Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine Nullstelle ist ein x-Wert, bei dem der Funktionswert null ist: f(x) = 0. Dort liegt der Graph auf der x-Achse. Zwei Graphen schneiden sich dort, wo sie denselben x-Wert und denselben y-Wert haben. Auch die x-Achse ist eine Gerade, eine Nullstelle ist also ein besonderer Schnittpunkt. Das Verfahren ist fast immer dasselbe: gleichsetzen und die Gleichung lösen.
✎ Mini-Aufgabe: Die Parabel zu f(x) = x² + 2x + 5 ist nach oben geöffnet, ihr Scheitelpunkt liegt bei S(−1 | 4). Wie viele Nullstellen erwartest du, ohne zu rechnen?
Lösung zeigen
Keine. Der tiefste Punkt der Parabel liegt bei y = 4, also oberhalb der x-Achse. Die Parabel steigt von dort aus nur weiter.
2. Nullstellen von Geraden und Parabeln
Gerade f(x) = mx + n mit m ≠ 0: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen. Eine solche Gerade hat genau eine Nullstelle.
Beispiel: f(x) = 0,5x − 3
0,5x − 3 = 0 ⇔ 0,5x = 3 ⇔ x = 6
Bei einer Parabel f(x) = ax² + bx + c schau zuerst, welche Glieder fehlen. Fehlt eines, geht es schneller als mit jeder Formel.
Fehlt das Absolutglied (f(x) = ax² + bx): x ausklammern und den Satz vom Nullprodukt nutzen. Ein Produkt ist null, wenn ein Faktor null ist. Eine solche Funktion hat immer die Nullstelle x = 0.
Beispiel: f(x) = 4x² − 8x
4x² − 8x = 0 ⇔ 4x · (x − 2) = 0
x = 0 oder x − 2 = 0 ⇔ x = 0 oder x = 2
Fehlt das x-Glied (f(x) = ax² + c): nach x² auflösen und die Wurzel ziehen. Schreib dabei ±√, denn es gibt zwei Lösungen. Ist x² gleich einer negativen Zahl, gibt es keine Nullstelle.
Beispiel: f(x) = 3x² − 27
3x² − 27 = 0 ⇔ x² = 9 ⇔ x = 3 oder x = −3
Bei f(x) = x² + 4 wäre x² = −4: keine Nullstelle.
Sind alle Glieder da und ist der Vorfaktor von x² gleich 1 (Normalform x² + px + q = 0): die pq-Formel.
x1,2 = −p2 ± √((p2)² − q)
Beispiel: f(x) = x² − 2x − 15 (p = −2, q = −15)
(p2)² − q = (−1)² + 15 = 16
x1,2 = 1 ± √16 = 1 ± 4
x1 = 5 und x2 = −3
Das Vorzeichen von p gehört zu p. Bei x² − 6x + 8 ist p = −6, die Formel beginnt also mit −p2 = +3.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f(x) = x² + 6x + 5. Berechne zuerst den Term unter der Wurzel.
Lösung zeigen
p = 6, q = 5: (p2)² − q = 9 − 5 = 4, also x = −3 ± 2. Die Nullstellen sind x = −1 und x = −5.
Ist der Vorfaktor nicht 1: entweder alle Glieder durch a teilen und die pq-Formel nutzen, oder gleich die Mitternachtsformel für ax² + bx + c = 0 anwenden.
x1,2 = −b ± √(b² − 4ac)2a
Beispiel: f(x) = 2x² − 7x + 3 (a = 2, b = −7, c = 3)
b² − 4ac = 49 − 24 = 25
x1,2 = 7 ± √254 = 7 ± 54
x1 = 3 und x2 = 0,5
Steht rechts nicht null, etwa x² + 3x = 10: erst alles auf eine Seite bringen, sodass rechts 0 steht, dann das passende Verfahren wählen.
Beispiel: x² + 3x = 10
x² + 3x − 10 = 0 (p = 3, q = −10)
(p2)² − q = 2,25 + 10 = 12,25; x = −1,5 ± 3,5
x = 2 oder x = −5
3. Wie viele Lösungen? Die Diskriminante
Der Term unter der Wurzel heißt Diskriminante: D = (p2)² − q, bei der Mitternachtsformel b² − 4ac. An ihm siehst du vor dem Rechnen, wie viele Lösungen es gibt.
D > 0: zwei Nullstellen, die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
D = 0: eine Nullstelle, der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
D < 0: keine Nullstelle, die Parabel bleibt ganz auf einer Seite der x-Achse.
Beispiel: drei Funktionen mit p = −2
f(x) = x² − 2x − 3: (p2)² − q = 1 + 3 = 4 > 0, zwei Nullstellen (x = −1 und x = 3)
Rückwärts: Kennst du die Nullstellen x1 und x2, gilt f(x) = a · (x − x1) · (x − x2). Den Vorfaktor a liefert ein weiterer Punkt des Graphen.
Beispiel: Nullstellen 2 und 6, der Graph geht durch (0 | 24)
f(x) = a · (x − 2) · (x − 6); f(0) = a · (−2) · (−6) = 12a = 24, also a = 2
f(x) = 2 · (x − 2) · (x − 6) = 2x² − 16x + 24
4. Achsenpunkte und Schnittpunkte zweier Graphen
Auf der y-Achse ist x = 0, auf der x-Achse ist y = 0. Ein Funktionsgraph schneidet die y-Achse höchstens einmal, eine Parabel die x-Achse null-, ein- oder zweimal.
y-Achse: f(0) x-Achse: f(x) = 0
Beispiel: f(x) = x² − 6x + 5
y-Achse: f(0) = 5, also P(0 | 5)
x-Achse: x² − 6x + 5 = 0 ⇔ x = 3 ± √(9 − 5) = 3 ± 2 ⇔ x = 1 oder x = 5
Die Punkte auf der x-Achse sind A(1 | 0) und B(5 | 0).
Für zwei Graphen suchst du alle x mit f(x) = g(x). Der Weg hat vier Schritte:
Gleichsetzen: f(x) = g(x).
Alles auf eine Seite bringen, bis rechts 0 steht.
Lösen: bei zwei Geraden durch Auflösen nach x, sonst wie bei den Nullstellen.
Jede Lösung in eine der beiden Funktionen einsetzen. Das liefert den y-Wert.
Beispiel: zwei Geraden f(x) = 2x − 3 und g(x) = −x + 6
2x − 3 = −x + 6 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3
f(3) = 3, also S(3 | 3). Probe mit g: −3 + 6 = 3
Beispiel: Parabel und Gerade f(x) = x² − 4x + 3 und g(x) = 2x − 2
x² − 4x + 3 = 2x − 2 ⇔ x² − 6x + 5 = 0
x = 3 ± √(9 − 5) = 3 ± 2 ⇔ x = 1 oder x = 5
g(1) = 0 und g(5) = 8. Probe mit f: f(1) = 0 und f(5) = 25 − 20 + 3 = 8
Die Schnittpunkte sind A(1 | 0) und B(5 | 8).
Beispiel: zwei Parabeln f(x) = x² − 2 und g(x) = −x² + 6
x² − 2 = −x² + 6 ⇔ 2x² − 8 = 0 ⇔ x² = 4 ⇔ x = −2 oder x = 2
f(−2) = 2 und f(2) = 2. Probe mit g: g(2) = −4 + 6 = 2
Die Schnittpunkte sind A(−2 | 2) und B(2 | 2).
Wer einen mehrgliedrigen Term auf die andere Seite holt, dreht alle seine Vorzeichen: x² − 2 − (−x² + 6) = 2x² − 8. Und eine Lösung x ist erst die halbe Antwort: Ein Punkt hat zwei Koordinaten.
Auch hier entscheidet die Diskriminante: D > 0 heißt zwei Schnittpunkte, D = 0 genau ein gemeinsamer Punkt (die Gerade berührt die Parabel), D < 0 keiner. Zwei Geraden mit gleicher Steigung haben keinen gemeinsamen Punkt oder sind gleich; die Rechnung endet dann mit einer Aussage wie 0 = 5 oder 0 = 0.
Beispiel: f(x) = x² und g(x) = 4x − 4
x² = 4x − 4 ⇔ x² − 4x + 4 = 0, D = 2² − 4 = 0
Genau ein gemeinsamer Punkt: x = 2, g(2) = 4, also B(2 | 4).
Mit g(x) = 4x − 5 wäre D = 4 − 5 = −1 < 0: kein Punkt. Mit g(x) = 4x − 3 wäre D = 4 − 3 = 1 > 0: zwei Punkte.
✎ Mini-Aufgabe: Wie viele gemeinsame Punkte haben f(x) = x² + 1 und g(x) = 2x? Gib sie an, falls es welche gibt.
Lösung zeigen
x² + 1 = 2x ⇔ x² − 2x + 1 = 0, D = 1 − 1 = 0. Genau ein gemeinsamer Punkt: x = 1, g(1) = 2, also B(1 | 2). Die Gerade berührt die Parabel.
5. Gleichungssysteme als Werkzeug: Funktionsgleichung aus Punkten
Liegt ein Punkt auf dem Graphen, erfüllen seine Koordinaten die Funktionsgleichung (Punktprobe). Eine Gerade y = mx + n hat zwei Unbekannte, m und n. Zwei Punkte geben zwei Gleichungen, also ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Gesucht ist das Paar, das beide Gleichungen zugleich erfüllt.
Zwei Wege führen sicher zum Ziel. Einsetzen: eine Gleichung nach einer Unbekannten auflösen und in die andere einsetzen. Addieren oder Abziehen: die Gleichungen so mit Zahlen multiplizieren, dass eine Unbekannte beim Zusammenzählen oder Abziehen wegfällt. Multipliziere dabei immer beide Seiten.
Beispiel: Gerade durch P(−1 | 1) und Q(2 | 7)
P: −m + n = 1 (I) Q: 2m + n = 7 (II)
(II) − (I): 3m = 6 ⇔ m = 2
m in (I): −2 + n = 1 ⇔ n = 3
Gerade y = 2x + 3. Probe mit Q: 2 · 2 + 3 = 7 ✓
Bei einer Parabel f(x) = ax² + bx + c sind es drei Unbekannte. Ist der Punkt auf der y-Achse bekannt, steht c sofort da, und für a und b bleibt ein System mit zwei Gleichungen.
Beispiel: Parabel durch P(0 | 1), Q(1 | 2) und R(2 | 5)
P: f(0) = c = 1
Q: a + b + 1 = 2 ⇔ a + b = 1 (I) R: 4a + 2b + 1 = 5 ⇔ 4a + 2b = 4 (II)
(II) − 2 · (I): 2a = 2 ⇔ a = 1; aus (I): b = 0
f(x) = x² + 1. Probe mit R: 4 + 1 = 5 ✓
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(1 | 3) und B(3 | 7).
Lösung zeigen
A: m + n = 3 (I); B: 3m + n = 7 (II). (II) − (I): 2m = 4 ⇔ m = 2. Aus (I): n = 3 − 2 = 1. Die Gerade ist y = 2x + 1. Probe mit B: 2 · 3 + 1 = 7 ✓.
6. Die Graphen dazu
Oben: f(x) = x² − 2x − 3 (zwei Nullstellen), g(x) = x² − 2x + 1 (eine Nullstelle) und h(x) = x² − 2x + 3 (keine Nullstelle). Unten: die Parabel y = x² mit drei Geraden. y = x + 2 schneidet sie zweimal, y = 2x − 1 berührt sie im Punkt B(1 | 1), y = −1 läuft an ihr vorbei.
7. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
wann trifft … auf den Boden, wie weit fliegt …, wann taucht … wieder auf
Nullstelle der Höhenfunktion
Eine Lösung ist oft der Start oder liegt vor dem Beginn und entfällt.
trifft, wird eingeholt, ist gleich hoch, gleich teuer
gemeinsamer Punkt: f(x) = g(x)
„Wo“ und „wann“ fragen nach x, „wie hoch“ und „wie teuer“ nach y.
wann beträgt … genau 50
f(x) = 50, nicht f(x) = 0
Erst auf null umstellen, dann lösen.
Gewinn, lohnt sich, mehr als
f(x) > 0 oder f(x) > g(x)
An den Grenzen selbst herrscht Gleichstand.
berührt nur, streift, gerade noch
genau ein gemeinsamer Punkt, also D = 0
Eine Bedingung, keine Rechnung mit zwei Ergebnissen.
geht vorbei, wird nie erreicht
kein gemeinsamer Punkt, also D < 0
Das ist eine Antwort, kein Rechenfehler.
zu Beginn, am Start, Grundgebühr
x = 0, also f(0)
f(0) ist der Summand ohne x.
nach 2 Stunden gemessen …, durch die Punkte …
Punktprobe: je Punkt eine Gleichung
x-Wert und y-Wert nicht vertauschen.
wie lange
Differenz zweier Zeitpunkte
Die Dauer ist nie eine einzelne Lösung.
8. Was nirgends steht
Länge, Zeit und Entfernung sind nicht negativ: Eine negative Lösung entfällt. Zwei Lösungen heißen nicht, dass beide passen; prüfe jede am Bereich der Aufgabe.
Eine Lösung x = 0 ist oft der Start selbst und keine Antwort auf „wo kommt der Ball auf“.
Ein Schnittpunkt braucht beide Koordinaten. Welche die Aufgabe verlangt, entscheidet das Fragewort.
Gezählte Dinge (Personen, Stück) sind ganze Zahlen und nie negativ. Ein negativer Funktionswert zeigt, dass du außerhalb des Modells bist.
Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen. Lege zuerst fest, was die Unbekannten bedeuten, mit Einheit.
Vor jeder Formel muss rechts 0 stehen. Bei a ≠ 1 teilst du alle Glieder durch a, nicht nur das erste.
9. Ein Beispiel mit Denkweg
In einer Mulde im Park liegt eine gerade Bohle an beiden Rändern auf. Die Mulde hat im Querschnitt das Profil m(x) = 0,5x² − 3x + 4, die Oberkante der Bohle verläuft nach g(x) = x + 0,5 (x: waagerechte Entfernung vom linken Rand in m, Höhen in m über einer Bezugslinie). Wie weit liegen die beiden Auflagestellen waagerecht auseinander?
Was ist gefragt? Der waagerechte Abstand der beiden Stellen, an denen die Bohle auf dem Boden liegt.
Was steht nicht da? Die Auflagestellen sind die gemeinsamen Punkte von Mulde und Bohle. Gefragt ist der Abstand der x-Werte, nicht die Länge der Bohle.
Rechnen 0,5x² − 3x + 4 = x + 0,5 ⇔ 0,5x² − 4x + 3,5 = 0 ⇔ x² − 8x + 7 = 0 ⇔ x = 4 ± 3, also x = 1 oder x = 7.
Antwortsatz Die beiden Auflagestellen liegen 7 − 1 = 6 m auseinander.
Prüfen g(1) = 1,5 = m(1) und g(7) = 7,5 = m(7). Die Mulde liegt dazwischen unter der Bohle, das passt zu einer nach oben geöffneten Parabel.
10. Typische Fehler
Vorzeichen von p verdreht: Bei x² − 6x + 8 ist p = −6, nicht 6.
Mit einem Faktor vor x² direkt die pq-Formel benutzt.
Beim Ausklammern durch x geteilt und dabei die Lösung x = 0 verloren.
Beim Wurzelziehen das ± vergessen: Aus x² = 9 folgt x = 3 oder x = −3.
Nach den x-Werten aufgehört. Die y-Werte gehören zum Punkt.
Beim Umstellen ein Vorzeichen nicht gedreht, besonders bei mehrgliedrigen Termen.
f(x) = 0 gesetzt, wo f(x) = g(x) oder f(x) = 50 gemeint ist.
Beim Einsetzen die Klammer vergessen: Aus 3n mit n = 6 − 2m wird 3 · (6 − 2m).
Aus 0 = 5 einen Rechenfehler gemacht. Das ist die Antwort: keine Lösung.
Rechnen
2.1Nullstellen
Berechne die Nullstellen der Funktion f.
a) f(x) = 0,5x − 3
Hilfe 1
Wann ist ein Funktionswert null?
Hilfe 2
Setze f(x) = 0 und löse nach x auf.
b) f(x) = x² − 4x − 21
Hilfe 1
Alle drei Glieder sind da, der Vorfaktor von x² ist 1.
Hilfe 2
Lies p und q mit ihren Vorzeichen ab.
c) f(x) = x² − 6x
Hilfe 1
Welches Glied fehlt?
Hilfe 2
Klammere x aus. Wann ist ein Produkt null?
d) f(x) = 3x² − 48
Hilfe 1
Welches Glied fehlt?
Hilfe 2
Löse nach x² auf. Wie viele Zahlen haben dasselbe Quadrat?
e) f(x) = 2x² − 7x − 4
Hilfe 1
Der Vorfaktor von x² ist nicht 1.
Hilfe 2
Teile alle Glieder durch 2, oder nutze die Formel für ax² + bx + c = 0.
Lösung zeigen
a) Gerade: f(x) = 0 setzen und nach x auflösen.
0,5x − 3 = 0 ⇔ x = 6
b) Normalform mit allen Gliedern: Lösungsformel.
x² − 4x − 21 = 0: p = −4, q = −21
(p2)² − q = 4 + 21 = 25; x = 2 ± 5
x = 7 und x = −3
c) Ohne Absolutglied: x ausklammern.
x² − 6x = x · (x − 6) = 0
x = 0 und x = 6
d) Ohne x-Glied: nach x² auflösen, Wurzel mit ±.
3x² − 48 = 0 ⇔ x² = 16
x = 4 und x = −4
e) Vorfaktor 2: Mitternachtsformel oder erst durch 2 teilen.
Mitternachtsformel mit a = 2, b = −7, c = −4: b² − 4ac = 49 + 32 = 81
x = 7 ± 94
x = 4 und x = −0,5
Ebenso richtig: durch 2 teilen und mit p = −3,5 und q = −2 rechnen.
2.2Anzahl der Nullstellen
Entscheide jeweils, ohne die Nullstellen auszurechnen, wie viele Nullstellen die Funktion f hat. Begründe mit einer Rechnung.
a) f(x) = x² − 8x + 16
Hilfe 1
Welcher Teil der Lösungsformel entscheidet, ob es Lösungen gibt?
Hilfe 2
Berechne nur den Term unter der Wurzel.
b) f(x) = x² + 4x + 7
Hilfe 1
Lies p und q ab.
Hilfe 2
Was bedeutet ein negativer Wert unter der Wurzel?
c) f(x) = 2x² − x − 6
Hilfe 1
Der Vorfaktor von x² ist nicht 1.
Hilfe 2
Nutze b² − 4ac, oder teile vorher durch 2.
Lösung zeigen
a) „wie viele“ ohne Ausrechnen: Es reicht der Term unter der Wurzel.
p = −8, q = 16: (p2)² − q = 16 − 16 = 0
Genau eine Nullstelle (x = 4): Der Scheitelpunkt liegt auf der x-Achse.
b) Wie a): nur der Term unter der Wurzel.
p = 4, q = 7: (p2)² − q = 4 − 7 = −3 < 0
Keine Nullstelle.
c) Vorfaktor 2: b² − 4ac oder erst teilen.
a = 2, b = −1, c = −6: b² − 4ac = 1 + 48 = 49 > 0
Zwei Nullstellen.
2.3Punkte auf den Achsen
Bestimme die Koordinaten aller Schnittpunkte des Graphen von f mit f(x) = x² − x − 12 mit den Koordinatenachsen.
Hilfe 1
Welche Koordinate ist auf der y-Achse null, welche auf der x-Achse?
Hilfe 2
Für die x-Achse löse eine quadratische Gleichung.
Lösung zeigen
„Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen“: beide Achsen, also f(0) und f(x) = 0, Ergebnis als Punkte.
y-Achse: f(0) = −12, also P(0 | −12)
x-Achse: x² − x − 12 = 0 ⇔ x = 0,5 ± √(0,25 + 12) = 0,5 ± 3,5 ⇔ x = −3 oder x = 4
Die Punkte auf der x-Achse sind A(−3 | 0) und B(4 | 0).
2.4Zwei Graphen
Bestimme die Koordinaten aller gemeinsamen Punkte der Graphen von f und g.
a) f(x) = 0,75x − 2 und g(x) = −0,5x + 3
Hilfe 1
Was gilt für die y-Werte an einem gemeinsamen Punkt?
Hilfe 2
Setze die Funktionsterme gleich und löse nach x auf.
b) f(x) = x² − x − 2 und g(x) = x + 1
Hilfe 1
Setze gleich und bringe alles auf eine Seite.
Hilfe 2
Jede Lösung gehört zu einem Punkt. Wie kommst du zum y-Wert?
c) f(x) = 2x² − 3x − 1 und g(x) = x + 3; runde die Koordinaten auf zwei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Nach dem Umstellen steht eine Zahl vor x². Was tust du, bevor du p und q abliest?
Hilfe 2
Rechne mit dem exakten Wert weiter und runde erst am Ende.
Lösung zeigen
a) Zwei Geraden: gleichsetzen, x berechnen, y mit einer der Funktionen.
Die gemeinsamen Punkte sind A(0 | 3) und B(3 | 0).
Ohne Taschenrechner
2.6Am Graphen
Das Material zeigt die Graphen von f mit f(x) = x² − 4x + 1 und von g mit g(x) = x − 3.
Material
a) Lies am Graphen die Koordinaten der gemeinsamen Punkte ab.
Hilfe 1
Wo treffen sich die beiden Graphen?
Hilfe 2
Lies an jedem Treffpunkt erst den x-Wert, dann den y-Wert ab.
b) Bestätige deine Ablesewerte durch Rechnung.
Hilfe 1
Gleichsetzen und alles auf eine Seite bringen.
Hilfe 2
Vergleiche deine Ergebnisse mit den Ablesewerten.
Lösung zeigen
a) „Lies ab“: Werte aus dem Bild, ohne Rechnung.
Die Graphen treffen sich bei etwa (1 | −2) und (4 | 1). Ablesewerte, die um höchstens 0,2 abweichen, zählen.
b) Bestätigen heißt: gleichsetzen, lösen, mit dem Bild vergleichen.
x² − 4x + 1 = x − 3 ⇔ x² − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 2,5 ± 1,5 ⇔ x = 1 oder x = 4
g(1) = −2 und g(4) = 1. Die Schnittpunkte A(1 | −2) und B(4 | 1) stimmen mit den Ablesewerten überein.
2.7Funktionsgleichung aus Punkten
a) Bestimme die Gleichung der Geraden durch A(2 | 3) und B(6 | −1).
Hilfe 1
Welche zwei Zahlen fehlen in y = mx + n?
Hilfe 2
Jeder Punkt liefert durch Einsetzen eine Gleichung.
b) Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax² + bx + c verläuft durch die Punkte P(0 | 3), Q(1 | 4) und R(−1 | 0). Bestimme a, b und c.
Hilfe 1
Welcher der drei Punkte liefert eine Unbekannte sofort?
Hilfe 2
Mit den anderen beiden Punkten entstehen zwei Gleichungen für a und b.
c) Der Graph einer quadratischen Funktion g hat die Nullstellen −2 und 5 und schneidet die y-Achse im Punkt (0 | −20). Bestimme g(x) in der Form g(x) = ax² + bx + c.
Hilfe 1
Wie sieht der Funktionsterm aus, wenn man die Nullstellen schon kennt?
Hilfe 2
Der Punkt auf der y-Achse legt den Vorfaktor fest.
Lösung zeigen
a) Zwei Punkte, zwei Unbekannte m und n: Punktproben, dann das Gleichungssystem lösen.
Ansatz y = mx + n. A: 2m + n = 3 (I). B: 6m + n = −1 (II)
(II) − (I): 4m = −4 ⇔ m = −1. In (I): −2 + n = 3 ⇔ n = 5
y = −x + 5. Probe mit B: −6 + 5 = −1 ✓
b) Drei Punkte, drei Unbekannte; der Punkt auf der y-Achse liefert c, der Rest ist ein System mit zwei Gleichungen.
P: f(0) = c = 3
Q: a + b + 3 = 4 ⇔ a + b = 1 (I). R: a − b + 3 = 0 ⇔ a − b = −3 (II)
c) Nullstellen bekannt: Ansatz mit den Faktoren (x − x1) und (x − x2), ein weiterer Punkt liefert a.
g(x) = a · (x + 2) · (x − 5); g(0) = a · 2 · (−5) = −10a = −20, also a = 2
g(x) = 2 · (x + 2) · (x − 5) = 2x² − 6x − 20
Ebenso richtig: c = −20 aus dem Punkt, dann ein Gleichungssystem aus g(−2) = 0 und g(5) = 0.
2.8Gerade mit Unbekannter
Gegeben sind f(x) = x² und g(x) = 6x + c; dabei ist c eine reelle Zahl.
a) Bestimme c so, dass die Graphen von f und g genau einen gemeinsamen Punkt haben.
Hilfe 1
Gleichsetzen und alles auf eine Seite bringen; c bleibt als Buchstabe stehen.
Hilfe 2
Welche Bedingung an den Term unter der Wurzel bedeutet „genau ein gemeinsamer Punkt“?
b) Gib die Koordinaten dieses Punktes an.
Hilfe 1
Setze deinen Wert für c in die Gleichung aus a) ein.
Hilfe 2
Der Punkt braucht auch einen y-Wert.
c) Gib an, für welche Werte von c die Graphen keinen gemeinsamen Punkt haben.
Hilfe 1
Für welche Diskriminante gibt es keine Lösung?
Hilfe 2
Löse die Ungleichung nach c auf.
Lösung zeigen
a) „genau ein gemeinsamer Punkt“ ist eine Bedingung an die Diskriminante.
x² = 6x + c ⇔ x² − 6x − c = 0, D = 9 − (−c) = 9 + c
Genau ein gemeinsamer Punkt heißt D = 0, also c = −9.
b) Den Wert aus a) einsetzen und die Gleichung lösen.
x² − 6x + 9 = 0 ⇔ x = 3; f(3) = 9, also B(3 | 9).
c) „keinen gemeinsamen Punkt“: Diskriminante negativ.
D = 9 + c < 0 ⇔ c < −9. Für c < −9 gibt es keinen gemeinsamen Punkt.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) 2 kg Äpfel und 3 kg Birnen kosten zusammen 13 €; 4 kg Äpfel und 1 kg Birnen kosten zusammen 11 €. Was kostet 1 kg Äpfel? (2) h(t) beschreibt die Höhe eines Tauchers über der Wasseroberfläche in m, t ist die Zeit in Sekunden seit Beginn des Tauchgangs an der Oberfläche. Wann kommt er wieder an der Oberfläche an? (3) Zwei Hügel haben im Querschnitt die Profile p(x) und q(x) (x: waagerechte Entfernung von einem gemeinsamen Messpunkt in m, Höhen in m). Wo sind beide Hügel gleich hoch?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Wie viele unbekannte Größen kommen vor?
Hilfe 2
Bei (2): Welche Höhe hat der Taucher an der Oberfläche, und wann war er schon einmal dort?
Hilfe 3
Bei (3): Was ist an einer Stelle mit gleicher Höhe für beide Profile gleich?
b) Ein Stand auf dem Weihnachtsmarkt verkauft pro Tag x Lebkuchenherzen (x ist eine ganze Zahl). Weil der Preis bei größeren Mengen sinkt, beschreibt E(x) = −0,1x² + 10x den Erlös in Euro. Die Kosten in Euro beschreibt K(x) = 2x + 70; darin sind 70 € Standmiete enthalten. Für welche Mengen macht der Stand Gewinn? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist, für welche x … größer ist als … 2. Was nicht dasteht: Gewinn heißt …; bei E(x) = K(x) gibt es …; gezählt werden … 3. Rechnen: E(x) = K(x) ⇔ … = 0 ⇔ x = … oder x = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
Gewinn: Was muss größer sein als was?
Hilfe 2
Wo beginnt und endet der Bereich mit Gewinn? Was gilt dort für Erlös und Kosten?
Hilfe 3
Welche Mengen sind überhaupt möglich?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: Gleichungssystem, Nullstelle, Gleichsetzen.
(1) Gesucht sind der Preis a für 1 kg Äpfel und der Preis b für 1 kg Birnen, beide in Euro. Ansatz: (I) 2a + 3b = 13, (II) 4a + b = 11; dieses Gleichungssystem lösen. Auch wenn nur a gefragt ist, gehören beide Unbekannten in den Ansatz.
(2) Gesucht ist ein Zeitpunkt t > 0 mit h(t) = 0. Ansatz: Nullstellen von h bestimmen; t = 0 ist der Start und gehört nicht zur Antwort.
(3) Gesucht sind die Stellen x mit gleicher Höhe. Ansatz: p(x) = q(x) lösen; es kann mehrere Stellen geben.
b) „Gewinn“ heißt Erlös größer als Kosten: Schnittstellen von E und K bestimmen, dann den Bereich dazwischen in ganzen Zahlen angeben.
1. Gefragt ist, für welche x der Erlös E(x) größer ist als die Kosten K(x).
2. Gewinn heißt Erlös minus Kosten größer als null. Bei E(x) = K(x) gibt es weder Gewinn noch Verlust. Gezählt werden ganze Lebkuchenherzen.
3. E(x) = K(x) ⇔ −0,1x² + 8x − 70 = 0 ⇔ x² − 80x + 700 = 0 ⇔ x = 40 ± 30, also x = 10 oder x = 70. Die Parabel E ist nach unten geöffnet und liegt zwischen den Schnittstellen über der Geraden K.
4. Der Stand macht Gewinn, wenn er mindestens 11 und höchstens 69 Lebkuchenherzen verkauft.
5. Probe bei x = 40: E(40) = 240 > K(40) = 150. Bei 10 und 70 Herzen sind Erlös und Kosten gleich.
3.2Lernzentrum
Im Lernzentrum einer Hochschule wird die Zahl der anwesenden Personen im Modell durch N(t) = −2t² + 24t − 40 beschrieben. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit 8 Uhr morgens. Das Modell soll die Besucherzahl vom Öffnen bis zum Schließen des Lernzentrums beschreiben. Das Material zeigt den Graphen von N und die Gerade y = 24.
Material
a) Bestimme die Öffnungszeiten des Lernzentrums.
Hilfe 1
Wie viele Personen sind beim Öffnen und beim Schließen da?
Hilfe 2
t zählt ab 8 Uhr.
b) Bestimme anhand des Graphen, in welchem Zeitraum sich mindestens 24 Personen im Lernzentrum aufhalten, und gib die Dauer an.
Hilfe 1
Wo liegt der Graph von N auf oder über der Geraden?
Hilfe 2
Die Dauer ist der Abstand zweier Zeitpunkte.
c) Ein Besucher rechnet N(1) = −18 und sagt: „Um 9 Uhr waren also −18 Personen im Lernzentrum.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Kann eine Anzahl von Personen negativ sein?
Hilfe 2
Zu welcher Uhrzeit gehört t = 1, und ist das Lernzentrum dann geöffnet?
Lösung zeigen
a) Öffnen und Schließen: Zu beiden Zeitpunkten ist niemand da, also beide Nullstellen; t in Uhrzeit umrechnen.
Zu Beginn und am Ende ist niemand im Lernzentrum: N(t) = 0.
−2t² + 24t − 40 = 0 ⇔ t² − 12t + 20 = 0; (p2)² − q = 36 − 20 = 16; t = 6 ± 4, also t = 2 oder t = 10
t zählt ab 8 Uhr: Das Lernzentrum ist von 10 Uhr bis 18 Uhr geöffnet.
b) „anhand des Graphen“: ablesen, wo der Graph auf oder über y = 24 liegt.
Im Material liegt der Graph von N auf oder über der Geraden y = 24 für 4 ≤ t ≤ 8, also von 12 Uhr bis 16 Uhr.
Dauer: 4 Stunden. (Abgelesene Grenzen dürfen um 0,25 Stunden abweichen.)
Rechnerische Kontrolle: N(t) = 24 ⇔ t² − 12t + 32 = 0 ⇔ t = 4 oder t = 8.
c) Ein Modellwert außerhalb des Gültigkeitsbereichs: beurteilen, nicht nachrechnen.
Die Aussage ergibt keinen Sinn: Eine Zahl von Personen kann nicht negativ sein.
t = 1 gehört zu 9 Uhr, also vor die Öffnung um 10 Uhr. Das Modell gilt nur zwischen den Nullstellen t = 2 und t = 10; außerhalb davon sagt es nichts über die Wirklichkeit.
3.3Fernwärmeleitung
Eine Fernwärmeleitung überquert eine Mulde. Das Gelände hat im Querschnitt das Profil p(x) = 0,02x² − 1,2x + 20, die Leitung verläuft gerade nach s(x) = 0,2x + 8 (x: waagerechte Entfernung vom linken Rand in m, 0 ≤ x ≤ 70; p(x) und s(x): Höhe über einer Bezugslinie in m). An den beiden Enden der Leitung steht je ein Anschlussschacht im Gelände. Dazwischen ruht die Leitung auf senkrechten Stützen. Das Material zeigt beide Graphen.
Material
a) Lies am Graphen ab, wo die beiden Anschlussschächte stehen (Entfernung und Höhe).
Hilfe 1
Wo trifft die Leitung auf das Gelände?
Hilfe 2
Lies an beiden Treffpunkten Entfernung und Höhe ab.
b) Berechne die Koordinaten beider Anschlussschächte und prüfe damit deine Ablesewerte.
Hilfe 1
Gleichsetzen; die Zahl vor x² stört beim Ablesen von p und q.
Hilfe 2
Die Höhe liefert s.
c) Bestimme, an welcher Stelle die Leitung senkrecht gemessen am weitesten über dem Gelände verläuft, und wie lang dort die Stütze ist.
Hilfe 1
Wie lang ist eine Stütze an der Stelle x?
Hilfe 2
Der Abstand ist selbst eine quadratische Funktion. Wo liegt ihr höchster Punkt im Vergleich zu ihren Nullstellen?
d) Ein Praktikant sagt: „Die Leitung verläuft bei x = 5 über dem Gelände.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Berechne beide Höhen bei x = 5.
Hilfe 2
Wo gibt es überhaupt eine Leitung?
Lösung zeigen
a) Die Schächte stehen im Gelände: gemeinsame Punkte von Leitung und Profil.
Bei etwa x = 10 (Höhe etwa 10 m) und bei etwa x = 60 (Höhe etwa 20 m). Ablesewerte, die um höchstens 2 abweichen, zählen.
b) Gleichsetzen, durch 0,02 teilen, Koordinaten mit s.
x = 35 ± √(1225 − 600) = 35 ± 25 ⇔ x = 10 oder x = 60
s(10) = 10 und s(60) = 20. Der linke Schacht liegt bei A(10 | 10), der rechte bei B(60 | 20).
c) Stützenlänge ist der senkrechte Abstand s(x) − p(x); gesucht ist sein größter Wert.
Abstand: d(x) = s(x) − p(x) = −0,02x² + 1,4x − 12
d ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 10 und 60. Ihr höchster Punkt liegt in der Mitte, bei x = 35: d(35) = −24,5 + 49 − 12 = 12,5
Die längste Stütze steht 35 m vom linken Rand entfernt und ist 12,5 m lang.
d) Aussage an einer Stelle prüfen und den Bereich der Leitung beachten.
p(5) = 14,5 und s(5) = 9. Die Gerade liegt bei x = 5 unter dem Gelände, die Aussage ist falsch.
Nur zwischen den Schächten (10 ≤ x ≤ 60) liegt die Gerade über dem Gelände. Links vom linken Schacht läge sie im Boden; dort gibt es keine Leitung.
3.4Seifenkistenrennen
Bei einem Seifenkistenrennen startet Wagen A mit 10 m Vorsprung vor Wagen B. Im Modell hat Wagen A nach t Sekunden die Strecke a(t) = 0,4t² + 3t + 10 zurückgelegt, Wagen B die Strecke b(t) = 1,1t² + 2t (jeweils in m, gemessen von der Startlinie von Wagen B; t ≥ 0). Das Ziel liegt 100 m hinter der Startlinie von Wagen B.
a) Bestimme, nach wie vielen Sekunden Wagen B den Wagen A eingeholt hat.
Hilfe 1
Was gilt für die Positionen der beiden Wagen, wenn B den Wagen A einholt?
Hilfe 2
Nach dem Umstellen steht eine Zahl vor t².
b) Nenne, welche Lösung der Gleichung aus a) im Sachzusammenhang nicht in Frage kommt, und begründe.
Hilfe 1
Für welche Zeiten gilt das Modell?
Hilfe 2
Was würde eine negative Zeit bedeuten?
c) Entscheide, welcher Wagen das Ziel zuerst erreicht und mit welchem Vorsprung in Sekunden.
Hilfe 1
Wann erreicht jeder Wagen die 100 m?
Hilfe 2
Löse zwei Gleichungen und vergleiche.
Lösung zeigen
a) „eingeholt“: gleiche Position zur gleichen Zeit, a(t) = b(t).
Wagen B ist zuerst im Ziel, etwa 3,04 s vor Wagen A.
3.5Datenvolumen
Ein Anbieter hat drei Tarife für mobiles Datenvolumen. Tarif S kostet 3 € Grundpreis plus 0,60 € je GB. Tarif M kostet 6 € Grundpreis plus 0,30 € je GB. Tarif L kostet 12 € Grundpreis plus 0,10 € je GB. x ist das monatlich verbrauchte Datenvolumen in GB (x ≥ 0); die Kosten sind in Euro.
a) Stelle die Kostenfunktionen KS, KM und KL auf.
Hilfe 1
Was zahlt man bei 0 GB, was kommt je GB dazu?
Hilfe 2
Grundpreis plus Preis je GB mal Menge.
b) Bestimme, bei welchem Datenvolumen KS und KM gleich teuer sind, und bei welchem KM und KL. Gib jeweils die Kosten an.
Hilfe 1
Gleich teuer heißt gleiche Kosten.
Hilfe 2
Setze jeweils zwei Kostenfunktionen gleich.
c) Entscheide, bei welchem Datenvolumen welcher Tarif am günstigsten ist, und begründe deine Entscheidung.
Hilfe 1
Welcher Tarif ist bei sehr wenig, welcher bei sehr viel Datenvolumen günstig?
Hilfe 2
Prüfe in jedem Bereich zwischen den Schnittstellen mit einem Wert, welcher Tarif am wenigsten kostet.
Hilfe 3
Gibt es einen Schnittpunkt, der für die Entscheidung keine Rolle spielt?
Lösung zeigen
a) Grundpreis ist der y-Achsenabschnitt, Preis je GB die Steigung.
KM = KL: 6 + 0,3x = 12 + 0,1x ⇔ 0,2x = 6 ⇔ x = 30; K = 15 €
c) Mit drei Geraden zählen nur die Schnittpunkte, an denen der günstigste Tarif wechselt.
KS = KL bei x = 18 (3 + 0,6x = 12 + 0,1x), dort kostet Tarif M aber nur 11,40 €; dieser Schnittpunkt ist ohne Bedeutung.
Bis 10 GB ist S am günstigsten (KS(0) = 3 < KM(0) = 6), zwischen 10 GB und 30 GB ist M am günstigsten (Probe bei 20 GB: S 15 €, M 12 €, L 14 €), ab 30 GB ist L am günstigsten (Probe bei 40 GB: M 18 €, L 16 €).
Bei genau 10 GB sind S und M gleich teuer, bei genau 30 GB M und L.
Klausuraufgabe
4.1Heidelbeerernte
Ein Hof erntet in einer Saison von 90 Tagen Heidelbeeren. Die Erntemenge wird im Modell durch eine Funktion f mit f(x) = ax² + bx beschrieben (x: Tage seit Saisonbeginn, 0 ≤ x ≤ 90; f(x): Kisten pro Tag). Am 10. Tag werden 8 Kisten geerntet, am 50. Tag 20 Kisten. Hofladen und Marktstände nehmen zusammen g(x) = 0,1x Kisten pro Tag ab. Die Abbildung zeigt die Graphen von f und g.
Abbildung
a) Bestimme a und b. Zur Kontrolle: f(x) = −0,01x² + 0,9x.4 BE
Hilfe 1
Jede Angabe liefert eine Gleichung für a und b.
Hilfe 2
Mach eine Unbekannte durch ein Vielfaches einer Gleichung weg.
b) Bestimme, an welchem Tag nach Saisonbeginn die Ernte nur noch so groß ist wie die Abnahme, und wie viele Kisten pro Tag das sind.3 BE
Hilfe 1
Was gilt für Ernte und Abnahme an diesem Tag?
Hilfe 2
Welche Lösung gehört zum Saisonbeginn?
c) Im Heft des Hofs steht ohne weitere Erklärung: f(x) − g(x) = 12 ⇔ x² − 80x + 1200 = 0 ⇔ x = 20 oder x = 60 Formuliere eine Frage zur Ernte, die mit dieser Rechnung beantwortet wird, und erläutere die Schritte der Rechnung mithilfe der Abbildung.4 BE
Hilfe 1
Was bedeutet f(x) − g(x) in der Abbildung?
Hilfe 2
Wie kommt man von −0,01x² + 0,8x = 12 auf die zweite Gleichung?
d) Vom 30. bis zum 60. Tag ist nur eine Sortieranlage in Betrieb, die höchstens 20 Kisten pro Tag schafft. Untersuche, ob die Ernte in dieser Zeit die Grenze der Anlage überschreitet.3 BE
Hilfe 1
Wann ist die Ernte genau 20 Kisten pro Tag?
Hilfe 2
Liegen diese Tage im Betriebszeitraum, und wo liegt der Graph darüber?
Lösung zeigen
a) Zwei Angaben, zwei Unbekannte: Punktproben, Gleichungssystem; das Kontrollergebnis sichert die Folgeteile.
In (I): −1 + 10b = 8 ⇔ b = 0,9. Also f(x) = −0,01x² + 0,9x.
b) „so groß wie“: f(x) = g(x); x = 0 ist der Start.
f(x) = g(x): −0,01x² + 0,9x = 0,1x ⇔ −0,01x² + 0,8x = 0 ⇔ x · (−0,01x + 0,8) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 80
x = 0 ist der Saisonbeginn. g(80) = 8.
Am 80. Tag der Saison ist die Ernte nur noch so groß wie die Abnahme: 8 Kisten pro Tag.
c) Eine fertige Rechnung deuten: Frage finden, Schritte in der Sache erklären, Abbildung als Beleg.
Frage: An welchen Tagen werden 12 Kisten mehr geerntet, als abgenommen werden?
f(x) − g(x) ist der senkrechte Abstand zwischen den Graphen, also der Überschuss. Aus −0,01x² + 0,8x = 12 wird durch Multiplizieren mit −100 die Gleichung x² − 80x + 1200 = 0 mit den Lösungen 20 und 60.
In der Abbildung liegt f von x = 0 bis x = 80 über g. Am 20. Tag wächst der Überschuss auf 12 Kisten, am 60. Tag sinkt er wieder auf 12 Kisten.
d) Grenze erreicht: f(x) = 20, dann die Lage zum Zeitraum vom 30. bis zum 60. Tag prüfen.
x = 45 ± 5, also x = 40 oder x = 50. Beide Tage liegen zwischen dem 30. und dem 60. Tag.
Die Parabel ist nach unten geöffnet: Vom 40. bis zum 50. Tag liegt die Ernte über 20 Kisten pro Tag. Die Anlage reicht in dieser Zeit nicht aus.
Ebenso richtig: Der höchste Punkt von f liegt in der Mitte zwischen den Nullstellen 0 und 90, bei x = 45, also im Zeitraum; f(45) = 20,25 > 20. Die Anlage reicht nicht.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Funktionen aus der Mittelstufe“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.