Zuerst kommt die Erklärung, danach 12 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Du kennst die Sekante: die Gerade durch zwei Punkte des Graphen. Ihre Steigung ist die mittlere Änderungsrate, der Differenzenquotient. Eine Tangente berührt den Graphen in einem Punkt P. Für ihre Steigung hast du nur diesen einen Punkt, du brauchst aber zwei. Der Ausweg: Du legst die Sekante durch P und einen Nachbarpunkt Q und schiebst Q immer dichter an P heran. Die Sekante durch P(x0 | f(x0)) und Q(x0 + h | f(x0 + h)) hat die Steigung:
f(x0 + h) − f(x0)h
✎ Mini-Aufgabe: Für f(x) = x² liegt P(1 | 1) auf dem Graphen. Berechne die Steigung der Sekante durch P und Q(1 + h | f(1 + h)) und vereinfache den Term. Was passiert mit dem Wert, wenn h immer kleiner wird?
Lösung zeigen
f(1 + h) = (1 + h)² = 1 + 2h + h². Die Steigung ist f(1 + h) − f(1)h = 2h + h²h = 2 + h.
Für h = 1, h = 0,1 und h = 0,01 sind das 3; 2,1 und 2,01. Je kleiner h wird, desto näher kommt die Steigung an 2. Das ist die Steigung der Tangente in P.
2. Der Differenzialquotient
Lässt du h gegen 0 gehen, rückt Q an P heran, und aus der Sekante wird die Tangente. Der Wert, dem sich die Sekantensteigungen dabei nähern, heißt Grenzwert. Der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0 ist die Ableitung von f an der Stelle x0:
f′(x0) = lim(h→0) f(x0 + h) − f(x0)h
f′(x0) ist eine Zahl: die Steigung des Graphen im Punkt P(x0 | f(x0)). Es ist auch die Steigung der Tangente in P.
Man liest „f Strich von x0“. Der Grenzwert heißt auch Differenzialquotient.
Gibt es den Grenzwert, heißt f an der Stelle x0differenzierbar. Bei ganzrationalen Funktionen gibt es ihn an jeder Stelle.
Setze nie sofort h = 0 ein. Dann steht im Zähler 0 und im Nenner 0, und durch 0 darf man nicht teilen. Forme den Bruch erst um und kürze h. Danach darf h gegen 0 gehen.
✎ Mini-Aufgabe: Setze für f(x) = x² in f(1 + h) − f(1)h sofort h = 0 ein. Was steht da? Was musst du stattdessen tun?
Lösung zeigen
Im Zähler steht f(1) − f(1) = 0, im Nenner steht 0. Der Bruch 00 hat keinen Wert.
Du musst den Zähler erst ausmultiplizieren, h ausklammern und kürzen. Erst dann lässt du h gegen 0 gehen.
3. Die h-Methode
So bestimmst du f′(x0) bei einer ganzrationalen Funktion:
Einsetzen Berechne f(x0) und f(x0 + h). Multipliziere die Klammern aus.
Zähler bilden Bilde f(x0 + h) − f(x0). Alle Summanden ohne h heben sich auf.
Kürzen Klammere im Zähler h aus und kürze den Bruch durch h.
Grenzwert Lass h gegen 0 gehen. Was dann übrig bleibt, ist f′(x0).
f(−2 + h) − f(−2)h = −2h + h²h = −2 + h. Für h → 0 geht das gegen −2. Also f′(−2) = −2.
Der Graph fällt bei x = −2 mit der Steigung −2.
4. Steigung und Änderungsrate
f′(x0) hat zwei Bedeutungen, die du je nach Aufgabe brauchst.
Am Graphen: f′(x0) ist die Steigung der Tangente im Punkt P(x0 | f(x0)). Bei f′(x0) > 0 steigt der Graph dort, bei f′(x0) < 0 fällt er, bei f′(x0) = 0 verläuft die Tangente waagerecht.
Im Sachzusammenhang: f′(x0) ist die momentane Änderungsrate zum Zeitpunkt x0, also die Änderung in genau diesem Augenblick. Ist s(t) ein Weg, dann ist s′(t0) die Momentangeschwindigkeit. Die Einheit ist Größe pro Zeiteinheit, zum Beispiel m pro s.
Der Graph von f(x) = x² mit P(1 | 1). Gestrichelt: die Sekante durch P und Q (h = 1, Steigung 3) und die Sekante durch P und R (h = 0,5, Steigung 2,5). Dunkel: die Tangente in P mit der Steigung 2. Je kleiner h, desto näher liegt die Sekante an der Tangente.
✎ Mini-Aufgabe: Für die Wassertemperatur T eines Tanks gilt T′(5) = −3 (T in °C, t in Stunden nach dem Einschalten der Kühlung). Was sagt diese Angabe?
Lösung zeigen
Fünf Stunden nach dem Einschalten sinkt die Temperatur in diesem Augenblick um 3 °C pro Stunde. Das Minuszeichen heißt: Die Temperatur nimmt ab.
5. Tangente und Normale
Die Tangente in P(x0 | f(x0)) ist eine Gerade durch P mit der Steigung f′(x0). Du brauchst also zwei Zahlen: f′(x0) und f(x0). Die Punkt-Steigungs-Form liefert die Gleichung:
t(x) = f′(x0) · (x − x0) + f(x0)
Die Normale steht in P senkrecht auf der Tangente. Für senkrechte Geraden gilt m1 · m2 = −1. Ihre Steigung ist also −1f′(x0), wenn f′(x0) nicht 0 ist:
n(x) = −1f′(x0) · (x − x0) + f(x0)
Beispiel: f(x) = x² an der Stelle x0 = 1
f(1) = 1 und f(1 + h) − f(1)h = 2h + h²h = 2 + h, also f′(1) = 2. Der Punkt ist P(1 | 1).
Tangente: t(x) = 2 · (x − 1) + 1 = 2x − 1
Normale: n(x) = −0,5 · (x − 1) + 1 = −0,5x + 1,5
Tangente t und Normale n an den Graphen von f(x) = x² in P(1 | 1). Beide Achsen haben denselben Maßstab, deshalb sieht man den rechten Winkel.
✎ Mini-Aufgabe: Stelle die Gleichung der Tangente an f(x) = x² + 2x in P(−2 | f(−2)) auf. Das Ergebnis der Mini-Aufgabe zu dieser Funktion darfst du verwenden.
Steigung des Graphen an der Stelle x0, Steigung der Tangente in P
f′(x0)
Grenzwert für h → 0, nicht die Steigung einer Sekante
momentane Änderungsrate, Momentangeschwindigkeit, wie schnell zu diesem Zeitpunkt, in diesem Augenblick
f′(t0)
Einheit: Größe pro Zeiteinheit
mittlere Änderungsrate, durchschnittliche Geschwindigkeit, im Durchschnitt von … bis …
Differenzenquotient f(b) − f(a)b − a
Kein Grenzwert: Das ist die Steigung einer Sekante
Tangente an den Graphen in P, Tangente an der Stelle x0
t(x) = f′(x0) · (x − x0) + f(x0)
Steigung und Punkt nötig; der y-Wert f(x0) steht nicht da
Normale in P, senkrecht zum Graphen
Gerade durch P mit der Steigung −1f′(x0)
Nur für f′(x0) ungleich 0; Vorzeichen wechseln und Kehrwert bilden
der Graph steigt (fällt) an der Stelle x0
f′(x0) > 0 (f′(x0) < 0)
Das sagt nichts über den Wert f(x0)
Steigung in Prozent, Gefälle
f′(x0) · 100 %
Bei Gefälle ist f′(x0) negativ: Betrag und Richtung nennen
Übergang ohne Knick, Anschluss ohne Knick
gleicher Funktionswert und gleiche Steigung an der Anschlussstelle
Beides prüfen, nicht nur eines
7. Was nirgends steht
Zu einer Stelle x0 gehört ein Punkt P(x0 | f(x0)). Für die Tangente brauchst du ihn, auch wenn die Aufgabe nur x0 nennt.
„Momentan“ und „in diesem Augenblick“ sagen dir, dass du den Grenzwert bilden musst. Ein Durchschnitt über einen Zeitraum ist etwas anderes.
Ein negatives f′(x0) heißt, die Größe nimmt ab. Schreibe das in Worten („sinkt um …“), nicht nur als negative Zahl.
Die Einheit steht nicht da: Die Änderungsrate hat die Einheit der Größe pro Einheit der Zeit.
Eine Tangente gibt den Graphen nur in der Nähe von P gut wieder. Weiter weg weicht der Graph von ihr ab.
8. Ein Sachbeispiel
Was ist gefragt? Die Geschwindigkeit eines Steins zwei Sekunden nach dem Loslassen. Der Stein fällt nach s(t) = 5t² (t in Sekunden, s(t) in Metern).
Was steht nicht da? „Zwei Sekunden nach dem Loslassen“ meint einen Augenblick, nicht den Durchschnitt der ersten zwei Sekunden. Gesucht ist also s′(2), der Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Einheit ist m pro s.
Rechnen s(2) = 20. s(2 + h) = 5 · (4 + 4h + h²) = 20 + 20h + 5h². s(2 + h) − s(2)h = 20h + 5h²h = 20 + 5h, für h → 0 also 20. Damit ist s′(2) = 20.
Antwortsatz Zwei Sekunden nach dem Loslassen fällt der Stein mit 20 m pro s, das sind 72 km/h.
Prüfen In den ersten zwei Sekunden legt der Stein 20 m zurück, im Durchschnitt also 10 m pro s. Er wird immer schneller, deshalb muss seine Geschwindigkeit nach zwei Sekunden über dem Durchschnitt liegen. 20 m pro s passt.
9. Typische Fehler
h zu früh gleich 0 setzen. Dann steht 00 da. Erst ausmultiplizieren, h ausklammern und kürzen.
Beim Ausmultiplizieren die Mitte vergessen: (1 + h)² ist 1 + 2h + h², nicht 1 + h².
Bei einer Klammer mit Minuszeichen ein Vorzeichen verlieren: −3 · (1 + h) ist −3 − 3h, nicht −3 + 3h.
Bei 5h + h² aufhören. Erst nach dem Kürzen (5 + h) lässt du h gegen 0 gehen.
Bei der Tangente nur die Steigung angeben und f(x0) vergessen: Die Gerade muss durch den Punkt P gehen.
Mittlere und momentane Änderungsrate verwechseln: Ein Durchschnitt über einen Zeitraum ist nicht f′(x0).
Rechnen
2.1Von der Sekante zur Ableitung
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² − 3x. Auf ihrem Graphen liegt der Punkt P(2 | f(2)).
a) Berechne die Steigung der Sekante durch P und Q(2 + h | f(2 + h)) für h = 0,1 und für h = 0,01. Gib an, welchem Wert sich die Steigungen nähern.
Hilfe 1
Die Steigung der Sekante ist die Änderung der y-Werte geteilt durch die Änderung der x-Werte.
Hilfe 2
Berechne zuerst f(2), dann f(2,1) und f(2,01).
b) Berechne f′(2).
Hilfe 1
f′(2) ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0.
Hilfe 2
Bilde f(2 + h) und multipliziere die Klammer aus. Fasse dann den Zähler zusammen.
Hilfe 3
Klammere im Zähler h aus und kürze, bevor du h gegen 0 gehen lässt.
Lösung zeigen
a) Die Sekantensteigung ist f(2 + h) − f(2)h. Wird h immer kleiner, zeigt sich der Wert, dem sie zustrebt.
b) „Berechnen Sie f′(2)“ heißt: den Grenzwert des Differenzenquotienten f(2 + h) − f(2)h für h → 0 bestimmen. Teil a) zeigt, welcher Wert herauskommen muss.
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x² − 4x + 5. Für den Differenzenquotienten an der Stelle x0 = 3 gilt: f(3 + h) − f(3)h = 2 + h.
a) Bestimme f′(3).
Hilfe 1
Was geschieht mit dem Term 2 + h, wenn h gegen 0 geht?
Hilfe 2
Der Grenzwert des Differenzenquotienten ist die Ableitung.
b) Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f im Punkt P(3 | f(3)).
Hilfe 1
Eine Gerade ist durch eine Steigung und einen Punkt bestimmt.
Hilfe 2
Die Steigung kennst du aus a). Der y-Wert von P steht nicht da.
Hilfe 3
Setze Steigung und Punkt in die Punkt-Steigungs-Form ein.
c) Bestimme eine Gleichung der Normalen im Punkt P.
Hilfe 1
Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Was gilt für das Produkt der Steigungen zweier senkrechter Geraden?
Hilfe 2
Berechne die Steigung der Normalen aus der Tangentensteigung.
Hilfe 3
Die Normale geht durch denselben Punkt P wie die Tangente.
Lösung zeigen
a) Der Differenzenquotient ist schon umgeformt; es fehlt nur noch der Grenzübergang.
Für h → 0 geht 2 + h gegen 2: f′(3) = 2.
b) „Tangente in P(3 | f(3))“: Steigung f′(3) und Punkt P. Der y-Wert von P muss erst berechnet werden.
f(3) = 9 − 12 + 5 = 2, also P(3 | 2).
t(x) = 2 · (x − 3) + 2. Die Tangente hat die Gleichung t(x) = 2x − 4.
c) „Normale“ heißt: durch P, senkrecht zur Tangente, also Steigung −1f′(3).
Tangentensteigung 2, also hat die Normale die Steigung −12 = −0,5.
n(x) = −0,5 · (x − 3) + 2. Die Normale hat die Gleichung n(x) = −0,5x + 3,5.
Ohne Taschenrechner
2.5Parameter gesucht
a) Die Funktion f mit f(x) = a · x² + x hat an der Stelle x0 = 2 die Ableitung f′(2) = 9. Bestimme a.
Hilfe 1
Rechne den Differenzenquotienten an der Stelle 2 mit dem Buchstaben a aus, so wie mit einer Zahl.
Hilfe 2
Nach dem Kürzen und dem Grenzübergang bleibt ein Term mit a übrig. Dieser Term ist f′(2).
Hilfe 3
Setze ihn gleich 9.
b) Der Graph der Funktion g mit g(x) = x² + b · x hat an der Stelle x0 = 1 eine Tangente, die parallel zur Geraden y = 5x − 3 verläuft. Bestimme b.
Hilfe 1
Parallele Geraden haben dieselbe Steigung.
Hilfe 2
Welche Steigung hat die Gerade y = 5x − 3? Was muss dann für g′(1) gelten?
Hilfe 3
Der Differenzenquotient enthält b; nach dem Grenzübergang bleibt ein Term mit b.
Lösung zeigen
a) Eine Zahl im Term ist unbekannt, die Ableitung ist gegeben: Der Grenzwert enthält a, und aus ihm folgt a.
f(2 + h) − f(2) = a · (4 + 4h + h² − 4) + h = 4ah + ah² + h
f(2 + h) − f(2)h = 4a + 1 + a · h, für h → 0 geht das gegen 4a + 1. Also ist f′(2) = 4a + 1.
4a + 1 = 9 ⇔ a = 2
b) „parallel“ heißt gleiche Steigung: g′(1) ist gleich der Steigung der Geraden. Das steht nicht da.
Die Gerade hat die Steigung 5, also muss g′(1) = 5 gelten.
g(1 + h) − g(1) = (1 + 2h + h² + b + b · h) − (1 + b) = 2h + h² + b · h
g(1 + h) − g(1)h = 2 + b + h, für h → 0 geht das gegen 2 + b. Also ist g′(1) = 2 + b.
2 + b = 5 ⇔ b = 3
2.6Von der Tangente zurück
Die Tangente an den Graphen einer Funktion f im Punkt P(2 | f(2)) hat die Gleichung y = 3x − 1.
a) Gib f(2) und f′(2) an.
Hilfe 1
Welche Zahl in der Tangentengleichung ist die Steigung der Tangente?
Hilfe 2
P liegt auf der Tangente und auf dem Graphen von f. Setze x = 2 in die Tangentengleichung ein.
b) Die Funktion hat die Form f(x) = x² + b · x + c. Bestimme b und c.
Hilfe 1
Du kennst jetzt zwei Bedingungen: einen Funktionswert und eine Ableitung.
Hilfe 2
Rechne f′(2) mit b und c im Differenzenquotienten aus. Eine der beiden Zahlen fällt dabei heraus.
Hilfe 3
Setze die Bedingungen der Reihe nach ein: erst die Ableitung, dann den Funktionswert.
Lösung zeigen
a) Die Tangentengleichung enthält zwei Angaben über f: die Steigung ist f′(2), der Punkt P liefert f(2).
Die Steigung der Tangente ist die Ableitung: f′(2) = 3.
P liegt auf der Tangente: 3 · 2 − 1 = 5. Also f(2) = 5.
b) Zwei Unbekannte, zwei Bedingungen aus a): f′(2) = 3 liefert b, f(2) = 5 liefert danach c.
f(2 + h) − f(2) = (4 + 4h + h² + 2b + b · h + c) − (4 + 2b + c) = 4h + h² + b · h
f(2 + h) − f(2)h = 4 + b + h, für h → 0 geht das gegen 4 + b. Also ist f′(2) = 4 + b.
4 + b = 3 ⇔ b = −1
f(2) = 4 + 2b + c = 2 + c = 5 ⇔ c = 3. Also ist f(x) = x² − x + 3.
2.7Ist g die Tangente?
Die Abbildung zeigt den Graphen von f mit f(x) = 0,5x² und eine Gerade g durch den Punkt P(2 | 2).
Abbildung
a) Lies am Graphen die Steigung der Geraden g ab.
Hilfe 1
Suche zwei Punkte auf g, die genau auf Gitterpunkten liegen.
Hilfe 2
Gehe von einem Gitterpunkt um 1 nach rechts und lies ab, um wie viel g steigt.
b) Zeige, dass g die Tangente an den Graphen von f im Punkt P ist.
Hilfe 1
Was muss für eine Gerade gelten, damit sie die Tangente im Punkt P ist? Es sind zwei Dinge.
Hilfe 2
Prüfe zuerst, ob P auf dem Graphen von f liegt. g geht laut Aufgabe durch P.
Hilfe 3
Berechne f′(2) und vergleiche mit der Steigung von g.
Lösung zeigen
a) Die Steigung einer Geraden liest man an einem Steigungsdreieck zwischen zwei Gitterpunkten ab.
g geht durch die Gitterpunkte (1 | 0) und (3 | 4). Auf 2 Einheiten nach rechts kommen 4 Einheiten nach oben: Die Steigung ist 2. Abgelesene Werte von etwa 1,9 bis 2,1 gelten ebenfalls als richtig.
b) „Zeige, dass g die Tangente in P ist“: zwei Bedingungen, gleicher Punkt und gleiche Steigung. Beide müssen geprüft werden.
P liegt auf dem Graphen von f: f(2) = 0,5 · 4 = 2. Die Gerade g geht ebenfalls durch P.
f(2 + h) − f(2)h = 2h + 0,5h²h = 2 + 0,5h, für h → 0 also f′(2) = 2.
g hat laut a) dieselbe Steigung 2 und geht durch denselben Punkt P(2 | 2). Also ist g die Tangente in P: g(x) = 2 · (x − 2) + 2 = 2x − 2.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. Die Funktion s beschreibt den Weg eines Radfahrers, der aus dem Stand losrollt (t in Sekunden seit dem Start, s(t) in Metern). (1) Wie schnell fährt er genau 10 Sekunden nach dem Start? (2) Wie schnell ist er in den ersten 10 Sekunden im Durchschnitt? (3) Nach wie vielen Sekunden hat er 100 m zurückgelegt?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert der Funktion, um die Änderung über einen Zeitraum oder um die Änderung in einem Augenblick?
Hilfe 2
„genau 10 Sekunden nach dem Start“ und „in den ersten 10 Sekunden“ sind zwei verschiedene Fragen an dieselbe Funktion.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Ist eine Geschwindigkeit gefragt oder ein Weg?
b) Ein Radfahrer rollt aus dem Stand einen Hang hinunter. Für 0 ≤ t ≤ 12 beschreibt s(t) = 0,5t² + 2t den zurückgelegten Weg; dabei ist t die Zeit in Sekunden seit dem Start und s(t) der Weg in Metern. Wie schnell ist der Radfahrer 4 Sekunden nach dem Start, und um wie viel schneller als im Durchschnitt der ersten 4 Sekunden? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die … Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4, also s′(…), und der Unterschied zur … Geschwindigkeit in den ersten 4 Sekunden. 2. Was nicht dasteht: „4 Sekunden nach dem Start“ meint einen …, also bilde ich den … des Differenzenquotienten für h → 0. Die Einheit ist … 3. Rechnen: s(4) = …; s(4 + h) − s(4)h = …; für h → 0: s′(4) = …; mittlere Geschwindigkeit: s(4) − s(0)4 = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„4 Sekunden nach dem Start“: Meint das einen Zeitraum oder einen Augenblick?
Hilfe 2
Wie heißt die Größe, die die Änderung in einem Augenblick beschreibt, und wie berechnest du sie?
Hilfe 3
Die mittlere Geschwindigkeit der ersten 4 Sekunden ist ein Differenzenquotient ohne Grenzwert.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen zur selben Funktion, drei verschiedene Objekte: der Grenzwert des Differenzenquotienten, der Differenzenquotient, ein Funktionswert.
(1) Gesucht ist die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 10, also s′(10). Ansatz: Grenzwert des Differenzenquotienten s(10 + h) − s(10)h für h → 0.
(2) Gesucht ist die mittlere Geschwindigkeit im Zeitraum von 0 bis 10 Sekunden. Ansatz: Differenzenquotient s(10) − s(0)10, ohne Grenzwert.
(3) Gesucht ist der Zeitpunkt t mit s(t) = 100. Ansatz: die Gleichung s(t) = 100 lösen. Hier geht es nicht um eine Ableitung.
b) „wie schnell … nach 4 Sekunden“ heißt: Grenzwert des Differenzenquotienten. Dass auch der Durchschnitt gebraucht wird, steht in der zweiten Frage; die Einheit steht nicht da.
1. Gefragt ist die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 4, also s′(4), und der Unterschied zur mittleren Geschwindigkeit in den ersten 4 Sekunden.
2. „4 Sekunden nach dem Start“ meint einen Augenblick, also bilde ich den Grenzwert des Differenzenquotienten für h → 0. Die Einheit ist m pro s.
4. Vier Sekunden nach dem Start fährt der Radfahrer mit 6 m pro s, im Durchschnitt der ersten 4 Sekunden mit 4 m pro s. Er ist dann 2 m pro s schneller als im Durchschnitt.
5. Er wird beim Rollen immer schneller, deshalb muss seine Geschwindigkeit nach 4 Sekunden über dem Durchschnitt liegen. 6 m pro s sind 21,6 km/h, für ein Rad am Hang ein glaubhafter Wert. Das passt.
3.2Algenteppich
Auf einem Teich breitet sich ein Algenteppich aus. Im Modell beschreibt A(t) = 0,5t² + 4t die bedeckte Fläche in m²; dabei ist t die Zeit in Tagen seit Beobachtungsbeginn (0 ≤ t ≤ 10).
a) Bestimme, wie schnell sich die bedeckte Fläche 2 Tage nach Beobachtungsbeginn vergrößert.
Hilfe 1
„wie schnell … 2 Tage nach Beobachtungsbeginn“: Ist das ein Zeitraum oder ein Augenblick?
Hilfe 2
Die Änderungsrate in einem Augenblick ist die Ableitung. Welche Stelle t0 ist gemeint?
Hilfe 3
Bilde den Differenzenquotienten an dieser Stelle und lass h gegen 0 gehen. Vergiss die Einheit nicht.
b) Im Zeitraum von t = 0 bis t = 2 hat die Fläche im Durchschnitt um 5 m² pro Tag zugenommen. Erkläre, warum der Wert aus a) größer ist.
Hilfe 1
Berechne zum Vergleich auch die Änderungsrate zu Beginn, bei t = 0.
Hilfe 2
Vergleiche die Raten bei t = 0 und t = 2 mit dem Durchschnitt von 5 m² pro Tag.
Hilfe 3
Wie verhält sich die Änderungsrate zwischen t = 0 und t = 2?
c) Eine Besucherin sagt: „Nach 2 Tagen sind 10 m² bedeckt, also wächst die Fläche mit 10 m² pro Tag.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Was bedeutet die Zahl 10: die Fläche oder die Änderung der Fläche?
Hilfe 2
Vergleiche die Einheiten: m² und m² pro Tag.
Lösung zeigen
a) „wie schnell … nach 2 Tagen“ meint einen Zeitpunkt: gesucht ist A′(2). Die Einheit ist m² pro Tag und steht nicht da.
„Wie schnell“ zu einem Zeitpunkt fragt nach der momentanen Änderungsrate A′(2).
A(2) = 2 + 8 = 10. A(2 + h) − A(2)h = 6h + 0,5h²h = 6 + 0,5h, für h → 0 also A′(2) = 6.
Zwei Tage nach Beobachtungsbeginn vergrößert sich die Fläche um 6 m² pro Tag.
b) Ein Vergleich von mittlerer und momentaner Änderungsrate: Der Durchschnitt erfasst den ganzen Zeitraum, die momentane Rate nur den Endzeitpunkt.
Die Fläche wächst nicht gleichmäßig, sondern immer schneller. Bei t = 0 ist die Änderungsrate A′(0) = 4 m² pro Tag, denn A(h) − A(0)h = 4 + 0,5h. Bei t = 2 sind es 6 m² pro Tag.
Der Durchschnitt von 5 m² pro Tag mischt die kleineren Raten vom Anfang des Zeitraums mit den größeren vom Ende. Bei t = 2 ist die Rate schon größer als der Durchschnitt.
Ebenso richtig: Der Graph von A wird nach rechts steiler, die Sekante von t = 0 bis t = 2 ist deshalb flacher als die Tangente bei t = 2.
c) Bestand und Änderungsrate werden verwechselt: A(2) ist eine Fläche in m², A′(2) eine Rate in m² pro Tag.
Die Aussage ist falsch. 10 m² ist die Fläche zum Zeitpunkt t = 2, also A(2). Wie schnell die Fläche wächst, sagt A′(2) = 6 m² pro Tag.
Die Besucherin verwechselt den Bestand mit der Änderungsrate.
3.3Rückhaltebecken
Ein Regenrückhaltebecken wird abgelassen. Im Modell beschreibt W(t) = 0,05t² − 0,6t + 3,2 den Wasserstand in m über dem Beckenboden; dabei ist t die Zeit in Stunden seit Beginn des Ablassens (0 ≤ t ≤ 10). Das Material zeigt den Graphen von W.
Material
a) Bestimme, wie schnell der Wasserstand 2 Stunden nach Beginn des Ablassens sinkt oder steigt, und beschreibe in einem Satz, was dein Ergebnis bedeutet.
Hilfe 1
„wie schnell … 2 Stunden nach Beginn“: Ist das ein Zeitraum oder ein Augenblick?
Hilfe 2
Gesucht ist die momentane Änderungsrate W′(2). Bilde den Differenzenquotienten an der Stelle 2 und lass h gegen 0 gehen.
Hilfe 3
Das Vorzeichen des Ergebnisses sagt, ob der Wasserstand steigt oder sinkt. Nenne auch die Einheit.
b) Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von W im Punkt P(2 | W(2)).
Hilfe 1
Für eine Tangente brauchst du eine Steigung und einen Punkt.
Hilfe 2
Die Steigung kennst du aus a). Der y-Wert des Punktes steht nicht da.
Hilfe 3
Setze beides in die Punkt-Steigungs-Form ein.
c) Ein Praktikant sagt: „Der Wasserstand sinkt jetzt mit 0,4 m pro Stunde. Wenn das so weitergeht, ist das Becken nach 7,5 Stunden leer.“ Beurteile diese Aussage mithilfe des Graphen.
Hilfe 1
Wie könnte der Praktikant auf 7,5 gekommen sein? Setze den Term der Tangente aus b) gleich 0.
Hilfe 2
Gilt die Änderungsrate −0,4 m pro Stunde für die ganze Zeit oder nur für einen Augenblick?
Hilfe 3
Betrachte im Graphen, was nach t = 2 mit der Steigung geschieht und wie tief der Wasserstand überhaupt kommt.
Lösung zeigen
a) „wie schnell … zu diesem Zeitpunkt“ heißt W′(2). Ein negativer Wert bedeutet, dass der Wasserstand sinkt; die Einheit steht nicht da.
W(2) = 0,2 − 1,2 + 3,2 = 2,2. W(2 + h) − W(2)h = −0,4h + 0,05h²h = −0,4 + 0,05h, für h → 0 also W′(2) = −0,4.
Zwei Stunden nach Beginn des Ablassens sinkt der Wasserstand in diesem Augenblick um 0,4 m pro Stunde.
b) „Tangente in P(2 | W(2))“: Steigung W′(2) und Punkt P. Der y-Wert von P muss erst berechnet werden.
Steigung W′(2) = −0,4, Punkt P(2 | 2,2).
y = −0,4 · (t − 2) + 2,2 = −0,4t + 3. Die Tangente hat die Gleichung y = −0,4t + 3.
c) Eine Vorhersage mit einer Änderungsrate prüfen: Die Tangente gilt nur nahe am Berührpunkt, der Graph zeigt, wie es weitergeht.
Der Praktikant rechnet mit der Tangente aus b): −0,4t + 3 = 0 ⇔ t = 7,5. Das stimmt nur, wenn der Wasserstand gleichmäßig mit 0,4 m pro Stunde weiter sinkt.
Im Graphen wird W aber flacher und steigt nach etwa 6 Stunden wieder. Der tiefste Wasserstand liegt bei etwa 1,4 m, das Becken wird nicht leer. Der Graph verläuft oberhalb der Tangente.
Die Aussage ist falsch: Die Änderungsrate gilt nur für den Augenblick bei t = 2 und bleibt nicht gleich.
3.4Fußgängerbrücke
Der Bogen einer Fußgängerbrücke wird im Modell durch f(x) = −0,05x² + 1,5x für 0 ≤ x ≤ 30 beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom linken Auflager und f(x) die Höhe über dem Boden, beides in Metern.
a) Bestimme die Steigung des Bogens an der Stelle x = 10 und gib sie in Prozent an.
Hilfe 1
Die Steigung des Bogens an einer Stelle ist die Ableitung dort.
Hilfe 2
Bilde den Differenzenquotienten an der Stelle 10 und lass h gegen 0 gehen.
Hilfe 3
Eine Steigung von 0,25 sind 25 %. Rechne dein Ergebnis ebenso um.
b) An der Stelle x = 10 soll eine gerade Stützstrebe senkrecht zum Bogen bis zum Boden führen. Bestimme, in welcher Entfernung vom linken Auflager die Strebe den Boden erreicht.
Hilfe 1
„senkrecht zum Bogen“: Welche Gerade steht im Punkt (10 | f(10)) senkrecht auf der Tangente?
Hilfe 2
Berechne die Steigung dieser Geraden aus der Steigung des Bogens und stelle ihre Gleichung auf.
Hilfe 3
„bis zum Boden“ heißt: Die Höhe ist 0.
c) Berechne die Länge der Strebe.
Hilfe 1
Die Strebe ist die Strecke zwischen dem Punkt am Bogen und dem Punkt am Boden.
Hilfe 2
Die Unterschiede der x-Werte und der y-Werte sind die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks.
Lösung zeigen
a) „Steigung des Bogens an der Stelle 10“ heißt f′(10). „In Prozent“ heißt f′ · 100 % und steht nicht da.
f(10) = −5 + 15 = 10. f(10 + h) − f(10)h = 0,5h − 0,05h²h = 0,5 − 0,05h, für h → 0 also f′(10) = 0,5.
Die Steigung beträgt 0,5 · 100 % = 50 %.
b) „senkrecht zum Bogen“ heißt Normale. Dass „bis zum Boden“ die Höhe 0 meint, steht nicht da.
Die Strebe liegt auf der Normalen im Punkt (10 | 10). Mit f′(10) = 0,5 hat sie die Steigung −10,5 = −2.
n(x) = −2 · (x − 10) + 10 = −2x + 30.
Am Boden ist die Höhe 0: −2x + 30 = 0 ⇔ x = 15.
Die Strebe erreicht den Boden 15 m vom linken Auflager entfernt.
c) Eine Länge zwischen zwei bekannten Punkten: Satz des Pythagoras mit den Unterschieden der Koordinaten.
Die Strebe verläuft von (10 | 10) bis (15 | 0): 5 m waagerecht und 10 m senkrecht.
Länge = √(5² + 10²) = √125 ≈ 11,18. Die Strebe ist etwa 11,18 m lang.
Ohne Taschenrechner
3.5Lenas Rechnung
Ein Schlitten rutscht einen Hang hinunter und wird dabei immer schneller. Im Modell beschreibt s(t) = t² + 2t den zurückgelegten Weg; dabei ist t die Zeit in Sekunden seit dem Start und s(t) der Weg in Metern (0 ≤ t ≤ 8). Lena möchte die Geschwindigkeit des Schlittens 3 Sekunden nach dem Start bestimmen und rechnet so:
s(3 + h) = 9 + h² + 6 + 2h = 15 + 2h + h²
s(3 + h) − s(3)h = 2h + h²h = 2 + h, für h → 0 also 2
Lena schreibt: „Nach 3 Sekunden rutscht der Schlitten mit 2 m pro s.“
a) Finde den Fehler in Lenas Rechnung und erkläre, was sie falsch gemacht hat.
Hilfe 1
Rechne s(3 + h) selbst aus und vergleiche mit Lenas erster Zeile.
Hilfe 2
Prüfe besonders das Ausmultiplizieren von (3 + h)².
b) Berechne die Geschwindigkeit des Schlittens 3 Sekunden nach dem Start richtig.
Hilfe 1
Multipliziere (3 + h)² vollständig aus.
Hilfe 2
Fasse im Zähler zusammen, klammere h aus und kürze, bevor h gegen 0 geht.
c) Zeige mit der durchschnittlichen Geschwindigkeit der ersten 3 Sekunden, dass Lenas Ergebnis nicht stimmen kann.
Hilfe 1
Wie berechnest du die durchschnittliche Geschwindigkeit in den ersten 3 Sekunden?
Hilfe 2
Der Schlitten wird immer schneller. Was folgt daraus für den Vergleich von Durchschnitt und Geschwindigkeit nach 3 Sekunden?
Lösung zeigen
a) Eine fertige Rechnung prüfen: Zeile für Zeile nachvollziehen, bis die erste Zeile nicht mehr stimmt.
Lena hat (3 + h)² falsch ausmultipliziert: Sie schreibt 9 + h² und lässt die Mitte 6h weg. Richtig ist (3 + h)² = 9 + 6h + h².
Deshalb fehlt im Zähler der Summand 6h, und ihr Ergebnis ist um 6 zu klein.
b) Dieselbe Rechnung wie Lenas, nur ohne den Fehler im ersten Schritt.
s(3 + h) − s(3)h = 8h + h²h = 8 + h, für h → 0 also s′(3) = 8.
Nach 3 Sekunden rutscht der Schlitten mit 8 m pro s.
c) Ein Ergebnis auf Plausibilität prüfen: Wird ein Körper schneller, liegt seine Geschwindigkeit am Ende über dem Durchschnitt.
Durchschnitt der ersten 3 Sekunden: s(3) − s(0)3 = 153 = 5 m pro s.
Der Schlitten wird immer schneller. Seine Geschwindigkeit nach 3 Sekunden muss deshalb größer sein als der Durchschnitt der ersten 3 Sekunden. Lenas 2 m pro s sind kleiner als 5 m pro s, das widerspricht dem.
Klausuraufgabe
4.1Lärmschutzwall
Neben einer Straße wird ein Lärmschutzwall aufgeschüttet. Für 0 ≤ x ≤ 8 beschreibt f(x) = −0,1x² + 1,2x den Querschnitt von der Straßenseite bis zum Punkt P(8 | f(8)). Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Fuß des Walls an der Straße und f(x) die Höhe über dem Gelände, beides in Metern. Ab P verläuft die Seite zur Siedlung geradlinig und ohne Knick bis zum Gelände. Die Abbildung zeigt den Graphen von f.
Abbildung
a) Weise nach, dass der Graph von f im Punkt P die Steigung −0,4 hat.3 BE
Hilfe 1
Die Steigung des Graphen in P ist die Ableitung an der Stelle 8.
Hilfe 2
Bilde den Differenzenquotienten an der Stelle 8 und multipliziere f(8 + h) aus.
Hilfe 3
Klammere im Zähler h aus, kürze und lasse dann h gegen 0 gehen.
b) Die Seite zur Siedlung verläuft ab P entlang einer Geraden t. Bestimme eine Gleichung von t und zeige, dass der Wall an seinem Fuß 16 m breit ist.4 BE
Hilfe 1
„ohne Knick“: Welche Steigung hat t in P?
Hilfe 2
Eine Gerade ist durch Steigung und Punkt bestimmt. Den Punkt P kennst du.
Hilfe 3
Am Gelände ist die Höhe 0. Wo liegt der Fuß an der Straße, wo der Fuß an der Siedlung?
c) Skizziere den gesamten Querschnitt des Walls in das Koordinatensystem.2 BE
Hilfe 1
Zeichne zuerst den Teil von f bis P. Wo schneidet der Graph von f die x-Achse?
Hilfe 2
Wo liegt deshalb der höchste Punkt des Bogens?
Hilfe 3
Der Rest ist eine Gerade von P bis zum Gelände.
d) Ein Bauarbeiter schätzt die Höhe des Walls bei x = 7 mit der Rechnung 3,2 − 0,4 · (7 − 8) = 3,6. Erläutere, wie er gerechnet hat, und beurteile anhand der Abbildung, ob die wirkliche Höhe bei x = 7 größer oder kleiner als 3,6 m ist.3 BE
Hilfe 1
Welche Zahlen seiner Rechnung kennst du aus a) und b)?
Hilfe 2
Er geht von P aus einen Meter nach links. Mit welcher Geraden rechnet er dabei?
Hilfe 3
Zeichne diese Gerade in die Abbildung ein: Liegt der Graph von f links von P oberhalb oder unterhalb von ihr?
e) Berechne die Steigung des Walls an der Straße im Fußpunkt (x = 0) in Prozent und vergleiche sie mit der Steigung der Seite zur Siedlung.2 BE
Hilfe 1
Die Steigung an der Stelle 0 ist f′(0). Bilde den Differenzenquotienten an der Stelle 0.
Hilfe 2
Steigung in Prozent: die Steigung als Dezimalzahl mal 100 %. Das Vorzeichen sagt, ob der Wall steigt oder fällt.
Lösung zeigen
a) „Weise nach“: Der Wert steht da, verlangt ist der vollständige Rechenweg über den Differenzenquotienten.
Für h → 0 geht dieser Term gegen −0,4. Also f′(8) = −0,4.
b) „ohne Knick“ heißt: t hat in P die Steigung des Graphen von f, ist also die Tangente. Dass „Fuß“ die Höhe 0 meint und die Breite der Abstand der beiden Füße ist, steht nicht da.
t ist die Tangente in P(8 | 3,2) mit der Steigung −0,4: t(x) = −0,4 · (x − 8) + 3,2 = −0,4x + 6,4.
Am Gelände ist die Höhe 0: −0,4x + 6,4 = 0 ⇔ x = 16.
Der Wall reicht von x = 0 bis x = 16, ist also 16 m breit.
c) „Skizzieren“: Die Form muss stimmen, erst ein Bogen, dann die Gerade, und die Gerade setzt in P ohne Knick an.
Parabelbogen von (0 | 0) über den höchsten Punkt (6 | 3,6) bis P(8 | 3,2), danach die Gerade t von P bis (16 | 0).
d) Eine fertige Rechnung deuten: 3,2 ist f(8), −0,4 die Steigung in P. Der Graph als Beleg entscheidet über größer oder kleiner.
Der Bauarbeiter geht von P(8 | 3,2) einen Meter nach links und rechnet mit der Steigung −0,4 weiter. Er benutzt also die Tangente t in P und berechnet t(7) = 3,6.
In der Abbildung liegt der Graph von f links von P unterhalb der Tangente, der Wall ist nach unten gewölbt. Die wirkliche Höhe ist deshalb kleiner als 3,6 m. (Genau: f(7) = 3,5.)
e) „Steigung in Prozent“ heißt f′ · 100 %. Verglichen wird die Steilheit, also der Betrag; das Vorzeichen gehört zur Richtung.
f(0) = 0. f(0 + h) − f(0)h = 1,2h − 0,1h²h = 1,2 − 0,1h, für h → 0 also f′(0) = 1,2. Das sind 120 %.
Die Seite zur Siedlung hat die Steigung −0,4, also ein Gefälle von 40 %. Die Straßenseite ist am Fuß dreimal so steil wie die Siedlungsseite.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Die Ableitung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.