Zuerst kommt die Erklärung, danach 13 Aufgaben zum Rechnen und Anwenden und eine Aufgabe im Klausurformat. Zu jeder Aufgabe kannst du dir Hilfen aufdecken, und darunter steht die Lösung.
Erklärung
1. Worum es geht
Bisher hast du jede Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet. Das funktioniert, ist aber lang und beginnt bei jeder Funktion von vorn. Für ganzrationale Funktionen gibt es drei Regeln, mit denen du in wenigen Zeilen ableitest. Danach ist die Steigung an einer Stelle nur noch Einsetzen.
2. Die drei Regeln
✎ Mini-Aufgabe: Die Ableitungen von x² und x³ kennst du: (x²)′ = 2x und (x³)′ = 3x². Leite f(x) = x⁶ ab. Welches Muster siehst du?
Lösung zeigen
f′(x) = 6x⁵. Der Exponent wird zum Faktor vor dem x, und der neue Exponent ist um 1 kleiner. Allgemein: (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹.
Für h → 0 bleibt f′(x) = 3x². Das ist die Potenzregel mit n = 3.
✎ Mini-Aufgabe: Zeichne die Graphen von f(x) = x² und g(x) = x² + 5 und lege bei x = 1 jeweils eine Tangente an. Was ändert sich an der Steigung, was nicht? Was folgt für die Ableitung der Zahl 5?
Lösung zeigen
Der Graph von g ist um 5 nach oben verschoben. Die Tangenten wandern mit, ihre Steigungen bleiben gleich: g′(x) = 2x. Ein konstanter Summand hat die Ableitung 0, er fällt weg.
(a · f(x))′ = a · f′(x) (Faktorregel) (f(x) + g(x))′ = f′(x) + g′(x) (Summenregel)
Ein Faktor vor der Potenz bleibt stehen: (6x²)′ = 6 · 2x = 12x.
Ein einzelnes x ist x¹: (5x)′ = 5. Eine Zahl allein hat die Ableitung 0: (9)′ = 0.
Eine Summe wird Summand für Summand abgeleitet.
Beispiel: f(x) = 2x³ − 4x² + 5x − 7
f′(x) = 2 · 3x² − 4 · 2x + 5 − 0 = 6x² − 8x + 5
f″(x) = 12x − 8 (dieselben Regeln noch einmal auf f′)
✎ Mini-Aufgabe: Bestimme f′(x) und f″(x) für f(x) = 3x³ + x² − 6x + 2.
Lösung zeigen
f′(x) = 9x² + 2x − 6 und f″(x) = 18x + 2.
Negative Exponenten: f(x) = 3x⁻² + x⁻¹
Die Potenzregel gilt unverändert: f′(x) = 3 · (−2) · x⁻³ + (−1) · x⁻² = −6x⁻³ − x⁻²
Als Bruch: f′(x) = −6x³ − 1x²
Ein Produkt wird nicht faktorweise abgeleitet. Bei f(x) = (x + 1)(x − 2) multiplizierst du erst aus: f(x) = x² − x − 2, dann f′(x) = 2x − 1.
3. Steigung und Tangente
Die Steigung an der Stelle x0 ist f′(x0): erst ableiten, dann einsetzen. Die Tangente ist die Gerade durch den Punkt (x0 | f(x0)) mit dieser Steigung.
Beispiel: f(x) = x³ − 3x an der Stelle x0 = 2
f′(x) = 3x² − 3, also m = f′(2) = 9
f(2) = 8 − 6 = 2, der Punkt ist (2 | 2)
Tangente: y = 9 · (x − 2) + 2 = 9x − 16
✎ Mini-Aufgabe: Berechne die Steigung von f(x) = x³ − 2x an der Stelle x0 = 2.
Lösung zeigen
f′(x) = 3x² − 2, also f′(2) = 12 − 2 = 10.
Oben der Graph von f(x) = x³ − 3x mit der Tangente bei x = 2, unten der Graph von f′(x) = 3x² − 3. Die gestrichelte Linie verbindet dieselbe Stelle: f′(2) = 9 ist die Steigung der Tangente.
4. So steht es in der Aufgabe
In der Aufgabe steht …
Gemeint ist …
Achtung
Steigung an der Stelle x0
f′(x0)
Erst ableiten, dann einsetzen; nicht x0 in f einsetzen.
Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t0, momentane Änderungsrate
f′(t0)
Einheit: Größe pro Zeit, zum Beispiel m/s.
Steigung 12 hat, Steigung von 12 %
f′(x) = 12 bzw. f′(x) = 0,12
Gleichung lösen; es kann mehrere Stellen geben.
Gefälle von 40 %
f′(x) = −0,4
Gefälle ist eine negative Steigung.
Tangente an der Stelle x0
Gerade mit Steigung f′(x0) durch (x0 | f(x0))
Der y-Wert kommt aus f, nicht aus f′.
parallel zur Tangente bei x1
gleiche Steigung, also f′(x) = f′(x1)
Die Stelle x1 selbst ist eine Lösung, gefragt ist die andere.
Steigung in Prozent
f′ · 100 %
Bei verschiedenen Längeneinheiten erst umrechnen.
5. Was nirgends steht
Für die Tangente brauchst du zwei Dinge, die Steigung aus f′ und den Punkt aus f. Die Aufgabe nennt oft nur die Stelle.
Eine Gleichung f′(x) = m hat meist zwei Lösungen. Prüfe, welche im Modellbereich liegen.
Einheiten wechseln mit: 72 km/h sind 20 m/s; „9:15 Uhr“ sind bei Messbeginn 7 Uhr 2,25 Stunden.
Steht in der Funktion ein Parameter, ist er beim Ableiten eine feste Zahl: (a · x²)′ = 2a · x.
6. Ein Beispiel aus der Sache
Die Höhe einer Sonnenblume wird 20 Tage lang gemessen: H(t) = 0,02t³ − 0,3t² + 3t + 10, t in Tagen seit Messbeginn (0 ≤ t ≤ 20), H(t) in cm. Wann wächst sie mit 3 cm pro Tag?
Was ist gefragt? Die Zeitpunkte, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit 3 cm pro Tag beträgt. Die Geschwindigkeit ist H′(t), nicht H(t). Ich löse also H′(t) = 3.
Was steht nicht da? Die Gleichung kann mehrere Lösungen haben. Ich prüfe, welche im Bereich 0 ≤ t ≤ 20 liegen.
Rechnen H′(t) = 0,06t² − 0,6t + 3. H′(t) = 3 ⇔ 0,06t² − 0,6t = 0 ⇔ 0,06t · (t − 10) = 0, also t = 0 oder t = 10. Beide liegen im Bereich.
Antwortsatz Zu Messbeginn und zehn Tage danach wächst die Sonnenblume mit 3 cm pro Tag.
Prüfen H′(10) = 6 − 6 + 3 = 3. Das passt.
7. Typische Fehler
Der Exponent wird nach vorn gezogen, aber nicht um 1 verkleinert: (x³)′ ist 3x², nicht 3x³.
Eine Konstante bleibt stehen: (x² + 5)′ = 2x, nicht 2x + 5.
Bei 5x wird 5x statt 5 geschrieben.
Der Faktor wird mit abgeleitet: (6x²)′ = 12x, nicht 0 · 2x.
Ein Produkt wird faktorweise abgeleitet. Erst ausmultiplizieren.
Erst die Stelle in f einsetzen, dann ableiten: Das gibt 0 statt der Steigung.
Tangente ohne y-Wert: nur y = 9x ergibt keine Gerade durch P.
✎ Mini-Aufgabe: Jemand schreibt: g(x) = 5x³ − 4 ⇒ g′(x) = 15x² − 4. Wo steckt der Fehler? Gib die richtige Ableitung an.
Lösung zeigen
Die 4 ist ein konstanter Summand und fällt beim Ableiten weg. Richtig ist g′(x) = 15x².
Rechnen
2.1Ableiten
a) Bestimme die Ableitung von f mit f(x) = 3x⁴ − 2x² + 7x − 9.
Hilfe 1
Wie wird ein einzelner Summand abgeleitet?
Hilfe 2
Was passiert mit der Zahl −9?
b) Bestimme die Ableitung von h mit h(x) = 2x⁻³ − x⁻¹ + 4 und schreibe das Ergebnis ohne negative Exponenten.
Hilfe 1
Gilt die Regel für Exponenten unter null auch?
Hilfe 2
Aus x⁻ⁿ wird ein Bruch mit x im Nenner.
c) Bestimme die Ableitung von k mit k(x) = (x − 3)(x + 2).
Hilfe 1
Gibt es eine Regel für das Ableiten eines Produkts aus zwei Klammern?
Hilfe 2
Welche Form hat der Term, den du ableiten kannst?
Lösung zeigen
a) Polynom: jeden Summanden einzeln, die Konstante fällt weg.
f′(x) = 12x³ − 4x + 7
b) Negative Exponenten: dieselbe Regel, der Exponent behält sein Vorzeichen.
h′(x) = −6x⁻⁴ + x⁻² = −6x⁴ + 1x²
c) Die Klammern müssen zuerst weg; das steht nicht in der Aufgabe.
k(x) = x² − x − 6
k′(x) = 2x − 1
2.2Steigung an Stellen
Gegeben ist f mit f(x) = 0,25x⁴ − x². Berechne die Steigung des Graphen von f an den Stellen x = −2, x = 0 und x = 2.
Hilfe 1
Welche Funktion liefert die Steigung an einer Stelle?
Hilfe 2
Erst die allgemeine Ableitung bilden, dann die drei Stellen einsetzen.
Lösung zeigen
„Steigung an der Stelle“ heißt f′ an der Stelle, nicht f.
Bestimme eine Gleichung der Tangente an den Graphen von f mit f(x) = x³ − 4x + 1 an der Stelle x0 = 2.
Hilfe 1
Was brauchst du für eine Gerade: welche zwei Angaben?
Hilfe 2
Die Steigung liefert f′, den Punkt liefert f.
Hilfe 3
Setze Steigung und Punkt in y = m · (x − x0) + y0 ein.
Lösung zeigen
Tangente heißt Steigung aus f′ und Punkt aus f; die zweite Angabe steht nicht da.
f′(x) = 3x² − 4, also m = f′(2) = 8
f(2) = 8 − 8 + 1 = 1, der Berührpunkt ist (2 | 1)
Tangente: y = 8 · (x − 2) + 1
Also y = 8x − 15.
2.4Gegebene Steigung
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x³ − 6x² + 9x + 1.
a) Bestimme f′ und f″.
Hilfe 1
Zweimal dieselben Regeln.
Hilfe 2
f″ ist die Ableitung von f′.
b) Bestimme alle Stellen, an denen der Graph von f die Steigung 9 hat.
Hilfe 1
Welche Funktion liefert die Steigung?
Hilfe 2
Welche Gleichung entsteht, wenn die Steigung 9 sein soll?
Hilfe 3
Ziehe auf einer Seite 9 ab und klammere aus.
Lösung zeigen
a) Erste und zweite Ableitung nacheinander.
f′(x) = 3x² − 12x + 9; f″(x) = 6x − 12
b) „Steigung 9“ heißt f′(x) = 9; wie viele Stellen es gibt, steht nicht da.
f′(x) = 9 ⇔ 3x² − 12x + 9 = 9 ⇔ 3x · (x − 4) = 0
Der Graph hat bei x = 0 und bei x = 4 die Steigung 9.
2.5Ableitung zeigen
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = (x − 1)(x² + 2x).
a) Zeige, dass f′(x) = 3x² + 2x − 2 gilt.
Hilfe 1
Welche Form braucht f, damit du die Regeln anwenden kannst?
Hilfe 2
Multipliziere aus und fasse zusammen.
b) Berechne mit der in a) angegebenen Ableitung die Steigung des Graphen von f an der Stelle x = −2.
Hilfe 1
Setze in die angegebene Ableitung ein.
Lösung zeigen
a) Zeigen heißt: Rechnung vollständig aufschreiben, auch wenn das Ergebnis dasteht.
f(x) = x³ + 2x² − x² − 2x = x³ + x² − 2x
f′(x) = 3x² + 2x − 2
b) Mit dem gegebenen Ergebnis weiterrechnen, auch wenn a) nicht gelungen ist.
f′(−2) = 3 · 4 − 4 − 2 = 6
Ohne Taschenrechner
2.6Parameter
Der Graph von f mit f(x) = a · x² + 3x hat an der Stelle x = 2 die Steigung 11. Bestimme a.
Hilfe 1
Was bedeutet „Steigung 11 an der Stelle 2“ für f′?
Hilfe 2
Leite ab; a ist eine feste Zahl.
Hilfe 3
Setze x = 2 ein und löse nach a.
Lösung zeigen
Der Parameter bleibt beim Ableiten stehen; die Steigung ergibt eine Gleichung für a.
f′(x) = 2a · x + 3
f′(2) = 4a + 3 = 11 ⇔ a = 2
2.7Am Graphen
Das Material zeigt den Graphen der Funktion f mit f(x) = x³ − 3x.
Material
a) Lies am Graphen ab, an welchen Stellen die Tangente waagerecht verläuft, und bestätige diese Stellen rechnerisch.
Hilfe 1
Wie groß ist die Steigung einer waagerechten Tangente?
Hilfe 2
Was für eine Gleichung für f′ folgt daraus?
b) Bestimme die Stellen, an denen der Graph die Steigung 9 hat, und beschreibe, wie der Graph dort verläuft.
Hilfe 1
Setze f′(x) = 9.
Hilfe 2
Wie sieht die Tangente aus, wenn die Steigung 9 beträgt, im Vergleich zu Steigung 1?
Lösung zeigen
a) Waagerechte Tangente heißt Steigung 0, also f′(x) = 0.
Ablesen: Die Tangente ist bei x ≈ −1 und bei x ≈ 1 waagerecht.
f′(x) = 3x² − 3 = 0 ⇔ x² = 1 ⇔ x = −1 oder x = 1
b) Steigung 9 heißt f′(x) = 9; beide Stellen gehören zur Antwort.
f′(x) = 9 ⇔ 3x² − 3 = 9 ⇔ x² = 4 ⇔ x = −2 oder x = 2
Der Graph steigt dort steil an, bei x = −2 und bei x = 2.
2.8Rückwärts
Der Graph von f mit f(x) = x² + b · x + c hat im Punkt P(1 | 3) die Tangente mit der Gleichung y = 4x − 1. Bestimme b und c.
Hilfe 1
Was verraten dir Steigung der Tangente und Punkt P über f?
Hilfe 2
Die Steigung der Tangente ist f′(1).
Hilfe 3
Der Punkt P liegt auf dem Graphen von f.
Lösung zeigen
Zwei Angaben, zwei Gleichungen: Steigung gibt b, Punkt gibt c.
f′(x) = 2x + b. Die Steigung der Tangente ist 4, also f′(1) = 2 + b = 4 und damit b = 2.
P(1 | 3) liegt auf dem Graphen: f(1) = 1 + 2 + c = 3, also c = 0.
Anwenden
3.1Erst ansetzen
a) Notiere zu jeder Frage nur, was gesucht ist und welchen Ansatz du wählst. Rechne nicht. (1) s(t) beschreibt den Weg eines Rennrads in Metern (t in Sekunden). Wie schnell fährt das Rennrad nach 8 Sekunden? (2) T(t) beschreibt die Temperatur eines Kaffees in °C (t in Minuten). Wann sinkt die Temperatur um 2 °C pro Minute? (3) H(t) beschreibt die Höhe eines Ballons in Metern (t in Minuten). Wie hoch ist der Ballon nach 5 Minuten?
Hilfe 1
Bei jeder Frage: Geht es um einen Wert der Funktion oder um ihre Änderung?
Hilfe 2
„Wie schnell“ und „sinkt um … pro Minute“ handeln von der Änderung, also von der Ableitung.
Hilfe 3
Bei Frage (3): Ist eine Änderung gefragt oder der Wert selbst?
b) Eine Rodelbahn hat das Höhenprofil h(x) = 0,004x² − 0,6x + 30 für 0 ≤ x ≤ 60. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Start in m und h(x) die Höhe über dem Talboden in m. Wo beträgt das Gefälle 40 %? Fülle die Lücken: 1. Gefragt ist die Stelle, an der h′(x) = … ist. 2. Was nicht dasteht: Gefälle bedeutet eine … Steigung. 40 % sind als Dezimalzahl …. 3. Rechnen: h′(x) = …; … = … ⇔ x = … 4. Antwortsatz: … 5. Prüfen: …
Hilfe 1
„Gefälle“: Welches Vorzeichen hat die Steigung?
Hilfe 2
Prozent als Dezimalzahl: Wie schreibt man 40 % als Zahl?
Hilfe 3
Die Steigung der Bahn liefert h′; der Wert soll gleich dem gesuchten Gefälle sein.
Lösung zeigen
a) Drei Fragen, drei Ansätze: s′(8), T′(t) = −2, H(5).
(1) Gesucht ist die Geschwindigkeit nach 8 s, also die Änderungsrate von s. Ansatz: s′(8).
(2) Gesucht ist der Zeitpunkt, an dem die Änderungsrate der Temperatur −2 °C pro Minute beträgt. Ansatz: T′(t) = −2 lösen.
(3) Gesucht ist ein Funktionswert. Ansatz: H(5) einsetzen, keine Ableitung.
b) „Gefälle von 40 %“ heißt h′(x) = −0,4; das Vorzeichen und die Prozentumrechnung stehen nicht da.
1. Gefragt ist die Stelle, an der h′(x) = −0,4 ist.
2. Gefälle bedeutet eine negative Steigung. 40 % sind als Dezimalzahl 0,4, also h′(x) = −0,4.
4. 25 m waagerecht vom Start entfernt beträgt das Gefälle der Bahn 40 %.
5. h′(25) = 0,2 − 0,6 = −0,4. Das passt, und 25 liegt im Bereich 0 ≤ x ≤ 60.
3.2Zug fährt an
Ein Zug fährt im Bahnhof an. Für die ersten zehn Sekunden beschreibt s(t) = 0,05t³ + 0,4t² den zurückgelegten Weg in Metern. Dabei ist t die Zeit in Sekunden seit dem Anfahren (0 ≤ t ≤ 10).
a) Bestimme die Geschwindigkeit des Zuges 4 Sekunden nach dem Anfahren und gib sie mit Einheit an.
Hilfe 1
Welche Größe beschreibt, wie schnell sich der Weg ändert?
Hilfe 2
Leite s ab und setze dann ein.
b) Die Zugsicherung greift ab einer Geschwindigkeit von 57,6 km/h ein. Bestimme, wie viele Sekunden nach dem Anfahren der Zug diese Geschwindigkeit erreicht.
Hilfe 1
In welcher Einheit ist die Geschwindigkeit s′(t) angegeben, in welcher der Wert aus der Aufgabe?
Hilfe 2
Rechne die Geschwindigkeit zuerst in m/s um.
Hilfe 3
Setze s′(t) gleich dem umgerechneten Wert. Die Gleichung hat zwei Lösungen; welche gehört zum Modell?
c) Ein Fahrgast sagt: „Nach 4 Sekunden ist der Zug schon 5,6 m weit gefahren.“ Beurteile diese Aussage.
Hilfe 1
Wofür steht der Wert 5,6 aus Teilaufgabe a)?
Hilfe 2
Welche Funktion gibt den zurückgelegten Weg an?
Lösung zeigen
a) „Geschwindigkeit“ ist die Änderungsrate des Weges, also s′.
v(t) = s′(t) = 0,15t² + 0,8t
v(4) = 2,4 + 3,2 = 5,6
4 Sekunden nach dem Anfahren fährt der Zug mit 5,6 m/s.
b) Die Einheit passt nicht (km/h gegen m/s); eine der beiden Lösungen liegt außerhalb des Modells.
57,6 km/h = 57,6 : 3,6 m/s = 16 m/s
s′(t) = 16 ⇔ 0,15t² + 0,8t − 16 = 0 ⇔ 3t² + 16t − 320 = 0 ⇔ t = 8 oder t = −403
Die negative Lösung liegt vor dem Anfahren. Der Zug erreicht 57,6 km/h 8 Sekunden nach dem Anfahren.
c) Die Aussage verwechselt Geschwindigkeit und Weg.
Die Aussage ist falsch. 5,6 ist die Geschwindigkeit nach 4 s in m/s, kein Weg.
Der Weg ist s(4) = 0,05 · 64 + 0,4 · 16 = 9,6. Der Zug ist nach 4 Sekunden 9,6 m weit gefahren.
3.3Gewächshaus
Die Temperatur in einem Gewächshaus wird von 6 Uhr bis 16 Uhr gemessen. Im Modell gilt T(t) = −0,5t² + 6t + 8 mit t in Stunden seit 6 Uhr (0 ≤ t ≤ 10) und T(t) in °C.
a) Bestimme, wie schnell sich die Temperatur um 8 Uhr ändert, und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Hilfe 1
Welche Größe beschreibt die Änderung der Temperatur?
Hilfe 2
Welchem Wert von t entspricht 8 Uhr?
Hilfe 3
Bei der Deutung gehören Zahl, Einheit und Vorzeichen in den Satz.
b) Mit der Tangente an den Graphen von T an der Stelle für 8 Uhr soll die Temperatur um 8:30 Uhr geschätzt werden. Ermittle den Schätzwert und vergleiche ihn mit dem Wert des Modells.
Hilfe 1
Welche Stelle gehört zu 8:30 Uhr?
Hilfe 2
Bestimme die Tangente an der Stelle für 8 Uhr, dazu brauchst du Steigung und Punkt.
Hilfe 3
Berechne T an der Stelle für 8:30 Uhr und vergleiche.
c) Zu welcher Uhrzeit nimmt die Temperatur mit 1,5 °C pro Stunde zu?
Hilfe 1
Welche Gleichung entsteht aus „nimmt mit 1,5 °C pro Stunde zu“?
Hilfe 2
Das Ergebnis ist eine Zeit seit 6 Uhr; die Frage fragt nach der Uhrzeit.
Lösung zeigen
a) „Wie schnell ändert sich“ heißt T′; 8 Uhr ist t = 2, nicht t = 8.
T′(t) = −t + 6; 8 Uhr entspricht t = 2.
T′(2) = 4. Um 8 Uhr steigt die Temperatur um 4 °C pro Stunde.
b) 8:30 Uhr ist t = 2,5; für die Tangente fehlt der y-Wert T(2).
8:30 Uhr entspricht t = 2,5. Schätzwert: 4 · 2,5 + 10 = 20 °C.
Modell: T(2,5) = −3,125 + 15 + 8 = 19,875 °C. Die Abweichung beträgt etwa 0,1 °C.
c) Die Antwort ist eine Uhrzeit, kein Wert von t.
T′(t) = 1,5 ⇔ −t + 6 = 1,5 ⇔ t = 4,5
Um 10:30 Uhr nimmt die Temperatur mit 1,5 °C pro Stunde zu.
3.4Mountainbike-Strecke
Das Höhenprofil einer Mountainbike-Strecke wird im Modell durch h(x) = 0,1x³ − 1,2x² − x + 100 für 0 ≤ x ≤ 8 beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Start in 100 m und h(x) die Höhe über dem Meeresspiegel in m. Das Material zeigt den Graphen von h.
Material
a) Bestimme das Gefälle der Strecke bei x = 2 in Prozent.
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt die Steigung der Strecke?
Hilfe 2
Die Längen x und h sind in verschiedenen Einheiten angegeben (100 m und m).
Hilfe 3
Steigung in Prozent: Höhenunterschied in m geteilt durch Strecke in m, mal 100 %.
b) Lies am Graphen ab, an welcher Stelle die Strecke ungefähr am steilsten ist, und berechne das Gefälle dort in Prozent.
Hilfe 1
Wo ist der Graph am stärksten geneigt?
Hilfe 2
Lies die Stelle ab und berechne dort die Steigung.
Hilfe 3
Wie in Teilaufgabe a) umrechnen.
c) Bestimme alle Stellen, an denen das Gefälle der Strecke 1 % beträgt.
Hilfe 1
Welche Gleichung für h′ gehört zu „1 % Gefälle“?
Hilfe 2
Ziehe auf einer Seite die Zahl ab und klammere aus.
Lösung zeigen
a) Die Einheiten von x (100 m) und h (m) unterscheiden sich; Steigung in Prozent braucht gleiche Einheiten.
Das Gefälle beträgt bei x = 0 und bei x = 8 genau 1 %, also am Start und am Ende der Strecke.
3.5Online-Kurs
Die Zahl der Teilnehmer eines Online-Kurses wird in den ersten acht Wochen beobachtet. Im Modell gilt A(t) = −0,4t³ + 4t² + 25t + 120 mit t in Wochen seit Kursbeginn (0 ≤ t ≤ 8) und A(t) als Zahl der Teilnehmer.
a) Bestimme, wie schnell die Teilnehmerzahl nach 3 Wochen wächst, und gib die Einheit an.
Hilfe 1
Welche Funktion beschreibt, wie schnell die Teilnehmerzahl wächst?
Hilfe 2
Setze t = 3 in die Ableitung ein.
b) Nach wie vielen Wochen wächst die Teilnehmerzahl mit 20 Teilnehmern pro Woche? Runde auf zwei Nachkommastellen.
Hilfe 1
Welche Gleichung für A′ gehört zur Frage?
Hilfe 2
Bringe alles auf eine Seite und löse mit der Lösungsformel.
Hilfe 3
Welche der beiden Lösungen liegt im Bereich 0 ≤ t ≤ 8?
c) Eine Kollegin sagt: „Nach Woche 3 verliert der Kurs Teilnehmer.“ Berechne A′(8) und beurteile die Aussage anhand von A′(3) und A′(8).
Hilfe 1
Was sagt ein positiver Wert von A′ über die Teilnehmerzahl?
Hilfe 2
Vergleiche die beiden Werte: Was ändert sich am Wachstum?
Lösung zeigen
a) „wie schnell wächst“ ist A′, mit der Einheit Teilnehmer pro Woche.
A′(t) = −1,2t² + 8t + 25
A′(3) = −10,8 + 24 + 25 = 38,2. Nach 3 Wochen wächst die Teilnehmerzahl um 38,2 Teilnehmer pro Woche.
b) A′(t) = 20; eine der zwei Lösungen liegt vor Kursbeginn.
A′(t) = 20 ⇔ −1,2t² + 8t + 5 = 0 ⇔ t ≈ −0,58 oder t ≈ 7,24
Nur t ≈ 7,24 liegt im Bereich. Nach etwa 7,24 Wochen wächst die Teilnehmerzahl mit 20 Teilnehmern pro Woche.
c) Das Vorzeichen von A′ entscheidet über Wachsen oder Schrumpfen; der Betrag über die Geschwindigkeit.
A′(8) = −76,8 + 64 + 25 = 12,2
A′(3) = 38,2 und A′(8) = 12,2 sind beide positiv. A′ ist eine nach unten geöffnete Parabel, ihre Nullstelle liegt bei t ≈ 8,99 und damit außerhalb des Bereichs; zwischen t = 3 und t = 8 bleibt A′ also positiv. Die Aussage ist falsch: Die Teilnehmerzahl wächst weiter, nur langsamer.
Klausuraufgabe
4.1Wanderweg
Ein Wanderweg verläuft an einem Hang. Sein Höhenprofil wird für 0 ≤ x ≤ 40 durch h(x) = 0,0004x³ − 0,024x² + 0,2x + 100 beschrieben. Dabei ist x die waagerechte Entfernung vom Startpunkt in m und h(x) die Höhe über dem Meeresspiegel in m. Die Abbildung zeigt den Graphen von h.
Abbildung
a) Bestimme die Steigung des Weges bei x = 10 und beschreibe, wie der Weg dort verläuft.3 BE
Hilfe 1
Welche Funktion liefert die Steigung?
Hilfe 2
Was sagt das Vorzeichen: Steigt oder fällt der Weg?
Hilfe 3
Steigung in Prozent: Faktor 100 %.
b) Der Punkt P(10 | 100) liegt auf dem Graphen von h. Bestimme rechnerisch eine Gleichung der Tangente an den Graphen von h in P.3 BE
Hilfe 1
Was brauchst du für eine Tangente?
Hilfe 2
Die Steigung kennst du schon aus Teilaufgabe a).
Hilfe 3
Setze Steigung und Punkt in y = m · (x − x0) + y0 ein.
c) Es gibt genau eine weitere Stelle, an der der Weg dieselbe Steigung hat wie bei x = 10. Bestimme diese Stelle.3 BE
Hilfe 1
Welche Gleichung für h′ gehört zu „dieselbe Steigung“?
Hilfe 2
Bringe alles auf eine Seite und teile durch den Faktor vor x², dann hilft die Lösungsformel.
Hilfe 3
Eine der beiden Lösungen kennst du schon.
d) Ein Wanderer behauptet: „Der Weg ist nirgends steiler als 20 %.“ Beurteile diese Aussage.5 BE
Hilfe 1
Was heißt „steiler“: nur Steigung oder auch Gefälle?
Hilfe 2
Welche Stelle prüfst du, um die Aussage zu widerlegen oder zu bestätigen?
Hilfe 3
Berechne dort h′ und gib es in Prozent an.
Lösung zeigen
a) „Steigung des Weges“ ist h′; deuten heißt Vorzeichen und Prozentwert nennen.
h′(x) = 0,0012x² − 0,048x + 0,2
h′(10) = 0,12 − 0,48 + 0,2 = −0,16
Der Weg fällt bei x = 10 mit einem Gefälle von 16 %.
b) Steigung aus a), Punkt aus der Aufgabe: Die Tangente ist y = m · (x − x0) + y0.