Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Verschieben, Strecken und Spiegeln kennst du von der Parabel, vom Sinus und von der e-Funktion. Es ist jedes Mal dasselbe Prinzip: Aus einer bekannten Funktion f entsteht eine neue Funktion g, und die vier Parameter wirken bei jeder Funktionsklasse gleich, auch bei 1x und √x.
g(x) = a · f(b · (x − c)) + d
a: Streckung in y-Richtung mit dem Faktor |a|; bei a < 0 zusätzlich Spiegelung an der x-Achse.
b: Streckung in x-Richtung mit dem Faktor 1|b|; bei b < 0 zusätzlich Spiegelung an der y-Achse.
c: Verschiebung um c in x-Richtung (c > 0: nach rechts).
d: Verschiebung um d in y-Richtung (d > 0: nach oben).
Was in der Klammer bei x steht, wirkt umgekehrt: x − 2 schiebt nach rechts, der Faktor 2 bei x staucht auf die Hälfte.
✎ Mini-Aufgabe: Der Punkt P(1 | 3) liegt auf dem Graphen von f. Welcher Punkt liegt dann sicher auf dem Graphen von g mit g(x) = 2 · f(x − 2)?
Lösung zeigen
Q(3 | 6). Die Stelle rückt um 2 nach rechts, und g(3) = 2 · f(1) = 2 · 3 = 6.
2. Vom Term zum Graphen und zurück
Term → Graph. Lies die Parameter ab und wende sie in dieser Reihenfolge an: erst strecken und spiegeln (a und b), dann verschieben (c und d). Steht in der Klammer nicht b · (x − c), sondern etwa 2x − 6, klammerst du zuerst aus: 2x − 6 = 2 · (x − 3).
Beispiel: f(x) = √x und g(x) = −2√(x + 1) + 4
a = −2: Streckung mit dem Faktor 2 in y-Richtung und Spiegelung an der x-Achse. Der Graph fällt.
c = −1: Verschiebung um 1 nach links. d = 4: Verschiebung um 4 nach oben.
Der Startpunkt (0 | 0) von f wandert nach (−1 | 4). g ist nur für x ≥ −1 definiert.
Beschreibung oder Graph → Term. Schreib jede Veränderung als Parameter auf und setze ihn in die allgemeine Form ein. Prüfe danach mit einem Punkt, den du kennst.
✎ Mini-Aufgabe: Der Punkt P(4 | 5) liegt auf dem Graphen von f. An welcher Stelle hat g mit g(x) = f(2 · (x − 3)) den Funktionswert 5?
Lösung zeigen
Gesucht ist x mit 2 · (x − 3) = 4, also x = 5. Der Punkt wandert nach (5 | 5): erst auf die Hälfte gestaucht (Stelle 2), dann um 3 nach rechts (Stelle 5).
3. Symmetrie begründen
Achsensymmetrisch zur y-Achse heißt: f(−x) = f(x) für alle x. Punktsymmetrisch zum Ursprung heißt: f(−x) = −f(x) für alle x. Was davon nach einer Transformation übrig bleibt, begründest du am Term, ohne zu zeichnen.
Strecken und Spiegeln (a, b) erhält die Symmetrie. Ist f gerade, gilt g(−x) = a · f(−bx) = a · f(bx) = g(x).
Verschiebung um d: Achsensymmetrie zur y-Achse bleibt. Aus Punktsymmetrie zum Ursprung wird Punktsymmetrie zu (0 | d).
Verschiebung um c: Die Symmetrieachse wandert nach x = c, das Symmetriezentrum nach (c | d).
achsensymmetrisch zu x = c: g(c + h) = g(c − h)
punktsymmetrisch zu (c | d): g(c + h) − d = −(g(c − h) − d)
✎ Mini-Aufgabe: f(x) = x² ist gerade. Ist g(x) = (x − 2)² auch gerade? Vergleiche g(−1) und g(1).
Lösung zeigen
Nein: g(−1) = 9, aber g(1) = 1. Der Graph von g ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 2, nicht zur y-Achse.
✎ Mini-Aufgabe: f(x) = x⁴ − 2x² ist gerade. Welche Symmetrie hat der Graph von f′?
Lösung zeigen
f′(x) = 4x³ − 4x enthält nur ungerade Potenzen, also gilt f′(−x) = −f′(x): Der Graph von f′ ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das gilt für jede gerade Funktion, denn die Steigung links ist das Negative der Steigung rechts.
Oben: f(x) = x³ − 3x und g(x) = f(x − 2) + 1. Das Symmetriezentrum wandert von (0 | 0) nach Z(2 | 1). Unten: f(x) = eˣ und g(x) = 2e−x − 1, also an der y-Achse gespiegelt, mit dem Faktor 2 gestreckt und um 1 nach unten verschoben. Die Asymptote wandert von y = 0 nach y = −1.
4. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
um 3 nach rechts verschoben, 3 Stunden später
f(x − 3)
Minus heißt rechts oder später.
um 2 nach oben verschoben, 2 Grad wärmer, 2 € mehr
f(x) + 2
Steigungen ändern sich nicht.
in y-Richtung mit dem Faktor 3 gestreckt, dreimal so viel
3 · f(x)
Nullstellen und Extremstellen bleiben.
in x-Richtung mit dem Faktor 2 gestreckt, halb so schnell
f(0,5 · x)
Faktor 2 außen wird 12 innen.
doppelt so schnell
f(2x)
Die Periode halbiert sich.
an der x-Achse gespiegelt
−f(x)
Hoch- und Tiefpunkte tauschen.
an der y-Achse gespiegelt
f(−x)
Der Schnittpunkt mit der y-Achse bleibt.
symmetrisch zur Geraden x = c
g(c + h) = g(c − h)
Nicht dasselbe wie g(−x) = g(x).
5. Was nirgends steht
Beim Verschieben wandert alles mit: Definitionsbereich (√x), Asymptoten (1x, eˣ), Extrempunkte, Symmetrieachse.
Steht in der Klammer 2x − 6, ist die Verschiebung 3 und nicht 6.
Die Periode einer Sinusfunktion steht nicht im Term. Sie ergibt sich aus b: p = 2πb.
Bei einer Sinusfunktion ist c nicht eindeutig: Eine Verschiebung um eine volle Periode liefert denselben Graphen.
Ein Sachmodell gilt nur in seinem Bereich. Startet ein Vorgang 4 Tage später, gibt es das verschobene Modell erst ab t = 4.
6. Ein Sachbeispiel
In Stadt A beschreibt A(t) = 6 · sin(π12 · (t − 9)) + 15 die Temperatur an einem Frühlingstag (t in Stunden nach Mitternacht, A(t) in °C). In Stadt B verläuft der Tag genauso, aber alles passiert 2 Stunden später, und es ist zu jeder Zeit 3 °C kühler als in A zur entsprechenden Zeit. Wann ist es in B am wärmsten, und wie warm?
Was ist gefragt? Zeitpunkt und Wert des größten Funktionswerts von B.
Was steht nicht da? „2 Stunden später“ heißt B(t) = A(t − 2) − 3, nicht A(t + 2). Das Maximum rückt mit nach rechts und sinkt um 3.
Rechnen B(t) = 6 · sin(π12 · (t − 11)) + 12. Der Sinus ist am größten, wenn π12 · (t − 11) = π2, also bei t = 17. B(17) = 6 + 12 = 18.
Antwortsatz In Stadt B ist es um 17 Uhr am wärmsten, mit 18 °C.
Prüfen In A liegt das Maximum bei 15 Uhr mit 21 °C. Zwei Stunden später und 3 °C kühler ergibt 17 Uhr und 18 °C. Das passt.
7. Typische Fehler
f(x + 3) als Verschiebung nach rechts gelesen.
Bei f(2x − 6) um 6 statt um 3 verschoben.
Erst verschoben, dann um den Ursprung gestreckt: Dann wird die Verschiebung mitgestreckt.
Symmetrie mit zwei Beispielwerten „bewiesen“. Nötig ist f(−x) = f(x) für alle x.
Nach einer Verschiebung noch von Symmetrie zur y-Achse gesprochen.
Rechnen
2.1Transformationen ablesen
Der Graph von g mit g(x) = −3 · (x + 2)² + 1 entsteht aus dem Graphen von f mit f(x) = x². Beschreibe die einzelnen Schritte in einer passenden Reihenfolge und gib den Scheitelpunkt des Graphen von g an.
Hilfe 1
Schreibe g in der Form a · f(x − c) + d und lies a, c und d ab.
Hilfe 2
Achte auf das Vorzeichen in der Klammer: x + 2 = x − (−2).
Hilfe 3
Verfolge den Scheitel (0 | 0) von f durch alle Schritte.
Lösung zeigen
Ein Term der Form a · f(x − c) + d: Jeder Parameter ist ein Schritt.
a = −3: Streckung in y-Richtung mit dem Faktor 3 und Spiegelung an der x-Achse; die Parabel ist nach unten geöffnet.
Danach c = −2: Verschiebung um 2 nach links, und d = 1: Verschiebung um 1 nach oben.
Der Scheitel (0 | 0) wandert nach S(−2 | 1).
2.2Wurzelfunktion verschieben
Der Graph der Wurzelfunktion f mit f(x) = √x wird in y-Richtung mit dem Faktor 2 gestreckt, danach um 3 nach rechts und um 1 nach unten verschoben. Gib den Funktionsterm der entstehenden Funktion g und ihren Definitionsbereich an und berechne die Nullstelle von g.
Hilfe 1
Schreibe zu jedem Schritt auf, welcher Parameter sich ändert.
Hilfe 2
Wo beginnt der Graph von √x, und wohin wandert dieser Punkt?
Hilfe 3
Für die Nullstelle: Wurzel allein auf eine Seite bringen, dann quadrieren.
Lösung zeigen
Beschreibung in Worten → Term: Jede Angabe wird ein Parameter, und der Definitionsbereich wandert mit.
g(x) = 2√(x − 3) − 1
Definitionsbereich: x ≥ 3, weil unter der Wurzel x − 3 ≥ 0 stehen muss. Der Graph beginnt im Punkt (3 | −1).
Der Graph von f mit f(x) = x³ − 3x hat den Hochpunkt H(−1 | 2), den Tiefpunkt T(1 | −2) und den Wendepunkt W(0 | 0). Gegeben ist außerdem die Funktion g mit g(x) = 2 · f(x − 3) + 1.
a) Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte des Graphen von g, ohne g abzuleiten.
Hilfe 1
Wie verändert jeder Schritt die x-Koordinate, wie die y-Koordinate eines Punktes?
Hilfe 2
Bleibt ein Hochpunkt ein Hochpunkt, wenn der Faktor vor f positiv ist?
b) Gib den Wendepunkt des Graphen von g an und begründe, zu welchem Punkt der Graph von g punktsymmetrisch ist.
Hilfe 1
Welche Symmetrie hat der Graph von f, und wo liegt das Zentrum?
Hilfe 2
Wohin wandert dieses Zentrum?
Lösung zeigen
a) Die Punkte von f sind gegeben: Man verfolgt sie durch die Schritte, statt neu zu rechnen.
Jeder Punkt (u | v) des Graphen von f wird zu (u + 3 | 2v + 1).
H(−1 | 2) wird zum Hochpunkt (2 | 5), T(1 | −2) wird zum Tiefpunkt (4 | −3). Weil 2 > 0 ist, bleibt die Art erhalten.
b) Symmetrie von f nachweisen, dann das Zentrum wie jeden anderen Punkt verschieben.
Der Wendepunkt W(0 | 0) wird zu (3 | 1).
f ist punktsymmetrisch zum Ursprung, weil f(−x) = −x³ + 3x = −f(x). Die Streckung mit 2 erhält diese Symmetrie, die Verschiebung um 3 nach rechts und 1 nach oben nimmt das Zentrum mit: Der Graph von g ist punktsymmetrisch zu (3 | 1).
2.4Symmetrie nachweisen
Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = 1(x − 3)² + 1 für x ≠ 3. Zeige, dass der Graph von g achsensymmetrisch zur Geraden x = 3 ist.
Hilfe 1
Was gilt für zwei Stellen, die gleich weit links und rechts von 3 liegen?
Hilfe 2
Setze 3 + h und 3 − h ein und vereinfache.
Lösung zeigen
„Zeigen Sie … symmetrisch“: allgemein für alle h, nicht mit Beispielwerten.
Beide Werte stimmen für jedes h überein, also ist der Graph achsensymmetrisch zu x = 3.
Ebenso richtig: g entsteht aus f(x) = 1x², das wegen f(−x) = f(x) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, durch Verschiebung um 3 nach rechts und 1 nach oben. Die Achse wandert von x = 0 nach x = 3.
2.5Reihenfolge prüfen
Eine Funktion f hat die Nullstelle x = 4. Gegeben ist g mit g(x) = f(2x − 6). Lea beschreibt den Graphen von g so: „Erst wird der Graph von f in x-Richtung auf die Hälfte gestaucht, dann um 6 nach rechts verschoben.“
a) Prüfe Leas Beschreibung mithilfe der Nullstelle.
Hilfe 1
Für welches x gilt 2x − 6 = 4?
Hilfe 2
Verfolge die Nullstelle 4 durch Leas Schritte.
b) Gib eine richtige Beschreibung an.
Hilfe 1
Klammere den Faktor vor x aus.
Lösung zeigen
a) Eine Beschreibung prüfen: einen bekannten Punkt durch beide Wege verfolgen und vergleichen.
g hat dort eine Nullstelle, wo 2x − 6 = 4 ist, also bei x = 5.
Nach Leas Beschreibung wandert die Nullstelle 4 erst nach 2 und dann nach 8. Die Beschreibung ist falsch.
b) Die Verschiebung erkennt man erst, wenn der Faktor vor x ausgeklammert ist.
2x − 6 = 2 · (x − 3): Erst in x-Richtung auf die Hälfte stauchen, dann um 3 nach rechts verschieben. Probe: 4 → 2 → 5.
Ebenso richtig: erst um 6 nach rechts verschieben, dann auf die Hälfte stauchen. Probe: 4 → 10 → 5.
Ohne Taschenrechner
2.6Parameter am Graphen
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion g mit g(x) = a · sin(b · (x − c)) + d, wobei a > 0 und b > 0.
Abbildung
Bestimme a, b, c und d anhand der Abbildung.
Hilfe 1
Lies zuerst den größten und den kleinsten Wert ab.
Hilfe 2
Wie lang ist eine volle Schwingung, und wie hängt b damit zusammen?
Hilfe 3
Wo geht der Graph steigend durch seine Mittellinie?
Lösung zeigen
Rückwärts vom Graphen zum Term: Mittellinie, Abstand, Periode, Startstelle.
Größter Wert 3, kleinster Wert −1: Mittellinie d = 1, Abstand zur Mittellinie a = 2.
Eine volle Schwingung dauert 4 (zum Beispiel von x = 1 bis x = 5), also b = 2π4 = π2.
Der Graph geht bei x = 1 steigend durch die Mittellinie, also c = 1.
g(x) = 2 · sin(π2 · (x − 1)) + 1. Ebenso richtig sind c = 5 oder c = −3, weil sich der Graph nach einer Periode wiederholt.
2.7Parabel auf die y-Achse schieben
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² − 6x + 5. Bestimme b so, dass der Graph von g mit g(x) = f(x + b) achsensymmetrisch zur y-Achse ist, und gib g(x) an.
Hilfe 1
Wo liegt die Symmetrieachse des Graphen von f?
Hilfe 2
In welche Richtung verschiebt f(x + b) bei b > 0?
Hilfe 3
Quadratische Ergänzung bringt f in Scheitelpunktform.
Lösung zeigen
Eine Symmetrie herstellen: erst die Achse von f finden, dann passend verschieben.
f(x) = (x − 3)² − 4: Der Graph von f ist achsensymmetrisch zur Geraden x = 3.
f(x + b) verschiebt den Graphen um b nach links. Die Achse muss von x = 3 nach x = 0, also b = 3.
g(x) = f(x + 3) = x² − 4
2.8Symmetrie ohne Term
Von einer Funktion f ist nur bekannt, dass ihr Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, also f(−x) = −f(x) für alle x.
Untersuche, welche Symmetrie die Graphen der folgenden Funktionen haben, und begründe deine Antwort. (1) g(x) = 3 · f(x) (2) h(x) = f(−x) (3) k(x) = f(x) + 2 (4) m(x) = f(x − 1)
Hilfe 1
Setze −x in die neue Funktion ein und verwende f(−x) = −f(x).
Hilfe 2
Bei einer Verschiebung wandert das Symmetriezentrum mit.
Lösung zeigen
Kein Term gegeben: Man argumentiert nur mit f(−x) = −f(x) und mit dem Weg des Zentrums.
(3) Der Graph wird um 2 nach oben verschoben, das Zentrum auch: punktsymmetrisch zu (0 | 2). Zum Ursprung nicht mehr, denn k(−x) = −f(x) + 2, aber −k(x) = −f(x) − 2.
(4) Verschiebung um 1 nach rechts: punktsymmetrisch zu (1 | 0).
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Situation nur den Term der neuen Funktion. Rechne nicht. (1) W(t) beschreibt den Wasserstand in einem Hafen (t in Stunden nach Mitternacht). In einem zweiten Hafen verläuft der Wasserstand genauso, aber 2 Stunden später. (2) K(x) beschreibt die monatlichen Kosten eines Handytarifs (x in GB). Ein zweiter Anbieter verlangt bei gleichem Verlauf zu jedem Datenvolumen 5 € mehr. (3) L(t) beschreibt den Ladestand eines Akkus (t in Minuten). Ein neues Ladegerät lädt nach demselben Muster, aber doppelt so schnell.
Hilfe 1
Frage bei jeder Situation: Ändert sich der Wert oder der Zeitpunkt?
Hilfe 2
Wann erreicht der zweite Hafen den Wasserstand, den der erste um 5 Uhr hat?
b) Im Hafen A beschreibt A(t) = 1,5 · sin(π6 · (t − 2)) + 4 den Wasserstand (t in Stunden nach Mitternacht, A(t) in m). Im Hafen B kommt die Flut 1,5 Stunden später, das Mittelwasser ist gleich, aber Hoch- und Niedrigwasser liegen jeweils 1 m weiter vom Mittelwasser entfernt. Wann ist in B nach Mitternacht zum ersten Mal Hochwasser, und wie hoch steht das Wasser dann? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist … 2. Was nicht dasteht: „1,5 Stunden später“ heißt …; „1 m weiter vom Mittelwasser“ ändert den Parameter … 3. Rechnen: B(t) = …; größter Wert, wenn π6 · (t − …) = π2 ⇔ t = …; B(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Welche Angabe im Text gehört zu welchem Parameter?
Hilfe 2
Wann hat ein Sinus seinen größten Wert?
Hilfe 3
Prüfe am Hochwasser von A.
Lösung zeigen
a) Drei Situationen, drei Parameter: später → Verschiebung in t-Richtung, mehr → Verschiebung nach oben, schneller → Faktor bei t.
(1) W(t − 2): Jeder Wasserstand wird erst 2 Stunden später erreicht.
(2) K(x) + 5: eine Verschiebung nach oben.
(3) L(2t): Nach t Minuten ist der Akku so voll wie mit dem alten Gerät nach 2t Minuten. Der Graph wird in t-Richtung auf die Hälfte gestaucht.
b) „später“ und „weiter vom Mittelwasser“ sind Parameter; Hochwasser ist der größte Wert.
1. Gefragt ist der erste Zeitpunkt nach Mitternacht, an dem B am größten ist, und der Wert von B dort.
2. „1,5 Stunden später“ heißt t − 1,5 in der Klammer, also t − 2 − 1,5 = t − 3,5. „1 m weiter vom Mittelwasser“ ändert den Abstand zur Mittellinie: 1,5 + 1 = 2,5; die Mittellinie 4 bleibt.
4. Im Hafen B ist um 6:30 Uhr das erste Hochwasser, das Wasser steht dann 6,5 m hoch.
5. In A ist um 5 Uhr Hochwasser mit 5,5 m. 1,5 Stunden später und 1 m höher passt zu 6:30 Uhr und 6,5 m.
3.2Riesenrad
Die Höhe einer Gondel eines Riesenrads über dem Boden beschreibt h(t) = −20 · cos(π10 · t) + 22 (t in Minuten ab dem Einsteigen, h(t) in m). Die Abbildung zeigt den Graphen von h für die ersten 40 Minuten.
Abbildung
a) Gib anhand des Terms den Durchmesser des Rads, die Höhe der Radachse über dem Boden und die Dauer einer Umdrehung an. Erläutere, warum vor dem Kosinus ein Minuszeichen steht.
Hilfe 1
Welcher Parameter gibt den Radius an, welcher die Mittellinie?
Hilfe 2
Wie hängt die Dauer einer Schwingung mit dem Faktor bei t zusammen?
Hilfe 3
Wo ist die Gondel beim Einsteigen?
b) Eine zweite Gondel ist auf dem Rad 5 Minuten hinter der ersten. Gib einen Term k(t) für ihre Höhe an und bestimme, wie hoch sie sich in dem Moment befindet, in dem die erste Gondel einsteigt.
Hilfe 1
Wann erreicht die zweite Gondel die Höhe, die die erste nach t Minuten hat?
Hilfe 2
Setze t = 0 in deinen Term ein.
c) Ab einer Höhe von 30 m hat man freie Sicht über die Altstadt. Ermittle, wie lange die erste Gondel während einer Umdrehung höher als 30 m ist.
Hilfe 1
Welche Gleichung beschreibt die Momente, in denen die Gondel genau 30 m hoch ist?
Hilfe 2
Der Taschenrechner liefert nur eine Lösung; die zweite finde mithilfe der Abbildung.
d) Ein Fahrgast sagt: „3 Minuten nach dem Einsteigen bin ich genauso hoch wie 3 Minuten vor dem Aussteigen nach einer Umdrehung.“ Begründe mithilfe einer Symmetrie des Graphen, dass die Aussage stimmt.
Hilfe 1
Welche Zeitpunkte werden verglichen?
Hilfe 2
Durch welchen Punkt geht eine Symmetrieachse des Graphen?
Lösung zeigen
a) Jeder Parameter hat eine Bedeutung am Rad: Radius, Achshöhe, Umlaufzeit, Startposition.
Durchmesser 2 · 20 m = 40 m; die Radachse liegt auf der Mittellinie, 22 m über dem Boden; eine Umdrehung dauert 2ππ/10 = 20 Minuten.
Beim Einsteigen ist die Gondel ganz unten. Der Kosinus beginnt mit seinem größten Wert; das Minuszeichen spiegelt ihn an der x-Achse, sodass h mit dem kleinsten Wert beginnt: h(0) = −20 + 22 = 2.
b) „5 Minuten hinter“ heißt: dieselbe Höhe, 5 Minuten später.
Die zweite Gondel erreicht jede Höhe 5 Minuten später: k(t) = h(t − 5) = −20 · cos(π10 · (t − 5)) + 22.
k(0) = −20 · cos(−π2) + 22 = 22: Die zweite Gondel ist dann auf Höhe der Radachse, eine Viertelumdrehung vor dem Einstieg.
c) „wie lange höher als“: zwei Zeitpunkte mit h(t) = 30 finden, die Differenz ist die Dauer.
h(t) = 30 ⇔ cos(π10 · t) = −0,4
In der ersten Umdrehung (0 ≤ t ≤ 20): π10 · t ≈ 1,982, also t ≈ 6,31. Wegen der Symmetrie zu t = 10 liegt die zweite Stelle bei t ≈ 20 − 6,31 = 13,69.
Dazwischen liegt der Graph über 30 m. Die Gondel ist je Umdrehung rund 13,69 − 6,31 ≈ 7,38 Minuten höher als 30 m, also gut 7 Minuten.
d) Zwei Zeitpunkte gleich weit von einem Hochpunkt: Symmetrieachse durch den Hochpunkt.
Nach einer Umdrehung steigt der Fahrgast bei t = 20 aus; verglichen werden also t = 3 und t = 17.
Der Graph von h ist achsensymmetrisch zur Geraden t = 10 durch den höchsten Punkt, es gilt h(10 + s) = h(10 − s). 3 und 17 liegen beide 7 Minuten von 10 entfernt, also ist h(3) = h(17).
3.3Zwei Tomatenpflanzen
Die Höhe einer Tomatenpflanze beschreibt h(t) = 80 − 70 · e−0,1t (t in Tagen ab dem Einpflanzen, h(t) in cm). Eine zweite Pflanze derselben Sorte wird 4 Tage später eingepflanzt und wächst genauso. Alle Zeitangaben beziehen sich auf das Einpflanzen der ersten Pflanze.
a) Gib einen Term k(t) für die Höhe der zweiten Pflanze an und nenne den Bereich, in dem er gilt.
Hilfe 1
Wann ist die zweite Pflanze so hoch wie die erste nach t Tagen?
Hilfe 2
Ab wann gibt es die zweite Pflanze?
b) Berechne, um wie viel die erste Pflanze 10 Tage nach ihrem Einpflanzen größer ist als die zweite.
Hilfe 1
Wie alt ist die zweite Pflanze am Tag 10?
c) Ermittle, wann die zweite Pflanze 50 cm hoch ist.
Hilfe 1
Stelle die e-Potenz allein.
Hilfe 2
Mit dem Logarithmus kommst du an den Exponenten.
d) Ein Gärtner sagt: „Die zweite Pflanze hat immer 4 Tage Rückstand, also bleibt der Höhenunterschied gleich.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Was bedeutet eine Verschiebung in t-Richtung für den senkrechten Abstand der Graphen?
Hilfe 2
Wie verhalten sich beide Höhen auf lange Sicht?
Lösung zeigen
a) „4 Tage später“ verschiebt die Zeitachse; der Bereich steht nicht da.
k(t) = h(t − 4) = 80 − 70 · e−0,1 · (t − 4) für t ≥ 4.
Vor t = 4 ist die zweite Pflanze noch nicht eingepflanzt; dort beschreibt der Term nichts.
Rund 12,5 Tage nach dem Einpflanzen der ersten Pflanze ist die zweite 50 cm hoch.
d) Waagerechter Abstand der Graphen (Zeit) und senkrechter Abstand (Höhe) sind verschiedene Dinge.
Der zeitliche Rückstand bleibt 4 Tage, der Höhenunterschied nicht.
h(t) − h(t − 4) = 70 · (e0,4 − 1) · e−0,1t: Der Unterschied wird mit wachsendem t kleiner und geht gegen 0.
Beide Pflanzen nähern sich derselben Endhöhe von 80 cm. Weil das Wachstum nachlässt, macht ein Rückstand von 4 Tagen immer weniger Höhe aus.
3.4Brückenbogen
Ein Brückenbogen wird im Plan durch b(x) = −0,02x² + 8 beschrieben (−20 ≤ x ≤ 20, x und b(x) in m). Der Ursprung liegt am Boden genau unter dem höchsten Punkt. Für den Bau soll der Ursprung an den linken Fußpunkt des Bogens gelegt werden.
a) Bestimme den Funktionsterm g des Bogens im neuen Koordinatensystem und gib den Bereich für x an.
Hilfe 1
Wo liegt der linke Fußpunkt im alten System?
Hilfe 2
Wohin muss dieser Punkt wandern?
b) Ein Stützpfeiler steht im neuen System bei x = 6 und reicht bis an den Bogen. Ein zweiter, gleich hoher Pfeiler soll auf der anderen Seite stehen. Gib seine Stelle an, ohne Funktionswerte zu berechnen, und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
Wo liegt die Symmetrieachse des Bogens im neuen System?
c) Für eine Durchfahrt unter dem Bogen ist eine Höhe von mindestens 6 m vorgeschrieben. Ermittle, wie breit die Durchfahrt höchstens sein kann.
Hilfe 1
Wo ist der Bogen genau 6 m hoch?
Hilfe 2
Wie hängt die Breite mit diesen Stellen zusammen?
Lösung zeigen
a) Neuer Ursprung heißt: Der Graph wird verschoben, und der Bereich wandert mit.
Der linke Fußpunkt liegt bei x = −20 und soll nach x = 0: Der Graph wird um 20 nach rechts verschoben.
g(x) = b(x − 20) = −0,02 · (x − 20)² + 8 für 0 ≤ x ≤ 40.
b) „ohne zu berechnen“ und „gleich hoch“: Symmetrie nutzen.
Der Graph von b ist achsensymmetrisch zur y-Achse; nach der Verschiebung um 20 ist der Graph von g achsensymmetrisch zur Geraden x = 20.
6 liegt 14 m links von 20, der gleich hohe Pfeiler steht 14 m rechts davon, bei x = 34.
c) „mindestens 6 m hoch“: die Stellen mit Höhe 6 suchen, der Abstand ist die Breite.
g(x) = 6 ⇔ (x − 20)² = 100 ⇔ x = 10 oder x = 30
Zwischen x = 10 und x = 30 ist der Bogen mindestens 6 m hoch. Die Durchfahrt kann höchstens 20 m breit sein.
Klausuraufgabe
4.1Vereinslogo
Ein Kanuverein entwirft ein neues Logo. Die Wellenlinie im Logo wird durch f(x) = 116 · x³ − 34 · x beschrieben (−4 ≤ x ≤ 4, x und f(x) in cm). Die Abbildung zeigt den Graphen von f.
Abbildung
a) Begründe, dass die Wellenlinie punktsymmetrisch zum Ursprung ist.2 BE
Hilfe 1
Setze −x ein.
Hilfe 2
Vergleiche mit −f(x).
b) In einer zweiten Variante wird die Linie durch g(x) = a · f(x) mit a > 1 beschrieben. Der Graph von f hat den Hochpunkt H(−2 | 1) und den Tiefpunkt T(2 | −1). Beschreibe, wie der Graph von g aus dem Graphen von f hervorgeht. Gehe dabei auf die Nullstellen und die Extrempunkte ein.4 BE
Hilfe 1
Was passiert mit einem Punkt (u | v) bei der Streckung?
Hilfe 2
Welche Punkte liegen auf der x-Achse und bleiben deshalb, wo sie sind?
Hilfe 3
Wie hängt g′ mit f′ zusammen?
c) Die Fläche zwischen den Graphen von f und g für 0 ≤ x ≤ 2√3 wird farbig gefüllt. Bestimme a so, dass diese Fläche 1,8 cm² groß ist.5 BE
Hilfe 1
Welcher Graph liegt im Bereich 0 ≤ x ≤ 2√3 oben?
Hilfe 2
Schreibe f − g mithilfe von f.
Hilfe 3
Berechne das Integral von f nur einmal.
d) Für ein Banner wird die Wellenlinie verschoben: h(x) = f(x − 4) + 1. Gib den Punkt an, zu dem der Graph von h punktsymmetrisch ist, und begründe deine Angabe.3 BE
Hilfe 1
Wo liegt das Zentrum von f?
Hilfe 2
Wie wird es verschoben?
Lösung zeigen
a) Punktsymmetrie zum Ursprung: f(−x) = −f(x) nachrechnen.
f(−x) = 116 · (−x)³ − 34 · (−x) = −116 · x³ + 34 · x = −f(x) für alle x.
Ebenso richtig: Der Term enthält nur ungerade Potenzen von x.
b) Streckung in y-Richtung: Was auf der x-Achse liegt oder nur an x hängt, bleibt; die y-Werte ändern sich.
Der Graph von g entsteht durch Streckung in y-Richtung mit dem Faktor a.
Die Nullstellen bleiben: a · f(x) = 0 gilt genau dann, wenn f(x) = 0, also bei x = 0 und x = ±2√3 ≈ ±3,46.
Die Extremstellen bleiben bei x = −2 und x = 2, weil g′(x) = a · f′(x) dieselben Nullstellen hat. Die y-Werte werden mit a multipliziert: Hochpunkt (−2 | a), Tiefpunkt (2 | −a).
Die Punktsymmetrie zum Ursprung bleibt erhalten.
c) Fläche zwischen zwei Graphen: Integral der Differenz; welcher Graph oben liegt, steht nicht da.
Für 0 ≤ x ≤ 2√3 ist f(x) ≤ 0; wegen a > 1 liegt der Graph von g dort unter dem von f. Die Fläche ist ∫02√3 (f(x) − g(x)) dx = (1 − a) · ∫02√3 f(x) dx.
Fläche: (1 − a) · (−2,25) = 2,25 · (a − 1) = 1,8 ⇔ a − 1 = 0,8 ⇔ a = 1,8
d) Verschobener Graph: Das Symmetriezentrum wandert mit.
Der Graph von f ist punktsymmetrisch zum Ursprung (Teil a). Die Verschiebung um 4 nach rechts und 1 nach oben nimmt das Zentrum mit: Der Graph von h ist punktsymmetrisch zu Z(4 | 1).
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Der Rest der Analysis“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.