Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Funktion f ordnet jedem x genau ein y zu. Die Umkehrfunktion f⁻¹ geht den Weg rückwärts: Sie ordnet jedem y das x zu, aus dem es entstanden ist. Gilt f(2) = 5, dann gilt f⁻¹(5) = 2. Das klappt nur, wenn zu jedem y genau ein x gehört.
✎ Mini-Aufgabe: Die Funktion f mit f(x) = x² hat an einer Stelle den Wert 4. Von welchem x kommt er? Warum hat f auf ganz ℝ keine Umkehrfunktion?
Lösung zeigen
Von x = 2 und von x = −2. Eine Umkehrfunktion müsste der 4 zwei Werte zuordnen; das ist keine Funktion mehr.
2. Die Umkehrfunktion aufstellen
Schreibe y = f(x).
Löse die Gleichung nach x auf.
Vertausche x und y. Das Ergebnis ist f⁻¹(x).
Probe: f(f⁻¹(x)) = x.
Beispiel 1: f(x) = 3x − 6
y = 3x − 6 ⇔ y + 6 = 3x ⇔ x = y3 + 2
x und y tauschen: f⁻¹(x) = x3 + 2
Probe: f(f⁻¹(x)) = 3 · (x3 + 2) − 6 = x + 6 − 6 = x
Beispiel 2: f(x) = √(x − 1) + 2 für x ≥ 1
Wertemenge: √(x − 1) ≥ 0, also y ≥ 2. W(f) = [2; ∞[
y − 2 = √(x − 1) ⇔ (y − 2)² = x − 1 ⇔ x = (y − 2)² + 1
f⁻¹(x) = (x − 2)² + 1 für x ≥ 2
Ohne „für x ≥ 2“ wäre der Graph von f⁻¹ eine ganze Parabel. Die Definitionsmenge der Umkehrfunktion ist die Wertemenge von f; sie gehört zur Antwort.
3. Wann es eine Umkehrfunktion gibt
f ist umkehrbar, wenn kein y-Wert zweimal vorkommt. Das ist sicher, wenn f streng monoton ist, also im ganzen Bereich steigt oder im ganzen Bereich fällt. Nachweis mit der Ableitung: f′(x) > 0 für alle x des Bereichs (oder f′(x) < 0). Einzelne Nullstellen von f′ ohne Vorzeichenwechsel stören nicht.
f streng monoton auf D ⇒ f ist auf D umkehrbar
Eine Parabel steigt nicht überall. Du schränkst die Definitionsmenge auf einen Ast ein, links oder rechts vom Scheitel. Für ein „nicht umkehrbar“ reicht ein Beispiel: zwei x mit demselben y.
✎ Mini-Aufgabe: Auf welchen möglichst großen Intervallen ist f mit f(x) = (x − 3)² umkehrbar?
Lösung zeigen
Auf [3; ∞[ (rechter Ast, steigend) oder auf ]−∞; 3] (linker Ast, fallend). Die Grenze ist der Scheitel bei x = 3.
4. Der Graph der Umkehrfunktion
Aus dem Punkt (a | b) auf dem Graphen von f wird der Punkt (b | a) auf dem Graphen von f⁻¹. Das ist eine Spiegelung an der Geraden y = x. Damit tauschen auch Definitionsmenge und Wertemenge:
D(f⁻¹) = W(f) W(f⁻¹) = D(f)
Der Graph von f(x) = √x und der Graph der Umkehrfunktion f⁻¹(x) = x² für x ≥ 0 liegen spiegelbildlich zur Geraden y = x. Aus P(4 | 2) wird P′(2 | 4).
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Umkehrfunktion von f mit f(x) = 1x für x ≠ 0. Was fällt auf, und was heißt das für den Graphen?
Lösung zeigen
y = 1x ⇔ x = 1y, also f⁻¹(x) = 1x. f ist ihre eigene Umkehrfunktion; der Graph ist symmetrisch zur Geraden y = x.
✎ Mini-Aufgabe: f(x) = √x + 1. Gib die Definitionsmenge von f⁻¹ an, ohne f⁻¹ auszurechnen.
Lösung zeigen
Weil √x ≥ 0 ist, gilt W(f) = [1; ∞[. Also D(f⁻¹) = [1; ∞[.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Bestimme die Umkehrfunktion, einen Term von f⁻¹
nach x auflösen, x und y tauschen
Definitionsmenge von f⁻¹ mit angeben
Ist f umkehrbar? Begründe.
strenge Monotonie im ganzen Bereich
Für „nein“ reichen zwei x mit demselben y.
Schränke den Definitionsbereich so ein, dass …
einen Bereich wählen, auf dem f nur steigt oder nur fällt
Die Grenze liegt am Scheitel oder an der Extremstelle.
zu jedem Betrag, jeder Größe … berechnen
Umkehrung im Sachzusammenhang: Eingabe und Ausgabe tauschen
Größen behalten ihre Namen und Einheiten.
Wie viel braucht man, damit … erreicht wird?
f(x) = Wert lösen oder f⁻¹ an der Stelle
Bei „mindestens“ und „höchstens“: Steigt f oder fällt f?
Zeichne den Graphen von f⁻¹ ein.
Spiegelung an y = x
Punkte tauschen: (a | b) wird (b | a).
6. Was nirgends steht
Die Definitionsmenge von f⁻¹ ist die Wertemenge von f. Bei Wurzeltermen ist sie fast immer eingeschränkt.
Beim Wurzelziehen entscheidet der Bereich: Ist x ≥ 2 vorgegeben, gilt x − 2 = +√…, nicht ±.
f⁻¹(x) ist nicht 1f(x). Das hochgestellte −1 heißt hier „umkehren“, nicht „Kehrwert“.
Im Sachzusammenhang tauschst du die Buchstaben nicht. Aus s(t) wird t(s): Die Größen behalten Namen und Einheit, nur Eingabe und Ausgabe tauschen die Rollen.
Ein Modell gilt nur in seinem Bereich. Werte der Umkehrfunktion außerhalb davon, etwa eine negative Zeit oder eine negative Anzahl, haben keine Bedeutung.
7. Ein Beispiel aus dem Sachzusammenhang
Ein Stein fällt in einen Brunnen. Nach t Sekunden ist er s(t) = 5t² Meter gefallen (t ≥ 0). Gesucht ist ein Term, der zu jeder Falltiefe die Fallzeit liefert, und die Fallzeit für 45 m.
Was ist gefragt? Die Zeit zu einer Tiefe, also die Umkehrung von s: t(s). Danach der Wert t(45).
Was steht nicht da? Eine Zeit ist nie negativ. Von den beiden Lösungen beim Wurzelziehen bleibt nur die positive.
Rechnen s = 5t² ⇔ t² = s5 ⇔ t = √(s5), weil t ≥ 0. Also t(s) = √(0,2s) für s ≥ 0, und t(45) = √9 = 3.
Antwortsatz Die Fallzeit zur Tiefe s ist t(s) = √(0,2s) Sekunden. Für 45 m braucht der Stein 3 Sekunden.
Prüfen s(3) = 5 · 9 = 45. Das passt, und tiefer heißt länger: t wächst mit s.
8. Typische Fehler
Nur x und y getauscht, aber nicht aufgelöst, oder nur aufgelöst und nicht getauscht. Beide Schritte gehören dazu.
f⁻¹(x) = 1f(x) geschrieben.
Die Definitionsmenge von f⁻¹ vergessen. Bei Wurzeln hat der Graph dann einen Ast zu viel.
± stehen gelassen, obwohl der Bereich einen Ast festlegt.
Eine Parabel ohne Einschränkung für umkehrbar erklärt.
Rechnen
2.1Lineare Funktionen
Bestimme jeweils einen Term der Umkehrfunktion.
a) f(x) = 4x − 2
Hilfe 1
Schreibe y = 4x − 2 und löse nach x auf.
Hilfe 2
Danach tauschst du die Buchstaben x und y.
b) f(x) = −0,5x + 3
Hilfe 1
Bringe den Summanden ohne x auf die andere Seite.
Hilfe 2
Durch −0,5 teilen heißt mit −2 malnehmen.
Lösung zeigen
a) „Umkehrfunktion“: nach x auflösen, dann x und y tauschen.
y = 4x − 2 ⇔ x = y + 24
f⁻¹(x) = 0,25x + 0,5
b) Wie a), mit negativer Steigung.
y = −0,5x + 3 ⇔ 0,5x = 3 − y ⇔ x = 6 − 2y
f⁻¹(x) = −2x + 6
2.2Wurzelfunktion
Gegeben ist f mit f(x) = √(x + 3) − 1 für x ≥ −3. Bestimme einen Term der Umkehrfunktion und ihre Definitionsmenge.
Hilfe 1
Welche Werte kann √(x + 3) annehmen, und was folgt daraus für die Werte von f?
Hilfe 2
Isoliere die Wurzel und quadriere dann beide Seiten.
Lösung zeigen
Wurzelterm: Die Wertemenge von f wird zur Definitionsmenge von f⁻¹; sie steht nicht in der Aufgabe.
√(x + 3) ≥ 0, also W(f) = [−1; ∞[
y + 1 = √(x + 3) ⇔ (y + 1)² = x + 3 ⇔ x = (y + 1)² − 3
f⁻¹(x) = (x + 1)² − 3 mit D(f⁻¹) = [−1; ∞[
Probe: f⁻¹(2) = 6 und f(6) = √9 − 1 = 2
2.3Gebrochene Funktion
Gegeben ist f mit f(x) = 2x − 1 + 3 für x ≠ 1. Bestimme einen Term der Umkehrfunktion und ihre Definitionsmenge.
Hilfe 1
Bringe die 3 auf die andere Seite.
Hilfe 2
Steht x nur im Nenner, hilft es, auf beiden Seiten den Kehrwert zu bilden.
Hilfe 3
Welchen Wert nimmt 2x − 1 nie an?
Lösung zeigen
Bruchterm mit x im Nenner: erst den Bruch allein stellen, dann den Kehrwert beider Seiten.
y − 3 = 2x − 1 ⇔ x − 1 = 2y − 3 ⇔ x = 2y − 3 + 1
f⁻¹(x) = 2x − 3 + 1
2x − 1 ist nie 0, also nimmt f den Wert 3 nie an: D(f⁻¹) = ℝ \ {3}
2.4Funktion dritten Grades
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ + 3x − 1, x ∈ ℝ.
a) Zeige, dass f umkehrbar ist.
Hilfe 1
Woran erkennt man, dass kein y-Wert zweimal vorkommt?
Hilfe 2
Untersuche das Vorzeichen von f′.
b) Bestimme f⁻¹(3), ohne einen Term von f⁻¹ aufzustellen.
Hilfe 1
f⁻¹(3) ist die Zahl x, für die f(x) einen bestimmten Wert hat. Welchen?
Hilfe 2
Probiere kleine ganze Zahlen.
Lösung zeigen
a) „Zeigen, dass umkehrbar“: strenge Monotonie über das Vorzeichen von f′ nachweisen.
f′(x) = 3x² + 3. Weil x² ≥ 0 ist, gilt f′(x) ≥ 3 > 0 für alle x.
f ist also streng monoton steigend und damit umkehrbar.
b) f⁻¹(3) = x heißt f(x) = 3; nach x auflösen geht hier nicht, Probieren schon.
Gesucht ist x mit f(x) = 3, also x³ + 3x − 4 = 0.
f(1) = 1 + 3 − 1 = 3. Weil f umkehrbar ist, gibt es nur diese Lösung: f⁻¹(3) = 1.
2.5Parabelast
Gegeben ist f mit f(x) = x² − 4x + 1 für x ≥ 2. Die Scheitelpunktform lautet f(x) = (x − 2)² − 3. Bestimme einen Term der Umkehrfunktion und ihre Definitionsmenge.
Hilfe 1
Arbeite mit der Scheitelpunktform.
Hilfe 2
Nach dem Wurzelziehen: Welches Vorzeichen hat x − 2, wenn x ≥ 2 ist?
Lösung zeigen
Der Bereich x ≥ 2 legt den Ast fest: Beim Wurzelziehen bleibt nur das Pluszeichen.
y + 3 = (x − 2)² ⇔ x − 2 = √(y + 3), weil x − 2 ≥ 0
Von einer Funktion f ist die Umkehrfunktion bekannt: f⁻¹(x) = (x − 1)² für x ≥ 1.
a) Bestimme einen Term von f und die Definitionsmenge von f.
Hilfe 1
Welche Funktion ist die Umkehrfunktion von f⁻¹?
Hilfe 2
Wende das Verfahren auf f⁻¹ an.
b) Zeige, dass f(f⁻¹(5)) = 5 gilt.
Hilfe 1
Rechne von innen nach außen.
Lösung zeigen
a) Die Umkehrfunktion der Umkehrfunktion ist f; dasselbe Verfahren, nur von der anderen Seite.
y = (x − 1)² ⇔ x − 1 = √y, weil x ≥ 1 ⇔ x = √y + 1
f(x) = √x + 1
D(f) = W(f⁻¹) = [0; ∞[, weil (x − 1)² ≥ 0
b) Verkettung: erst f⁻¹(5), dann f davon.
f⁻¹(5) = 16, f(16) = √16 + 1 = 5
2.7Graph von f
Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = 2√x für x ≥ 0 und die Gerade y = x.
Abbildung
a) Bestimme mithilfe der Abbildung f⁻¹(2) und f⁻¹(6).
Hilfe 1
f⁻¹(2) ist eine x-Koordinate. Zu welchem y-Wert gehört sie?
Hilfe 2
Gehe auf der y-Achse zu 2 und von dort waagerecht zum Graphen.
b) Zeichne den Graphen von f⁻¹ in die Abbildung ein.
Hilfe 1
Spiegle einzelne Punkte des Graphen an der Geraden y = x.
Hilfe 2
Aus (1 | 2) wird (2 | 1).
c) Begründe, dass sich die Graphen von f und f⁻¹ in den Punkten (0 | 0) und (4 | 4) schneiden.
Hilfe 1
Liegen die beiden Punkte auf dem Graphen von f?
Hilfe 2
Was passiert bei der Spiegelung an y = x mit einem Punkt, der auf dieser Geraden liegt?
Lösung zeigen
a) Wert der Umkehrfunktion am Graphen von f: vom y-Wert aus waagerecht zum Graphen, dann senkrecht zur x-Achse.
f hat den Wert 2 bei x = 1, denn f(1) = 2. Also f⁻¹(2) = 1.
f hat den Wert 6 bei x = 9, denn f(9) = 2 · 3 = 6. Also f⁻¹(6) = 9.
b) Graph der Umkehrfunktion: Spiegelung an y = x, Punkt für Punkt.
Punkte spiegeln: (0 | 0) bleibt, (1 | 2) wird (2 | 1), (4 | 4) bleibt, (9 | 6) wird (6 | 9).
Der Graph von f⁻¹ ist ein Parabelast, der im Ursprung beginnt und nur für x ≥ 0 gezeichnet wird.
c) Punkte auf der Spiegelachse y = x bleiben beim Spiegeln, wo sie sind.
f(0) = 0 und f(4) = 2 · 2 = 4: Beide Punkte liegen auf dem Graphen von f und auf der Geraden y = x.
Ein Punkt auf y = x bleibt bei der Spiegelung an y = x an seinem Platz. Also liegen beide Punkte auch auf dem Graphen von f⁻¹.
2.8Geradenschar
Für a ≠ 0 ist die Funktion fa mit fa(x) = ax + 2 gegeben.
a) Bestimme einen Term der Umkehrfunktion von fa.
Hilfe 1
Behandle a wie eine Zahl.
Hilfe 2
Teilen durch a ist erlaubt, weil a ≠ 0.
b) Bestimme a so, dass fa ihre eigene Umkehrfunktion ist, und beschreibe, was das für die Lage des Graphen bedeutet.
Hilfe 1
Setze die Terme von fa und fa⁻¹ gleich.
Hilfe 2
Zwei lineare Terme sind gleich, wenn Steigung und y-Achsenabschnitt übereinstimmen.
Hilfe 3
Was geschieht mit einem Graphen, der bei der Spiegelung an y = x auf sich selbst fällt?
Lösung zeigen
a) Parameter wie eine Zahl behandeln; das Verfahren bleibt gleich.
y = ax + 2 ⇔ x = y − 2a
fa⁻¹(x) = x − 2a = xa − 2a
b) „eigene Umkehrfunktion“: Terme gleichsetzen, Koeffizienten vergleichen.
Vergleich der Steigungen: a = 1a, also a = 1 oder a = −1.
Vergleich der Achsenabschnitte: 2 = −2a, also a = −1.
Für a = −1 ist f_(−1)(x) = −x + 2 ihre eigene Umkehrfunktion.
Der Graph ist symmetrisch zur Geraden y = x: Er steht senkrecht auf ihr und fällt bei der Spiegelung auf sich selbst.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) P(m) gibt den Preis eines Handytarifs in Euro für m Gesprächsminuten im Monat an. Wie viele Minuten kann man für 15 € telefonieren? (2) A(r) = πr² gibt die Fläche eines kreisrunden Teichs in m² zu seinem Radius r in m an. Ein Gartenbauer möchte zu jeder gewünschten Teichfläche den Radius berechnen. (3) T(t) gibt die Temperatur in einem Backofen t Minuten nach dem Einschalten an. Wie heiß ist der Ofen nach 5 Minuten?
Hilfe 1
Frage bei jeder Frage: Was ist gegeben, die Eingabe oder die Ausgabe der Funktion?
Hilfe 2
Ist die Ausgabe gegeben und die Eingabe gesucht, wird umgekehrt.
Hilfe 3
Bei (2): Welche Werte darf ein Radius haben?
b) Ein Spielzeughersteller fertigt Würfel aus Buchenholz. Ein Würfel mit der Kantenlänge a in cm hat die Masse m(a) = 0,6a³ in Gramm. Bei der Kontrolle soll aus der Masse eines Würfels seine Kantenlänge berechnet werden. Gib dafür einen Term an und bestimme die Kantenlänge eines Würfels mit 75 g. Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … zu einer gegebenen … 2. Was nicht dasteht: Eine Kantenlänge ist … 3. Rechnen: m = 0,6a³ ⇔ a³ = … ⇔ a = …; a(75) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Was ist bei der Kontrolle bekannt, was soll herauskommen?
Hilfe 2
Löse m = 0,6a³ nach a auf.
Hilfe 3
Teilen durch 0,6 ist dasselbe wie mal 53.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen: einmal ein Wert rückwärts, einmal eine ganze Umkehrfunktion, einmal ein gewöhnlicher Funktionswert.
(1) Gesucht ist die Minutenzahl m mit P(m) = 15. Ansatz: P(m) = 15 nach m lösen; das ist der Wert der Umkehrfunktion an der Stelle 15.
(2) Gesucht ist die Umkehrung von A, also r(A). Ansatz: A = πr² nach r auflösen; nur die positive Wurzel, r(A) = √(Aπ).
(3) Gesucht ist ein Funktionswert, T(5). Hier wird nichts umgekehrt.
b) Masse gegeben, Kantenlänge gesucht: Die Rollen von Eingabe und Ausgabe tauschen.
1. Gefragt ist die Kantenlänge zu einer gegebenen Masse, also die Umkehrung von m: a(m).
2. Eine Kantenlänge ist positiv.
3. m = 0,6a³ ⇔ a³ = m0,6 = 5m3 ⇔ a = ∛(5m3); a(75) = ∛125 = 5
4. Die Kantenlänge zur Masse m ist a(m) = ∛(5m3) cm. Ein Würfel mit 75 g hat 5 cm Kantenlänge.
5. m(5) = 0,6 · 125 = 75. Das passt.
3.2Aussichtsturm
Von einem erhöhten Punkt aus reicht der Blick bei klarer Sicht bis zum Horizont. Die Sichtweite d in km hängt von der Augenhöhe h in m über dem umliegenden Gelände ab; im Modell gilt d(h) = 3,57 · √h für h ≥ 0.
a) Berechne die Sichtweite bei einer Augenhöhe von 25 m.
Hilfe 1
Setze die Augenhöhe ein.
b) Bestimme einen Term, der zu einer gewünschten Sichtweite die nötige Augenhöhe angibt, und gib an, für welche Sichtweiten er gilt.
Hilfe 1
Welche Größe ist jetzt gegeben, welche gesucht?
Hilfe 2
Teile zuerst durch 3,57 und quadriere dann.
c) Eine Gemeinde plant einen Aussichtsturm. Von der Plattform aus soll man bei klarer Sicht 30 km weit sehen. Die Augen eines Erwachsenen sind etwa 1,60 m über dem Boden der Plattform. Ermittle, wie hoch die Plattform mindestens sein muss.
Hilfe 1
Berechne die nötige Augenhöhe mit dem Term aus b).
Hilfe 2
Ist die Augenhöhe dasselbe wie die Höhe der Plattform?
d) Im Prospekt eines Turms steht: „Doppelt so hoch heißt doppelt so weit sehen.“ Beurteile die Aussage und gib an, wie sich die Augenhöhe ändern muss, damit sich die Sichtweite verdoppelt.
Hilfe 1
Vergleiche d(2h) mit d(h).
Hilfe 2
Für die zweite Frage: Vergleiche h(2d) mit h(d).
Lösung zeigen
a) Augenhöhe gegeben, Sichtweite gesucht: einsetzen.
d(25) = 3,57 · 5 = 17,85. Bei 25 m Augenhöhe sieht man rund 17,9 km weit.
b) Sichtweite gegeben, Augenhöhe gesucht: d(h) nach h auflösen; die Größen behalten ihre Namen.
d = 3,57 · √h ⇔ √h = d3,57 ⇔ h = (d3,57)²
h(d) = (d3,57)² für d ≥ 0, weil d(h) ≥ 0 ist.
c) Die Rechnung liefert die Augenhöhe; gefragt ist die Plattformhöhe.
h(30) = (303,57)² ≈ 70,62
Die Augen sind 1,60 m über der Plattform: 70,62 − 1,60 = 69,02.
Die Plattform muss mindestens etwa 69,02 m hoch sein.
d) Eine Proportionalitätsbehauptung an der Wurzel prüfen; die Umkehrung beantwortet die zweite Frage.
d(2h) = 3,57 · √2 · √h = √2 · d(h) ≈ 1,41 · d(h). Bei doppelter Höhe sieht man nur etwa 1,41-mal so weit; die Aussage ist falsch.
h(2d) = (2d3,57)² = 4 · h(d). Für die doppelte Sichtweite braucht man die vierfache Augenhöhe.
3.3Akku laden
Ein Akku wird ab dem Ladestand 0 % geladen. Im Modell ist der Ladestand nach t Minuten L(t) = 100 − 2000t + 20 in Prozent (t ≥ 0). Das Material zeigt den Graphen von L.
Material
a) Ermittle mithilfe des Materials, nach wie vielen Minuten der Akku zu 80 % geladen ist, und bestätige deinen Wert durch eine Rechnung.
Hilfe 1
Geh auf der senkrechten Achse zu 80 %.
Hilfe 2
Setze deinen abgelesenen Wert in L ein.
b) Bestimme einen Term t(L), der zu einem Ladestand L in Prozent die Ladezeit in Minuten angibt.
Hilfe 1
Stelle den Bruch allein.
Hilfe 2
Steht t nur im Nenner, hilft der Kehrwert beider Seiten.
c) Ermittle, wie lange das Laden von 50 % auf 80 % dauert.
Hilfe 1
Zu welchen Zeitpunkten hat der Akku 50 % und 80 %?
Hilfe 2
Eine Dauer ist eine Differenz zweier Zeitpunkte.
d) Ein Kunde will mit dem Term aus b) ausrechnen, wann der Akku voll ist. Beurteile das und gib an, für welche Ladestände der Term aus b) gilt.
Hilfe 1
Setze L = 100 in den Term ein.
Hilfe 2
Welche Werte nimmt 2000t + 20 für t ≥ 0 an?
Lösung zeigen
a) Ladestand gegeben, Zeit gesucht: am Graphen rückwärts lesen.
Abgelesen etwa 80 Minuten (Werte von 75 bis 85 sind in Ordnung).
L(80) = 100 − 2000100 = 80. Nach 80 Minuten ist der Akku zu 80 % geladen.
b) Ladestand gegeben, Zeit gesucht: L(t) nach t auflösen.
L = 100 − 2000t + 20 ⇔ 2000t + 20 = 100 − L ⇔ t + 20 = 2000100 − L
t(L) = 2000100 − L − 20
c) Eine Dauer zwischen zwei Ladeständen: zwei Werte von t(L), dann die Differenz.
t(80) = 200020 − 20 = 80
t(50) = 20
Von 50 % auf 80 % dauert es 80 − 20 = 60 Minuten.
d) Die Definitionsmenge der Umkehrung ist die Wertemenge von L; 100 % gehört nicht dazu.
t(100) ist nicht definiert, weil der Nenner 100 − L dann 0 ist.
2000t + 20 ist für jedes t ≥ 0 positiv, also ist L(t) < 100: Im Modell wird der Akku nie ganz voll.
Die Wertemenge von L ist [0; 100[. Der Term aus b) gilt für 0 ≤ L < 100. Die Frage des Kunden lässt sich mit diesem Modell nicht beantworten.
3.4Wasserrakete
In einer Projektwoche starten Schülerinnen und Schüler eine Wasserrakete senkrecht nach oben. Ihre Höhe über dem Startplatz beschreibt h(t) = −5t² + 20t. Dabei ist t die Zeit in Sekunden nach dem Start und h(t) die Höhe in m (0 ≤ t ≤ 4).
a) Ein Schüler möchte eine Funktion, die zu jeder Höhe den Zeitpunkt angibt, für den ganzen Flug. Beurteile, ob das möglich ist.
Hilfe 1
Wie oft ist die Rakete in 15 m Höhe?
Hilfe 2
Wann steigt die Rakete, wann fällt sie?
b) Bestimme für die Steigphase einen Term t(y), der zur Höhe y in m den Zeitpunkt angibt, und gib seine Definitionsmenge an.
Hilfe 1
Schreibe h in Scheitelpunktform.
Hilfe 2
In der Steigphase ist t ≤ 2. Welches Vorzeichen hat dann t − 2?
c) Eine Kamera an Bord löst aus, wenn die Rakete auf dem Weg nach oben 10 m Höhe erreicht. Berechne den Zeitpunkt.
Hilfe 1
Welcher Term aus b) passt zu „auf dem Weg nach oben“?
Lösung zeigen
a) Eine Funktion, die zu jeder Höhe den Zeitpunkt gibt, ist die Umkehrfunktion von h; ein Gegenbeispiel genügt für „nein“.
Nicht möglich: h(1) = h(3) = 15. Zur Höhe 15 m gehören zwei Zeitpunkte, also ist h auf [0; 4] nicht umkehrbar.
Umkehrbar ist h nur dort, wo die Rakete nur steigt (0 ≤ t ≤ 2) oder nur fällt (2 ≤ t ≤ 4).
b) Parabelast: Scheitelform, Wurzel ziehen, das Vorzeichen aus dem Bereich wählen.
h(t) = −5 · (t − 2)² + 20, Scheitel bei t = 2, Höchststand 20 m
y = −5(t − 2)² + 20 ⇔ (t − 2)² = 4 − 0,2y ⇔ t − 2 = −√(4 − 0,2y), weil t ≤ 2
t(y) = 2 − √(4 − 0,2y) mit D = [0; 20]
c) „auf dem Weg nach oben“ wählt die Steigphase, also den Term aus b).
t(10) = 2 − √(4 − 2) = 2 − √2 ≈ 0,59
Die Kamera löst etwa 0,59 Sekunden nach dem Start aus.
Klausuraufgabe
4.1Abizeitung
Eine Jahrgangsstufe lässt ihre Abizeitung drucken. Die Druckerei berechnet einmalig 450 € für die Vorbereitung und 3 € je Heft. Die Kosten pro Heft in Euro beschreibt k(n) = 3 + 450n; dabei ist n die Zahl der bestellten Hefte (20 ≤ n ≤ 200). Die Abbildung zeigt den Graphen von k.
Abbildung
a) Ermittle mithilfe der Abbildung, wie viele Hefte bestellt werden müssen, damit ein Heft 12 € kostet, und bestätige deinen Wert rechnerisch.2 BE
Hilfe 1
Gehe auf der senkrechten Achse zu 12 € und waagerecht zum Graphen.
Hilfe 2
Setze den abgelesenen Wert in k ein.
b) Begründe, dass k umkehrbar ist, und bestimme einen Term der Umkehrfunktion k⁻¹.3 BE
Hilfe 1
Woran erkennst du, dass jeder Preis nur bei einer Heftzahl vorkommt?
Hilfe 2
Stelle den Bruch allein und bilde den Kehrwert.
c) Gib die Definitionsmenge von k⁻¹ an und erläutere, was k⁻¹ im Sachzusammenhang angibt.2 BE
Hilfe 1
Die Definitionsmenge von k⁻¹ ist die Wertemenge von k.
Hilfe 2
Was gibt man bei k⁻¹ ein, was kommt heraus?
d) Die Stufe möchte höchstens 7 € pro Heft bezahlen. Ermittle, wie viele Hefte sie mindestens bestellen muss.3 BE
Hilfe 1
Bei welcher Heftzahl kostet ein Heft genau 7 €?
Hilfe 2
Werden die Hefte bei mehr oder bei weniger Bestellungen billiger?
Hilfe 3
Kann man einen Bruchteil eines Heftes bestellen?
e) Ein Schüler sagt: „Wenn wir genug Hefte bestellen, kostet ein Heft nur 2,50 €.“ Beurteile die Aussage.2 BE
Hilfe 1
Kann 450n negativ werden?
Hilfe 2
Was liefert k⁻¹(2,5)?
f) Die Druckerei erhöht den Preis je Heft von 3 € auf 3,50 €; der Betrag für die Vorbereitung bleibt. Beschreibe, wie der Graph der neuen Umkehrfunktion aus dem Graphen von k⁻¹ hervorgeht.2 BE
Hilfe 1
Wie hängt die neue Kostenfunktion mit k zusammen?
Hilfe 2
Was wird aus einer Verschiebung nach oben, wenn man an y = x spiegelt?
Lösung zeigen
a) Preis gegeben, Anzahl gesucht: am Graphen rückwärts lesen.
Abgelesen etwa 50 Hefte (Werte von 45 bis 55 sind in Ordnung).
k(50) = 3 + 45050 = 3 + 9 = 12. Bei 50 Heften kostet ein Heft 12 €.
b) Umkehrbarkeit über strenge Monotonie, dann das Verfahren am Bruchterm.
k′(n) = −450n² < 0 für alle n im Bereich: k ist streng monoton fallend und damit umkehrbar.
y = 3 + 450n ⇔ y − 3 = 450n ⇔ n = 450y − 3
k⁻¹(p) = 450p − 3, p der Preis pro Heft in €; die Schreibweise k⁻¹(x) = 450x − 3 ist ebenso richtig.
c) Definitionsmenge der Umkehrfunktion aus den Randwerten von k; Rollen von Preis und Anzahl tauschen.
k(20) = 25,5 und k(200) = 5,25. Weil k fällt, ist W(k) = [5,25; 25,5] = D(k⁻¹).
k⁻¹ gibt zu einem Preis pro Heft zwischen 5,25 € und 25,50 € an, wie viele Hefte dafür bestellt werden müssen.
d) „höchstens 7 €“ bei fallender Funktion: die Grenze über k⁻¹(7), dann auf ganze Hefte aufrunden.
k⁻¹(7) = 4504 = 112,5
Weil k fällt, kostet ein Heft ab mehr als 112,5 Heften weniger als 7 €. Es gibt nur ganze Hefte, also n ≥ 113.
Die Stufe muss mindestens 113 Hefte bestellen; dann kostet ein Heft rund 6,98 €.
e) Eine Aussage über einen Wert, den k nie annimmt: Begründung über den Term oder über die Umkehrfunktion.
Die Aussage ist falsch. 450n ist für jedes n positiv, also kostet ein Heft immer mehr als 3 €; im Bereich bis 200 Hefte sogar mindestens 5,25 €.
Ebenso richtig: k⁻¹(2,5) = 450−0,5 = −900, eine negative Heftzahl. 2,50 € pro Heft sind nicht erreichbar.
f) Verschiebung des Graphen von k, übertragen durch die Spiegelung an y = x.
Neue Kostenfunktion: 3,5 + 450n = k(n) + 0,5. Ihr Graph ist der von k, um 0,5 nach oben verschoben.
Beim Spiegeln an y = x wird aus „nach oben“ „nach rechts“: Der Graph der neuen Umkehrfunktion 450p − 3,5 ist der Graph von k⁻¹, um 0,5 nach rechts verschoben.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Der Rest der Analysis“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.