Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Zu den Funktionen, die du kennst, kommen zwei neue dazu: Funktionen wie f(x) = 1x oder f(x) = 1x² (allgemein 1xⁿ) und die Wurzelfunktion f(x) = √x. Neu ist an beiden: Man darf nicht jede Zahl einsetzen. Durch 0 teilt man nicht, und aus einer negativen Zahl zieht man keine Wurzel. Abgeleitet werden beide mit der Potenzregel, die du schon kennst; du musst den Term nur vorher als Potenz schreiben.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne 1x² für x = 0,1 und für x = 0,01. Was passiert mit dem Funktionswert, wenn x immer näher an 0 rückt?
Lösung zeigen
10,1² = 10,01 = 100 und 10,01² = 10,0001 = 10 000. Je näher x an 0 liegt, desto größer wird der Wert, ohne Grenze. Der Graph schmiegt sich an die y-Achse an und erreicht sie nie.
2. Definitionsmenge, Symmetrie und Verhalten an den Rändern
f(x) = 1xⁿ: Der Nenner darf nicht 0 sein, also D = ℝ \ {0}. Eine Nullstelle gibt es nie, denn ein Bruch mit Zähler 1 ist nie 0.
n gerade (1x², 1x⁴): f(−x) = f(x), der Graph ist symmetrisch zur y-Achse und liegt ganz über der x-Achse.
n ungerade (1x, 1x³): f(−x) = −f(x), der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung, links unter, rechts über der x-Achse.
Für x → 0 wachsen die Werte über alle Grenzen (bei ungeradem n links nach −∞, rechts nach +∞). Die y-Achse ist senkrechte Asymptote.
Für x → ∞ und x → −∞ gehen die Werte gegen 0. Die x-Achse ist waagerechte Asymptote.
f(x) = √x: Der Radikand darf nicht negativ sein, also D = [0; ∞[. Der Graph beginnt im Ursprung, steigt immer weiter und wird dabei immer flacher.
✎ Mini-Aufgabe: Untersuche f(x) = 1x³ auf Symmetrie, indem du −x einsetzt.
Lösung zeigen
f(−x) = 1(−x)³ = 1−x³ = −1x³ = −f(x). Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
3. Ableiten mit der Potenzregel
1xⁿ = x−n √x = x1/2 (xr)′ = r · xr − 1
Die Potenzregel gilt auch für negative Exponenten und für Brüche als Exponent. Du schreibst den Term erst als Potenz, leitest ab und schreibst das Ergebnis wieder als Bruch oder Wurzel.
Beim negativen Exponenten wird er beim Ableiten kleiner, nicht größer: aus −2 wird −3. Also ist (1x²)′ = −2x³ und nicht −2x oder 12x.
✎ Mini-Aufgabe: Leite f(x) = 1x ab. Was sagt das Ergebnis über den Graphen von f?
Lösung zeigen
f(x) = x−1, also f′(x) = −x−2 = −1x². Das ist für jedes x ≠ 0 negativ. Beide Äste des Graphen fallen überall.
4. Die Graphen
Links die Graphen von f(x) = 1x (punktsymmetrisch) und g(x) = 1x² (symmetrisch zur y-Achse), rechts der Graph von w(x) = √x, der erst bei 0 beginnt.
✎ Mini-Aufgabe: Für welche x ist f(x) = √x + 1x definiert?
Lösung zeigen
Die Wurzel verlangt x ≥ 0, der Bruch verlangt x ≠ 0. Beides zusammen: x > 0, also D = ]0; ∞[.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Für welche x ist f definiert?
die Definitionsmenge D
Nenner ≠ 0 und Radikand ≥ 0, bei Summen beides zugleich
umgekehrt proportional, je mehr, desto weniger pro Stück
f(x) = ax
doppelter Wert von x, halber Funktionswert
nimmt mit dem Quadrat des Abstands ab
f(x) = ax²
doppelter Abstand, ein Viertel des Werts
nähert sich … an, kommt nie darunter
Grenzwert, waagerechte Asymptote
Die Asymptote wird nicht erreicht.
wird beliebig groß, wächst über alle Grenzen
Verhalten an der Polstelle x = 0 oder für x → ∞
bei √x: wächst ohne Grenze, aber immer langsamer
Abstand r, Zeit t nach Beginn, Anzahl n
Definitionsbereich aus der Sache
r > 0, t ≥ 0, n ganzzahlig, auch wenn der Term mehr erlaubt
symmetrisch, spiegelbildlich
f(−x) = f(x) oder f(−x) = −f(x)
am Term zeigen, nicht nur am Bild
6. Was nirgends steht
Die Stelle x = 0 gehört bei 1xⁿ nie dazu, auch wenn niemand danach fragt. Wer dort einsetzt, rechnet mit etwas, das es nicht gibt.
Vor dem Ableiten wird umgeformt: Brüche und Wurzeln werden Potenzen. Das steht in keiner Aufgabe.
In einer Sachaufgabe fallen negative Lösungen oft weg (ein Abstand ist positiv). Das musst du selbst sagen.
f(x) = 1x fällt auf jedem Ast, ist aber auf ganz ℝ \ {0} nicht fallend: f(−1) = −1 ist kleiner als f(1) = 1.
√x hat bei x = 0 keine Ableitung: 12√x ist dort nicht definiert, der Graph beginnt senkrecht.
7. Ein Beispiel aus der Sache
Eine Lampe beleuchtet einen Tisch. Im Abstand r (in m) beträgt die Beleuchtungsstärke E(r) = 400r² (in Lux). In welchem Abstand beträgt sie 25 Lux, und wie schnell nimmt sie dort mit wachsendem Abstand ab?
Was ist gefragt? Zuerst der Abstand r mit E(r) = 25, dann der Wert von E′ an dieser Stelle.
Was steht nicht da? Ein Abstand ist positiv, also r > 0. „Wie schnell nimmt sie ab“ fragt nach der Ableitung, nicht nach E selbst.
Gegeben sind die Funktionen f mit f(x) = 2x⁴ und g mit g(x) = −1x³, jeweils für x ≠ 0.
a) Untersuche die Graphen von f und g auf Symmetrie.
Hilfe 1
Setze −x für x ein.
Hilfe 2
Was ergibt (−x)⁴, was ergibt (−x)³?
b) Beschreibe das Verhalten von f und g für x → 0 sowie für x → ∞ und x → −∞.
Hilfe 1
Setze Zahlen nahe 0 ein, links und rechts von 0.
Hilfe 2
Was passiert mit einem Bruch, dessen Nenner sehr groß wird?
Hilfe 3
Achte bei g auf das Vorzeichen.
Lösung zeigen
a) Symmetrie am Term zeigen: f(−x) mit f(x) vergleichen.
f(−x) = 2(−x)⁴ = 2x⁴ = f(x): Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse.
g(−x) = −1(−x)³ = 1x³ = −g(x): Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
b) Verhalten an der Definitionslücke und im Unendlichen: Vorzeichen und Größe des Nenners betrachten.
f: Für x → 0 gilt f(x) → +∞ von beiden Seiten. Für x → ±∞ gilt f(x) → 0, die Werte bleiben positiv.
g: Für x → 0 von rechts gilt g(x) → −∞, von links g(x) → +∞. Für x → ±∞ gilt g(x) → 0.
Die y-Achse ist bei beiden senkrechte, die x-Achse waagerechte Asymptote.
2.4Tangente an die Wurzel
Die Gerade t mit t(x) = 0,25x + 1 ist die Tangente an den Graphen von f mit f(x) = √x im Punkt P(4 | 2).
a) Berechne den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse.
Hilfe 1
Was gilt für die y-Koordinate auf der x-Achse?
b) Bestimme den Punkt des Graphen von f, in dem die Tangente parallel zur Geraden mit der Gleichung y = x verläuft.
Hilfe 1
Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zu y = x ist?
Hilfe 2
Die Steigung des Graphen beschreibt f′.
Lösung zeigen
a) Schnitt mit der x-Achse: t(x) = 0.
0,25x + 1 = 0 ⇔ x = −4, also S(−4 | 0).
b) „parallel zu y = x“ heißt Steigung 1, also f′(x) = 1.
f′(x) = 12√x. f′(x) = 1 ⇔ √x = ½ ⇔ x = ¼
f(¼) = ½, gesuchter Punkt Q(¼ | ½).
2.5Ein Bruchterm
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² + 4x für x ≠ 0. Zeige, dass f′(x) = 1 − 4x² gilt.
Hilfe 1
Den ganzen Bruch kannst du mit der Potenzregel nicht ableiten. Wie lässt er sich in zwei Brüche zerlegen?
Hilfe 2
Kürze jeden der beiden Brüche so weit wie möglich.
Lösung zeigen
Ein Bruch mit Summe im Zähler: erst in einzelne Brüche zerlegen, dann als Potenzen schreiben.
f(x) = x²x + 4x = x + 4 · x−1
f′(x) = 1 − 4 · x−2 = 1 − 4x²
Ohne Taschenrechner
2.6Rückwärts zum Faktor
Der Graph der Funktion f mit f(x) = ax² (a ≠ 0) verläuft durch den Punkt P(2 | 3).
a) Bestimme a.
Hilfe 1
Was bedeutet es, dass P auf dem Graphen liegt?
b) Bestimme die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = −2.
Hilfe 1
Schreibe f als Potenz und leite ab.
Hilfe 2
Achte beim Einsetzen von −2 auf das Vorzeichen der dritten Potenz.
Lösung zeigen
a) Punkt auf dem Graphen: Koordinaten einsetzen, nach a auflösen.
f(2) = a4 = 3 ⇔ a = 12
b) Steigung an einer Stelle: f′ bilden und einsetzen.
f(x) = 12 · x−2, f′(x) = −24x³
f′(−2) = −24−8 = 3. Die Steigung beträgt 3.
2.7Welcher Exponent?
Der Graph einer Funktion f mit f(x) = 1xⁿ, n eine natürliche Zahl, verläuft durch die Punkte A(−1 | 1) und B(2 | 116).
a) Bestimme n.
Hilfe 1
Setze die Koordinaten von B ein.
Hilfe 2
Welche Potenz von 2 ergibt 16?
b) Begründe ohne Rechnung, dass der Graph von f auch durch den Punkt C(−2 | 116) verläuft.
Hilfe 1
Was sagt der Punkt A über die Symmetrie des Graphen?
Hilfe 2
Wie liegen B und C zueinander?
Lösung zeigen
a) Unbekannter Exponent: Punkt einsetzen und die Potenz erkennen.
12ⁿ = 116 ⇔ 2ⁿ = 16 ⇔ n = 4
Probe mit A: 1(−1)⁴ = 1. Passt.
b) Eine Eigenschaft statt einer Rechnung: Symmetrie zur y-Achse.
Der Exponent 4 ist gerade, der Graph ist also symmetrisch zur y-Achse. Schon A zeigt das: f(−1) = 1 = f(1).
C ist das Spiegelbild von B an der y-Achse und liegt deshalb ebenfalls auf dem Graphen.
2.8Steigung der Wurzel
Das Material zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = √x.
Material
a) Beschreibe anhand des Graphen, wie sich die Steigung von f mit wachsendem x ändert.
Hilfe 1
Vergleiche, wie steil der Graph bei x = 1 und bei x = 9 ist.
b) Bestimme die Stelle, an der der Graph von f die Steigung 16 hat.
Hilfe 1
Welche Funktion gibt die Steigung an?
Hilfe 2
Löse die Gleichung nach √x auf und quadriere dann.
c) Begründe, dass der Graph von f an keiner Stelle eine waagerechte Tangente hat.
Hilfe 1
Welchen Wert hätte f′ an einer Stelle mit waagerechter Tangente?
Hilfe 2
Kann ein Bruch mit Zähler 1 null werden?
Lösung zeigen
a) Am Graphen ablesen: Er steigt immer, wird aber flacher.
Die Steigung ist überall positiv und wird mit wachsendem x immer kleiner: Der Graph steigt, aber immer flacher.
b) Steigung gegeben, Stelle gesucht: f′(x) = 16.
f′(x) = 12√x = 16 ⇔ 2√x = 6 ⇔ √x = 3 ⇔ x = 9
c) Waagerechte Tangente heißt f′(x) = 0; zu zeigen ist, dass das nie eintritt.
Eine waagerechte Tangente bräuchte f′(x) = 0. Der Bruch 12√x hat den Zähler 1 und ist deshalb für jedes x > 0 positiv, nie 0.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Für eine Strecke von 120 km braucht man bei der Geschwindigkeit v (in km/h) die Zeit T(v) = 120v (in Stunden). Wie schnell muss man fahren, um nach 1,5 Stunden anzukommen? (2) Ein Stein fällt aus der Höhe h (in m) in der Zeit F(h) = 0,45 · √h (in Sekunden) zu Boden. Um wie viele Sekunden je Meter Höhe nimmt die Fallzeit bei 20 m Höhe zu? (3) Die Konzentration eines Wirkstoffs im Blut beträgt K(t) = 6t (in mg pro Liter); t ist die Zeit in Stunden nach der Einnahme, t ≥ 1. Ab wann liegt die Konzentration unter 0,5 mg pro Liter?
Hilfe 1
Geht es jeweils um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„je Meter Höhe zunehmen“ beschreibt eine Änderung.
Hilfe 3
Bei (3): Ist eine Gleichung oder eine Ungleichung gefragt?
b) Die Dauer einer Schwingung eines Pendels beträgt T(l) = 2 · √l (in Sekunden), wobei l die Länge des Pendels in Metern ist (0 < l ≤ 4). Wie lang muss das Pendel sein, damit eine Schwingung 3 Sekunden dauert, und um wie viele Sekunden je Meter nimmt die Schwingungsdauer bei dieser Länge zu? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist zuerst die Länge l mit …, dann … 2. Was nicht dasteht: Eine Länge ist …; die Änderung je Meter beschreibt … 3. Rechnen: 2 · √l = 3 ⇔ √l = … ⇔ l = …; T′(l) = …; T′(…) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Die erste Frage kennt die Schwingungsdauer und sucht die Länge.
Hilfe 2
Die zweite Frage handelt von einer Änderung. Welche Funktion beschreibt sie?
Hilfe 3
Schreibe √l als Potenz, bevor du ableitest.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Objekte: ein Funktionswert rückwärts, ein Wert der Ableitung, eine Ungleichung.
(1) Gesucht ist v mit T(v) = 1,5. Ansatz: 120v = 1,5 nach v auflösen; keine Ableitung.
(2) Gesucht ist die Änderungsrate der Fallzeit bei h = 20. Ansatz: F′(h) bilden und F′(20) berechnen.
(3) Gesucht sind die t mit K(t) < 0,5. Ansatz: 6t < 0,5 lösen; weil t positiv ist, darf man mit t multiplizieren.
b) Erst rückwärts rechnen (T gegeben, l gesucht), dann die Änderungsrate an dieser Stelle.
1. Gefragt ist zuerst die Länge l mit T(l) = 3, dann der Wert von T′ an dieser Stelle.
2. Eine Länge ist positiv, und sie muss im Bereich bis 4 m liegen; die Änderung je Meter beschreibt T′.
4. Das Pendel muss 2,25 m lang sein. Bei dieser Länge nimmt die Schwingungsdauer um etwa 0,67 Sekunden je Meter zu.
5. T(1) = 2 und T(4) = 4; 3 Sekunden liegen dazwischen, 2,25 m auch. Das passt.
3.2Vereins-Shirts
Ein Sportverein lässt T-Shirts bedrucken. Die Druckerei berechnet einmalig 600 € für die Druckvorlage und 2 € je Shirt. Bei x Shirts betragen die Kosten je Shirt k(x) = 2 + 600x (in €).
a) Ermittle, ab wie vielen Shirts die Kosten je Shirt unter 5 € liegen.
Hilfe 1
Formuliere die Bedingung „unter 5 €“ als Ungleichung.
Hilfe 2
Darf man mit x multiplizieren, ohne das Zeichen umzudrehen?
Hilfe 3
Welche Werte kann x in dieser Sache überhaupt annehmen?
b) Beschreibe, wie sich die Kosten je Shirt bei sehr großen Stückzahlen verhalten, und deute das Ergebnis.
Hilfe 1
Was passiert mit 600x, wenn x sehr groß wird?
Hilfe 2
Woher kommen die 600 € und woher die 2 €?
c) Berechne k′(100) und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Schreibe 600x als Potenz.
Hilfe 2
Welche Einheit hat k′: € je …?
d) Der Kassenwart sagt: „Wenn wir genug Shirts bestellen, kostet uns ein Shirt im Schnitt weniger als 2 €.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Kann 600x für ein positives x negativ oder null sein?
Hilfe 2
Vergleiche mit b).
Lösung zeigen
a) „unter 5 €“ ist eine Ungleichung; x ist eine Anzahl, also eine positive ganze Zahl.
2 + 600x < 5 ⇔ 600x < 3 ⇔ x > 200 (x ist positiv, das Zeichen bleibt).
Bei genau 200 Shirts sind es genau 5 €. Ab 201 Shirts liegen die Kosten je Shirt unter 5 €.
b) Verhalten für x → ∞ und was der Grenzwert in der Sache ist.
Für x → ∞ geht 600x gegen 0, also k(x) gegen 2.
Die 600 € für die Vorlage verteilen sich auf immer mehr Shirts. Je Shirt bleiben am Ende fast nur die 2 € für den Druck.
c) Ableitung an einer Stelle deuten: Wie stark ändern sich die Kosten je Shirt, wenn ein Shirt dazukommt?
k′(x) = −600x², k′(100) = −0,06
Bei 100 Shirts sinken die Kosten je Shirt mit jedem weiteren Shirt um etwa 0,06 €, also um 6 Cent.
d) Die Asymptote wird nie erreicht und nie unterschritten.
Die Aussage ist falsch. 600x ist für jede Anzahl x positiv, deshalb gilt immer k(x) > 2.
Die Kosten je Shirt kommen den 2 € beliebig nahe, liegen aber stets darüber.
3.3Bremsspur
Nach einem Unfall schätzt die Polizei aus der Länge s der Bremsspur (in m) die Geschwindigkeit, die das Auto zu Beginn der Bremsung hatte. Auf trockener Straße gilt im Modell v(s) = 14,4 · √s (v in km/h), für 0 ≤ s ≤ 50. Das Material zeigt den Graphen von v.
Material
a) Auf einer Straße mit der Höchstgeschwindigkeit 50 km/h wird eine Bremsspur von 23 m gemessen. Entscheide, ob das Auto zu schnell war.
Hilfe 1
Welche Größe kennst du, welche ist gesucht?
Hilfe 2
Vergleiche das Ergebnis mit der erlaubten Geschwindigkeit.
b) Bestimme die Länge der Bremsspur bei einer Geschwindigkeit von 50 km/h, zuerst ungefähr mithilfe des Materials, dann rechnerisch.
Hilfe 1
Am Graphen: Gehe auf der senkrechten Achse zu 50 und dann waagerecht zum Graphen.
Hilfe 2
Rechnerisch: Löse v(s) = 50 erst nach √s auf.
c) Ein Fahrlehrer sagt: „Wer doppelt so schnell fährt, hat eine doppelt so lange Bremsspur.“ Beurteile die Aussage mithilfe des Modells.
Hilfe 1
Vergleiche v(s) mit v(4s).
Hilfe 2
Oder lies im Material ab, bei welcher Bremsspur sich 50 km/h verdoppeln.
d) Berechne v′(23) und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Schreibe √s als Potenz und leite ab.
Hilfe 2
Welche Einheit hat v′?
Lösung zeigen
a) Bremsspur gegeben: einsetzen und mit 50 km/h vergleichen.
v(23) = 14,4 · √23 ≈ 69,1
Das Auto fuhr etwa 69 km/h und damit deutlich schneller als erlaubt.
b) Funktionswert gegeben, Stelle gesucht: ablesen und rückwärts rechnen.
Ablesen: etwa 11 m bis 13 m.
14,4 · √s = 50 ⇔ √s = 5014,4 ≈ 3,472 ⇔ s ≈ 12,06
Bei 50 km/h ist die Bremsspur etwa 12,1 m lang.
c) Eine Aussage über Verdoppeln: Die Wurzel macht aus dem Vierfachen das Doppelte.
v(4s) = 14,4 · √(4s) = 14,4 · 2 · √s = 2 · v(s).
Doppelte Geschwindigkeit gehört also zur vierfachen Bremsspur, nicht zur doppelten. Die Aussage ist falsch und unterschätzt die Bremsspur deutlich.
Beispiel aus b): 50 km/h bei etwa 12 m, 100 km/h bei etwa 48 m.
d) Ableitung deuten: Wie viel km/h mehr bedeutet ein Meter mehr Bremsspur?
v′(s) = 7,2√s, v′(23) ≈ 1,50
Bei einer Bremsspur von 23 m entspricht jeder zusätzliche Meter Bremsspur etwa 1,5 km/h mehr Geschwindigkeit.
3.4Hecke
Eine Hecke wird mit 0,5 m Höhe gepflanzt. Ihre Höhe beschreibt im Modell h(t) = 0,5 + 0,4 · √t (in m); t ist die Zeit in Monaten nach dem Pflanzen, 0 ≤ t ≤ 36.
a) Bestimme, nach wie vielen Monaten die Hecke 2,5 m hoch ist.
Hilfe 1
Setze h(t) = 2,5.
Hilfe 2
Isoliere zuerst die Wurzel.
b) Berechne, wie schnell die Hecke nach 4 Monaten und nach 25 Monaten wächst.
Hilfe 1
„Wie schnell“ fragt nach einer Änderung.
Hilfe 2
Welche Einheit hat die Antwort?
c) Ab einer Wachstumsgeschwindigkeit unter 5 cm pro Monat muss die Hecke nur noch zweimal im Jahr geschnitten werden. Ermittle, ab wann das der Fall ist.
Hilfe 1
In welcher Einheit rechnet das Modell?
Hilfe 2
Formuliere eine Ungleichung mit h′.
d) Ein Gärtner meint: „Irgendwann hört die Hecke auf zu wachsen.“ Beurteile die Aussage auf der Grundlage des Modells.
Hilfe 1
Kann h′(t) null werden?
Hilfe 2
Was gilt für h(t), wenn t immer größer wird?
Lösung zeigen
a) Höhe gegeben, Zeit gesucht: Gleichung rückwärts lösen.
0,5 + 0,4 · √t = 2,5 ⇔ √t = 5 ⇔ t = 25
Nach 25 Monaten ist die Hecke 2,5 m hoch.
b) „wie schnell wächst“: h′ an den beiden Stellen, Einheit m pro Monat.
h′(t) = 0,2√t
h′(4) = 0,1 und h′(25) = 0,04: Nach 4 Monaten wächst die Hecke 10 cm pro Monat, nach 25 Monaten nur noch 4 cm pro Monat.
c) Wachstumsgeschwindigkeit unter einem Wert: h′(t) < 0,05; die Einheit muss erst umgerechnet werden.
5 cm = 0,05 m. Bedingung: h′(t) < 0,05.
0,2√t < 0,05 ⇔ √t > 4 ⇔ t > 16 (t ist positiv).
Ab 16 Monaten nach dem Pflanzen wächst die Hecke weniger als 5 cm pro Monat.
d) Wachstum hört auf heißt h′ = 0; das Modell gibt das nicht her.
Im Modell ist h′(t) = 0,2√t für jedes t > 0 positiv. Die Hecke wächst also immer weiter, nur immer langsamer.
Das Modell gilt nur bis 36 Monate. Ob die Hecke danach aufhört zu wachsen, kann man damit nicht beurteilen.
Klausuraufgabe
4.1Pflanzschale
Ein Gartencenter verkauft runde Pflanzschalen mit einer Höhe von 18 cm. Das Material zeigt einen senkrechten Schnitt durch die Mitte einer Schale; die Mittelachse der Schale liegt auf der y-Achse, der Boden auf der x-Achse. Die Wand wird durch den Graphen der Funktion h mit h(x) = 6 − 24x², x ∈ ℝ \ {0}, im Bereich 0 ≤ h(x) ≤ 4,5 beschrieben. Eine Längeneinheit entspricht 4 cm.
Material
a) Begründe anhand des Funktionsterms, dass der Schnitt symmetrisch zur Mittelachse der Schale ist.2 BE
Hilfe 1
Welche Symmetrie des Graphen entspricht der Symmetrie zur Mittelachse?
Hilfe 2
Setze −x ein.
b) Zeige rechnerisch, dass der Boden der Schale einen Durchmesser von 16 cm hat.2 BE
Hilfe 1
Der Boden liegt auf der x-Achse. Wo trifft die Wand auf die x-Achse?
Hilfe 2
Denke an den Maßstab.
c) In die Schale soll ein zylinderförmiger Topf mit einem Durchmesser von 20 cm und einem Volumen von 2,5 Litern gestellt werden. Untersuche, ob der Topf über den oberen Rand der Schale hinausragt.4 BE
Hilfe 1
Kann der Topf auf dem Boden stehen? Vergleiche mit b).
Hilfe 2
In welcher Höhe hat die Schale einen Radius von 10 cm?
Hilfe 3
Die Höhe des Topfs folgt aus Volumen und Grundfläche.
d) Bestimme den Winkel, unter dem die Wand am oberen Rand gegen die Waagerechte geneigt ist.3 BE
Hilfe 1
An welcher Stelle x liegt der obere Rand?
Hilfe 2
Die Neigung beschreibt die Steigung des Graphen; der Winkel folgt mit tan.
e) Für andere Schalen derselben Höhe wird die Wand durch hₖ(x) = k − 24x² mit k > 4,5 beschrieben. Bestimme k so, dass der obere Rand der Schale dreimal so weit von der Mittelachse entfernt ist wie der Rand des Bodens.4 BE
Hilfe 1
Bestimme den Radius des Bodens und den Radius des oberen Rands in Abhängigkeit von k.
Hilfe 2
Der Rand liegt bei hₖ(x) = 4,5, der Boden bei hₖ(x) = 0.
Hilfe 3
Quadriere die Bedingung, das vereinfacht die Wurzeln.
Lösung zeigen
a) Mittelachse ist die y-Achse: h(−x) = h(x) zeigen.
h(−x) = 6 − 24(−x)² = 6 − 24x² = h(x). Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, also ist der Schnitt symmetrisch zur Mittelachse.
b) Bodenrand: h(x) = 0; dann Abstand der beiden Lösungen und Umrechnung in cm.
h(x) = 0 ⇔ 24x² = 6 ⇔ x² = 4 ⇔ x = −2 oder x = 2
Der Abstand beträgt 4 Längeneinheiten, also 4 · 4 cm = 16 cm.
c) Der Topf ist breiter als der Boden und sitzt deshalb auf der Wand. Gesucht: Höhe, in der er aufsitzt, plus Höhe des Topfs.
Radius des Topfs 10 cm = 2,5 LE; der Boden hat nur den Radius 8 cm, der Topf sitzt also auf der Wand auf.
h(2,5) = 6 − 246,25 = 2,16, also sitzt der Topf 2,16 · 4 cm = 8,64 cm über dem Boden.
Höhe des Topfs: π · (10 cm)² · H = 2500 cm³ ⇔ H ≈ 7,96 cm.
Oberkante bei 8,64 cm + 7,96 cm ≈ 16,6 cm. Das ist weniger als 18 cm: Der Topf ragt nicht über den Rand.
d) Neigung der Wand: Steigung h′ am oberen Rand, dann Winkel über tan α = h′.
Bedingung: 24k − 4,5 = 9 · 24k ⇔ k = 9k − 40,5 ⇔ k = 5,0625
Für k = 5,0625 ist der obere Rand dreimal so weit von der Mittelachse entfernt wie der Bodenrand.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum Q2-Kurs, in den Abschnitt „Der Rest der Analysis“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.