Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich: Gehst du eine Einheit nach rechts, ändert sich der y-Wert immer um dieselbe Zahl m. Ein gekrümmter Graph ist mal steil, mal flach, er steigt oder fällt. Bei ihm gibt es deshalb zwei verschiedene Fragen.
Mittlere Änderungsrate: Um wie viel ändert sich f im Durchschnitt pro x-Einheit, wenn du von a nach b gehst? Sie gehört zu einem Intervall [a; b].
Momentane Änderungsrate: Wie stark ändert sich f genau an einer Stelle x0? Sie gehört zu einem einzigen Punkt des Graphen. Man sagt auch lokale Änderungsrate.
Aus dem Alltag kennst du beides von der Geschwindigkeit: 200 km in 2 Stunden ergeben im Durchschnitt 100 km/h. Der Tacho zeigt dagegen, wie schnell das Auto in genau diesem Moment fährt.
✎ Mini-Aufgabe: Ein Auto ist um 10 Uhr bei Kilometer 20 einer Autobahn und um 12 Uhr bei Kilometer 220. Wie schnell war es im Durchschnitt? Kann der Tacho um 11 Uhr 130 km/h angezeigt haben?
Lösung zeigen
Im Durchschnitt (220 − 20) km : 2 h = 100 km/h.
Ja. Der Durchschnitt sagt nichts über einen einzelnen Moment. Das Auto kann zeitweise schneller gefahren sein und dafür an anderer Stelle langsamer, etwa im Stau.
2. Die mittlere Änderungsrate
Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [a; b] ist die Änderung der Funktionswerte geteilt durch die Länge des Intervalls. Diesen Bruch nennt man Differenzenquotient.
f(b) − f(a)b − a
Am Graphen ist das die Steigung der Sekante, also der Geraden durch die Punkte P(a | f(a)) und Q(b | f(b)).
Beispiel: f(x) = 0,5x² im Intervall [1; 3]
f(1) = 0,5 f(3) = 4,5
f(3) − f(1)3 − 1 = 4,5 − 0,52 = 42 = 2
Von x = 1 bis x = 3 steigt der Graph im Durchschnitt um 2 pro x-Einheit. Die Sekante durch P(1 | 0,5) und Q(3 | 4,5) hat die Steigung 2.
Ohne Funktionsterm geht es genauso: Aus einer Wertetabelle oder einem Graphen liest du f(a) und f(b) ab und rechnest denselben Bruch.
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme die mittlere Änderungsrate von f(x) = x² im Intervall [−2; 2]. Der Graph ist dort nicht waagerecht. Wie passt das zu deinem Ergebnis?
Lösung zeigen
f(−2) = 4 und f(2) = 4, also 4 − 42 − (−2) = 04 = 0.
Die Sekante ist waagerecht, weil beide Punkte gleich hoch liegen. Dazwischen fällt der Graph erst und steigt dann wieder. Davon verrät die mittlere Änderungsrate nichts.
3. Die momentane Änderungsrate
Für die Änderung genau an der Stelle x0 machst du das Intervall Schritt für Schritt kleiner: erst [x0; x0 + 1], dann [x0; x0 + 0,1], dann [x0; x0 + 0,01] und so weiter. Die mittleren Änderungsraten nähern sich dabei einer festen Zahl. Diese Zahl ist die momentane Änderungsrate an der Stelle x0.
Beispiel: f(x) = 0,5x² an der Stelle 2, mit f(2) = 2
[2; 3]: 4,5 − 21 = 2,5
[2; 2,1]: 2,205 − 20,1 = 2,05
[2; 2,01]: 2,02005 − 20,01 = 2,005
[2; 2,001]: 2,0020005 − 20,001 = 2,0005
Die Werte nähern sich 2. Die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 2 ist 2.
Am Graphen rückt dabei der Punkt Q immer näher an P heran. Die Sekante dreht sich und kommt einer Grenzlage immer näher, der Tangente in P. Die Tangente berührt den Graphen in P und hat dort dieselbe Steigung wie der Graph. Die momentane Änderungsrate ist also die Steigung der Tangente.
Am Graphen findest du sie so: Lege das Lineal so an P an, dass es den Graphen dort nur berührt und sich ihm anschmiegt. Zeichne die Tangente, wähle zwei weit auseinanderliegende Punkte auf ihr und teile den Höhenunterschied durch den waagerechten Abstand (Steigungsdreieck). Das ergibt einen Näherungswert, und der genügt hier.
✎ Mini-Aufgabe: Berechne für f(x) = 0,5x² die mittlere Änderungsrate in den Intervallen [1; 1,1] und [1; 1,01]. Welchen Wert vermutest du für die momentane Änderungsrate an der Stelle 1?
Die Werte nähern sich 1. Die momentane Änderungsrate an der Stelle 1 ist vermutlich 1.
4. Sekante und Tangente am Graphen
Oben die Sekante s durch P(1 | 0,5) und Q(3 | 4,5) mit der Steigung 2. Unten rückt Q auf P(2 | 2) zu: Die Sekante s1 durch Q1(4 | 8) hat die Steigung 3, die Sekante s2 durch Q2(3 | 4,5) die Steigung 2,5. Beide nähern sich der Tangente t. Steigungsdreieck an t: Von (2 | 2) nach (4 | 6) geht es 2 nach rechts und 4 nach oben, die Steigung ist 4 : 2 = 2.
5. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
durchschnittlich, im Mittel, im Durchschnitt pro …
mittlere Änderungsrate f(b) − f(a)b − a
Intervall aus dem Text lesen: „in den ersten 6 Tagen“ ist [0; 6]
um wie viel hat … zugenommen oder abgenommen
Änderung f(b) − f(a)
kein Bruch; Einheit wie f, ohne „pro“
wie schnell … zum Zeitpunkt, genau bei, in diesem Moment
momentane Änderungsrate, Steigung der Tangente
nicht f(t) und nicht f(t) : t
Durchschnittsgeschwindigkeit
mittlere Änderungsrate des Weges
Einheit m/s oder km/h; 1 m/s = 3,6 km/h
Wachstumsgeschwindigkeit, Wachstumsrate
Änderungsrate eines Bestands
Einheit: Bestand pro Zeit, etwa m² pro Tag
Steigung einer Straße oder eines Weges in Prozent
mittlere Änderungsrate der Höhe · 100 %
Höhe und Strecke in derselben Einheit
nimmt ab, sinkt, kühlt ab
negative Änderungsrate
im Antwortsatz „sinkt um … pro …“ statt Minuszeichen
Bedeutung des Terms f(b) − f(a)b − a
mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b]
Größe, Zeitraum und Einheit nennen
Steigung des Graphen im Punkt P
Steigung der Tangente in P
nicht die Gerade durch P und den Ursprung
6. Was nirgends steht
Die Einheit der Änderungsrate ist „Einheit von f pro Einheit von x“: Liter pro Stunde, °C pro Minute, m² pro Tag. Sie steht nie in der Aufgabe, gehört aber in jede Antwort.
Das Intervall liest du oft aus dem Text: „in den ersten zehn Tagen“ heißt [0; 10], „in der dritten Woche“ heißt von t = 2 bis t = 3. Beginnt die Zeit um 8 Uhr bei t = 0, dann ist 12 Uhr t = 4.
Die mittlere Änderungsrate sagt nichts über den Verlauf im Intervall. Zwei Zeiträume mit gleichem Durchschnitt können ganz verschieden verlaufen.
Ein Minuszeichen bedeutet eine Abnahme. Im Antwortsatz steht dann „nimmt um 3 cm pro Stunde ab“.
Steigung in Prozent: Höhe und waagerechte Strecke müssen in derselben Einheit stehen. 60 m Höhenunterschied auf 1 km sind 60 m auf 1000 m, also 6 %.
Aus einer Tabelle bekommst du die momentane Änderungsrate nur näherungsweise. Nimm die kleinsten Intervalle direkt links und rechts der Stelle; der gesuchte Wert liegt meist zwischen ihren Raten.
Wo sich zwei Graphen schneiden, haben beide Größen denselben Wert, aber nicht dieselbe Änderungsrate. Gleich schnell heißt: gleiche Steigung, also parallele Tangenten.
✎ Mini-Aufgabe: Eine Kerze ist um 18 Uhr 24 cm hoch und um 21 Uhr noch 15 cm. Gib die mittlere Änderungsrate mit Einheit an und sag in einem Satz, was sie bedeutet.
Lösung zeigen
(15 − 24) cm : (21 − 18) h = −3 cm pro Stunde.
Von 18 bis 21 Uhr wird die Kerze im Durchschnitt um 3 cm pro Stunde kürzer.
7. Ein Beispiel mit Denkweg
Die Höhe einer Sonnenblume wird in den ersten zehn Wochen nach dem Auspflanzen beschrieben durch h(t) = 2t² + 4t + 6 (t in Wochen, h(t) in cm). Frage: Um wie viel wächst die Sonnenblume in der dritten Woche durchschnittlich pro Tag?
Was ist gefragt? Die mittlere Änderungsrate der Höhe in der dritten Woche, umgerechnet in cm pro Tag.
Was steht nicht da? Die dritte Woche läuft von t = 2 bis t = 3, nicht von 0 bis 3. Die Funktion rechnet in Wochen; für „pro Tag“ teile ich am Ende durch 7.
Rechnen h(2) = 22 und h(3) = 36. 36 − 223 − 2 = 14, also 14 cm pro Woche. 14 : 7 = 2.
Antwortsatz In der dritten Woche wächst die Sonnenblume im Durchschnitt um 2 cm pro Tag.
Prüfen In den ersten beiden Wochen sind es 22 − 62 = 8 cm pro Woche, gut 1 cm pro Tag. Die Pflanze wächst später schneller, das passt zu einem Graphen, der immer steiler wird.
8. Typische Fehler
Zähler und Nenner vertauscht. Oben steht die Änderung von f, unten die Länge des Intervalls.
Nur f(b) − f(a) gerechnet. Das ist die Änderung, nicht die Änderungsrate; es fehlt das Teilen durch b − a.
Negative Grenzen falsch eingesetzt. Das Intervall [−2; 1] hat die Länge 1 − (−2) = 3.
f(b) : b gerechnet. Das stimmt nur, wenn das Intervall bei 0 beginnt und f(0) = 0 ist.
Mittlere und momentane Änderungsrate verwechselt. Ein Durchschnitt über zehn Tage beantwortet nicht, wie schnell es am zehnten Tag geht.
Tangente schief angelegt. Sie berührt den Graphen in P und schmiegt sich dort an; eine Gerade durch P und den Ursprung ist meist keine Tangente.
Einheit vergessen oder falsch. „2 cm“ ist eine Änderung, „2 cm pro Tag“ eine Änderungsrate.
Rechnen
2.1Mittlere Änderungsrate
Berechne jeweils die mittlere Änderungsrate im angegebenen Intervall.
a) f(x) = x³ − 2x im Intervall [−1; 2]
Hilfe 1
Welche beiden Funktionswerte brauchst du?
Hilfe 2
Setze −1 mit Klammern ein.
Hilfe 3
Teile die Änderung der Funktionswerte durch die Länge des Intervalls.
b) g(x) = −0,5x² + 3x im Intervall [2; 6]
Hilfe 1
Welche beiden Funktionswerte brauchst du?
Hilfe 2
Bei −0,5 · 6² zuerst quadrieren, dann multiplizieren.
Hilfe 3
Teile die Änderung der Funktionswerte durch die Länge des Intervalls.
c) k(x) = 2x² − x + 1 im Intervall [−3; −1]
Hilfe 1
Welche Grenze ist a, welche b? a ist die linke, also die kleinere Zahl.
Hilfe 2
Die Länge des Intervalls ist rechte Grenze minus linke Grenze.
Hilfe 3
Setze die negativen Zahlen mit Klammern ein.
Lösung zeigen
a) „Mittlere Änderungsrate im Intervall [a; b]“: Differenzenquotient f(b) − f(a)b − a.
f(−1) = −1 + 2 = 1; f(2) = 8 − 4 = 4
f(2) − f(−1)2 − (−1) = 4 − 13 = 1
b) Derselbe Differenzenquotient; ein negatives Ergebnis heißt, dass der Graph im Durchschnitt fällt.
g(2) = −2 + 6 = 4; g(6) = −18 + 18 = 0
g(6) − g(2)6 − 2 = 0 − 44 = −1
c) Beide Grenzen negativ: Die Länge ist trotzdem rechte minus linke Grenze und damit positiv.
k(−3) = 18 + 3 + 1 = 22; k(−1) = 2 + 1 + 1 = 4
k(−1) − k(−3)−1 − (−3) = 4 − 222 = −9
2.2Ohne Funktionsterm
Von einer Funktion f sind nur diese Funktionswerte bekannt:
Die Sekante hat die Steigung 0, sie verläuft also parallel zur x-Achse.
b) Die Rate ist null, wenn f an beiden Grenzen denselben Wert hat. Bei einer Parabel liegen Punkte gleich hoch, die gleich weit vom Scheitel entfernt sind.
Zum Beispiel [2; 4].
Begründung: f(x) = (x − 3)² + 1, der Scheitel liegt bei x = 3. Die Parabel ist symmetrisch zur Geraden x = 3, deshalb gilt f(2) = f(4) = 2. Die Sekante ist waagerecht, die mittlere Änderungsrate ist 0.
Ebenso richtig ist jedes Intervall [3 − d; 3 + d] mit d > 0, etwa [0; 6], oder eine Begründung durch Nachrechnen.
2.4Das Intervall verkleinern
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 2x. Der Punkt P(2 | 4) liegt auf ihrem Graphen.
a) Berechne die mittlere Änderungsrate von f in den Intervallen [2; 2,1], [2; 2,01] und [2; 2,001].
Hilfe 1
Du brauchst f(2) und jeweils den Funktionswert an der rechten Grenze.
Hilfe 2
Die Intervalle haben die Längen 0,1, 0,01 und 0,001.
Hilfe 3
Runde nicht: Rechne mit allen Stellen, die der Taschenrechner zeigt.
b) Für die Intervalle [1,9; 2] und [1,99; 2] ergeben sich die mittleren Änderungsraten 9,41 und 9,9401. Ermittle mithilfe aller fünf Werte einen Näherungswert für die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 2 und begründe deine Angabe.
Hilfe 1
Ordne die Werte: Wie verändern sie sich, wenn das Intervall kleiner wird?
Hilfe 2
Vergleiche die Werte von rechts mit denen von links. Welche Zahl liegt dazwischen?
c) Gib an, was dein Wert aus b) über den Graphen von f im Punkt P aussagt.
Hilfe 1
Welche Gerade gehört zur momentanen Änderungsrate?
Hilfe 2
Was bedeutet eine Steigung von 10 für eine Gerade?
Lösung zeigen
a) Drei Differenzenquotienten mit immer kleinerem Intervall, alle mit derselben linken Grenze 2.
b) Werte von beiden Seiten vergleichen: Die momentane Änderungsrate ist die Zahl, auf die sich beide Folgen zubewegen.
Von rechts: 10,61; 10,0601; 10,006001. Die Werte werden kleiner und nähern sich 10.
Von links: 9,41; 9,9401. Die Werte werden größer und nähern sich ebenfalls 10.
Die momentane Änderungsrate von f an der Stelle 2 beträgt etwa 10.
c) Momentane Änderungsrate am Graphen: Steigung der Tangente im Punkt.
Die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(2 | 4) hat etwa die Steigung 10. Der Graph ist dort sehr steil: Auf der Tangente geht es pro Einheit nach rechts etwa 10 Einheiten nach oben.
Ohne Taschenrechner
2.5Rückwärts
a) Für eine Funktion f gilt f(2) = 5. Die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [2; 6] beträgt −1,5. Bestimme f(6).
Hilfe 1
Schreibe den Differenzenquotienten für das Intervall [2; 6] auf und setze ihn gleich −1,5.
Hilfe 2
Löse die Gleichung nach f(6) auf.
b) Gegeben ist die Funktion g mit g(x) = x². Bestimme die rechte Grenze b des Intervalls [1; b] so, dass die mittlere Änderungsrate von g in diesem Intervall den Wert 5 hat.
Hilfe 1
Stelle den Differenzenquotienten mit b auf und setze ihn gleich 5.
Hilfe 2
Multipliziere mit dem Nenner; es entsteht eine quadratische Gleichung.
Hilfe 3
Passt jede Lösung zu einem Intervall [1; b]?
Lösung zeigen
a) Die Rate ist gegeben, ein Funktionswert gesucht: Differenzenquotient aufstellen und nach dem fehlenden Wert auflösen.
f(6) − 56 − 2 = −1,5 ⇔ f(6) − 5 = −6 ⇔ f(6) = −1
b) Gleichung mit der Unbekannten b. Was nicht dasteht: b muss größer als 1 sein, sonst gibt es kein Intervall.
b = 1 fällt weg: Das Intervall [1; 1] hat die Länge 0, durch 0 kann man nicht teilen.
Also ist b = 4. Probe: 16 − 14 − 1 = 153 = 5.
2.6Mit Parameter
Für jede Zahl a > 0 ist die Funktion f mit f(x) = a · x² gegeben.
a) Bestimme a so, dass die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 3] den Wert 6 hat.
Hilfe 1
Berechne f(1) und f(3); in beiden kommt a vor.
Hilfe 2
Stelle den Differenzenquotienten auf und setze ihn gleich 6.
b) Beschreibe, wie sich die mittlere Änderungsrate von f im Intervall [1; 3] ändert, wenn a verdoppelt wird. Begründe deine Antwort.
Hilfe 1
Verwende den Term für die mittlere Änderungsrate aus a), in dem a noch vorkommt.
Hilfe 2
Ersetze a durch 2a. Was passiert mit dem Term?
Lösung zeigen
a) Parameter in der Rechnung: Differenzenquotient mit a aufstellen und die Gleichung nach a lösen.
f(1) = a; f(3) = 9a
9a − a3 − 1 = 8a2 = 4a
4a = 6 ⇔ a = 1,5
b) Die Rate als Term in a lesen: Sie ist ein festes Vielfaches von a.
Die mittlere Änderungsrate im Intervall [1; 3] ist 4a. Wird a verdoppelt, verdoppelt sich auch die mittlere Änderungsrate, von 4a auf 8a.
Anschaulich: Alle Funktionswerte verdoppeln sich, also auch ihr Unterschied f(3) − f(1). Die Länge des Intervalls bleibt 2.
2.7Steigungen am Graphen
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f mit den Punkten A, B, C und D.
Material
a) Ordne die momentanen Änderungsraten von f an den Stellen der Punkte A, B, C und D der Größe nach. Beginne mit der kleinsten.
Hilfe 1
Die momentane Änderungsrate ist die Steigung der Tangente. Stelle dir an jedem Punkt die Tangente vor.
Hilfe 2
Wo fällt der Graph, wo ist er waagerecht, wo steigt er?
Hilfe 3
Von zwei steigenden Stellen hat die steilere die größere Änderungsrate.
b) Zeichne die Tangente an den Graphen von f im Punkt A ein und bestimme ihre Steigung näherungsweise.
Hilfe 1
Lege das Lineal so an A an, dass es den Graphen dort nur berührt.
Hilfe 2
Lies einen zweiten Punkt auf der Tangente ab, möglichst weit von A entfernt, und zeichne ein Steigungsdreieck.
Lösung zeigen
a) Momentane Änderungsrate am Graphen: Vorzeichen und Steilheit der Tangente vergleichen.
C: Der Graph fällt, die Rate ist negativ. B: Hochpunkt mit waagerechter Tangente, die Rate ist 0.
D und A: Der Graph steigt, bei A deutlich steiler als bei D.
Reihenfolge von klein nach groß: C, B, D, A.
b) Tangente anlegen und ihre Steigung mit einem Steigungsdreieck bestimmen; das Ergebnis ist ein Näherungswert.
Die Tangente in A(−2 | 0) geht etwa durch den Punkt (−1 | 4).
Steigung etwa 4 − 0−1 − (−2) = 4. Werte von 3,5 bis 4,5 sind gut abgelesen.
Lösung
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) T(t) beschreibt die Temperatur in einem Backofen in °C; t ist die Zeit in Minuten nach dem Einschalten. Um wie viel Grad steigt die Temperatur in den ersten zehn Minuten durchschnittlich pro Minute? (2) V(t) beschreibt die Wassermenge in einem Schwimmbecken in Litern; t ist die Zeit in Stunden ab 8 Uhr. Um wie viele Liter nimmt die Wassermenge von 8 Uhr bis 12 Uhr zu? (3) s(t) beschreibt den Weg eines Radfahrers in Metern; t ist die Zeit in Sekunden nach dem Start. Wie schnell fährt er genau 5 Sekunden nach dem Start?
Hilfe 1
Frage bei jeder Frage: Geht es um eine Änderung, um eine durchschnittliche Änderung pro Zeiteinheit oder um einen einzigen Moment?
Hilfe 2
Achte auf die Wörter „durchschnittlich pro“, „um wie viele“ und „genau“.
Hilfe 3
Bei Frage (2): Welcher Wert von t gehört zu 8 Uhr, welcher zu 12 Uhr?
b) Ein Auto bremst vor einer roten Ampel bis zum Stillstand. Den Weg seit Beginn des Bremsens beschreibt s(t) = 15t − 1,5t² für 0 ≤ t ≤ 5 (t in Sekunden, s(t) in Metern). Wie schnell fuhr das Auto in der letzten Sekunde vor dem Stillstand im Durchschnitt, in km/h? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die … Änderungsrate von s im Intervall … 2. Was nicht dasteht: Das Auto steht bei t = …, die letzte Sekunde reicht also von … bis … . Aus m/s wird km/h durch … 3. Rechnen: … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„im Durchschnitt“: Welche Änderungsrate ist gemeint?
Hilfe 2
Wann steht das Auto? Schaue auf den Bereich von t.
Hilfe 3
1 m/s sind 3,6 km/h.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Objekte: mittlere Änderungsrate, Änderung, momentane Änderungsrate.
(1) Gesucht ist die mittlere Änderungsrate von T im Intervall [0; 10]. Ansatz: T(10) − T(0)10 − 0, Einheit °C pro Minute.
(2) Gesucht ist die Änderung der Wassermenge, kein Durchschnitt. 8 Uhr ist t = 0, 12 Uhr ist t = 4. Ansatz: V(4) − V(0), Einheit Liter.
(3) Gesucht ist die momentane Änderungsrate von s an der Stelle 5. Ansatz: mittlere Änderungsraten in immer kleineren Intervallen [5; 5,1], [5; 5,01], … oder die Steigung der Tangente am Graphen. Einheit m/s.
b) „im Durchschnitt in der letzten Sekunde“: mittlere Änderungsrate des Weges im Intervall [4; 5]. Die Umrechnung in km/h steht nicht da.
1. Gefragt ist die mittlere Änderungsrate von s im Intervall [4; 5].
2. Das Auto steht bei t = 5, die letzte Sekunde reicht also von 4 bis 5. Aus m/s wird km/h durch Multiplizieren mit 3,6.
3. s(4) = 36; s(5) = 37,5; 37,5 − 365 − 4 = 1,5, also 1,5 m/s = 5,4 km/h
4. In der letzten Sekunde vor dem Stillstand fuhr das Auto im Durchschnitt 5,4 km/h.
5. In der ersten Sekunde waren es 13,5 − 01 = 13,5 m/s, also 48,6 km/h. Das Auto wird beim Bremsen langsamer; kurz vor dem Stillstand passt ein kleiner Wert.
3.2Zwei Radfahrer
Anna und Ben starten gleichzeitig an derselben Stelle auf einem geraden Radweg. Anna fährt mit gleichbleibender Geschwindigkeit, Ben fährt aus dem Stand los und wird immer schneller. Das Material zeigt die Graphen der Funktionen A und B. Sie geben an, wie viele Meter Anna und Ben seit dem Start zurückgelegt haben; t ist die Zeit in Sekunden nach dem Start (0 ≤ t ≤ 30).
Material
a) Zeige anhand des Materials, dass Anna und Ben in den ersten 30 Sekunden im Durchschnitt gleich schnell sind.
Hilfe 1
Welche Größe beschreibt, wie schnell jemand im Durchschnitt fährt?
Hilfe 2
Lies für beide ab, wo sie bei t = 0 und bei t = 30 sind.
b) Bestimme mithilfe einer Tangente näherungsweise, wie schnell Ben 20 Sekunden nach dem Start fährt.
Hilfe 1
Zu welchem Punkt des Graphen von B gehört der Zeitpunkt t = 20?
Hilfe 2
Lege dort die Tangente an und lies zwei Punkte auf ihr ab, die weit auseinanderliegen.
c) Ermittle anhand des Materials, zu welchem Zeitpunkt Ben genauso schnell fährt wie Anna.
Hilfe 1
Was bedeutet „gleich schnell“ für die Steigungen der beiden Graphen?
Hilfe 2
Annas Graph ist eine Gerade. Suche die Stelle, an der die Tangente an Bens Graphen parallel zu dieser Geraden ist.
d) Anna sagt: „Nach 30 Sekunden sind wir gleich schnell, denn da schneiden sich unsere Graphen.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was haben Anna und Ben im Schnittpunkt der Graphen gemeinsam?
Hilfe 2
Vergleiche bei t = 30 die Steigung von Annas Gerade mit der Steigung von Bens Graph.
Lösung zeigen
a) „im Durchschnitt gleich schnell“: gleiche mittlere Änderungsrate des Weges im Intervall [0; 30].
Beide starten bei 0 m und sind nach 30 s bei 180 m, dort schneiden sich die Graphen.
Durchschnittsgeschwindigkeit für beide: 180 − 030 − 0 = 6 m/s. Sie sind also im Durchschnitt gleich schnell.
b) Geschwindigkeit in einem Moment: Steigung der Tangente an den Weg-Zeit-Graphen.
Die Tangente im Punkt (20 | 80) geht etwa durch (10 | 0) und (30 | 160).
Steigung etwa 160 − 030 − 10 = 8. Ben fährt 20 Sekunden nach dem Start etwa 8 m/s. Werte von 7 bis 9 m/s sind gut abgelesen.
Lösung
c) „gleich schnell“ heißt gleiche Steigung: Die Tangente an Bens Graphen ist parallel zu Annas Gerade. Der Schnittpunkt der Graphen ist es nicht.
Anna fährt immer 6 m/s, ihr Graph ist eine Gerade mit der Steigung 6.
Ben ist so schnell wie Anna, wo die Tangente an seinen Graphen parallel zu Annas Gerade verläuft. Das ist etwa bei t = 15 der Fall, im Punkt (15 | 45).
Etwa 15 Sekunden nach dem Start fahren beide gleich schnell. Werte von 14 bis 16 s sind gut abgelesen.
Lösung
d) Schnittpunkt heißt gleicher Ort, nicht gleiche Geschwindigkeit. Die Geschwindigkeit ist die Steigung.
Die Aussage ist falsch. Im Schnittpunkt sind beide nach 30 Sekunden an derselben Stelle, 180 m nach dem Start.
Wie schnell sie fahren, zeigt die Steigung. Bens Graph ist bei t = 30 deutlich steiler als Annas Gerade; Ben fährt dann ungefähr 12 m/s, etwa doppelt so schnell wie Anna.
Gleich schnell waren sie bei t = 15. Da lag Ben noch 45 m hinter Anna.
3.3Untersuchungsheft
Im gelben Untersuchungsheft eines Kindes sind bei den Vorsorgeuntersuchungen diese Körpergrößen eingetragen:
bei der Geburt 50,5 cm; mit 3 Monaten 61,0 cm; mit 6 Monaten 67,8 cm; mit 12 Monaten 76,2 cm; mit 24 Monaten 87,9 cm; mit 36 Monaten 96,4 cm
a) Berechne für jeden Abschnitt von einer Untersuchung zur nächsten, um wie viele Zentimeter das Kind im Durchschnitt pro Monat gewachsen ist.
Hilfe 1
Ein Abschnitt reicht von einer Untersuchung bis zur nächsten.
Hilfe 2
Die Abschnitte sind verschieden lang. Teile den Zuwachs jeweils durch die Zahl der Monate.
b) Die Großmutter meint: „Vom ersten bis zum zweiten Geburtstag ist das Kind mehr gewachsen als vom sechsten bis zum zwölften Monat. Also ist es da schneller gewachsen.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Prüfe den ersten Satz mit den eingetragenen Werten.
Hilfe 2
Wie lang sind die beiden Zeiträume? Was bedeutet „schneller“?
c) Schätze mithilfe der eingetragenen Werte ab, wie schnell das Kind genau an seinem ersten Geburtstag gewachsen ist, und begründe deine Schätzung.
Hilfe 1
Gesucht ist eine momentane Änderungsrate. Aus einzelnen Messwerten geht das nur näherungsweise.
Hilfe 2
Welche Abschnitte grenzen an den 12. Monat? Was zeigen ihre Raten?
Lösung zeigen
a) „im Durchschnitt pro Monat“: mittlere Änderungsrate der Größe in jedem Abschnitt, Einheit cm pro Monat.
0 bis 3 Monate: 61,0 − 50,53 = 3,5 cm pro Monat
3 bis 6 Monate: 67,8 − 61,03 ≈ 2,27 cm pro Monat
6 bis 12 Monate: 76,2 − 67,86 = 1,4 cm pro Monat
12 bis 24 Monate: 87,9 − 76,212 = 0,975 cm pro Monat
24 bis 36 Monate: 96,4 − 87,912 ≈ 0,71 cm pro Monat
b) Mehr Zuwachs heißt nicht schneller: Die Zeiträume sind verschieden lang, vergleichen muss man die Raten.
Der erste Satz stimmt: 11,7 cm vom 12. bis zum 24. Monat gegenüber 8,4 cm vom 6. bis zum 12. Monat.
Der Schluss ist falsch. Der erste Zeitraum ist 12 Monate lang, der zweite nur 6. Pro Monat waren es 0,975 cm gegenüber 1,4 cm; vom 6. bis zum 12. Monat ist das Kind also schneller gewachsen.
c) „genau am ersten Geburtstag“: momentane Änderungsrate bei 12 Monaten, aus einzelnen Messwerten nur als Schätzung aus den Nachbarabschnitten.
Vor dem Geburtstag wuchs das Kind im Durchschnitt 1,4 cm pro Monat, danach 0,975 cm pro Monat. Das Wachstum wird langsamer.
Am Geburtstag selbst liegt die Rate also dazwischen, etwa bei 1,2 cm pro Monat.
Richtig ist jeder Wert von 1,0 bis 1,4 cm pro Monat mit dieser Begründung, ebenso die mittlere Änderungsrate vom 6. bis zum 24. Monat: 87,9 − 67,818 ≈ 1,12 cm pro Monat.
3.4Passstraße
Eine Straße führt von einem Dorf hinauf zu einem Pass. Ihr Höhenprofil wird beschrieben durch h(x) = −10x³ + 60x² + 500 für 0 ≤ x ≤ 4. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Dorf in Kilometern und h(x) die Höhe über dem Meeresspiegel in Metern. Das Dorf liegt bei x = 0, der Pass bei x = 4.
a) Berechne die mittlere Steigung der Straße vom Dorf bis zum Pass in Prozent.
Hilfe 1
Die mittlere Steigung ist die mittlere Änderungsrate der Höhe.
Hilfe 2
Steigung in Prozent: Höhenunterschied und waagerechte Strecke müssen in derselben Einheit stehen.
Hilfe 3
1 km = 1000 m.
b) Bei x = 2 steht ein Verkehrsschild „12 % Steigung“. Prüfe mit mittleren Änderungsraten in kleinen Intervallen, ob diese Angabe zur Straße an dieser Stelle passt.
Hilfe 1
Berechne die mittlere Änderungsrate von h in Intervallen, die bei 2 beginnen und immer kleiner werden. Welche Einheit hat sie?
Hilfe 2
Rechne Meter pro Kilometer in Prozent um.
c) Ein Radfahrer sagt: „Die Straße hat im Durchschnitt 8 % Steigung. Dann ist sie nirgends steiler als 8 %.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Vergleiche dein Ergebnis aus b) mit dem aus a).
Hilfe 2
Wie steil ist die Straße direkt am Dorf? Rechne mit einem kleinen Intervall.
Lösung zeigen
a) Mittlere Steigung in Prozent: Höhenunterschied durch waagerechte Strecke, beides in Metern, mal 100 %.
h(0) = 500; h(4) = −640 + 960 + 500 = 820
Höhenunterschied 320 m auf 4 km = 4000 m: 3204000 = 0,08 = 8 %
Die Straße hat vom Dorf bis zum Pass eine mittlere Steigung von 8 %.
b) Steigung an einer Stelle: momentane Änderungsrate, angenähert durch kleine Intervalle; dann Meter pro Kilometer in Prozent umrechnen.
h(2) = 660; h(2,1) = 671,99; h(2,01) = 661,19999
[2; 2,1]: 671,99 − 6600,1 = 119,9 m pro km, das sind 11,99 %
[2; 2,01]: 661,19999 − 6600,01 = 119,999 m pro km, das sind rund 12,0 %
Die Werte nähern sich 120 m Höhe pro km, also 120 m auf 1000 m = 12 %. Das Schild passt.
c) Ein Durchschnitt erlaubt keinen Schluss auf die steilste Stelle.
Die Aussage ist falsch. Bei x = 2 hat die Straße etwa 12 % Steigung, mehr als 8 %.
Am Dorf ist sie dagegen fast flach: Im Intervall [0; 0,1] sind es 500,59 − 5000,1 = 5,9 m pro km, also rund 0,6 %.
Die 8 % sind ein Durchschnitt aus flachen und steileren Abschnitten. Ein Durchschnitt sagt nichts über die steilste Stelle.
Ohne Taschenrechner
3.5Regentonne
Die Funktion W beschreibt die Wassermenge in einer Regentonne an einem Tag mit Gewitter in Litern; t ist die Zeit in Stunden ab 12 Uhr (0 ≤ t ≤ 6).
a) Deute die folgenden Angaben im Sachzusammenhang. (1) W(2) − W(1) = 36 (2) W(3) − W(1)3 − 1 = 25 (3) Die momentane Änderungsrate von W an der Stelle 5 ist −8.
Hilfe 1
Welche Uhrzeiten gehören zu t = 1, t = 2, t = 3 und t = 5?
Hilfe 2
Welche Angabe ist eine Änderung, welche ein Durchschnitt pro Stunde, welche gilt für einen einzigen Moment?
Hilfe 3
Was bedeutet das Minuszeichen in (3)?
b) Bestimme mithilfe von (1) und (2), um wie viele Liter die Wassermenge von 14 bis 15 Uhr zugenommen hat, und deute den Vergleich mit (1).
Hilfe 1
Was folgt aus (2) für die Zunahme von 13 bis 15 Uhr insgesamt?
Hilfe 2
Ziehe davon die Zunahme der ersten Stunde ab.
c) Begründe, dass die momentane Änderungsrate von W von 13 bis 15 Uhr nicht die ganze Zeit 25 Liter pro Stunde betragen haben kann.
Hilfe 1
Wie viel Wasser wäre von 13 bis 14 Uhr dazugekommen, wenn die Rate die ganze Zeit 25 Liter pro Stunde gewesen wäre?
Hilfe 2
Vergleiche mit (1).
Lösung zeigen
a) Jede Angabe mit Zeitraum oder Zeitpunkt, Größe und Einheit in einem Satz deuten; t = 0 ist 12 Uhr.
(1) Von 13 bis 14 Uhr nimmt die Wassermenge in der Tonne um 36 Liter zu.
(2) Von 13 bis 15 Uhr nimmt die Wassermenge im Durchschnitt um 25 Liter pro Stunde zu.
(3) Um 17 Uhr nimmt die Wassermenge gerade ab, und zwar um 8 Liter pro Stunde. In diesem Moment fließt Wasser aus der Tonne, etwa weil jemand Wasser entnimmt.
b) Rückwärts: aus der mittleren Änderungsrate die gesamte Änderung gewinnen, dann die beiden Stunden vergleichen.
Aus (2): W(3) − W(1) = 25 · 2 = 50. Von 13 bis 15 Uhr kamen also 50 Liter dazu.
Von 14 bis 15 Uhr: W(3) − W(2) = 50 − 36 = 14 Liter.
In der ersten Stunde kamen 36 Liter dazu, in der zweiten nur 14. Der Zufluss hat nachgelassen, etwa weil der Regen schwächer wurde.
c) Eine gleichbleibende Rate erzeugt in jeder Stunde dieselbe Zunahme. Das widerspricht den Angaben.
Wäre die momentane Änderungsrate die ganze Zeit 25 Liter pro Stunde gewesen, wären in jeder der beiden Stunden genau 25 Liter dazugekommen.
Nach (1) waren es von 13 bis 14 Uhr aber 36 Liter. Die Rate war also zeitweise größer als 25 Liter pro Stunde und später kleiner.
Klausuraufgabe
4.1Algenteppich
Auf einem kleinen See breitet sich ein Algenteppich aus. Seine Fläche wird für die ersten 20 Tage nach Beobachtungsbeginn beschrieben durch A(t) = −0,05t³ + 1,5t² + 10 für 0 ≤ t ≤ 20 (t in Tagen, A(t) in m²). Die Abbildung zeigt den Graphen von A.
Abbildung
a) Berechne die Fläche des Algenteppichs 10 Tage nach Beobachtungsbeginn sowie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Algenteppichs in den ersten 10 Tagen.3 BE
Hilfe 1
Die Fläche nach 10 Tagen ist ein Funktionswert.
Hilfe 2
„Durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit“: Welche Änderungsrate ist das, und in welchem Intervall?
Hilfe 3
Der Algenteppich hat schon bei Beobachtungsbeginn eine Fläche.
b) Erläutere die Bedeutung des Terms A(20) − A(10)20 − 10 im Sachzusammenhang und berechne seinen Wert.3 BE
Hilfe 1
Was steht im Zähler, was im Nenner, und welche Einheit hat beides?
Hilfe 2
Welcher Zeitraum ist gemeint?
c) Ermittle näherungsweise, wie schnell der Algenteppich genau 10 Tage nach Beobachtungsbeginn wächst.3 BE
Hilfe 1
Gesucht ist kein Durchschnitt, sondern die Geschwindigkeit in einem Moment.
Hilfe 2
Zwei Wege führen zum Ziel: kleine Intervalle bei t = 10 oder eine Tangente in der Abbildung.
d) Beschreibe anhand der Abbildung, wie sich die Wachstumsgeschwindigkeit des Algenteppichs im Lauf der 20 Tage verändert.2 BE
Hilfe 1
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist die Steigung des Graphen.
Hilfe 2
Wo ist der Graph flach, wo am steilsten?
e) Ein Biologe sagt: „In den ersten zehn Tagen ist der Algenteppich im Durchschnitt um 10 m² pro Tag gewachsen. Also ist er in den ersten fünf Tagen um 50 m² gewachsen.“ Beurteile diese Aussage.3 BE
Hilfe 1
Prüfe den ersten Satz mit deinem Ergebnis aus a).
Hilfe 2
Was setzt der Schluss von zehn auf fünf Tage stillschweigend voraus?
Hilfe 3
Um wie viel m² ist der Teppich nach fünf Tagen größer als zu Beginn? Berechne es mit der Funktion oder lies es an der Abbildung ab.
Lösung zeigen
a) Funktionswert und mittlere Änderungsrate im Intervall [0; 10] mit der Einheit m² pro Tag.
A(10) = −50 + 150 + 10 = 110. Nach 10 Tagen ist der Algenteppich 110 m² groß.
A(10) − A(0)10 − 0 = 110 − 1010 = 10
In den ersten 10 Tagen wächst der Algenteppich im Durchschnitt um 10 m² pro Tag.
b) Ein Differenzenquotient im Sachzusammenhang: Größe, Zeitraum und Einheit nennen.
Der Term gibt die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit des Algenteppichs für 10 ≤ t ≤ 20 an, also von 10 bis 20 Tagen nach Beobachtungsbeginn, in m² pro Tag.
A(20) = −400 + 600 + 10 = 210; 210 − 11010 = 10
Von 10 bis 20 Tagen nach Beobachtungsbeginn wächst der Teppich im Durchschnitt um 10 m² pro Tag.
c) „genau 10 Tage nach“: momentane Änderungsrate bei t = 10, über kleine Intervalle oder über die Tangente.
A(10,1) = 111,49995; A(10,01) = 110,14999995
[10; 10,1]: 111,49995 − 1100,1 = 14,9995
[10; 10,01]: 110,14999995 − 1100,01 = 14,999995
Die Werte nähern sich 15. Genau 10 Tage nach Beobachtungsbeginn wächst der Teppich um etwa 15 m² pro Tag.
Ebenso richtig: Tangente in der Abbildung im Punkt (10 | 110), Steigung etwa 15. Werte von 13 bis 17 sind gut abgelesen.
Lösung
d) Steigungsverhalten des Graphen in Worten über das Wachstum: am Anfang, in der Mitte, am Ende.
Zu Beginn ist der Graph fast waagerecht: Der Teppich wächst kaum.
Bis etwa t = 10 (10 Tage nach Beobachtungsbeginn) wird der Graph immer steiler, das Wachstum wird schneller. Dort ist es am schnellsten, etwa 15 m² pro Tag.
Danach wird der Graph wieder flacher. Bei t = 20 (20 Tage nach Beobachtungsbeginn) ist er waagerecht: Der Teppich wächst dann nicht mehr.
e) Den ersten Satz prüfen, dann den Schluss: Er setzt gleichmäßiges Wachstum voraus. Ein Durchschnitt über zehn Tage sagt nichts über die ersten fünf Tage.
Der erste Satz stimmt (Teil a): In den ersten zehn Tagen sind es im Durchschnitt 10 m² pro Tag.
Der Schluss ist falsch. Er setzt voraus, dass der Teppich an jedem Tag gleich viele m² wächst; der Graph wäre dann eine Gerade.
Nach fünf Tagen ist A(5) = −6,25 + 37,5 + 10 = 41,25. In den ersten fünf Tagen wächst der Teppich also nur um 41,25 − 10 = 31,25 m², nicht um 50 m². Aus der Abbildung abgelesen: A(5) liegt bei etwa 40 (Werte von 38 bis 44 sind gut abgelesen), der Zuwachs also bei etwa 30 m².
Am Anfang wächst der Teppich langsamer als im Durchschnitt (Teil d: Der Graph ist zu Beginn fast waagerecht), in den folgenden fünf Tagen dafür schneller. Ein Durchschnitt über zehn Tage sagt nichts darüber, wie sich das Wachstum innerhalb dieser zehn Tage verteilt.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Die Ableitung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.