seite mit positivem y). D liegt im Oktanten mit x < 0, y > 0 und z > 0 (in der üblichen Nummerierung Oktant II).
c) Ein erlaubter Bereich im Raum: für jede Koordinate ein Intervall.
−52,5 ≤ x ≤ 52,5 und −34 ≤ y ≤ 34, damit die Drohne senkrecht über dem Spielfeld ist,
0 < z ≤ 30: Die Drohne fliegt, also z > 0, und höchstens 30 m hoch.
d) Eine Koordinate fest, zwei frei: eine Ebene, die im Sachzusammenhang benannt werden soll.
x = 0 heißt: Die Drohne bleibt in der y-z-Ebene, der senkrechten Ebene durch die Mittellinie.
Sie fliegt also immer genau über der Mittellinie oder deren Verlängerung, in beliebiger Höhe.
3.4Hochregal
Ein Hochregal in einer Lagerhalle besteht aus Fächern, die jeweils 1,2 m breit, 1 m tief und 1,5 m hoch sind. Die Fächer stehen nebeneinander in den Spalten 1, 2, 3, … und übereinander in den Ebenen 1, 2, 3, …; Ebene 1 steht auf dem Hallenboden. Der Ursprung liegt an der vorderen unteren Ecke des Fachs in Spalte 1, Ebene 1. Die x-Achse zeigt in die Tiefe des Regals, die y-Achse entlang der Spalten, die z-Achse nach oben; eine Einheit ist 1 m. Die Dicke von Böden und Trennwänden wird vernachlässigt.
a) Ein Paket soll genau auf die Mitte des Bodens des Fachs in Spalte 4, Ebene 3 gestellt werden. Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
Hilfe 1
Wie viele volle Fächer liegen neben Spalte 4 auf der Seite des Ursprungs, und wie viele unter Ebene 3?
Hilfe 2
Mitte des Bodens: in x und y die Mitte des Fachs, in z die Höhe seines Bodens.
b) Ein Scanner meldet ein Paket, dessen Unterseite im Punkt (0,5 | 7,8 | 4,5) liegt. Ermittle, in welchem Fach das Paket steht.
Hilfe 1
Wie viele volle Fachbreiten passen in 7,8 m?
Hilfe 2
Liegt z = 4,5 auf einer Grenze zwischen zwei Ebenen? Worauf steht ein Paket?
c) Beschreibe, wo im Regal alle Punkte mit y = 6 liegen.
Hilfe 1
Welche Koordinate ist fest, welche sind frei?
Hilfe 2
Wie viele Fachbreiten sind 6 m?
Lösung zeigen
a) Gezählt wird ab 1, gemessen ab 0: Vor Spalte 4 liegen nur drei Spalten.
Spalte 4 reicht von y = 3 · 1,2 = 3,6 bis y = 4 · 1,2 = 4,8; ihre Mitte liegt bei y = 4,2.
Der Boden von Ebene 3 liegt über zwei vollen Ebenen: z = 2 · 1,5 = 3. In der Tiefe liegt die Mitte bei x = 0,5.
Das Paket steht im Punkt (0,5 | 4,2 | 3).
b) Rückwärts: aus Koordinaten die Nummer des Fachs; an einer Grenze entscheidet die Sache.
y = 7,8 liegt zwischen 6 · 1,2 = 7,2 und 7 · 1,2 = 8,4, also in Spalte 7.
z = 4,5 = 3 · 1,5 ist die Höhe des Bodens von Ebene 4. Ein Paket mit der Unterseite in dieser Höhe steht auf diesem Boden, also im Fach in Spalte 7, Ebene 4.
c) Eine feste Koordinate beschreibt eine Ebene; im Regal ist das ein bestimmtes Bauteil.
Alle Punkte mit y = 6 bilden eine senkrechte Ebene parallel zur x-z-Ebene.
Wegen 6 = 5 · 1,2 ist das im Regal die Trennwand zwischen Spalte 5 und Spalte 6, über alle Ebenen hinweg.
Klausuraufgabe
4.1Ausstellungspavillon
Ein Ausstellungspavillon besteht aus einem Quader mit quadratischer Grundfläche ABCD und einem aufgesetzten Pyramidendach mit der Spitze S. Die Grundfläche liegt in der x-y-Ebene, der Ursprung in ihrer Mitte; eine Einheit ist 1 m. Gegeben sind A(4 | −4 | 0) und S(0 | 0 | 6); die Wände sind 3 m hoch. Die Ecken E, F, G und H liegen senkrecht über A, B, C und D. Die Abbildung zeigt den Pavillon im Schrägbild.
Abbildung
a) Gib die Koordinaten der Punkte C und G an.2 BE
Hilfe 1
Der Ursprung ist die Mitte der Grundfläche. Wo liegt die Ecke, die A gegenüberliegt?
Hilfe 2
G liegt senkrecht über C.
b) Gib an, welche Vorzeichen die Koordinaten aller Punkte haben, die im selben Oktanten liegen wie E, und begründe, dass die Spitze S in keinem Oktanten liegt.2 BE
Hilfe 1
Welche Koordinaten hat E?
Hilfe 2
Welche Koordinaten von S sind 0?
c) Berechne das Volumen des Pavillons.3 BE
Hilfe 1
Welche Seitenlänge hat die Grundfläche, wenn A bei (4 | −4 | 0) liegt und der Ursprung in der Mitte?
Hilfe 2
Wie hoch ist das Dach selbst, ohne die Wände?
Hilfe 3
Volumen einer Pyramide: ein Drittel mal Grundfläche mal Höhe.
d) Ein Fahnenmast steht außerhalb des Pavillons 2 m vor der Mitte der Wand ABFE senkrecht auf dem Boden; seine Spitze liegt 1 m höher als die Spitze S des Daches. Gib die Koordinaten des Fußpunkts U und der Spitze T des Mastes an und zeichne den Mast in die Abbildung ein.3 BE
Hilfe 1
Welche x-Koordinate haben alle Punkte der Wand ABFE?
Hilfe 2
„senkrecht auf dem Boden“: Was haben Fuß und Spitze gemeinsam?
Hilfe 3
Wie hoch ist die Spitze S, und wie hoch also der Mast?
e) Senkrecht über dem Bodenpunkt (0 | 2 | 0) soll im Inneren ein Strahler unter dem Dach befestigt werden. Ein Mitarbeiter schlägt den Punkt P(0 | 2 | 4,8) vor. Beurteile den Vorschlag und gib an, in welcher Höhe der Strahler höchstens hängen kann.4 BE
Hilfe 1
Liegt P im Inneren? Was ist an dieser Stelle die obere Grenze für z?
Hilfe 2
Schneide den Pavillon in Gedanken bei x = 0 senkrecht durch: Welche Figur bildet das Dach?
Hilfe 3
Wo trifft dieser Schnitt die obere Kante der Wand BCGF?
Lösung zeigen
a) Aus einer Ecke und der Lage des Ursprungs folgen alle anderen Ecken.
C liegt A gegenüber, und der Ursprung ist die Mitte: C(−4 | 4 | 0).
G liegt 3 m senkrecht über C: G(−4 | 4 | 3).
b) Ein Oktant ist durch die drei Vorzeichen festgelegt; keinen Oktanten gibt es, sobald eine Koordinate 0 ist.
E(4 | −4 | 3) hat x > 0, y < 0 und z > 0; diese Vorzeichen haben alle Punkte seines Oktanten (in der üblichen Nummerierung Oktant IV).
S hat x = 0 und y = 0 und liegt deshalb auf der z-Achse. Punkte mit einer Koordinate 0 liegen auf einer Koordinatenebene und gehören zu keinem Oktanten.
c) Zusammengesetzter Körper: Die Maße müssen erst aus den Koordinaten gewonnen werden.
Die Grundfläche ist 8 m × 8 m groß. Quader: 8 · 8 · 3 = 192, also 192 m³.
Das Dach ist eine Pyramide mit der Grundfläche 8 · 8 = 64 und der Höhe 6 − 3 = 3: V = 13 · 64 · 3 = 64, also 64 m³.
Der Pavillon hat ein Volumen von 256 m³.
d) Lagebeschreibung in Worten in Koordinaten übersetzen, dann zurück ins Bild.
Die Wand ABFE liegt in der Ebene x = 4, ihre Mitte über dem Punkt (4 | 0 | 0). 2 m davor: U(6 | 0 | 0), ein Punkt der x-Achse.
Die Spitze liegt senkrecht über U in 6 + 1 = 7 m Höhe: T(6 | 0 | 7).
Im Schrägbild liegt U auf der x-Achse bei 6; T liegt senkrecht darüber, 7 Einheiten der z-Achse höher.
e) „im Inneren unter dem Dach“: Die Grenze ist die Dachhöhe an genau dieser Stelle.
Im Schnitt bei x = 0 bildet das Dach ein Dreieck mit der Spitze S(0 | 0 | 6) und den Punkten (0 | 4 | 3) und (0 | −4 | 3); das sind die Mitten der Kanten FG und EH.
Von (0 | 4 | 3) bis S steigt das Dach auf 4 m waagerecht um 3 m, also um 0,75 m pro Meter. Bei y = 2 sind es 2 m vom Rand: Dachhöhe 3 + 0,75 · 2 = 4,5.
P liegt mit 4,8 m über dem Dach, also außerhalb des Pavillons. Der Vorschlag ist nicht umsetzbar.
Der Strahler kann über (0 | 2 | 0) höchstens 4,5 m hoch hängen, abzüglich seiner eigenen Größe.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Vektoren“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.