Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe von x-Potenzen mit festen Vorfaktoren. Die Exponenten sind ganze Zahlen ab 0. Der Grad ist der größte Exponent. Der Leitkoeffizient ist der Vorfaktor der höchsten Potenz. Das absolute Glied ist die Zahl ohne x. Lineare und quadratische Funktionen gehören dazu, der Definitionsbereich ist ℝ. Nicht dazu gehören Terme wie 1x, √x oder 2x.
f(x) = 2x³ − 5x² + x − 7 Grad 3, Leitkoeffizient 2, absolutes Glied −7
Ordne den Term zuerst nach fallenden Exponenten: g(x) = 3x − x4 + 2 wird zu −x4 + 3x + 2. Dann ist der Grad 4 und der Leitkoeffizient −1. Steht der Term in Klammern, zählt die höchste Potenz, die beim Ausmultiplizieren entsteht: x · (x − 1) · (x + 2) hat den Grad 3 und den Leitkoeffizienten 1.
✎ Mini-Aufgabe: Gib Grad, Leitkoeffizient und absolutes Glied von f(x) = −2x5 + 4x³ − x + 7 an.
Lösung zeigen
Grad 5, Leitkoeffizient −2, absolutes Glied 7.
2. Verhalten für große |x|
Für sehr große |x| entscheidet allein die höchste Potenz, wohin der Graph läuft. Die kleineren Potenzen fallen dagegen kaum ins Gewicht. Du brauchst nur den Grad (gerade oder ungerade) und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten.
Grad
Leitkoeffizient
links (x → −∞)
rechts (x → +∞)
gerade
positiv
f(x) → +∞
f(x) → +∞
gerade
negativ
f(x) → −∞
f(x) → −∞
ungerade
positiv
f(x) → −∞
f(x) → +∞
ungerade
negativ
f(x) → +∞
f(x) → −∞
Beispiel: f(x) = −3x4 + 2x
Leitterm −3x4: Grad 4 (gerade), Leitkoeffizient negativ.
x → +∞: f(x) → −∞ x → −∞: f(x) → −∞
✎ Mini-Aufgabe: Wie verhält sich f(x) = 2x − x³ für x → +∞ und für x → −∞?
Lösung zeigen
Der Leitterm ist −x³: ungerader Grad, negativer Leitkoeffizient. Für x → +∞ gilt f(x) → −∞, für x → −∞ gilt f(x) → +∞.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für jedes x gilt: f(−x) = f(x). Er ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für jedes x gilt: f(−x) = −f(x). Die Stellen x und −x liegen gleich weit links und rechts der y-Achse; verglichen werden ihre Funktionswerte.
Allgemein zeigen: Setze −x für x in den Term ein und vereinfache. Dabei gilt (−x)² = x² und (−x)³ = −x³. Bei einem geraden Exponenten fällt das Minus weg, bei einem ungeraden bleibt es.
Beispiel: f(x) = x³ − 4x
f(−x) = (−x)³ − 4 · (−x) = −x³ + 4x
= −(x³ − 4x) = −f(x) für jedes x, also punktsymmetrisch zum Ursprung.
Daraus folgt eine Regel, mit der du bei ganzrationalen Funktionen schneller bist. Sie gilt, wenn der Term ausmultipliziert dasteht:
Nur gerade Exponenten: achsensymmetrisch zur y-Achse. Ein absolutes Glied zählt mit, denn die Zahl ohne x hat den Exponenten 0.
Nur ungerade Exponenten: punktsymmetrisch zum Ursprung.
Gerade und ungerade Exponenten gemischt: keine der beiden Symmetrien. In einer Aufgabe begründest du das mit f(−x) oder mit einem Zahlenpaar, an dem beide Gleichungen scheitern.
Beispiele
f(x) = x4 − 3x² + 1: nur gerade Exponenten (4, 2, 0), also achsensymmetrisch.
g(x) = x³ − x: nur ungerade Exponenten (3, 1), also punktsymmetrisch.
h(x) = x³ + x²: gemischt. h(1) = 2 und h(−1) = 0. Weder h(−1) = h(1) noch h(−1) = −h(1) stimmt, also keine der beiden Symmetrien.
Ein einzelnes Zahlenpaar beweist keine Symmetrie. f(x) = x³ + x² − x hat f(1) = 1 und f(−1) = 1, ist aber nicht achsensymmetrisch: f(2) = 10, f(−2) = −2. Zum Widerlegen genügt dagegen ein Paar, zum Zeigen brauchst du f(−x) für jedes x oder die Exponenten.
✎ Mini-Aufgabe: Zeige mit f(−x), dass der Graph von f(x) = x5 − 4x³ + x punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Lösung zeigen
f(−x) = (−x)5 − 4 · (−x)³ + (−x) = −x5 + 4x³ − x = −(x5 − 4x³ + x) = −f(x). Also ist der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung.
Schneller über die Exponenten: 5, 3 und 1 sind alle ungerade.
4. Nullstellen berechnen
Nullstellen sind die Lösungen von f(x) = 0. Die Grundlage ist der Satz vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer seiner Faktoren 0 ist. Je nach Bau des Terms gibt es drei Wege.
Weg 1: Hat jeder Summand ein x, klammere die kleinste x-Potenz aus. Teile nie durch x, sonst geht die Nullstelle x = 0 verloren. Was in der Klammer bleibt, löst du mit der pq-Formel oder durch Umformen.
Beispiel: f(x) = x³ − 5x² + 6x
x³ − 5x² + 6x = x · (x² − 5x + 6) = 0
x = 0 oder x² − 5x + 6 = 0
x² − 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2,5 ± 0,5, also x = 2 oder x = 3
Nullstellen: x = 0; 2; 3
Weg 2: Kommen nur x4, x² und eine Zahl vor, setze z = x². Löse die quadratische Gleichung in z und gehe dann zu x zurück: x² = z. Ein negatives z liefert keine Lösung, denn x² ist nie negativ.
Beispiel: x4 − 7x² + 12 = 0 und x4 + x² − 2 = 0
z = x²: z² − 7z + 12 = 0 ⇔ z = 3 oder z = 4
x² = 3 ⇒ x = ±√3 ≈ ±1,73 x² = 4 ⇒ x = ±2
z² + z − 2 = 0 ⇔ z = 1 oder z = −2
x² = 1 ⇒ x = ±1 x² = −2 hat keine Lösung
Weg 3: Steht der Term schon in Faktoren, liest du die Nullstellen ab: Jeder Faktor (x − a) liefert x = a. Ein Faktor wie x² + 4 wird nie 0 und liefert nichts. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n hat höchstens n Nullstellen.
Ablesen und rückwärts
f(x) = 2 · (x + 1) · (x − 3) · (x² + 4): Nullstellen x = −1 und x = 3; der Faktor x² + 4 liefert keine.
Rückwärts: Zu den Nullstellen −1, 2 und 3 passt f(x) = a · (x + 1) · (x − 2) · (x − 3).
Geht der Graph durch (0 | 12), gilt a · 1 · (−2) · (−3) = 12, also a = 2.
Vorzeichen: Zwischen zwei benachbarten Nullstellen liegt der Graph ganz oberhalb oder ganz unterhalb der x-Achse. Welche Seite es ist, siehst du, wenn du eine Zahl dazwischen einsetzt.
Beispiel: f(x) = x · (x − 2) · (x − 4)
Nullstellen 0, 2 und 4. Zwischenstellen: f(1) = 3 > 0 und f(3) = −3 < 0.
Oberhalb der x-Achse liegt der Graph also für 0 < x < 2, unterhalb für 2 < x < 4.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f(x) = x³ − 5x².
Lösung zeigen
x² · (x − 5) = 0, also x = 0 oder x = 5.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die Nullstellen von f(x) = x4 − 5x² + 4.
Lösung zeigen
z = x²: z² − 5z + 4 = 0, also z = 1 oder z = 4. Dann x = ±1 oder x = ±2.
5. Die Graphen dazu
Oben der Graph von f(x) = x³ − 4x, unten der Graph von g(x) = x4 − 5x² + 4. Oben liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor, unten Achsensymmetrie zur y-Achse. Beide Graphen schneiden die x-Achse an ihren Nullstellen.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Nullstelle, Schnittpunkt mit der x-Achse, Wert 0
Lösung von f(x) = 0
Im Sachzusammenhang zählen nur Stellen im Definitionsbereich.
wieder leer, wieder bei null, aufgebraucht
Nullstelle nach dem Start
x = 0 ist der Anfang, nicht die gesuchte Stelle.
Gewinnschwelle, ab wann kein Verlust
Nullstelle der Gewinnfunktion
Ein Gewinnbereich liegt zwischen zwei Nullstellen: Zahl dazwischen einsetzen.
Gewinn, Verlust
G(x) > 0 oder G(x) < 0
Die Grenzen sind Nullstellen.
auf lange Sicht, für sehr große Werte
Verhalten für x → ∞, bestimmt vom Leitterm
Das Modell kann dort unsinnig werden.
links und rechts der Mitte gleich geformt
achsensymmetrisch: f(−x) = f(x)
Exponenten ansehen oder f(−x) ausrechnen; ein absolutes Glied zählt mit.
Zeige, dass der Graph symmetrisch ist.
f(−x) = f(x) oder f(−x) = −f(x) für jedes x
Ein Zahlenpaar genügt nicht.
das Modell gilt für …
Definitionsbereich der Aufgabe
Ergebnisse außerhalb nicht verwenden.
7. Was nirgends steht
Der Grad steht selten da. Bei einem Term in Klammern musst du ihn selbst bestimmen: Die höchsten Potenzen der Faktoren werden multipliziert.
Beim Ausklammern steht nirgends, dass x = 0 eine Lösung sein kann. Wer durch x teilt, verliert sie.
Bei z = x² steht nirgends, dass ein negatives z wegfällt. Rückübersetzen heißt x² = z lösen, nicht x = z setzen.
In Sachaufgaben steht der Definitionsbereich im Kopf. Lösungen außerhalb davon, auch negative Zeiten oder Mengen, zählen nicht.
Wie viele Nullstellen es gibt, steht nicht da: höchstens so viele wie der Grad, oft weniger.
8. Ein Beispiel aus der Sache
Eine Werkstatt für Holzspielzeug hat den Gewinn G(x) = −x³ + 9x² − 18x (x in Hundert Stück, G(x) in Hundert Euro, x ≥ 0). Für welche Mengen macht sie Gewinn?
Was ist gefragt? Der Bereich, in dem G(x) > 0 ist.
Was steht nicht da? Die Grenzen des Bereichs sind Nullstellen. Zwischen den Nullstellen muss ich das Vorzeichen prüfen. Bei x = 0 wird nichts verkauft, dort ist kein Gewinn.
Antwortsatz Zwischen 300 und 600 Stück macht die Werkstatt Gewinn.
Prüfen G(4) = −64 + 144 − 72 = 8 passt zur Faktorform. Der Gewinnbereich liegt zwischen den zwei größeren Nullstellen.
9. Typische Fehler
Beim Ausklammern durch x teilen: Die Nullstelle x = 0 fehlt.
Bei z = x² die z-Werte als x-Werte angeben (z = 4, also x = 4 statt x = ±2).
Bei einem unsortierten Term das Verhalten am ersten Summanden ablesen statt am Summanden mit der höchsten Potenz.
Einen einzigen ungeraden Exponenten als „stört kaum“ übergehen: Schon einer zerstört die Achsensymmetrie.
Eine Symmetrie mit einem einzigen Zahlenpaar „beweisen“: f(1) = f(−1) kann Zufall sein.
Einen Gewinnbereich aus den Nullstellen ablesen, ohne das Vorzeichen dazwischen zu prüfen.
Rechnen
2.1Bausteine einer Funktion
Gib von f mit f(x) = 3x − 2x4 + 5x² − 7 den Grad, den Leitkoeffizienten und das absolute Glied an.
Hilfe 1
In welcher Reihenfolge steht der Term? Was ändert sich, wenn du ihn nach fallenden Exponenten ordnen?
Hilfe 2
Welcher Summand hat den größten Exponenten, und was ist sein Vorfaktor?
Lösung zeigen
Ein unsortierter Term: erst nach fallenden Exponenten ordnen, dann Grad, Leitkoeffizient und absolutes Glied ablesen.
Geordnet: f(x) = −2x4 + 5x² + 3x − 7
Grad 4, Leitkoeffizient −2, absolutes Glied −7.
2.2Große x-Werte
a) Beschreibe das Verhalten von f mit f(x) = x³ − 2x für x → +∞ und für x → −∞.
Hilfe 1
Welche Potenz von x entscheidet für sehr große |x|?
Hilfe 2
Ist ihr Exponent gerade oder ungerade, und welches Vorzeichen hat der Vorfaktor?
b) Beschreibe das Verhalten von g mit g(x) = −x4 + 3x² für x → +∞ und für x → −∞.
Hilfe 1
Welche Potenz von x entscheidet für sehr große |x|?
Hilfe 2
Wie laufen beide Äste, wenn der Grad gerade ist?
c) Der Graph von k mit k(x) = 100x³ − x4 verläuft für x → +∞ und für x → −∞ nach unten. Begründe das, obwohl der erste Summand 100x³ einen großen positiven Vorfaktor hat.
Hilfe 1
Bei welchem x sind 100x³ und x4 gleich groß?
Hilfe 2
Was passiert danach, wenn x weiter wächst?
Lösung zeigen
a) „Verhalten für x → ±∞“ heißt: Leitterm ansehen.
Leitterm x³: ungerader Grad, positiver Leitkoeffizient.
x → +∞: f(x) → +∞. x → −∞: f(x) → −∞.
b) Gerader Grad: beide Äste in dieselbe Richtung, das Vorzeichen des Leitkoeffizienten sagt welche.
Leitterm −x4: gerader Grad, negativer Leitkoeffizient.
x → +∞: g(x) → −∞. x → −∞: g(x) → −∞.
c) Eine Behauptung belegen: Nicht der größere Vorfaktor entscheidet, sondern die höhere Potenz.
Der Leitterm ist −x4 (Grad 4, negativer Leitkoeffizient), also k(x) → −∞ in beide Richtungen.
Der Vorfaktor 100 hilft nur eine Weile: Bei x = 100 sind beide Summanden gleich groß (k(100) = 0), für x > 100 überwiegt −x4.
2.3Symmetrie
a) Entscheide für f mit f(x) = 2x4 − x² + 7, ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder keines von beidem ist, und begründe.
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor? Auch die Zahl 7 hat einen.
Hilfe 2
Was gilt für die Symmetrie, wenn alle Exponenten gerade sind?
b) Gegeben ist g mit g(x) = (x² − 1) · (x³ + 2x). Zeige, dass g(−x) = −g(x) für jedes x gilt, und gib an, was das für den Graphen von g bedeutet.
Hilfe 1
Setze überall −x für x ein. Was wird aus (−x)² und aus (−x)³?
Hilfe 2
Lässt sich aus der zweiten Klammer ein Minus herausziehen?
c) Zeige, dass der Graph von k mit k(x) = x4 + 2x weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Hilfe 1
Wie widerlegt man „für alle x gilt k(−x) = k(x)“? Genügt ein einziges Zahlenpaar?
Hilfe 2
Welche zwei Aussagen musst du getrennt widerlegen?
Lösung zeigen
a) Symmetrie ganzrationaler Funktionen: Exponenten ansehen, das absolute Glied zählt als Exponent 0.
Die Exponenten 4, 2 und 0 (bei 7) sind alle gerade.
Also gilt f(−x) = f(x): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
b) „Für jedes x zeigen“: −x allgemein einsetzen und umformen; ein Zahlenpaar genügt nicht.
Der Graph von g ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
c) „Zeige, dass nicht“: Ein Gegenbeispiel genügt, aber für beide Symmetrien.
k(1) = 3 und k(−1) = −1.
Wegen k(−1) ≠ k(1) ist der Graph nicht achsensymmetrisch, wegen k(−1) ≠ −k(1) = −3 nicht punktsymmetrisch.
Ebenso richtig: k(−x) = x4 − 2x ist für x ≠ 0 weder gleich k(x) noch gleich −k(x).
2.4Nullstellen berechnen
a) Bestimme alle Nullstellen von f mit f(x) = x³ − 6x².
Hilfe 1
Was haben beide Summanden gemeinsam?
Hilfe 2
Wann ist ein Produkt gleich null?
b) Gegeben ist g mit g(x) = x4 − 6x³ + 8x². Es gilt g(x) = x² · (x² − 6x + 8). Bestimme damit alle Nullstellen von g.
Hilfe 1
Wann ist ein Produkt aus x² und einer Klammer gleich null?
Hilfe 2
Welche Gleichung bleibt für die Klammer, und wie löse sie?
Lösung zeigen
a) Jeder Summand enthält x: gemeinsamen Faktor herausnehmen, dann Nullprodukt.
f(x) = x² · (x − 6) = 0
x² = 0 oder x − 6 = 0, also x = 0 oder x = 6.
b) Ein Zwischenergebnis ist gegeben: nur noch Faktoren einzeln null setzen, die Klammer mit der pq-Formel.
g(x) = 0 ⇔ x² = 0 oder x² − 6x + 8 = 0
x² = 0 ergibt x = 0. x² − 6x + 8 = 0 ergibt x = 3 ± 1, also x = 2 oder x = 4.
Die Nullstellen sind x = 0, x = 2, x = 4.
2.5Weitere Nullstellen
a) Bestimme alle Nullstellen von f mit f(x) = x4 − 13x² + 36.
Hilfe 1
Welche Potenzen von x kommen vor? Was fällt an den Exponenten auf?
Hilfe 2
Welche Gleichung entsteht, wenn du x² durch z ersetzt?
b) Bestimme alle Nullstellen von g mit g(x) = x4 − 6x² + 4 auf drei Nachkommastellen genau.
Hilfe 1
Welche Gleichung entsteht, wenn du x² durch z ersetzt?
Hilfe 2
Die z-Werte sind nicht glatt: Was gilt für Wurzeln aus ihnen?
c) Untersuche, welche reellen Nullstellen h mit h(x) = x4 + 3x² + 2 hat.
Hilfe 1
Welche Gleichung entsteht, wenn du x² durch z ersetzt?
Hilfe 2
Darf x² negativ sein?
Lösung zeigen
a) Nur x4, x² und eine Zahl: Ersetzen von x² durch z führt auf eine quadratische Gleichung.
z = x²: z² − 13z + 36 = 0 ⇔ z = 4 oder z = 9
x² = 4 ⇒ x = ±2. x² = 9 ⇒ x = ±3
Die Nullstellen sind x = ±2 und x = ±3.
b) Wie a), nur mit nicht glatten Zahlen: Taschenrechner für die Wurzeln.
z = x²: z² − 6z + 4 = 0 ⇔ z = 3 − √5 ≈ 0,764 oder z = 3 + √5 ≈ 5,236
x ≈ ±0,874 oder x ≈ ±2,288
Alle vier Werte sind Nullstellen.
c) Die stille Bedingung: Eine Gleichung wie x² = −1 hat keine reelle Lösung.
z = x²: z² + 3z + 2 = 0 ⇔ z = −1 oder z = −2
x² = −1 und x² = −2 haben keine reelle Lösung. Also hat h keine Nullstelle.
Ohne Taschenrechner
2.6Funktion gesucht
Eine ganzrationale Funktion g dritten Grades hat die Nullstellen −3, 0 und 2. Ihr Graph geht durch den Punkt P(1 | −8). Bestimme einen Funktionsterm von g.
Hilfe 1
Wie sieht ein Term aus, der genau diese drei Nullstellen hat?
Hilfe 2
Was bleibt unbestimmt, und welche Angabe legt es fest?
Lösung zeigen
Rückwärts: aus Nullstellen und einem Punkt den Term aufstellen.
Ansatz: g(x) = a · x · (x + 3) · (x − 2)
g(1) = a · 1 · 4 · (−1) = −4a = −8, also a = 2
g(x) = 2x · (x + 3) · (x − 2) = 2x³ + 2x² − 12x
2.7Graph lesen
Die Abbildung zeigt den Graphen einer ganzrationalen Funktion f. Außerhalb des gezeigten Ausschnitts verläuft der Graph so weiter, wie es für ganzrationale Funktionen üblich ist.
Abbildung
a) Lies alle Nullstellen von f aus der Abbildung ab.
Hilfe 1
Wo schneidet oder berührt der Graph die x-Achse?
b) Entscheide anhand der Abbildung, ob der Grad von f gerade oder ungerade ist und ob der Leitkoeffizient positiv oder negativ ist. Begründe.
Hilfe 1
Wie verhalten sich die beiden Äste links und rechts am Rand der Abbildung?
Hilfe 2
Was sagt dir das über den Grad und über das Vorzeichen des Leitkoeffizienten?
c) Der Graph ist symmetrisch. Gib die Art der Symmetrie an und belege sie mit zwei Wertepaaren, die du aus der Abbildung ablesen.
Hilfe 1
Wie liegen die beiden Hälften des Graphen zur y-Achse?
Hilfe 2
Lies f(1,5) und f(−1,5) ab. Was fällt auf?
Lösung zeigen
a) Nullstellen am Graphen: Stellen, an denen er die x-Achse trifft.
x = −2, x = 0 und x = 2 (bei x = 0 berührt der Graph die x-Achse). Abweichungen bis 0,1 werden akzeptiert.
b) Rand ablesen: Beide Äste laufen nach unten.
Beide Äste laufen nach unten: Der Grad ist gerade, der Leitkoeffizient negativ.
Bei ungeradem Grad liefen die Äste in entgegengesetzte Richtungen; bei positivem Leitkoeffizienten und geradem Grad liefen beide nach oben.
c) Symmetrie am Graphen: spiegelbildliche Punkte vergleichen.
Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
Zum Beispiel f(1,5) ≈ 1 und f(−1,5) ≈ 1 (Abweichungen bis 0,1 werden akzeptiert), ebenso f(2) = f(−2) = 0.
2.8Mit Parameter
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − t · x, dabei ist t eine positive Zahl.
a) Bestimme alle Nullstellen von f in Abhängigkeit von t.
Hilfe 1
Haben beide Summanden einen gemeinsamen Faktor?
Hilfe 2
Welche Gleichung bleibt für die Klammer, und was heißt t > 0 dafür?
b) Bestimme t so, dass x = 3 eine Nullstelle von f ist.
Hilfe 1
Was passiert, wenn du x = 3 in die Funktionsgleichung einsetzt?
c) Begründe, dass der Graph von f für jeden Wert von t punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen in f vor, und hängen sie von t ab?
Lösung zeigen
a) Ausklammern geht auch mit Parameter; t > 0 steht in der Einleitung.
f(x) = x · (x² − t) = 0
x = 0 oder x² = t, also x = √t oder x = −√t.
Die Nullstellen sind x = 0, x = √t und x = −√t.
b) Rückwärts: Nullstelle gegeben, Parameter gesucht.
f(3) = 27 − 3t = 0, also t = 9.
Probe: Die Nullstellen sind dann 0, 3 und −3.
c) Symmetrie über die Exponenten: t ändert sie nicht.
Im Term kommen nur die Exponenten 3 und 1 vor, beide ungerade. t steht nur im Vorfaktor und ändert die Exponenten nicht.
Also gilt f(−x) = −f(x) für jedes t.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) Die Funktion d beschreibt die Durchbiegung eines Regalbretts in Millimetern, dabei ist x der Abstand vom linken Ende in Metern. An welchen Stellen liegt das Brett genau in der Höhe seiner Auflager? (2) Die Mitgliederzahl eines Schachclubs in Hundert beschreibt M mit M(t) = −0,02t³ + 0,5t² + 3t, dabei ist t die Zeit in Jahren nach der Gründung. Was sagt das Modell auf lange Sicht voraus? (3) Die Funktion h mit h(x) = 0,2x4 − 0,8x² + 0,5x beschreibt den Querschnitt eines Tals, dabei ist x der Abstand von der Talmitte in 100 m. Ist das Tal links der Mitte genauso geformt wie rechts?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um Stellen mit einem bestimmten Funktionswert, um sehr große Werte oder um eine Eigenschaft des ganzen Graphen?
Hilfe 2
Was heißt „auf lange Sicht“ für die Größe von t, und welcher Teil des Terms zählt dann?
Hilfe 3
Woran erkennt man bei einem Term, ob der Graph links und rechts der Mitte gleich aussieht?
b) Der Querschnitt eines Tümpels wird für −3 ≤ x ≤ 3 beschrieben durch T(x) = −0,02x4 − 0,1x² + 0,72. Dabei ist x der waagerechte Abstand von der Mitte in Metern und T(x) die Tiefe unter der Wasseroberfläche in Metern. In welchem Abstand von der Mitte liegt das Ufer? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Stelle, an der … ist. 2. Was nicht dasteht: x² kann nie …; deshalb fällt … 3. Rechnen: Mit z = x² wird aus T(x) = 0 die Gleichung … = 0, also z = … oder z = …; x = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: T(…) = …
Hilfe 1
Welche Tiefe hat das Wasser genau am Ufer?
Hilfe 2
Welche Gleichung entsteht, und was fällt an ihren Exponenten auf?
Hilfe 3
Darf x² negativ sein?
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Ansätze: Nullstelle, Verhalten für große t, Symmetrie.
(1) Gesucht sind die Stellen mit d(x) = 0. Ansatz: d(x) = 0 lösen, bei fehlendem absoluten Glied x ausklammern.
(2) Gesucht ist das Verhalten von M für t → ∞. Ansatz: Leitterm −0,02t³ ansehen; M(t) → −∞, die Mitgliederzahl würde negativ, das Modell gilt dort nicht mehr.
(3) Gesucht ist, ob der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Ansatz: Exponenten ansehen (4, 2, 1 gemischt) oder h(−x) mit h(x) vergleichen.
b) „Ufer“ heißt: Tiefe null. Die Gleichung hat nur x4 und x²; negative z-Werte fallen weg.
1. Gefragt ist die Stelle, an der die Tiefe T(x) = 0 ist.
2. x² kann nie negativ sein; deshalb fällt eine negative Lösung für z weg.
3. T(x) = 0 ⇔ x4 + 5x² − 36 = 0; mit z = x²: z² + 5z − 36 = 0, also z = 4 oder z = −9; x² = 4 gibt x = ±2, x² = −9 hat keine Lösung.
4. Das Ufer liegt auf beiden Seiten 2 m von der Mitte entfernt.
5. T(2) = −0,32 − 0,4 + 0,72 = 0. Das passt.
3.2Skatepark
Der Querschnitt einer Skateanlage hat zwei Mulden. Für −3,5 ≤ x ≤ 3,5 beschreibt p mit p(x) = 0,05 · (x² − 1) · (x² − 9) die Höhe der Fahrfläche in Metern über der Randhöhe y = 0. Dabei ist x der waagerechte Abstand von der Mitte in Metern. Die Abbildung zeigt den Graphen von p.
Abbildung
a) Bestimme alle Stellen, an denen die Fahrfläche genau auf Randhöhe liegt.
Hilfe 1
Was bedeutet „auf Randhöhe“ für den Funktionswert?
Hilfe 2
Wann ist ein Produkt gleich null?
Hilfe 3
Welche Gleichungen bleiben, wenn du jeden Faktor einzeln null setzt?
b) Begründe, dass die linke Mulde das Spiegelbild der rechten Mulde ist.
Hilfe 1
Welche Symmetrie des Graphen bedeutet „links wie rechts“?
Hilfe 2
Was sagt der Term über die Exponenten, wenn du ihn ausmultiplizierst?
c) Lies aus der Abbildung ab, wie tief die rechte Mulde unter der Randhöhe liegt und bei welchem x sie am tiefsten ist.
Hilfe 1
Wo liegt der tiefste Punkt der rechten Mulde im Bild?
d) Die Betreiber wollen die Anlage nach beiden Seiten bis |x| = 5 verlängern und denselben Term p verwenden. Beurteile, ob das sinnvoll ist.
Hilfe 1
Wie verhält sich ein Term vom Grad 4 mit positivem Leitkoeffizienten für große |x|?
Hilfe 2
Berechne p(5) und deute den Wert mit Einheit.
Lösung zeigen
a) „Auf Randhöhe“ heißt p(x) = 0. Der Term steht schon in Faktoren.
p(x) = 0 ⇔ x² − 1 = 0 oder x² − 9 = 0
x = ±1 oder x = ±3
Die Fahrfläche liegt bei x = −3, −1, 1 und 3 auf Randhöhe (alle im Definitionsbereich).
b) Spiegelbild beidseits der Mitte heißt Achsensymmetrie; sie zeigt sich an den Exponenten.
Ausmultipliziert: p(x) = 0,05x4 − 0,5x² + 0,45. Es kommen nur gerade Exponenten vor (4, 2 und 0).
Also gilt p(−x) = p(x): Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, die beiden Mulden sind Spiegelbilder.
c) Tiefsten Punkt ablesen: x-Wert und Höhe.
Die Mulde ist bei x ≈ 2,2 am tiefsten und liegt dort etwa 0,8 m unter der Randhöhe.
Abweichungen bei x von 2,0 bis 2,5 und bei der Tiefe von 0,7 m bis 0,9 m werden akzeptiert.
d) Modellgrenze: Der Leitterm bestimmt den Rand, p(5) macht es konkret.
Der Leitterm 0,05x4 wächst für große |x| sehr schnell.
p(5) = 0,05 · 24 · 16 = 19,2: Die Fahrfläche läge 19,2 m über der Randhöhe.
Das ist für eine Skateanlage nicht sinnvoll; das Modell gilt nur im Bereich −3,5 ≤ x ≤ 3,5.
3.3Töpferei
Den Gewinn einer Töpferei beim Verkauf von x Hundert Tassen beschreibt G mit G(x) = −x³ + 6x² − 4x für 0 ≤ x ≤ 6. G(x) ist der Gewinn in Hundert Euro.
a) Ermittle, bei welchen Verkaufsmengen die Töpferei einen Gewinn erzielt, und gib die Grenzen in ganzen Tassen an.
Hilfe 1
Was heißt „Gewinn erzielen“ für den Wert von G?
Hilfe 2
Wo liegen die Grenzen dieses Bereichs?
Hilfe 3
Auf welcher Seite der x-Achse liegt der Graph zwischen zwei Nullstellen? Wie findest du das mit einer Zahl heraus?
b) Die Töpferei verkauft 600 Tassen. Berechne G(6) und deute den Wert im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welcher x-Wert gehört zu 600 Tassen?
Hilfe 2
Was bedeutet ein negativer Funktionswert bei einer Gewinnfunktion?
c) Begründe mit dem Term, dass G(x) für sehr große x negativ ist. Was heißt das für die Gültigkeit des Modells?
Hilfe 1
Welche Potenz von x entscheidet für sehr große x?
Lösung zeigen
a) „Gewinn“ heißt G(x) > 0. Die Grenzen sind Nullstellen, dazwischen Vorzeichen prüfen, am Ende in Tassen umrechnen.
G(x) = −x · (x² − 6x + 4); G(x) = 0 ⇔ x = 0 oder x = 3 ± √5, also x ≈ 0,764 oder x ≈ 5,236.
Vorzeichenprobe: G(1) = 1 > 0, zwischen den Nullstellen 0,764 und 5,236 ist G positiv; G(0,5) < 0 und G(6) < 0 außerhalb.
In Tassen: x = 0,77 (77 Tassen) liefert G > 0, 76 Tassen noch nicht; 5,23 (523 Tassen) liefert G > 0, 524 Tassen nicht mehr.
Die Töpferei erzielt von 77 bis 523 verkauften Tassen einen Gewinn.
b) Einheiten umrechnen (x in Hundert), dann den Wert deuten.
Bei 600 Tassen entsteht ein Verlust von 24 Hundert Euro, also 2 400 Euro.
c) Rand des Modells: Leitterm.
Der Leitterm −x³ hat ungeraden Grad und negativen Leitkoeffizienten: G(x) → −∞ für x → +∞.
Für große Mengen würde der Verlust über alle Grenzen wachsen; das Modell gilt deshalb nur im angegebenen Bereich 0 ≤ x ≤ 6.
3.4Hackathon
Bei einem Hackathon, einem zwölfstündigen Programmierwettbewerb, kommen und gehen die Teilnehmer. Die Zahl der anwesenden Teilnehmer beschreibt N mit N(t) = −t³ + 12t² für 0 ≤ t ≤ 12. Dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beginn des Hackathons.
a) Bestimme die Zeitpunkte, zu denen kein Teilnehmer anwesend ist, und deute jeden Zeitpunkt im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welcher Wert von N gehört zu „kein Teilnehmer“?
Hilfe 2
Haben beide Summanden einen gemeinsamen Faktor?
b) Eine Organisatorin meint, das Modell gelte auch nach t = 12 weiter und die Teilnehmerzahl steige dann wieder. Beurteile das mit dem Term.
Hilfe 1
Welches Vorzeichen hat 12 − t für t > 12?
Hilfe 2
Was folgt daraus für N(13)?
c) Für einen zweiten Hackathon soll die Zahl der anwesenden Teilnehmer durch M mit M(t) = −t³ + c · t² beschrieben werden. Nach 15 Stunden soll niemand mehr anwesend sein. Bestimme c.
Hilfe 1
Wie lässt sich M(t) in Faktoren schreiben?
Hilfe 2
Für welches t ist M(t) = 0, und was soll das nach der Aufgabe sein?
Lösung zeigen
a) „Kein Teilnehmer“ heißt N(t) = 0; die Lösungen im Zeitraum deuten.
N(t) = t² · (12 − t) = 0 ⇔ t = 0 oder t = 12.
t = 0: Der Hackathon beginnt, noch niemand ist da.
t = 12: Nach 12 Stunden sind alle gegangen, der Hackathon ist zu Ende.
b) Modellgrenze prüfen: für t > 12 einsetzen.
Für t > 12 ist 12 − t negativ, also N(t) < 0; zum Beispiel N(13) = −169.
Eine negative Teilnehmerzahl gibt es nicht. Das Modell endet bei t = 12, die Meinung ist falsch.
c) Rückwärts im Sachzusammenhang: Nullstelle gegeben, Parameter gesucht.
M(15) = 0 ⇔ −3 375 + 225c = 0, also c = 15.
Oder: M(t) = t² · (c − t) hat die Nullstelle t = c, also c = 15.
Klausuraufgabe
4.1Slalomkurs
Für das Training wird ein Kanu-Slalomkurs geplant. Im Modell gibt p mit p(x) = 0,1x5 − x³ + 0,9x für −3 ≤ x ≤ 3 die seitliche Abweichung des Kurses von der Mittellinie des Kanals in Metern an. Positive Werte bedeuten rechts, negative links. Dabei ist x die Position entlang der Mittellinie in Einheiten von 10 m, gemessen von der Kursmitte aus. Die Abbildung zeigt den Graphen von p.
Abbildung
a) Gib den Grad von p an und beschreibe das Verhalten von p für x → +∞ und x → −∞. Beurteile damit, ob sich der Kurs mit demselben Term über den Bereich −3 ≤ x ≤ 3 hinaus verlängern lässt.3 BE
Hilfe 1
Welche Potenz von x entscheidet für sehr große |x|?
Hilfe 2
Berechne zur Probe p(4) und deute den Wert.
b) Begründe anhand des Terms ohne Rechnung, dass der Kurs punktsymmetrisch zur Kursmitte ist. Gib mit dem Wert p(2) = −3 an, wie weit der Kurs bei x = −2 von der Mittellinie entfernt ist und auf welcher Seite.3 BE
Hilfe 1
Welche Exponenten kommen im Term vor?
Hilfe 2
Was bedeutet p(−x) = −p(x) für zwei Stellen, die gleich weit von der Mitte entfernt sind?
c) Bestimme alle Stellen, an denen der Kurs die Mittellinie schneidet.4 BE
Hilfe 1
Welcher Funktionswert gehört zu „auf der Mittellinie“?
Hilfe 2
Haben alle Summanden einen gemeinsamen Faktor?
Hilfe 3
Welche Potenzen bleiben in der Klammer, und welche Substitution hilft?
d) Ermittle, für welche x mit −3 < x < 3 der Kurs rechts der Mittellinie liegt. Nutze die Stellen aus c).4 BE
Hilfe 1
Was heißt „rechts der Mittellinie“ für den Wert von p?
Hilfe 2
Wie viele Abschnitte teilen die Nullstellen den Bereich auf?
Hilfe 3
Wie findest du für jeden Abschnitt das Vorzeichen mit einer Zahl?
Lösung zeigen
a) Verhalten am Rand und Modellgrenze in einem Teil: Leitterm, dann ein Wert zur Deutung.
Grad 5, Leitkoeffizient 0,1: x → +∞: p(x) → +∞, x → −∞: p(x) → −∞.
p(4) = 0,1 · 1 024 − 64 + 3,6 = 42: Der Kurs läge 42 m neben der Mittellinie. Eine Verlängerung ist mit diesem Modell nicht sinnvoll.
b) Symmetrie über die Exponenten, dann mit dem gegebenen Wert auf die Spiegelstelle schließen.
Die Exponenten 5, 3 und 1 sind alle ungerade, also gilt p(−x) = −p(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Aus p(2) = −3 folgt p(−2) = 3. Bei x = −2 liegt der Kurs 3 m rechts der Mittellinie.
c) „Auf der Mittellinie“ heißt p(x) = 0. Erst Faktor herausnehmen, dann die Klammer mit z = x².
p(x) = x · (0,1x4 − x² + 0,9) = 0 ⇔ x = 0 oder 0,1x4 − x² + 0,9 = 0
Mit z = x²: z² − 10z + 9 = 0, also z = 1 oder z = 9.
x² = 1 gibt x = ±1, x² = 9 gibt x = ±3.
Der Kurs schneidet die Mittellinie bei x = −3, −1, 0, 1 und 3.
d) „Rechts“ heißt p(x) > 0. Die Nullstellen teilen den Bereich in vier Abschnitte, in jedem eine Zahl einsetzen; die Symmetrie spart Rechnung.
Die Nullstellen −1, 0 und 1 teilen −3 < x < 3 in vier Abschnitte.
p(−2) = 3 > 0; p(−0,5) ≈ −0,33 < 0; p(0,5) ≈ 0,33 > 0; p(2) = −3 < 0. (p(−0,5) und p(0,5) folgen auch aus der Symmetrie.)
Der Kurs liegt rechts der Mittellinie für −3 < x < −1 und für 0 < x < 1.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Ganzrationale Funktionen“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.