Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hast du die Steigung eines Graphen an einer einzelnen Stelle berechnet. f′(3) ist eine Zahl: die Steigung von f bei x = 3. Jetzt bekommt jede Stelle x ihre Steigung. Daraus entsteht eine neue Funktion, die Ableitungsfunktion f′. Sie ordnet jedem x die Steigung des Graphen von f an dieser Stelle zu.
f′(3) ist eine Zahl, die Steigung an einer Stelle.
f′(x) ist ein Term in x, die Steigung an jeder Stelle.
✎ Mini-Aufgabe: Die Normalparabel f(x) = x² hat bei x = 1 die Steigung 2. Welche Steigung hat sie bei x = −1 und welche bei x = 0? Begründe mit der Form des Graphen.
Lösung zeigen
Bei x = −1 ist die Steigung −2: Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse, die Tangente bei −1 ist das Spiegelbild der Tangente bei 1. Bei x = 0 liegt der tiefste Punkt, die Tangente ist waagerecht, die Steigung ist 0. Damit hast du drei Werte der neuen Funktion f′: f′(−1) = −2, f′(0) = 0 und f′(1) = 2.
2. Die Ableitungsfunktion berechnen
Du führst die h-Methode nicht mit einer festen Zahl durch, sondern mit einem allgemeinen x. Das Ergebnis ist ein Term in x, der für jede Stelle sofort die Steigung liefert.
f(x + h) − f(x)h → f′(x) für h → 0
Beispiel: f(x) = x²
Differenzenquotient mit allgemeinem x: (x + h)² − x²h
Ausmultipliziert und gekürzt: x² + 2xh + h² − x²h = 2xh + h²h = 2x + h
Gegenüber f(x) = x² ist die 2 dazugekommen. Der Teil 2x von f ist eine Gerade mit der Steigung 2, und diese Steigung gilt an jeder Stelle.
3. Vom Graphen von f zum Graphen von f′
Den Verlauf von f′ findest du auch ohne Rechnung. Der Wert f′(x) ist die Steigung von f an der Stelle x. Du liest also Steigungen am Graphen von f ab und trägst sie als Höhe in ein zweites Koordinatensystem ein.
f steigt: f′ ist positiv, der Graph von f′ liegt oberhalb der x-Achse.
f fällt: f′ ist negativ, der Graph von f′ liegt unterhalb der x-Achse.
f hat eine waagerechte Tangente: f′ ist dort null, der Graph von f′ trifft die x-Achse.
f ist besonders steil: f′ liegt weit von der x-Achse entfernt. Bei steilstem Steigen hat f′ ihren größten Wert, bei steilstem Fallen ihren kleinsten Wert.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph von f fällt für x < 0, hat bei x = 0 einen Tiefpunkt und steigt für x > 0. Welches Vorzeichen hat f′ links und rechts von 0, und welchen Wert hat f′(0)? Skizziere einen möglichen Graphen von f′.
Lösung zeigen
Links von 0 ist f′ negativ, rechts positiv, und f′(0) = 0. Der Graph von f′ kommt von unterhalb der x-Achse, trifft die x-Achse bei 0 und verläuft danach oberhalb. Zum Beispiel f(x) = x² mit f′(x) = 2x.
Oben der Graph von f mit f(x) = x³3 − x, unten der Graph von f′. Die gestrichelten Linien verbinden dieselben Stellen. Bei A und C hat f eine waagerechte Tangente, dort trifft f′ die x-Achse. Bei B fällt f am steilsten, dort hat f′ ihren kleinsten Wert.
4. Vom Graphen von f′ zum Graphen von f
Umgekehrt liest du aus dem Graphen von f′ ab, wie f verläuft. Jetzt ist die Höhe von f′ die Steigung von f.
f′ liegt oberhalb der x-Achse: f steigt.
f′ liegt unterhalb der x-Achse: f fällt.
f′ hat eine Nullstelle: f hat dort eine waagerechte Tangente.
f′ liegt weit von der x-Achse entfernt: f verläuft steil. f′ liegt nahe bei null: f verläuft flach.
Die Höhe von f legt f′ nicht fest. Schiebst du den Graphen von f nach oben oder unten, bleibt an jeder Stelle die Steigung gleich, und damit bleibt auch der Graph von f′ gleich. Erst ein bekannter Punkt von f legt den Graphen von f eindeutig fest.
Oben die drei Graphen f, g und k, die gegeneinander verschoben sind, unten ihre gemeinsame Ableitungsfunktion f′. An jeder Stelle haben alle drei Graphen dieselbe Steigung.
✎ Mini-Aufgabe: Zeichne zwei verschiedene Graphen, die dieselbe Ableitungsfunktion f′(x) = 2 haben.
Lösung zeigen
Zwei parallele Geraden mit der Steigung 2, zum Beispiel f(x) = 2x und g(x) = 2x + 3. Parallel verschobene Graphen haben an jeder Stelle dieselbe Steigung.
5. Graphen zuordnen und widerlegen
Zu einem Graphen von f den passenden Graphen von f′ findest du in drei Schritten.
Wo hat f waagerechte Tangenten? Dort muss f′ null sein.
Wo steigt f, wo fällt f? Das legt fest, wo f′ positiv und wo f′ negativ ist.
Wo ist f am steilsten? Dort liegt f′ am weitesten von der x-Achse entfernt.
Ein einziger Widerspruch genügt, um eine Zuordnung auszuschließen. Passen alle drei Schritte, ist die Zuordnung möglich.
✎ Mini-Aufgabe: Der Graph von f hat bei x = 1 eine waagerechte Tangente. Kann die Funktion g mit g(x) = 2 die Ableitungsfunktion von f sein? Begründe in zwei Sätzen.
Lösung zeigen
Nein. Wäre g = f′, dann müsste g(1) = 0 gelten, denn bei einer waagerechten Tangente ist die Steigung 0. Es ist aber g(1) = 2: f hätte überall die Steigung 2 und nirgends eine waagerechte Tangente.
6. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Steigung an der Stelle x, Steilheit des Graphen
Wert von f′(x)
Eine Steigung hat eine Einheit: y-Einheit pro x-Einheit.
waagerechte Tangente, der Graph verläuft kurz waagerecht, momentaner Stillstand
f′(x) = 0
Der Graph von f′ trifft dort die x-Achse.
f steigt, wächst, nimmt zu
f′ ist positiv
Das sagt nichts darüber, ob f selbst positiv ist.
f fällt, sinkt, nimmt ab
f′ ist negativ
Auch ein fallender Graph kann hoch liegen.
am steilsten, am schnellsten
größter Betrag von f′: beim Steigen der größte Wert, beim Fallen der kleinste Wert von f′
Das ist nicht die Stelle, an der f am größten ist.
wie schnell ändert sich … zu diesem Zeitpunkt
Wert von f′ an dieser Stelle
Einheit: Größe pro Zeit, zum Beispiel Meter pro Sekunde.
Geschwindigkeit bei einem Weg-Zeit-Graphen, Wachstumsgeschwindigkeit bei einem Höhen-Zeit-Graphen
die Ableitung von Weg oder Höhe
Aus einer Länge wird eine Geschwindigkeit.
Ordne dem Graphen von f den Graphen von f′ zu
Steigungen von f mit den Höhen von f′ vergleichen
Begründen mit Nullstellen, Vorzeichen und Steilheit, nicht mit dem Gesamteindruck.
7. Was nirgends steht
f′ sagt, wie steil f verläuft, nicht, wie hoch f liegt. Ist kein Punkt von f gegeben, gibt es unendlich viele passende Graphen von f, nach oben oder unten verschoben.
Die y-Achsen von f und f′ messen Verschiedenes, zum Beispiel Meter und Meter pro Sekunde. Lies zuerst die Beschriftung.
Aus einem Bild darfst du nur auf den gezeigten Ausschnitt schließen. Was links und rechts davon passiert, sagt der Graph nicht.
Eine Zuordnung begründest du an Eigenschaften (Nullstellen, Vorzeichen, Steilheit), nicht daran, dass zwei Kurven ähnlich aussehen.
8. Ein Beispiel mit Denkweg
Ein Ball wird senkrecht nach oben geworfen. Seine Höhe über dem Boden beschreibt H(t) = −5t² + 20t (t in Sekunden nach dem Abwurf, H(t) in Metern, 0 ≤ t ≤ 4). Wie schnell bewegt sich der Ball eine Sekunde nach dem Abwurf, und in welche Richtung?
Was ist gefragt? Die Geschwindigkeit des Balls ist die Änderungsrate seiner Höhe. Gesucht ist H′(1), mit Richtung.
Was steht nicht da? Die Richtung zeigt das Vorzeichen: Positiv heißt aufwärts, negativ abwärts. Die Einheit ist Meter pro Sekunde. Gebraucht wird die Ableitungsfunktion H′, nicht der Wert H(1).
Antwortsatz Eine Sekunde nach dem Abwurf bewegt sich der Ball mit 10 Metern pro Sekunde nach oben.
Prüfen Ein geworfener Ball steigt zuerst, also muss H′ am Anfang positiv sein: H′(0) = 20. Bei t = 2 ist H′(2) = 0: Dort hat der Graph von H seinen höchsten Punkt, der Ball ändert seine Richtung. Das passt.
9. Typische Fehler
f′(x) und f′(3) verwechseln. f′(x) ist ein Term, f′(3) eine Zahl.
Die Höhe von f mit der Steigung von f verwechseln. Hat f bei x = 1 einen Hochpunkt, dann hat f′ dort den Wert 0. Der Graph von f′ hat dort keinen Hochpunkt.
Bei der h-Methode (x + h)² als x² + h² schreiben, oder am Ende das h stehen lassen, statt h → 0 zu setzen.
Beim Zuordnen nur eine Eigenschaft prüfen. Zwei Graphen können dieselben Nullstellen haben und sich im Vorzeichen unterscheiden.
Rechnen
2.1Ableitungsfunktion einer Parabel
a) Bestimme die Ableitungsfunktion f′ von f mit f(x) = 2x².
Hilfe 1
Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung an jeder Stelle x an. Wie hast du die Steigung an einer festen Stelle berechnet?
Hilfe 2
Bilde den Differenzenquotienten f(x + h) − f(x)h mit einem allgemeinen x.
Hilfe 3
Multipliziere (x + h)² aus, vereinfache und kürze h, bevor du h → 0 untersuchst.
b) Bestimme die Ableitungsfunktion g′ von g mit g(x) = x² − 6x + 4.
Hilfe 1
Geh wie in a) vor. Achte auf die Vorzeichen, wenn du −6 · (x + h) ausmultiplizierst.
Hilfe 2
Was passiert mit der Zahl 4, wenn du g(x + h) − g(x) bildest?
Hilfe 3
Fasse den Zähler zusammen und klammere h aus, dann kannst du kürzen.
Lösung zeigen
a) „Ableitungsfunktion bestimmen“ ohne Regel: die h-Methode mit allgemeinem x, am Ende h → 0.
Beide Funktionen haben die Ableitungsfunktion f′(x) = g′(x) = 2x.
b) Rechnung und Bild verbinden: Die 5 verschiebt den Graphen, die Steigungen bleiben gleich.
Der Graph von g entsteht aus dem Graphen von f durch Verschieben um 5 nach oben. Bei einer Verschiebung bleibt an jeder Stelle die Neigung der Tangente gleich, also auch die Steigung.
2.5Von f zu f′ skizzieren
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f. Die gestrichelten Geraden sind Tangenten an den Graphen in den Punkten A, B und C.
Material
a) Bestimme aus den Tangenten die Steigung des Graphen von f in A, B und C.
Hilfe 1
Die Steigung einer Geraden liest du mit einem Steigungsdreieck ab.
Hilfe 2
Wähle auf jeder Tangente zwei Punkte, die auf Gitterlinien liegen.
Hilfe 3
Bei einer fallenden Geraden ist die Steigung negativ.
b) Skizziere den Graphen von f′ in das Koordinatensystem unter dem Material.
Hilfe 1
Trage die drei Steigungen aus a) an den Stellen von A, B und C als Punkte ein.
Hilfe 2
An welcher Stelle hat der Graph von f eine waagerechte Tangente? Welchen Wert hat f′ dort?
Hilfe 3
Verbinde die Punkte zu einer Kurve. Welche Form entsteht?
Lösung zeigen
a) Die Steigung des Graphen an einer Stelle ist die Steigung der Tangente dort.
A: Die Tangente fällt um 2, wenn x um 1 wächst, zum Beispiel von (−2 | 3) nach (−1 | 1). Steigung −2.
B: Von (4 | 0) nach (5 | 1): Steigung 1.
C: Von (5 | 1) nach (6 | 3): Steigung 2.
b) Skizzieren heißt: Steigungen als Höhen eintragen und aus dem Verlauf von f auf Vorzeichen und Nullstelle schließen.
Punkte von f′: (−2 | −2), (4 | 1), (6 | 2).
Der Graph von f hat bei x = 2 seine waagerechte Tangente, also ist f′(2) = 0: weiterer Punkt (2 | 0).
Links von 2 fällt f (f′ negativ), rechts steigt f (f′ positiv). Die vier Punkte liegen auf einer Geraden: Der Graph von f′ ist eine Gerade durch (2 | 0) mit der Steigung 0,5.
Zur Kontrolle: f(x) = x²4 − x hat nach der h-Methode die Ableitungsfunktion f′(x) = 0,5x − 1.
Mögliche Skizze von f′
Ohne Taschenrechner
2.6Von f′ zu f
Das Material zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f′ einer Funktion f für −4 ≤ x ≤ 4. In diesem Bereich hat f′ keine weiteren Nullstellen als die im Bild erkennbaren.
Material
a) Beschreibe den Verlauf des Graphen von f: Wo steigt er, wo fällt er, wo hat er waagerechte Tangenten?
Hilfe 1
Was bedeutet es für f, wenn f′ oberhalb der x-Achse liegt, und was, wenn f′ unterhalb liegt?
Hilfe 2
Lies die Nullstellen von f′ ab. Was gilt für f dort?
Hilfe 3
Teile den Bereich −4 ≤ x ≤ 4 an den Nullstellen in Abschnitte ein.
b) Der Graph von f verläuft durch den Punkt P(0 | 1). Skizziere den Graphen von f in das Koordinatensystem unter dem Material.
Hilfe 1
Beginne im Punkt P und geh nach rechts und nach links.
Hilfe 2
Lies f′(0) ab: Wie steil und in welche Richtung verläuft f in P?
Hilfe 3
An den Stellen mit waagerechter Tangente verläuft f waagerecht.
c) Begründe, dass es ohne die Angabe des Punktes P mehr als einen passenden Graphen von f gäbe.
Hilfe 1
Was passiert mit der Steigung, wenn du einen Graphen nach oben verschiebst?
Hilfe 2
Schiebe deine Skizze in Gedanken um 2 nach oben. Passt sie noch zu f′?
Lösung zeigen
a) Die Höhe von f′ ist die Steigung von f: Das Vorzeichen von f′ gibt Steigen oder Fallen, Nullstellen geben waagerechte Tangenten.
f′ hat die Nullstellen x = −2 und x = 2: Dort hat der Graph von f waagerechte Tangenten.
Für −4 ≤ x < −2 liegt f′ oberhalb der x-Achse: f steigt. Für −2 < x < 2 liegt f′ unterhalb: f fällt. Für 2 < x ≤ 4 liegt f′ wieder oberhalb: f steigt.
b) Ein Punkt von f und die Steigungen aus f′ legen den Graphen fest: im Punkt beginnen, dann der Steigung folgen.
In P(0 | 1) ist f′(0) = −2: f fällt dort mit der Steigung −2.
Der Graph steigt von links bis x = −2, fällt dann bis x = 2 und steigt danach wieder. Bei x = −2 und x = 2 verläuft er waagerecht.
Er liegt bei x = −2 höher als in P und bei x = 2 tiefer als in P. Genauer: f(x) = x³6 − 2x + 1 mit f(−2) ≈ 3,7 und f(2) ≈ −1,7.
Möglicher Graph von f
c) Das Bild von f′ enthält nur Steigungen, nicht die Höhe: Die Lage von f steht nirgends.
Verschiebt man den Graphen von f um eine Zahl nach oben oder unten, bleibt die Steigung an jeder Stelle gleich. Auch der verschobene Graph passt zu f′. Erst der Punkt P legt fest, welcher dieser Graphen gemeint ist.
2.7Samirs Skizze
Das Material zeigt den Graphen einer Funktion f für −1,5 ≤ x ≤ 1,5.
Material
a) Samir hat versucht, den Graphen von f′ zu skizzieren (gestrichelt). Begründe mit zwei Stellen des Graphen von f, dass seine Skizze nicht stimmen kann.
Hilfe 1
Auf welchen Abschnitten steigt f, auf welchen fällt f? Welches Vorzeichen muss f′ dort haben?
Hilfe 2
Wähle eine Stelle, an der f steigt, und eine, an der f fällt. Prüfe das Vorzeichen von Samirs Skizze dort.
Hilfe 3
Prüfe auch, wo f waagerechte Tangenten hat und wo Samirs Skizze die x-Achse trifft.
b) Zeichne den richtigen Graphen von f′ in dasselbe Koordinatensystem.
Hilfe 1
Wo hat f waagerechte Tangenten? Dort trifft f′ die x-Achse.
Hilfe 2
Wo f steigt, liegt f′ oberhalb der x-Achse, wo f fällt, unterhalb.
c) Samir sagt: „Meine Nullstellen stimmen doch.“ Beurteile seine Aussage.
Hilfe 1
Reicht es für f′, die Nullstellen zu treffen?
Hilfe 2
Welche weitere Eigenschaft von f′ legt der Graph von f fest?
Lösung zeigen
a) Eine Skizze von f′ prüft man an Stellen: Vorzeichen, Nullstellen und Steilheit, jeweils im Vergleich mit dem Graphen von f.
Für −1,5 ≤ x < −1 und für 0 < x < 1 fällt f, also muss f′ dort negativ sein. Samirs Skizze ist dort positiv.
Für −1 < x < 0 und für 1 < x ≤ 1,5 steigt f, also muss f′ dort positiv sein. Samirs Skizze ist dort negativ. Zwei Stellen genügen als Begründung, zum Beispiel x = −1,25 und x = 0,5.
b) Korrektur: Nullstellen aus den waagerechten Tangenten, Vorzeichen aus Steigen und Fallen.
f′ hat die Nullstellen x = −1, x = 0 und x = 1. Negativ ist f′ für x < −1 und für 0 < x < 1, positiv für −1 < x < 0 und für x > 1.
Der richtige Graph ist Samirs Skizze, an der x-Achse gespiegelt.
f′ und Samirs Skizze
c) Eine richtige Eigenschaft reicht nicht: Nullstellen und Vorzeichen müssen beide passen.
Die Nullstellen stimmen, aber das ist nur eine von mehreren Bedingungen. Auch das Vorzeichen von f′ muss zum Steigen und Fallen von f passen, und das tut es bei Samir nirgends. Eine Skizze ist nur richtig, wenn alle Eigenschaften passen.
2.8Parameter a
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = a · x². Dabei ist a eine Zahl ungleich 0.
a) Bestimme die Ableitungsfunktion f′ in Abhängigkeit von a.
Hilfe 1
Rechne wie bei der Parabel und lasse a als Zahl stehen.
Hilfe 2
Klammere a im Zähler aus.
Hilfe 3
Welcher Term bleibt für h → 0 übrig?
b) Der Graph von f hat an der Stelle x = 3 die Steigung 12. Bestimme a.
Hilfe 1
Welche Gleichung folgt aus der Steigung an der Stelle 3?
Hilfe 2
Setze x = 3 in f′ ein und löse nach a auf.
c) Für welche Werte von a fällt der Graph von f für x < 0 und steigt für x > 0? Begründe.
Hilfe 1
Wann ist f′(x) negativ, wann positiv? Das hängt vom Vorzeichen von a ab.
Hilfe 2
Betrachte zuerst x < 0: Welches Vorzeichen muss a haben, damit 2ax negativ ist?
Hilfe 3
Prüfe dein Ergebnis auch für x > 0.
Lösung zeigen
a) Mit Parameter: a wird mitgeführt wie eine Zahl.
b) „Steigung 12 an der Stelle 3“ heißt f′(3) = 12.
f′(3) = 6a = 12 ⇔ a = 2
c) Eine Fallunterscheidung mit dem Parameter: Das Vorzeichen von f′ = 2ax hängt von a und x ab.
f fällt, wo f′(x) = 2ax negativ ist, und steigt, wo 2ax positiv ist.
Für x < 0 ist 2ax genau dann negativ, wenn a > 0 ist. Für x > 0 ist 2ax dann positiv. Also gilt die Beschreibung genau für a > 0.
Für a < 0 ist es umgekehrt: f steigt für x < 0 und fällt für x > 0.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) s(t) beschreibt den Weg eines Zuges seit der Abfahrt (t in Sekunden, s in Metern). Wie schnell fährt der Zug 20 Sekunden nach der Abfahrt? (2) H(t) beschreibt die Höhe einer Seilbahngondel über der Talstation (t in Sekunden, H in Metern). Zu welchen Zeitpunkten steht die Gondel für einen Moment still, ohne zu steigen oder zu sinken? (3) Z(t) beschreibt die Zahl der Zuschauer in einem Stadion (t in Minuten nach Einlassbeginn). Wie viele Zuschauer sind 30 Minuten nach Einlassbeginn im Stadion?
Hilfe 1
Frage bei jeder Aufgabe: Geht es um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„Wie schnell“ und „steht still“ handeln von der Änderung, also von der Ableitung.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Ist nach der Zahl der Zuschauer selbst gefragt oder nach ihrer Änderung?
b) Im Fallturm wird eine Kapsel losgelassen. Im Modell gilt für den Fallweg s(t) = 5t² (t in Sekunden nach dem Loslassen, s(t) in Metern). Wie schnell ist die Kapsel 3 Sekunden nach dem Loslassen? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die … der Kapsel. Das ist die … des Weges, also der Wert von … an der Stelle t = … 2. Was nicht dasteht: Die Ableitungsfunktion bilde ich mit der … Die Einheit des Ergebnisses ist … 3. Rechnen: s(t + h) − s(t)h = … = …; für h → 0: s′(t) = …; s′(3) = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Wie schnell“: Welche Größe beschreibt, wie schnell sich der Weg ändert?
Hilfe 2
Gebraucht wird die Steigung des Graphen von s an einer Stelle. Wie berechnest du sie?
Hilfe 3
Bilde den Differenzenquotienten mit allgemeinem t, multipliziere (t + h)² aus und lasse h gegen 0 gehen. Setze dann t = 3 ein.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei verschiedene Objekte: Wert von s′, Nullstellen von H′, ein Funktionswert.
(1) Gesucht ist die Geschwindigkeit bei t = 20, das ist der Wert der Ableitung s′(20). Ansatz: Ableitungsfunktion s′ bilden und t = 20 einsetzen, oder die Steigung des Graphen von s bei t = 20 bestimmen.
(2) Gesucht sind die Zeitpunkte, an denen die Gondel weder steigt noch sinkt: H′(t) = 0, also waagerechte Tangenten des Graphen von H. Ansatz: die Gleichung H′(t) = 0 lösen.
(3) Gesucht ist ein Funktionswert. Ansatz: Z(30) berechnen. Hier geht es nicht um eine Ableitung.
b) „Wie schnell“ heißt: Wert der Ableitung. Die Ableitungsfunktion entsteht mit der h-Methode und allgemeinem t.
1. Gefragt ist die Geschwindigkeit der Kapsel. Das ist die Änderungsrate des Weges, also der Wert von s′ an der Stelle t = 3.
2. Die Ableitungsfunktion bilde ich mit der h-Methode (Differenzenquotient mit allgemeinem t). Die Einheit ist Meter pro Sekunde.
4. Drei Sekunden nach dem Loslassen fällt die Kapsel mit 30 Metern pro Sekunde.
5. Beim Loslassen ist s′(0) = 0: Die Kapsel startet aus der Ruhe. Mit der Zeit wird sie schneller, denn s′(t) = 10t wächst. Das passt.
3.2Sonnenblume
Die Höhe einer Sonnenblume wird 80 Tage lang gemessen. Das Material zeigt ihre Höhe H in Zentimetern in Abhängigkeit von der Zeit t in Tagen seit dem Auflaufen. Die gestrichelte Gerade ist die Tangente an den Graphen am 40. Tag.
Material
a) Bestimme mit Hilfe der Tangente, wie schnell die Sonnenblume am 40. Tag wächst.
Hilfe 1
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist die Steigung des Graphen. Wie liest du die Steigung der Tangente ab?
Hilfe 2
Wähle zwei Punkte auf der Tangente, die du gut ablesen kannst, und bilde das Steigungsdreieck.
Hilfe 3
Gib das Ergebnis mit Einheit an.
b) Skizziere den Graphen der Wachstumsgeschwindigkeit H′ (in cm pro Tag) in das Koordinatensystem unter dem Material.
Hilfe 1
Wo ist der Graph von H besonders flach, wo besonders steil?
Hilfe 2
Trage den Wert aus a) ein. Was gilt für H′ am Anfang und am Ende der Messung?
Hilfe 3
Wo ist H′ am größten, wo ist H′ gleich null?
c) Ein Gärtner sagt: „Am Ende ist die Sonnenblume am höchsten, also wächst sie dort auch am schnellsten.“ Beurteile die Aussage mit Hilfe deiner Skizze.
Hilfe 1
Was bedeutet „am schnellsten wachsen“ für den Graphen von H, und was bedeutet „am höchsten“?
Hilfe 2
Lies in deiner Skizze ab, welchen Wert H′ am Ende hat.
Hilfe 3
Wo liegt der größte Wert von H′?
Lösung zeigen
a) „Wie schnell wächst“ heißt: Steigung des Graphen, hier die Steigung der Tangente.
Die Tangente verläuft zum Beispiel durch (20 | 25) und (60 | 175). Steigung: 175 − 2560 − 20 = 15040 = 3,75
Am 40. Tag wächst die Sonnenblume um 3,75 cm pro Tag.
Werte von 3,5 bis 4,0 cm pro Tag gelten als richtig abgelesen.
b) Steigungen als Höhen eintragen: am Anfang und am Ende flach, in der Mitte am steilsten.
Am 40. Tag ist H′ = 3,75 (Wert aus a), dort ist der Graph von H am steilsten: höchster Punkt von H′.
Am Anfang (t = 0) und am Ende (t = 80) hat der Graph von H waagerechte Tangenten: H′ = 0.
Dazwischen steigt H überall, also liegt H′ oberhalb der x-Achse. Der Graph von H′ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen 0 und 80 und dem Hochpunkt (40 | 3,75).
Mögliche Skizze von H′
c) „am höchsten“ und „am schnellsten“ sind zwei verschiedene Fragen: größte Höhe gegen größte Steigung.
Die Aussage ist falsch. Am Ende (t = 80) ist die Sonnenblume mit 200 cm am höchsten, aber dort hat der Graph von H eine waagerechte Tangente: H′(80) = 0, die Pflanze wächst nicht mehr.
Am schnellsten wächst sie dort, wo der Graph von H am steilsten ist, am 40. Tag mit 3,75 cm pro Tag.
3.3Drei Fahrten
Drei Fahrzeuge starten gleichzeitig an derselben Stelle einer geraden Straße. Material 1 zeigt in den Graphen I, II und III den zurückgelegten Weg s der drei Fahrzeuge in den ersten 10 Sekunden. Material 2 zeigt in den Graphen A, B und C die Geschwindigkeiten v derselben Fahrzeuge im selben Zeitraum, aber in anderer Reihenfolge.
Material 1Material 2
a) Ordne jedem Graphen I, II und III den Graphen A, B oder C der zugehörigen Geschwindigkeit zu. Begründe jede Zuordnung am Verlauf der Graphen.
Hilfe 1
Die Geschwindigkeit ist die Steigung des Weg-Graphen. Beschreibe zuerst für I, II und III, wie sich die Steigung im Verlauf ändert.
Hilfe 2
Beschreibe dann für A, B und C, wie sich der Wert von v ändert: konstant, wachsend oder fallend?
Hilfe 3
Prüfe zum Schluss bei t = 0 und bei t = 10 die Steigung der Weg-Graphen.
b) Eines der Fahrzeuge bremst bis zum Stillstand. Gib an, welches, und erläutere, warum seine Geschwindigkeit trotz des Bremsens positiv bleibt.
Hilfe 1
Was bedeutet „bremsen“ für die Geschwindigkeit: Wird sie größer oder kleiner?
Hilfe 2
Was zeigt ein steigender Weg-Graph über die Richtung der Fahrt?
Hilfe 3
Wann steht das Fahrzeug still? Was gilt dann für den Weg-Graphen?
Lösung zeigen
a) Weg-Graph und Geschwindigkeits-Graph sind ein Paar f und f′: Steigung des einen gegen Höhe des anderen.
I → C: Der Graph I beginnt waagerecht (Steigung 0) und wird immer steiler. Die Geschwindigkeit beginnt bei 0 und wächst: Graph C.
II → B: Der Graph II ist eine Gerade mit gleichbleibender Steigung. Die Geschwindigkeit ist konstant: Graph B.
III → A: Der Graph III beginnt steil und wird immer flacher, bei t = 10 ist die Tangente waagerecht. Die Geschwindigkeit beginnt hoch und fällt auf 0: Graph A.
b) Bremsen heißt: Die Geschwindigkeit nimmt ab, nicht: Sie wird negativ. Der Weg wächst weiter.
Fahrzeug III (Graph III, Geschwindigkeit A) bremst: Seine Geschwindigkeit fällt von 10 auf 0 Meter pro Sekunde.
Der Weg-Graph von III steigt bis t = 10: Das Fahrzeug fährt dauernd vorwärts, die Steigung ist positiv. Die Geschwindigkeit ist deshalb positiv, sie wird nur kleiner. Bei t = 10 hat der Graph eine waagerechte Tangente, dort ist v = 0.
3.4Schneehöhe
Auf dem Großen Feldberg im Taunus wird an einem Tag die Schneehöhe gemessen. Das Material zeigt den Graphen der Änderungsrate r der Schneehöhe in cm pro Stunde; t ist die Zeit in Stunden seit Beginn der Messung (0 ≤ t ≤ 8). Im Bereich 0 ≤ t ≤ 8 hat r keine weiteren Nullstellen als die im Bild erkennbaren.
Material
a) Gib an, in welchem Zeitraum die Schneehöhe zunimmt und wann sie am stärksten zunimmt. Gib auch an, wie stark.
Hilfe 1
Was bedeutet es für die Schneehöhe, wenn r positiv ist?
Hilfe 2
Lies ab, für welche t der Graph von r oberhalb der x-Achse liegt.
Hilfe 3
„am stärksten“: Wo ist der Wert von r am größten?
b) Zu Beginn der Messung beträgt die Schneehöhe 30 cm. Skizziere den Graphen der Schneehöhe h (in cm) in das Koordinatensystem unter dem Material.
Hilfe 1
Beginne im Punkt (0 | 30). Fällt oder steigt der Graph von h am Anfang?
Hilfe 2
Wo ist r gleich 0? Was gilt für den Graphen von h an diesen Stellen?
Hilfe 3
Wo ist r positiv, wo negativ? Das legt fest, wo h steigt und wo h fällt.
c) Eine Kollegin sagt: „Bei t = 4 nimmt die Schneehöhe am stärksten zu, also ist sie dort am größten.“ Beurteile die Aussage.
Hilfe 1
Was sagt der Wert von r an einer Stelle über die Schneehöhe: ihre Höhe oder ihre Änderung?
Hilfe 2
Ist r nach t = 4 noch positiv? Was bedeutet das für die Schneehöhe?
Hilfe 3
Bis wann nimmt die Schneehöhe zu?
Lösung zeigen
a) r ist die Änderungsrate: Zunahme heißt r > 0, am stärksten heißt größter Wert von r.
Die Schneehöhe nimmt zu, solange r positiv ist: für 2 < t < 6.
Am stärksten nimmt sie bei t = 4 zu, dort hat r seinen größten Wert 1: um 1 cm pro Stunde.
b) Rückwärts von r auf h: Das Vorzeichen von r gibt Steigen und Fallen von h, Nullstellen von r geben waagerechte Tangenten.
Start bei (0 | 30). Für 0 ≤ t < 2 ist r negativ: h fällt, anfangs am steilsten (r = −3). Bei t = 2 ist r = 0: waagerechte Tangente.
Für 2 < t < 6 ist r positiv: h steigt, am steilsten bei t = 4. Bei t = 6 ist r = 0: waagerechte Tangente.
Für 6 < t ≤ 8 ist r wieder negativ: h fällt, zum Ende hin immer steiler.
Möglicher Graph der Schneehöhe
c) „am stärksten zunehmen“ ist nicht „am größten“: Änderungsrate gegen Bestand.
Die Aussage ist falsch. Bei t = 4 hat r seinen größten Wert, die Schneehöhe wächst dort am schnellsten. Aber r ist nach t = 4 noch bis t = 6 positiv: Die Schneehöhe nimmt weiter zu und ist bei t = 4 nicht am größten.
3.5Luftballon
Ein Luftballon wird aufgeblasen. Sein Volumen beschreibt im Modell V(t) = 0,04t³ (t in Sekunden seit Beginn des Aufblasens, V(t) in Litern). Das Modell gilt bis zum Platzen. Der Ballon platzt, sobald sein Volumen 5 Liter erreicht.
a) Bestimme, wie schnell das Volumen 3 Sekunden nach Beginn zunimmt.
Hilfe 1
„Wie schnell nimmt zu“: Welche Funktion beschreibt das?
Hilfe 2
Bestimme die Ableitungsfunktion V′ mit allgemeinem t. Der Faktor 0,04 bleibt im Term stehen.
Hilfe 3
(t + h)³ = (t + h)² · (t + h). Multipliziere aus, kürze h und lass h → 0 gehen.
b) Bestimme den Zeitpunkt, zu dem das Volumen mit 2 Litern pro Sekunde zunimmt.
Hilfe 1
Welche Gleichung muss V′ erfüllen?
Hilfe 2
Löse die Gleichung nach t auf. Passen alle Lösungen zum Modell?
Hilfe 3
Das Modell gilt nur bis zum Platzen. Prüfe, ob deine Lösung in diesen Zeitraum fällt.
c) Bestimme, wie schnell das Volumen im Moment des Platzens zunimmt.
Hilfe 1
Zu welchem Zeitpunkt platzt der Ballon? Welche Gleichung für V gehört dazu?
Hilfe 2
Setze V(t) = 5 und löse nach t auf.
Hilfe 3
Berechne dann V′ an dieser Stelle.
Lösung zeigen
a) „Wie schnell nimmt das Volumen zu“: Wert der Ableitung bei t = 3, mit Einheit Liter pro Sekunde.
Nach 3 Sekunden nimmt das Volumen um 1,08 Liter pro Sekunde zu.
b) Die Rate ist gegeben, die Zeit gesucht: V′(t) = 2. Was nicht dasteht: Nur Zeiten im Gültigkeitsbereich des Modells zählen.
0,12t² = 2 ⇔ t² = 503 ⇔ t = √(503) ≈ 4,08 oder t ≈ −4,08
t ≈ −4,08 liegt vor dem Beginn des Aufblasens und fällt weg. t ≈ 4,08 liegt vor dem Platzen (t = 5).
Nach etwa 4,08 Sekunden nimmt das Volumen mit 2 Litern pro Sekunde zu.
c) Der Zeitpunkt steht nicht da: Aus dem Volumen 5 Liter folgt erst t, dann folgt die Rate.
V(t) = 5 ⇔ 0,04t³ = 5 ⇔ t³ = 125 ⇔ t = 5
V′(5) = 0,12 · 25 = 3
Im Moment des Platzens nimmt das Volumen um 3 Liter pro Sekunde zu.
Klausuraufgabe
4.1Ballwurf von der Brücke
Von einer Brücke wird ein Ball senkrecht nach oben geworfen. Er steigt, fällt wieder herunter und trifft 3 Sekunden nach dem Abwurf auf das Wasser. Im Modell gibt H(t) = −5t² + 10t + 15 die Höhe des Balls über dem Wasser in Metern an; t ist die Zeit in Sekunden seit dem Abwurf (0 ≤ t ≤ 3). Die Abbildung zeigt den Graphen von H.
Abbildung
a) Skizziere in das Koordinatensystem unter der Abbildung den Graphen der Ableitungsfunktion H′.3 BE
Hilfe 1
Der Wert von H′ an einer Stelle ist die Steigung des Graphen von H.
Hilfe 2
Wo hat der Graph von H eine waagerechte Tangente? Wo steigt er, wo fällt er?
Hilfe 3
Wo verläuft der Graph von H am steilsten?
b) Begründe den Verlauf deiner Skizze mit zwei Eigenschaften des Graphen von H.2 BE
Hilfe 1
Welche Eigenschaften von H sieh in der Abbildung: Steigen, Fallen, waagerechte Tangente, Steilheit?
Hilfe 2
Was bedeuten diese Eigenschaften für die Steigung, also für H′?
c) Bestimme die Ableitungsfunktion H′.3 BE
Hilfe 1
Welche Rechnung liefert die Steigung an jeder Stelle t?
Hilfe 2
Bilde den Differenzenquotienten H(t + h) − H(t)h und vereinfache.
Hilfe 3
Die Zahl 15 fällt im Zähler heraus. Kürze h und lass h → 0 gehen.
d) Berechne H′(0) und H′(3) und deute beide Werte im Sachzusammenhang.2 BE
Hilfe 1
Setze die Stellen in H′ ein.
Hilfe 2
Was misst H′: eine Höhe oder eine Geschwindigkeit? Welche Bedeutung hat das Vorzeichen?
e) Ein Zuschauer sagt: „Im höchsten Punkt der Flugbahn ist der Ball am schnellsten.“ Beurteile die Aussage.2 BE
Hilfe 1
Welchen Wert hat H′ im höchsten Punkt?
Hilfe 2
Vergleiche die Beträge von H′ beim Abwurf, im höchsten Punkt und beim Aufprall.
f) Der Ball wird mit derselben Anfangsgeschwindigkeit von einer 5 m höheren Brücke geworfen. Beschreibe, wie sich der Graph von H′ gegenüber deiner Skizze verändert, und begründe.2 BE
Hilfe 1
Wie ändert sich der Graph von H, wenn die Brücke 5 m höher ist?
Hilfe 2
Was ändert eine Verschiebung nach oben an der Steigung?
Lösung zeigen
a) „Skizziere H′“ aus dem Graphen von H: Steigungen als Höhen eintragen, Nullstelle bei der waagerechten Tangente.
H hat bei t = 1 den höchsten Punkt mit waagerechter Tangente: H′(1) = 0.
Für 0 ≤ t < 1 steigt H, also ist H′ positiv, am Anfang ist der Graph am steilsten steigend. Für 1 < t ≤ 3 fällt H, also ist H′ negativ, am Ende ist der Graph am steilsten fallend.
Der Graph von H′ fällt von etwa 10 bei t = 0 über die Nullstelle bei t = 1 bis etwa −20 bei t = 3.
Mögliche Skizze von H′
b) Begründung: jede Eigenschaft von H in eine Aussage über H′ übersetzen.
Der Graph von H hat bei t = 1 eine waagerechte Tangente, deshalb hat H′ dort eine Nullstelle.
Der Graph von H steigt vor t = 1 und fällt danach, deshalb ist H′ vorher positiv und nachher negativ.
Ebenso richtig: H ist am Ende steiler als am Anfang, deshalb hat H′ am Ende den größeren Betrag.
c) Ableitungsfunktion ohne Regel: die h-Methode mit allgemeinem t.
d) Werte der Ableitung deuten: Geschwindigkeit des Balls mit Richtung und Einheit.
H′(0) = 10: Beim Abwurf bewegt sich der Ball mit 10 Metern pro Sekunde nach oben.
H′(3) = −20: Beim Aufprall auf das Wasser bewegt sich der Ball mit 20 Metern pro Sekunde nach unten.
e) „am schnellsten“ heißt: größter Betrag von H′, nicht größte Höhe.
Die Aussage ist falsch. Im höchsten Punkt (t = 1) ist H′(1) = 0: Der Ball bewegt sich dort für einen Moment weder nach oben noch nach unten. Am schnellsten ist er beim Aufprall mit 20 Metern pro Sekunde, denn der Betrag von H′ ist dort am größten.
f) Eine Verschiebung ändert die Steigungen nicht: Der Graph von H′ bleibt, nur der Zeitraum wird länger.
Mit der 5 m höheren Brücke ist H(t) an jeder Stelle um 5 größer. Eine Verschiebung nach oben ändert an keiner Stelle die Steigung, also bleibt der Graph von H′ derselbe.
Nur der Zeitraum wird länger: Der Ball ist höher und trifft später auf das Wasser, nach etwa 3,2 Sekunden. H′ gilt entsprechend bis dahin.
Dieses Thema im Kurs.
Es gehört zum E1-Kurs, in den Abschnitt „Die Ableitung“. Im Kurs rechnen wir solche Aufgaben zusammen, und du siehst jeden Schritt am Whiteboard.